2等差数列及其通项公式
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列的通项公式是数学中常见的概念之一，它可以用来求解数列中任意一项的数值。
在本文中，我们将详细介绍等差数列的定义、性质以及推导等差数列的通项公式。
一、等差数列的定义与性质在数学中，等差数列是指一个数列中的每一项与其前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，则等差数列的一般形式可以表示为：a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d在等差数列中，第n项可以表示为：$$a_n = a + (n-1)d$$同时，等差数列中任意三项的关系可以表示为：$$a_{n} = a_{m} + (n - m) \cdot d$$其中，m和n表示项的位置。
二、等差数列的通项公式的推导现在我们来推导等差数列的通项公式。
我们假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
首先，我们可以通过观察前几项的差值，得到以下关系：$$a_2 - a_1 = a_3 -a = a_3 - 2a_2 + a_1 = ... = a_n - (n-1)a_1$$根据等差数列的性质，我们可以得到下面的等式：$$d = a_n - a_{n-1} = (a + (n-1)d) - (a + (n-2)d) = d$$将上述等式中的d代入到前面的关系式中，可以得到：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$这就是等差数列的通项公式。
三、等差数列的应用等差数列的通项公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，我们可以利用等差数列的通项公式来求解各种数值问题，如求等差数列的第n 项的具体数值、求等差数列的前n项和等。
以下是一个具体的例子：已知某等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。
根据等差数列的通项公式，代入a=3、d=4、n=10，我们可以计算得到：$$a_{10} = a + (n-1)d = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 9 \cdot 4 = 3 + 36 = 39$$因此，该等差数列的第10项为39。
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
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4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
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[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
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(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
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令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
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2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
猜想——二阶等差数列及其通项公式
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
5、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是.
6、下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是．
7、观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个．
8、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出却有难处。
一、等差数列的定义及其通项公式：
1、等差数列的定义：如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，
从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2- a1= a3- a2=…= an- an-1= d，则称此数列为等差数列，常数d叫等差数列的公差。
由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。
读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：
⑺、2、2、5、11、20、32、47，…
⑻、2、3、8、17、30、47、68，…
中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量，an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项 是关于n的二次函数。我们学习过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。
第2讲 等差数列及其前n项和 讲义
1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.3．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 60解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52.(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.3828 C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现．题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )A ．9B ．22C ．24D ．32答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱 答案 D解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．24B ．48C ．66D ．132 答案 D解析 方法一 由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6， 得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二 由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1 DD ．b n ＝2n ＋1答案 B解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋12×2n (2n －1)d ]， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，又公差d ≠0，解得d ＝2，k ＝14. 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析 由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212， 解得k ＝13.11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.12．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式，当n ＝1时，不满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2. *13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。
【数学】2.2 等差数列及其通项公式 课件1
所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d（n∈N*）
…
等差数列的通项公式推导2（叠加）
a2 a1 d
a4 a3 d an1 an2 d
an an1 d
叠加得
a3 a2 d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
…
若p=q呢?
若m n 2 p, 则有am an 2ap
例题分析
练习 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，
可得a1+a20=10
小结 ★掌握等差数列的通项公式，并能运用公 式解决一些简单的问题
an=a1+(n－1)d
★ 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力
等差数列的性质
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
am an a p aq
2a1 ( p q 2)d mn pq
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2， 则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 提示1: 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6) 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
数列与等差数列等比数列的通项公式
数列与等差数列等比数列的通项公式数列是数学中一个重要的概念，它由按照一定规律排列的一系列数所组成。
数列中的每个数称为该数列的项。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等差数列和等比数列的通项公式以及其应用。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每两个相邻的项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13...来说，首项a1=1，公差d=3（每相邻两项之间的差值为3），第n项可以用通项公式表示为：an = 1 + (n - 1)3二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每两个相邻的项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32...来说，首项a1=2，公比r=2（每相邻两项之间的比值为2），第n项可以用通项公式表示为：an = 2 * 2^(n - 1)三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在财务分析中，等差数列可以用来表示每年的收入或支出的增长情况；等比数列可以用来表示复利计算中的收益情况。
此外，在物理学中，等差数列可以用来描述匀速运动的位置变化；等比数列可以用来描述指数增长或衰减的情况。
总结：数列是数学中重要的概念，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)。
2.2等差数列及其通项公式(2)
思考：
等差数列{an}： a1, a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7, a8,a9,a10….
