浙江省杭州市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

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2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁RB）=（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．175．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±647．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S138．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．201512．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016= ．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）的取值范围．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A 1B 1=x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上．（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A、C、D错误，利用反证法说明B正确．【解答】解：a、b为非零实数，且a＜b．当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2＞b2，故A错误；若a＜0，b＞0，则＜；若a＜b＜0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立；若b＞a＞0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立．综上，＜，故B正确；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2b＞ab2，故C错误；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但，故D错误．故选：B．2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁B）=（）RA．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：A={x|x2≥1}={x|x≤﹣1或x≥1}，由，得0＜x≤2，∴={x|0＜x≤2}，∴∁RB={x|x≤0或x＞2}，∴A∩（∁RB）=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：C．3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理可得A，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=，又bc=2，∴△ABC的面积S=sinA==，故选：D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得：an+3=an，再利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=﹣（n∈N*），∴a2=﹣，同理可得：a3=，a4=3，…，∴an+3=an，∴a16=a1=3，能使an=3的n可以等于16．故选：C．5．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意设a=7k、b=4k、c=5k（k＞0），由余弦定理求出cosA的值，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简所求的式子，可得答案．【解答】解：∵，∴设a=7k、b=4k、c=5k，（k＞0）在△ABC中，由余弦定理得cosA==，由正弦定理得===，故选：C．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{an }，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．7．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S13【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a6=1，从而利用等差数列的前n项和公式能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和记为Sn，a2+a6+a10=3，∴3a6=3，解得a6=1，∴．∴各和数S6，S11，S12，S13中可确定值的是S11．故选：B．8．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．【解答】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣bc，即（b﹣c）2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列【考点】87：等比数列．【分析】可根据数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），求出a1，以及n≥2时，an，再观察，t等于多少时，{an}是等比数列即可．【解答】解：∵数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t为常数），∴a1=s1=2+t，n≥2时，an =sn﹣sn﹣1=2n+t﹣（2n﹣1+t）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1当t=﹣1时，a1=1满足an=2n﹣1故选：B10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立，利用判别式小于0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立∴[2（3﹣m）]2﹣4×2×（3﹣m）＜0，故m的取值范围为（1，3）．故选：A．11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．2015【考点】8F：等差数列的性质．【分析】正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，可得a1+a2015=2=a2+a2014，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，∴a1+a2015=2=a2+a2014，则=（a2+a2014）=≥=2，当且仅当a2=a2014=1时取等号．故选：B．12．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数Z=+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则Z=+=3t+，∵3t+≥2=2，当且仅当3t=，即t=时取等号，故a≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为{x|x＜3} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立，x≥2时，x﹣＜，解得：2≤x＜3，综上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案为：{x|x＜3}．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016=18 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．根据{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2013=，a2014=．q=3．即可得出．【解答】解：由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．∵{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴a2013=，a2014=，∴q=3．∴a2015+a2016=q2（a2013+a2014）=18．故答案为：18．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=bcsinA，利用基本不等式可得最大值．【解答】解：向量，，∵，∴b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=0．得：b2﹣bc=﹣c2+a2．即﹣a2+b2+c2=bc由余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA可是：bc=2bccosA．∴cosA=．∵0＜A＜π∴A=又b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．∴b+c，（当且仅当b=c时取等号）可得：bc≤．则△ABC面积S=bcsinA≤=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1} …（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n=2n+1+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到Tn．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此an =a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即an=2n+1．（Ⅱ）依题意，．Tn =b1+b2+…+bn=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差数列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化积、诱导公式等即可得出．（2）由，可得A﹣C=2A﹣，再利用倍角公式即可化为2sin2A﹣1+cos（A﹣C）=，由于，可得＜π，即可得出．【解答】解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），sinB ≠0，∴cosB=，B=．（2）∵，∴A﹣C=2A﹣，∴=，∵，∴＜π，∴＜≤1，∴2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知米∴=（2）当且仅当，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上．（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和；8I ：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n 项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a n }的通项公式，根据{b n }的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T n 是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a n =s n+2，当n=1时，a 1=2，当n ≥2时，有2a n ﹣1=s n ﹣1+2，两式相减，整理得a n =2a n ﹣1即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上得出b n ﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n =2，即数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，因此b n =2n ﹣1．（Ⅱ）B n =1+3+5+…+（2n ﹣1）=n 2 ∴=．（Ⅲ）T n =①②①﹣②得∴又∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．。

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【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于
x 的不等式，解出即可．
【解答】解：由题意得： 1﹣x2＞ 0，解得：﹣ 1＜x＜ 1，
故函数的定义域是（﹣ 1， 1），
故选： A ．
5．若 3x=2 ，则 x= （
）
A ． lg3 ﹣ 1g2 B ．lg2 ﹣ 1g3 C．
【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】把所求式子中的角 150°变为 180°﹣30°，利用诱导公式 cos=﹣ cosα化简后，再根据特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解： cos150° =cos = ﹣ cos30°
=﹣ ．故选 D
4．函数 f（ x）=ln
的定义域是（
）
A ．（﹣ 1， 1） B． [ ﹣ 1， 1] C ． [ ﹣ 1， 1） D．（﹣ 1， 1]
C．
D．
4．函数 f（ x）=ln
的定义域是（
）
A ．（﹣ 1， 1） B． [ ﹣ 1， 1] C ． [ ﹣ 1， 1）
5．若 3x=2 ，则 x= （
）
D．（﹣ 1， 1]
A ． lg3 ﹣ 1g2 B ．lg2 ﹣ 1g3 C．
D．
6．设向量 =（ x， 1）， =（ 1， y），若 ? =0，则（
）
A．| | ＞| |
B． | | ＜ | |
C． | | =| | D． =
7．设 x 0 为方程 2x+x=8 的解．若 x 0∈（ n，n+1）（ n∈ N *），则 n 的值为（
）
A ． 1 B． 2 C． 3 D． 4
8．要得到函数 f（ x） =2sin（ 2x﹣ （）

浙江省杭州市七校联考2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

浙江省杭州市七校联考2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（3分）下列中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同3．（3分）若，且，则锐角α=（）A．15°B．30°C．45°D．60°4．（3分）函数y=﹣cos2x，x∈R是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数5．（3分）函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）6．（3分）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．7．（3分）己知P1（2，﹣1）、P2（0，5）且点P在P1P2的延长线上，，则P点坐标为（）A．（﹣2，11）B．（，3）C．（，3）D．（2，﹣7）8．（3分）化简的结果是（）A．﹣cos1 B．c os1 C．cos1 D．﹣cos19．（3分）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形10．（3分）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）sin420°=．12．（4分）sin2α=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为．13．（4分）满足的x的集合为．14．（4分）已知，则的值为．15．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为．16．（4分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜α＜β＜，则β=．17．（4分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．三、解答题（共4大题，满分42分）18．（8分）已知=，α∈（，π）（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．19．（10分）已知||=4，||=8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k为何值时，？20．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx）．函数f（x）=．（1）求f（x）的对称轴．（2）当时，求f（x）的最大值及对应的x值．21．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x，g（x）=，其中a，b为非零实常数．（1）如何由f（x）的图象得到函数y=2sin2x的图象？（2）若f（α）=1﹣，，求α的值．（3）若x∈R，讨论g（x）的奇偶性（只写结论，不用证明）．浙江省杭州市七校联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（3分）下列中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同考点：象限角、轴线角．专题：证明题．分析：根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断．解答：解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A 不对；B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对；C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确；D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对．故选C．点评：本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断．3．（3分）若，且，则锐角α=（）A．15°B．30°C．45°D．60°考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出算式，求出α的值．解答：解：∵，且，∴×﹣sinαcosα=0，∴sinαcosα=；即sin2α=1；又α为锐角，∴2α=90°，∴α=45°．故选：C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了三角函数求值运算问题，是基础题目．4．（3分）函数y=﹣cos2x，x∈R是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用余弦函数的周期公式与奇偶性即可得到选项．解答：解：∵函数y=﹣cos2x为偶函数，且其周期T==π，∴函数y=﹣cos2x为最小正周期为π的偶函数，故选B．点评：本题考查余弦函数的奇偶性与周期公式，属于基础题．5．（3分）函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）考点：复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．解答：解：令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为（k∈Z），故选D．点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，属于基础题．6．（3分）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三角函数值，求出A+B的大小，然后求出C的值即可．解答：解：由tanA+tanB+=tanAtanB可得tan（A+B）==﹣=因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°故选A点评：本题考查两角和的正切函数，考查计算能力，公式的灵活应用，注意三角形的内角和是180°．7．（3分）己知P1（2，﹣1）、P2（0，5）且点P在P1P2的延长线上，，则P点坐标为（）A．（﹣2，11）B．（，3）C．（，3）D．（2，﹣7）考点：线段的定比分点．专题：计算题；平面向量及应用．分析：画出图形，结合图形得出=﹣2，设出点P的坐标，利用向量相等，求出P 点坐标．解答：解：如图所示，P1（2，﹣1）、P2（0，5），且点P在P1P2的延长线上，，∴=﹣2设P（x，y），则（x﹣2，y+1）=﹣2（﹣x，5﹣y），即，解得；∴P点坐标为（﹣2，11）．故选：A．点评：本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．8．（3分）化简的结果是（）A．﹣cos1 B．c os1 C．cos1 D．﹣cos1考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：直接利用二倍角公式化简，消去常数1，即可得到选项．解答：解：.==cos1．故选C点评：本题是基础题，考查三角函数的二倍角公式的应用，注意角的范围三角函数的值的符号，考查计算能力，常考题型．9．（3分）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由题意利用成立的关系式，转化为向量相等，通过向量不共线，列出方程，推出三角形的边长关系，判断三角形的形状．解答：解：由题意在△ABC中，P是BC边中点可知，即∴，，∵不共线，∴，∴a=b=c．故选C．点评：本题利用向量的关系，考查判断三角形的形状的问题，考查分析问题解决问题的能力．10．（3分）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）sin420°=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可求解．解答：解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．12．（4分）sin2α=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为﹣．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系求出（cosα﹣sinα）2，然后由角的范围求出结果．解答：解；∵sin2α=2sinαcosα=sin2α+cos2α=1∴（cosα﹣sinα）2=1﹣=∵＜α＜∴cosα﹣sinα=﹣故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．13．（4分）满足的x的集合为{x|+2kπ＜x＜+2kπk∈z}．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的图象，找到所对应的正弦函数值，进而根据正弦函数的单调性求得x的范围，即不等式的解集．解答：解：∵sin=，sin=，∴由正弦函数的图象和性质可得：在一个周期内上，sinx＞，可解得：＜x＜，∴可得：2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，故不等式的解集为{x|+2kπ＜x＜+2kπk∈z}故答案为：{x|+2kπ＜x＜+2kπk∈z}点评：本题主要考查了正弦函数的图象．考查了学生对正弦函数单调性及数形结合的数学思想的运用，属于基本知识的考查．14．（4分）已知，则的值为．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解答：解：由于已知，则=﹣cos（α﹣+）=﹣cos（α+）=，故答案为：．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．15．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用在方向上的投影=即可得出．解答：解：∵=﹣8+21=13，==．∴在方向上的投影===．故答案为：．点评：本题考查了向量的投影，属于基础题．16．（4分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜α＜β＜，则β=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由α和β的范围，求出β﹣α的范围，然后由cosα和cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和sin（β﹣α）的值，然后由β=（β﹣α）+α，利用两角和的余弦函数公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可求出β的度数．解答：解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×+×=，所以β=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．做题时注意角度的变换．17．（4分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．解答：解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共4大题，满分42分）18．（8分）已知=，α∈（，π）（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式整理求出tanα的值即可；（Ⅱ）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）由=，整理得：3tan2α﹣2tanα﹣1=0，即（3tanα+1）（tanα﹣1）=0，解得：tanα=﹣或tanα=1，∵α∈（，π），∴tanα＜0，∴tanα=﹣；（Ⅱ）∵tanα=﹣，∴原式===．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．（10分）已知||=4，||=8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k为何值时，？考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于，•=0，展开即可得出．解答：解：（1）=cos120°==﹣16．||===4．（2）∵，∴•=+=0，∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）=0，化为k=﹣7．∴当k=﹣7值时，．点评：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx）．函数f（x）=．（1）求f（x）的对称轴．（2）当时，求f（x）的最大值及对应的x值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）利用数量积公式求出f（x），然后利用三角函数的倍角公式化简，令复合角为k，求出x；（2）利用（1），判断复合角的范围，结合正弦函数的有界性求最值．解答：解：（1）由已知得到f（x）==2（sinxcosx+cos2x）﹣1=sin2x+cos2x= (4)令2x+=k，k∈Z，解得． (7)（2）由（1）得∵，∴， (9)∴当时，即时f（x）的最大值为2． (12)点评：本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的化简和性质；正确化简三角函数式是解答的关键．21．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x，g（x）=，其中a，b为非零实常数．（1）如何由f（x）的图象得到函数y=2sin2x的图象？（2）若f（α）=1﹣，，求α的值．（3）若x∈R，讨论g（x）的奇偶性（只写结论，不用证明）．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简已知解析式可得f（x）=1+2sin（2x+），由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．（2）由已知可得sin（2）的值，由角α的范围，可求2的范围，从而可求α的值．（3）由已知可求，分b=，或两种情况由奇偶性的定义即可讨论g（x）的奇偶性．解答：（本题满分12分）解：（1）∵由已知，….1分∴f（x）=2sin（2x+）+1f（x）=2sin2x+1f（x）=2sin2x． (3)分（2）由….4分∵…5分∴…7分（3）由已知，得，…10分∴g（x）是奇函数….11分，∵g（﹣x）≠﹣g（x）且g（﹣x）≠g（x）∴g（x）既不是奇函数，又不是偶函数．….12分（没有证明不扣分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．。

