矩阵的条件数
谈谈矩阵条件数及其几种计算方法
谈谈矩阵条件数及其几种计算方法摘要：矩阵条件数在数值分析领域中有重要作用，特别是在线郑治波性方程组和矩阵特征值扰动分析中有广泛的应用，条件数的大小就决定了方程组解的相对误差的大小，用条件数来判断方程组的解对于误差的敏感度是很有用的，它反映了方程组的状态。
关键词：矩阵条件数估计在生产实践和企业管理等实际问题中，经常会碰到许多大型线性方程组的求解问题，其系数阵a总是以抽样统计数据或以实验数据为基础。
统计技术的高低，实验仪器分辨率的高低等等都将给数据带来误差，而这种不可避免的误差，有时甚至是微小的变动也会引起解的极大波动，这时就称系数阵为“病态矩阵”。
对于这种“病态矩阵”一般的算法很难得出理想的结果。
我们知道，算法对误差的传播和积累有很大影响，为了减少这种影响，算法的选取是很重要的，这就是通常所说的算法的稳定性问题。
另一方面，方程组本身对计算中误差的积累也起着极其重要的作用，系数阵a的条件的好坏至关重要，如果问题是病态的，那么即使选择良好的计算方法，也不能指望有好的结果出现，因此判别原始方程组是否病态是十分重要的。
怎样有效地判别矩阵是否为病态矩阵？近几十年国内外许多从事计算数学的学者都在进行摸索研究，得知“条件数”与矩阵病态有密切关系。
“条件数”这一名词在上世纪五十年代初出现，主要用来衡量矩阵的病态程度，条件数越小，则矩阵的非奇异程度越高，称矩阵是良态的；条件数越大，则矩阵的非奇异程度越差，称矩阵为病态的。
另外，在数值分析中，常常要讨论矩阵扰动对一个给定矩阵的特征值的影响，条件数可以衡量矩阵的特征值经过扰动的偏离度，也是衡量矩阵a关于特征值问题是否良态的重要标志。
然而由于矩阵的阶数较大时，的计算量大导致应用定义计算矩阵条件数十分困难，因此，矩阵条件数的估计对研究各种矩阵问题有着重要意义。
1.条件数的提出（1）线性方程组的条件数考虑线性方程组的求解，其中用精确的计算求解得：若对常数列加入的摄动量，即考虑，所得解与之差是 .显然，对方程组的右端向量只不过改变了，而解却相差1806 .又如，设，，，由计算可知方程组和方程组的解分别为和 .由此可见，系数矩阵只产生的误差而解却产生300000 的误差。
刚度矩阵条件数
刚度矩阵条件数是指刚度矩阵的最大特征值与最小特征值之比，它是衡量矩阵稳定性的一个重要指标。
在实际工程中，刚度矩阵条件数的大小直接影响着计算结果的精度和可靠性。
本文将从理论和实际应用两个方面介绍刚度矩阵条件数的相关知识。
一、理论基础刚度矩阵是描述结构物体受力变形关系的一种数学模型，由于结构物体的受力变形关系是非线性的，因此在实际计算中需要将其线性化处理。
线性化后的刚度矩阵是一个对称正定矩阵，它的特征值和特征向量决定了结构物体的振动特性和稳定性。
刚度矩阵条件数是刚度矩阵的最大特征值与最小特征值之比，它的大小反映了刚度矩阵的稳定性。
当刚度矩阵条件数越大时，矩阵的稳定性越差，计算结果的精度和可靠性也越低。
因此，在实际计算中需要尽可能地降低刚度矩阵条件数，以提高计算结果的精度和可靠性。
二、实际应用在实际工程中，刚度矩阵条件数的大小直接影响着计算结果的精度和可靠性。
下面以两个实际工程为例，介绍刚度矩阵条件数的应用。
1. 桥梁结构计算桥梁结构是一种常见的工程结构，其计算中需要考虑桥梁的受力变形关系。
在桥梁结构计算中，刚度矩阵条件数的大小直接影响着计算结果的精度和可靠性。
以某桥梁结构为例，其刚度矩阵条件数为1000，计算结果的精度和可靠性较低。
通过对桥梁结构的优化设计和材料选择，将刚度矩阵条件数降低到100，计算结果的精度和可靠性得到了显著提高。
2. 飞机结构计算飞机结构是一种复杂的工程结构，其计算中需要考虑飞机的受力变形关系。