中，显然 a4 ,a5 ,a6 构成等差数列，那
么 a3 ,a5 ,a7 是否也构成等差数列？ a2 ,a5 ,a8 呢？
2a5=a4＋a6＝a3＋a7= a2 + a8
2a5=a4＋a6＝a3＋a7=a2+a8 在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q, 则am＋an ＝ap＋aq.
-35 a10=______
课外作业：
1.在数列{an } a1 2 ，2an 1 中， 求 a101
2an 1
2.在三角形ABC中，A,B,C成等差数列， 且lga,lgb,lgc也成等差数列，试判断三角形 的形状。
3. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d.
4、等差数列定义：
an－an－1 ＝d
或
(n≥2).
an+1- an = d
等差数列通项公式的推论：
an am (n m)d
an am d nm
例1 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31, 求公差d与通项公式 .
2.2等差数列及其通项公式 （2）
复习回顾：
1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数d，那么这个数列就叫做等差数列。常 数d叫做等差数列的公差。
2、等差中项：由三个数a , A , b组成的等差
数列可以看成最简单的等差数列。这时，
A叫做a与b的等差中项。
ab A a , A, b 成等差数列. 2
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项, 且 A= a+b .
等差数列及其通项公式
在其他问题中的应用
运动员比赛排名
在一些体育比赛中，运动员的得分或成绩按照一定规则构成等差数列。通过等差数列的 通项公式和求和公式，可以快速地计算出运动员的总得分或总成绩，从而确定比赛排名
。
音乐会座位安排
在音乐会的座位安排中，通常按照等差数列的方式排列座位，使得观众能够均匀地分布 在演出场地中。利用等差数列的性质，可以方便地计算出任意排数的座位数量和总座位
公差d>0的等差数列，各项逐渐增大 。
公差d=0的等差数列，各项均为常数 。
递减等差数列
公差d<0的等差数列，各项逐渐减小 。
02
等差数列的通项公式
通项公式的推导
等差数列的定义
等差数列是一种常见数列，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常 数被称为公差。
通项公式的推导过程
等差数列的通项公式可以通过等差数列的定义推导出来。假设等差数列的首项 为a1，公差为d，则第n项an可以表示为an=a1+(n-1)d。
05
等差数列在实际问题 中的应用
在物理问题中的应用
自由落体运动
自由落体运动中，物体下落的距离与 时间的平方成正比，因此可以构成等 差数列。通过等差数列的通项公式， 可以方便地求出物体在任意时刻的下 落距离。
匀变速直线运动
在匀变速直线运动中，物体的速度随 时间均匀变化，因此速度与时间的关 系可以构成等差数列。利用等差数列 的性质，可以求出物体在任意时刻的 速度和位移。
在经济问题中的应用
等额本息贷款
在等额本息贷款中，每个月还款金额相同，但每月还款中本金和利息的比例不同。通过等差数列的求和公式，可 以计算出贷款期限内总共需要还款的金额。
折旧计算
在固定资产折旧计算中，通常采用直线折旧法，即每年折旧金额相同。利用等差数列的性质，可以方便地计算出 资产在任意时刻的账面价值和累计折旧额。
2.2等差数列的通项公式
的两根,则an的通项公式an an 2n
ab
(3)已知a,b,c的倒数依次成等差数列,且a,b,c互不相等,则 (A) c (B) a (C) a (D) b
bc
等于 (C )
abc c
（1）2 ，3 ， 4 （3）-12， -6 ，0
（2）-1，2 ，5 （4）0， 0 ，0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
ab
㈡等差(aa此、 与公bb、 的式c等成 相差等 当中差 于项_数_中是_列_点__2 _坐___标____公__即2__式b__a=__、a__+b__c的____算____术___平) 均数. 中项三a个,a+数d,成a+等2d差或数a列-d， , a可,设a这+d三个数为： 例5(1) 已知a，b，c成等差数列，求证：
5. 等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39, a2+a5+a8 =33, 求a3 + a6+ a9.
a1 19, d 2, a3 a6 a9 3a1 15d 27
例3 梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还 有10级.计算中间各级的宽.