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2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。

浙江省嘉兴市2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试卷Word版含解析

浙江省嘉兴市2017-2018学年下学期期中统一考试高一数学试卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合下列角中，终边在y轴非正半轴上的是（）A．B．C．πD．2．化简sin690°的值是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．D．﹣3．若点P（﹣3，4）在角α的终边上，则cosα=（）A．B．C．D．4．若cosθ﹣3sinθ=0，则tan（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣2 C．D．25．已知，则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．6．已知sin（α）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．7．y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．y=1+sin（2x+）D．y=cos2x8．如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x| D．y=﹣|sinx|9．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=sin（2x﹣）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．011．设函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．3π12．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=45°，C=120°，b=2，则c=（）A．1 B．C．2 D．13．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°14．方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根15．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（）A．B．C．D．16．已知函数y=2cosx（0≤x≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（）A．4 B．8 C．2πD．4π17．在△ABC，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形18．函数y=e|x|•sinx的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．角度制与弧度制的互化：210°=；﹣．20．化简f（α）== ．21．将函数f（x）=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到的新图象的函数解析式为g（x），g（x）的单调递减区间是．22．若锐角△ABC的面积为10，且AB=8，AC=5，则BC等于．三．解答题：（本大题共3小题，共31分）23．已知角α的终边过点（3，4）．（Ⅰ）求sinα，cosα的值；（Ⅱ）求的值．24．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．25．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．浙江省嘉兴市2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合下列角中，终边在y轴非正半轴上的是（）A．B．C．πD．【考点】G1：任意角的概念．【分析】直接写出终边落在y轴非正半轴上的角的集合得答案．【解答】解：终边落在y轴非正半轴上的角的集合为A={α|α=+2kπ}，取k=0，得α=．故选：D．2．化简sin690°的值是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．D．﹣【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式计算即可．【解答】解：sin690°=sin=﹣sin30°=﹣0.5，故选：B．3．若点P（﹣3，4）在角α的终边上，则cosα=（）A．B．C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得cosα即可．【解答】解：∵角α的终边上一点P（﹣3，4），∴|OP|==5，∴cosα==﹣，故选：A．4．若cosθ﹣3sinθ=0，则tan（θ﹣）=（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵cosθ﹣3sinθ=0，可得：tanθ=，∴tan（θ﹣）===﹣．故选：A．5．已知，则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简已知的等式，求出tanα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，根据α∈（，），得到α的具体范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵tan（α﹣π）=tanα=﹣＜0，且α∈（，），∴cosα=﹣=﹣，α∈（，π），∴sinα==，则sinα+cosα=﹣=﹣．故选：C．6．已知sin（α）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故选：A．7．y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．y=1+sin（2x+） D．y=cos2x【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos2x 的图象；再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：A．8．如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x| D．y=﹣|sinx|【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．【解答】解：观察图象知：在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B；又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；故选C．9．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【考点】HA：余弦函数的单调性．【分析】由关于x轴的对称性可知，函数的增区间为函数的减区间，根据余弦函数的单调递减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到所求函数的递增区间．【解答】解：由题意可知，的单调递减区间为（k∈Z），即2kπ≤﹣≤2kπ+π，解得：4kπ+π≤x≤4kπ+π，则函数的单调递增区间是．故选D10．函数f（x）=sin（2x﹣）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．0【考点】HW：三角函数的最值．【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．【解答】解：由题意x∈，得2x∈，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为．故选B．11．设函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．3π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】先由两角和的正弦函数公式求出函数解析式，即可由三角函数的周期性及其求法求值．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），∴T==2π，故选：C．12．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=45°，C=120°，b=2，则c=（）A．1 B．C．2 D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和正弦定理直接求出边c即可．【解答】解：由题意得，B=45°，C=120°，b=2，则由正弦定理得，所以c==，故选：D．13．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°【考点】HP：正弦定理．【分析】将已知代入正弦定理即可直接求值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===．∵0＜B＜180°，∴B=60°或120°，故选：B．14．方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根．【解答】解：方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx在（﹣∞，+∞）内交点的个数，如图，可知只有2个交点．故选C15．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调性可知当＜α＜，时，则cosα﹣sinα＜0，于是可对所求关系式平方后再开方即可．【解答】解：∵＜α＜，∴cos α＜sin α，即cos α﹣sin α＜0，设cos α﹣sin α=t （t ＜0），则t 2=1﹣2sin αcos α=1﹣=，∴t=﹣，即cos α﹣sin α=﹣．故选：D ．16．已知函数y=2cosx （0≤x ≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（） A ．4B ．8C ．2πD ．4π【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】画出函数y=2cosx （0≤x ≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，作出y=﹣2的图象，容易求出封闭图形的面积．【解答】解：画出函数y=2cosx （0≤x ≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形如图：显然图中封闭图形的面积，就是矩形面积的一半， =4π．故选D ．17．在△ABC ，已知acosA=bcosB ，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】HP ：正弦定理．【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB 的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B ，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，所以△ABC为等腰或直角三角形．故选：D．18．函数y=e|x|•sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后通过函数的特殊点判断即可．【解答】解：函数y=e|x|•sinx，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、C，当x∈（0，π），函数y=e|x|•sinx＞0，函数的图象在第一象限，排除D，故选：A．二．填空题：（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．角度制与弧度制的互化：210°=；﹣﹣450°．【考点】G5：弧度与角度的互化．【分析】直接由180°=π换算得答案．【解答】解：∵180°=π，∴1，，则210°=210×=；．故答案为：；﹣450°．20．化简f（α）== ﹣cosα．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简f（α）的解析式，可得结果．【解答】解：f（α）===﹣cosα，故答案为：﹣cosα．21．将函数f（x）=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到的新图象的函数解析式为g（x）=sin（2x+），g（x）的单调递减区间是（kπ+，kπ+），k∈Z ．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用三角函数的伸缩变换将y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）图象，再利用平移变换可得g（x）的函数解析式，进而利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）图象，再将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为g（x）=sin=sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得g（x）的单调递减区间是：（kπ+，kπ+），k∈Z．故答案为：=sin（2x+），（kπ+，kπ+），k∈Z．22．若锐角△ABC的面积为10，且AB=8，AC=5，则BC等于7 ．【考点】HP：正弦定理．【分析】利用三角形面积计算公式与余弦定理即可得出．【解答】解：∵ bcsinA=sinA=10，解得sinA=，A为锐角．∴．∴a2=52+82﹣2×5×8cosA=49，解得a=7．故答案为：7．三．解答题：（本大题共3小题，共31分）23．已知角α的终边过点（3，4）．（Ⅰ）求sinα，cosα的值；（Ⅱ）求的值．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）由于角α的终边过点（3，4），可得 x=3，y=4，r=5，即可求出sinα，cosα的值；（Ⅱ）先化简，再代入计算求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的终边过点（3，4），∴x=3，y=4，r=5，∴sinα=，∵cosα=；（Ⅱ）==．24．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由图形可确定A，周期T，从而可得ω的值，再由f（）=2，得2×+φ=+2kπ（k∈Z），进一步结合条件可得φ的值，即可解得f（x）的解析式，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由正弦函数的图象和性质，由2x+=2kπ﹣（k∈Z），即可解得函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象可得A=2，最小正周期T=2（）=π，得ω=2，可得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+φ），又f（）=2，所以sin（+φ）=1，由于|φ|＜，可得φ=，所以函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由于2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），所以函数f（x）的单调递增区间为：（k∈Z），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）的最小值为﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣函数f（x）取最小值﹣2时，有2x+=2kπ﹣（k∈Z），可得：x=kπ﹣（k∈Z），所以函数f（x）取最小值﹣2时相应的x的值是：x=kπ﹣（k∈Z）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣25．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．。

