34 小升初奥数必考章节精讲-第34讲_最值问题
小学五年级奥数关于最值问题的讲解
【导语】“最⼩、最多最少、最长最短等问题”称之为“最值问题”，最值问题是普遍的应⽤类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，涉及类⽬⼴泛，是数学、物理中常见的类型题⽬。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助！【篇⼀】 最值问题 【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，⼜要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最⼩的代价取得的效益。
这类应⽤题叫做最值问题。
【数量关系】⼀般是求值或最⼩值。
【解题思路和⽅法】按照题⽬的要求，求出值或最⼩值。
例1在⽕炉上烤饼，饼的两⾯都要烤，每烤⼀⾯需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟? 解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了⼀⾯，这时将第⼀块饼取出，放⼊第三块饼，翻过第⼆块饼。
再过3分钟取出熟了的第⼆块饼，翻过第三块饼，⼜放⼊第⼀块饼烤另⼀⾯，再烤3分钟即可。
这样做，⽤的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2在⼀条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千⽶，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到⼀个煤场⾥，每吨煤运1千⽶花费1元，集中到⼏号煤场花费最少? 解我们采⽤尝试⽐较的⽅法来解答。
集中到1号场总费⽤为1×200×10+1×400×40=18000(元) 集中到2号场总费⽤为1×100×10+1×400×30=13000(元) 集中到3号场总费⽤为1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元) 集中到4号场总费⽤为1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元) 集中到5号场总费⽤为1×100×40+1×200×30=10000(元) 经过⽐较，显然，集中到5号煤场费⽤最少。
初中数学最值问题归纳总结
初中数学最值问题归纳总结初中数学中，最值问题是一个重要的考点，也是学生们经常遇到的难题之一。
在解决最值问题时，可以通过归纳总结一些常见的解题方法，以便在实际应用中更好地应对这类问题。
首先，在解决最大值问题时，可以采用以下几种方法。
一种常见的方法是利用函数的性质进行求解。
例如，当函数是单调递增的时候，最大值通常出现在定义域的最大值处；当函数是单调递减的时候，最大值通常出现在定义域的最小值处。
此外，还可以通过将函数进行分析，找出函数在不同区间内的变化趋势，从而确定最大值所在的位置。
其次，在解决最小值问题时，也可以采用类似的方法。
同样可以利用函数的性质进行求解，如利用函数的单调性、奇偶性以及周期性等。
此外，还可以通过将函数进行化简，找出函数表达式中的最小值，或者通过计算函数的导数，找出函数在定义域内的极值点，从而确定最小值所在的位置。
另外，对于一些特殊形式的最值问题，我们也可以采取特殊的解题方法。
例如，在一些几何问题中，求解最大面积或最小周长的问题，可以利用几何图形的性质，通过建立相关的方程或不等式进行求解。
此外，对于一些实际问题，可以通过建立数学模型，将问题转化为数学问题，再通过求解数学问题得到最终的答案。
在解决最值问题时，还要注意一些常见的误区。
首先，要注意函数定义域的限制。
有些函数可能在某些特定的定义域内取得最大值或最小值，而在其他定义域内可能没有这样的值。
其次，要注意考虑到所有可能的情况。
有些最值问题可能会给出一些限制条件，要保证解满足这些限制条件才是有效的解。
总之，初中数学中的最值问题是一个需要灵活运用数学知识和思维方法的问题。
通过归纳总结一些常见的解题方法，可以帮助学生更好地理解和应用这类问题，提高解题的准确性和效率。
同时，也要注意避免一些常见的误区，保证解的有效性。
初中几何最值问题解题技巧
初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。
下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。
例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。
2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。
例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。
3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。
例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。
对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。
4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。
例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。
对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。
5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。
通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。
例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。
以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。
小学奥数趣味学习《最值问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《最值问题》典型例题及解答在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”“费用最省”“面积最大”“损耗最小”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都归结为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为最值问题。
数量关系：一般是求最大值或最小值。
解题思路和方法：枚举法，综合法，分析法，公式法，图表法例题1：七个小朋友共折纸花100朵，每个小朋友折的朵数都不相同，其中折的最多的小朋友折了18朵，则折的最少的小朋友至少折了多少朵？解：1、要想最少的尽可能少，那么其他人就要尽可能多。
2、因为求折的最少的小朋友至少折了多少朵，那么其他六位小朋友应折的尽可能多，折的朵数应分别为18、17、16、15、14、13，则折的最少的小朋友至少折了100-18-17-16-15-14-13=7（朵）。
例题2：有22根长都是1厘米的小棒，乐乐用这些小棒围成长方形，围成的长方形面积最大是多少平方厘米，最小是多少方厘米？解：1、题目已知的是周长求面积，可以利用列表的方法解决。
2、周长是22厘米，则长与宽的和是22÷2=11（厘米），我们将可能的情况列表呈现出来。
3、所以围成的长方形面积最大是30平方厘米，最小是10平方厘米。
例题3：有一个73人的旅游团，其中男47人，女26人，住到一个旅馆里。
旅馆里有可住11人，7人，4人的三种房间，经过服务员的安排，这个旅游团的男、女分别住在不同的房间里，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。
服务员最少用了多少个房间？解：1、要使房间用的少，则尽量先用11人间，但是也要考虑每个房间都要住满和性别差异，所以男女分开计算。
2、因为3×11+7×2=47（人），所以男的住了3个11人的房间，2个7人的房间。
又因为11×2+4=26（人），所以女的住了2个11人的房间，1个4人的房间，则服务员最少用了3+2+2+1=8（个）房间。
六年级下小升初典型奥数之最值问题
六年级下小升初典型奥数之最值问题在六年级下学期，面对小升初的压力，奥数中的最值问题常常是让同学们感到棘手但又十分重要的一部分。
最值问题涵盖了各种不同的题型和思考方式，需要我们灵活运用所学的知识和思维方法来解决。
首先，我们来了解一下什么是最值问题。
简单来说，最值问题就是在一定的条件下，求某个量的最大值或最小值。
比如说，在给定的周长下，求长方形面积的最大值；或者在给定的成本下，求生产产品数量的最大值等等。
接下来，让我们通过一些具体的例子来深入理解最值问题。
例 1：用一根长为 20 厘米的铁丝围成一个长方形，求这个长方形面积的最大值。
我们知道，长方形的周长＝ 2×（长＋宽），那么在这个例子中，长＋宽＝ 10 厘米。
要使面积最大，长和宽应该尽量接近。
因为 5 ＋5 ＝ 10，所以当长为 5 厘米，宽为 5 厘米时，这个长方形变成了正方形，面积为 25 平方厘米，这就是在给定周长下长方形面积的最大值。
例2：有三个自然数，它们的和是12，求这三个数的乘积的最大值。
对于这道题，我们可以通过列举来找到答案。
三个自然数的和是 12，可能的组合有：1、1、10；1、2、9；1、3、8；1、4、7；1、5、6；2、2、8；2、3、7；2、4、6；3、3、6；3、4、5。
分别计算它们的乘积：1×1×10 ＝ 10；1×2×9 ＝ 18；1×3×8 ＝ 24；1×4×7 ＝ 28；1×5×6 ＝ 30；2×2×8 ＝ 32；2×3×7 ＝ 42；2×4×6 ＝ 48；3×3×6 ＝ 54；3×4×5 ＝ 60。
