全国青年教师优质课大赛课件《数学归纳法》

合集下载

2.3.1数学归纳法PPT优秀课件

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•（2k+1)(2k+2)
k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立．由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立．
21.05.2019
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑整理 heishu800101@
验证n=n0时命题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑整理 heishu800101@
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
n＝k时
命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1
时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、

《数学归纳法》课件

《数学归纳法》课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。

本节课主要介绍了数学归纳法的概念、步骤以及应用。

具体内容包括：1. 数学归纳法的定义：给出一个关于自然数的命题，然后证明当n取任意一个自然数时，这个命题都成立。

2. 数学归纳法的步骤：(1) 验证当n=1时，命题是否成立；(2) 假设当n=k时，命题成立；(3) 证明当n=k+1时，命题也成立。

3. 数学归纳法的应用：通过具体例题，让学生学会如何运用数学归纳法证明命题。

二、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤。

2. 培养学生运用数学归纳法证明命题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。

难点：如何运用数学归纳法证明命题。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：笔记本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生举例说明生活中遇到的可以运用数学归纳法解决的问题。

2. 讲解数学归纳法的概念和步骤：通过PPT展示数学归纳法的定义和步骤，并进行解释。

3. 例题讲解：选取一道具有代表性的例题，引导学生运用数学归纳法进行证明。

4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。

5. 板书设计：将数学归纳法的步骤和关键点进行板书，以便学生理解和记忆。

6. 作业设计：题目1：用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。

答案：略。

题目2：用数学归纳法证明：对于任意自然数n，n^2+n+41是一个质数。

答案：略。

七、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对数学归纳法的理解和运用情况，以及教学过程中的不足之处。

2. 拓展延伸：引导学生思考如何将数学归纳法应用于解决更复杂的问题，以及数学归纳法在数学发展史上的应用。

重点和难点解析一、教学内容重点和难点解析：本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。

选修4-5《数学归纳法》课件

05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证明一个复杂的数学问题。通过解答这道题，学生可以巩固数学归纳法的应用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时，需要验证从第k项到第k+1项的递推关系是否成立，以确保整个性质的正确性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行推导。

第四讲一数学归纳法(优秀经典公开课比赛课件)

解析：当 n＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k2，当 n＝k＋1 时左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2. ∴增添的式子为(k＋1)2.
答案：(k＋1)2
人教A版数学·选修4-5
返回导航
上页
下页
3．数列{an}中，已知 a1＝1，当 n≥2(n∈N＋)时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2， a3，a4 后，猜想 an 的表达式是________．
[答案]
D
人教A版数学·选修4-5
返回导航
上页
下页
[规律探究]
(1)认清待证命题的结构特征、分清项数与 n 之间的关系是用数学归
纳法的基本条件，常见错误有：①没有认清 n0 是什么；②不会确定 n＝n0 时的具体情形；③误认为 f(n)中就一定有 n 项；④误认为 f(n＋1)的最后一项就是由 f(n) 变到 f(n＋1)时增加的项． (2)证明 n＝k＋1 时命题成立的过程中必须用上归纳假设，即把 n＝k 时的命题作为必备的已知条件，只有用上这个条件并推出 n＋1 时的命题成立才正确；如果推证 n＝k＋1 时命题成立的过程中没用上归纳假设，即使符合数学归纳法证题格式也不是数学归纳法.
当 n＝k＋1
1 1 1 1 时，1－41－9…1－k21－k＋12
1 k＋1 k＋1 kk＋2 1－＝ · 2＝ k ＋ 1 2k 2 k k＋12 k＋2 k＋1＋1 ＝＝ . 2k＋1 2k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意 n≥2，n∈N＋等式成立．
人教A版数学·选修4-5
返回导航
上页
下页
运用数学归纳法证题的常见错误 [典例] 1 A. 3n＋2 1 1 C. ＋ 3n＋1 3n＋2 1 1 1 设 f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N＋)，则 f(n＋1)－f(n)等于( 2 3 3n－1 1 1 B．＋ 3n 3n＋1 1 1 1 D．＋＋ 3n 3n＋1 3n＋2 )

数学归纳法完整PPT课件

n=k+1时应增加的式子； 3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
.
12
.
13
则当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为

数学归纳法公开课一等奖课件

根据1和2,数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1, S 2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 , 猜出Sn的表达式, 并用数学归纳法进行证明 . 1 1 1 1 2 解 S1 ; S2 ; 1 4 4 4 47 7 2 1 3 3 1 4 S3 ; S4 . 7 7 10 10 10 10 13 13
2.3
数学归纳法
学习归纳法是一种特殊的证明方法, 主要用于研究 an ,已知与正整数有关的数学问题.例如, 对于数列 an n 1,2, , 通过对n 1,2,3,4前4 a1 1, an1 1 an 1 项的归纳 , 我们已经猜想出其通项公式为an .但 n 是, 我们只能肯定这个猜想对前4项成立,而不敢肯定对后续的项也成立 .这个猜想需要证明 . 自然地, 我们会想到从n 5开始一个个往下验证 . 一般来说,与正整数n有关的命题,当n比较小时可以逐个验证, 但当n较大时, 验证起来会很麻烦 .特别是证明n 取所有正整数都成立的命题时, 逐一
1 思考你认为证明数列的通项公式是an 这个 n 猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗? 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?
由条件, 容易知道 n 1时猜想成立 . 这就相当于游戏的条件 1.类比条件 2,可以考虑证明一个递推关系 : 1 如果 n k时猜想成立 , 即ak ,那么当 n k 1时 k 1 猜想也成立 ,即ak 1 . k 1 1 1 ak 1 k 事实上,如果 ak ,那么 ak 1 , k 1 ak 1 1 k 1 k
即n k 1时猜想也成立 .