浙江省杭州市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案

浙江省杭州市2017-2018学年下学期期中考试高一数学试卷一．选择题（每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，已知120a =，前n 项和为n S 且813S S =，当n S 取得最大时n 的值为（） A ．9 B ．10 C ．12 D ．10或112．关于x 的不等式，2|1||2|1x x a a -+-≤++的解集为空集，则a 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（－1，0）C ．（1，2）D ．(,1)-∞-3．已知5sin()413x π+=-，则sin 2x 的值等于（）A ．120169B ．119169C ．120169-D ．119169-4．在ABC ∆中2cos 22B a c c+=（a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边），则ABC ∆的形状为（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 5．在数列{}n a 中，1112,n(1)n n a a a l n+==++，则n a 等于（）A ．2n l n +B ．2(1)n n l n +-C ． 2n nl n +D ．1n n l n ++ 6．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =，则14m n+的最小值为（）A ．32 B ．53 C ．256D ．不存在 7．设0,0a b >>，则以下不等式中不恒成立是（）A ．|1||5|6x x --+≤B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D≥8．数列{}n a 的通项公式为2n a kn n =+满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．11(,)317--B ．11(,)917--C ．11(,)311--D ．11(,)911-- 二．填空题（第9题每空2分，10－12题每空3分，13－15题每空4分，共36分） 9．α为第三象限角，3cos 25α=-，则s i n2_______α=，tan(2)_________4πα+=，在以sin 2α为首项，tan(2)4πα+为公差的等差数列{}n a 中，其前n 项和达到最大时__________.n =10．设,a b 都是正数，且22260a b a b +--=，则11a b +的最小值为__________，此时ab 值为__________. 11．在四边形ABCD 中，已知,A DD C A BB C ⊥⊥,1,2,120ABAD BAD ==∠=︒，则______,___B D AC == 12．已知数列{}n a 满足111,31nn n a a a a +==+，则_________n a =，若1n n n b a a +=，则n b 的前n 项和为_____________.13．数列{}n a 的前n 项和为n S 数列{}n a 的各项按如下规则排列11212312,,,,,,,23344455, 341,,,556若存在正整数k ，使110,10k k S S +<≥，则__________.k a =14．已知αβ、均为钝角，sin 510αβ==，则_________.αβ+= 15．关于x 的不等式229|3|x x x kx ++-≥在[1，5]上恒成立，则实数k 的取值范围为____________.三．解答题16．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （1）求5()4f π的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17．已知实数a 满足不等式|2|2a +<，解关于x 的不等式(1)(1)0.ax x +->18．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A 、B 、C 所对边，且2sin (2)sin a A b c B =+(2)sin c b C ++. （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.19．设a R ∈函数2() (||1)f x ax bx a x =+-≤. （1）若|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤求证5|()|4f x ≤；（2）当1b =，若()f x 的最大值为178，求实数a 的值.20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+数列是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1111,,22n n n b b b n++==，记数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式及前n 项和；（2λ≤恒成立，求实数λ的取值范围.浙江省杭州市2017-2018学年下学期期中考试高一数学试卷答案一．选择题（每题5分，共40分）二．填空题（9、10、11、12每题6分，其余每题4分共36分） 9.45 17- 610. 312.132n - 31n n + 13. 57 14. 74π15. (]10.6-三．解答题：（第16题14分，其余各题均15分，共74分.） 16．解（1）2()2sin cos 2cos 2cos 21f x x x x Sin x x =+=++2)14x =++552()sin()124244f πππ∴=+=+=（2）())4f x x π=+ T π∴=222242k x k πλλππ-≤+≤+K Z ∈388k x k ππππ∴-≤≤+ K Z ∈单调递增区间为3,88k k πλππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ K Z ∈ 17．解(2)2a +< 40a ∴-<<(1)(1)0ax x +-= 11x ∴= 21x a=-1110a a a++=> 1a <-或0a > 41a ∴-<<-当的不等式解集为1(,1)a-当10a -<<的不等式解集为1(1,)a- 当0a =时不等式解集为∅ 18．解（1）由条件的222222a b bc c bc =+++ 222a b c bc ∴=++又2222a b c bc =+- cos A 1cos 2A ∴=- 120A =︒（2）120A =︒ 60B C ∴+=︒1sin sin sin sin(60)sin sin 22B C B B B B B ∴+=+︒-=+-1sin cos sin(60)22B B B =+=+︒ 060B ︒<<︒ 6060120B ∴︒<+︒<︒ ∴当30B =︒时 sin sin B C +的最大值为1 19．（1）证：(0)1f a =≤ (1)1f b =≤22()(1)1f x a x bx a x b x ∴=-+≤-+ 21x x =-+ 11x -≤≤ 2215()1()24f x x x x ∴=-+=--+5()4f x ∴≤（2）解：1b =当1a ≤时 5()4f x ≤()f x 的最大值为178矛盾 1a ∴>当1a >时 1( 1.0)2a -∈- ()f x ∴在1(1,)2a--是减函数 1(,1)2a -是增函数(1)1f = (1)1f -=-max ()(1)1f x f ∴==不符题意当1a <-时 1(10,1)2a -- ()f x ∴在1(1,)2a--是增函数在1(,1)2a -是减函数 max 1117()()248f x f a a a ∴=-=--= 28217a a --= 即281720a a ++= 18a ∴=-或2a =-1a <- 2a ∴=-20．解：（1）{}nS 是公差为1的等差数列 (1)n =-2132a a a =+ 212333a a a a S ∴=++=2133()S S S ∴-= ))222312⎡⎤∴+-=⎢⎥⎣⎦11)(4)a =+110a ∴-= 11a ∴= n =2n S n = 21n a n =- *n N ∈1112n n b b n n +=+ 112b = 1()2n n b n ∴= 1()2nn b n ∴= 可得22n n n T +∴=-（2）令2()2nn nf n +== 222111(1)(1)2(2)(1)(1)()2222n n n n n n n n n n n n f n f n +++++++-++-++-=-==-3n ∴≥时 (1)()0f n f n +-< 2n <时 (1)()0f n f n +-> (1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>max 3()(2)(3)2f n f f ∴=== 32λ∴≥。

2017-2018年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(下)期中数学试卷和答案

10．（3 分）已知函数 f（x）=sinxcosx+cos2x，0≤x0＜x1＜x2＜…＜xn≤ （xn）﹣f（xn﹣1）|n∈N*，Sn=a1+a2+a3+…+an，则 Sn 最大值等于（ A． B． C． +1 D．2
，an=|f ）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）已知 sinθ= ，则 cos2θ 的值为 12．（4 分）在△ABC 中，a2+b2﹣c2=ab，则角 C= ．．
A．
B．
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C．
D．
8．（3 分）若 α、β 均为锐角，且 2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ，则 α 与 β 的大小关系为（ A．α＜β ） B．α＞β C．α≤β D．不确定，且
9．（ 3 分） P 为 △ ABC 内部一点，且满足 |PB|=2|PA|=2 ，，则△ABC 的面积为（ A． B． C．1 ） D．
+kπ＜x＜
3．（3 分）为了得到函数 A．向左平移 C．向右平移 4．（3 分）△ABC 中， A．直角三角形 = =
的图象，只需把函数 y=sin3x 的图象（ B．向左平移 D．向右平移，则△ABC 一定是（ C．等腰三角形 =（5，2），） D．等边三角形 =（﹣1，4），则 ∙
（2）当 k 是奇数时，证明：（3）证明： + +…+ ＜3
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2017-2018 学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）cos35°cos25°﹣sin35°sin25°的值为（ A． B．cos10° C．﹣ ） D．﹣cos10°

