3n+2次Hermite插值多项式及插值误差
hermitage插值法
hermitage插值法【实用版】目录1.概述 Hermite 插值法2.Hermite 插值法的基本原理3.Hermite 插值法的应用实例4.Hermite 插值法的优点与局限性正文1.概述 Hermite 插值法Hermite 插值法是一种基于分段多项式的插值方法，用于在给定区间内对已知数据点进行插值。
它是一种三次样条插值法，可以提供比其他低阶插值方法更精确的结果。
Hermite 插值法的名称来自于法国数学家Charles Hermite，他在 19 世纪末开发了这种方法。
2.Hermite 插值法的基本原理Hermite 插值法的基本思想是使用一个三次多项式来表示给定数据点之间的函数。
该多项式可以写成：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3其中，a0、a1、a2 和 a3 是待定系数，需要通过给定的数据点来确定。
为了找到这些系数，Hermite 插值法使用了三个约束条件：（1）插值多项式在区间的端点处取到给定的函数值，即：f(x0) = a0 + a1x0 + a2x0^2 + a3x0^3 = y0f(x1) = a0 + a1x1 + a2x1^2 + a3x1^3 = y1（2）插值多项式在区间的中点处取到区间的平均值，即：f((x0 + x1) / 2) = (f(x0) + f(x1)) / 2（3）插值多项式的一阶导数在区间的中点处等于给定函数在该点的导数值，即：f"(((x0 + x1) / 2)) = (f"(x1) - f"(x0)) / (x1 - x0)通过解这组线性方程组，可以得到插值多项式的系数 a0、a1、a2 和a3。
一旦得到这些系数，就可以用插值多项式来近似表示给定函数在给定区间内的行为。
3.Hermite 插值法的应用实例Hermite 插值法广泛应用于数值分析、工程计算和计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，Hermite 插值法可以用来在给定控制点之间生成平滑的贝塞尔曲线。
Hermite_插值法
, x0]
lim
xi x0
f [x0, x1,
,
xn ]
1 n!
f
(n) ( x0 )
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
Nn( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
三点三次Hermite 插值
余项公式
由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设 R( x) f ( x) P( x) k( x)( x x0 )( x x1 )2 ( x x2 )
与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得
x
x0
)
x x0
x1 x1
2
1(
x)
(
x
x1
)
x x1
x0 x0
两点三次Hermite 插值
满足插值条件
P(x0) = f(x0) = y0，P’(x0) = f’(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P’(x1) = f’(x1) = m1
的三次 Hermite 插值多项式为
三点三次Hermite 插值
三点三次 Hermite 插值
插值节点：x0 , x1 , x2
插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P’(x1) = f’(x1) 设 P( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [ x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) A( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 将 P’(x1) = f’(x1) 代入可得 A f '( x1 ) f [ x0 , x1] f [ x0, x1, x2]( x1 x0 )
艾米特插值
若 αi ( x ) , βi ( x )( i = 0,1) ,满足
αi (x j ) = δi j
1 i = j = , , α i′( x j ) = 0 0 i ≠ j (i = 0 , 1)
β i ( x j ) = 0 , β i′( x j ) = ( x ) = ( − 2 l ( x j ) x + 1 + 2 x l ( x j )) l ( x )
' j ' j j 2 j
= (1 − 2 ( x − x j ) l ( x j )) l ( x )
' j 2 j
其中 l ( x j ) ∑ ＝
' j
n
k =0 k≠ j
由于
′ α 0 ( x 0 ) = 1, α 0 ( x 0 ) = 0 2.2 (2.6.2) ′ α 0 ( x1 ) = 0, α 0 ( x1 ) = 0 , (2.6.3) 2.3
由（2.6.3）可设
α0 ( x) = ( x − x1 ) a ( x − x0 ) + b ,
2.4 埃尔米特(Hermite)插值
• Hermite插值问题的提出 • 三次 Hermite 插值 • 2n+1 次Hermite 插值多项式 • Hermite插值余项 • 数值实例
一、 Hermite插值问题的提出
由于理论与实践的需要，在构造插值函数 时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求 它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具 有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴 近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插 值。
2
再由（2.6.2）可求得
三次Hermite插值
04 实例分析
CHAPTER
实例一：已知数据点的插值
总结词
利用已知数据点进行插值，可三次Hermite插值方法，利用已知的数据点来估计未知点的值。这 种方法能够更好地处理数据点的变化，并提高插值的精度。
CHAPTER
插值多项式的构造
定义
Hermite插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多 项式，使其能够准确地经过这些数据点，并尽可能地平滑地 连接这些点的方法。
构造方法
Hermite插值多项式由两个部分组成，一个是线性函数，另 一个是二次函数。线性函数部分用于确保插值多项式能够准 确地经过数据点，而二次函数部分则用于保证插值多项式的 平滑性。
实例二：未知数据点的插值
总结词
在未知数据点的情况下，可以通过三次 Hermite插值方法，预测并估计未知点的值。
详细描述
在数据点未知的情况下，可以利用三次 Hermite插值方法，根据已知的数据点来预 测和估计未知点的值。这种方法能够为后续 的数据分析和处理提供重要的参考依据。