在飞机结构计算中，刚度矩阵条件数的大小直接影响着计算结果的精度和可靠性。
以某飞机结构为例，其刚度矩阵条件数为10000，计算结果的精度和可靠性较低。
通过对飞机结构的优化设计和材料选择，将刚度矩阵条件数降低到1000，计算结果的精度和可靠性得到了显著提高。
三、总结刚度矩阵条件数是衡量矩阵稳定性的一个重要指标，其大小直接影响着计算结果的精度和可靠性。
在实际工程中，需要尽可能地降低刚度矩阵条件数，以提高计算结果的精度和可靠性。
半正定矩阵的条件数
半正定矩阵的条件数在线性代数中，矩阵的条件数是一个重要的概念。
它用于衡量矩阵在求解线性方程组时的稳定性。
在实际应用中，我们通常希望矩阵的条件数越小越好，因为这意味着求解线性方程组的结果更加准确和稳定。
本文将重点介绍半正定矩阵的条件数，探讨半正定矩阵的条件数与其特征值和特征向量之间的关系。
一、半正定矩阵的定义半正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有$x^TAx\geq0$。
其中A是一个实对称矩阵。
如果对于任意非零向量x，都有$x^TAx>0$，则称A为正定矩阵。
如果存在非零向量x，使得$x^ TAx<0$，则称A为负定矩阵。
如果存在非零向量x，使得$x^TAx$既不大于0也不小于0，则称A为不定矩阵。
二、半正定矩阵的特征值和特征向量对于一个实对称矩阵A，它的特征值和特征向量有以下性质：1.特征值是实数，特征向量是实向量。
2.特征向量之间线性无关。
3.特征向量对应的特征值可以重复。
4.特征向量可以单位化。
对于一个半正定矩阵A，它的特征值都大于等于0。
因为对于任意非零向量x，都有$x^TAx \geq0$，所以特征向量对应的特征值必须大于等于0。
特别地，如果A是正定矩阵，则它的特征值都大于0。
三、半正定矩阵的条件数矩阵的条件数是一个衡量矩阵求解线性方程组时稳定性的指标。
它定义为矩阵的最大奇异值与最小奇异值之比。
对于一个半正定矩阵A，它的条件数可以表示为：$cond(A)=\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}$其中，$\lambda_{max}$表示A的最大特征值，$\lambda_{min}$表示A的最小特征值。
从上式可以看出，半正定矩阵的条件数与其特征值有关。
当A的最小特征值接近0时，其条件数会变得非常大，这意味着求解线性方程组时的误差会非常大。
因此，我们通常希望半正定矩阵的最小特征值尽可能大，以使其条件数尽可能小。
四、半正定矩阵的应用半正定矩阵在实际应用中有广泛的应用。
矩阵特征向量的条件数
矩阵特征向量的条件数
矩阵的特征向量的条件数是一个重要的数值指标，它可以帮助
我们评估矩阵特征向量的稳定性和误差敏感程度。
条件数是指矩阵
特征值的最大值与最小值之间的比值。
具体来说，对于一个矩阵A，其特征向量的条件数可以用下面的公式表示：
cond(A) = |λ_max| / |λ_min|。
其中，λ_max是矩阵A的特征值中的最大值，λ_min是矩阵A
的特征值中的最小值。
这个条件数可以告诉我们矩阵特征向量的敏
感性，即在特征向量计算中输入数据的微小变化对输出结果的影响
程度。
当条件数较大时，说明矩阵的特征向量计算对输入数据的变化
非常敏感，这意味着矩阵的特征向量计算可能会受到较大的误差影响。
反之，当条件数较小时，矩阵的特征向量计算对输入数据的变
化不太敏感，计算结果相对稳定。
从数值分析的角度来看，条件数越大，矩阵的特征向量计算就
越不稳定，可能会导致数值计算误差的累积。
因此，当条件数很大
时，我们需要特别小心地对待矩阵的特征向量计算，可能需要采取一些数值稳定性的方法来改善计算结果的准确性。
