变则通通则灵灵则活_数学习题变式教学在中考复习中的探索_李立新

初中数学教与学
2011 年
变则通
通则灵
灵则活
— — —数学习题变式教学在中考复习中的探索
李立新
( 江苏省宝应县城北初级中学 ， 225800 )
数学教学 离 不 开习 题 教学， 它 对 于 学生 理解和 掌 握 基础 知识， 培养 能力 ， 发 展 智 力， 训练思 维是 至 关 重要 的 ． 习 题 教学 是 课堂教 学中的 一个 重要 环 节， 但 教 材 中的习 题例题 大都 是 “条件 完 备， 结 论明 确 ”的 封 闭 的 题 型． 有效的数学课堂教学， 要 求 教师 善 于 在 进 ， 行 习题 教学的 同时 ， 进行 必 要 的“变式 教学 ” 即通过对教材 中的 定理 、 命 题进行变式 ， 从不 同角 度、 不 同 层 次、 不 同情 形、 不 同 背 景 暴露 问题的本质， 揭示 不 同知识 点 的 内 在 联系 ． 本 文笔者 结合 平 时 的教学 实际， 谈谈在中 考复 习中运 用变式 教学的感悟 : “变 ” 一、 现 状要求我们必须 目 前我 们 的 初 中数学中 考复 习 还 存 在 着 这样 一 些 问 题 : 老 师讲 解 多 ， 学生 思考 少; 一 问一 答 多， 研 讨 交流 少; 操 练 记忆 多， 鼓励创 新少; 强 求一 致 多， 发 展 个 性 少; 照 本 宣 科 多， 智力活 动 少; 显 性 内 容多 ， 隐 性 内 容 少; 应 付 任务多， 精 神 乐趣 少 等等 ． 从而 学生在数学学 习中经 常出 现 的 几 个 问 题 : 对 知识 点 的 理 解 停留 在 一知 半 解 的 层 次 上; 解题 始 终 不能 把 握其中 关键 的数学技巧， 孤立的看待每一道 题， 缺乏 举 一 反 三 的 能力 ; 解题 时， 小错误太 多， 始 终 不能 完整 的 解 决 问 题 ; 解题 效 率 低， 在规定 的时 间 内 不能 完成 一 定 量 的 题 目， 不 适应考 试节奏 ; 未养 成 总 结 归纳 的习 惯， 不能 习惯性的归纳 所学的知识点 ， 等等 ． 为 取得理 想 的教学效 果， 数学 复 习中 要 “题 海战术” ， 一改 进行变式 教学， 关键是实施 对习题 的变式训练 ， 这 样可 以 激 发 学生的学
上) ，其 余 条 件 不 变 ，则 PCD 的 周 长 为
OD． 则 ∠COD = 劣 弧 AB 上 ) ，连 接 OC、
进行变 换 条件 ， 就得到 如下变式训练题 : 操作 二 小 丽拿 出 另 一 张 Rt ABC 纸 片， 将直 角边 AC 沿某 条直线折叠 ， 使它落在斜 边 AB 上， 且与 AE 重合 ， 已知 两直 角边 AC = 6 cm， BC = 8 cm， 你 能求 出 CD 的长吗? 操作 三 如 图 3 ，小 丽 又 拿 出 另 一 张 Rt ABC 纸片 ， 将纸片折叠， 折痕 CD ⊥ AB． 你
习 兴趣， 使 教学 收 到 事 半 功 倍 的效 果． 同时， 在教学中 加 强 变式 教学， 引 导 学生 对 问 题进 行灵活变 换 ， 挖掘 它 们 之间 的 内 在 联系 ， 可以 开拓 学生的 解题思 路 ， 提 高 学生 分析 问 题 和 解决 问题的 能力 ， 从而 大 面 积 地提 高 教学 质 量． “变” 二、 课堂教学中 如何 从近 年 来 中 考 数学 命 题 的 趋 势 来 看， 对 于 学生思维的 广 度 、 深 度 的 要 求 有 所 增 加， 试 题比较注重学生探究 能力 的 考 查 ． 因 此， 在平 时 教学中， 我们可以从一些最简单的命题入 手， 设计一 些 有 层 次、 有 梯 度、 要 求 明 确、 题型 多 变的例题 、 习题， 训练 学生 不 断 探 索解题 的 捷径 ， 使 思维的广 阔 性 得到 发 展 ; 对 于 一 些容 易 混淆的数学的 概念 、 法 则， 可 以 将 它 们 进行 促使学生 作 出 客 观 的评 价 ， 提高辨 变式 教学， 别 是非的能力 ， 提高思维的批判性． 