高斯平面直角坐标系的建立
最新版《测量学》课后习题答案
第一章：绪论1.名词解释：测量学、测定、测设、大地水准面、地球椭球面、绝对高程、相对高程、6°带、高斯平面直角坐标、参心坐标系、地心坐标系、正高、大地高。
(1)测量学是研究地球的形状和大小以及确定地面、水下及空间点位的科学。
（2）测定是指用测量仪器对被测点进行测量、数据处理，从而得到被测点的位置坐标，或根据测量得的数据绘制地形图。
（3）测设是指把设计图纸上规划设计好的工程建筑物、构筑物的位置通过测量在实地标定出来。
（4）大地水准面是由静止海水面并向大陆、岛屿延伸而形成的不规则的闭合曲面。
（5）地球椭球面是把拟合地球总形体的旋转椭球面。
（6）绝对高程是指地面点沿垂线方向至大地水准面的距离。
（7）相对高程是指选定一个任意的水准面作为高程基准面，地面点至此水准面的铅垂距离。
（8）6°带，即从格林尼治首子午线起每隔经差6°划分为一个投影带。
（9）高斯平面直角坐标：经投影所得的影响平面中，中央子午线和赤道的投影是直线，且相互垂直，因此以中央子午线投影为X轴，赤道投影为Y轴，两轴交点为坐标原点，即得高斯平面直角坐标系。
（10）参心坐标系是以参考椭球的几何中心为基准的大地坐标系。
（11）地心坐标系是以地球质心为原点建立的空间直角坐标系，或以球心与地球质心重合的地球椭球面为基准面所建立的大地坐标系。
（12）正高是指地面点到大地水准面的铅垂距离。
（13）大地高是指地面点沿法线至地球椭球面（或参考椭球面）的距离，称为该点的大地高。
2. 测量学主要包括哪两部分内容？二者的区别是什么？测量学主要包括测定和测设两部分内容；区别：测定是用测量仪器对被测点进行测量根据测量得的数据绘制地形图，而测设是指把设计图纸上设计好的坐标实地标定出来。
3. 简述Geomatics的来历及其含义。
来历：自20世纪90年代起，世界各国将大学里的测量学专业、测量学机构好测量学杂志都纷纷改名为Geomatics。
Geomatics是一个新造出来的英文名词，以前的英文词典中找不到此词，因此也没有与之对应的汉译名词。
高斯平面直角坐标系的建立过程
高斯平面直角坐标系的建立过程高斯平面直角坐标系是一种常用的平面直角坐标系，它是基于直
角坐标系的基本概念和高斯投影法而建立的。
建立高斯平面直角坐标系的过程如下：
1. 确定起算点和起算坐标：高斯平面直角坐标系以某一地点的经
纬度作为起算点，对应着该地点的平面直角坐标为起算坐标。
2. 选取中央经线：以起算点为中心，选取一条经线作为中央经线。
3. 制定投影方案：根据高斯投影法的原理，确定投影面、投影方法、坐标系方向和比例因子等参数。
4. 建立坐标网格系统：基于投影方案，在平面上划分均匀的坐标
网格，形成高斯平面直角坐标系。
5. 确定坐标变换关系：通过计算，将某一地点的经纬度坐标转换
为相应的高斯平面直角坐标。
同时，也可以通过逆向计算，将高斯平
面直角坐标转换为经纬度坐标。
以上是高斯平面直角坐标系的建立过程，它为地图制图和测量工
作提供了基础坐标系。
工程测量简答题
工程测量简答题大学测量学简单题1. 什么叫大地水准面?它有什么特点和作用?通过平均海水面的一个水准面，称大地水准面，它的特点是水准面上任意一点铅垂线都垂直于该点的曲面，是一个重力曲面，其作用是测量工作的基准面。
2.测量上的平面直角坐标系和数学上的平面直角坐标系有什么区别?测量坐标系的X轴是南北方向，X轴朝北，Y轴是东西方向，Y轴朝东，另外测量坐标系中的四个象限按顺时针编排，这些正好与数学坐标系相反。
3.什么叫高斯投影？高斯平面直角坐标系是怎样建立的?假想将一个横椭圆柱体套在椭球外，使横椭圆柱的轴心通过椭球中心，并与椭球面上某投影带的中央子午线相切，将中央子午线附近（即东西边缘子午线范围）椭球面上的点投影到横椭圆柱面上，然后顺着过南北极母线将椭圆柱面展开为平面，这个平面称为高斯投影平面。
所以该投影是正形投影。
在高斯投影平面上，中央子午线投影后为X轴，赤道投影为Y轴，两轴交点为坐标原点，构成分带的独立的高斯平面直角坐标系统。
4.地面上一点得空间位置在测量工作中是怎样表示的？在测量学中，地面上一点的空间位置是用平面坐标和高程来表示的，点的平面坐标分为平面直角坐标（x，y）和地理坐标（精度，纬度）。
5.普通测量学的任务是什么？普通测量学的基本任务是测绘，测设和监测。
6.确定地面点位要做哪些基本测量工作？距离测量，角度测量和高程测量。
7.在测量中，采取哪些措施来保证测量成果的正确性？为了控制测量误差的传递和积累，保证测量成果的正确性，测绘工作必须遵循先控制后碎步，步步检核的原则。
1用水准仪测定、两点间高差，已知点高程为=12.658m，尺上读数为1526mm，尺上读数为1182mm，求、两点间高差为多少？点高程为多少？绘图说明。
hAB=+0.344m，hB=13.002m2．何谓水准管轴？何谓圆水准轴？何谓水准管分划值？通过水准管圆弧零点的切线，称为水准管轴。
通过圆水准器零点的法线，称为圆水准轴。
水准管上两相邻分划线间的圆弧（2㎜）所对的圆心角，称为水准管分划值。
高斯直角坐标系
高斯直角坐标系高斯直角坐标系是一种用于地图制图的坐标系，也被称为高斯-克吕格投影坐标系。
它是一种平面直角坐标系，用于将地球表面上的点映射到平面上。
在这个坐标系中，地球表面被划分成了许多小区域，每个小区域都有一个唯一的投影中心。
