03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数

注意：卡诺图水平方向同一行首尾，同一列 首尾也为逻辑相邻相。
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
(3) 直填法
先将函数变为与或式（不必变换为最小项之和的形式）。
例
Y = ABC ′ + BC + A′C
A = 0 , C =1
把原变量看做1， 反变量看做0.
A′BC + ABC
B =1 , C =1
A
BC
0
00 0
01 1
11 10 0 1
1
0
0
1
1
例 Y = ABC ′ + BC + A′C + A′B′C ′D
那么逻辑函数的表示方法除了有真值表、逻辑式、逻辑图、 波形图之外，还有卡诺图表示法。
2.5.3 用卡诺图化简函数
AB′C ′ → m4
A B C ′ → m6
3、最小项的性质
m0 A B A'B' 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
m1 A'B 0 1 0 0
m2 AB' 0 0 1 0
m3 AB 0 0 0 1
(1) 在输入变量任一取值下，有且仅有一 个最小项的值为1。 (2) 全体最小项之和为1。 (3) 任何两个最小项之积为0 。
A
BC
0
00 0
01 1
11 10 0 1
1
0
0
1
1
例 Y = A′BD + B′D′ + A′B′D
=A′BCD +A′BC ′D + AB′CD′ + AB′C ′D′ + A′B′CD′ + A′B′C ′D′ + A′B′CD + + A′B′C ′D
AB
CD
00
01
11
10
00
01
11
1
A
BC
0
00
01 1
11 10 1
1
1
1
1
1
2、卡诺图→逻辑函数 任何一个逻辑函数的原函数都等于它的卡诺图 中是1的那些最小项之和。反函数等于它的卡诺图 中是0的那些最小项之和。（当然，这是未经化简 的逻辑表达式。） 根据逻辑公式 A + A′ = 1 和代入定理，可得 逻辑函数 Y + Y ' = 1。又因为全部最小项之和恒等 于1，所以不包含在 Y 中那些最小项之和就是 Y ' 。
= ( A′BC + ABC ) + ( AB′C + ABC ) + ( ABC ′ + ABC ) = BC + AC + AB
(2)根据公式 以
A + A′ = 1
可在函数中的某一项乘
A + A′ ,然后拆成两项分别与其他项合并。
实际上，在化简一个较复杂的函数式时，总要根据函数 的不同构成综合采用上述几种方法，才能得到最简结果。
= m0 + m3 + m5 + m6
= ∑ m(0,3,5,6 )
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 0 1 1 0 1 0 0 1
2.5.2 逻辑函数的卡诺图表示法
一、用卡诺图表示最小项 将 n 变量的2n个最小项各用一个小方 块表示，并使几何位置相邻的小格所表示 的最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个 变量不同），就得到表示n变量全部最小项 的卡诺图。 由于这种表示方法是由美国工程师卡 诺首先提出的，所以称为卡诺图。
′
= AC + AB′ + B′C ′ = AC + B′C ′
例2
AB′CD′ + ( AB ) E + A′CD′E
′ ′
= AB′CD′ + ( AB ) E
′ ′
四、消因子法
利用 例1
A + A′B = A + B
′
，可以消去因子
A′ 。
AB + A′C + B′C = AB + ( A′ + B′)C
例
Y = ABC ′ + BC + A′C
= ABC ′ + （A + A′）BC + A′( B + B′)C
= ABC ′ + ABC + A′BC + A′BC + A′B′C = ABC ′ + ABC + A′BC + A′B′C
= m6 + m7 + m3 + m1
= ∑ m(1,3,6,7 ) Nhomakorabea= AB + ( AB ) C = AB + C
例2
A′B + B′C ′ + AD′ + AD + A′C
= A′B + B′C ′ + A + A′C
= B + B′C ′ + A + C = B + C ′ + A + C =1
五、配项法
(1) 根据A+A=A可在逻辑式中重复写入某一项
A′BC + AB′C + ABC ′ + ABC = A′BC + AB′C + ABC ′ + ABC + ABC + ABC
(4) 两个相邻的最小项之和可以合并，消去 一对因子，只留下公共因子。 相邻：仅一个变量不同的最小项。
例：
A′BC ′
与
ABC ′ 为相邻最小项
A′BC ′ + ABC ′ = BC ′
二、逻辑函数的最小项表达式
1、定义 任何逻辑函数都可以展开成某些最小项 之和的形式，称之为标准与或式，也称之为 最小项表达式。
AB
CD
00
01
11
10
00
01
11
0
1 1
0 0 0
1
1 1
0 0 0
1
10
0
0 0
Y = A′B′CD + A′BC ′D′ + A′BCD + ABC ′D′ + AB′C ′D + AB′CD′
Y ' = A′B′C ′D′ + A′B′C ′D + A′B′CD′ + A′BC ′D + A′BCD′ + ABC ′D + ABCD + ABCD′ + AB′C ′D′ + AB′CD
根据A + AB = A。
= A + B′C + BD′ + CD′ + AB + AB′DE = A + B′C + BD′ + CD′