浙江省杭州二中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，AB=，AC=1，B=，则△ABC 的面积是（）A ．B ．C ．或D ．或2．已知P 是边长为2的正△ABC 的边BC 上的动点，则（）A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．是定值23．数列{a n }满足a 1=2，，则a 2018=（）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．4．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P （sin ，cos ），则sin （2α﹣）=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣5．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=，则cos （α+）=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣6．在△ABC 中，若acosA=bcosB ，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7．已知函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （a ，b 为常数，x ∈R ）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x ）的图象关于（）中心对称．A ．（，0） B ．（，0）C ．（，0）D ．（，0）8．若A ，B 是锐角三角形ABC 的两个内角，则以下选项中正确的是（） A ．sinA ＜sinB B ．sinA ＜cosB C ．tanAtanB ＞1 D ．tanAtanB ＜19．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且=，则使得为整数的正整数n 的个数是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．210．扇形OAB 中，∠AOB=90°，OA=2，其中C 是OA 的中点，P 是上的动点（含端点），若实数λ，μ满足=λ+μ，则λ+μ的取值范围是（）A．[1，]B．[1，]C．[1，2]D．[1，]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11． +=．12．已知数列{a n}是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，则a n=．13．已知α，β∈（0，π），且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ=．14．在△ABC中，O为△ABC的外心，满足15+8+17=，则∠C=．15．已知Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是．16．若正实数x，y，z满足x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，则2xy+xz+yz=．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．己知等差数列{a n}，设其前n项和为S n，满足S5=20，S8=﹣4．（1）求a n与S n；（2）设c n=a n a n+1a n+2，T n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N+，T n≤恒成立，求实数m的取值范围．19．如图，某房产开发商计划在一正方形土地ABCD内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形APQ，其中P位于边CB上，Q位于边CD上．已知，∠PAQ=，设∠PAB=θ，记绿化率L=1﹣，若L越大，则住宅区绿化越好．（1）求L（θ）关于θ的函数解析式；（2）问当θ取何值时，L有最大值？并求出L的最大值．20．已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈[0，]时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．2017-2018学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或 D．或【考点】正弦定理．【分析】先由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，根据三角形内角和求得A，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由正弦定理知=，∴sinC==，∴C=，A=，S=AB•ACsinA=或C=，A=，S=AB•ACsinA=．故选D2．已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2【考点】向量在几何中的应用．【分析】先设=，=，=t，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【解答】解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t+=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t] +t2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．3．数列{a n}满足a1=2，，则a2018=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，，求出前4项即可得出周期性．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=2，，∴a2==﹣1，a3==，a4==2，…，∴a n+3=a n．则a2018=a3×672=a3=．故选：D．4．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin，cos），则sin（2α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义确定α，再代入计算即可．【解答】解：∵角α的终边过点P（sin，cos），∴sinα=cos，cosα=sin，∴α=+2kπ，∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=sin=．故选：A．5．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选D7．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）的图象关于（）中心对称．A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ），其中，cosθ=，sinθ=，在x=处取得最小值，∴+θ=2kπ﹣，k∈Z，即θ=2kπ﹣．则函数y=f（﹣x）=sin（x+2kπ﹣）=sin（x﹣），故有f（）=0，故它的图象关于（，0）对称，故选：A．8．若A，B是锐角三角形ABC的两个内角，则以下选项中正确的是（）A．sinA＜sinB B．sinA＜cosB C．tanAtanB＞1 D．tanAtanB＜1【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数线．【分析】根据题意，用特殊值代入法，即可判断选项的正误．【解答】解：因为A，B是锐角三角形ABC的两个内角，不妨令A=B=，则sinA=sinB，A错误；sinA＞cosB，B错误；tanAtanB=3＞1，D错误，C正确．故选：C．9．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】由于==6+，n的取值只要使得为正整数即可得出．【解答】解：=====6+，当n=1，2，4，10时，为正整数，即使得为整数的正整数n的值只有4个．故选：B．10．扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，其中C是OA的中点，P是上的动点（含端点），若实数λ，μ满足=λ+μ，则λ+μ的取值范围是（）A．[1，]B．[1，]C．[1，2]D．[1，]【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，分别表示向量=（1，0），=（0，2），由题意可知，=cosθ，u=sinθ，θ∈[0，]，λ+μ=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），即可求得其最大值，当P与B重合时，即可求得其最小值．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立直角坐标系，A（2，0），B（0，2），C（1，0），=（1，0），=（0，2），设P（x，y），P在圆x2+y2=4，=λ+μ，∴（x，y）=（λ，0）+（0，2μ），∴，0≤λ≤2，0≤μ≤1，设=cosθ，u=sinθ，θ∈[0，]，∴λ=2cosθ，u=sinθ，λ+μ=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），tanφ=2，当θ+φ=时，λ+μ的最大值为，当P在B点时，μ=1，λ=0时λ+μ取最小值为1，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11． +=2sin1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，平方差（和）公式化简可得原式等于+，去根号可得：|sin1﹣cos1|+|sin1+cos1|，利用sin1＞cos1＞0去绝对值即可计算得解．【解答】解：∵180°=π，可得：45°＜1＜60°，∴sin1＞cos1＞0，∴+=+=|sin1﹣cos1|+|sin1+cos1|=sin1﹣cos1+sin1+cos1=2sin1．故答案为：2sin1．12．已知数列{a n}是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，则a n=2n﹣3或15﹣2n．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a4+a5=12，从而a4，a5是方程x2﹣12x+35=0的两个根，解方程x2﹣12x+35=0得a4=5，a5=7或a4=7，a5=5，由此能求出a n．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，∴a4+a5=12，∴a4，a5是方程x2﹣12x+35=0的两个根，解方程x2﹣12x+35=0得a4=5，a5=7或a4=7，a5=5，当a4=5，a5=7时，a1=﹣1，d=2，a n=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3；a4=7，a5=5时，a1=13，d=﹣2，a n=13+（n﹣1）×（﹣2）=15﹣2n．故答案为：2n﹣3或15﹣2n．13．已知α，β∈（0，π），且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：∵α，β∈（0，π），且cosα=，∴sinα==，∵sin（α+β）=，∴sinα＞sin（α+β），∴α+β为钝角，∴cos（α+β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣•+•=，故答案为：．14．在△ABC中，O为△ABC的外心，满足15+8+17=，则∠C=．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】设外接圆的半径为R，根据题意得15+8=﹣17，两边平方得出•=0，即∠AOB=，再根据圆心角等于同弧所对的圆周的关系，得出角C的值．【解答】解：设外接圆的半径为R，O为△ABC的外心，且15+8+17=，所以15+8=﹣17，∴（15+8）2=（17）2，∴289R2+240•=289R2，∴•=0，∴∠AOB=，根据圆心角等于同弧所对的圆周的关系，如图所示：所以△ABC中内角C的值为．故答案为：．15．已知Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是（1，]．【考点】正弦定理．【分析】设A=θ，则h=bsinθ，a=btanθ，c=，代入所求，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin（），根据角θ的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其范围．【解答】解：如图所示，设A=θ，h=bsinθ，a=btanθ，c=．∴====sinθ+cosθ=sin（），∵θ∈（0，），∴θ+∈（，），∴sin（）∈（，1]，sin（）∈（1，]．∴的取值范围是（1，]．故答案为：（1，]．16．若正实数x，y，z满足x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，则2xy+xz+yz=18．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】设=（x，y），=（x+，），=（y+，），则所求为，利用数量积公式可得所求．【解答】解：由已知设=（x，y），=（x+，），=（y+，），则由x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，得到2=9，=16，2=25，9+16=25，所以，所以=xy++==3×5×，所以2xy+xz+yz=2×9=18；故答案为：18．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．18．己知等差数列{a n}，设其前n项和为S n，满足S5=20，S8=﹣4．（1）求a n与S n；（2）设c n=a n a n+1a n+2，T n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N+，T n≤恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据等差数列的性质建立方程组求出首项和公差即可求a n与S n；（2）求出c n=a n a n+1a n+2，的值，将T n≤恒成立转化为求（T n）max≤恒成立即可．【解答】解：（1）∵S5=20，S8=﹣4．∴，即，得，则a n=10﹣3（n﹣1）=13﹣3n，S n=10n+×（﹣3）=n2+．（2）设c n=a n a n+1a n+2=（13﹣3n）（10﹣3n）（7﹣3n），要使若对任意n∈N+，T n≤恒成立，则只要若对任意n∈N+，（T n）max≤恒成立，则a1=10，a2=7，a3=4，a4=1，a5=﹣2，a6=﹣5，a7=﹣8，a8=﹣11，则c1=a1a2a3=280，c2=a2a3a4=28，c3=a3a4a5=﹣8，c4=a4a5a6=10，c5=a5a6a7=﹣80，则当n≥5时，c n＜0，则当n=4时，前四项和最大，此时T4=280+28﹣8+10=310，则由310≤得m≥1396，即实数m的取值范围是[1396，+∞）．19．如图，某房产开发商计划在一正方形土地ABCD内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形APQ，其中P位于边CB上，Q位于边CD上．已知，∠PAQ=，设∠PAB=θ，记绿化率L=1﹣，若L越大，则住宅区绿化越好．（1）求L（θ）关于θ的函数解析式；（2）问当θ取何值时，L有最大值？并求出L的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设正方形的边长为a，由解直角三角形的余弦函数，求得AP，AQ，运用三角形的面积公式和正方形的面积，即可得到所求函数L的解析式，注意定义域；（2）由正弦函数的值域，可得2θ+=，计算即可得到所求最大值及相应的θ的取值．【解答】解：（1）设正方形的边长为a，在直角三角形APB中，AP==，在直角三角形ADQ中，AQ==，可得L（θ）=1﹣=1﹣=1﹣•=1﹣•=1﹣=1﹣=1﹣，0≤θ≤，（2）由（1）可得L（θ）=1﹣，0≤θ≤，由2θ+=，即θ=∈[0，]时，L（θ）取得最大值，且为1﹣=2﹣．则当θ取 [时，L有最大值2﹣．20．已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈[0，]时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由已知利用平面向量的坐标运算可得=（sinx﹣2cosx，sinx），利用三角函数恒等变换的应用可得||2=cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又x∈[0，]，可求，利用余弦函数的单调性即可得解|+|的取值范围；（2）利用平面向量数量积的运算可得g（x）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2，令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），则g（x）可化为，对称轴．利用二次函数的图象和性质分类讨论即可得解．【解答】解：（1）=（sinx﹣2cosx，sinx），||2=（sinx﹣2cosx，sinx）2=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x=2cos2x﹣4sinxcosx+2=cos2x﹣2sin2x+3=cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又∵x∈[0，]，∴，∴在上单调递减，∴|cos（2x+φ）|2∈[1，4]，∴|+|∈[1，2]．（2）=（2sinx，cosx+k），g（x）=（）=﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），则t∈[﹣，]，且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx，所以．所以g（x）可化为，对称轴．①当，即时，，由，得，所以．因为，所以此时无解．②当，即时，．由﹣﹣=﹣，得k=0∈[﹣3，3]．③当﹣，即k＜﹣3时，g（x）min=h（）=﹣k2+k+，由﹣k2+k+=﹣，得k2﹣k﹣3=0，所以k=．因为k，所以此时无解．综上所述，当k=0时，g（x）的最小值为﹣．2018年8月26日。

浙江省杭州地区七校2017-2018学年高一下学期中联考数学试题

浙江省杭州地区七校2017-2018学年高一下学期中联考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．2. 已知的三边满足，则的内角C为（）A．B．C．D．3. 已知的面积为，，，则（）A．B．C．D．4. 已知数列满足：，，则等于（）A．B．C．D．5. 在中，若，，，则满足条件的三角形有（）个A．B．1 C．2 D．不确定6. 等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差的取值范围是（）A．B．C．D．7. 若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8. 在中，内角、、的对边分别为，，，若，则（）A．B．C．D．9. 下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若，则；③④；⑤若，则，，为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；A．①④B．①②④C．①②⑤D．③⑥10. 如图，在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（）A．B．C．D．二、填空题11. 已知，，则向量与的夹角的余弦值为___________．12. 在等差数列中，若，则________．13. 已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．14. 一艘轮船以速度向正北方向航行，在处看灯塔在船的北偏东45°方向，1小时30分钟后航行到处，在处看灯塔在船的南偏东75°方向上，则灯塔与的距离为__________．15. 如图，正三角形边长为4，设，，则_________．16. 已知在中，角的对边分别为，且满足，则________．17. 如图，在平行四边形中，,垂足为,, 点是内（包括边界）的动点，则的取值范围是_______．三、解答题18. 在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？19. 已知，，，（1）求与夹角；（2）求．20. 在中，内角、、的对边分别为，，，且，已知，，，求：（1）和的值；（2）的值．21. 已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，（1）若，求角的大小；（2）在（1）的条件下，，求的取值范围．。