下面将对高斯直角坐标系进行详细介绍。
一、高斯直角坐标系的定义高斯直角坐标系是指在地球表面上建立一个平面直角坐标系，使得该平面上任意一点（x,y）与其所对应的经纬度（B,L）之间存在着确定的函数关系。
二、高斯直角坐标系的原理在高斯直角坐标系中，我们假设地球是一个椭球体，并将其投影到一个平面上。
这个平面可以看作是椭球体的切平面，即与椭球体相切的平面。
我们选择以某个点为中心进行投影，并规定该点处的投影正北方向与地理正北方向重合。
然后根据柏松定理和拉普拉斯方程式来计算每个点在该投影中所对应的坐标。
三、高斯直角坐标系的特点1. 高精度：高斯直角坐标系是一种高精度的坐标系，可以用于制图、导航和测量等领域。
2. 局部性：由于每个小区域都有一个唯一的投影中心，因此该坐标系具有局部性。
在同一小区域内，可以使用相同的投影参数进行计算。
3. 正交性：高斯直角坐标系是一种正交坐标系，即x轴和y轴互相垂直。
这个特点使得计算更加简单。
4. 投影形式多样：高斯直角坐标系有多种投影形式，可以根据不同需求选择不同的投影方式。
四、高斯直角坐标系的应用1. 地图制图：高斯直角坐标系是地图制图中常用的坐标系之一。
它可以将地球表面上的点映射到平面上，便于绘制地图。
2. 导航定位：在导航定位中，可以使用高斯直角坐标系来表示位置信息。
例如，在GPS导航系统中，可以通过将GPS信号转换为高斯-克吕格投影来实现位置定位。
3. 测量应用：在测量应用中，高斯直角坐标系可以用于计算距离、面积等。
例如，在土地测量中，可以使用高斯直角坐标系来计算土地面积。
五、总结高斯直角坐标系是一种常用的地图制图坐标系，具有高精度、局部性、正交性和投影形式多样等特点。
简述高斯平面坐标系的定义过程
简述高斯平面坐标系的定义过程高斯平面坐标系（Gaussian plane coordinate system）是一个平面直角坐标系，也被称为高斯坐标系。
它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪早期引入并使用的一种坐标系统。
高斯平面坐标系在数学和物理学的许多领域中被广泛应用，特别是在解决平面问题、微积分和统计学等领域。
高斯平面坐标系的定义过程包括确定坐标轴方向和单位长度、确定原点位置和确定坐标轴正方向三个主要步骤。
首先，确定坐标轴方向和单位长度。
高斯平面坐标系使用两个垂直的直角坐标轴来表示平面上的点，分别称为x轴和y轴。
通常情况下，我们会选择一个参考方向作为x轴的正方向，并将与之垂直的方向作为y轴的正方向。
在这个过程中，我们需要确定所选择的参考方向，这通常由具体问题的约定和需要决定。
单位长度的选择也是该步骤中的一部分，我们需要确定一个单位长度，用于标定坐标轴上的刻度。
其次，确定原点位置。
原点是高斯平面坐标系中的参考点，用来确定其他点的坐标。
原点的选择通常也由具体问题的约定和需要来确定，但在大多数情况下，我们会选择要研究问题的中心、交叉点或其他可以方便计算的位置作为原点。
最后，确定坐标轴正方向。
在确定了原点的位置后，我们需要确定x轴和y轴的正方向。
通常情况下，我们会选择x轴的正方向为沿着原点向右，y轴的正方向为沿着原点向上。
这样选择的正方向有助于进行常见问题的解析和计算，方便了问题的讨论和计算。
在确定好高斯平面坐标系的定义过程后，我们就可以用高斯平面坐标系表示平面上的点。
对于平面上的任意一点，我们可以用一个有序数对来表示其在高斯平面坐标系中的位置。
这个有序数对被称为这个点的坐标，通常记作(x, y)，其中x称为该点在x轴上的坐标，y称为该点在y轴上的坐标。
高斯平面坐标系的使用不仅仅是描述平面上的点的位置，还可以进行坐标变换和运算。
例如，在高斯平面坐标系中，可以进行平移、旋转、缩放等变换操作，也可以进行两点间的距离计算、角度计算等运算。
高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系
测量学中使用的平面直角坐标系统包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系高斯平面直角坐标系简称高斯坐标，是经高斯投影后的地面点坐标。
地面点的x坐标值，表征此地面点至赤道的距离，中国位于北半球，X坐标值均为正值，“位于北半球”的“N”也常省略；地面点的Y坐标值、表征此地面点至中央子午线的距离，当地面点位于中央子午线以东时为正，位于以西时为负。
通常将纵坐标轴向西平移500千米，不仅可保证六度带投影和三度带投影后的Y坐标值不出现负值，并可使其千米数是3位数，以便与前面所加的带号区别开。
全球有60个（对于六度带投影）或120个（对于三度带投影）地面点具有相同的Y坐标值，为使Y坐标值能与地球椭球体面上的地面点一一对应，并反映地面点所处投影带的带号，常在移轴后的Y坐标值之前，加上相应的带号，此时Y坐标值连同相应的X坐标值，称高斯坐标的通用值（常称高斯坐标）。
而将未经移轴加带号者称高斯坐标的自然值。
当Y坐标值大于500千米时，表示此地面点位于中央子午线以东，反之位于以西。
中国疆域位于六度带投影的第13带～23带和三度带投影的第25带～45带之间，故带号24作为区分六度带投影抑或三度带投影的标志。
如：中国有两地面点分别为XA=432123.567米，YA=19623456.789米；XB=345678.912米，YB=38356789.123米。