实例三：复杂函数的插值
三次Hermite插值能够提供高精度的插值结果，特别是在处理
复杂函数时。
稳定性好
02
该方法在处理大数据集时表现出良好的稳定性，不易受到噪声
和异常值的影响。
易于实现
03
三次Hermite插值的算法相对简单，易于在计算机上实现和优
化。
三次Hermite插值的局限性
对初始数据敏感
三次Hermite插值的结果对初始数据的选择 较为敏感，不同的初始数据可能导致不同的 插值结果。
Hermite插值多项式
( xi1
4
xi )2
因此
|
Ri ( x) |
(
x i
+1
8
xi )2
max |
xi x xi1
f ( x) |
于是在[a,b]上，| R( x) ||
f
( x)
L1( x) |
h2 8
M2
优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
(1) L1(x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是
线性插值多项式;
(2) L1(xi ) yi , i=0,1,2,…,n (3) L1(x) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
2
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
待定系数法求出，但不易推广到高次。
3
基函数法:
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
为使H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
并在每个 xi , xi子1区间上构造插值多项式，然后把 它们装配在一起，作为整个区间 上a,的b插值函数。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1(x)满足条件
Hermite插值的若干问题研究毕业设计论文
毕业论文（设计）Hermite插值的若干问题研究Study of Hermite interpolation problems申请学位：学士院系：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学专业姓名：学号：指导老师：[摘要]本文主要是具体讨论Hermite插值的若干问题，主要介绍了二重Hermite插值在具体应用中出现的实际问题，并通过几个例子说明建立Hermite 插值多项式的方法、两点三次Hermite插值及其余项、Hermite插值公式的相关问题。
并编程计算来比较几种方法。
通过推导和证明得知三次Hermite插值已经较高，再高可能发生Runge现象。
关键词: 二重Hermite插值多项式，唯一性定理，误差定理[Abstract]This paper is detailed to discuss some problems of the Hermite interpolation, mainly introduced the double Hermite interpolation in the specific application of practical problems, and through several examples establish Hermite interpolation polynomial method, two point three times of Hermite interpolation and its remainder term, Hermite interpolation formula of the related problems. And the program calculation to compare several methods. By derivation and proof that cubic Hermite interpolation has been high, high Runge phenomenon may occur againKeywords: Double Hermite interpolation polynomial, the uniqueness theorem, the theorem of the error目录1、Hermite插值概述1.1 Hermite插值定义 (1)1.2 Hermite插值公式的推导 (2)1.3 几个重要的定理 (4)2、两点三次插值及其余项2.1 两点三次插值 (3)2.2 两点三次插值的余项 (4)2.3 三次埃尔米特插值多项式 (6)2.4 二重Hermite插值多式 (7)3、重节点插商与Hermmite插值3.1 重节点插商 (10)4、例题及其解答 (12)5、参考文献 (17)6、附录 (18)7、谢辞 (20)1 Hermite 插值概述1.1 Hermite 插值的定义理论背景：许多实际插值问题中，为使插值函数能更好地和原来的函数重合，不但要求二者在节点上函数值相等，而且还要求相切，对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。
Hermite插值多项式
1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
2.5 2
的 Ln(x)。取
1.5
n=10
1
0.5
n=2
n=5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大
3 4 5
- 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
则可选择基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使它们都是次数不超过3的多项式 ,且满足如下条件: 0 ( x0 ) 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 1 (x ) 0 (x ) 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ( x ) 0 ( x ) 1 ( x ) 0 1 0 0 0 1( x0 ) 0 0 0 1( x1 ) 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 1( x1 ) 1 0 0 1
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 xn b
并在每个 xi , xi1 子区间上构造插值多项式，然后 把它们装配在一起，作为整个区间 a, b 上的插值 函数。
3.3 Hermite插值法
x x0 x x1 2 x x 1 y0 1 2 x x x x y1 1 2 x x 1 0 0 0 1 1
x x0 x x 0 1
2
2
x x0 y0
求f ( x)的两点三次插值多项式, 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值.