【解析】浙江省杭州地区2017-2018学年高一下学期期中六校联考数学试题 Word版含解析

2017学年第二学期期中杭州地区六校联考高一年级数学学科试题一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴故选：B2. 下列函数中是奇函数的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】为非奇非偶函数，与为偶函数，为奇函数. 故选：D3. 已知点A（x，y）是30°角终边上异于原点的一点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】4. 已知向量，，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A5. 已知，，满足，，求的值（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】由题意，，则，，根据两角和正弦公式得，，所以，故正确答案为D.6. △ABC的三边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A. 5B.C.D.【答案】C【解析】根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.7. 已知函数，则函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，因为，则，即，又，即，故正解答案为C.8. 设都是锐角，且，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】B............考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和与差的余弦；3、正弦函数的图象与性质．【易错点睛】本题在判断角与的范围时是一个难点，同时也是一个易错点．如果只是一直盲目的运算，不根据条件判断出的范围，再结合判断出的范围，那么很容易由＝，直接得出，从而错误地得到＝或，错选C．9. 设，，且f（）＞f（），则下列结论必成立的是（）A. ＞B.C. ＜D. +＞0【答案】B【解析】由函数，易得，即为偶函数，且在上为递增，由偶函数的对称性，又，则，即，故选B.10. 在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，取，则，设，，则，，，，则，即恒成立，所以，即，解得，则易知点在边的垂直平分线上，所以，故选A.点睛：此题主要考查坐标法在解决平面向量问题中的应用，以及方程思想在解决平面向量中的体现，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题过程中，首先根据题目背景建立科学的直角坐标系，将向量问题转化为代数问题，经过向量的代数运算，通过向量的结果来解释相关的几何关系，从而问题可得解.二．填空题：本大题有6小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共28分．11. __________，__________.【答案】 (1). 4 (2).【解析】，.故答案为：4，.12. 在平行四边形ABCD中，，，，，若，则_______；_____________.【答案】 (1). 3 (2). 2【解析】由题意，根据向量加法的平行四边形法则，知，又，，所以，即，从而问题可得解.13. 已知，则__________．【答案】【解析】∵，∴可得，故答案为．14. 在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是_____．【答案】【解析】由题意知，最小的边是，，根据正弦定理，得，从而问题可得解.15. 已知函数在区间上是增函数，且在区间[0，]上恰好取得一次最大值，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由已知，根据二倍公式对函数解析式进行化简整理得，，由，得，则，整理得，又函数在上恰好取得一次最大值，所以，即，故所求的取值范围是. 16. 已知向量，满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】由，得，由，得，两式相减得，解得，，当时，有，当时，有，即，从而可得的取值范围为.三．解答题（本大题共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（2，5），D是AC上的动点，满足．（1）求的值；（2）求cos∠BAC；（3）若，求实数λ的值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由题意，根据平面向量的坐标表示及运算法则，结合向量模的坐标运算，从而问题可得解决；（2）根据向量数量积的定义，以及数量积、模的坐标表示，进行转化运算，从而问题可得解；（3）根据共线坐标的坐标表示及运算，结合垂直向量的坐标运算，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，，所以（2）因为所以（3）)因为，所以即（λ+1）×1+（5λ﹣1）×（﹣1）=0，解得点睛：此题主要考平面向量的坐标表示，以及平面向量的模、共线、垂直、数量积、夹角的坐标运算等有关方面的知识与技能，属于中档题型.通过坐标表示平面向量数量积有有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科. 18. 设函数．（）求函数的单调递增区间．（）求在上，函数的值域．【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（）利用两角和的余弦公式以及两角和的正弦公式化简，可得，由解不等式可得函数的单调递增区间；（2）由，可得，从而根据正弦函数的性质可得函数的值域为.试题解析：（），令，，则，，∴函数的单调递增区间为，．（）∵，∴，∴，即函数的值域为．【方法点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式以及三角函数的单调性，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.19. 在锐角中，，，为内角，，的对边，且满足．（）求角的大小．（）已知，边边上的高，求的面积的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（）由，利用正弦定理和三角函数的恒等变换，可得，即可得到角的值；（）由三角形的面积公式，代入，解得的值，及的值，再根据余弦定理，求得的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积.试题解析：（）∵，由正弦定理得，∴，，∵且，∴，∵，．（）∵，代入，，，得，由余弦定理得：，代入，得，解得，或，又∵锐角三角形，∴，∴，∴20. 已知，函数.（1）若,求函数的值域；（2）若函数在上不．单调，求实数的取值范围；（3）若是函数（为实数）的其中两个零点，且，求当变化时，的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）4【解析】试题分析：（1）由，得然后分段求值域即可；（2）分类讨论a，明确函数的单调区间，从而得到实数的取值范围；(3) 对a的取值进行分类讨论，分别用a表示，分析其单调性后，可得的取值范围，进而得到最大值.试题解析：（Ⅰ）解：由，得当时，，当时，，函数的值域是.（Ⅱ）解：当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；.（III）解：记，.当时，方程的根分别为；当时，方程的根分别为.，.（1）当时，①当时，.②当时，.（2）当时，综上所述，的最大值为4.。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，A）∩B=（）则（∁UA．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．167．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．28．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥29．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣210．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是m/s．14．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．15．下列结论中，正确结论的序号为①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合CU A，再计算（CUA）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴CUA={﹣3，﹣4}，∴（CUA）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】利用函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，可求f（1）、f′（1）的值，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．8．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要条件的定义可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件，则需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故实数k的取值范围是（2，+∞），故选：C．9．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．），【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x结合已知可求）=2【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=﹣1∴f′（x故选B10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】63：导数的运算；3O ：函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x ）图象可知，函数f （x ）先减，再增，再减，故选：D ．11．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为（）A ．1B ．C ．D ．【考点】IT ：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P 到直线y=x ﹣2的最小距离．【解答】解：过点P 作y=x ﹣2的平行直线，且与曲线y=x 2﹣lnx 相切，设P （x 0，x 02﹣lnx 0）则有k=y′|x=x 0=2x 0﹣．∴2x 0﹣=1，∴x 0=1或x 0=﹣（舍去）．∴P （1，1），∴d==．故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣2）=2021，对任意x ∈（﹣∞，+∞），都有f'（x ）＜2x 成立，则不等式f （x ）＞x 2+2017的解集为（）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，+∞）【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣x 2﹣2017，利用对任意x ∈R ，都有f′（x ）＜2x 成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是 4 m/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故答案为：414．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．【解答】解：x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，f′（x）=3x2，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．∴f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．15．下列结论中，正确结论的序号为①②④①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”⇔“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（4），求出切线方程即可；（2）设出切点为M（x0，y），表示出切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）∵g（x）=，∴g′（x）=，∴g′（4）=，∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即y=x+1；（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y），则点M的坐标满足y=x3﹣3x，因f′（x0）=3（x2﹣1），故切线的方程为y﹣y=3（x2﹣1）（x﹣x），将A（0，16）代入切线方程化简得x03=﹣8，解得x=﹣2．所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，即可得出．【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，∴恒成立…而当x＞0时∵．检验知，a=2时也成立∴a≥2…[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数g（x）在定义域上为减函数所以g（x）＜g（0）=2检验知，a=2时也成立∴a≥2…．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．。

2017-2018年浙江省杭州六校联考高一(下)期中数学试卷和答案

【解答】解：∵点 A（x，y）是 30°角终边上异于原点的一点， ∴ =tan30°= 故选：C． 4．（4 分）已知向量 =（2，1）， =（x，﹣2），若 ∥ ，则 + 等于（ A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1））．
【解答】解：根据题意，向量 =（2，1）， =（x，﹣2），若 ∥ ，则有 1•x=2•（﹣2），即 x=﹣4，即 =（﹣4，﹣2），
（2）求 cos∠BAC；（3）若 ⊥ ，求实数 λ 的值． sin2x+cos（2x+ ）．
18．（12 分）设函数 f（x）= （1）求函数的单调递增区间．（2）求在[0，
]上，函数的值域．
19．（14 分）在锐角△ABC 中，a，b，c 为内角 A，B，C 的对边，且满足（2c﹣a） cosB﹣bcosA=0．（1）求角 B 的大小．
5．（4 分）已知， 0＜α， β＜ A． B．
）
6．（4 分）△ABC 的三边分别为 a，b，c，且 a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC 的外接圆的直径为（ A．5 B．） C． D．）
7．（4 分）已知函数 f （x） =4x﹣2x+1﹣3，则函数 f （x）的零点所在的区间为（ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3），则 cosβ 等于（ C．或 D．或
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2017-2018 学年浙江省杭州六校联考高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．（4 分）已知集合 A={1，2}，B={2，3}，则 A∪B=（ A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} ） D．{2，3}