即此地面点A位于赤道以北432123.567米、六度带投影的第19带，其中央子午线的经度为东经110，位于中央子午线以东123456.789米；地面点B位于赤道以北345678.912米、三度带投影的第38带，其中央子午线的经度为东经140°，位于中央子午线以西143210.877米。
独立平面直角坐标系当地形图测绘或施工测量的面积较小时，可将测区范围内的椭球面或水准面用水平面来代替，在此水平面上设一坐标原点，以过原点的南北方向为纵轴(向北为正，向南为负)，东西方向为横轴(向东为正，向西为负)，建立独立的平面直角坐标系，测区内任一点的平面位置即可以其坐标值表示。
论述高斯平面直角坐标系的建立过程
论述高斯平面直角坐标系的建立过程在数学的发展史上，高斯平面直角坐标系是一项极为重要的发明，它可以用于表示平面上的所有点，并且常常被广泛地应用于数学、物理、工程等各个领域。
但是，这一坐标系的建立并不是一蹴而就的，下面我们将分步骤来阐述高斯平面直角坐标系的建立过程。
第一步，建立一组直角坐标系高斯平面直角坐标系的建立首先要由一组直角坐标系起步。
这组直角坐标系一般都是由两条垂直于某一直线的直线构成的。
其中，垂直于直线的水平线被称为x轴，与之垂直的竖直线被称为y轴，而这条直线则被称为坐标轴。
在这个直角坐标系中，任何一个点都可以用(x,y)的形式表示出来，其中x是该点在x轴上的坐标，y是该点在y轴上的坐标。
第二步，确定x轴和y轴的正方向在确定了一组直角坐标系之后，我们还需要确定x轴和y轴的正方向。
这一般是由实际问题所决定的。
例如，对于地图上的坐标系来说，一般规定x轴为东向，y轴为北向；对于物理学中的坐标系来说，一般规定x轴为水平向右，y轴为竖直向上等等。
第三步，建立单位长度在坐标系中，我们还需要规定一个长度单位。
这个单位长度可以是任意的，但是为了便于使用，一般会选择某种已经定义好的度量单位。
例如，对于平面直角坐标系来说，我们可以选择米、厘米、英尺等等作为长度单位。
第四步，建立高斯平面直角坐标系在上述步骤完成之后，就可以建立起一组平面直角坐标系了。
但是，高斯平面直角坐标系还需要进行一些改进。
我们将建立一个平面，将平面上的每一个点对应于一个坐标(x,y)，并且每一个坐标对应于一个唯一的点。
这样，我们就可以用坐标的方式表示平面上的所有点，从而更方便地进行计算或研究。
以上就是高斯平面直角坐标系的建立过程。
要想使用这一坐标系，必须事先清楚地了解每一步的含义和作用。
这样，我们才能更好地应用高斯平面直角坐标系在实际问题中取得更好的结果。
1-%20平面直角坐标
3．正、反坐标方位角
一条直线有正、反两个 方向，一般以直线前进 方向为正方向。在图中， 标准方向为坐标纵线， 若从A到B为正方向，由 B到A为反方向，则BA直 线的坐标方位角又称反 坐标方位角，用αBA表示
正、反坐标方位角
正、反方位角的概念是相对来说的，若事先确 定由B到A为前进方向，则又可称αBA为正坐标 方位角，而αAB为反坐标方位角。
平面直角坐标
内容介绍 本单元的主要任务是了解高斯投影概
念，掌握高斯投影直角坐标的建立方法。 主要内容：高斯平面直角坐标。
一、用水平面代替水准面的限度
如果在一定的范围内，将水准面看成水平面， 将地面点位置投影到平面上，在不影响用图 精度要求的条件下，这将为地形测量工作带 来很大的方便。用水平面代替水准面是会产 生误差的，测量范围愈大，误差也愈大，故 有必要分析一下用水平面代替水准面的限度， 下面从地球曲率对水平距离、水平角和高差 的影响进行讨论
计算前，必须先对外业记录进行全面的检查和整理， 以确保原始数据的正确性。然后绘制导线略图，图 上注明点号和相应的角度和边长，供计算时参考。
由第二章知道，计算任一点的坐标，必须知道一个 已知点的坐标，以及已知点到未知点的距离和坐标 方位角。导线测量中，点间距离直接测定，其坐标 方位角则要根据已知方向、导线连接角和折角经推 算才能得到。
△XAB=XB-XA 反之 △XBA=XA-XB
△YAB=YB-YA
△YAB=YA-YB
这说明△XAB=-△XBA
△YAB=-△YBA
坐标增量
如果已知直线AB的 长度为S，坐标方 位角为αAB，则A到 B点的坐标增量也 可由下式算出
△XAB=S·cosαAB △YAB=S·sinαAB
测量学试题及答案-(1)
习题11．什么叫大地水准面?它有什么特点和作用?2．什么叫绝对高程、相对高程及高差?3．测量上的平面直角坐标系和数学上的平面直角坐标系有什么区别?4．什么叫高斯投影？高斯平面直角坐标系是怎样建立的?5．已知某点位于高斯投影6°带第20号带，若该点在该投影带高斯平面直角坐标系中的横坐标y＝-306579.210m，写出该点不包含负值且含有带号的横坐标y及该带的中央子午线经度0L。
6．什么叫直线定线？标准方向有几种？什么是坐标方位角？7．某宾馆首层室内地面±0.000的绝对高程为45.300m，室外地面设计高程为-l.500m，女儿墙设计高程为+88.200m，问室外地面和女儿墙的绝对高程分别为多少?答案：1．通过平均海水面的一个水准面，称大地水准面，它的特点是水准面上任意一点铅垂线都垂直于该点的曲面，是一个重力曲面，其作用是测量工作的基准面。
2．地面点到大地水准面的垂直距离，称为该点的绝对高程。
地面点到假设水准面的垂直距离，称为该点的相对高程。
