第二十二章 数学物理方程综述

ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y)
是一对共轭的复变量．这样也能够得到以复变量ξ和η为自变量的方程( )．进一步引进两个新 的实变量
ρ = ξ + η, σ = i ξ − η ,
于是
∂ ∂ξ
=
∂ ∂ρ
+
i
∂ ∂σ
,
∂ ∂η
=
∂ ∂ρ
−
i
∂ ∂σ
.
所以
∂2u ∂ξ∂η
=
∂2u ∂ρ2
+
∂ ∂
§22.2 线性偏微分方程解法述评
第7页
§22.2 线性偏微分方程解法述评
在本书中，介绍了二阶线性偏微分方程定解问题的几种主要解法，关于这些解法的解题思 想、应用条件以及理论根据，以前也都分别作过讨论、这里再集中地对它们作一点综合性的评 述，以便于读者有一个横向的比较．
1. 分离变数法．这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理论上说，分离变 量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本征值问题．这在第十八章中已作了较系统的阐述，不 再重复．从解题步骤上看，除了留待确定叠加系数的部分定解条件外，要求方程和其余的解条 件都必须是齐次的(因此，如果它们是非齐次的，则必须首先齐次化)．这样，对于定解问题中 微分方程的具体形式就有一定的限制，对于所讨论问题的空间区域形状更有明显的限制．这又 涉及正交曲面坐标系的选取(空间区域的边界面必须是正交曲面坐标系的坐标面)．
(##)
这样，我们就希望，通过适当选择变换，使得A, B, C中有一个或几个为0，达到使方程简化的
目的．
为此，要介绍一个定理． 定理 如果φ(x, y) = C是方程
a dy 2 − 2bdydx + c dx 2 = 0
(a)
的一般积分，则ξ = φ(x, y)是方程
a
∂φ ∂x
2
+
2b
∂φ ∂x
ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y),
就可以使得A = C = 0．同时，根据( )式，就可以断定B一定不为0．所以，方程(##) 就变
成
∂2u ∂ξ∂η
+
Φ
ξ,
η,
u,
∂u ∂ξ
,
∂u ∂η
= 0.
()
或者进一步作变换
ρ = ξ + η, σ = ξ − η,
于是有 所以 又可以进一步将方程化为
η) y)
=
0
即可．这样，方程(##)就化为
∂2u ∂η2
+
Φ
ξ,
η,
u,
∂u ∂ξ
,
∂u ∂η
= 0.
这种类型的方程称为抛物型方程．热传导方程就属于这种类型．
以 上 的 讨 论 是 在a和c不 恒 为0的 前 提 下 进 行 的 ． 在 适 当 选 择 变 换 后 ， 总 可 以 使 得A, B, C中有一个(B)或两个(B以及A或C)为0． 而且，事实上，如果再作进一步的变换，还可以把不为0的系数变为1 或−1． 当A = C = 1, B = 0时，方程是椭圆型； A = −C = ±1, B = 0时，方程为双曲型； A = B = 0, C = 1或A = 1, B = C = 0是，方程为抛物型． 如果a和c恒为0．那么，一定有b ≡ 0．这正是双曲型方程．
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类
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综合以上的讨论，可以得出结论： 要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只要讨论判别式b2 − ac即可．
如果方程的系数a, b, c为常数，当然偏微分方程一定属于上述三种类型之一．
如果a, b, c是x, y的函数，那么，在xy平面上的一定区域内，一般说来，b2 − ac并不会得 保持为恒正、恒负、或恒为0，因此，方程并不能简单地归结为固定的一种类型．换句话 说，方程可能在区域的不同部分属于不同的类型．
二阶线性偏微分方程，是否就只有这三种类型？ 回答是：对于两个自变量的情形，一定如此．
下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，作一个典型讨论．对于更多个自变量的情 形，问题要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是：
a
∂ ∂
2u x2
+
2b
∂2u ∂x∂y
+
c
∂2u ∂y2
+
d
∂u ∂x
+
e
∂u ∂y
+
fu
+
g
=
0,
()
其中a, b, c, d, e, f 和g是x, y的已知函数．通常假设它们是连续可微的．显然，函数a, b, c中， 至少有一个不恒为0，否则，就不成其为二阶偏微分方程．
首先考虑a和(或)c不恒为0的情形．不妨设a ≡ 0．这时可作变换
=
0,
容易求出
b2 − ac = 1 − x2 + y2.
