全国Ⅱ2010年高考数学理(甘肃_贵州_新疆_青海_西藏_内蒙古_云南)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题1、复数=+-2)13(ii （ ） （A ）i 43-- （B ）i 43+- （C ）i 43- （D ）i 43+2、函数)1.(2)1ln(1>-+=x x y 的反函数是（ ）（A ）)0(112>-=+x e y x （B ）)0(112>+=+x e y x （C ）)(112R x e y x ∈-=+ （D ）)(112R x e y x ∈+=+3、若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44、如果等差数列}{n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a （ ） （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）355、不等式0162>---x x x 的解集为（ ） （A ）}3,2|{>-<x x x 或 （B ）}31,2|{<<-<x x x 或 （C ）}3,12|{><<-x x x 或 （D ）}31,12|{<<<<-x x x 或6、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种7、为了得到函数)32sin(π-=x y 的图像，只需把函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位8、在ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，若=，=，1a =，2b =，则=（ ） （A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +9、已知正四棱锥ABCD S -中，32=SA ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）（A ）1 （B （C ）2 （D ）310、若曲线21-=xy 在点),(21-aa 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则=a （ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）811、与正方体1111D C B A ABCD -的三条棱AB 、1CC 、11D A 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个12、已知椭圆C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于A 、B 两点．若3=，则=k （ ）（A ）1 （B （C （D ）2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知α是第二象限的角，34)2tan(-=+απ，则=αtan ．14、若9)(xa x -的展开式中3x 的系数是84-，则=a ．15、已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的准线为l ，过)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若=，则=p ．16、已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4=AB ．若3==ON OM ，则两圆圆心的距离=MN ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33=BD ，135sin =B ，53cos =∠ADC ，求AD ．18、（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n n n n S 3)(2⋅+=． （Ⅰ）求nnn S a ∞→lim；（Ⅱ）证明：nn n a a a 32122221>+++ ． 19、（本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC =，AB AA =1， D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13EB AE =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为045， 求二面角111B AC A --的大小．20、（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1T ，2T ，3T ，4T ，电源能通过1T ，2T ，3T 的概率都是P ，电源能通过4T 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。

已知1T ，2T ，3T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999.（Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的 概率. （Ⅲ）ξ表示1T ，2T ，3T ，4T 中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．21、（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 相交于B 、D 两点，且BD 的中点为)3,1(M ．（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17||||=⋅BF DF ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．22、（本小题满分12分） 设函数xex f --=1)(．（Ⅰ）证明：当1->x 时，1)(+≥x xx f ； （Ⅱ）设当0≥x 时，1)(+≤ax xx f ，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题 13、－2114、1 15、2 16、3 三、解答题17、解： 由053cos >=∠ADC ，知2π<B ，由已知得1312cos =B ，54sin =∠ADC ， 从而B ADC B ADC B ADC BAD sin cos cos sin )sin(sin ∠-∠=-∠=∠653313553131254=⨯-⨯=，由正弦定理得BADBDB AD ∠=sin sin , 所以25653313533sin sin =⨯=∠⋅=BADB BD AD . 18、解： (Ⅰ)1limlim n n n n n nn a S S S S -→∞→∞-=1lim(1)n n n S S -→∞=-11lim n n n S S -→∞-，1111lim lim 133n n n n S n S n -→∞→∞-=⋅=+，所以2lim3n n na S →∞=.（Ⅱ）当1n =时，112631a S ==>； 当1n >时，1222212n a a a n +++112122212n n S S a S S n ---=+++22122222122)1)1(1()3121()2111(nS n S S n n S S n n n >+⋅--+⋅-+⋅-=- nn nn n 3322>⋅+=，所以，当1≥n 时，n n n a a a 32122221>+++ . 19、解：（Ⅰ）连接1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F. 因为面11AA B B 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF FB =. 又13AE EB =，所以1FE EB =，又D 为1BB 的中点，故//DE BF ，1DE AB ⊥.作CG AB ⊥，G 为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点.又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥面11AA B B .连接DG ，则1//DG AB ， 故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥. 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.（Ⅱ）因为1//DG AB ，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=. 设2AB =，则1AB DG CG AC ==作111B H AC ⊥，H 为垂足.因为底面111A B C ⊥面11AAC C ，故1B H ⊥面11AAC C ，又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B K H ∠为二面角111A AC B --的平面角.111B H ==，1HC ==，1AC ==111AA HC HK AC ⨯==，14tan 11==∠HK H B KH B ，所以二面角111B AC A --的大小为14arctan .（20）解: 记1A 表示事件：电流能通过1T ，4,3,2,1=i ，A 表示事件：1T ，2T ，3T 中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，（Ⅰ）123123A A A A A A A =，，，相互独立，3123123P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p ===-,又 P()1P(A)=10.9990.001A =--=， 故 3(1)0.0010.9p p -==，， （Ⅱ）32143144A A A A A A A A B ++=，)()()()(32143144A A A A P A A A P A P B P ++=)()()()()()()()(32143144A P A P A P A P A p A P A P A P ++=9991.09.09.01.01.09.09.01.09.0=⨯⨯⨯+⨯⨯+=.（Ⅲ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立， 故~(4,0.9)B ξ，40.9 3.6E ξ=⨯=.（21）解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+.代入C 的方程，并化简，得2222222()440b a x a x a a b ----=.设11(,)B x y 、22(,)D x y ，则22221212222244,a a a b x x x x b a b a ++=⋅=---，① 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a⨯=-，即223b a =，②故2c a ==，所以C 的离心率2ce a==. （Ⅱ）由①、②知，C 的方程为：22233x y a -=，2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==-<，故不妨设12,x a x a ≤-≥.12BF a x ===-，22FD x a ===-，12(2)(2)BF FD a x x a ⋅=--2121242()x x a x x a =-++-2548a a =++.又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，解得1,a =或95a =-（舍去）.故126BD x =-=.连接MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点Ａ处于x 轴相切． 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切. （22）解：（Ⅰ）证明：当1->x 时，1)(+≥x x x f 当且仅当1+≥x e x；令1)(--=x e x g x ，则1)(-='x e x g ， 当0≥x 时，0)(≥'x g )(x g 在),0[+∞上是增函数；当0≤x 时，0)(≤'x g )(x g 在]0,(-∞上是减函数； 于是()g x 在0x =处达到最小值，因而当x R ∈时，()(0)g x g ≥，即1xe x ≥+. 所以当1x >-时，()1x f x x ≥+. （Ⅱ）由题设0x ≥，此时()0f x ≥.当0a <时，若1x a >-，则01x ax <+，()1xf x ax ≤+不成立；。