2.3.1变量之间的相关关系

3).如果所有的样本点都落在某一直线附近， 变量之间就有线性相关关系 . 散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系.
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
观察散点图的大致趋势， 两个变量的散点图中 点的分布的位置是从左下角到右上角的区域， 我们称这种相关关系为正相关。
1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变 量之间具有函数关系 2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近， 变量之间就有相关关系 3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量 之间就有线性相关关系 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线 周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性 关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相 关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量 之间的关系
xi yi x iy i 1 15 330 4950 2 20 345 6900
7
3 25 365 9125
4 30 405 12150
7
5 35 445
6 40 450
7 45 455 20475
7
15575 18000
x 30, y 399.3 xi2 7000, yi2 1132725, xi yi 87175
原因：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样
本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预 测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可 能百分百地保证对应于x，预报值Y能等于实际值y
例3：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究 气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出 的热饮杯数与当天气温的对比表：
注：相关关系和函数关系的异同点 相同点：两者均是指两个变量间的关系 不同点：函数关系是一种确定关系， 相关关系是一种非确定的关系。
练习： 1：下列两变量中具有相关关系的是（ D ）
A角度和它的余弦值
C成人的身高和视力
B正方形的边长含量和年龄关系 的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
O
练习：
2.下列关系属于负相关关系的是（ C ）
A.父母的身高与子女的身高
B.农作物产量与施肥的关系
C.吸烟与健康的关系
D.数学成绩与物理成绩的关系
脂肪含量
三、回归直线
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直 线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关 关系，这条直线就叫做回归直线。 这条回归直线的方程，简称为回归方程。
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散 点图的含义吗？ 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系 的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
散点图 说明
1).如果所有的样本点都落在某一函数曲线上, 就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之 间具有函数关系． 2).如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近, 变量之间就有相关关系。
摄氏温度 热饮杯数 1、画出散点图； -5 156 0 150 2、从散点图中发现气温与热饮 4 132 销售杯数之间关系的一般规律； 7 128 12 130 3、求回归方程； 15 116 19 104 4、如果某天的气温是2摄氏度， 23 89 预测这天卖出的热饮杯数。 27 93 31 76 36 54
年龄 23
脂肪 9.5 年龄 53
27
54
39
56
41
57
45
58
49
60
50
61
17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考1：对某一个人来说，他的体内脂肪含 量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如 果把很多个体放在一起，就可能表现出一定 的规律性.观察上表中的数据，大体上看， 随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
整体上最接近
三、如何具体的求出这个回归方程呢？ 方案二: 在图中选取两点画直线，使得直线 两侧的点的个数基本相同。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80
脂肪
三、如何具体的求出这个回归方程呢？ 方案三: 在散点图中多取几组点，确定几条直线的 方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数， 将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。
四、如何具体的求出这个回归方程呢？ 方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测 量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一 个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的 斜率和截距，就得到回归方程。
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
图3-1
1、散点图
200 150 100 50 0 -20 0 20 40
热饮杯数
2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的 区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关， 即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。 3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直 线的附近，因此利用公式求出回归方程的系数。 Y= -2.352x+147.767 4、当x=2时，Y=143.063 因此，某天的气温为2 摄氏度时，这天大约可以卖出143杯热饮。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80
脂肪
上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强， 我们回到回归直线的定义。 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近， 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线 就叫做回归直线。
求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看，各点与直线的偏差最小”。 思考6：对一组具有线性相关关系的样本数据： (x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，设其回归 方程为 可以用哪些数量关系来刻画 各样本点与回归直线的接近程度？
第四步，写出回归方程
2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点 大致分布在回归直线附近.对同一个总体， 不同的样本数据对应不同的回归直线，所以 回归直线也具有随机性.
3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都 可以求得“回归方程”，如果这组数据不具 有线性相关关系，即不存在回归直线，那么 所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此， 对一组样本数据，应先作散点图，在具有线 性相关关系的前提下再求回归方程.
年龄 23
脂肪 9.5 年龄 53
27
54
39
56
41
57
45
58
49
60
50
61
17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的 更明确的关系，我们需要对数据进行分析， 通过作图可以对两个变量之间的关系有一个 直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含 量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应 的图形吗？
你认为老师的说法对吗?
事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时,还 必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度 数学 成绩 学习 兴趣 物理成绩
花费 时间
其他 因素
如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之 间的相关关系 我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:
商品销售收入
? ?
K×广告支出经费
粮食产量
K×施肥量
付出
? ?
K×收入
人体脂肪含量
K×年龄
以上种种问题中的两个变量之间的相关关系,我 们都可以根据自己的生活,学习经验作出相应的 判断,“规律是经验的总结”,不管你多有经验,只 凭经验办事,还是很容易出错的,一次在寻找变 量讲的相关关系时,我们需要一些更为科学的方 法来说明问题.
在寻找变量间的相关关系时,统计同样发挥了非常重 要的作用,我们是通过收集大量的数据,对数据进行统 计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的 关系作出判断.下面我们通过具体的例子来分析
i 1 i 1 i 1
87175 7 30 399.3 4.75, 2 故可得到 b 7000 7 30 a 399.3 4.75 30 257 ^ 从而得回归直线方程是 y 4.75 x 257．(图形略)
小结 1.求样本数据的线性回归方程，可按 下列步骤进行：
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n