解:
x0 1, x1 2
0, y1 1 y0 2 , y1 3 y0
2
0 ( x) y1 1 ( x) H 3 ( x) y00 ( x) y11 ( x) y0
2 0
2
x x1 x x0 1 ( x) (1 2l0 ( x)) l ( x) 1 2 x x x x 0 1 1 0
2 1
2
x x1 0 ( x) ( x x0 ) l02 ( x) x x0 x x 1 0
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f
( 4)
( x)在[ x0 , x1 ]上存在且连续时, 上述余项公式成立
2处的函数值为f (1) 2 , f ( 2 ) 3 例1.已知f ( x )在节点1， f ( x )在节点1， 2处的导数值为f (1) 0 , f ( 2 ) 1
( x) y00 ( x) y11 ( x) y0 0 ( x) y1 1 ( x) H3
其中
0 ( x0 ) 1
0 ( x1 ) 0
( x1 ) 0 ( x0 ) 0 0 0
1 ( x0 ) 0
0 ( x0 ) 0
hermite插值法原理
Hermite插值法是一种用于构造多项式插值函数的方法，它可以通过给定的数据点和导数值来构造一个满足这些条件的插值多项式。
Hermite插值法的原理可以分为以下几个步骤：
1. 给定一组数据点和对应的函数值，以及这些数据点处的导数值。
2. 构造一个基函数集合，这些基函数是一组满足插值条件的函数。
常用的基函数是Hermite基函数，它是一组多项式函数。
3. 根据给定的数据点和导数值，利用基函数集合构造插值多项式。
这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中方程组的未知数是插值多项式的系数。
4. 得到插值多项式后，可以使用它来估计在其他点上的函数值。
Hermite插值法的优点是可以通过给定的导数值来更好地逼近原函数的特性，尤其在数据点附近的插值效果更好。
然而，
它的缺点是在数据点之间的插值效果可能不够理想，因为它只是通过给定的数据点和导数值来构造插值多项式，而没有考虑其他可能的信息。
2点三次Hermite插值多项式.
三次Hermite插值多项式的余项
定理 设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存 在四阶导数，则对任意x[a,b] ，总存在一
个(a, b)（依赖于x）使
R3( x) f ( x) H3( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)2
(
x
x1
)2
9
证明: 由插值条件知
3 2
2B
0
P4(1)
1 2
(A
B)
1
解得A=1/4, B=-3/4
故
P4
(x)
1 2
x2
Hale Waihona Puke 3 2x
1 4
(x
3)x(x
1)(x
2)
1 4
x2
(x
3)2
第五节 分段低次多项式插值
一.高次插值的龙格 (Runge)现象
从插值余项角度分析
Rn1( x)
1 0
1(x1) 0
0 (x0 ) 0
0 0
( (
x1 ) x0 )
0 1
0 (x1) 0
1(x0 ) 0
1 ( x1 1( x0
) )
0 0
1(x1) 1
3
两点三次Hermit插值（续2）
其中 0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
都是次数为3的多项式
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
数值分析常用的插值方法
数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。
下面将对这些插值方法进行详细介绍。
一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。
线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。
二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。
通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。
分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。
四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。
利用差商的概念来构造插值多项式。
Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法数学系 信息与计算科学1班 李平指导老师：唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。