解： 用 an 表示题中的等差数列，由已知条件，有
因此，设 4n 1 401
解得
n 100
答：这个数列的第100项是-401.
练
1.
求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；an a1 (n 1)d
习 an 4n 1
a4 15,
a7 27,
a10
39,
an
a1
(n 1)d
2.2.2等差数列前n项和公式
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn
n(a1 2
an )
34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
二阶等差数列及其通项公式
二階等差數列及其通項公式李清振青島城市管理職業學校一、引子：在《數列》知識の學習中有一種求數列通項公式類型の題目。
如，試求出下列數列の通項公式：⑴ 21、32、43、54、65，… ⑵ - 1、21、31-、41、51-，… ⑶ 211⨯、321⨯、431⨯、541⨯，… 上述數列，都易於通過觀察、分析，而總結推斷出其通項公式，分別為1+=n n a n ，n nn a 1)1(-=，)1(1+=n n a n. 再如等差數列、等比數列，教材中已分別介紹過其通項公式。
但有數列，如：⑷ 1，2，4，7，11，16，22，…⑸ 1，3，6，10，15，21，28，…⑹ 1，3，7，13，21，31，43，…通過觀察分析，也能發現上面三個數列有其內在規律與特點，但若想輕易寫出通項公式卻有難處。
本文旨在由等差數列推導出如⑷、⑸、⑹這樣の一類數列の通項公式，並給出一個相關定義。
二、 預備知識：1、 等差數列の定義：如果一個數列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，從第二項起，每一項與它の前一項の差都等於同一個常數d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，則稱此數列為等差數列，常數d 叫等差數列の公差。
2、 等差數列の通項公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ，公 差： d = a 2 - a 1.三、 二階等差數列の定義及其通項公式：a) 定義：如果一個數列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★）從第二項起，每一項與它の前一項の差按照前後次序排成新の數列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成為一個等差數列，則稱數列（★）為二階等差數列。
相應地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2稱為二階等差數列の二階公差。
顯然，依此定義可以判斷，⑷、⑸、⑹均是二階等差數列。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是数学中常见且重要的概念，它在许多实际问题中都有广泛的应用。
在研究等差数列时，我们经常需要计算其中的某个特定位置的项，这时通项公式就起到了重要的作用。
本文将介绍等差数列的通项公式及其推导，以及一些实例应用。
一、等差数列的定义与性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值固定。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列的第n项。
根据等差数列的定义和通项公式，可以得到等差数列的一些基本性质：1. 等差数列的任意三项可以构成一个等差数列。
2. 等差数列的前n项和可以用求和公式表示为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)。
3. 等差数列的前n项和与项数n成正比，当n趋向于无穷大时，前n项和趋向于无穷大。
二、等差数列通项公式的推导等差数列的通项公式可以通过数学归纳法来推导。
首先，我们验证当n=1时，通项公式成立：a1 = a1 + (1-1)da1 = a1，成立。
假设当n=k时，通项公式成立，即ak = a1 + (k-1)d。
接下来，我们验证当n=k+1时，通项公式也成立：ak+1 = a1 + (k+1-1)dak+1 = a1 + kd + dak+1 = a1 + (k-1)d + 2dak+1 = ak + 2d由假设可知 ak = a1 + (k-1)d，带入上式可得：ak+1 = a1 + (k-1)d + 2dak+1 = a1 + (k+1-1)d因此，假设成立，通项公式对于任意正整数n均成立。
三、等差数列通项公式的应用等差数列的通项公式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些实例应用：1. 求解数列中的某一特定项根据通项公式，我们可以根据已知的首项和公差，计算出数列中的任意一项。
这在金融投资、工程建设等领域中经常用到。
2. 求解等差数列的前n项和通过等差数列的前n项和公式，我们可以快速计算等差数列的前n项的总和。
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一个元素间的差都是相等的。
其通项公式可以用于求出数列中任意一个元素的值，也可以用于表示数列的全体元素。
本文将详细介绍等差数列的通项公式，希望对学习数学的读者有所帮助。
一、等差数列的定义和性质等差数列是数列中的每一项都与前一项之差相等的数列。
具体来说，若数列 ${\\left[a_{n}\\right]}_{n\\ge 1}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=d\\ (n\\ge1)$，则称其为公差为 $d$ 的等差数列。
1. 等差数列的前 $n$ 项和公式等差数列的前 $n$ 项和可以用以下公式表示：$$S_n=\\frac{n}{2}\\left(a_{1}+a_{n}\\right)$$其中，$S_n$ 表示等差数列前 $n$ 项的和，$a_{1}$ 表示数列的首项，$a_{n}$ 表示数列的第 $n$ 项。