2
i 1 n
i
i
x nx
i 1 2 i
2
,
a y bx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。
思考7：利用计算器或计算机可求得年龄和 人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 Ù y = 0.577x - 0.448 ，由此我们可以根据 一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分 比的回归值.若某人65岁，则其体内脂肪含 量的百分比约为多少？ 37.1％
前面我们学习了怎样对收集来的数据进行分析: 集中趋势 频率分布图 离散程度 下面我们来介绍一中更为常见的分析方法:
小明,你数学成绩不太好, 学不好数学 ,物理 物理怎么样 ? 也是学不好的
?????... . 也不太好啊
哲学原理：世界是一个普遍联系的整体， 任何事物都与周围其它事物相联系。
数学地理解世界
年龄 23
脂肪 9.5
27
39
41
45
49
50
17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群 脂肪含量的样本平均数.
根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间 有怎样的关系？
思考4：如果两个变量成负相关，从整体上看这两 个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？ 散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.
运鱼车的单位时间与存活比例 1.5 1 0.5 0 0 0.2 单位时间 0.4 0.6
思考5：你能列举一些生活中的变量成正 相关或负相关的实例吗?
存活比例
如高原含氧量与海拔高度 的相关关系，海平面以上， 海拔高度越高，含氧量越 少。 作出散点图发现，它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程，称它们成负相关.
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
（0.577×65-0.448= 37.1％）
若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在37.1％ （0.577×65-0.448= 37.1％）附近的可能性比较 大。 但不能说他体内脂肪含量一定是37.1％
第一步，列表计算平均数
n
n
x ,
i 1
y
第二步，求和 ,
第三步，计算 b i1
x y ( x x )( y y ) x y nx y
n i 1 i
i
i
2 x i
n
i
2 ( x x ) i i 1
n

i 1 n
i i
2 2 x nx i i 1
, a y bx
回归直线
实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方 法来刻画“从整体上看,各点到此直线的距离最 小”.
这样的方法叫做最小二乘法.
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强， 人们经过长期的实践与研究，已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式:

b
( x x)( y y) x y n x y
练习:给出施化肥量对水稻产量影响的 试验数据：
施化肥 量x 水稻产 量y
15 20 25 30 35 40 45 330 345 365 405 445 450 455
(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线并且画出图形.
解：(1)散点图（略）． (2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i
1、两个变量之间的相关关系
两个变量间存在着某种关系，带 有不确定性(随机性），不能用函数 关系精确地表达出来，我们说这两个 变量具有相关关系.
对相关关系的理解 相关关系—当自变量取值一定,因变量的 取值带有一定的随机性（ 非确定性关系) 函数关系---函数关系指的是自变量和因 变量之间的关系是相互唯一确定的.