北师大版九年级上册 2.5一元二次方程根与系数的关系课件
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北师大版初中九年级上册数学课件 《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT优质课件
第二章 一元二次方程
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.
北师大版数学 九年级上册 2.5：一元二次方程根与系数的关系 课件
走，有的人留在原地，一起走的人，也可能在下个路口与你分开。没什么可哀叹的，这是人生的必然，珍惜身边与你一起看风景的人，并在下 一个分开路口，洒脱的用力的挥挥手。
8. 地球是运动的，一个人不会永远处在倒霉的位置。 9. 在人生的旅途中，每一个人都曾迷惑和彷徨，人生在世无常，一切得失源于个人所求所悟，勿需在意，或盲目追随大流，否则将是人云亦 云，不知其所以然，或似懂非懂，反失了本心本意。人生是一场苦旅，我们一边感受，一边修行。
• 4、一元二次方程的求根公式是什么？
一、复习回顾 激趣导入
复习回测:(解方程）
(1) x2-2x+1=0
x1=x2=1
(2) x22 3x10 x1 32,x2 32
(3) 2x2-3x+1=0
x1=1,x2= —12
思考与探究：
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系(1)求证：方程有两个不相等的实数 根；
(2)设x1，x2为方程的两个实数根， 且x1＋2x2＝14，试求出方程的两 个实数根和k的值．
祝愿同学们：
象雄鹰一样 飞的更高， 飞的更远！
7 、成功的秘诀在于坚持自已的目标和信念。 3 、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。 10. 要有多坚强，才敢念念不忘。 6 、人生要成沉淀，要有定力，一个人定力不够会浮躁。 5 、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。 15. 淡然面对过去，坦然迎接将来，学会让心变得坚强。希望的终结才是人生真正的重点。人生在世的意义，是不断地去追求，不要当错过了 ，才知道要会很，也不要等老了，才回去怀念，时光一去不回，每一刻都是值得珍惜的时候。
18 、在逆境中要看到生活的美，在希望中别忘记不断奋斗。 5 、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。 11. 无法挽回的过失往往是由于骄横傲慢造成的，而放纵自己的情感就会沉湎于嗜好和欲望之中。 19 、谢谢那些怀疑我的人，给我成长的洗礼，让我更加孤独。 12) 这个世界唯一不变的就是变化，任何事情，想到了就要去做，永远不要去等待和拖延。人生的路谁也无法重走，今天，虽不是最好，但正 是可以努力的地方。时间是变化的，关键在于把握当下。
8. 地球是运动的，一个人不会永远处在倒霉的位置。 9. 在人生的旅途中，每一个人都曾迷惑和彷徨，人生在世无常，一切得失源于个人所求所悟，勿需在意，或盲目追随大流，否则将是人云亦 云，不知其所以然，或似懂非懂，反失了本心本意。人生是一场苦旅，我们一边感受，一边修行。
• 4、一元二次方程的求根公式是什么？
一、复习回顾 激趣导入
复习回测:(解方程）
(1) x2-2x+1=0
x1=x2=1
(2) x22 3x10 x1 32,x2 32
(3) 2x2-3x+1=0
x1=1,x2= —12
思考与探究：
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系(1)求证：方程有两个不相等的实数 根；
(2)设x1，x2为方程的两个实数根， 且x1＋2x2＝14，试求出方程的两 个实数根和k的值．
祝愿同学们：
象雄鹰一样 飞的更高， 飞的更远！
7 、成功的秘诀在于坚持自已的目标和信念。 3 、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。 10. 要有多坚强，才敢念念不忘。 6 、人生要成沉淀，要有定力，一个人定力不够会浮躁。 5 、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。 15. 淡然面对过去，坦然迎接将来，学会让心变得坚强。希望的终结才是人生真正的重点。人生在世的意义，是不断地去追求，不要当错过了 ，才知道要会很，也不要等老了，才回去怀念，时光一去不回，每一刻都是值得珍惜的时候。
18 、在逆境中要看到生活的美，在希望中别忘记不断奋斗。 5 、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。 11. 无法挽回的过失往往是由于骄横傲慢造成的，而放纵自己的情感就会沉湎于嗜好和欲望之中。 19 、谢谢那些怀疑我的人，给我成长的洗礼，让我更加孤独。 12) 这个世界唯一不变的就是变化，任何事情，想到了就要去做，永远不要去等待和拖延。人生的路谁也无法重走，今天，虽不是最好，但正 是可以努力的地方。时间是变化的，关键在于把握当下。
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(15张)
m＋1 2
，x1·x2＝ －m2
．
6．已知x1，x2是一元二次方程2x2－5x－1＝0的两根，则x1－1＋x2 －1＝_－__5_．
7．方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写
出 一 个 根 为 [ － 2 ， 3] 的 一 元 二 次 方
程 x2－x－6＝0(答案不唯一)
10．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之 积．
(1)x2＋4x＝0 解：x1＋x2＝－4 x1x2＝0
(2)2x2－3x＝5 解：x1＋x2＝32 x1x2＝－52
11．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2， m，求m，n的值．
解：由根与系数的关系可得：m＋(－2)＝－1，∴m ＝1.又∵－2m＝n，∴n＝－2
则a的值是( D )
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