两点高程之差称为高差。
3．测量坐标系的X轴是南北方向，X轴朝北，Y轴是东西方向，Y轴朝东，另外测量坐标系中的四个象限按顺时针编排，这些正好与数学坐标系相反。
4、假想将一个横椭圆柱体套在椭球外，使横椭圆柱的轴心通过椭球中心，并与椭球面上某投影带的中央子午线相切，将中央子午线附近（即东西边缘子午线范围）椭球面上的点投影到横椭圆柱面上，然后顺着过南北极母线将椭圆柱面展开为平面，这个平面称为高斯投影平面。
所以该投影是正形投影。
在高斯投影平面上，中央子午线投影后为X轴，赤道投影为Y轴，两轴交点为坐标原点，构成分带的独立的高斯平面直角坐标系统。
5．Y=20000000+(-306579.210m+500000m)=20193420.790。
320L=1176⨯-=︒︒6．确定直线与标准方向的关系（用方位角描述）称为直线定向。
标准方向有真子午线方向、磁子午线方向、坐标纵轴（X轴）方向。
简述高斯平面直角坐标系
简述高斯平面直角坐标系
高斯平面直角坐标系是二维坐标系中常用的一种，也称为笛卡尔坐标系。
它是由数学家高斯所提出的，用于描述平面内的点的位置。
高斯平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴构成的，通常我们称它们为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点被称为坐标原点，它的坐标值为(0,0)。
在高斯平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x代表该点在x轴上的坐标值，y代表该点在y轴上的坐标值。
高斯平面直角坐标系的特点是，它能够对平面内的点进行精确地描述和定位。
通过在坐标系中画出线段、曲线、图形等，我们可以更加直观地理解数学中的各种概念和定理。
在高斯平面直角坐标系中，我们可以通过两点之间的距离公式来计算两点之间的距离。
同时，我们也可以通过勾股定理来计算任意直角三角形的边长和斜边长。
高斯平面直角坐标系还可以用来描述向量的运算。
在二维平面中，向量可以表示为有向线段，它有大小和方向，可以进行加减乘除等运算。
通过向量的运算，我们可以更好地解决平面内的几何问题。
高斯平面直角坐标系是数学中非常重要的一种工具，它可以用来描述平面内的点的位置和向量的运算。
在学习数学和物理等科学领域
时，熟练掌握高斯平面直角坐标系的使用方法是非常必要的。
高斯平面直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（4）反算公式
当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″。 欲使换算精确至0.01″，可对上式简化成：
大测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
平 时 作 业 用编程进行高斯投影正反算。 已知
B 51 3843.9023 L 111 0213.1360
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
即有：
在数学上，F1为 l 的偶函数，F2为 l 的奇函数。 因为在每带中，l/ρ˝不大，是一个微小量，可展成幂级 数。
m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函 数。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
大地测量学基础
4.9 高斯平面 直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
三、高斯投影坐标正反算公式 1、高斯投影坐标正反算的定义 （1）高斯投影正算： 已知椭球面上某点的大地坐标B、L，求其 该点在高斯平面直角坐标系中的坐标x、y的工作 叫高斯投影正算。 （2）高斯投影反算： 已知椭球面上某点在高斯平面直角坐标系中 的坐标x、y，求其该点的大地坐标B、L的工作 叫高斯投影反算。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（3）反算公式推导思路： 和正算公式基本一样，也是根据高斯投影的3个条件来 推导的。 ①由对称条件，同样可得： 把B、l 展成y的幂级数，而φ1为y的偶函数， φ2为y的奇 函数。
式中 n ０ ，ｎ １ ，ｎ ２ … 是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数 ,与y无关。
高斯投影与高斯平面直角坐标系概述课件
适用于小范围投影，保持地图的形状和方向准确，常用于地形图、工程图等需要 保持地图方向准确的领域。
PART 03
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的应用
在地图制作中的应用
地图投影转换
高斯投影是地图制作中常用的投影方 法，它可以将地理坐标转换为平面直 角坐标，使得地图上的图形和距离更 加准确。
地理信息整合
在工程测量和建筑中的应用
施工放样与监测
在工程建设中，高斯平面直角坐标系用于施工放样和施工过程中的监测，确保工程按照设计要求进行 。
大型设施布局