因此，此方程的抛物型曲线就是一对双曲线x2 − y2 = 1．在双曲线上，方程属于抛物型．整 个xy平面被这两条曲线分割开．在1−x2+y2 > 0的部分，方程属于双曲型；在1−x2+y2 < 0的 部分，方程属于椭圆型．
对于多个自变量的偏微分方程，原则上也可以选择适当的自变量变换，把方程中混合二 阶偏导数项的系数变为0．如果其余的(二阶偏导数项的)系数(事实上，可以化为1或−1)全部同 号，则方程为椭圆型；如果其中一个与其余的异号，则方程为双曲型；如果有多个与其余的异 号，则方程为超双曲型；如果有一个或多个为0，则方程为抛物型．当然，除非方程的系数为 常数，否则，自变量变换的具体选择，总还需要具体讨论．
A
∂2u ∂ξ2
+
2B
∂2u ∂ξ∂η
+
C
∂2u ∂η2
+
D
∂u ∂ξ
+
E
∂u ∂η
+
Fu
+
G
=
0,
(#)
其中，
A =a
∂φ ∂x
2
+
2b
∂φ ∂x
∂φ ∂y
+
c
∂φ ∂y
2
,
B
=
a
∂φ ∂x
∂ψ ∂x
+b
∂φ ∂x
∂ψ ∂y
+
∂φ ∂y
∂ψ ∂x
+
c
∂φ ∂y
∂ψ ∂y
,
C =a
∂ψ ∂x
2
+
2b
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§22.1 二阶线性偏微分方程的分类
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§22.1 二阶线性偏微分方程的分类
在本课程的数学物理方程部分中，总共讨论了三种类型偏微分方程 • 波动方程 • 热传导方程 • 稳定问题，如Laplace方程，Poisson方程，Helmholtz方程等
定解问题的解．这三类方程，描写了不同的物理过程，它们的解也都表现出各自不同的特 点(例如，见13.6 ∼ 13.8各节的讨论)．在数学上，这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型 三类(见12.4节)．
∂ψ ∂x
∂ψ ∂y
+
c
∂ψ ∂y
2
,
D
=
a
∂2φ ∂x2
+
2b
∂2φ ∂x∂y
+
c
∂2φ ∂y2
+
d
∂φ ∂x
+
e
∂φ ∂y
,
E
=
a
∂2ψ ∂x2
+
2b
∂2ψ ∂x∂y
+
c
∂2ψ ∂y2
+
d
∂ψ ∂x
+
e
∂ψ ∂y
,
F = f,
G = g.
容易证明
B2 − AC =
∂φ ∂x
∂ψ ∂y
−
∂φ ∂y
,
∂2u ∂x2
=
∂φ ∂x
2
∂2u ∂ξ2
+2
∂φ ∂x
∂ψ ∂x
∂2u ∂ξ∂η
+
∂ψ ∂x
2
∂2u ∂η2
+
∂2φ ∂x2
∂u ∂ξ
+
∂2ψ ∂x2
∂u ∂η
,
∂2u ∂x∂y
=
∂φ ∂x
∂φ ∂y
∂2u ∂ξ2
+
∂φ ∂x
∂ψ ∂y
+
∂φ ∂y
∂ψ ∂x
∂2u ∂ξ∂η
+
∂ψ ∂x
∂ψ ∂y
这时，不妨先求出b2 − ac = 0即
dy dx
=
b a
的解．这条曲线，称为抛物型曲线，因在此曲线上，方程属于抛物型．整个区域就可能被这条
曲线分割为两部分，方程分属于椭圆型和双曲型．例如，对于方程
1 − x2
∂2u ∂x2
−
2xy
∂2u ∂x∂y
−
1 + y2
∂2u ∂y2
−
2x
∂u ∂x
−
2y
∂u ∂y
在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程的本征值问题．除了本书中介绍过的几 个本征值问题外，也还可能会出现其他的特殊函数．
2. 积分变换方法．这种方法的优点是减少方程的自变量的数目．从原则上说，无论是对 于时间变量，或是空间变量，无论是无界空间，或是有界空间，都可以采用积分变换的方法求 解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算看，就需要根据方程和定解条件的类型，选择最 合适的积分变换．反演问题，也是关系所拟采用的积分变换是否实际可行的关键问题．反演 时涉及的积分很简单，甚至有现成的结果(包括工具书)可供引用，采用积分变换的确可以带来 极大的便利．但反过来说，如果涉及的积分比较复杂，也没有现成的结果(包括工具书)可供引 用，那么，反演问题也可以成为积分变换的难点．