16．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互 为倒数，则k＝_－__1_．
17．(2014·扬州)已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则 代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为__2_3_．
18．关于 x 的方程 2x2－(a2－4)x－a＋1＝0. (1)a 为何值时，方程的一根为 0? (2)a 为何值时，两根互为相反数？
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根 x1，x2，那么 x1
＋x2＝ －ba
c
，x1x2＝ a
．
知识点：一元二次方程的根与系数的关系
1．下列一元二次方程两实数根之和为－4的是( D )
A．x2＋2x－4＝0
B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋9＝0 D．x2＋4x－1＝0
2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件 北师大版数学九年级上册
感悟新知
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 【母题 教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方 程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根 和q 的值.
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
感悟新知
∴－ba2－4·1a＝1.∴b2＝a2＋4a. ∴t＝10a－b2＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋9. ∵－(a－3)2≤0， ∴t＝－(a－3)2＋9≤9，即 t 的最大值为 9.
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 二次项系数为1 的一元二次方程的性质
1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系
12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12=0
B. x2＋7x＋12=0
C. x2＋7x－12=0
D. x2－7x－12=0
感悟新知
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
������1 ������2
= =
3, 2.
②当 m 2=-1 时,x1+x2=������2-1=-1,x1-x2=1,
组 成 方程组
������1 + ������2 = -1,解这个方程组,得 ������1-������2 = 1,
������1 ������2
= 0, = -1.
关闭
答答案案
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1-x2=1, 求 m 的值及方程的两个根.
解 :∵x1,x2 是方程的两个根,
∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
2
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,∴
关闭
解:∵x1,x2 是方程 2x2-3x-1=0 的两个根,
∴x1+x2=32,x1·x2=-12. ∴������13 x2+x1������23 =x1x2(������12 + ������22 )=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-12 ×
3 2
2
+2×源自1 2=-183.
答案
轻松尝试应用
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1+x2= -������������
,x1x2=
������ ������
.
x1,x2,那么
轻松尝试应用
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
×
3 2
2
+ 2×
1 2
=- .
13 8
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
6. 已知关于 x 的方程 2x -(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1 -x2 =1, 求 m 的值及方程的两个根.
关闭
2
解 :∵x1 ,x2 是方程的两个根,
∴x1 +x2 = ,x1 · x2 = . 2 2 ∵x1 -x2 =1,∴( x1-x2) 2=1 . ∴( x1 +x2 ) - 4x1· x2=1,∴
2
������ -1
������ +1
化简得:m2- 10m- 11=0 .解得:m1 =11,m2=- 1. 分以下两种情况:
������ -1 2
2
-4 ×
������ +1 =1, 2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������ = 3, 解这个方程组,得 1 ������2 = 2. ������1- ������2 = 1, ������1 = 0, ������1 + ������2 = - 1, 解这个方程组,得 ������2 = - 1. ������1- ������2 = 1,
2
1 ������1
1 ������2
3 4
关闭
1 3
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6, 那么这个一元二次方 程为 .
关闭
x2 -4x-2=0
答案
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系课件
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 .
随堂即练
1.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的
值.