可以看出，当三个数分别为 3、4、5 时，乘积最大为 60。
从上面的例子可以看出，解决最值问题需要我们细心分析题目中的条件，找到关键的突破点。
最值问题(小学奥数)
最值问题(小学奥数)在小学奥数中，最值问题是一个常见的题型。
最值问题主要考察学生对数值的理解和比较能力。
本文将从解题思路、答题技巧以及相关例题来进行详细讨论。
解题思路：在解决最值问题时，首先需要明确题目要求求解的最大值或最小值是什么，然后根据题目给出的条件和限制条件进行分析。
常见的解题思路有以下几种：1. 穷举法：逐个尝试所有可能的情况，将每种情况计算出来的结果进行比较，找出最大值或最小值。
2. 推理法：通过观察已知条件和限制条件，进行逻辑推理，找到最值的可能位置，并进行比较。
3. 抽象问题：将问题进行数学建模，通过建立数学模型，利用数学方法求解最值问题。
答题技巧：在解决最值问题时，以下几点技巧可以帮助学生提高解题效率和准确性：1. 变量转化：对于涉及多个变量的最值问题，可以通过变量的转化，将问题简化为只涉及一个变量的问题。
2. 条件整理：对于给定的条件和限制条件，可以进行整理和分类，找到与最值问题相关的条件，有针对性地分析和求解。
3. 符号表示：在解题过程中，合理地使用符号表示，可以简化计算过程，提高解题效率。
例如，用代数式表示最值问题，通过求导等数学方法求解。
例题一：某次数学竞赛的“200米冲刺”项目中，小明和小红两位选手进行了比赛。
根据记录，小明在前半程跑得较快，但在后半程稍有掉队。
已知小明最终耗时为30秒，小红的总用时比小明多1秒。
求小明和小红的前后半程用时各为多少？解析：设小明的前半程用时为x秒，则后半程用时为30 - x 秒。
根据题目所给条件，可以列出方程：x + (30 - x) + 1 = 30。
解方程可得小明前半程用时29秒，后半程用时1秒。
小红的前半程用时为30 - 1 = 29秒，后半程用时为1秒。
因此，小明的前半程用时为29秒，后半程用时为1秒；小红的前半程用时为29秒，后半程用时为1秒。
例题二：甲乙两个国家的人口分别是1000万和2000万。
假设甲国每年的人口增长率是2%，乙国每年的人口增长率是3%。
六年级下小升初典型奥数之最值问题
六年级下小升初典型奥数之最值问题在六年级下学期，面对小升初的压力，奥数中的最值问题常常成为同学们需要攻克的重点和难点。
最值问题看似复杂，其实只要掌握了正确的方法和思路，就能轻松应对。
首先，我们来了解一下什么是最值问题。
最值问题，简单来说，就是在一定的条件下，求某个量的最大值或者最小值。
比如，在一个给定的范围内，找到一个数，使得它满足某些条件并且是最大或最小的。
常见的最值问题类型有很多。
比如，整数最值问题。
这类问题通常会给出一些限制条件，让我们找出符合条件的最大或最小整数。
举个例子，有一个三位数，它的百位数字是 4，十位数字比个位数字大 3，这个三位数最大是多少，最小是多少？要解决这个问题，我们先确定十位和个位数字的取值范围。
因为十位数字比个位数字大 3，所以个位数字最小是 0，此时十位数字是 3；个位数字最大是 6，此时十位数字是 9。
那么这个三位数最大就是 496，最小就是 430。
再比如，图形中的最值问题。
比如在一个长方形中，要围出一个最大的正方形，求这个正方形的边长。
这就需要我们考虑长方形的长和宽，正方形的边长最大只能等于长方形的宽。
还有行程中的最值问题。
比如，甲、乙两人从 A 地到 B 地，甲的速度比乙快，要使两人到达 B 地的时间差最小，那么甲应该什么时候出发？这就需要我们根据速度和路程的关系，通过计算来找到最优的出发时间。
解决最值问题，通常有以下几种方法。
第一种是列举法。
当情况不是很复杂时，我们可以把所有可能的情况一一列举出来，然后进行比较，找出最大值或最小值。
比如，要从 1、2、3 这三个数字中选出两个组成一个两位数，求这个两位数的最大值和最小值。
我们可以列举出 12、13、21、23、31、32，然后很容易看出最大的是 32，最小的是 12。
第二种是推理法。
根据已知条件，通过逻辑推理来找出最值。
比如，有若干个连续的自然数，它们的和是 100，求这些自然数中最大的数。
我们可以先假设这些数的个数，然后根据求和公式进行推理，找出满足条件的最大数。
初中奥数讲义_几何的定值与最值附答案
【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ） A ．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变(湖北赛区选拔赛试题)； 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．⌒注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．(永州市竞赛题)思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值．( “宇振杯”上海市初中数学竞赛题)思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．⌒注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ． (江苏省竞赛题)2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．(湖北省黄冈市竞赛题)3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( ) A ．1 B ．22C ．2D ．13- (湖北省荆州市中考题)5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+(贵阳市中考题)6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( ) A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定(桂林市中考题)7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ． (1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由． (2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．(加拿大数学奥林匹克试题)9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( ) A ．22+ B ．21+ C ．23+ D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．(全国初中数学联赛试题)13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU 相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．( “弘晟杯”上海市竞赛题)14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?(河南省竞赛题)15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．(镇江市中考题)16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．(北京市数学知识应用竞赛试题)参考答案。
小学升初中奥数讲解-整除之最值
小学升初中奥数讲解-整除之最值小学升初中奥数讲解-整除之最值北京讯智康1对1付金海老师每日提供奥数天天练试题供咱们的孩子练习，今日发布数论整除之最值。
点击进入：奥数天天练考点：整除之最值难度：4星走美杯题目：N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是．答案：N不能含有0，因为不能被0除。
N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0。
如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不会多。
如果N只缺少5，则含有1，2，3，4，6，7，8，9，但是数字和为40，不能被9整除。
所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4。
此时由1，2，3，6，7，8，9组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除。
前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216，9873216被7除余3；前四位如果取9872，剩下三个数字组成的.被8整除的三位数为136，9872136被7除余1；前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被7除余1；前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9867312被7整除。
所以最大值为9867312分析：此题出自走美杯，走美杯的数论题一直出的不错，这题的题干一个数字都没有，最后答案里却包含了很多数字，对学生的分析和理解能力有很大要求。
我们先要找到切入点，然后不断缩小范围，同时还要用枚举的方法来验证，此题难度较大。
最值问题解题思路奥数