对于大型设施的布局，如机场、港口等，高斯平面直角坐标系提供了准确的定位方法，有助于设施的 合理布局和规划。
PART 04
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的优缺点
缺点
变形
由于地球是一个近似于椭球的球体，因此投影过程中难免 会产生一定的变形，尤其是在远离中央经线的地方，变形 更为明显。
中央经线附近区域扩大
在中央经线附近区域，投影导致的面积扩大现象较为显著 ，可能会影响地图的精度。
计算参数复杂
高斯投影与高斯平面直角坐标系需要使用一系列复杂的计 算参数，如地球椭球体长半轴、地球赤道半径、地球极半 径等，增加了使用难度。
PART 05
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的发展趋势和未来
展望
应用领域的拓展
随着地理信息科学和工程领域的发展，高斯投影与高斯平面直角 坐标系的应用越来越广泛，不仅局限于传统的地图制作和地理数 据分析，还涉及到导航系统、城市规划、环境监测等多个领域。
投影方式的优化
为了更好地满足各种应用需求，研究者们不断探索和改进高斯投影的算法和参数设置，以提高投影的精度和效率。同时，也出 现了多种新型的高斯投影方式，以适应不同地区的地理特点和数据需求。
高斯平面直角坐标系
高斯平面直角坐标系1. 引言高斯平面直角坐标系是一个二维坐标系统，常用于描述平面中的几何问题和物理量。
它由两个相交的轴线组成，分别称为横轴（x轴）和纵轴（y轴）。
本文将详细介绍高斯平面直角坐标系的基本概念、坐标表示和常用运算等内容。
2. 基本概念在高斯平面直角坐标系中，每个点都由一对有序实数（x, y）表示，其中x表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。
点的位置由坐标确定，而坐标则由点决定。
坐标系中的原点（0，0）位于横轴和纵轴的交点处，并作为坐标的起始位置。
横轴和纵轴向右和向上的方向分别为正方向，向左和向下的方向为负方向。
3. 坐标表示在高斯平面直角坐标系中，坐标表示的一般形式为(x, y)，其中x和y分别表示点在横轴和纵轴上的位置。
例如，点A在横轴上的位置为2，纵轴上的位置为3，则点A的坐标表示为(2,3)。
4. 坐标运算在高斯平面直角坐标系中，可以进行一些基本的坐标运算，如求两点间距离、求两点的中点等。
4.1 两点间距离设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离可以按照以下公式计算：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)4.2 两点的中点设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B的中点的坐标可以按照以下公式计算：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 25. 坐标系转换高斯平面直角坐标系可以与其他坐标系之间进行转换。
常见的坐标系转换包括直角坐标系到极坐标系的转换和直角坐标系到正交曲线坐标系的转换等。
5.1 直角坐标系到极坐标系的转换在直角坐标系中，点的坐标为(x, y)，转换为极坐标系的坐标(r, θ)可以按照以下公式计算：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)5.2 直角坐标系到正交曲线坐标系的转换在直角坐标系中，点的位置可以通过正交曲线坐标系的等值线图进行表示，转换公式如下：x = x(u, v)y = y(u, v)结论高斯平面直角坐标系是一个二维坐标系统，用于描述平面中的几何问题和物理量。
测绘学名词解释（3）
测绘学名词解释（3）测绘学名词解释答：使眼睛在目镜端上下微动，若看到十字丝与标尺的影像有相对移动时，这种现象称为视差。
产生视差的原因是标尺影像所在平面没有与十字丝分划板平面重合。
消除的方法是仔细调节目镜和物镜调焦螺旋，直到眼睛上、下移动时读数不变为止。
8.用经纬仪观测角度时，什么称为盘左，什么称为盘右？怎样观测称为半个测回，怎样称为一个测回？答：所谓盘左，就是竖盘位于望远镜的左边，又称为正镜；盘右就是竖盘位于望远镜的右边，又称为倒镜。
如果只用盘左（正镜）或者盘右（倒镜）观测一次，称为半个测回或半测回；如果用盘左、盘右（正、倒镜）各观测一次，称为一个测回或一测回。
9.经纬仪对中和整平的目的是什么? 答：对中的目的是使仪器中心与测站点标志中心位于同一铅垂线上。
整平的目的是使仪器竖轴竖直和水平度盘处于水平位置。
10.试述一测站测回法测角的操作步骤。
答：设要观测∠aob 的角值，先将经纬仪安置在角的顶点o 上，进行对中、整平，并在 a、b两点树立标杆或测钎作为照准标志，然后即可进行测角。
一测回的操作程序如下：(1)盘左位置，照准左边目标a，对水平度盘置数，略大于0°，将读数 a 左记入手簿； (2)顺时针方向旋转照准部，照准右边目标b，读取水平度盘读数b 左，记入手簿。
由此算得上半测回的角值：β左＝b 左-a 左 (3)盘右位置，先照准右边目标 b，读取水平度盘读数 b 右，记入手簿；(4)逆时针方向转动照准部，照准左边目标 a，读取水平度盘读数 a 右，记入手簿。