本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。
关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。
引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。
用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。
一．任意阶多项式插值：1.用单项式基本插值公式进行多项式插值：多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。
虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。
另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。
2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ）=011011()()()()()()()()i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，…n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()ni i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。
hermit插值法
hermit插值法Hermit插值法是一种常用的数值插值方法，它可以通过已知的数据点来推断未知点的值。
这种方法常用于数值计算、数据分析以及图像处理等领域。
本文将详细介绍Hermit插值法的原理、应用以及优缺点。
一、Hermit插值法的原理Hermit插值法是基于Hermite多项式的插值方法。
Hermite多项式是一组满足特定条件的多项式，可以用来表示插值函数。
在Hermit 插值法中，我们通过已知的数据点构造Hermite插值函数，然后利用该函数来推断未知点的值。
具体而言，Hermit插值法使用两个数据点的函数值和导数值来构造一个二次多项式。
这个多项式不仅要经过这两个数据点，还要满足这两个点的导数值。
通过这样的插值过程，我们可以得到一个更加精确的插值函数。
二、Hermit插值法的应用Hermit插值法在实际应用中有着广泛的用途。
其中，最常见的应用是在数值计算中的函数逼近。
通过Hermit插值法，我们可以根据已知的函数值和导数值来估计未知函数值，从而实现函数逼近的目的。
Hermit插值法还可以用于数据分析和图像处理。
在数据分析中，我们常常需要通过已知数据点来估计未知数据点的值。
通过Hermit插值法，我们可以通过已知的数据点和导数值来推断未知数据点的值，从而实现数据的补全和预测。
在图像处理中，Hermit插值法可以用于图像的放大和缩小。
通过已知的像素点和导数值，我们可以构造一个插值函数，并利用该函数来推断未知像素点的值。
从而实现图像的放大和缩小。
三、Hermit插值法的优缺点Hermit插值法相对于其他插值方法具有一些优点。
首先，Hermit插值法可以提供更高阶的插值函数，从而可以更准确地逼近数据点。
其次，Hermit插值法可以通过导数值来考虑数据点的变化趋势，从而更好地逼近曲线的形状。
然而，Hermit插值法也存在一些缺点。
首先，由于需要计算导数值，Hermit插值法对数据的光滑性要求较高。
如果数据点之间存在较大的波动或者噪声，可能会导致插值结果不准确。
两点三次hermite插值c++程序例题
两点三次hermite插值c++程序例题两点三次Hermite插值是一种数值分析方法，用于在给定的数据点之间估计函数值。
这种方法基于多项式插值，并使用导数信息来提高插值的准确性。
以下是一个C++程序，实现了两点三次Hermite插值：cpp#include <iostream>#include <vector>// 定义一个结构体，用于存储数据点和它们的导数struct Point {double x;double y;double dy;};// 计算两点之间的差值double difference(double a, double b) {return a - b;}// 计算两点之间的差值的平方double squareDifference(double a, double b) {return difference(a, b) * difference(a, b);}// 计算两点之间的差值的立方double cubeDifference(double a, double b) {return