完整版《数学归纳法》课件

完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。

2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在实际问题中的应用。

教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及注意事项。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：以“楼梯问题”为例，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。

2. 知识讲解：a. 介绍数学归纳法的概念。

b. 详细讲解数学归纳法的证明步骤。

c. 分析数学归纳法在实际问题中的应用。

3. 例题讲解：讲解数学归纳法在数列求和、不等式证明等方面的应用。

4. 随堂练习：布置23道数学归纳法相关的练习题，让学生独立完成。

5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的重点和注意事项。

六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：a. 数学归纳法的概念b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用d. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明：对于任意正整数n，有2^n > n。

c. 应用数学归纳法解决实际问题。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的理解和掌握程度，以及课堂互动情况。

2. 拓展延伸：a. 探讨数学归纳法在更广泛领域中的应用。

b. 引导学生了解数学归纳法的局限性。

c. 介绍数学归纳法的其他变体，如强数学归纳法、反向数学归纳法等。

重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 数学归纳法在实际问题中的应用2. 数学归纳法的证明步骤及注意事项3. 实践情景引入的设计与例题讲解的深度二、重点和难点解析1. 数学归纳法在实际问题中的应用a. 选择合适的实际问题作为例子，让学生感受数学归纳法的实用价值。

b. 通过分析问题，引导学生发现数学归纳法的应用场景，从而理解其内涵。

高中数学数学归纳法优质课PPT课件

所有多米若骨牌全部倒下
第6页
归纳小结
第7页
一般的，证明某些与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)验证当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立, 【归纳奠基】
(2)假设当n=k(kn0, kN*)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
【归纳递推】
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法
大胆猜想
第2页
任一大于2的偶数都可写成两个素数之和
——哥德巴赫猜想
6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 …… 1000=29+971 1002=139+863 ……
归纳推理（大胆猜想）
大胆猜想
小心求证
第3页
归纳推理
小心求证
第4页
思考：这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？
验证n=n0时命题成立
பைடு நூலகம்
若当n=k(kn0)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所有正整数n都成立。
大家来找茬
第8页
大家来找茬
第9页
练一练
第 10 页
练一练
第 11 页
练一练
第 12 页
谢谢
敬指请
导
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相临两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
所有多米若骨牌全部倒下
小心求证
第5页
思考：这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？
（1）第一块骨牌倒下；

数学归纳法【公开课教学PPT课件】

因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,�� = 1,
猜想
an=
3 2��-1

全国青年教师优质课大赛课件《数学归纳法》(推荐)

其中n N*.
知识应用巩固深;22+23+…+2n—１ = 2n－1(n∈ N*).
回顾总结反思提高
勇攀高峰
数学思想：递推思想、类比思想、归纳思想
数学方法：数学归纳法—— 证明与正整数有关的命题
数学知识：数学归纳法要点：两个步骤一结论
布置作业
课本：第95页练习 1、2 第96页习题2.3A组 1
1 2 3 4 …… k K+1 ……
…… n=1时 a1 1
猜想成立
如果n=k时猜想成立即ak
2 k 1
那么当n=k+1时猜想也成立，即
ak 1
(k
2 1)
1
第一项成立
第k项成立，第k+1项成立．
演示
证明一个与正整数有关的命题步骤如下：
(1) 证明当n取第一个值n = n0 n0 N* 时命题成立
谢谢合作再见！
1.知道空气的质量相对很轻，并且空气的质量是可以测量的。掌握测量空气质量的实验方法。 2.经历测量一袋空气的实验，培养细致、认真观察记录的能力，学会运用思辨的方法获得科学概念。 3.经历实验探究，体会科学实验的趣味性与严谨性. 4.认识地球是不透明、不发光的球体，在阳光照射下会产生昼夜交替现象。 5.知道昼夜交替现象有多种可能的解释。 6.初步理解昼夜交替现象与地球和太阳的相对圆周运动有关。 7.认识到积极参与讨论，并发表有根据的解释是重要的。 8.认识到同一现象，可能有多种不同的解释，需要用更多的证据来加以判断。
递推奠基

数学归纳法说课课件PPT

数学归纳法说课课件
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识传授、方法指导和能力培养等方面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容

数学归纳法公开课课件

（ 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
课堂小结
1
右边＝
1 等式成立。
1 3 5 ........... (2k 1) [2(k 1) 1]
[1 2( k 1) 1]( k 1) 2 ( k 1) 2 即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。
第二步证明
中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。
数学归纳法
课题引入
观察数列 {an },已知a1 1, an1 1 1 a2 , a3 , a 1 , 4 2 3 4
an , 1 an
1 猜想归纳通项公式 : an n
不完全归纳法
回想等差数列通项公式的推导过程：
a2 a1 d
a2 a1 1d
a3 a2 d a4 a3 d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知等式对任何 n N 都成立

例2
证明：①当n=1时，左边＝
1 3 5 .......... (2n 1) n
用数学归纳法证明:当
n N

2
②设n=k时，有 1 3 5 ......... (2k 1) k 2 则，当n=k+1时