2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指能够求出数列中任一项 $a_{n}$ 的公式。
假设等差数列的公差为 $d$，首项为 $a_1$，则其通项公式为：$$a_{n}=a_{1}+(n-1) d\\qquad (n \\geqslant 1)$$这个公式表示了等差数列中第 $n$ 项与首项之间的差距。
更一般地，我们可以将通项公式表示为：$$a_{n}=a_{m}+(n-m) d\\qquad (m,n \\in Z)$$其中，$m$ 表示已知数列中的任意一项，而 $n$ 则表示需要求解的数列中的项数。
根据这个公式，我们可以轻松地求出等差数列中的任意一项。
3. 等差数列的性质等差数列还具有以下性质：（1）等差数列的公差决定了每一项之间的差距。
（2）等差数列的前 $n$ 项和与项数 $n$ 的关系是二次函数。
（3）等差数列经常被用于解决数学中的各种问题，如运用数列的差等于比的方法。
二、等差数列的求解在使用通项公式求解等差数列时，需要知道数列中的至少两个数。
等差数列的通项与求和公式
等差数列的通项与求和公式等差数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项之差相等。
求解等差数列的通项和求和公式是数学中重要的知识点，它们能够帮助我们快速计算等差数列的各项数值。
本文将详细介绍等差数列的通项和求和公式，以及它们的应用。
一、等差数列的定义及基本概念等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
数列中的每一项称为该数列的项，首项表示数列中的第一项，而公差表示数列中每一项与前一项之差的固定值。
以数列{a₁, a₂, a₃, ...}为例，若相邻两项之差是一个常数d，即有a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = d，则该数列为等差数列。
其中，a₁表示首项，a₂表示第二项，d表示公差。
二、等差数列的通项公式等差数列通项公式用来表示等差数列中任意一项的数值。
假设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，通项公式可表示为：aₙ = a₁ + (n - 1) * d在通项公式中，首项a₁是等差数列的第一项，公差d是数列中每一项与前一项之差，n表示数列中的第n项。
通过使用通项公式，我们可以根据已知的首项、公差和项数，快速计算等差数列中任意一项的数值，从而加快解题速度。
三、等差数列的求和公式等差数列的求和公式用于计算等差数列的前n项和。
对于等差数列{a₁, a₂, a₃, ..., aₙ}，求和公式可表示为：Sn = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sn表示等差数列的前n项和。
在求和公式中，n表示数列的项数，a₁表示首项，aₙ表示数列的第n项。
四、等差数列的应用等差数列的通项公式和求和公式在实际问题中有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景：1. 薪资增长：某公司新员工的月薪为5000元，每年递增500元。
求第10年的月薪。
根据等差数列的通项公式，可得第10年的月薪为5000 + (10 - 1) * 500 = 9500元。
2. 高空坠物：假设某物体从高空坠落，每秒钟下落的距离为10米。
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项之间的差值都相等。
在数学中，我们常常需要求解等差数列的任意项，这就需要用到等差数列的通项公式。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则它的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ代表等差数列的第n项，n代表项数，d代表公差。
二、等差数列的推导为了更好地理解等差数列的通项公式，我们可以通过推导来证明它的有效性。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d。
根据等差数列的定义，我们可以得到：a₂ = a₁ + da₃ = a₂ + d = a₁ + 2da₄ = a₃ + d = a₁ + 3d...aₙ = a₁ + (n-1)d由此可见，等差数列的第n项可以通过首项a₁加上公差d乘以项数n减1来得到。
因此，等差数列的通项公式成立。
三、等差数列的例题例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项的值。
解析：根据通项公式aₙ = a₁ + (n-1)d，代入a₁=3，d=4，n=10，即可求解出第10项的值。
a₁₀ = 3 + (10-1)×4= 3 + 9×4= 3 + 36= 39因此，等差数列的第10项的值为39。
例题2：已知等差数列的首项为2，公差为-3，求前15项的和。
解析：由于题目要求求前15项的和，我们可以利用等差数列求和公式来计算。
等差数列求和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2代入题目所给的数据：a₁=2，d=-3，n=15，即可求解出前15项的和。
S₁₅ = (2 + (2 + (15-1)×(-3))) × 15 ÷ 2= (2 + (-40)) × 15 ÷ 2= (-38) × 15 ÷ 2= -570 ÷ 2= -285因此，等差数列前15项的和为-285。
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小结：
• 等差数列概念:an+1 • 等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d
an = d
(n≥1)
• 等差数列通项公式的运用
钢管数
1 钢管，自上 而下，从第 2 二层起，每 3 一层与上一 层的钢管数 4 的差都是1.