马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们称之为离散最值问题;解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造;离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中,学好它可为解决数论,计数,应用问题等打下扎实的基础;一、从极端情形入手从极端情形入手,着眼于极端情形,是求解最值问题的有效手段;题目1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”;小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的解：假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为4×8=32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故;用一个绿球换一个红球,数字和可增加6－4=2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加5-4=1;为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39;所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有8-3-1=4个是红球;题目2.有13个不同正整数,它们的和是100;问其中偶数最多有多少个最少有多少个解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数,但和是奇数,100是偶数,所以只能少一个偶数,2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17,最多有7个偶数;②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数,100-64=3636=2+4+6+8+16 最少有5个偶数;题目3.一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码;为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量,如果只允许在天平的一端放砝码,那么最少需要准备砝码多少个; 解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量,要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克,它们的和是91,这样即可;需要9+1+1+2=13个;题目4.一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算;为了显示出222222,最少要按“7”键多少次222222-700003=12222按下了3个7 12222-70001=5222按下了1个75222-7007=322 按下了7个7 322-704=42按下了4个7 42-76=0 按下了6个7;3+1+7+4+6=21次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大或最小值时,枚举法是常用基本方法之一;这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论;题目5.将6,7,8,9,10按任意次序写在一个圆周上,每相邻两数相乘,并将所得得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少解：要使乘积最小,就要每个数尽可能小;对于10,旁边添6和7,这样积小一些;于是有两种添法：----------------------------------------------题目6.某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站;如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位解法1：只需求车上最多有多少人;依题意列表如下：由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位;说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数;所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断;解法2：因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站每站1人,这一人数也和本站上车的人数一样多,因此车开出时人数=以前的站数+1×以后站数=站号×15-站号;因此只要比较下列数的大小：1×14, 2×13, 3×12, 4×11, 5×10,6×9, 7×8, 8×7, 9×6, 10×5,11×4, 12×3, 13×2, 14×1;由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位;说明：此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法;这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论;题目7.在如图18-2所示得28方格表中,第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8;如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内,使得每列两数的8个差数两两不同,那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手,经过分析得出规律,也就找到了解决复杂问题的方法;题目8.分析与解题目9.将1,2,3,…,49,50任意分成10组,每组5个数;在每一组中,数值居中的那个数称为“中位数”;求这10个中位数之和的最大值与最小值;解：{1,2,3,49,50} {4,5,6,47,48} …… {28,29,30,31,32}3+6+……+30=165最小值{1,2,48,49,50} {3,4,45,46,47} …… {19,20,21,22,23}48+45+……+21=345最大值四、和一定问题为10的自然数共有5对,每对自然数乘积后又得到5个不同的数,如下表：由此我们得到,当这两个自然数都取5时积有最大值 25;成立;也就是和一定时差最小乘积越大;题目10.有3条线段a,b,c,线段a长米,线段b场米,线段c长米;如图18-1,以它们作为上底、下底和高,可以作出3个相同的梯形;问第几号梯形的面积最大解：由于梯形体积=上底+下底高/2在和一定的情况下,要使乘积最大,让两个数越接近;可见a+b与c十分接近,所以③的面积最大;题目11.如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个;当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个;为了赚得最多的利润,售价应定为多少解：设每个商品售价为50+x元,则销量为500-10X个;总共可以获利50＋x-40×500-10x=10×10+X×50-X元;因10+x+50－x=60为一定值,故当10+X=50－X即X=20时,它们的积最大;此时,每个的销售价为50＋20=70元题目12.用3,4,5,6,7,8六个数字排成三个两位数相乘,要求它们的乘积最大;应该怎样排列分析与解十位数字分别是8、7、6,8>7>6,个位数字分别是5,4,3,5>4>3,依据“接近原则”,大小搭配可得83×74×65,三个数最接近因而它们的乘积最大;综上数例,可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大;简单地说就是：数越接近．．,．乘积越大．．．．;．综上数例,可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大;简单地说就是：数越接近．．,乘积越大;五、积一定的问题两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和之间有什么关系呢观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小;若它们能够相等,则当它们相等时,和最小;题目13. 长方形的面积为 144 cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm,则有xy＝144;故当x=y=12时,x+y有最小值,从而长方形周长2x＋y也有最小值;题目14.农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少解：如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有xy＝432;占地总面积为 S=x＋6y＋8cm2;于是S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480;我们知道6y ×8X=48×432为一定值,故当6y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故y=24,x=18;六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析,较易突破难点;题目15.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式;要求：1算式的结果等于37；2这个算式中的所有减数前面添了减号的数的乘积尽可能地大;那么,这些减数的最大乘积是多少题目16.