2019-2020学年九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)教案 新人教版.doc
21.3 实际问题与一元二次方程 教案 【新人教版九年级上册数学】
21.3 实际问题与一元二次方程教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1. 掌握用“倍数关系”、“面积法”等建立数学模型，并利用它解决实际问题．2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．3. 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点根据“倍数关系”、“面积法”等之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．课时安排3课时.1教案A第1课时教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点用“倍数关系”建立数学模型．教学难点用“倍数关系”建立数学模型．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、新课教学探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有个人患了流感．列方程1＋x＋x(x＋1)＝121，整理，得x2＋2x－120＝0．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）2答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？121＋121×10＝1331（人）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．三、巩固练习某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋xx＝91，即x2＋x－90＝0．解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）答：每个支干长出9个小分支．四、课堂小结本节课应掌握：1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．2．解一元二次方程的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五验（检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去）、六答．五、布置作业习题21.3 第6题．第2课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了探究1关于“倍数”的问题，知道了解一元二次方程的一般步骤．今天，我们就学习如何解决“增长率”与“降低率”的问题．二、新课教学探究2：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 0003元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）．显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2元，于是有5 000(1－x)2＝3 000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率．解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6 000(1－x)2元，于是有6 000(1－x)2＝3 600．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．三、巩固练习某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1 320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2 000元取1 000元，剩下的本金和利息是1 000＋2 000x×80%；第二次存，本金就变为1 000＋2000x×80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1 000＋2 000x×80%＋(1 000＋2 000x×8%)x×80%＝1 320．整理，得1 280x2＋800x＋1 600x＝320，即8x2＋15x－2＝0．解得4。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程21.3.1实际问题与一元二次方程
《21.3.1实际问题与一元二次方程》教学内容分析本课的主要内容是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究传播问题和平均变化率问题中的数量关系。
活动的侧重点是列方程解应用题，提高学生应用方程分析解决问题的能力。
活动中涉及了一元二次方程解法，列方程解应用题的一般规律等。
这些问题在现实世界中有许多原型，让学生理解两轮传播和两个时间段的平均变化率可以用一元二次方程作为数学模型，从而使问题得到解决。
教学目标知识目标（1）能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
（2）能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理。
能力目标（1）经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能用一元二次方程对之进行描述。
（2）体验解决问题的多样性，发展实践应用意识。
情感目标通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。
4、德育目标：了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学策略在本课的学习中，应重视相关内容与实际的联系，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的认识。
分析和解决的关键是找出问题中的相关数量之间的相等关系，并把这样的关系“翻译”为一元二次方程。
在教学中借助现代化教学媒体和网络资源，让学生通过观察、试验、操作、分析、猜想、发现其中的等量关系，从而正确的理解问题情境，最后能够解决问题。
教学环境和资源准备1、教学环境：多媒体网络教室2、资源准备：多媒体课件。
教学过程（一）总结回顾、引入新知：教师活动：（1）通过前面的学习你知道解一元二次方程有那些方法吗？你有何体会？（2）列一元二次方程解应用题分几步呢？应注意那些？学生活动：利用局域网聊天系统讨论交流、然后发言回答。
教师用教师机归纳板书。
（如图）复习回顾:1.解一元二次方程有哪些方法？配方法(直接开平方法)、公式法、因式分解法.2.列一元一次方程解应用题的步骤？①审题②设出未知数③找等量关系④列方程⑤解方程⑥答.（3）和一元一次方程、二元一次方程一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，下面我们来看几个例子：（二）合作探究、学习新知：（1）教师机出示探究1内容教师布置：问题1、本题中有那些数量关系？问题2、第二轮传染时第一个还传染吗？学生活动：利用局域网聊天系统分9个小组进行讨论。
九年级数学： 21.3实际问题与一元二次方程(1)
21.3实际问题与一元二次方程(1)1.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( )A.10只B.11只C.12只D.13只2.某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为_____.3.某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？4.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？5.一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.6.有人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信一个人要向几个人发送短信？参考答案1.C2.1+a+a23.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意,得60(1+x)2=24 000.解得x1=19,x2=-21(不合题意，舍去).答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.(2)经过三轮培植后，得60(1+19)3=60×203=480 000(个).答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌.4.解：设有x家公司出席了这次交易会，根据题意，得x(x-1)=78.解这个方程，得x1=13，x2=-12(舍去).答：有13家公司出席了这次交易会.5.解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2).根据题意，得(10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.解得x1=-(舍去)，x2=1.答：原来的两位数为31.6.解：设要向x个人发送短信.根据题意，得 x(x+1)=90，解得x1=9，x2=-10(舍去).答：一个人要向9个人发送短信. 2 111 14。
21.3 实际问题与一元二次方程(1)
新增： x(1+x)人
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
x+1+x(x+1)=121
x1=10, x2=-12(舍)
分享用了
什么方法
解该方程？
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人
思考1：如果按照该传染速度，经过三轮后有多少人受患流感?
