论数学证明的教育价值

论数学证明的教育价值

【摘要】数学证明是指根据某个或某些真实命题和概念去断定另一命题的真实性的推理过程.数学证明的教育价值体现在：数学证明是理解数学知识特别是公式（定理）不可缺少的基本方法，是开发大脑的有效途径，可以激发许多人的学习兴趣，有利于培养中国国民的理性精神.

【关键词】数学；数学证明；教育价值

1引言

人类认识从低级到高级的形式依次是：感觉、知觉、表象；概念、判断、推理[1].前三种被称为感性认识，即认识的初级阶段；后三种被称为理性认识，即认识的高级阶段.依此推论，推理位于人类认识的最高层次.从数学的角度看，概念、判断、推理是数学逻辑思维的基本形式.因此，概念、判断、推理是数学的核心内容.数学逻辑推理一般分为三类，即归纳推理（从特殊到一般的推理）、类比推理（从特殊到特殊的推理）和演绎推理（从一般到特殊的推理）.数学证明属于演绎推理的范畴.从数学学习的角度看，数学证明的学习难度一般是比较大的，学生在解答一些数学证明题时更是感到困难重重.如，2010年高考数学四川卷文理科（19）题第（Ⅰ）问，直接考查教材中两角和的余弦公式的证明，全省考生完全答对的不到千分之一[2].又如，很多

学生对平面几何证明感到困难，不知为什么要证明，也不知怎样去证明，对几何证明中的辅助线的添加（构造）更是感到无所是从.中国的中小学在全面实施新课改以后，由于初中数学明显降低了对证明的要求，从而导致学生到高中和大学对数学证明感到畏惧甚至是恐惧，正如单墫教授所说：“最糟糕的是很多学生初中毕业竟不知道什么是数学证明.”[3]黄秦安教授在分析“初中数学新课程标准存在结构性缺陷”时指出：“数学证明和推理是数学的灵魂之一.推理和证明的要求降低，具有显性和潜在的不良后果.”[4]这些现象应该引起大家对数学证明教学的反思和研究.

2数学证明的意义

最早的数学证明出现在欧几里德的《几何原本》.欧几里德的《几何原本》自诞生以来一直被公认为是演绎逻辑系统和公理化思想的典范，一直作为最经典的数学教科书，在西方国家的发行量仅次于《圣经》而排在第二位，它培育了一代又一代的思想家、哲学家、科学家、数学家等.数学证明是指根据某个或某些真实命题和概念去断定另一命题的真实性的推理过程.数学证明是应用已经确定其真实性的公理、定义、定理、公式、性质等数学命题来论证某一命题的推理过程.数学证明的方法多种多样.按推理的形式不同可分为演绎证法（最典型的是三段论推理）与归纳证法（主要指完全归纳法）；按是否直接证明原命题可分为直接证法与间接证法（包括反证法、同一法）；按论证的思维形

式不同可分为分析法与综合法；此外，还有数学归纳法、反驳法（说明某个命题不成立）等.数学证明的过程一般表现为一系列的推理.

数学证明处于数学理性思维的最高层次.如果说数学是追求理性精神的，那么数学就离不开数学证明.大家知道，古希腊数学家非常强调严密的逻辑推理，他们甚至在自己的门上写着“不懂几何者不得入内”，但他们并不关心经过数学逻辑推理而获得研究成果的实用性，而是教育人们学习和掌握严密的逻辑推理方法，从而，激发了人们对理想的追求和美的热爱，并创造了优美的文学、深邃的哲学、丰富的几何、精美的雕塑以及神奇的建筑.反观中国古代的数学，数学家们崇尚和追求数学的实用价值，其最大的缺点是缺少严格论证（数学证明）的思想.由于数学模型、数学思想、数学推理、数学方法等是建构近代科学宏伟大厦的脊梁，而中国人又长期保持了缺乏数学理性思维的惯性.因此，必然导致近代自然科学不会在中国产生.正如杨玉良院士所说：“严密的逻辑推理和论证是精密科学所必不可少的，没有演绎逻辑学就不可能诞生以牛顿力学为代表的精密的近代科学.”[5]“缺乏以严密的逻辑推理和论证为特征的数学哲学精神，是无法催生现代科学的.”[5]由此易知，严密的逻辑推理和论证对现代科学的建立和发展是极其重要的.

3数学证明的教育价值

数学证明是人类文明进程中产生的科学、简明的“说理”方

式，同时也是数学中最为重要的一种思想方法，是数学教育独特思维训练价值的具体体现[6].关于数学证明的教育价值，一些学者已有不少研究.王申怀教授认为，“数学证明的教育价值在于：通过证明的教与学，使学生理解相关的数学知识；通过证明，训练和培养学生的思维能力（包括逻辑的和非逻辑的思维）以及数学交流能力；通过证明，帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化；通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识”[7].熊惠民等认为：“数学证明的教育价值应该体现在：从文化上，让学生体会数学的理性精神，懂得理性地思考问题；从知识上，证明能加深对概念和定理的理解，并能导致发现；从思维上，证明能训练和培养逻辑和非逻辑的思维能力.”[8]G·Polya也说：“如果他没有学会几何证明，他就没学到真实论据的最好和最简单的例子，也错过了获得严格推理概念的最好机会.”[8]罗增儒教授指出：“数学证明有3个主要作用：核实、理解和发现”、“证明是数学的特征，我们的数学教学要全面关注数学证明的3个作用.”[9] 研究者认为，数学证明的教育价值体现在：数学证明是理解数学知识特别是公式（定理、性质等）不可缺少的基本方法，是开发大脑的有效途径，可以激发许多人学习数学的兴趣，有利于培养中国国民的理性精神.

3.1数学证明是理解数学知识特别是定理（公式、性质等）不可缺少的基本方法

理解数学是数学教学的核心目标.《辞海》对“理解”的定义是“了解、领会”，是通过解释事物之间的联系而认识新事物的过程.理解数学就是让学生明白“数学对象之间的联系是基于逻辑的联结”，理解数学是一个认知内化的过程.数学证明是理解数学知识特别是公式（定理、性质等）不可缺少的基本方法.认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征.知识的理解与知识的表征密切相关.对数学公式（定理）的理解就是对这个数学公式（定理）的正确、完整、合理的表征.当学生对数学定理（公式）达到理性认识时才能说对这个公式（定理、性质等）理解了，也可以说，当学生弄懂弄清了公式（定理）的条件、结论、推论以及证明过程的每一步之后，才能说对此公式（定理）理解了.毛泽东在《实践论》中指出：“感觉到了的东西，我们不能立刻理解它，只有理解了的东西才更深刻地感觉它.感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题.”数学学习既需要对数学对象的感性认识，更需要对诸多数学对象（如定义、命题）之间的内在逻辑关系达到理性认识.比如，对于数学定义之间的逻辑关系，应弄清哪个定义是上位定义，哪个定义是下位定义，哪些定义具有等价关系；对于数学命题之间的逻辑关系，应弄清哪个结论是某个定理的推论或特例，哪些定理在逻辑上是等价的等，这些都离不开证明.数学证明是数学理论的重要组成部分，是数学严谨逻辑性的根本特征.学生对数学理论的学习，理所当然应理解数学基本公式和重要定理的证明过程，应掌握数学证明