2017-2018年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知集合A＝{0，5}，B＝{0，1，3}，则A∩B＝（）A．{0}B．∅C．{1，3，5}D．{0，1，3，5} 2．（3分）函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为（）A．[0，1]B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）3．（3分）已知向量，满足＝（1，2），＝（2，0），则2+＝（）A．（4，4）B．（2，4）C．（2，2）D．（3，2）4．（3分）log69+log64＝（）A．log62B．2C．log63D．35．（3分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2＝S4＝﹣2，则d＝（）A．1B．3C．5D．76．（3分）1﹣2sin222.5°＝（）A．1B．C．D．﹣7．（3分）已知点D为△ABC的边BC的中点，则（）A．＝（﹣）B．＝（+）C．＝﹣（﹣）D．＝﹣（+）8．（3分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（3分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝，则△ABC 是（）A．等边三角形B．有一个内角为30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形10．（3分）若实数x，y，z满足x＝40.5，y＝log53，z＝sin（+2），则（）A．x＜z＜y B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x 11．（3分）若函数f（x）＝2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（）A．a＝﹣或a＝1B．a＞1或a＝0C．a＞1D．a＝﹣12．（3分）设函数f（x）＝|A sin x﹣B|（A≠0，B∈R），则f（x）的最小正周期（）A．与A有关，且与B有关B．与A无关，且与B有关C．与A无关，且与B无关D．与A有关，且与B无关13．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数M＞0，使得对任意的n∈N*，都有|S n|＜M，则称数列{a n}为“L数列”（）A．若{a n}是等差数列，且首项a1＝0，则数列{a n}是“L数列”B．若{a n}是等差数列，且公差d＝0，则数列{a n}是“L数列”C．若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，则数列{a n}是“L数列”D．若{a n}是等比数列，也是“L数列”，则数列{a n}的公比q满足|q|＜114．（3分）设f（x）＝，记f1（x）＝f（x），f k+1（x）＝f（f k（x））（k＝1，2，3，…），则（）A．当x≥2时，不等式f2018（x）≥2恒成立B．当0＜x≤2时，f2018（x）单调递增C．当0＜x≤2时，f2018（x）单调递减D．当x≤0时，不等式f2018（x）＞0有解15．（3分）已知平面向量，满足||＝||＝1，⊥，若对任意平面向量，都有|﹣|2≥（t﹣2）•+t（•）（•）成立，则实数t的最大值是（）A．﹣1B．1C．﹣1D．2二、填空题：本大题共8小题，每空3分，共36分．16．（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4）＝．17．（6分）设S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，a4＝8，则a3＝，S5＝．18．（3分）已知向量，满足＝（﹣1，2），＝（2，m）．若∥，则m＝．19．（6分）已知2sin x﹣cos x＝，则sin x＝，tan2x＝．20．（3分）函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）的图象过定点．21．（6分）设函数f（x）＝2sin（2x+）（x∈R），则函数f（x）的最小正周期是，单调递增区间是．22．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝．23．（6分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M为△ABC内部或边界上任意一点，则•（+）的最大值为，最小值为．三、解答题：本大题共2小题，共19分，要求写出详细的推证和运算过程．24．（9分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x﹣）（x∈R）．（I）求f（）；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的值域．25．（10分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，2S n＝a n•a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3以及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n；（i）求T n；（ii）证明：++…+≤2T n（n∈N*）．2017-2018学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知集合A＝{0，5}，B＝{0，1，3}，则A∩B＝（）A．{0}B．∅C．{1，3，5}D．{0，1，3，5}【解答】解：集合A＝{0，5}，B＝{0，1，3}，则A∩B＝{0}，故选：A．2．（3分）函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为（）A．[0，1]B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由x﹣1＞0，得x＞1．∴函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．故选：C．3．（3分）已知向量，满足＝（1，2），＝（2，0），则2+＝（）A．（4，4）B．（2，4）C．（2，2）D．（3，2）【解答】解：向量，满足＝（1，2），＝（2，0），则：2+＝2（1，2）+（2，0）＝（4，4）．故选：A．4．（3分）log69+log64＝（）A．log62B．2C．log63D．3【解答】解：log69+log64＝log636＝2．故选：B．5．（3分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2＝S4＝﹣2，则d＝（）A．1B．3C．5D．7【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，a2＝S4＝﹣2，∴，解得a1＝﹣5，d＝3，故选：B．6．（3分）1﹣2sin222.5°＝（）A．1B．C．D．﹣【解答】解：1﹣2sin222.5°＝cos45°＝．故选：C．7．（3分）已知点D为△ABC的边BC的中点，则（）A．＝（﹣）B．＝（+）C．＝﹣（﹣）D．＝﹣（+）【解答】解：∵点D是△ABC的边BC上的中点，根据向量的平行四边形法则可得＝（+），故选：B．8．（3分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：只需将函数y＝cos2x＝sin（2x+）的图象上的所有点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2x的图象，故选：A．9．（3分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝，则△ABC 是（）A．等边三角形B．有一个内角为30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形【解答】解：∵在△ABC中，，则由正弦定理可得sin B＝cos B，sin C ＝cos C，∴B＝C＝45°，∴A＝90°，故△ABC为等腰直角三角形，故选：C．10．（3分）若实数x，y，z满足x＝40.5，y＝log53，z＝sin（+2），则（）A．x＜z＜y B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x【解答】解：∵x＝40.5＝2，0＜y＝log53＜log55＝1，z＝sin（+2）＝cos2＜0，∴z＜y＜x．故选：D．11．（3分）若函数f（x）＝2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（）A．a＝﹣或a＝1B．a＞1或a＝0C．a＞1D．a＝﹣【解答】解：若函数f（x）＝2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，则方程2ax2﹣x﹣1＝0在区间（0，1）内恰有一个根，若a＝0，则方程2ax2﹣x﹣1＝0可化为：﹣x﹣1＝0方程的解为﹣1，不成立；若a＜0，则方程2ax2﹣x﹣1＝0不可能有正根，故不成立；若a＞0，则△＝1+8a＞0，且c＝﹣1＜0；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2﹣x﹣1＝0在区间（0，1）内恰有一个解可化为（2a•02﹣0﹣1）（2a•12﹣1﹣1）＜0；解得，a＞1；故实数a的取值范围是（1，+∞），故选：C．12．（3分）设函数f（x）＝|A sin x﹣B|（A≠0，B∈R），则f（x）的最小正周期（）A．与A有关，且与B有关B．与A无关，且与B有关C．与A无关，且与B无关D．与A有关，且与B无关【解答】解：函数f（x）＝|A sin x﹣B|（A≠0，B∈R），当B＝0时，f（x）＝|A sin x|，其最小正周期为π，当B≠0时，f（x）＝|A sin x﹣B|，其最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期与A无关，且与B有关．故选：B．13．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数M＞0，使得对任意的n∈N*，都有|S n|＜M，则称数列{a n}为“L数列”（）A．若{a n}是等差数列，且首项a1＝0，则数列{a n}是“L数列”B．若{a n}是等差数列，且公差d＝0，则数列{a n}是“L数列”C．若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，则数列{a n}是“L数列”D．若{a n}是等比数列，也是“L数列”，则数列{a n}的公比q满足|q|＜1【解答】解：对于A，若{a n}是等差数列，且首项a1＝0，当d＞0时，，当n→+∞时，|S n|→+∞，则{a n}不是“L数列”，故A错误；对于B，若{a n}是等差数列，且公差d＝0，S n＝na1，当a1≠0时，当n→+∞时，|S n|→+∞，则{a n}不是“L数列”，故B错误；对于C，若{a n}是等比数列，且公比|q|＜1，＝，|S n|＝|||，则{a n}是“L数列”，故C正确；对于D，若{a n}是等比数列，且{a n}是“L数列”，则{a n}的公比|q|＜1或q＝﹣1，故D错误．故选：C．14．（3分）设f（x）＝，记f1（x）＝f（x），f k+1（x）＝f（f k（x））（k＝1，2，3，…），则（）A．当x≥2时，不等式f2018（x）≥2恒成立B．当0＜x≤2时，f2018（x）单调递增C．当0＜x≤2时，f2018（x）单调递减D．当x≤0时，不等式f2018（x）＞0有解【解答】解：f（x）＝＝＝[（x﹣1）++2]，可得f（x）在x＞2，或x＜0时递增，在1＜x＜2，或0＜x＜1时递减，则当x≥2时，x﹣1≥1，f（x）≥×4＝2，f1（x）≥2，f2（x）≥2，…，不等式f2018（x）≥2恒成立；当0＜x≤2时，f2018（x）不单调；当x≤0，f（x）递增，即有f（x）≤0，可得f1（x）≤0，f2（x）≤0，…，不等式f2018（x）＞0无解．综上可得B，C，D均不正确；A正确．故选：A．15．（3分）已知平面向量，满足||＝||＝1，⊥，若对任意平面向量，都有|﹣|2≥（t﹣2）•+t（•）（•）成立，则实数t的最大值是（）A．﹣1B．1C．﹣1D．2【解答】解：平面向量，满足||＝||＝1，⊥，可设＝（1，0），＝（0，1），＝（a，b），＝（c，d），|﹣|2≥（t﹣2）•+t（•）（•）即为2+2≥t•+t（•）（•），即有a2+b2+c2+d2≥t（ac+bd+bc），要求t的最大值，不妨设a，b，c，d＞0，可得t≤的最小值，设a2+b2+c2+d2＝（a2+kc2）+（mb2+lc2）+（nb2+d2），由（a2+kc2）+（mb2+lc2）+（nb2+d2）≥2ac+2bc+2bd，且m+n＝1＝k+l，2＝2＝2，即有m＝，2＝2m＝﹣1，则≥＝2＝﹣1，可得t≤﹣1，t的最大值为﹣1．故选：C．二、填空题：本大题共8小题，每空3分，共36分．16．（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4）＝2．【解答】解：设f（x）＝x a，因为幂函数图象过，则有＝3a，∴a＝，即f（x）＝，∴f（4）＝（4）＝2．故答案为：2．17．（6分）设S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，a4＝8，则a3＝4，S5＝31．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q．∵a1＝1，a4＝8，∴q3＝8，解得q＝2．则a3＝22＝4，S5＝＝31．故答案为：4，31．18．（3分）已知向量，满足＝（﹣1，2），＝（2，m）．若∥，则m＝﹣4．【解答】解：∵∥，∴﹣m﹣4＝0，解得：m＝﹣4．故答案为：﹣4．19．（6分）已知2sin x﹣cos x＝，则sin x＝，tan2x＝．【解答】解：联立，解得sin x＝，cos x＝﹣．∴tan x＝＝﹣2．∴tan2x＝＝＝．故答案为：，．20．（3分）函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）的图象过定点（2，0）．【解答】解：令2﹣x＝0，求得x＝2，y＝0，可得函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）的图象过定点（2，0），故答案为：（2，0）．21．（6分）设函数f（x）＝2sin（2x+）（x∈R），则函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+）（x∈R）的最小正周期是＝π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故答案为：π；[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．22．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝30°．【解答】解：将sin C＝2sin B利用正弦定理化简得：c＝2b，代入得a2﹣b2＝bc＝6b2，即a2＝7b2，∴由余弦定理得：cos A＝＝＝，∵A为三角形的内角，∴A＝30°．故答案为：30°23．（6分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M为△ABC内部或边界上任意一点，则•（+）的最大值为2，最小值为﹣．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，△ABC中，A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设M（x，y），则；∴＝（﹣x，﹣y），＝（﹣1﹣x，﹣y），＝（1﹣x，﹣y）；∴+＝（﹣2x，﹣2y）；∴•（+）＝2x2+2y2﹣2y＝2[x2+]﹣；由图形知，当x＝0，y＝时，•（+）取得最小值﹣；当x＝±1，y＝0时，•（+）取得最大值2；∴最大值为2，最小值为﹣．故答案为：2，﹣．三、解答题：本大题共2小题，共19分，要求写出详细的推证和运算过程．24．（9分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x﹣）（x∈R）．（I）求f（）；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝4cos x sin（x﹣）＝4cos x（sin x cos﹣cos x sin）＝4cos x（）＝2sin x cos x﹣2＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝﹣．∴f（）＝＝；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴∈[﹣]，则2sin（2x﹣）∈[﹣，2]．即f（x）在[0，]上的值域为[﹣2，2﹣]．25．（10分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，2S n＝a n•a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3以及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n；（i）求T n；（ii）证明：++…+≤2T n（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，2S n＝a n•a n+1，∴2a1＝a1•a2，即a2＝2，∴2（a1+a2）＝a2•a3，即a3＝3，猜想a n＝n，证明如下：①当n＝1时，显然成立，②假设当n＝k时成立，即a k＝k，则S k＝那么当n＝k+1时，a k+1＝＝＝k+1，故n＝k+1时也成立，由①②可得a n＝n，对于n∈N*都成立，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n；（Ⅱ）b n＝＝（）n，（i）T n＝＝1﹣，（ii）由（Ⅰ）可知S n＝，∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣++﹣+…+﹣）＝2（1﹣），要证明++…+≤2T n，只要证明2（1﹣）≤2（1﹣），只要证≥，只要证n+1≤2n，①当n＝1时，不等式显然成立，②假设当n＝k时，不等式成立，即k+1≤2k，那么当n＝k+1时，k+2＝k+1+1≤2k+1≤2k+1，即当n＝k+1时不等式成立，由由①②可得n+1≤2n，对于n∈N*都成立，故++…+≤2T n（n∈N*）．。