121× + = ( + ) =
人教版.九年级上册
21.3 实际问题与一元二次方程
（第1课时）
复习引入
1.回顾应用题的解题过程，解决应用题有那些基本的步骤？
审、设、列、解、验、答
2.审题时，怎样才算审清题意？有那些辅助审题的方法？
三
知
1.知已知量和未知量
设未
知数
2.知各个量之间的关系
3.知等量关系
列方程
三
辅
1.列表法
2.画图
3.语言分析
多少个分支？
探究：利用收获的知识，分析问题并分享你的分析过程？
主干
1支
枝干
x支
小支干
总数：1+x+
支
解：每个枝干画出x个分支.
+ + =
x1=9, x2=-8(舍)
答：每个枝干画出9个分支
2.某种电脑病毒传播非常快，某学校有2台电脑被感染，经过
两轮感染后就会有50台电脑被感染，请你用学过的知识分析，
( + )
变式练习
变式1：若有3人患了流感,经过两轮传染后共有108人患了流感,
每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
( + ) =
人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程-解决代数问题(第1课时)公开课优质教案
21.3实际问题与一元二次方程第1课时解决代数问题教学目标知识技能1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究，会根据传播问题，百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题解题的具体步骤.3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.数学思考与问题解决1.通过列一元二次方程解决实际问题，培养学生的“模型思想”和对数学的“应用意识”.2.在病毒的传播问题中要弄清每一轮的传播源(即每一轮的感染者也是下一轮的传播者)，同时要注意与细胞分裂、电脑病毒的传播等问题的区别与联系；在百分率问题中，注意弄清数量与百分率的关系，会归纳总结出增长率(降低率)问题的等量关系.情境态度通过列方程解决实际问题，让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，感知数学与生活的密切联系，体会数学知识应用的价值，不断提高学生学习数学的兴趣.重点难点重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.难点如何理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题、百分率问题中的数量关系.教学设计活动1 创设情境一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？分析：设这个小组x人，那么每个人要送给除了他自己以外的人，共送张贺卡，由此可列方程： .提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步骤有哪些？总结：(1)审：认真审题，分清题意，弄清已知量和未知量，寻找相等关系；(2)设：就是设未知数，分直接设未知数和间接设未知数，到底选择何种方式设未知数，要以有利于列出方程为准则；(3)列：就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解：就是求出所列方程的解；(5) 就是检验方程的解.首先检验计算是否正确，然后检验每个解是否复合问题的实际意义，再正确取舍；(6)答：就是对实际问题进行回答.提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步骤与列一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些相同点和不同点？活动2 探究新知例1 教材第19页探究2变化率问题.提出问题：(1)如何比较哪种药品成本的年平均下降率较大？(2)本题中应该如何设未知数？如何列方程？(3)讨论：在本题解方程的过程中，方程有两个解应该怎么办？(4)哪种药品成本的年平均下降率较大？哪种药品成本的年平均下降额较大？(5)讨论：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？总结:变化率问题的公式若平均增长(或降低)的百分率为x ，增长(或降低)前的量是a ，增长(或降低)n 次后的量是b ，则它们的数量关系可表示为b x a n=±)1((其中增长取＋，降低取－).例2 教材第19页探究1传播问题.提出问题：(1)本题中的已知量未知量分别是什么？(2)本题中我们设直接未知数还是间接未知数？(3)本题中的数量关系是什么？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么①患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感.②在第二轮传染中传染源是 人，这些人中每一个人有传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感.(4)怎么列方程？(5)方程的解是多少？10和－12都是这个实际问题的解吗？(6)如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？(7)请观察式子)1(1x x x +++与[])1(1)1(1x x x x x x x +++++++能不能化简？请在课后写出表示四轮传染、五轮传染后的患病人数的代数式，并猜测n 轮传染后的患病人数.活动3 练习巩固1.参加篮球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双双循环比赛)，共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？2.某商场2014年的经营中，一月份的营业额为200万元.一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均每月营业额的增长率.3.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？ 活动4 课堂小结与作业布置课堂小结1. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤是哪些？2.列一元二次方程解决实际问题中，最关键是那一步？检验应该要注意什么？3.变化率问题和传播问题有什么规律？布置作业教材21－22页习题21.3第2—7题.。