2.已知m，n 是一元二次方程x2+x－2 023=0的两个实数根，则
代数式m2+2m+n 的值等于(
)
A. 2021
B. 2022
C. 2023
D. 2024
2a
b
.
a
2
2
b b 2 4ac b b 2 4ac
x1 x2
2a
2a
b2 b2 4ac
4ac
2
4a
c
.
a
4a 2
典例精析
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 +7x +6 = 0 ;
（2）2x2 - 3x -2 = 0 .
解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6.
△ =b2-4ac = 72+4×1×6 = 49-24 = 25 > 0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=-7， x1x2 = 6.
（2）这里 a = 2，b = -3，c = -2.
△ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2) = 9+16 = 25 > 0
第二章 一元二次方程
第5节 一元二次方程的根与系数的关系
复习回顾
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点）
2.5 一元二次方程的根与系数的关系 北师大版九年级上册教学课件
x1·x2 =
c a
引申：1. 若 ax2 bx c 0 (a 0 0)
（1）若两根互为相反数，则b0；
（二2）、若两合根互作为倒交数，流则a，c； 探究新知
（3）若一根为0，则c0 ；
（4）若一根为1，则abc0 ；
（5）若一根为1，则abc0；
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.
判别式定理 一、复习回顾
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根
当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
判别式逆定理
一、复习回顾 若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0
一正根，
两个正根
两个负根
一负根二、合作交流，探究新知
{ △＞0 X1X2＜0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＞0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
例1 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根是 x1, x2 且x12 x22 4
求 k 的值.
三、运用新知 解：由根与系数的关系得
解得：k=4 或k=－2
x1+x2=-k， x1×x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 k2- 2(k+2）=4
k2-2k-8=0
∵ห้องสมุดไป่ตู้△= k2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
例2 方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0) 有一个正根，一个负
北师大版数学九年级上册课件：2.5一元二次方程的根与系数的关系 (共21张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 8:34:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 8:34:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
秋北师大版九年级数学上册习题课件：2.5 一元二次方程的根与系数的关系(共22张PPT)
(2)(x＋1)2＝4x(x－1)． 解：整理得：3x2－6x－1＝0， x1＋x2＝2, x1x2＝－13.
4. 若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋k－3＝0 的两 个实数根为 x1，x2，且满足 x1＝3x2，试求出方程的两个 实数根及 k 的值．
解：x1＝3，x2＝1，k＝6.
5. (2017·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(m －3)x－m＝0.
◎基础训练
1. (2017·烟台)若 x1，x2 是方程 x2－2mx＋m2－m－
1＝0 的两个根，且 x1＋x2＝1－x1x2，则 m 的值为( D )
A．－1 或 2
B．1 或－2
C．－2
D．1
【解析】由题意，x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1， ∵x1＋x2＝1－x1x2，∴2m＝1－(m2－m－1)，解得
7. 若两个不等实数 m、n 满足条件：m2－2m－k＝0， n2－2n－k＝0.
(1)求 k 的取值范围； (2)若 m2＋n2 的值是 6，求 k 的值．
解：(1)由已知得 m、n 分别是方程 x2－2x－k＝0 不
相等的实数根，Δ＝4＋4k>0，得：k>－1.
(2)由 m＋n＝2，mn＝－k， m2＋n2＝(m＋n)2－2mn，得 4＋2k＝6, 解得 k＝1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月12日星期日2021/9/122021/9/122021/9/12 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/122021/9/12September 12, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/12
2.5+一元二次方程的根与系数的关系+(课件)2024—2025学年北师大版数学九年级上册
1.一元二次方程根与系数的关系是什么？
如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么 X1+X2= -p,X1X2= q . 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.
课后作业：基础题
5、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1）
;（2) ;(3)
1、已知方程 是 ,且
的两个实数根 ,求k的值.
2、方程
பைடு நூலகம்
有一个正根，
一个负根，求m的取值范围。
谢谢！
一元二次方程根与系数的关系是法国数 学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达 定理.
归类探究
类型之一 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
例1： A
类型之二 ：利用根与系数的关系求与方程 两根有关的代数式的值
例2：
另外几种常见的求值:
类型之三:利用根与系数的关系解决已知一根 求另一根的问题 例3:已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根 为2，求方程的另一个根．
一元二次方程的根与系数的关系
根据所填写的表格，你能发现x1 + x2， x1x2与方 程的系数有什么关系？
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2= 时， 注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2，那么 X1+X2=-p, X1X2= q.
