高中数学专题05几何概型分项汇编含解析新人教A版必修

专题05 几何概型一、填空题1．北大附中20172018年高二期末考试在上随机的取一个实数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为A. B. C. D.答案C2．疆兵团第二师华山中学20172018学年高二下学期第一次月考已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A. B. C. D.答案B解析由题意可知，三角形的三条边长的和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域的长度为，根据几何概型的计算公式可得蚂蚁在离三个顶点的距离都大于的概率为，故选B.3．云南中央民大附中芒市国际学校20172018学年高二上学期期末考试如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.答案D点睛: (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．4．如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为()A. B. C. D. 无法计算答案B解析利用几何概型的概率计算公式知,∴S阴=S正方形=.故答案为：B.5．江西抚州七校联考20172018学年高二上学期期末考试在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是（）A. B. C. D.答案D解析记随机取出两个数分别为，由，所以点在直角坐标系内所占区域面积为，若，则点在直角坐标系内所占区域面积为，所以，概率，故选D．6．北三省三校高二月考在区间上任取一个实数，则的概率是( )A. B. C. D.答案C7．辽宁省普通高中20172018学年高二学业水平模拟考试从区间内任取一个数,则这个数小于的概率是 ( )A. B. C. D.答案C解析在区间上任取一个数构成的区间长度为，这个数小于的区间长度为，根据几何概型概率公式可得这个数小于的概率为，故选C.8．陕西省西安市第一中学20172018学年高二上学期期中考试在集合内任取一个元素，能使不等式成立的概率为（）．A. B. C. D.答案B解析集合对应的平面区域为矩形，约束条件对应的平面区域为梯形，把代入得∴不等式成立的概率为．故选B．9．陕西省西北工业大学附属中学20172018学年高二上学期期中考试某的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（）A. B. C. D.答案A方法点睛本题題主要考查“时间型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，时间型，求与时间型有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总时间以及事件的时间；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10．黑龙江省佳木斯市第一中学20172018学年高二下学期开学考试如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）A. 5.3B. 4.3C. 4.7D. 5.7答案B解析由古典概型概率公式概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分的概率为1141200-，因为正方形的面积为10，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为114101 4.3200⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故选B.方法点睛本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 ,忽视验证事件是否等可能性导致错误.11．四川省成都外国语学校20172018学年高二上学期期末考试已知函数()()2log3f x x=+，若在[]2,5-上随机取一个实数x，则()01f x≥的概率为( )A.37B.47C.57D.67答案D12．江西省上高县第二中学20172018学年高二上学期期末考试在棱长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）A .6π B . 16π- C . 16 D . 56答案B解析符合条件的点P 落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的18球体外；根据几何概型的概率计算公式得，P =33314281832π-⨯⨯⨯⨯=16π-． 故选：B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 二、填空题13．黑龙江省佳木斯市第一中学20172018学年高二下学期开学考试在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为__________． 答案16π- 解析14．四川省泸州泸县第五中学20172018学年高二上学期期末模拟考试某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ 答案932解析假设小张是7:30后的x分钟到校，小王是7:30后的y 分钟到校，则两人到校应满足020{020x y ≤≤≤≤，它是一个平面区域，对应的面积为400.设随机事件A 为“小张比小王至少早5分钟到校”，则两人到校时间应满足020{020 5x y x y ≤≤≤≤-≥，对应的平面区域如图下图阴影部分所示，其面积为1225151522⨯⨯=，故所求概率为225980032=，故填932. 点睛：本题为几何概型中的会面问题，其处理方法是找出基本事件对应的平面区域的面积.15．吉林省梅河口市第五中学20172018学年高二上学期中期考试在[]0,10上随机的取一个数m ，则事件“圆224x y +=与圆()()22234x y m -+-=相交”发生的概率________．答案2516．云南民族大学附属中学20172018学年高二上学期期中考试某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．答案35解析因为公共汽车每5分钟发车一次，当乘客在上一辆车开走后两分钟内达到，则他候车时间会超过3分钟，所以候车乘客候车时间超过3分钟的概率为5-23=55P =。

三、解答题17．湖北省孝感市八校20172018学年高二上学期期末考试设函数()()22,f x x bx cb c R =++∈.（1）若b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x R ∈， ()0f x >恒成立的概率； （2）若b 是从区间[]0,10任取的一个数， c 是从[]0,4任取的一个数，求函数()f x 的图像与x 轴有交点的概率. 答案（1）34；（2）35. 试题解析：（1）设“对任意x R ∈， ()0f x >恒成立”为事件A ，试验的结果总数为6636⨯=种.事件A 发生则2240b c ∆=-<，∴2b c <，从而事件A 所含的结果有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()2,2,2,3,2,4,2,5,2,6， ()()()()()3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()5,3,5,4,5,5,5,6，()()()6,4,6,5,6,6共27种.()273364P A ==. （2）设“函数()f x 的图像与x 轴有交点”为事件B ，事件B 发生，则2240b c ∆=-≥，∴2b c ≥ 又试验的所有结果构成的区域(){,|010,04}b c b c Ω=≤≤≤≤如图长方形区域；事件B 所含的结果构成的区域为(){,|010,04,2}b c b c b c Ω=≤≤≤≤≥如图阴影部分区域，()()121042432104405P B +⨯===⨯.18．