由此算得下半测回的角值：β右＝b 右-a 右。
以上为一测站测回法测角的操作步骤。
11.观测水平角时，什么情况下采用测回法?什么情况下采用方向观测法?答：观测两个方向之间的单个角度时采用测回法。
当观测方向超过两个时，采用方向观测法。
12. 试述一测站观测竖直角的操作步骤。
答：在测站上安置经纬仪，一个测回的观测程序如下：（1）以正镜中丝照准目标，调节指标水准管微动螺旋使气泡居中，读数、记录，即为上半测回。
高斯平面直角坐标系
高斯投影方法1
高斯投影方法2
投影
剪开
展平
高斯投影的规律： (1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影
方法： （1）先将自然值的横坐 标Y加上500000米； （2）再在新的横坐标Y 之前标以2位数的带号。
例：国家高斯平面点P（2433586.693， 38514366.157）所表示的意义:
(1)表示点P在高斯平面上至赤道的距离; X=2433586.693m
(2)其投影带的带号为38 、P点离38带的 纵轴X轴的实际坐标Y=514366.157500000= 14366.157m
为了指明该点属于 何带，还规定在横坐标y 值之前，要写上带号。 未加500km和带号的横坐 标值称为自然值，加上 500km和带号的横坐标值 称为通用值。
自然值：Y1 = +36210.140m, Y2 = -41613.070m 通用值：Y1=38 536210.140m,Y2=38 458386.930m 自然值和通用值之间：X不加500km，也不加带号。
1．6°带的划分
为限制高斯投影离中央子午线愈远，长 度变形愈大的缺点，从经度0°开始，自西向 东将整个地球分成60个带，6°为一带。
计算公式： λ =6N-3 λ——中央子午线经度 N——投影带号
2．3°带的划分
若仍不能满足精度要求,可进行3 °带、 1.5 °带的划分。
3 °带计算公式：
λ =3N λ——中央子午线经度, N——投影带号。
之后的长度无变形；其余子午线的投影均为凹向 中央子午线的曲线，且以中央子午线为对称轴， 离对称轴越远，其长度变形也就越大；
高斯平面直角坐标系
则长度比公式简化为:
x 2 y 2 q q m2 r2 x 2 y 2 l l r2
E G m N cos B N cos B
柯西__黎曼条件的几何意义
AB AC cos AB AC BB C C sin AB CC
AB? AC? AB’? BB’? CC’? AC’? 同样推出柯西__黎曼条件，同时得到 子午线收敛角公式
y x tan B L x y B L
3 f
n2
tf 2 N 2 cos B f f t f 5 6t 2 2 4 4 f f f 24N 4 cos B f f
n4
5 28t 2 24t 4 6 2 8 2 t 2 f f f f f t f 61 180t 120t 46 48 t
3 5
h
X
P x, y
其中mi是B的函数 对l和q求导
x
O
y
x l x q y l y q
2m2l 4m4l 3 dm0 dm2 2 dm4 4 l l dq dq dq m1 3m3l 2 5m5l 4 dm3 3 dm5 5 dm1 l l l dq dq dq
其各阶导数为：
dX N cos B, dq
d2X d dX dB 2 dq dq N sin B cos B dq dB
d3X N cos3 B(t 2 1 2 ) dq3 d4X N sin B cos3 B(5 t 2 9 2 4 4 ) dq4 d5X N cos5 B(5 18t 2 t 4 14 2 58t 2 2 ) dq5 d6X N sin B cos5 B(61 58t 2 t 4 270 2 330t 2 2 ) 6 dq
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高斯—克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。
它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上，该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线，投影中将其称为中央经线，然后根据一定的约束条件即投影条件，将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上，从而得到点的高斯投影(图3-2-5)。
将一球椭球体地球装在椭圆柱内上下切点为中央经线。
高斯投影的条件为：(1)中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴；(2)等角投影；(3)中央经线上没有长度变形。
根据高斯投影的条件推导出的高斯—克吕格投影的计算公式为：式中：X、Y为点的平面直角坐标系的纵、横坐标；φ、λ为点的地理坐标，以弧度计，λ从中央经线起算；S为由赤道至纬度φ处的子午线弧长；N为纬度φ处的卯酉圈曲率半径；其中η为地球的第二偏心率，a、b则分别为地球椭球体的长短半轴。
高斯投影由于是等角投影，故没有角度变形，其沿任意方向的长度比都相等，其面积变形是长度的两倍。