能力提升
3、方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满
足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 (
)
A．－2或3
如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么 X1+X2= -p,X1X2= q . 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.
课后作业：基础题
5、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1）
;（2) ;(3)
1、已知方程 是 ,且
的两个实数根 ,求k的值.
2、方程
பைடு நூலகம்
有一个正根，
一个负根，求m的取值范围。
谢谢！
一元二次方程根与系数的关系是法国数 学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达 定理.
归类探究
类型之一 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
例1： A
类型之二 ：利用根与系数的关系求与方程 两根有关的代数式的值
例2：
另外几种常见的求值:
类型之三:利用根与系数的关系解决已知一根 求另一根的问题 例3:已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根 为2，求方程的另一个根．
一元二次方程的根与系数的关系
根据所填写的表格，你能发现x1 + x2， x1x2与方 程的系数有什么关系？
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2= 时， 注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2，那么 X1+X2=-p, X1X2= q.
能力提升
3、方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满
足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 (
)
A．－2或3
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解：设方程的另一个根是x1，由根与系数的关系，得：
2x1＝
6 5
,
∴x1＝
3 5
又∵x1＋2＝
k 5
,
∴k＝－7.
∴方程的另一个根是
x1＝
3 . k＝－7.
5
2．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1 ＝0的两个根的 (1)平方和；(2)倒数和．
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3, 2
A．－10
B．10
C．2
D．－2
2．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实 数根，则a2＋2a＋b的值为___2_0_1_5__．
展示提升
1．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则
另一个根为( C )
A．2
B．3
C．4
D．8
2．若α，β是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则
x1 x2
2a
2a
b
2b 2a
b . a
b2 4ac b 2a
b2 4ac
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
c. a
知识模块二 一元二次方程根与系数关系定 理的应用 (一)自主探究 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、
α2＋β2的值为(A )
A．10
B．9
C．7
D．5
3．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48 ＝0的两实根，则菱形的面积为__2_4_．
4．(易错题)已知x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0 的两实根的平方和等于11，则k＝__1__．
课堂小结
内容
根与系数的关系 （韦达定理）
如果一元二次方程
2.5 一元二次方程的 根与系数的关系
【学习目标】 1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的 关系． 2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下， 求出方程的另一根，以及方程中的未知系数． 3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值． 【学习重点】 根与系数的关系及运用． 【学习难点】 定理发现及运用．
两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
1 2
3 2
1 2
6x2＋x－2＝0
1 2
2 －3
－16
1 －3
2.归纳总结：一般地，对于关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根 x1、x2，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式 知
能得出以下结果：
x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ac.
证一证：
b b2 4ac b b2 4ac
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数
, x1 x2 = -1 .
(二)合作探究
例 1.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一 个根及k的值.
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么, x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ac.
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用x1+x2=－ b 时， a
注意“－ ”不要漏写。
2．一元二次方程x2－2 3 x－1＝0 的两个根为 x1＝___3_＋_2__ ，x2＝ ___3_－__2_ ， x1＋x2＝ ___2__3__ ，
x1·x2＝_－__1_．
3．一元二次方程2x12－3x＋1＝0的两个根为 x1＝__1___， x2＝__2___；
3
1
x1＋x2＝ __2___； x1·x2＝ __2___.
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是
x1、 x2，那么
x1
x2
b a
c
x1
x2
a
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
应用
(x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 x1 x2 x1 x2 x1 • x2
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
（韦达定理）
旧知回顾
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是
x＝－b± 2ab2－4ac(b2－4ac≥0)．
2．一元二次方程3x2－6x＝0的两个根是 x1＝_0__，x2＝__2__．
3．一元二次方程x2－6x＋9＝0的两个根是 _x_1_＝__x_2＝__3__．
自学互研
知识模块一 探索一元二次方程的根与系数的关系 (一)自主探究 1．一元二次方程x2－2x＋1＝0的两个根是x1＝__1__ ， x2＝__1__ ，x1＋x2＝__2__ ，x1·x2＝__1__ ．
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1