squareDifference(a, b) * difference(a, b);}// 两点三次Hermite插值函数double hermiteInterpolation(const std::vector<Point>& points, double x) {double result = 0.0;for (size_t i = 0; i < points.size(); ++i) {double term = points[i].y;double prod = 1.0;for (size_t j = 0; j < points.size(); ++j) {if (i != j) {double weight = cubeDifference(x, points[j].x) / (squareDifference(points[i].x, points[j].x) *squareDifference(x, points[i].x));prod *= weight;}}result += term * prod;}return result;}int main() {std::vector<Point> points = {{1.0, 2.0, 3.0},{2.0, 3.0, 4.0},{3.0, 5.0, 6.0},{4.0, 7.0, 8.0}};double x = 2.5;double y = hermiteInterpolation(points, x);std::cout << "The interpolated value at x = " << x << " is y = " << y << std::endl;return 0;}这个程序首先定义了一个结构体`Point`，用于存储数据点及其导数。
分段三次 hermite 插值多项式的数学表达
分段三次 hermite 插值多项式的数学表达Hermite插值多项式是一种用于在给定的点集上进行插值的数学工具。
与其他插值方法不同的是，Hermite插值多项式不仅考虑了函数在各个插值点上的函数值，还考虑了函数在该点上的导数值。
这使得Hermite插值多项式能够更准确地拟合函数的曲线特征，特别是在存在函数奇点或不连续点的情况下。
要理解Hermite插值多项式的具体数学表达，首先需要了解插值点和插值条件的概念。
设给定的插值点集为{(x0, f0, f'0), (x1, f1, f'1), ..., (xn, fn, f'n)}，其中xi为插值点的横坐标，fi为插值点的纵坐标，f'i为插值点的导数值。
我们的目标是构造一个多项式P(x)，满足以下条件：1.在每个插值点(xi, fi)处，多项式P(x)的函数值等于fi：P(xi) = fi；2.在每个插值点(xi, fi)处，多项式P(x)的导数值等于f'i：P'(xi) = f'i。
根据这些插值条件，我们可以得到Hermite插值多项式的数学表达式。
首先，我们需要定义一个Lagrange插值基函数Lk(x)，用于描述在插值点xi处的多项式P(x)的函数值。
Lagrange插值基函数可以通过以下公式计算得到：Lk(x) = Π(j ≠ k) [(x - xj) / (xk - xj)]其中Π是乘积符号，j和k分别表示插值点的索引。
然后，我们可以构造Hermite插值多项式Hk(x)，它的数学表达式可以通过Lagrange插值基函数和插值点的函数值、导数值得到：Hk(x) = [1 - 2(x - xi)L'i(xi)]Li(x)^2 + (x - xi)Li(x)^2 其中Li(x)表示第i个插值点处的Lagrange插值基函数，L'i(xi)表示第i个插值点处的Lagrange插值基函数的导数值。
两点三次hermite插值例题
两点三次hermite插值例题Hermite插值是一种数值分析方法，用于在给定的数据点上生成一个多项式函数，以便通过这些数据点来近似描述一个函数。
Hermite插值是利用函数值和导数值来进行插值的一种方法，它可以更精确地逼近给定的数据点。
下面我将通过一个例题来说明Hermite插值的过程。
假设我们有以下数据点，(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)，我们要使用Hermite插值来找到通过这些点的多项式函数。
首先，我们需要计算每个数据点的导数值。
因为数据点中有重复的x值，我们需要分别计算每个x值对应的导数值。
对于数据点(1, 2)和(1, 3)，我们可以假设它们对应的导数值分别为2和3；对于数据点(2, 1)和(2, 2)，我们可以假设它们对应的导数值分别为1和2。
接下来，我们将使用这些数据点和导数值来构建Hermite插值多项式。
