矩阵的条件数
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第二章 向量范数与矩阵范数
2.4 矩阵的条件数
考虑线性方程组
2
2
6 6.00001
x1 x2
8 8.00001
它有准确解为: x (1,1)T
如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的
变化，得
2
2
6 5.99999
x1 x2
8 8.00002
x (10, 2)T
det( A)
0.00002
误差估计中的应用
1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差
的影响
定理1
设
A
C nn n
是一个可逆矩阵， ACnn
是一个矩阵，||.|| 是Cnxn上的一个矩阵范数.
若 A1 A 1 则 A A 可逆，且有
A1 ( A A)1
A1 A
A1
1 A1 A
误差估计中的应用
A
2
5
4
,
b,
b1
C
3
2 4 5
b b1 2 104
且b
试估计线性方程组Ax=b的
2
x x1 2
解x与Ax=b1 的解x1的相对误差
x
.
2
定理2
设
A
C nn n
， ACnn ， b Cn
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
数||.|| 相容.设x是线性方程组Ax=b的解，xˆ 是
线性方程组( A A)xˆ b b 的解
若 A1 A 1，则
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向 量b的数据误差对解的误差的影响
cHoilnbder2t(矩H阵8 )常=1常.5出25现在10数10据拟合和函数逼近的研
究中.
误差估计中的应用
1.若条件数cond(A)较小（接近1），就称 A关于求逆矩阵或解线性方程组为良态的 或好条件的.
2.若条件数cond(A)较大，就称A关于求逆 矩阵或解线性方程组为病态的或坏条件 的.
数||.|| 相容.若向量 x, xˆ C n分别满足Ax=b，
Axˆ b r ，则有
1
r
x xˆ
r
cond( A)
cond( A) b
x
b
误差估计中的应用
例2.设
1
A
1
1
1
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
证明对任意范数，当 0 时有
cond( A) O( 1).因而矩阵A是病态的.
误差估计中的应用
(5)当A、B是可逆矩阵时，则
cond(AB) cond(A)cond(B)
矩阵的条件数
1
n阶Hilbert矩阵
H
i
1 j
1
nn
1 2
1 2 1 3
1 1
cond2 (H4 )=1.5514 104 n n 1
1
n
1
n 1
1
2n 1
cond2 (H6 )=1.4951107
1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差
的影响
推论1
设
A
C nn n
， ACnn
若存在Cnxn上的一个矩阵范数||.|| 使得 A1 A 1
则有
A1 ( A A)1
cond( A)
A
A1
1 cond( A)( A A ) A
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向
量b的数据误差对解的误差的影响
x xˆ
cond( A)
A
x
1 cond( A)( A A ) A
cond( A)
b
1 cond( A)( A
A)
b
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向
量b的数据误差对解的误差的影响
定理3
设
A
C nn n
，b, r C n
，
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
cond2 ( A)
A 2
A1 2
1 n
(1是AH A的最大特征值，
n是AH A的最小特征值)
矩阵的条件数
常用的条件数有：
特别地，当A是一个正规矩阵时，
cond2 ( A)
A 2
A1 1 2 n
( 1 max i , n = min i , i是A的特征值)
矩阵的条件数
例1：设 1 2 3 A 2 3 3 3 4 5
求A的条件数cond ( A)
矩阵的条件数
矩阵条件数的性质：
(1) cond(A) 1 (2) cond(A)=cond(A1)
(3) cond(kA)=cond(A),k 0, k C.
(4)当U是酉矩阵时，则
cond2 (U )=1
cond2 (UA)=cond2 (AU )=cond2 (A)
它有准确解:
，可以看出，方程组
的解变化非常大。
矩阵的条件数
定义1：设 A Cnnn，||.||是Cnxn上的一个矩
阵范数.矩阵A的条件数定义为
cond( A) A A1
矩阵的条件数
常用的条件数有：
∞-条件数：
cond ( A)
A
A1
1-条件数：
cond1( A)
A 1
A1 1
2-条件数：
例3.设
1 i 0
A
i
0
i
,
A
C
33
,
0
b
C
3
0 i 1
为 的 使解A 线2 xˆ性的方相程对组误Ax差=b的解x xx与xˆ2
(
2
A
104
A)x b
，试问
A 应不超过何值？ 2
作业
2 1 3
1.设
A
8
2
4
，
4 4 10
求A的条件数cond ( A)
作业
2.设
2 2 2
注： cond(A)多大A算病态，通常没有具体的 定量标准；
误差估计中的应用
注：当矩阵A十分病态时，就说明A已十分接
近一个奇异矩阵co。nd 2 6
(
A)
A
A1
A 2 6.00001 8.00001 600000.5
4.8106
A1
300000.5
100000
300000
100000
2.4 矩阵的条件数
考虑线性方程组
2
2
6 6.00001
x1 x2
8 8.00001
它有准确解为: x (1,1)T
如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的
变化，得
2
2
6 5.99999
x1 x2
8 8.00002
x (10, 2)T
det( A)
0.00002
误差估计中的应用
1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差
的影响
定理1
设
A
C nn n
是一个可逆矩阵， ACnn
是一个矩阵，||.|| 是Cnxn上的一个矩阵范数.