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式;要求：1算式的结果等于37；2这个算式中的所有减数前面添了减号的数的乘积尽可能地大;那么,这些减数的最大乘积是多少解：把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍;因为55-37＝18,所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9;对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好不包括1;9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24,添上加、减号的算式是10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5- 4- 3- 2 ＋1＝37;七、抓不等关系题目17.某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,超过30册的每册增加元;当印刷多少册以上时,每册费用在元以内解：显然印刷的册数应该大于30;设印刷了30＋x册,于是总用费为80+元;故有80+≤ ×30+x,答案:117+30= 147以内;题目18.有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块;那么这4袋糖块的总和最少有多少块解：要使其中任意3袋的总和都超过60块,那么至少也是61,先在每袋中放20个糖块,但任意3袋中至少一个21,否则就无法超过60;要使任意3袋中至少一个21,这4个袋子的糖块分别是20,20,21,21;和为20+20+21+21=82八、抓相等关系题目19.10位小学生的平均身高是米;其中有一些低于米的,他们的平均身高是米；另一些高于米的平均身高是米;那么最多有多少位同学的身高恰好是米解:要最多有多少位同学的身高恰好是米,就要使低于和高于米的人越少,设高于和低于的人分别为a,b;可得：+=a+b 2b=3a至少是5人那么最多有10-5=5位同学的身高恰好是米; ----------------------------------------------题目20.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母只有2个奇数、2个是偶数,而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等;这样的奇数和偶数很多,小明希望这样的偶数尽量地小,那么这个和的最小可能值是多少解：1/奇+1/奇=1/偶+1/偶偶/奇=偶+偶/偶×偶奇偶+偶=偶偶偶;因为偶偶偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数若是8,只能为2和6则1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意,因为奇相等;若是16,有1/6+1/10=1/5+1/15因此本题答案是16;九、位值展开式题目21.一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少解：设两位数位aba表示十位数字,b表示个位数字ab=10a+b/a+b=9a/a+b+1a+b最大是18,此时余数为9当a+b=17,若a=9 余数为13若b=9余数为4题目22.当a+b=16,若a=9 余数为1 若b=9余数为15 此时余数最大;由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K;如果K是整数,那么K的最大值是多少解：设这个数为abca表示百位数字,b表示十位数字,c表示个位数字那么abc/a+b+c=K 100a+10b+c/a+b+c=K 要使这个算式最大,就要让a尽可能大,b,c尽可能的小;试一下：911/9+1+1=82……9,811/8+1+1=81……1,711/7+1+1=79,所以K最大是79; 题目23.用1,3,5,7,9这5个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ;求算式ABC×DE—FGH×IJ的计算结果的最大值; 解：要使ABCDE-FGHIJ这个算式最大就要使ABCDE最大,FGHIJ最小;那么前面最大是75193;后面最小是46820;那么算式的最小值是75193-46820=60483十、“估计+构造”“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法,要求某个离散最值,先估计该量的上界或下界,然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到,这样便求出了这个量的最大值或最小值;题目24.把1,2,3,…,12填在左下图的12个圆圈里,然后将任意两个相邻的数相加,得到一些和,要使这些和都不超过整数n,n至少是多少为什么并请你设计一种填法,满足你的结论;解：因为1+2＋3＋…＋12=78, 78×2÷12＝13,所以n≥13;又考虑到与12相邻的数最小是1和2,所以n至少是14;右上图是一种满足要求的填法;十一、转化与对称思想转化思想是数学思想之一,把复杂问题转化成简单问题,从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点A、B,把A、B用线连结起来有许多种方法,可用线段、弧线、折线等.在这无穷多种连结方法中,线段最短,因而我们也称线段AB的长叫A、B两点间的距离;我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面N点放上食品,在长方体侧面ABCD上M点放一只蚂蚁如图3,蚂蚁从侧面经过棱AD到N有无穷多种走法如图4,我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短在这个立体图形中找出答案是很困难的,直接连结MN则不经过棱AD,与条件不符.为了使问题简化,我们将长方体展成平面图形,连结MN交AD于P.由公理,两点之间线段最短,可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后,再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短;题目25.如图11某次划船比赛规定从A点出发,先到左岸然后到右岸然后再到B点,时间少者取胜.请你设计一条航线,使船走的路程最短.由于两点间的距离线段最短,我们想办法把问题转化为求两点距离问题;如图,找到A点关于左岸的轴对称点,B点关于右岸的轴对称点,连结A′B′,与左岸、右岸分别有交点C、D,沿折线ACDB航行就是最短航线;十二、学写说理题题目26.23个不同的自然数的和是4845;问：这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少写出你的结论,并说明理由;.17;解：设这23个彼此不同的自然数为a1,a2,…,a22,a23,并且它们的最大公约数是d,则a1=db1,a2=db2,…,a22=db22,a23=db23;依题意,有4845=a1+a2+…+a22+a23=db1+b2+…+b22+b23;因为b1,b2,…,b22,b23也是彼此不等的自然数,所以b1+b2+…+b23≥1+2+…+23=276;因为4845=db1+b2+…+b22+b23≥276×d,所以又因为4845=19×17×15,因此d的最大值可能是17;当a1=17,a2=17×2,a3=17×3,…,a21=17×21,a22=17×22,a23=17×32时,得a1+a2+…+a22+a23=17×1+2+…+22+17×32=17×253+17×32=17×285=4845;而a1,a2,…,a22,a23=17;所以d的最大值等于17;解题在于实践：题目27.设a1,a2,a3,a4,a5,a6是1到9中任意6个不同的正整数,并且a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6;试用这6个数分别组成2个三位数,使它们的乘积最大;分析与解：由于a1,…,a6具体大小不清楚,因此先取特殊数1,2,3,4,5,6这6个不同的数考虑;要使2个三位数的乘积最大,必须使这2个数的百位数最大,应分别是6,5；而十位数次大,应分别为4,3,个位数最小,应分别为2,1;因为当2个数之和一定时,这2个数之差越小,它们的乘积越大,所以这2个数是631和542;题目28.8个互不相同的正整数的总和是56,如果去掉最大的数及最小的数,那么剩下的数的总和是44;问：剩下的数中,最小的数是多少解：因为最大数与最小数的和是56－44=12,所以最大数不会超过11;去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的自然数在2～10之间,且总和为44,这6个数只能是4,6,7,8,9,10;题目29.采石场采出了200块花岗石料,其中有120块各重7吨,其余的每块各重9吨,每节火车车皮至多载重40吨,为了运出这批石料,至少需要多少节车皮解：每节车皮所装石料不能超出5块,故车皮数不能少于200÷5=40节,而40节车皮可按如下办法分装石料：每节装运3块7吨的和两块9吨的石料,故知40节可以满足要求;题目30.一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管,当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开多少个进水管分析本题没给出排水管的排水速度,因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系,才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题,因没给出注水速度和排水速度,故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a,排水管1小时排水量为b,根据水池的容量不变,我们得方程4a-b×5=2a-b×15,化简,得：4a-b=6a-3b,即a=b.