Hermite插值多项式的一般形式为：\[P(x) = \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1, \ldots, x_i](x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{i-1}) + \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1,\ldots, x_i, x_i](x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{i-1})^2\]其中，\[f[x_0, x_1, \ldots, x_i]\]表示数据点\[x_0, x_1, \ldots, x_i\]处的插值函数值。
这个式子的第一部分表示通过数据点的函数值进行插值，第二部分表示通过数据点的导数值进行插值。
我们可以根据给定的数据点和导数值，计算出Hermite插值多项式。
最终得到的多项式函数就是通过这些数据点进行Hermite插值得到的结果。
总结起来，Hermite插值是一种利用函数值和导数值进行插值的方法，可以更精确地逼近给定的数据点。
通过计算数据点的导数值和使用Hermite插值多项式的公式，我们可以得到一个通过这些数据点的多项式函数。
hermite插值多项式的例题
h e r m i t e插值多项式的例题(总1页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2 例 若()f x 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知()f x 在[,]a b 上两个互异的 点01,x x 上的函数值01(),()f x f x 和一阶导数值'0()f x ，试求满足条件 ''001100()(),()(),()()H x f x H x f x H x f x ===的插值多项式，并估计误差。
解 由给定的3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过2次的埃尔米特插值多项式()H x ，又有()H x 应满足插值条件()()i i H x f x =，(0,1)i =，而节点01,x x 上的线性插值函数1()N x 也满足插值条件1()(),(0,1)i i N x f x i ==，故可设101()()()()H x N x A x x x x -=--，其中A 为待定常数，上式又可记为 101000101()()()()()()[,]()()H x N x A x x x x f x x x f x x A x x x x =+--=+-+--为了确定常数A ，对上式求导，得'0110()[,][()()]H x f x x A x x x x =+-+-，令0x x =代入，且注意插值条件''001010()[,]()()H x f x x A x x f x =+-=, 于是有'01010[,]()f x x f x A x x -=-，即得所求的插值多项式()H x 为 '010********[,]()()()()[,]()()f x x f x H x f x x x f x x x x x x x x -=+-+--- ，当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式()H x 余项为(3)201()()()()6f R x x x x x ξ=--。
用重节点差商法求解3n＋2次Hermite插值问题
用重节点差商法求解3n＋2次Hermite插值问题乐依赟;蔡静【摘要】用重节点差商法求解Hermite插值问题，在已有的成果基础上，针对节点数完全匹配的情况，建立了带导数的Hermite插值公式，进行了相应的误差估计，并通过具体的求解例子与现有的Lagrange基函数法作了比较，显示所用方法的优越性．%This paper mainly considers the Hermite interpolation problems with the method of divided difference at the same node. Based on the existing results, it studies the Hermite interpolation functions with derivative whose number of nodes is completely matching, builds some Hermite interpolating for- mulas with derivatives, and also gives the corresponding error estimate. Some numerical examples are presented to compare the proposed method with the existing Lagrange primary function method to show its advantage.