21.3 实际问题与一元二次方程(1)--传播问题
Hale Waihona Puke 第2轮 1小明2 •••
x
注意：不要 忽视小明的 二次传染
小明
第1轮传染人数x 第2轮传染人数x（x+1）
1．分析“传播问题”的特征
探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个 人？ 分析：（1）本题中的等量关系是什么？
（2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数是 多少？
解：设每个支干长出 x 个小分支，则
1 + x + x2 = 91
x2 + x－ 90 = 0
解得 x1 = 9，x2 = -10（舍）
答：每个支干长出 9 个小分支．
3．巩固训练
（2）有一个人收到短信后，在用手机转发，每人 只转发一次，经过两轮转发，共有133人收到这个短信， 每轮发送短信一个人要向几个人发送？
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人．
1+x+x（1+x）=121 （1+x）2 = 121
解得x1 =_1_0____，x2 =_-_1_2___（舍）
答：平均一个人传染了 10 个人．
2．解决“传播问题”
探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个 人？ 分析：（7）如果按照这样的传染速度，十轮传染后共有多 少个人患流感？
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， 传染源 传染人数
第一轮 1 人， x 人
第二轮 （x+1）人， x（x+1）人 传染源数、第一轮被传染数和第二轮被传染数的总 和是 121 个人．
2．解决“传播问题”
探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个 人？ 分析：（4）如何利用已知数量关系列出方程，并解方程 得出结论？
人教版九年级数学上册第21章《 21.3 实际问题与一元二次方程》(1)
21.3 实际问题与 一元二次方程（1）
随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活 中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二 次方程解决与营销有关的问题.
第二十一章 一元二次方程
【例1】两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生 产1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的进步， 现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品 的成本是3 600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
第二十一章 一元二次方程
1. 平均变化率问题常列方程：a(1±x)n=b.
其中a为基数，x为平均增长（降低）率，
n为增长(降低)次数，b为增长(降低)后的量.
2. 解决利润问题常用的关系有：
（1）利润＝售价－进价．
（2）利润率＝
利润 进价
×100% ＝售价进-价进价
×100%.
（3）售价＝进价(1＋利润率)．
第二十一章 一元二次方程
2.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利 减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？ 设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A ) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为 5 000(1－x)2元，于是有 5 000(1－x)2＝3 000. 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均 下降率约为22.5%.
第二十一章 一元二次方程
人教版九年级数学上册21.3.1 实际问题与一元二次方程(1)传播与握手问题(共24张PPT)
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知识点一：建立一元二次方程模型解决传播问题
新知探究
1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染 x个人,开始有一个人
患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染给了x个人， 用代数式表示：①第一轮后共有 (1+x) 人患了流感； ②第二轮的传染中，这些人的每一个人又传染给了 x 人； ③第二轮传染后共有 1+x+x(1+x) 人患了流感.
飞机场. A.4 B.5 C.6 D.7
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知识点二：建立一元二次方程模型解决握手问题
合作探究
先独立完成导学案互动探究2、3，再同桌相互交 流，最后小组交流；
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知识点三：建立一元二次方程模型解决数字问题
典例讲评
例2 有一共两位数，它的十位数字与各位数字之和是8.如果
把十位数字与个位数字对调，所得的两位数与原两位数的乘
赠送一件，全组共互赠了182件.如果设全组共有x名同学，则
根据题意列出的方程是( B )
A.x(x+1)=182
B.x(x﹣1)=182
C.x(x﹣1)=182×2
D.2x(x+1)=182
2、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一
条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有( B )个
学以致用
1.一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字的平
方刚好等于这个两位数，则这个两位数是 25或36 .