这就是说,每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.再设2小时注满水池需要打开x个进水管,根据水池的容量列方程,得xa-a×2＝2a-a×15,化简,得 2ax-2a=15a,即2xa=17a.a≠0所以x=因此至少要打开9个进水管,才能在2小时内将水池注满.注意：x=,这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.题目31.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字各一次,组成一个被减数,减数,差都是三位数的正确的减法算式,那么这个减法算式的差最大是多少解：要想差最大必须考虑被减数取最大,那么先考虑百位为9,同样考虑减数最小,百位为1,再通过试算得出936-152=784,此时差为最大既784;题目32.有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为零,试求满足上述条件的最小正整数;1444;解：平方数末位只能为0,1,4,5,6,9;因为111,444,555,666,999均非平方数,而1000,1111也不是平方数,但1444=382,故满足题设条件的最小正整数是1444;题目33.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中,任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘,能得到多少个不同的乘积;13. 从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积;另从15到27的任意一数是可以组合的;自我评价：还成不错得意酷日积月累：______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________精神快餐：遇到难题题要尽力思考 ,一时答不上来绝不要灰心、沮丧,也不要急于翻看答案,因为反复思考的过程比得到正确的答案更重要;。
小升初常考奥数知识点之最值问题
小升初常考奥数知识点之最值问题
奥数在小升初综合测评中所占比成绩。奥数除了在小升初中占据不可小觑的地位， 对孩子思维的开发，以及今后的数学学习都大有裨益，下面小编汇总 了小升初中常考的奥数知识点及解题思路，分享给大家一起来学习吧。
【第一讲最值问题】 上一页 1 2 3 下一页
数学专项复习小升初典型奥数之最值问题
数学专项复习小升初典型奥数之最值问题在小升初的数学学习中，最值问题是一个较为常见且具有一定难度的考点。
它要求我们运用数学思维和方法，去寻找某个量的最大值或最小值。
接下来，让我们一起深入探讨一下这一重要的数学问题。
首先，我们来了解一下什么是最值问题。
简单来说，最值问题就是在给定的条件下，找出某个变量所能达到的最大值或者最小值。
比如，在一个长方形中，要围出一个面积最大的正方形，这就是一个最值问题。
最值问题的类型多种多样，常见的有以下几种：一是利用不等式求解最值。
例如，有两个正实数 a 和 b，它们的和为 10，求 ab 的最大值。
我们可以利用均值不等式：对于任意两个正实数 x、y，有 x ＋y ≥ 2√（xy)。
在这里，a ＋ b ＝ 10，所以10 ≥ 2√（ab)，解得ab ≤ 25，当且仅当 a ＝ b ＝ 5 时，等号成立，此时 ab 取得最大值 25。
二是通过图形的性质来求最值。
比如，在一个周长一定的长方形中，当它为正方形时，面积最大。
这是因为正方形的边长相等，能够更有效地利用周长，从而使面积达到最大。
三是在行程问题中也会涉及最值。
比如，一辆汽车以固定的速度行驶，要在规定的时间内行驶最远的距离，就需要我们找到最佳的行驶策略。
接下来，让我们通过一些具体的例子来加深对最值问题的理解。
例 1：有一个边长为 10 厘米的正方形，如果在它的四个角各剪去一个边长为 x 厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子，那么这个盒子的体积 V 与 x 之间的关系式是什么？当 x 取何值时，盒子的体积最大？首先，我们可以得出这个长方体盒子的长和宽均为 10 2x 厘米，高为 x 厘米。
所以盒子的体积 V ＝ x(10 2x)²。
为了求出体积的最大值，我们对 V 进行求导。
令 V' ＝ 0，求出 x 的值，再判断这个值是极大值还是极小值。
经过计算，我们可以得出当 x ＝ 5/3 厘米时，盒子的体积最大。
初中数学最值题讲解
初中数学最值题讲解初中数学中，最值题是一个重要的考点。
本文将为大家详细讲解最值题的解法。
最值题的解法一、最大值问题1.用函数求解当需要求解一个函数的最大值时，可以先求出函数的导数，然后使用一阶导数判别法求解。
例如：已知函数f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5，求f(x)的最大值。
解：f'(x) = 3x2 - 6x - 9，令f'(x) = 0，解得x1 = -1，x2 = 3。
根据一阶导数判别法可知，当x < -1时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；当-1 < x < 3时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增；当x > 3时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减。
因此，当x = 3时，f(x)取得最大值7。
2.用二次函数求解如果需要求解一个二次函数的最大值，可以先将函数写成标准形式y = a(x - h)2 + k，其中(h,k)为函数的顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
例如：已知函数f(x) = -2x2 + 8x + 5，求f(x)的最大值。
解：将函数f(x)化为标准形式，可得f(x) = -2(x - 2)2 + 13，因此函数f(x)的顶点坐标为(2,13)，抛物线开口向下，所以函数f(x)的最大值为13。
二、最小值问题1.用函数求解当需要求解一个函数的最小值时，可以先求出函数的导数，然后使用一阶导数判别法求解。
例如：已知函数g(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5，求g(x)的最小值。
解：g'(x) = 3x2 - 6x - 9，令g'(x) = 0，解得x1 = -1，x2 = 3。
根据一阶导数判别法可知，当x < -1时，g'(x) < 0，函数g(x)单调递减；当-1 < x < 3时，g'(x) > 0，函数g(x)单调递增；当x > 3时，g'(x) < 0，函数g(x)单调递减。
小升初数学常考内容讲义：最值问题-最新教育文档
小升初数学常考内容讲义：最值问题编者小语：小编为同学们整理了小升初数学常考内容讲义：最值问题，适合六年级同学小升初复习之用，低年级也可以提前进行学习。
并祝各位同学在小升初考试中取得优异成绩!!!第三讲最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的.典型问题1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖.则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l 时满足条件，且总和最少.这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块.方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABCDE-FGHIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCDE-FGHIJ尽可能的大，ABCDE尽可能的大，FGHIJ尽可能的小.则ABCDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93.则FGHIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为46820.所以ABCDE-FGHIJ的最大值为75193-46820=60483.评注：类似的还可以算出FGHIJ-ABCDE的最大值为64082-37915=46795.3.将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算.87+710+106+69+98=312;97+710+106+68+89=313.所以，最小值为312.4.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为 ab=10a+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9ak(mod a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9;所以当除数a+b不为18，即最大为17时，得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：6. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?7.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个;对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足;当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1.3.5，7，9，11，13，15满足.所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个.。