1 ． 变则 通， 串点 为线复习常用知识点 “好的问 题同某 种 蘑菇 有 些相 像 ， 它们都 成 堆地生 长 ， 找到 一 个 以 后 ， 你应当在周围找 一找， 很 可 能 附 近 就 有 好 几 个 ． ”数学课堂教 学中， 变式 教学 就 是 数学教育家 波 利 亚 所 说 “蘑菇 ” ， 的 它 能 够 充 分 调 动 学生的 主 观 能 动 性， 使多 向 性 、 多 层 次 的 交 互 作 用 引 进 数学教 学 过程， 教师通 过变式 教学， 不 但使 学生 能 举 一反三， 而且能使 教学 结 构 发 生 质 的 变化 ， 使 学生 成为创 造 的 主人 ． 根据 教 材 的 特点 ， 有重 点的 对课本 知识 进行 深入 浅出地 归纳 ， 是一 种 源于 课本 而 又 高 于 课本的 一 种 知识 概 括． 它是 通 过 对 许 多 知 识 的 提 炼 而 得 出 的 条 理
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第1 期
化、 规律化 的 东 西， 经 过 概 括 的 知识 易 记、 易 懂， 从而 达 到 串 点 为 线 掌 握 常用 知识 点 的 目 的． 例1 ∠APO = PA、 PB 是 ⊙ O 的 切 原 题: 如 图 1 ， ． 连接 OP ， 则 ． A、 B 为切点， 线， 则 PA =
片， 她取 出其中的 几 张进行 了如下 的操作 : 操作 一 DE． ( 1 ) 如果 AC = 6 cm， BC = 8 cm， 试求 ACD 的周长 ． ( 2 ) 如 果 ∠ CAD ∶ ∠BAD = 4 ∶ 7 ， 求 ∠B 的度数． 折叠 ， 使斜边 的两个 端 点 A 与 B 重 合， 折痕为
变式 1
CD 也与 ⊙ O 相切， 切 点 为 E． 交 ．
例2

原题 : 小丽剪 了 一些直 角三 角形 纸 如图 2 ， 将 Rt ABC 沿某 条 直线
PA 于 C 点， PA = 5 ， 交 切 线 PB 于 D 点， 则 PCD 的周 长 为 变式 2 ． 变式 3 ． 变式 4 ． 变式 5 变式 6 ． 变式 7 ． 变式 8 ． 通 过 这 一 系 列 的 变式训练 ， 使 学生 充 分 — — 圆这一 节所有 基础 知 掌握中 心对 称 图形 — 识 和基 本概念 ， 强 化 沟 通 切 线 的性 质、 判 定定 理和等 腰三 角 形 等 知识． 这 样 极 大地 拓 展 了 学生的 解题思 路 ， 活 跃 了 思 维， 激 发 了兴趣 ， 从而达 到复习 常见考点 的目的 ． CD 为 ⊙O 的切线 ， 切 点 为 E( 在 OB． 则 ∠COD = 劣 弧 AB 上 ) ，连 接 OA、 CD 为 ⊙O 的切线 ， 切 点 为 E( 在 OB． 则 ∠COD = 劣 弧 AB 上 ) ，连 接 OA、 B重 若 点 F 在 圆上 ( 不 与 点 A、 ． CD 为 ⊙O 的切线 ， 切 点 为 E( 在 合) 则 ∠ AFB = 若 连接 OP 交 AB 于点 F ， 则 AF = 若 PA = a ， 则 PCD 的 周 长 为 改变 切 点 E 的 位置 ( 在 劣弧 AB
2011 年
综 合考查阅 读 理 解能力 、 分析 推 理 能力 、 数据 处 理能力 、 文字概 括 能力 、 书 面 表达 能力 和 动 手 能力等 ， 能与所 学的 重 点 知识 进行 联 结 ． 教 学中 经常改变例题结 论和 条件， 引 导 学生 自 编 一些开放 性题目， 这样既 激 发了学生的学习 兴 趣， 同时又培养了学生研究探索问题的能力， 发 展了学生的创 造性思 维． 数学的教学 都 离不 开 解题， 解题中用 到 的数学 基础 知识、 基 本技 能、 思想方法 总是不变 的， 而变式 教学 恰恰 作为 载 体， 为我们提供了使用的平台， 如果我们能运用 得恰当， 则于师于生都大有益处． 例3 一次 函数 y = kx + b( k ≠ 0 ) 如 图 4 所示 ， 问: 结 合 你 已 有的 知识 能 提出 哪 些 问