2.一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，且这个两位数等
于两个数位上的数字之积的2倍，设其十位数字为x，则下列
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程”是本册教材的重要内容，旨在让学生通过解决实际问题，掌握一元二次方程的解法和应用。
本节内容通过引入实际问题，让学生理解一元二次方程的模型，培养学生的数学建模能力，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了代数基础知识，对一元二次方程有一定的了解，但解决实际问题的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，要注重培养学生的数学建模能力，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。
3.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。
四. 教学重难点1.教学重点：理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。
2.教学难点：将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，案例教学法和小组合作学习法。
通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生理解和应用一元二次方程。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如物体运动问题、面积问题等，引导学生关注实际问题中的一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义和解法，让学生理解一元二次方程的模型，并能熟练运用解法求解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，将导入环节中的实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的实际问题，巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
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例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
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21.3+实际问题与一元二次方程第一课时传播问题-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同
新知探究
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意：
于是可列方程： 1+x+x(1+x)=121
解方程得 x1=10， x2=-12(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
新知探究
5.为什么要舍去一解？
传播人数不可能负值，-12不合题意，故舍去。 6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 多少人患流感？
思考：1.本题中有哪些数量关系？ 1人传染最后121人患了流感 2. 如何理解“两轮传染”？ 1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源； 这些传染源再经一轮传染导致更多人患病。
新知探究
3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮 传染中传染了__x___人；第一轮传染后，共有_1_+__x__人患了流感； 在第二轮传染中，传染源是_1_+__x__人，这些人中每一个人又传染了 __x___人，第二轮传染后，共有_x_(_1_+_x_)__人患流感.
填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有_6__个人 患了流感，第二轮过后共有__3_6_个人患了流感．
复习回顾
我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解 应用问题的步骤是怎样的吗？
审清题意
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
验根
作答
新知探究
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传 染中平均一个人传染了几个人？
谢谢观看
21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题
1个人
与（x-1）个人握手
每两人都握了一次手： 1 x(x 1) 次手
人教版九年级上册(新)数学同步教案21.3 实际问题与一元二次方程 (第1课时)
21.3实际问题与一元二次方程(第1课时)一、内容和内容解析1．内容列一元二次方程解决实际问题．2．内容解析本节课学习如何用一元二次方程解决实际问题．分析两轮传播中每个周期内相应的数量关系，从而将实际问题转化为数学问题，再次体现数学建模思想．在此过程中培养分析问题和运用一元二次方程解决实际问题的能力．本课时中解方程属于已学内容，因此教学重点是分析实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程．二、目标和目标解析1．目标(1)能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；(2)通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．2．目标解析达成目标(1)的标志是：通过审题，分析出“传播问题”中每个周期的传播源和传播后的总数各是什么，从而选择合适的未知数，列出相应的代数式；分析等量关系，正确列出方程，解决实际问题．达成目标(2)的标志是：对用方程解决实际问题的步骤(审、设、列、解、验、答)及需注意的事项进行回顾、总结和深化．体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型．三、教学问题诊断分析九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法．本课时的实际问题中的数量关系比之前遇到过的更复杂一些，学生理解题意的困难是：“第一轮”，“第二轮”中的传染源及被传染总人数是多少．在弄清问题背景，明确数量关系后，还要解决第二轮被传染总人数的代数式如何表示的问题．练习第2题，学生可能将此题与前面所学细菌繁殖类型混淆，从而列出1＋x＋x(1＋x)＝91．可采用图示分析植物主干与分支再长出分支的意义．四、教学过程设计1．分析“传播问题”的特征问题1列方程解应用题的一般步骤是什么？师生活动：教师提问，学生回答．设计意图：回顾列方程解应用题的一般步骤．问题2观察生活中的细胞分裂以及疾病传播这类问题，“传播”这类问题具有什么特征？展示以“细胞分裂”为背景的图片，学生观察图片，说明细胞分裂过程，教师进行适当补充：细胞在分裂过程中，由1个分裂为2个，再分裂成4个，如此分裂下去…展示以“疾病传染”为背景的图片，学生观察图片，教师介绍问题背景：甲流肆虐期间，有确诊病例后要对密切接触者进行筛查，以防止扩大传染范围．设计意图：从实际问题中归纳“传播”类问题的特征．2．解决“传播问题”问题3有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?师生活动：学生独立思考，回答．教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题．追问1：(1)本题要解决什么问题？(传播问题)(2)已知条件中描述数量关系的语句有哪些？(有一人患了流感；经过两轮传染后共有121人患了流感；每轮传染中平均一个人传染了几个人．)(3)“第一轮”，“第二轮”中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？(第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人；第二轮传染源人数为(x＋1)人，被传染人数为x(x＋1)人．)设计意图：本问题是在问题2的基础上，针对具体情景分析其中的数量关系．学生理解的难点就是“第一轮”、“第二轮”的含义，以及如何表示每一轮传染源人数和被传染人数．因此在此处设问，以帮助学生理解．追问2：你能发现本题中的等量关系吗？你能解决这个问题吗？师生活动：学生独立思考完成，再分组交流．等量关系：1＋第一轮新被传染的人数＋第二轮新被传染人数＝121．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．根据题意得1＋x＋x(1＋x)＝121．解得：x1＝10，x2＝－12(舍去)．答：平均一个人传染了10个人．设计意图：让学生经历完整的解题过程，提高分析和解决问题的能力．追问3：按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?师生活动：学生独立思考、回答，得出121＋121×10＝1331人．设计意图：让学生进一步熟悉“传播问题”的特征．3．练习、巩固教科书第22页练习4．师生活动：由学生独立完成，再进行全班交流．要整理出解题的基本思路：审、设、列、解、验、答，从而提高学生分析和解决此类问题的能力．4．小结问题4你能所说本节课所研究的“传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？师生活动：学生先思考再作答，教师帮助整理．得出：“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播．解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．设计意图：通过归纳，明确“传播问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法．5．布置作业教科书第25页复习题21第7题．6．目标检测设计某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？设计意图：检测“传播问题”的掌握情况．。