小升初数学专题：最值问题
例7.8个互不相等的非零自然数的 和为56，如果去掉最大的数和 最小的数，那么剩下的数的和 为44。问剩下的数中，最小的 数是多少？
解析
8个不相同的非零自然数之和为56，平均数是56÷ 8=7， 2个数和为14。 去掉最大数和最小数的和44，大数和小数之和是 56-44=12 ，所有自然数在 1-12之间,即可能是:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 以上11个数中，8个数加起来和为56,并且和为12，小数和大数{只能是1 和11}， 44÷ 6=7……2 ,就是说其它的6个数平均为7点多, 2个数和为14的有：10和4， 9和5， 8和6 ，它们的和是42，比44少2 ， 把5 换7 即可，这8个数是：1 4 6 7 8 9 10 11。
（3）14=3+3+3+3+2 3×3×3×3×2=162
（4）14=5+5+2+2 5×5×2×2=100
二、和最小的规律
几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达就是： 如果a1× a2× …× an=c（c为常数），
那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an，有最小值。
例5. 有10个人各拿一只水桶，同时到 一个水龙头下接水。水龙头注满 第一、第二、……九、十个人的 桶，分别需要1、2、3、……、9、 10分钟。问：如何安排这10个人 的排队顺序，可使每个人所费时 间的总和尽可能少？这个总费时 至少是多少分钟？
解析
第一个人接水时，包括他本人在内，共有10个人等候，第二个人接水时，有9个人 等候；第三个人接水时有8个人等候… 第10个人接水时，只有他1个人等候。可见， 等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少。因此， 应当把接水时间按从少到多顺序 排列等候接水。 每人水桶注满时间从少到多排
最值问题)
中考数学压轴题第四部分最值问题【方法点析1】解决“和最小”或“三角形的周长最小”这一类问题，一般的方法是一、找（找对称轴）；二、画（画对称点）； 三、连（连接对称点与另一个定点） ；四、定（确定连线与对称轴的交点）解题的秘诀是 —— 和最小，对称找，连线段，交点好 坐标系内动点的坐标常常用解析式的代数式表示纵坐标； 表示坐标系中线段的长度一般用上减下（纵坐标） ，右减左（横坐标）或两点之间的距离公式;利用点的坐标代数式表示出相关线段的长度或图形的面积的函数关系式；求所列函数关系式的最大（小）值 .【方法点析2】解决面积最值问题的解题思路:1. 2. 3. 4.P 在第一象限. △ PAB 的面积最大？求出△ PAB 的最大面积及此时点 P 的坐标.四边形 ABCP 的面积最大？求出四边形 ABCP 的最大面积及此时点 P 的坐标. △ PAC 的面积最大？请你直接写出△ PAC 的最大面积及此时点 P 的坐标.【变式 ① 当点 ② 当点3】若点P 是抛物线上的一个动点，且点 P 运动到何处时， P 运动到何处时， P 运动到何处时，【课堂练习】1、如图，在平面直角坐标系中，该抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及(2)点P是X轴上一个动点，上是否存在点Q ,使以点A、的坐标；若不存在，请说明理由.(3)请在直线AC上找一点M，使△ BDM的周长最小，求出M点的坐标.抛物线y = _X +2x + 3与X轴交于A B两点，与y轴交于点C，点D是B、过P、D两点的坐标；P作直线I // AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q2、如图，抛物线y=1x22(1)求AB和0C的长；(2)点E从点A出发，沿—3X-9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC . 2x轴向点B运动(点E与点A B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于m的取值范围；E为圆心，与BC相切的圆的点D .设AE的长为m ,△ ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量(3)在(2)的条件下，连接CE，求^ CDE面积的最大值；此时，求出以点面积(结果保留兀).13、如图，已知抛物线的方程 C 1 : y =__（x + 2）（x-m ）（m >0）与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ,4 B 在点C 的左侧. 若抛物线G 过点M （2,2），求实数m 的值； 在（1）的条件下，求△ BCE 的面积；在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH +EH 最小，并求出点 H 的坐标； 在第四象限内，抛物线G 上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△ BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.且点（1） （2）4、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(/,0),连结OA ，将线段OA 绕原点0顺时针旋转120，得到线段0B . (1) (2) (3) 若不存在， (4) 求点B 的坐标； 求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C ，使△ BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标; 请说明理由. 如果点P 是 出此时P 点的坐标及△ (2)中的抛物线上的动点，且在 x轴的下方，那么△ PAB 是否有最大面积？若有，求 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.@ 15、如图，Rt △ ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点,两点的坐标分别为5）、（0，4），抛物线rx+x+c经过点B，且顶点在直线二上.（1）求抛物线对应的函数关系式；⑵若把△ ABO沿x轴向右平移得到△ DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；⑶在⑵ 的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△ PBD的周长最小，求出P点的坐标；⑷在⑵、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作平行BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△ PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若。
34 最值问题
均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．1．有3条线段a ，b ，c ，线段a 长2.12米，线段b 长2.71米，线段c 长3.53米．如图34-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出3个不同的梯形．问第几号梯形的面积最大?【分析与解】 第1、2、3号梯形的面积为12×(a +c)×b ，12×(b +c)×a ，12×(a+b )×c．显然3个算式中，除去{后的被乘数与乘数的和一定，而两个数和一定时，这两个数越接近，其乘积越大．有a+b 、c 这组数在三组数中相互最接近，即12×(a+b )×c 的积最大，③号的面积最大．2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】 方法一：设这4袋为A 、B 、C 、D ，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A 、B 、C 袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.3．把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大．问这个最大乘积是多少?【分析与解】使乘积最大，我们先看2+2=4，2×2=4；2+3=5，2×3=6．显然分解出来的数当中不能有大于4的数，要不然可以分拆成2与另一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆的2和5的乘积小．又因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3．注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，如果分成的数中有三个或三个以上2，则不如将三个2换成两个3，也就是说，分成的数至多只能有两个2，其余都是3．根据以上分析，14应分拆成四个3和一个2之和，即14=3+3+3+3+27这五个数的乘积有最大值3×3×3×3×2=162．评注：把自然数S(S>1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大．4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ尽可能的小．则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．5．由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K．如果K是整数，那么K的最大值是多少?