= A + B′C + BD′
根据冗余定理。
2.5 逻辑函数的卡诺图化简法
2.5.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式 一、逻辑函数的最小项
1、定义 对于n变量逻辑函数，存在乘积项，满足： (1) 乘积项中包含全部的变量； (2) 每个变量在该乘积项中以原变量或反变量的 形式仅出现1次。 则该乘积项称为逻辑函数或n变量的最小项。
二、吸收法
利用吸收律
A + AB = A
，可以消去
AB
。
例1
′ ′ = A + A(BC ) = A ′ ( ) A+ A + BC
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 例2 A + A (BC ) A + (B C + D ) + BC
= A + BC
例1：两变量A、B的最小项
A′B′
A′B
AB′
AB
这几个乘积项的特点是： （1）每项都只有两个因子； （2）每个变量都有它的一个因子； （3）每个变量以原变量或反变量的形式仅出现一 次；
例2：三变量A、B、C的最小项
A′B′C ′ AB′C ′
A′B′C AB′C
A′BC ′ AB C ′
A′BC ABC
1 1
1 1
1
10
1
1
(2) 真值表法 把逻辑函数的真值表列出，按 逻辑函数值为1时逻辑变量的取值 填入卡诺图。 例
Y = A⊕ B ⊕C
A
BC
0
00 0 01 1
11 0
10 1
1
1
0
1
0
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 0 1 1 0 1 0 0 1
′ ′ ′ ′ ( ) = ( A + BC ) + ( A + (BC )) A + B C + D
三、消项法
利用冗余定律
AB + A′C + BC = AB + A′C
和
AB + A′C + BCD = AB + A′C
可以消去 BC 和 BCD 项。
例1
AC + AB′ + (B + C )
= m1 + m2 + m4 + m7
= ∑ m(1,2,4,7 )
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 0 1 1 0 1 0 0 1
将真值表中函数值为0的那些最小项相 加，可以得到反函数的最小项表达式。
Y ' = A′B′C' + A′BC + AB′C + ABC '
2. 4 逻辑函数的公式化简法
一、逻辑函数的最简形式
以与或式为例，最简的与或式应满足： 1、式中包含的乘积项最少； 2、每个乘积项中包含的变量数最少。 逻辑函数化简的意义： 逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单， 电路工作越稳定可靠！
二、逻辑函数公式法化简的常用方法 公式法化简没有固定的步骤，常用的方法主要有： 1、并项法：（利用 AB + AB′ = A ，即 B + B′ = 1 ） 其中A/B均可以是复杂的逻辑式。
= m6 + m7 + m3 + m1
= ∑ m(1,3,6,7 )
为了简化，常用最小项的 编号来代表最小项。
(2) 真值表法 例
Y = A⊕ B ⊕C
根据逻辑函数列出真值表，只要将函数 值为1的那些最小项相加，便是函数的最小 项表达式。
Y = A′B′C + A′BC ′ + AB′C ′ + ABC
2、方法 (1) 代数法 对于不是最小项表达式的与或表达式，可以 利用基本公式 A + A′ = 1 将每个乘积项中缺少的 因子补全。 例
Y = ABC ′ + BC + A′C = ABC ′ + ( A + A′)BC + A′(B + B′)C
= ABC ′ + ABC + A′BC + A′BC + A′B′C = ABC ′ + ABC + A′BC + A′B′C
任何一行或一列两端的最小项也具有逻辑相邻性，因此卡诺图为一闭合图形。
注意：为保证几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有相邻性， 这些数码不能按自然二进制数从小到大顺序排列，而只能按循 环码排列。
五变量卡诺图（见书43页 图2.6.1（d）） 卡诺图的特点： （1）卡诺图构成遵循了一个重要原则：相邻性， 即几何位置相邻的最小项也是逻辑相邻的。 （2）主要缺点：随变量数增加，图形越来越复杂。当 变量数大于等于5以后，就是去了实用价值。
Y = AC + B′C + BD′ + CD′ + A(B + C ′) + A′BCD′ + AB′DE = AC + B′C + BD′ + CD′ + A(B + C ′) + A′BCD′ + AB′DE
根据A + AB = A, 消去A′BCD′。
= AC + B′C + BD′ + CD′ + AB + AC ′ + AB′DE
AB
CD
00
00
01 1
11 1
10 1
01
11
1 1 1 1
1 1
10
例
Y = (( A + D)( B + C ′))' = ( A + D)'+( B + C ′)' = A′D′ + B′C
AB
00 00 1 01
CD
01
11
10
1
1 1 1
1 1
11
10
例 Y = A′C + AB′ + BC + AC ′
n变量逻辑函数有2n个最小项。
2、表示方法 通常用 mi 来表示。 i的取值： 将最小项中的原变量取为1， 反变量取为0，按顺序构成的 二进制数所对应的十进制数 即为i 。
例：三变量A、B、C的最小项
A′B′C ′ → m0
A′B C ′ → m2
A′B′C → m1 A′BC → m3 AB′C → m5 ABC → m7