人教版九年级数学上册21.3 第1课时 传播问题
思考
2、如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 多少个人患流感？ 提出问题： (1)上述问题中如果按这样的传播速度，三轮传染后有 多少人患了流感？n轮后呢？ (2)通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的 数量关系有新的认识吗？ 3、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共 握手10次，求有多少人参加这次聚会．
3．一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数 是( B ) A．6 B．7 C．8 D．9 4．九(1)班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何 一位同学合照一张双人照，全班共照照片780张，则九 (1)班有__4_0_人．
45.很多时候，生活不会是一副完美的样子，能完美的不是人生，想完美的是人心。但平凡的人有平凡的心，拥有平凡的渴望和平凡的心情， 用平凡淡然拼凑永恒的日子。真实而简单的活着，才是最真，最美，最快乐的事情。
例3 两个数的和是14，积是33，求这两个数． 解：设其中一个数为 x，则另一个数为14－x.由题意， 得 x(14－x)＝33，解得x1＝3，x2＝11，即这两个数分 别为3，11.
练习
1．教材P21 习题21.3第2，4，6题． 2．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都 开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公 司共有飞机场( B ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
活动3 知识归纳 若原有a个传染源，每轮每个传染 x人，传染 n 轮后的 总人数为a(1＋x)n.
活动4 例题与练习
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干 又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总 数是91，每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支．依题意可列方程1＋x ＋x2＝91.解这个方程，得x1＝9，x2＝－10(负根不合题 意，舍去)． 答：每个支干长出9个小分支．
人教版九年级数学上21.3《实际问题与一元二次方程》第一课时参考教案(
21.3实际问题与一元二次方程（1）一、教学目标1.会利用一元二次方程解决传播问题.2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.二、教学重点和难点1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.2.难点：根据传播问题列方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.【(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师进行讲解】（二）创设情境，导入新课师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）师：谁能不看黑板说出题目的意思？生：……（让几名同学说）师：这个题目怎么设？生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人）师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）师：下面大家根据题目的意思列一列方程.（生列方程，师巡视）师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）师：解出来的结果是什么？生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)2=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）师：下面请大家自己来做一个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121.如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10.（作业：P21习题1(3)(4)、4，4题中91改为81）四、板书设计（略）。
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2019-2020学年九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程（第
1课时）教案新人教版
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学难点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学过程
一、导入新课
问题1：列方程解应用题
下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？
分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．
解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．
则
0.5(0.2)200
0.40.61300
x y
x y
+-=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1000(
1500(
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
股)
股)
答：（略）
二、新课教学
上面这道题是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．
问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1＋x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1＋x）＋（1＋x）x＝（1＋x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝3.31. 去括号，得
1＋1＋x＋1＋2x＋x2＝3.31．
整理，得
x2＋3x－0.31＝0．
解得：x＝10%
答：（略）
以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．
例某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．
解：设平均增长率为x，则
200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝950．
整理，得
x2＋3x－1.75＝0．
解得：x＝50%
答：所求的增长率为50%．
三、巩固练习
1．填空题．
（1）某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
（2）某糖厂2002年食糖产量为a t，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．
（3）我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，•某种药品在2009年涨价30%•后，2011年降价70%•至a•元，则这种药品在2009年涨价前价格是__________．
参考答案（1）6(1＋x) 6(1＋x)2 6＋6(1＋x)＋6(1＋x)2
（2）A(1＋x)2t
（3）100 39
a
2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·8%)x·80%＝1320
整理，得：1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0
解得：x1＝－2（不符，舍去），x2＝1
8
＝0.125＝12.5%
答：所求的年利率是12.5%．四、课堂小结
本节课应掌握：
利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．五、布置作业
习题21.3 第6题．。