杭州市七校2018年高一下期中考试数学试题及答案(新课标人教版)

2018学年第二学期期中杭州地区七校联考高一年级数学学科试题一．选择题(共12小题，每小题4分，共48分)1．330sin 的值为（）A ．21-B ．21C ．23-D ．232．下列四式不能化简为的是（）A ．（B ．（C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈ C.sin(2)3y x π=+，x R ∈ D.sin(2)32y x π=+，x R ∈4．已知)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=，且()0c o s =-βα，=+（）A ．2B ．22C ．2D ．3 5.已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )． A ．－104 B ．－64 C ．64 D ．1046．已知船A 在灯塔C 北偏东85且到C 的距离为km 2，船B 在灯塔C 西偏北25且到C 的距离为km 3，则A ，B 两船的距离为( )A ．km 32B ．km 23 C.．km 15 D ．km 137．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为( )A ．22sin -=x yB ．13cos 2-=x yC ．1)52sin(--=πx y D ． )52sin(1π--=x y8．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 9．==-αααα2cos 则,55cos sin 是第一象限角，已知( ) A. 53-B. 53±C.54D.54± 10．已知A B C ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若33=++c b a ，则角A 为( ) A ．4π B ．6π C ．3π D ．2π11．在△ABC中，,4(0)a b m m ==>，如果三角形有解，则A 的取值范围是（） A ．060A ︒<≤︒ B ．030A ︒<<︒ C ．090A ︒<<︒ D ．3060A ︒<<︒12. 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角，M 是边BC 的中点，则⋅的值( )A ． 4 B.．6 C ．7 D ． 5二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题4分,多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．一扇形的周长等于4cm ，面积等于12cm ，则该扇形的半径为，圆心角为．14．化简()()=+-⎪⎭⎫⎝⎛---+αππααπαπsin 32sin cos )2cos(3 ， =++ 35tan 25tan 335tan 25tan ．15．已知向量与的夹角为120°,且||=2, ||=5,则(2-)·= 16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+b+c=20，三角形面积为310，且角60=A ，则边a = ________第12题图17．在ABC ∆中，90=C ，3=CB ,点M 是 AB 上的动点（包含端点），则CB MC ⋅的取值范围为． 18．函数π()3s i n 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则如下结论中不正确的序号是_________________①、图象C 关于直线11π12x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称；③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④、由3sin 2y x =的图像向右平移π3个单位长度可以得到图象C三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 19．（本题10分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中=（1，－2）. （1）若|c |52=，且//，求c 的坐标；（2）若||=1，且a b +与2a b -垂直，求a 与的夹角θ的余弦值.20．（本题10分）已知A,B,C 的坐标分别为)sin 3,cos 3(),4,0(),0,4(ααC B A . (1)若)0,(πα-∈且||||BC AC =，求α的值；(2)若0=⋅，求αααtan 12sin sin 22++21．（本题12分）已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值．22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为cb a ,,，若()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+.(1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且3=AD ，求c a 2+的最大值．2015学年第二学期期中杭州地区七校联考高一年级数学学科参考答案13． 1 ， 2 14． 1-，315． 13 16． 7 17． []09，- 18． ④ 三．解答题19. 解：（1）设),(y x c =，由//和52||=c 可得：⎩⎨⎧2212020y x x y ⋅+⋅=+= ， ……………….. 2分 ∴ ⎩⎨⎧24x y =-= 或 ⎩⎨⎧24x y ==- ………………..4分∴(2,4)c =-，或(2,4)c =- ………………… 5分（2）()(2),a b a b +⊥-∴()(2)0a b a b +⋅-= ……… 7分即2220,a a b b -⋅-=∴22||2||0a a b b -⋅-=， ∴ 520a b -⋅-=，所以3a b ⋅=， ………….8分 ∴35cos ||||a b a b θ⋅==⋅ …………10分 20.解：（1）由已知：)sin 3,4cos 3αα-=（，)4sin 3,cos 3(-=αα …………..1分=()()()()4sin 3cos 3sin 34cos 32222--+=+∴αααα化简得：1tan ,cos sin ==ααα即………………..3分 )0,(πα-∈ 43πα-=∴……………………5分（2）0=⋅ 0)4sin 3(sin 3)4sin 3(cos 3=-+-∴αααα43cos sin =+αα ………….7分两边平方得：167cos sin 2-=αα ………………..8分又αααtan 12sin sin 22++=ααααααcos cos sin 22sin 2+=167cos sin 2-=αα………………….10分21. 解：（1）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s ....................2分 23)32cos(++=πx ． ……………..4分函数最小正周期T=π ……………..5分由ππππk x k 2322≤+≤-，得632ππππ-≤≤-k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]6,32[ππππ--k k （Z k ∈）．……………………………………………. 7分（2）∵65)(=θf ，∴6523)32cos(=++πx ，32)32cos(-=+πθ．∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+，35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ． ………………….9分 ∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+= 6532-=…………………………………12分 22．解：（1）()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+ 所以由正弦定理可得()()()c a c b a b a -=-+ ，即ac b c a =-+222，…………………2分由余弦定理可知212cos 222=-+=ac b c a B ，…………………………4分因为()π,0∈B ，所以3π=B …………………………5分(2)设θ=∠BAD ，则在ABD ∆中，由3π=B 可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ，由正弦定理及3=AD 可得23sin32sin sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=θπθADAB BD，………………………7分所以θsin 2=BD ，θθθπsin cos 332sin 2+=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，…………………………8分所以⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+6sin 34sin 6cos 322πθθθc a ，…………………………10分由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ可知⎪⎭⎫⎝⎛∈+65,66πππθ，所以当26ππθ=+，即3πθ=时，c a 2+的最大值为34.…………………………12分。