婚礼蛋糕， 从第二层起， 每一层与上 一层的磅数 都差1.
自上而下，从第二层起，每一层与 上一层人数的差都是1.
叠罗汉
人 数
6 7
8
9
玩具七彩塔(梵塔)，由上至下，从第二个 环开始，每个环与上一个环直径长的差都 为1cm
d=3 递增 d=-1递减
3
1
3
3
3
是
d=-2/3
不变
不是
⑦ 3，3，3，3，… 常数列 是
d=0
通项公式的推导
问an=? 通过观察：a2， a3，a4都 设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有： 可以用a1与d 表示出来；a1 a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,… 与d的系数有什么特点？ 所以有： a2=a1+ d, a2=a1+d, a3=a1+2d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a1+3d, a4=a3+d=（a1+2d) +d=a1+3d … an=a1+(n-1)d a1 、an、n、d知三求一 an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。
1 2 3 3 3 3
是
d=2
公差 d 不是 d>0 是
数列发展趋势
③ -7，-4，-1，2，5； -1 -1 -1 -1 -1 ④ 6，5，4，3，2，1； ⑤ 3, 7 , 5 , 1, 1 , 1 ; ⑥ 1，0，1，0，1，…
0 0 -1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
是 d<0
d=0
…
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d（n∈N*）
小组交流题
1、求等差数列10，7，4，…的通项公式与第10项。 2、已知一个等差数列的第5项是15，第8项是24，求第20项。 3、梯子最高一级宽33cm，最低一级宽89cm，中间还有7级，各级的 宽度成等差数列，求中间各级的宽度。 4、求等差数列2，9，16，…的第n项。 5、三个数成等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数 6、已知等差数列的第3项是5，第8项是20，求第25项。 7、求等差数列3，7，11，…的第4、7、10项。 8、求等差数列2，4，6，…的通项公式与第31项，第几项是40？ 9、求等差数列3，7，11，…的第12项。 10、求等差数列1，6，11，…的通项公式和第几项是96。 11、求等差数列15，10，5，…的通项公式与第60项。 12、求等差数列10，6，2，…的通项公式与第18项。
a1 , a2 , a3, a4 ,…,an ,an+1,… an+1 - an = d (n≥1)
关键：
• 1、从第二项起，每一项减去前一项， 顺序不能颠倒 • 2、后项减前项的差是同一个常数
达标题：
判断以下数列是否为等差数列，如果不是的说明理由，是等差 数列的写出公差： 2 2 2 2
① 2，4，6，8，10； ② 1，2，4，6，8；
每一条跑道的宽 度相等。从第2 条跑道开始，每 一跑道与前一条 跑道宽度的差都 等于零。
从左至右，从第二个 杯子开始，每个杯子 的高度与它前面一个 杯子高度的差都相等
婚宴上半圆形 的酒杯塔，从 第二层起，每 一层与上一层 杯子数的差都 是2。
（一）等差数列
• 若一个数列从它的第2项起，每一项 与它前一项的差都等于同一个常数， 则这个数列叫做等差数列。这个常数 叫做等差数列的公差。公差用d表示。 d d d d
等差数列（1）
（一）、等差数列概念 （二）、等差数列通项公式
你还记得吗??
一:什么是数列?什么是数列的项? 按一定次序排成的一列数叫数列.数列中 的每一个数都叫做这个数列的项.
二:通项公式的概念? 如果数列{an}的第n 项an与项数n之间 的关系可以用一个公式来表示,这个公 式就叫做这个数列的通项公式