湖北省孝感市八校20172018学年高二上学期期末考试已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. （1）求n 的值；（2）从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b . ①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率； ②在区间[]0,2内任取2个实数,x y ，求事件“()24a b x y -+>恒成立”的概率.答案（1）2；（2）①516，②78（ii ）记“()24a b x y -+>恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“1x y +>”恒成立， (),x y 可以看成平面中的点的坐标，确定全部结果所构成的区域，事件B 构成的区域，利用几何概型可求得结论．试题解析： （1）依题意122n n =+，得2n =. ①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为,k h ，则取出2个小球的可能情况有：()()()()(),,,,,,,,,s s s t s k s h t s ，()()()()(),,,,,,,,,t t t k t h k s k t ，()()()()(),,,,,,,,,k k k h h s h t h k ， (),h h 共16种，其中满足“2a b +=”的有5种：()()()()(),,,,,,,,,s k s h t t k s h s .所以所求概率为()516P A =②记“()24a b x y -+>恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“1x y +>”恒成立， (),x y 可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为(){,|02,02,,}x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈，而事件B 构成的区域为()(){},1,,B x y x y x y =+∈Ω.所以所求的概率为()78P B = 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．19．四川省遂宁市20172018学年高二上学期期末考试遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停． （1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00～8:00到达，乙船将于早上7:30～8:30到达，请求出甲船先停靠的概率答案（1）见解析（2）78解析：（1）这种规则是不公平的 设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ，基本事件总数为5525⨯=种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13 个： ()1,1， ()1,3， ()1,5， ()2,2， ()2,4，()3,1,()3,3,()3,5,()4,2,()4,4,()5,1,()5,3,()5,5，∴甲胜的概率()1325P A =，乙胜的概率()()12125P B P A =-=，∴这种游戏规则不公平． （2）设甲船先停靠为事件C ,甲船到达的时刻为x ，乙船到达的时刻为y ， (),x y ，可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为， (){}|787.58.5 x y x y Ω=≤≤≤≤，，，这是一个正方形区域，面积111S Ω=⨯=，事件C 所构成的区域为(){}|787.58.5 A x y y x x y =>≤≤≤≤，，，， 111712228A S =-⨯⨯=，这是一个几何概型，所以()78A S P C S Ω==． 点睛：判断一个概率模型是古典概型还是几何概型，有一个重要的依据：基本事件的个数是有限还是无限．对于几何概型，要找到所有基本事件的度量方法（测度常见的度量方法有线段的长度、面积、体积等．20．黑龙江省大庆实验中学20172018学年高二上学期期末考试已知关于x 的二次函数()24 1.f x ax bx =-+（Ⅰ）设集合{}1,1,2A =-和{}2,1,1B =--，分别从集合,A B 中随机取一个数作为a 和b ， ()y f x =在区间[)1+∞，上是增函数的概率． （Ⅱ）设点(),a b 是区域80,{0, 0,x y x y +-≤>>内的随机点，求函数()f x 在区间[)1,+∞上是增函数的概率． 答案（Ⅰ）59p =．（Ⅱ） 13p =. 试题解析：要使函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数，需0a >且412b a--≤，即0a >且2b a ≤． （Ⅰ）所有(),a b 的取法总数为339⨯=个．满足条件的(),a b 有()1,2-， ()1,1-， ()2,2-， ()2,1-， ()2,1共5个，所以所求概率59p =． （Ⅱ）如图，求得区域80{00x y x y +-≤>>的面积为188322⨯⨯=． 由80{ 20x y x y +-=-=，求得168,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以区域内满足0a >且2b a ≤的面积为18328233⨯⨯=． 所以所求概率3213323p ==． 21．辽宁省丹东市20172018学年高二数学理科上学期期末考试已知集合()][{,|0,2,1,1}M x y x y ⎡⎤=∈∈-⎣⎦. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率；（2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.答案（1）89 （2）78解析试题分析：（1）因为x ，y ∈Z ，且x ∈[0，2]，y ∈[1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x ，y ∈Z ，xy ≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率．（2）因为x ，y ∈R ，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x ，y ∈Z ，求xy ≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率.(2)设"0,,"x y x y R +≥∈为事件B ，因为][0,2,1,1x y ⎡⎤∈∈-⎣⎦，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分.所以()11-1122-11722===228ABCD ABCD ABCD S S p B S S ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯四边形阴影四边形四边形， 故",0"x y R x y ∈+≥，的概率为78. 点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．．湖北省孝感市八校联考20172018学年高二上学期期中考试已知()f x x =， ()1g x x =-．（1）若x 是从区间[]3,4-上任取的一个实数， 2y =，求满足()()|1f x g y ≥+的概率．（2）若x 、y 都是从区间[]0,4上任取的一个实数，求满足()()221f x g y +≤的概率． 答案（1）37P =（2）32π解析试题分析：（1）本题属于线段型的几何概型，根据线段长度的比值求解。