2017-2018年浙江省杭州二中高一(下)期中数学试卷和答案

2017-2018学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=a2+c2+2accosB，则∠B=（）A．B．C．D．2．（3分）如果a＜b＜c，且a+b+c=0，那么下列结论不成立的是（）A．a2＞ab B．ac＜b2C．ab2＜cb2D．ac＜c23．（3分）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx B．sinx+≥2C．＞1D．x2+1≥2|x|4．（3分）在等差数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a7+a8+a9+a10=（）A．16B．18C．20D．215．（3分）{a n}是等比数列，其中A为△ABC的内角，a3，a7是关于x的方程x2﹣2xcosA﹣cosA=0的两根，且（a3+a7）2=2a2a8+6，则角A的值为（）A．B．C．D．6．（3分）已知关于x的不等式ax2+x＜0的解集中的整数恰有2个，则（）A．＜a≤B．≤a＜C．＜a≤或﹣≤a＜﹣D．≤a＜或﹣＜a≤﹣7．（3分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2B．m≥2或m≤﹣4C．﹣4＜m＜2D．﹣2＜m＜48．（3分）在△ABC中，下列结论正确的是（）①若sinA＞sinB，则A＞B一定成立②若sinA=cosB，则△ABC一定是直角三角形③若b=1，c=，S=，则A等于30°△ABCA．②B．①C．②③D．①②③9．（3分）设A n，B n分别为等比数列{a n}，{b n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．10．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足cos（sinA）=sin（cosB）=sin（sinC），则下列结论中①a＞c＞b；②a＞b＞c；③c＞b＞a；④c＞a＞b，有可能成立的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数f（x）=lg（ax2﹣6ax+a+8）的定义域为R，则实数a的取值范围是．12．（4分）上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如图所示）．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°．据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m．13．（4分）定义函数f（x）=，则不等式x+1＞（2x+1）f（x）的解集为14．（4分）已知数列{a n}的首项为1，前n项之和为S n，且{S n}是以c（c＞0）为公比的等比数列，若{a n}是递增数列，则c的取值范围是15．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，2b，c成等比数列，a2=b2+c2﹣bc，则的值为．16．（4分）设正实数x，y且x≠y，则|x﹣y|++y2的最小值为17．（4分）若a，b∈R+，满足2abc=2a2b2c，a2+b2=1，则实数c的取值范围是三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．（10分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，m∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，求实数m，n的值；（2）若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．19．（10分）在数列a n中a1+2a2+3a3+…+na n=n（2n+1）（n∈N*（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．20．（10分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C 成等差数列．（1）若b=，求a+c的取值范围；（2）若，，也成等差数列，求A、C的大小．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n（1）求数列{a n}的通项公式（2）记T n=，若存在正整数n使得T n≥m成立，求实数m的取值范围（3）设B n为数列{b n}的前n项和，其中b n=，若不等式＜对任意的n∈N*恒成立，试求正实数t的取值范围2017-2018学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=a2+c2+2accosB，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∵△ABC中，b2=a2+c2+2accosB，∴cosB=0，则∠B=．故选：C．2．（3分）如果a＜b＜c，且a+b+c=0，那么下列结论不成立的是（）A．a2＞ab B．ac＜b2C．ab2＜cb2D．ac＜c2【解答】解：∵a＜b＜c，且a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，b任意，A．∵a＜b，∴aa＞ab，即a2＞ab成立，B．∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，即ac＜b2成立，C．当b=0时，不等式ab2＜cb2不成立，D..∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，即ac＜c2成立，故不成立的是C，故选：C．3．（3分）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx B．sinx+≥2C．＞1D．x2+1≥2|x|【解答】解：对于A，lg（x2+）≥lgx，仅当x＞0时，成立，故A错误；对于B，sinx+≥2，当sinx∈（0，1]时，成立；sinx＜0不成立，故B错误；对于C，∈（0，1]，故C错误；对于D，x2+1≥2|x|，当且仅当x=±1取得等号，故D恒成立．故选：D．4．（3分）在等差数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a7+a8+a9+a10=（）A．16B．18C．20D．21【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=（a1+d）+（a1+2d）=2a1+3d=4，①，a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=6，②，∴②﹣①得：4d=2，解得：d=，把d=代入①，解得：a1=，则a7+a8+a9+a10=（a1+6d）+（a1+7d）+（a1+8d）+（a1+9d）=4a1+30d=4×+30×=20．故选：C．5．（3分）{a n}是等比数列，其中A为△ABC的内角，a3，a7是关于x的方程x2﹣2xcosA﹣cosA=0的两根，且（a3+a7）2=2a2a8+6，则角A的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵{a n}是等比数列，其中A为△ABC的内角，a3，a7是关于x的方程x2﹣2xcosA﹣cosA=0的两根，且（a3+a7）2=2a2a8+6，∴a3+a7=2cosA，a3a7=a2a8=﹣，∴4cos2A=﹣2cosA+6，解得cosA=或cosA=﹣（舍），∴A=．故选：A．6．（3分）已知关于x的不等式ax2+x＜0的解集中的整数恰有2个，则（）A．＜a≤B．≤a＜C．＜a≤或﹣≤a＜﹣D．≤a＜或﹣＜a≤﹣【解答】解：当a=0时，不等式可化为x＜0，解集中的整数有无数个，不合题意；当a＞0时，解不等式可得﹣＜x＜0，要使解集中的整数恰有2个，则需﹣3≤﹣＜﹣2，解得≤a＜；当a＜0时，解不等式可得x＜0或x＞﹣，解集中的整数有无数个，不合题意．综合可得≤a＜故选：B．7．（3分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2B．m≥2或m≤﹣4C．﹣4＜m＜2D．﹣2＜m＜4【解答】解：∵∴x+2y=（x+2y）（）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选：C．8．（3分）在△ABC中，下列结论正确的是（）①若sinA＞sinB，则A＞B一定成立②若sinA=cosB，则△ABC一定是直角三角形=，则A等于30°③若b=1，c=，S△ABCA．②B．①C．②③D．①②③【解答】解：对于①，由正弦定理得，==2R，R为△ABC外接圆的半径，∴a=2RsinA，b=2RsinB，又sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B，①正确；对于②，△ABC中，不妨令A=100°，B=10°，满足sinA=cosB，此时三角形不是直角三角形，②不正确；=，对于③，若b=1，c=，S△ABC则bcsinA=×1××sinA=，∴sinA=，∴A=30°或150°，③错误．综上，正确的命题序号是①．故选：B．9．（3分）设A n，B n分别为等比数列{a n}，{b n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【解答】解：设A n，B n分别为公比为q的等比数列{a n}，公比为t的{b n}的前n 项和，q≠1，t≠1，=，∴==，•=••=，由1﹣t=3（1﹣q），且=，可得q=2，t=4，∴==•=，故选：C．10．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足cos（sinA）=sin（cosB）=sin（sinC），则下列结论中①a＞c＞b；②a＞b＞c；③c＞b＞a；④c＞a＞b，有可能成立的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【解答】解：△ABC的三个内角A，B，C满足A+B+C=π，0＜A，B，C＜π，0＜sinA≤1，0＜sinC≤1，由cos（sinA）=sin（cosB）=sin（sinC），可得0＜cosB＜1，则cosB=sinC=cos（﹣C），即B+C=，A=，可得△ABC为直角三角形，a为最大边，b，c的大小不确定，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数f（x）=lg（ax2﹣6ax+a+8）的定义域为R，则实数a的取值范围是[0，1）．【解答】解：当a=0时，f（x）=lg8，其定义域为R．当a≠0时，要使函数f（x）=lg（ax2﹣6ax+a+8）的定义域为R，则，解得0＜a＜1．综上可得：实数a的取值范围是[0，1），故答案为：[0，1）．12．（4分）上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如图所示）．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°．据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m．【解答】解：设中国馆的位置为A，世博轴两端分别为B，C，依题意知∠A=120°∴∠B=∠C==30°由正弦定理知：∴AC===故答案为：．13．（4分）定义函数f（x）=，则不等式x+1＞（2x+1）f（x）的解集为{x|x＜﹣}【解答】解：根据题意，函数f（x）=，则不等式x+1＞（2x+1）f（x）⇒①或②或③，解①可得，其解集为∅，解②可得，其解集为∅，解③可得：其解集为{x|x＜﹣}；综合可得：原不等式的解集为{x|x＜﹣}；故答案为：{x|x＜﹣}．14．（4分）已知数列{a n}的首项为1，前n项之和为S n，且{S n}是以c（c＞0）为公比的等比数列，若{a n}是递增数列，则c的取值范围是c＞2【解答】解：由题意可得：S n=c n﹣1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=c n﹣1﹣c n﹣2=c n﹣2（c﹣1）．c＞0．∵{a n}是递增数列，∴a2=c﹣1＞1=a1，解得c＞2．n≥2时，a n+1＞a n，可得：c n﹣1（c﹣1）＞c n﹣2（c﹣1）．又c＞2．解得：c＞2．则c的取值范围是c＞2．故答案为：c＞2．15．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，2b，c成等比数列，a2=b2+c2﹣bc，则的值为．【解答】解：若a，2b，c成等比数列，则：4b2=ac，则：4sin2B=sinAsinC，由于：a2=b2+c2﹣bc，则：cosA==，由于：0＜A＜π，则：A=，所以：=，故答案为：16．（4分）设正实数x，y且x≠y，则|x﹣y|++y2的最小值为【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴|x﹣y|++y2=|x﹣y|+||+|y2|≥|x﹣y++y2|=|（y﹣）2+（x+）﹣|≥|2﹣|=．当且仅当y=，x=即x=1，y=时取等号，即最小值为，故答案为：．17．（4分）若a，b∈R+，满足2abc=2a2b2c，a2+b2=1，则实数c的取值范围是[﹣2，﹣1）【解答】解：∵2abc=2a•2b•2c=2a+b+c，∴abc=a+b+c，∴c=，∵a，b均为正数，且a2+b2=1，可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，]．∴c==，令t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈（1，]．则2sinθcosθ=t2﹣1，∴c==f（t），t∈（1，]．f′（t）=＜0，∴函数f（t）在t∈（1，]上单调递减，∴f（）≤f（t）＜f（1），可得：f（t）∈[﹣2，﹣1）．即c∈[﹣2，﹣1）．故答案为：[﹣2，﹣1）．三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．（10分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，m∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，求实数m，n的值；（2）若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，关于x的不等式x2+mx﹣1＜0的解集是{x|﹣2＜x ＜n}，所以方程x2+mx﹣1=0的实数根为﹣2和n，由根与系数的关系得，m=，n=；（2）对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，可得，解得﹣＜m＜0，即实数m的取值范围是（﹣，0）．19．（10分）在数列a n中a1+2a2+3a3+…+na n=n（2n+1）（n∈N*（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．=（n﹣1）（2n﹣1）【解答】解：（1）n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1∴na n=4n﹣1，a n=4﹣．当n=1时，a1=3满足上式，∴a n=4﹣（n≥1，n∈N+）（2）记b n=则b n=，∴T n=+++…+，而T n=+++…++∴T n=﹣，T n=7﹣20．（10分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C 成等差数列．（1）若b=，求a+c的取值范围；（2）若，，也成等差数列，求A、C的大小．【解答】解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，∵A+B+C=π，∴B=，A+C=，∵b=，∴由正弦定理====1，即a=sinA，c=sinC，∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=（sinA+cosA）=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，即＜sin（A+）≤，则a+c的范围为（，]；（2）∵，，成等差数列，∴=+，∴由正弦定理化简得：+==，整理得：sinA+sinC sinAsinC，∴2sin cos=﹣×[cos（A+C）﹣cos（A﹣C）]，即cos+[﹣﹣cos（A﹣C）]=0，设cos=t，则有3t﹣1﹣2（2t2﹣1）=0，整理得：（4t+1）（t﹣1）=0，解得：t=﹣（舍去）或t=1，∴cos=1，即A﹣C=0，∴A=C=B=60°．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n（1）求数列{a n}的通项公式（2）记T n=，若存在正整数n使得T n≥m成立，求实数m的取值范围（3）设B n为数列{b n}的前n项和，其中b n=，若不等式＜对任意的n∈N*恒成立，试求正实数t的取值范围【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n，∴当n≥2时，S n=（n﹣1）2+（n﹣1），﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=3n，又n=1时，a1=S1=3满足上式，∴a n=3n；（2）T n==，≥T n，当n=1，2时，T n+1当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n，∴n=1时，T1=9，n=2，3时，T2=T3=，n≥4时，T n＜T3，∴{T n}中的最大值为T2=T3=，要使T n≥m对正整数n成立，只需≥m，∴m≤；（3）b n=23n=8n，B n==，将B n代入＜，化简得，＜（*）∵t＞0，∴（+t）8n+1＞，∴（*）化为[16（8n﹣1）﹣8n+1+1]＜3t•8n+1，整理得t＞，∴t＞（1﹣）对一切的正整数n恒成立，∵1﹣随n的增大而增大，且（1﹣）＜，∴t≥．。