总之，矩阵特征向量的条件数是一个重要的数值指标，它可以帮助我们评估特征向量计算的稳定性和误差敏感程度，对于数值计算和科学计算领域具有重要的意义。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
matlab中基于雅可比矩阵求条件数的程序
一、背景介绍在数值计算和科学工程领域中，雅可比矩阵是一种非常重要的矩阵类型。
它在诸如矩阵求逆、线性方程组求解、最优化问题等诸多应用中都扮演着重要的角色。
而雅可比矩阵的条件数则是评估矩阵的数值稳定性和误差敏感度的重要指标。
在MATLAB中，我们可以利用一些内置函数或自己编写程序来求解雅可比矩阵的条件数。
本文将围绕着这一主题展开深入讨论。
二、雅可比矩阵的条件数在数值分析中，雅可比矩阵A的条件数（condition number）是用来衡量矩阵的数值稳定性的一个重要指标。
它的定义是：对于矩阵A，其条件数定义为：cond(A) = ||A|| * ||A^(-1)||其中||A||表示A的某种矩阵范数，而||A^(-1)||表示A的逆矩阵的某种矩阵范数。
条件数的大小决定了矩阵求解问题的数值稳定性，条件数越大，表示矩阵的误差敏感度越高，数值稳定性越差。
三、MATLAB中求解雅可比矩阵条件数的程序在MATLAB中，我们可以利用内置的cond函数来求解矩阵的条件数。
假设我们有一个雅可比矩阵A，那么可以通过以下代码来求解其条件数：```matlabA = ... 输入雅可比矩阵Ak = cond(A); 求解雅可比矩阵A的条件数disp(['The condition number of A is: ', num2str(k)]);```除了使用内置函数外，我们也可以编写自己的程序来求解雅可比矩阵的条件数。
下面是一个简单的 MATLAB 程序示例：```matlabfunction k = jacobi_condition_number(A)输入：雅可比矩阵A输出：雅可比矩阵A的条件数k求解雅可比矩阵A的条件数k = norm(A,2) * norm(inv(A),2);end```通过以上代码，我们就可以方便地求解雅可比矩阵的条件数了。
四、个人观点与总结雅可比矩阵的条件数在数值计算和科学工程领域中具有重要意义，对于评估数值稳定性、误差敏感度以及算法收敛性等方面都起到了关键作用。
条件数cond -回复
条件数cond -回复什么是条件数（cond）？条件数（cond）是用来衡量矩阵的稳定性和误差传播的度量指标。
具体而言，条件数可以帮助我们了解矩阵的变化对解的影响有多大。
在数值计算中，条件数是一个重要的概念，它可以帮助我们评估算法的可靠性，并且在选择最优算法和数据结构时起到了关键作用。
为了更好地理解条件数的概念，让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个n维向量。
我们可以使用不同的求解方法来解决这个线性方程组，例如直接法（如高斯消元法）和迭代法（如雅可比迭代法）。
无论我们选择哪种方法，我们都需要解决一个基本问题：矩阵A的条件数。
那么，如何计算矩阵的条件数呢？条件数的计算通常使用矩阵范数来完成。
矩阵范数是一个度量矩阵中元素大小的准则。
常见的矩阵范数有1-范数、2-范数和无穷大范数等，它们分别对应着矩阵按列之和的最大值、所有特征值的平方和的平方根以及矩阵按行之和的最大值。
在计算条件数时，我们通常使用2-范数。
给定一个矩阵A，它的条件数cond(A)可以通过计算A的逆矩阵的范数与A的范数的乘积来获得。
数学公式可以表示为：cond(A) = A *A^(-1) 。
那么，条件数的意义是什么呢？条件数可以帮助我们了解矩阵的稳定性和误差传播的程度。
