量子力学第三章[1]

2 d 2 [ V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x ) 2 dx 2 [ [ d V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y ) 2 dy 2 2 d 2 V3 ( z )] Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz 2
II
m
m A s in x 2a
III
I
0
II
m A cos x 2a
m 奇数。
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。
（4）由归一化条件定系数 A





2
| m |2 dx 1
a a
| m | dx
| | dx
2 2
令： ( x, y, z ) X ( x )Y ( y ) Z ( z )
d2 d2 d2 ( x , y , z ) E ( x , y , z ) 2 2 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z ) V1 ( x ) V2 ( y ) V3 ( z ) dx dy dz
I II III
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。
则解为： 0, A sin(x ), 0.
3。连续性:在势的分界点
1）波函数连续：
x a 点,
l l
l
l
§1 §2 §3
一维无限深势阱 一维线性谐振子 一维势散射问题
§1. 一维无限深势阱
l
l l l
（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论
（一） 一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其定态 Schrö dinger 方程为：
2 ˆ [ H 2 V ( x , y , z )] ( x , y , z ) E ( x , y , z ) 2
2 2
2 d 2 [ V3 ( z )] Z ( z ) E z Z ( z ) 2 2 dz
所谓一维运 动就是指在 某一方向上 的运动。
2 2 V ( x, y, z ) ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 2
设：V ( x , y, z ) V1 ( x ) V2 ( y ) V3 ( z )

Asin(a ) 0 Asin(a ) 0
Asin(a ) cos A cos(a ) sin 0 Asin(a ) cos A cos(a ) sin 0
(1) ( 2)
(1)+(2) (2)-(1)
两种情况：
cos(a ) sin 0 sin(a ) cos 0
2 d2 2 I ( x ) 2 (V E ) I ( x ) 0 x a 2 dx 2 d2 2 II II ( x ) E ( x ) 0 a x a 2 2 dx d2 2 III ( x ) (V E ) III ( x ) 0 xa 2 2 dx 方程可 简化为：
讨论
状态不存在 E0 0 当n 0时： 0， II 0 A sin 0 x 0
II
当n k时： k
A sin
k k x A sin x a a
描写同一状态
所以 n 只取正整数，即 于是：
( n 1, 2, )
n
I III 0 n II A sin x n a 2n x 或 A sin 2a
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：
V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)
形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
2 d 2 [ V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x ) 2 2 dx [ d V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y ) 2 2 dy
( 3) ( 4)
由（4）式
sin 0 cosa 0 cos 0 sina 0
I.
sin 0 0
n a
2 E 2
2
则
cos 1
( n 0 , 1, 2 , )
sin a 0
因
a n
类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：
( n 0,1, 2, )
综合 I 、II
结果，最后得：
Em
m 2 2 2 8 a 2
I
对应 m = 2 n
III

0 m 0的偶数
对应 m = 2n+1
得：
1 | A| a
2
wenku.baidu.com

A
1 a
（取实数）
（三）宇称
（1）空间反射变换：空间矢量反向的操作。 r r (r , t ) (r , t ) （2）此时如果有：
(r , t ) (r , t ) (r , t ) (r , t ) (r , t ) (r , t )
| x | a | x | a
| x | a; n even, n odd, | x | a; | x | a .
V(x)
I -a
II
III a
0
n 1,2,3,
一维无限深 势阱中粒子 的状态
（1）束缚态、能量量子化。 粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0。这样的状态，称 为束缚态。粒子能量取值是分立的,能级组成分立谱，即能量是量子化的。 （2）基态，零点能。 粒子能量最低的状态称为基态。 n=1,
第三章
l
一维定态问题
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrödinger 方 程来处理一类简单的问题—— 一维定态问题。其意义： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论， 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
0
（1）列出各势域的 S — 方程
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 dx 2 d2 2 ( x ) 2 [V ( x ) E ] ( x) 0 2 dx
势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示，其上的波函数分 别为ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
n 1,2,
En
( 2 n )2 2 2 8 a 2
cos(a ) sin 0
II .
( 3)
cos 0 2
由（3）式
则
sin 1
cos a 0
cos 0 sina 0
1 a ( n ) 2
1 ( n ) 2 a
等式两边除以（x, y, z ) X ( x )Y ( y ) Z ( z )
1 X 1 2 d 2 X V ( x ) 1 2 2 dx Y 1 2 d 2 Y V ( y ) 2 2 2 dy Z 2 d 2 Z V ( z ) 3 E 2 2 dz
d2 2 dx d2 2 dx d2 2 dx
I
2 2
I
0 0 0
V(x)
II
II
I -a
II 0 a
III
III
2
III
(2) 解方程

I II III
C 1 e x C 2 e x A s in(x ) B1e x B2 e x
2 2
其中
E E x E y Ez
（二）一维无限深势阱
0, V ( x)
l l l l l
| x | a | x | a
I -a
V(x)
II
III
a
求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数

V(x)

I -a

C 1 e x
II
0 a
2
III
2 (V E ) 2
（3）使用波函数标准条件定解
I
1。单值，成立； 2。有限：当x - ∞ ， ψ 有限条件要求 C2=0。
I ( a ) lim C1e a 0

I
所以
同理：

0
III 0
称波函数具有偶宇称； 称波函数具有奇宇称；
(r , t ) (r , t )
（3）如果在空间反射下，
则波函数没有确定的宇称。
（四）讨论
0, V ( x)
0 n 1 n s in x 2 a a 1 n cos x 2 a a 其能量本征值为： n 2 2 2 En 8 a
2 d 2 2 d 2 2 d 2 YZ X V1 ( x ) XZ Y V2 ( y ) XY Z V3 ( z ) E ( x , y , z ) 2 2 2 2 dx 2 dy 2 dz
I 2 II 2 | m | dx
a
a
| | dx
II 2 m

a
| III |2 dx
a
a 2 2 m | A | sin xdx 1 a 2a a | A |2 cos 2 m xdx 1 2a a
m even m odd
所以
2
2 E 2
n 2 a
2

2

n 2 2 2 2 a
2
En
n II A sinx A sin
n x a
En
n 2 2 2 2 a 2
n II A sin
n x a
( n 0, 1, 2, )
1 2 ( n ) 2 2 a
( n 0 , 1, 2 , )

2
所以
于是波 函数：
En
2 2 2

( 2 n1) 2 2 2 8 a 2
I III 0 n II n 1 2n 1 2 A sin( x ) A cos x A cos x A cos x n 2 a 2 a
2）波函数导数连续：
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因
为：
l l
若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = Aαcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾， 二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
I (a) II (a) A sin(a ) 0,

I II III
0, A sin( x ), 0.
V(x)
xa
点,
I
-a
II
0 a
III
II (a) III (a) A sin(a ) 0 .