【期刊名称】《湖州师范学院学报》【年(卷),期】2012(034)001【总页数】5页(P27-31)【关键词】Hermite插值;重节点差商法;误差估计【作者】乐依赟;蔡静【作者单位】湖州师范学院理学院,浙江湖州313000;湖州师范学院理学院,浙江湖州313000【正文语种】中文【中图分类】O151.21MSC 2000：65D05Hermite插值是插值函数的一种，广泛应用于经济学、几何学、物理学以及军工等学科领域，其研究具有重要意义.许多文献研究了Hermite插值的不同形式.主要涉及多个节点的Hermite插值、多阶Hermite插值、多次Hermite插值、分段Hermite插值等方面［1～6］.在所查阅的文献中，关于Hermite插值问题的讨论，几乎都是用Lagrange插值基函数法求解的，当节点处的函数值、导数值增加，所有的基函数都必须重新计算，非常不便.本文主要考虑的问题：在节点数完全匹配的带一阶导数的Hermite插值公式的基础上，能否用差商法推出节点数完全匹配的带二阶导数的Hermite插值公式？本文的安排如下：第二节给出3n＋2次完全匹配的Hermite插值公式并进行误差分析.第三节通过数值试验，将所建立的重节点差商法Hermite插值公式与已有的Lagrange基函数法作比较，以说明本文所提出算法的优越性.定义1 设f（x）在［a，b］上具有二阶连续导数，若在互异节点a≤x 0＜x 1＜…＜x n≤b上存在一个不超过3n＋2次多项式H 3n＋2（x），使则称H 3n＋2（x）为3n＋2次Hermite插值多项式.定理1 满足插值条件（1）的插值多项式是存在唯一的，且公式如下：已知f（x）的相关数据如表1所示：试构造不超过5次的Hermite插值多项式.若为f（x）增加一个节点x 2＝2，使f（x 2）＝113，f′（x 2）＝484，f″（x 2）＝1924，试构造不超过 8 次的Hermite插值多项式.解先用文献［6］中提及的Lagrange插值基函数法，构造基函数.因为f（x）在（a，b）上的节点为x 0＝0，x 1＝1，且节点x 0＝0，x 1＝1都是三重节点，所以由文献［6］中（6）、（7）、（15）得：得插值多项式：比较结果：根据实例中两种算法的比较可以发现，本文给出的算法在计算过程中更简便.运用构造Lagrange插值基函数法，当函数f（x）在某一节点处的相关数据发生变化或增加某一节点处的相关数据时，原本所构造的全部基函数都必须重新构造，而重节点差商法，则只需计算发生变化或增加的某一节点的那部分数据即可，计算量大幅减少.MSC 2000：65D05【相关文献】［1］朱琳.Hermite插值多项式的重节点差商表示及其应用［J］.河北理工大学学报（自然科学版），2010，32（4）：116～118.［2］曾长雄.3n＋2次 Hermite插值多项式及插值误差［J］.邵阳学院学报（自然科学版），2010，7（2）：9～12.［3］王景泉，谭冰.带二阶导数的 Hermite插值公式的推导［J］.南阳师范学院学报，2008，7（6）：13～16.［4］杨士俊，王兴华.Hermite插值多项式的差商表示及其应用［J］.高校应用数学学报（A辑），2006，21（1）：70～78.［5］张进军.伪二元函数的 Hermite插值［J］.大学数学，2008，24（5）：98～102.［6］赵易.Hermite插值算子及其误差的Hilbert变换表示［J］.高校应用数学学报，2009，24（1）：86～90.。
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Ａｂ ｔａ ｔ ｎ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ３ ＋ ｒ ｅｓＨｅ ｍｉ ｔｒ ｏ ａｉｎ ｐ ｌｎ ｍｉｌ ａ ｄ ｉ ｔｒ ｏ ａ ｏ ｎ ｒ ｒ ｏ ｓ ｅｅ ． ｌ ｙａ ｅ ｓ ｌｃ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｓ ａ ｅ ． ｎ ２ｏ ｄ ｒ ｒ ｔ ｉ ｅ ｐ ｌ ｔ ｏｙ ｏ ａｓ ｎ ｉ ｅ ｐ ｌｔ ｎ ｅ Ｄ ｅｃ ｎ ｉ ｒ ｄ ＇ ａ ｒ ｔ ｌ－ ｈ ｅｎ ｏ ｓ ｔ ｎ ｉ ａ ｄ ｌｅ ｌ
１ ０
邵 阳 学院 学报 （ 自然科 学版 ）
第 ７卷
其 中 叩ｅ【，】 赖 于 口６ 依
３＋ ｎ ２次 Ｈ ｒ ｉｅ插 值 多项 式 ， 证 明其 存在 唯一 性 ， ｅｍ ｔ 并 最后 给 出 了数值 例 子 ．
关 键 词 ：Ｈｒ ｉｅ插 值 ； 值 误 差 ； 值 例 子 ｅｍｔ 插 数
中图 分 类号 ：０ ４ ２１ 文献标 识 码 ： Ａ