具体而言，当条件数接近于1时，意味着矩阵是非常稳定的，解的误差也会受到较小的影响。
而当条件数很大时，就意味着矩阵具有很差的稳定性，解的误差也会被放大。
这表明，矩阵的条件数越大，解的误差传播越严重，计算结果的可靠性越低。
为了更好地理解条件数的影响，让我们回到求解线性方程组的例子。
假设我们使用高斯消元法来解决方程组，当矩阵A的条件数非常大时，解的误差会被放大，使得最终的解与真实解相差较大。
相反，如果矩阵A的条件数较小，那么解的误差也会较小，我们可以更可靠地得到准确的结果。
除了在线性方程组的求解中发挥重要作用外，条件数还在其他数值计算问题中起到了关键的作用。
条件数cond -回复
条件数cond -回复什么是条件数？在数值线性代数中，我们经常遇到矩阵的条件数这个概念。
条件数是描述矩阵在做线性变换时对输入误差的敏感程度的一个数值指标。
它用来衡量一个问题的稳定性，特别是在数值计算中的应用。
矩阵的条件数通常用条件数的范数表示，其中范数是一个将向量映射为实数的函数，描述向量的长度或大小。
在数值计算中，常用的范数有1-范数、2-范数和无穷大范数等。
条件数的计算方法如下：1. 首先对矩阵A求逆，得到A的逆矩阵A-1。
2. 计算矩阵A和A-1的范数的乘积：cond(A) = A * A-1 。
3. 范数的计算方法根据具体情况来确定，常用的是2-范数和无穷大范数。
条件数的意义在于描述一个矩阵的输入误差对输出结果造成的影响程度。
较小的条件数意味着矩阵在变换过程中对输入误差的敏感程度较低，较大的条件数则表示矩阵在变换过程中对输入误差的敏感程度较高。
具体来说，当条件数较小的时候，意味着输入误差在经过矩阵变换后所产生的输出误差较小，计算结果相对较为稳定。
这对于数值计算来说是非常重要的，因为数值计算过程中常常会存在舍入误差或者输入数据的误差。
然而，当条件数较大时，输入误差的微小变动可能导致输出结果的巨大变化，计算结果会变得不稳定。
这就引出了数值线性代数中一个非常重要的问题——病态问题。
病态问题是指具有较大条件数的问题，在数值计算中容易产生较大误差的问题。
因此，通过计算条件数，我们能够判断一个线性问题的稳定性。
当条件数较小的时候，问题相对较稳定，我们可以较为可靠地求解；而当条件数较大的时候，问题可能变得病态，数值计算的结果可能无法满足我们的要求。
在实际应用中，条件数还可以用来评估数值算法的稳定性。
比如，在求解线性方程组的过程中，我们可以通过计算系数矩阵的条件数来选取合适的求解方法，以提高计算的准确性和稳定性。
此外，条件数还可以用于矩阵的模型选择。
在机器学习和数据分析领域，条件数可以帮助我们选择最合适的模型，因为模型的条件数越小，通常意味着模型的泛化能力和稳定性越好。
数值分析向量矩阵范数矩阵的条件数
数值分析向量矩阵范数矩阵的条件数数值分析是研究数值计算方法的一门学科，主要研究如何在计算机上对数学问题进行数值计算。
在数值分析中，向量和矩阵是常用的数学工具，而范数和条件数则是评估向量和矩阵性质的指标。
向量是一个有方向和大小的量，通常用一维数组来表示。
在数值分析中，我们常常需要计算向量的范数，即向量的大小。
向量的范数有多种定义方法，常用的有1-范数、2-范数和无穷范数。
1-范数是向量的所有元素的绝对值之和。
对于n维向量x=(x1,x2, ..., xn)，它的1-范数定义为，x，1 = ，x1， + ，x2， + ... + ，xn。
2-范数是向量的所有元素平方和的平方根。
对于n维向量x=(x1,x2, ..., xn)，它的2-范数定义为，x，2 = √(x1^2 + x2^2 + ... +xn^2)。
无穷范数是向量绝对值的最大值。