【分析与解】设这个三位数为abc=100a+10b+c，它的数字和为a+b+c，则K=100a+10b+ca b c++,显然b、c应尽量小，尽量大．但是必须非零，一一验证：911÷(9+1+1)=82……9，811÷(8+1+1)=81……1，711÷(7+1+1)=79，进一步验证可以没有比79大的K存在了，所以说K的最大值为79.评注：但是，有些同学说这样解法不严谨，我们给出K不超过79的证明，即K=100a+10b+ca b c++≤79；:当6、c均为1时，有验证过程知K最大为79；：当b、c至少有一个不为1时，则b、c中至少有一个数大于l，并且a最大为9，现在只需证明出lOOa+lOb+c ≤79a+79b+79c，即21a≤69b+78c，而又因为69b+78c≥69×2+78=216>1891≥21×a，即69a+78c>21a，也就是说当b、c至少有一个数不为1时，k的最大值小于79；综上所述，K的最大值不超过79，且只有当这个三位数为711时，K为79．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．7．一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次?【分析与解】222222÷7=31746，即222222=70000×3+7000×l+700×7+70×4+7×6，而70000，7000，700，70，7均只用按一次7，所以222222最少只用按3+1+7+4+6=21次“7”键即可显示．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．9．10位小学生的平均身高是1.5米．其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米．那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米?【分析与解】设低于1.5米的有x人，高于1.5米的有y人，那么有1.2x+1.7y=1.5(x+y)，化简有3x=2y，因为x、y均是非零自然数，所以x最小取2，对应y最小取3．此时，剩下10-2-3=5人，所以最多有5位同学的身高恰好是1.5米．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．11．在如图34-2所示的2×8方格表中，第一行的8个方格内依次写着1，2，3，4，5，6，7，8．如果再把1，2，3，4，5，6，7，8按适当顺序分别填入第二行的8个方格使得每列两数之差(大减小)的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位将的最大可能值是多少?【分析与解】要使8个差数两两不同，推知这8个差数是0～7，差数是0的一列数相同，为使第二行的八位数最大，前四个数能否是8、7、6、5组成的呢?显然不行，因为后四个数将由1、2、3、4组成，这样8个差数就必定有相同的．经试算，前四个数依次为8、7、6、4时无解，而前四个数依次为8、7、5、4时，得到87541362即为所求的最大八位数．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．13.一种小型天平秤备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码．为了能称出1克到91克之间的任意一种整数克重量，如果只允许在天平一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个?【分析与解】如果砝码数量最少，那么我们希望重量大的砝码越多越好．所以为了能称91克的砝码，至少要10个9克和1个1克的，但这样只能称出9的倍数加1重量的物品.但是为了能称91克以内的任何重量，我们还需要能表示1～10中所有重量的砝码.我们将其中1个9克用几个小砝码代替：1，3，5．1，3，5可以称出的重量有：l，3，4，5，6，8，9，如果再加上那块1克重的砝码就可以称出1～10之间的任何重量了．所以我们需要9个9克的砝码，2个1克的砝码，1个3克的砝码，1个5克的砝码．共需13个．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．15.将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数．在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”．求这10个“中位数”之和的最大值与最小值.【分析与解】设10个“中位数”从小到大是1a ，2a ，3a ，…，9a ，10a ，它们所代表得那一组数分别为第一组，第二组，第三组，…，第九组，第十组．1a 比第一组中两个数大，所以1a ≥3，2a 比第二组中两个数大，又比第一组的前3个数大，所以2a ≥6，依次类推，10a 比第十组中两个数大，又比前九组中，每组的前3个数大，所以10a ≥30．因此，居中和S ≥3+6+…+30：165………………………………………①另一方面，10a 比第十组中两个数小，所以10a ≤50-2=48.9a 比第九组中两个数小：又比第十组的后3个数小，所以血9a ≤50-5=45．依次类推，1a 比第一组中两个数小，又比后九组中，每一组的后3个数小，所以1a ≤50-9×3-2=21.因此，居中和S ≤48+45+…+21=345……………………………………②①、②中的等号都可以成立，例如分组：(1，2，3，49，50)，(4，5，6，47，48)，(7，8，9，45，46)，(10，11，12，43，44)，(13．14, 15,41,42)，(16，17，18，39，40)，(19，20，21，37，38)，(22，23，24，35，36)，(25，26，27．33,34)，(28，29，30，31，32)．“中位数”的和为3+6+9+12+15+…+27+30=165，此时“中位数”的和最小；又如分组：(50,49，48，1，2)，(47，46，45，3，4)，(44，43，42，5，6)，(41，40，39，7，8)，(38，37，36，9,10),(35,34,33，11，12)，(32，31，30，13，14)，(29，28，27，15，16)，(26,25,24，17，18)，(23，22，21，19，20)．“中位数”的和为21+24+27+30+33+…+45+48=345，此时“中位数”的和最大．所以，“中位数”的和最大为345．最小为165.。
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a b c 61① 1 a b d 61② 有 ，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以 a+b+c+d≥81 ,因为 3 a c d 61③ b c d 61④
a+b+c+d 均是整数，所以 a+b+c+d 的和最小是 82．
5
4．用 1，3，5，7，9 这 5 个数字组成一个三位数 ABC 和一个两位数 DE，再用 O，2，4，6， 8 这 5 个数字组成一个三位数 FGH 和一个两位数 IJ． 求算式 ABC×DE-FGH×IJ 的计算结果的 最大值． 【分析与解】 尽可能的小． 为了使 ABC×DE-FGH×IJ 尽可能的大，ABC×DE 尽可能的大，FGH×IJ
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除数 a+b=17 时，有 9a=15+17m,有 显然也不满足；
m=6+9t ,(t 为可取 0 的自然数)，a 是一位数， a=13+17t
除数 a+b=16 时，有 9a=15+16m,有
m=3+9t (t 为可取 0 的自然数)，因为 a 是一位数， a=7+16t
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7，9，11，13，15 满足． 所以，满足题意的 13 个数中，偶数最多有 7 个，最少有 5 个．
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但这时剩下的数都无法使算式成立． 再考虑差的百位数字为 7 的情况， 这时我们可以肯 定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为 8，因此，算式可能 的形式为：
再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：
，所以差最大为 784．
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:余数最大为 16， 除数 a+b 只能是 17， 此时有 9a=15+17m， 有 为可取 0 的自然数)，而 a 是一位数，显然不满足； ：余数其次为 15，除数 a+b 只能是 17 或 16，
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m=7+9t (t a=15+17t
【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我 们首先考虑 10，为了让和数最小，10 两边的数必须为 6 和 7． 然后考虑 9，9 显然只能放到图中的位置，最后是 8，8 的位置有两个位置可放，而且也 不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算． 8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312; 9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313． 所以，最小值为 312． 8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?