2 2 2 2 能 证明: BC + AD = AC + BD ．
操作 四
AC = 在 ABC 中， ∠ C = 90 ° ，
3， BC = 4 ， CD 是 斜边 AB 上的高 ， 点 E 在 斜边 AB 上 ， 过点 E 作直线与 ABC 的 直 角 边 相 交
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初中数学教与学
于点 F， 设 AE = x， AEF 的面积为 y． ( 1 ) 求 线段 AD 的长 ; ( 2 ) 若 EF ⊥ AB， 当 点 E 在线段 AB 上 移动 时． ① 求 y 与 x 的函数 关系式 ( 写 出自变 量 x 的取值范围) ; y 有 最 大 值 ? 并 求其 最 ② 当 x 取何 值 时， 大值． ( 3 ) 若 F 在直 角边 AC 上( 点 F 与 A、 C两 点 均不重合) ， 点 E 在斜边 AB 上 移动 ， 试问 : 是 否存在 直线 EF 将 ABC 的 周 长 和 面 积同时 平 求 出 x 的 值; 若 不 存 在 直 分 ? 若存 在 直 线 EF ， 线 EF， 请说明理由． 题．
以 上 变式 使 学生 意 识到 ， 直角三角形中 常见的 热 点 问 题， 而 － 勾 股 定理 和 射 影 定理 是解决 这类问 题的突破 口 ． ， 可见， 以 基本 图形 为“基 准 点” 通过基本 图形的 运动 、 组合、 分解、 变式 ， 从而 将 某 一 问 题转 换 成更 一 般 的问 题 ， 把研 究的 图形 扩 展 到更大 范围 内 进行考 察 ， 从而 开 阔 学生 解 决 问题的视野， 激发 了 学生的学习 兴趣 ， 培养 学 触 类 旁 通的 思 维 品 质 和创 新能 生举 一 反 三 、 力， 使思 维 的 灵活 性和 多 向 性 得到 培养 和 发 展． 通过变 更 题设 和 转 换 图形 ， 使 学生 对常 见 考点有 更加 深 刻 的 理 解 ， 让 学生 既 知 其 然 ， 又 知其 所 以 然 ． 要总 结题 目， 对题 目 分类， 掌握 常见的 解题 方法， 这 样 才 能 真 正 的 做 到“任 它 ． 推 陈 出 新是复 习 千变万化， 我 自 岿 然 不 动” 常见考点， 热 点的 好方法 ． 3、 灵则活 ， 变中 求 真渗透常见思想 近 年一些 省 市 的中 考 数学 题 中 涌 现 了 立 意活 泼、 设计新 颖 、 富 有创 新 意 识、 培养 创 新 能力的 要求 学生 自 我 设计题 目 ． 这 类 命 题 以 0; ⑤ 求若点 C 在此直 线上 ， 且到 x 轴 的 距离 等于 1 ， 求点 C 的 坐标． 拓展 M 是 OB 上的 一点 ， 如图 5 所示 ， 若 ． 将 ABM 沿 AM 折叠， 点 B 恰好落在 x 轴上的 点 B' 处， 则 直线 AM 的解析式 为 通过训练 ， 使 学生 意 识到了 常用 的数学 思想 ( 如 函 数 思想 、 方 程思想 、 分类讨 论 思想 、 化 归思想等 ) ， 同时 又考查了几 何和代 数中 学生 畅 所 欲 言， 这 样 学生的创 造 火花 才 会不断闪现， 个性才得以发展． 实际 可提出 很多问题 ， 如: ① 求出 直 线的解析式 ; ② 直线 与 坐标 轴围 成 的 三 角 形 的 面 积 是 多少? a) 在 此 直 线 上， 则 a = ③ 若 点 ( 3， ; ④当x ＜ 0， 当y y ＞ 0． 当 x 时， x ＞ 0， 时， 当y y 时， x ＜ 时，