３ ＋ Ｏｒ ｅ ｓＨｅ ｍ ｉ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔｏ ｌ ｎ ｍ ｉ ｌ ｎ ｎ ｅ ｐｏａ ｉ ｎ Ｅｒ ｏ ｎ ２ ｄ ｒ ｒ ｔ Ｉ ｔ ｒ ｏａ ｉ ｎ Ｐｏ ｙ ｏ ａ ｓａ ｄ Ｉ ｔ ｒ ｌ ｔｏ ｒ ｒ ｅ
ｔ ｒｄ ｂ ｓｎ ｔｒ ｏａｉ ｎｂ ｓｃｆ ｎ ｔ ｎ ， ｏ ｈｔ ｅｅ ｉ ｅ ｃ ｎ ｎ ｑ ｅ ｅ ｓａｅｐ ｏ ｅ ， ｍｅ ｅ ｅ ｐ ｒ ｎｓａ ｅｇｖ ｎｆ ａｌ． ｕ ｅ ｙｕ ｉｇ ｉ ｅｐ ｌｔ ａ ｉ ｃｉ ｓ Ｂ ｔ ｘｓ ｎ ｅａ ｄ ｕ ｉ ｕ ｎ ｓ ｒ ｒ ｖ ｄ Ｎｕ ｆ Ｍ ｘ ｅ ｉ ｎ ｏ ｕ ｏ ｈ ｔ ｉ ｍｅ ｔ ｒ ｉｅ ｎ ｌ ｉ ｙ Ｋｅ ｗｏ ￣ ：Ｈｅ ｍｉ ｔｒ ｏａｉ ｎｐ ｌ ｎ ｍｉｌ ；ｎｅ ｐ ｌ ｔ ｎ ｅｒ ｒ ｕ ｒ ａ ｘ ｅ ｉ ｎ ｓ ｙ ｒ ｒ ｔ ｉ ｅｐ ｌｔ ｏｙ ｏ ａ ｓ ｉｔｒ ｏａｉ ｒｏ ；ｎ ｍｅｉ ｌ ｐ ｒ ｅｎ ｏ ｏ ｃ ｅ ｍｅ ｔ
∽ ＝ 一－ ・ ／ 肿∞ ／ ２
ｌ ｆ２ ２ （＋ ｎ）
２ １ １
，
，
则称
（） ２＋ 次 Ｈ ｒ ｉ 插值多项式． ｘ为 ｎ１ ｅ ｔ ｍｅ
（） ４
收稿 日期 ： ２ １ － ４ ２ ０ ０ ０— ０
作 者简 介 ： 曾长雄 （９９ ）男， 职业技术学院ｉ￣， １６－ ， 岳 Ｊｌ － ｉ 主要从事数值分析研究． ｌｉ ：
ａ）－ 毳者 （ ｊ’２ （［（ ｘ１ ３ ）
（ ＝（ Ｘ ） （ — Ｅ，
定 理 １ 设 ２１ 在 ，】 ． ３ ｎ） ＋ ） ６上连续 ，‘ ’ ） ｆ （ 在
定 义 １１ 厂 在 ，】 具 有一 阶连 续 导数 ， ．设 （ ） ６上
已 知 在 互 异 节 点ａ ｘ ＜ ＜… ＜ ０ ｂ 存 在 一 上
值 误 差 ． 有 以下 结 论Ｉ’ １ －：
定 理 １２ 满 足 插 值 条 件 （ ） 的 插 值 多 项 式 ． １
Ｈ （ 存 在 唯一 ， 有 如下 形 式 ） 且
川
（ ＝ ｆｘ ａ ｘ＋ ） （） ∑［ ｊ ｊ ）ｆ （】２ ） （）（ （ ）
ｊｏ ＝
其 中 （ 和 Ｊ（ 都是次数不超过 ２ ＋ 次的多 ） 日 ） Ｉ ｎ１ 项式 ， 若 （ ） 为关 于节点ａ ＜ ＜ ， ６ …＜ 的 第 个 Ｌｇ ｎｅ ａ ａｇ 插值基 函数 ， Ｔ 则有公式
ห้องสมุดไป่ตู้第 ７卷
第２ 期
邵阳学院学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＳ ａ ｙ ｎ ｉｅｓｔｆ ｏ ｒａ ｏ ｈ ｏ ａ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ Ｅ ｉｏ ｙ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ ｄｔ ｎ Ｊ Ｓ ｉ
ＶＯ ． ＮＯ． Ｉ７ ２
２１ ０ ０年 ６月
Ｊ ｎ． ０１ ａ ２ ０
文 章 编 号 ：６ ２ ７ １ （ ０ ０ ０ — ０ ９ ０ １７ — ０ ０ ２ １ ）２ ０ ０ — ４
３＋ ｎ ２次 Ｈ ｒ ｔ ｅｍｉ ｅ插值 多项 式 及 插 值 误 差
曾长雄 目
（ 阳职 业技 术 学 院 ， 南 岳 阳 ４４０ 岳 湖 １００） 摘 要 ：本 文考 虑 ３ ＋ ｎ ２次 Ｈｒ ｉｅ插 值 多项 式及 插 值 误差 ．通 过 构 造 基 函数 的 方 法得 到 一个 ｅｍｔ
（，） ａｂ 内存在 ， 对任 何 ∈［，］２＋ 则 口 ｂ ，ｎ １次 Ｈ ｒ ｅ —
ｍｉ 插 值 多项 式有 如 下插 值 误 差 ： ｔ ｅ
个 不 超 过 ２ ＋ 次 多 项 式 ： ｎ１
． ，
）使 ， ｊ ０１ （ ） ＝， 一 １
）／ ） ＝ ，
＋ ）厂 ． ＝
‘ 、
Ｚ ＮＧ Ｃ ｏ ｇ ｘｏ ｇ Ｅ ｈｎ － ｉ ｎ
（Ｄ ｐ ｒ ｅ ｔｆｈ ｏｍ ｔ ｎＥ ｇ ｅ ｒ ｇ Ｙ ｅａｇ Ｖｃｔ ｎｌ ｅｈ ｉ ｌ ｏｌ ｅ Ｙ ｅａｇＣ ｉ １０ ０） ｅａｔ ｎ ｔ ｒ ａｉ ｎ ｉ ｅｉ ， ｕｙｎ ｏａｉ ａ ｃｎ ａ Ｃ ｌ ｇ， ｕｙｎ ，ｈｎ ４ ４ ０ ｍ ｏ ｆ ｏ ｎ ｎ ｏ Ｔ ｃ ｅ ａ
１ 问 题 的提 出
在构造插值 函数时 ， 如果不仅要 求插值 函数 在节点上 函数值 与被插值 函数 的值相 同， 还要求 在节点 上函数值 与被插值 函数 的若干 阶导 数值 也相 同， 足这样要求的插值 多项式称为埃尔米 满
特 （ ｅｍｉ ） 值 多项 式 ． 它 已 经 广 泛 的应 用 于 Ｈｒ ｔ 插 ｅ 测 量 、 二 等 学 科 中． 目前 大 多数 教 材 ， ［，］ 军 ［ 如 ６ ７ 等 主 要 介 绍 了 ２＋ ｎ １次 Ｈ ｒ ｔ 值 多 项 式 及 插 ｅ ｅ插 ｍｉ