对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为，x，∞ = max(，x1，, ，x2，, ..., ，xn，)。
矩阵是一个二维数组，数值分析中常用矩阵进行线性代数的计算。
矩阵范数是对矩阵性质的度量，它可以看作是矩阵中元素的其中一种“大小”。
矩阵的范数有多种定义方法，常用的有1-范数、2-范数和无穷范数，与向量的定义类似。
矩阵的条件数是衡量矩阵相对于其逆矩阵的敏感度的度量。
一个矩阵的条件数越大，表示它的逆矩阵对输入误差的敏感度越高，计算的结果可能越不稳定。
在数值计算中，经常需要考虑矩阵的条件数，尽可能选择条件数较小的矩阵进行计算，以提高计算的稳定性和精确性。
总之，向量和矩阵是数值计算中常用的数学工具，而范数和条件数则是评估向量和矩阵性质的指标。
正确理解和应用这些概念，对于进行准确和稳定的数值计算具有重要的意义。
自变量矩阵的条件数 -回复
自变量矩阵的条件数-回复什么是自变量矩阵的条件数？自变量矩阵的条件数是一种衡量矩阵稳定性和误差放大程度的数值指标。
具体而言，自变量矩阵的条件数描述了在给定条件下，系统对输入误差的敏感程度。
理解自变量矩阵的条件数对于解决许多实际问题，特别是与线性方程系统和最小二乘问题有关的问题非常重要。
为了更好地理解条件数，我们将从矩阵的一般定义开始。
一个矩阵A可以表示为一个n×m的矩阵，其中n代表行数，m代表列数。
矩阵的条件数可以使用矩阵的谱范数来计算。
矩阵的谱范数是一种衡量矩阵最大特征值绝对值的方法，定义如下： A = max λ，其中λ表示矩阵A的特征值。
在这种定义下，自变量矩阵的条件数可以表示为：cond(A) = A ×A^(-1) ，其中A^(-1) 表示矩阵A的逆矩阵的谱范数。
有了这个定义，我们可以进一步了解自变量矩阵条件数的含义。
如果自变量矩阵的条件数较小，说明矩阵的逆对于输入误差的放大较小，系统相对稳定。
相反，如果条件数较大，那么误差可能会被放大，系统相对不稳定。
因此，小的条件数表示矩阵相对性能较好，大的条件数则表示矩阵的性能较差。
那么，什么样的矩阵会导致较大的条件数？我们可以通过以下几种情况来理解：1. 矩阵具有较大的谱间隔：如果矩阵的特征值之间的差异较大，那么条件数很可能也较大。
这是因为大的特征值会导致条件数的增加。
因此，特征值之间尽量避免相差太大，可以帮助减小条件数。
2. 自变量存在线性相关性：如果自变量矩阵中的列之间存在线性相关性，也会导致条件数较大。
这是因为线性相关的列会使得矩阵的秩降低，从而条件数增大。
3. 矩阵存在舍入误差：在实际计算中，由于浮点数运算的有限精度，矩阵可能出现舍入误差。
这种误差会影响矩阵的条件数。
因此，在进行数值计算时，需要注意避免舍入误差的积累，以减小条件数的增加。
现在我们可以进一步探讨自变量矩阵条件数的重要性。
在许多实际问题中，我们需要使用矩阵求解线性方程组或进行最小二乘拟合。
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它有准确解:
，可以看出，方程组
的解变化非常大。
矩阵的条件数
定义1：设 A Cnnn，||.||是Cnxn上的一个矩
阵范数.矩阵A的条件数定义为
cond( A) A A1
矩阵的条件数
常用的条件数有：
∞-条件数：
cond ( A)
A
A1
1-条件数：
cond1( A)
A 1
A1 1
2-条件数：
cHoilnbder2t(矩H阵8 )常=1常.5出25现在10数10据拟合和函数逼近的研
究中.
误差估计中的应用
1.若条件数cond(A)较小（接近1），就称 A关于求逆矩阵或解线性方程组为良态的 或好条件的.