满足题中条件：
1 1 1 1 + = + ，所以最小的两个偶数和为 6+10=16． 5 15 6 10
14.有 13 个不同的自然数，它们的和是 100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？ 【分析与解】 13 个整数的和为 100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最 少为 2 个，最多为 12 个；对应的偶数最多有 11 个，最少有 1 个． 但是我们必须验证看是否有实例符合． 当 有 11 个 不 同 的 偶 数 ， 2 个 不 同 的 奇 数 时 ， 11 个 不 同 的 偶 数 和 最 小 为 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而 2 个不同的奇数和最小为 1+3=4．它们的和最小为 132+4=136，显然不满足： 当有 9 个不同的偶数，4 个不同的奇数时，9 个不同的偶数和最小为 2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而 4 个不同的奇数和最小为 1+3+5+7=16，还是大于 100，仍 然不满足； 当有 7 个不同的偶数，6 个不同的奇数时，7 个不同的偶数和最小为 2+4+6+8+10+12+14=56，6 个不同的奇数和为 1+3+5+7+9+11：36，满足，如 2，4，6，8，10， 12，22，1，3，5，7，9，11 的和即为 100． 类似的可知，最少有 5 个不同的偶数，8 个不同的奇数，有 2，4，8，10，16，1．3．5，
评 注 ： 不 能 把 不 等 式 列 为
a b ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c 60 ① a+b+d 60 ② a+c+d 60 ③ b+c+d 60 ④
， 如 果 这 样 将 ①+②+③+④ 得 到
3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为 a、b、c、d 均是整数，所以 a+b+c+d 的和最小是 81.至于为什么会出 现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.
位为 9，减数的百位为 1，如果差的百位为 8，那算式就是如下形式：
剩下的 6
个数字为 2、3、4、5、6、7，因为百位数字为 8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减 数要大，而且至少大 2，因为 1 已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：
得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小 1，可能的算式形式如下：
所以 a 只能取 7，对应 b 为 16-7=9，满足； 所以最大的余数为 15，此时有两位数 79÷(7+9)=4……15． 10．用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三 位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少? 【分析与解】 考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百
【分析与解】设这个两位数为 ab =lOa+b，它们的数字和为 a+b,因为 lOa+b=(a+b)+9a， 所以 lOa+b≡9a(mod a+b)， 设最大的余数为 k，有 9a≡k(mod a+b)． 特殊的当 a+b 为 18 时，有 9a=k+18m，因为 9a、18m 均是 9 的倍数，那么 k 也应是 9 的 倍数且小于除数 18，即 0，9，也就是说余数最大为 9； 所以当除数 a+b 不为 18，即最大为 17 时，
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则 ABC×DE 最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为 7、9，然后为 3、5，最 后三位数的个位为 1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为 751，93． 则 FGH×IJ 最小时， 最高位应尽可能的小， 并且两个数的差要尽可能的大， 应为 468×20． 所以 ABC×DE-FGH×IJ 的最大值为 751×93-468×20=60483． 评注：类似的还可以算出 FGH×IJ-ABC×DE 的最大值为 640×82-379×15=46795． 6．将 6，7，8，9，10 按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得 5 个乘积相加， 那么所得和数的最小值是多少?
有
1 1 1 1 1 1 1 1 + = + ，则有 = ， 2m 2n 2a+1 2b+1 2m 2b+1 2a+1 2n
我们从 m=1,b=1 开始试验：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = + ， = + = + ， 2 6 3 4 4 3 12 4 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = + ， = + = + ， 4 20 5 8 8 5 30 6 10 10 1 1 1 1 1 = + = + ，﹍ 6 5 10 12 12 1 1 1 我们发现， 和 分解后具有相同的一项 ，而且另外两项的分母是满足一奇一偶， 5 6 10
第 34 讲 最值问题
内容概述
均值不等式， 即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小． 各种求最大值或最 小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚 举各种可能情形也是必要的．
典型问题
2．有 4 袋糖块，其中任意 3 袋的总和都超过 60 块．那么这 4 袋糖块的总和最少有多少块? 【分析与解】 方法一：设这 4 袋为 A、B、C、D，为使 4 袋糖块的总和最少，则每袋 糖应尽量平均，有 A、B、C 袋糖有 20、20、21 块糖． 则当 A、B、D 三袋糖在一起时，为了满足条件，D 袋糖不少于 21 块，验证 A、B、C、D 这 4 袋糖依次有 20，20，2l，2l 时满足条件，且总和最少． 这 4 袋糖的总和为 20+20+21+21=82 块． 方法二：设这 4 袋糖依次有 a、b、c、d 块糖，
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12. 4 个不同的真分数的分子都是 1，它们的分母有 2 个是奇数、2 个是偶数，而且 2 个分 母是奇数的分数之和与 2 个分母是偶数的分数之和相等． 这样的奇数和偶数很多， 小明希望 这样的 2 个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?