对高斯—克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行：由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点：(1)中央经线上无变形；(2)同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大；(3)同一条经线上，纬度越低，变形越大；由此可见，高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差(6°或3°)划分为若干相互不重叠的投影带，各带分别投影。
1：万至1：50万的地形图均采用6°分带方案，即从格林尼治零度经线起算，每6°为一个投影带，全球共分为60个投影带。
我国领土位于东经72°到136°之间，共包括11个投影带(13带～22带)。
1：1万及更大比例尺地形图采用3°分带方案，全球共分为120个投影带。
图3—4给出了高斯投影的6°带和3°带分带方案。
为了制作地图和使用地图的方便，通常在地图上都绘有一种或两种坐标网，即经纬线网和方里网。
经纬线网——即指由经线和纬线所构成的坐标网，又称地理坐标网。
在1：1万——1：20万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓线的形式直接表现出来，并在图角处注出相应度数。
为了在用图时加密成网，在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线(图式中称“分度带”)，必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网。
1：25万地形图上，除内图廓上绘有经纬网的加密分划外，图内还有加密用的十字线。
我国的1：50万——1：100万地形图，在图面上直接绘出经纬线网，内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。
方里网——是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。
因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。
直角坐标网的坐标系以中央经线投影后的直线为X轴，以赤道投影后的直线为Y轴，它们的交点为坐标原点。
这样，坐标系中就出现了四个象限。
纵坐标从赤道算起向北为正、向南为负；横坐标从中央经线算起，向东为正、向西为负。
我国位于北半球，全部X值都是正值。
在每个投影带中则有一半的Y 坐标值为负。
为了避免Y坐标出现负值，规定纵坐标轴向西平移500km(半个投影带的最大宽度不超过500km)。
这样，全部坐标值都表现为正值了。
1 绪论坐标系统的选择对一项工程来说是一项首先必须进行的工作，同时坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题，因此对坐标系统的研究是一项非常重要和必须的工作。
我国《规范》规定：所有国家的大地点均按高斯正形投影计算其在带内的平面直角坐标……。
在1：1万和更大比例尺测图的地区，还应加算其在带内的直角坐标系。
我们通常将这种控制点在带或带内的坐标系称为国家统一坐标系统。
在实际应用中，国家统一坐标系统往往不能满足工程建设的需要，所以必须针对不同的工程采用适合它的独立坐标系统。
线路独立坐标系的建立方法研究主要是研究线路工程中如何建立坐标系统而使其精度能满足工程需要。
由于线路测量的特点是跨度较长，当采用国家统一坐标系时往往会因为离开中央子午线较远而使变形量超限，因此必须采用独立坐标系统。
由于线路工程的不同，因此需采用的独立坐标系统也不尽相同。
所以针对不同的线路工程应采用不同的独立坐标系统。
当线路工程是南北走向时由于线路基本上位于中央子午线上,因此不必要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。
当线路工程是东西走向时由于线路跨度较长而往往需要建立多个独立坐标系统，因此需要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。
公路、铁路、架空送电线路以及输油管道等均属于线型工程，它们的中线统称线路。
一条线路的勘测和设计工作，主要是根据国家的计划与自然地理条件，确定线路经济合理的位置。
为达此目的，必须进行反复地实践和比较。
线路在勘测设计阶段首先要进行控制测量工作，由于在线路控制测量过程中，每条线路所在测区的位置不同且距离不可能很短,有的可能跨越一个投影带,二个投影带甚至更多,所以,在线路控制测量中,投影长度变形很容易超限，这就需要我们采取一定的措施来使投影长度变形减弱，将投影长度变形控制在允许的范围之内。
最有效的方法就是建立与测区相适应的坐标系统。
坐标系统是所有测量工作的基础，所有测量成果都是建立在其上的,因此坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题。
对于线路工程而言，使投影长度变形控制在允许的精度范围之内是建立独立坐标系统主要解决的问题，因此，独立坐标系统的建立主要是根据线路的长度和所在测区的不同而建立与本测区和本线路相适应的坐标系统，从而使其投影长度变形控制在允许范围之内。