2.若条件数cond(A)较大，就称A关于求逆 矩阵或解线性方程组为病态的或坏条件 的.
x xˆ
cond( A)
A
x
1 cond( A)( A A ) A
cond( A)
b
1 cond( A)( A
A)
b
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向
量b的数据误差对解的误差的影响
定理3
设
A
C nn n
，b, r C n
，
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
注： cond(A)多大A算病态，通常没有具体的 定量标准；
误差估计中的应用
Байду номын сангаас
注：当矩阵A十分病态时，就说明A已十分接
近一个奇异矩阵co。nd 2 6
(
A)
A
A1
A 2 6.00001 8.00001 600000.5
4.8106
A1
300000.5
100000
300000
100000
定理2
设
A
C nn n
， ACnn ， b Cn
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
数||.|| 相容.设x是线性方程组Ax=b的解，xˆ 是
线性方程组( A A)xˆ b b 的解
若 A1 A 1，则
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向 量b的数据误差对解的误差的影响
(5)当A、B是可逆矩阵时，则
cond(AB) cond(A)cond(B)
矩阵的条件数
1
n阶Hilbert矩阵
H
i
1 j
1
nn
1 2
1 2 1 3
1 1
cond2 (H4 )=1.5514 104 n n 1
1
n
1
n 1
1
2n 1
cond2 (H6 )=1.4951107
例3.设
1 i 0
A
i
0
i
,
A
C
33
,
0
b
C
3
0 i 1
为 的 使解A 线2 xˆ性的方相程对组误Ax差=b的解x xx与xˆ2
(
2
A
104
A)x b
，试问
A 应不超过何值？ 2
作业
2 1 3
1.设
A
8
2
4
，
4 4 10
求A的条件数cond ( A)
作业
2.设
2 2 2
数||.|| 相容.若向量 x, xˆ C n分别满足Ax=b，
Axˆ b r ，则有
1
r
x xˆ
r
cond( A)
cond( A) b
x
b
误差估计中的应用
例2.设
1
A
1
1
1
,
0
证明对任意范数，当 0 时有
cond( A) O( 1).因而矩阵A是病态的.
误差估计中的应用
det( A)
0.00002
误差估计中的应用
1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差
的影响
定理1
设
A
C nn n
是一个可逆矩阵， ACnn
是一个矩阵，||.|| 是Cnxn上的一个矩阵范数.
若 A1 A 1 则 A A 可逆，且有
A1 ( A A)1
A1 A
A1
1 A1 A
误差估计中的应用
第二章 向量范数与矩阵范数
2.4 矩阵的条件数
考虑线性方程组
2
2
6 6.00001
x1 x2
8 8.00001
它有准确解为: x (1,1)T
如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的
变化，得
2
2
6 5.99999
x1 x2
8 8.00002
x (10, 2)T
cond2 ( A)
A 2
A1 2
1 n
(1是AH A的最大特征值，
n是AH A的最小特征值)
矩阵的条件数
常用的条件数有：
特别地，当A是一个正规矩阵时，
cond2 ( A)
A 2
A1 1 2 n
( 1 max i , n = min i , i是A的特征值)
矩阵的条件数
例1：设 1 2 3 A 2 3 3 3 4 5
1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差
的影响
推论1
设
A
C nn n
， ACnn
若存在Cnxn上的一个矩阵范数||.|| 使得 A1 A 1
则有
A1 ( A A)1
cond( A)
A
A1
1 cond( A)( A A ) A
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向
量b的数据误差对解的误差的影响
求A的条件数cond ( A)
矩阵的条件数
矩阵条件数的性质：
(1) cond(A) 1 (2) cond(A)=cond(A1)
(3) cond(kA)=cond(A),k 0, k C.
(4)当U是酉矩阵时，则
cond2 (U )=1
cond2 (UA)=cond2 (AU )=cond2 (A)
A
2
5
4
,
b,
b1
C
3
2 4 5
b b1 2 104
且b
试估计线性方程组Ax=b的
2
x x1 2
解x与Ax=b1 的解x1的相对误差
x
.
2