若 A1 A 1 则 A A 可逆，且有
A1 ( A A)1
A1 A
A1
1 A1 A
误差估计中的应用
A
2
5
4
,
b,
b1
C
3
2 4 5
b b1 2 104
且b
试估计线性方程组Ax=b的
2
x x1 2
解x与Ax=b1 的解x1的相对误差
x
.
2
定理2
设
A
C nn n
， ACnn ， b Cn
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
数||.|| 相容.设x是线性方程组Ax=b的解，xˆ 是
线性方程组( A A)xˆ b b 的解
若 A1 A 1，则
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向 量b的数据误差对解的误差的影响
cHoilnbder2t(矩H阵8 )常=1常.5出25现在10数10据拟合和函数逼近的研
究中.
误差估计中的应用
1.若条件数cond(A)较小（接近1），就称 A关于求逆矩阵或解线性方程组为良态的 或好条件的.
2.若条件数cond(A)较大，就称A关于求逆 矩阵或解线性方程组为病态的或坏条件 的.
数||.|| 相容.若向量 x, xˆ C n分别满足Ax=b，
Axˆ b r ，则有
1
r
x xˆ
r
cond( A)
cond( A) b
x
b
误差估计中的应用
例2.设
1
A
1
1
1
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
证明对任意范数，当 0 时有
cond( A) O( 1).因而矩阵A是病态的.
误差估计中的应用
(5)当A、B是可逆矩阵时，则
cond(AB) cond(A)cond(B)
矩阵的条件数
1
n阶Hilbert矩阵
H
i
1 j
1
nn
1 2
1 2 1 3
1 1
cond2 (H4 )=1.5514 104 n n 1
1
n
1
n 1
1
2n 1
cond2 (H6 )=1.4951107
1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差
的影响
推论1
设
A
C nn n
， ACnn
若存在Cnxn上的一个矩阵范数||.|| 使得 A1 A 1
则有
A1 ( A A)1
cond( A)
A
A1
1 cond( A)( A A ) A
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向
量b的数据误差对解的误差的影响
x xˆ
cond( A)
A
x
1 cond( A)( A A ) A
cond( A)
b
1 cond( A)( A
A)
b
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向
量b的数据误差对解的误差的影响
定理3
设
A
C nn n
，b, r C n
，
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
cond2 ( A)
A 2
A1 2
1 n
(1是AH A的最大特征值，
n是AH A的最小特征值)
矩阵的条件数
常用的条件数有：
特别地，当A是一个正规矩阵时，
cond2 ( A)
A 2
A1 1 2 n
( 1 max i , n = min i , i是A的特征值)
矩阵的条件数
例1：设 1 2 3 A 2 3 3 3 4 5
求A的条件数cond ( A)
矩阵的条件数
矩阵条件数的性质：
(1) cond(A) 1 (2) cond(A)=cond(A1)
(3) cond(kA)=cond(A),k 0, k C.
(4)当U是酉矩阵时，则
cond2 (U )=1
cond2 (UA)=cond2 (AU )=cond2 (A)
它有准确解:
，可以看出，方程组
的解变化非常大。
矩阵的条件数
定义1：设 A Cnnn，||.||是Cnxn上的一个矩
阵范数.矩阵A的条件数定义为
cond( A) A A1
矩阵的条件数
常用的条件数有：
∞-条件数：
cond ( A)
A
A1
1-条件数：
cond1( A)
A 1
A1 1
2-条件数：
例3.设
1 i 0
A
i
0
i
,
A
C
33
,
0
b
C
3
0 i 1
为 的 使解A 线2 xˆ性的方相程对组误Ax差=b的解x xx与xˆ2
(
2
A
104
A)x b
，试问
A 应不超过何值？ 2
作业
2 1 3
1.设
A
8
2
4
，
4 4 10
求A的条件数cond ( A)
作业
2.设
2 2 2
注： cond(A)多大A算病态，通常没有具体的 定量标准；
误差估计中的应用
注：当矩阵A十分病态时，就说明A已十分接
近一个奇异矩阵co。nd 2 6
(
A)
A
A1
A 2 6.00001 8.00001 600000.5
4.8106
A1
300000.5
100000
300000
100000