本文以线路控制测量为例，详细论述了线路独立坐标系统的建立方法。
2 高斯平面直角坐标系的建立我们已经知道，大地坐标系是以椭球面为基准面的坐标系，它可以用来确定地面点在椭球面上的位置，但是如果用于大比例尺测图控制网以及工程控制网则不适应。
因此通常是将椭球面上的元素，如大地坐标、长度、方向等转化至平面上，采用平面直角坐标系进行计算，本章就高斯平面直角坐标系的建立及相关问题进行了讨论。
地球椭球的基本几何参数参考椭球具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
有关元素如图1O为椭球中心；NS为旋转轴；a为长半轴；b为短半轴；子午圈（或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。
旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）（图1：椭球参数示意图）来决定的，即：椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴： b椭圆的扁率： (2-1)椭圆的第一偏心率： (2-2)椭圆的第二偏心率： (2-3)其中：a、b称为长度元素；扁率反映了椭球体的扁平程度，如=0时，椭球变为球体；=1时，则为平面。
e和e/是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b），人们习惯于用和表示椭球的形状和大小，便于级数展开。
引入下列符号：(2-4)式中B为大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）。
两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。
(2-5)传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。
由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。
长半经变化于6378135m～6378145m之间，扁率分母变化于～之间，可见精度已很高。
比较著名的有30个椭球参数，其中涉及我国的如表1示：（表1：椭球参数表）1954年北年西安坐1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。
地球椭球参数间的相互关系由(2-2)和(2-3)式得：并得：(2-6)推得：同理可得：(2-8)。
高斯投影与高斯平面直角坐标地球投影所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。
(2-9)式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而是该点投影后的平面(投影面)直角坐标。
式(2-9)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。
投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。
投影的方法很多，如高斯投影、兰勃脱投影等。
我国采用高斯投影。
高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于1825～1830年首先提出的。
实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。
想象有一椭圆柱面横套（图2：横轴椭圆柱等角投影示意图）在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
我国规定按经差和度进行投影分带，大比例尺测图和工程测量一般采用带投影。
特殊情况下工程测量控制网也可用带或任意带。
高斯投影带自子午线起每隔经差自西向东分带，依次编号1,2,3,…。
我国带中央子午线的经度，由起每隔而至，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用表示，则与n的关系为。
（图3：高斯投影分带示意图）高斯投影带是自子午线每隔经差自西向东分带，它的中央子午线一部分同带中央子午线重合，一部分同带分界子午线重合，带号用n/表示，带中央子午线用L表示，关系是：。
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。
在我国坐标均为正，坐标的最大值（在赤道上）约为330KM。
为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加500KM。
此外还应在坐标前面冠以带号，这种坐标称为国家统一坐标。
如某点Y=.789m，该点位于19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标是：首先去掉带号，再减去500KM，最后得y=。
由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一带向东加宽，向西加宽，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。