浙教版九年级下册数学第一章1.2 锐角三角函数的计算 已知三角函数值求锐角的度数随堂练习(解析版)
初中数学浙教版九年级下册第1章解直角三角形锐角三角函数的计算(g)
《有关三角函数的计算》学案（1）我预学1. 阅读教材后回答：请你思考下，课本例题1在计算过程中，先将所求的周长和面积表示成已知边长和已知角的三角函数的代数形式，再将边长和角度代入，这样的处理有什么好处？请你谈谈自己的想法.我梳理(1) 如果锐角α恰是整数度数，则只需按 键，再按数字键即可.(2) 如果锐角α度数是度、分的形式，先按 键，再按单位上的数字，接着按一 次 键，再按分单位上的数字即可.（3）如果锐角α的度数是度、分、秒的形式，先按键，再输入，即可得到结果.个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1. 求下列三角函数值，并把它们用“＜”号连接.（精确到）（1）sin36°= ，sin53°16’= ，sin60°= ，所以 ＜ ＜ . （2）cos45°= ，cos24°12’16 ”= ， 所以 ＜ .（3）tan54°=，tan60°24’=，所以＜ .2. 用计算器求下列每组三角函数值.（1）sin40° ，cos50° . （2）sin23°27’ ，cos66°33’.3. 不使用计算器比较下列三角函数值的大小：（填“＜”、“＝”或“＞”）（1）sin46°27’ cos53° 28’.（2）sin20° cos20°.（3）sin65° cos25°.4. 如图所示，儿童公园内滑梯的的滑板与地面所成的角∠A=35°，滑梯的高度BC =2米，则滑板AB 的长约为 .（精确到米）5. 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。
他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道____________m.(结果保留三个有效数字)知识链接：若∠A ，∠B 互余，则sin A = ，cos A = .知识形成： 锐角的正弦函数值随角度的增大而______；锐角的余弦函数值随角度的增大而______． 15°75°AC 第4题6. 如图，已知游艇的航速为每时34千米，它从灯塔S 的正南面方向A 处向正东方向航行到B 处需时，且在B 处测得灯塔S 在北偏西65°方向，求B 到灯塔S 的距离（精确到0.1米）.我挑战7. 如图，已知直线AB 与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，它的解析式为y =33-x +33,角α的一边为OA ，另一边为OP ⊥AB 于P ，求cos α的值.8. 如图，有一段斜坡长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高；（2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米）.第8题DCBA5° 12°BSA65°第6题 αA BOP第7题。
锐角三角函数的计算-特殊角的三角函数值(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识讲练
专题1.4 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值（知识讲解）【学习目标】1.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；2.会进行有关三角函数的计算应用【要点梳理】特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°特别说明：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为12、22、32，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．【典型例题】类型一、特殊角三角函数计算1．计算：(1)sin230°+sin60°-sin245°+cos230°；(2)tan30tan45 tan60?tan45︒+︒︒︒.【答案】(1)32+12；(2)133+.【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解．特殊值：sin 30° =12；sin 60° = 32；sin 45° = 22；cos 30° = 32；tan 60° = 3；tan 45° = 1解：(1)原式=1342+-12+34=32 + 12； 3133?1+（2）原式= =133+. 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．举一反三：【变式1】计算：222sin 60cos 60︒︒︒︒-﹣sin45°•tan45° 【答案】3232+ 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：222sin 60cos 60tan 604cos 45︒︒︒︒--﹣sin45°•tan45° ()22312222122342⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-⨯-⨯ 122322=-- 23222=+-=3232+． 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及分母有理化、二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键．【变式2】计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣12tan45°【答案】2-3【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．解：原式=2×22﹣3+12﹣12×1 =2-3【点拨】此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．类型二、特殊角三角函数计算2．计算：()2012sin 451220202π-︒⎛⎫----+- ⎪⎝⎭ 【答案】-2【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即可．解：原式＝24121-+-+=-2【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．举一反三：【变式1】计算：0113tan 30(2014π)32()3-︒---． 【答案】-2试题分析：分别计算033tan3033=⨯，(2014-π)0=1，32-=2﹣11333-⎛⎫= ⎪⎝⎭，，再用实数的混合运算法则计算.解：原式=3×33﹣1+2﹣3﹣3=﹣2. 【变式2】计算：()()2(31)3tan3052522sin60+--++． 【答案】3试题分析：用完全平方公式、平方差公式去括号，计算出特殊角三角函数值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可.解：(3－1)2+3tan 30°－(5－2)( 5+2)+2sin 60°=4－23+3×33－(5－4)+2×32=4－23+3－1+3=3.【点拨】掌握二次根式的加减乘除运算法则.类型三、三角函数计算3． 已知A ∠为锐角，且24sin 30A -=，则A ∠=______． 【答案】60︒【分析】计算，并结合A ∠是个锐角，即可求解．解：∵24sin 30A -=，∵23sin 4A =， ∵3sin 2A =±， ∵A ∠为锐角，∵3sin 2A =， ∵60A ∠=︒故答案是：60°【点拨】本题主要考察计算和锐角三角函数与角度关系，属于基础的计算题，难度不大．解题的关键是结合角度范围确定三角函数值范围．举一反三：【变式1】已知矩形ABCD 的周长为()232cm ，对角线2cm AC =，求BAC ∠与DAC ∠的度数． 【答案】30BAC ∠=︒，60=︒∠DAC 或60BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒．【分析】设AB=x,将BC 表示出来，再利用勾股定理可求出x=1或x=3,再利用三角函数求出一个角为30°，另一个角为60°.解：∵矩形ABCD 的周长为232+，∵AB+BC= 3+1,∵对角线AC=2,∵设AB=x,则BC=3+1-x,∵AB 2+BA 2=AC 2,∵x 2+(3+1-x)2=22,解得：x 1=1,x 2=3,∵当AB=1,则BC=3,∵tan∵BAC=3,∵∵BAC=60°,∵DAC=30°,当AB=3,则BC=1,∵tan∵BAC= 33, ∵∵BAC=30°,∵DAC=60°,故30BAC ∠=︒，60=︒∠DAC 或60BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒． 【点拨】此题主要考查了勾股定理和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．【变式2】计算(1)23602cos 30tan 45︒-︒+︒(2)已知α是锐角，且()1sin 152α-︒=84cos α的值． 【答案】(1)1 (2)0【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可；（2）先利用锐角的正弦求解α的大小，再代入代数式进行计算即可．(1)解：23sin 602cos 30tan 45︒-︒+︒ 23332122331122(2) α是锐角，且()1sin 152α-︒=，1530,=45,∴ 84cos α-2224222220=-=【点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．类型四、三角函数计算4．（1）计算：21122cos453-⎛⎫--︒+-⎪⎝⎭．（2）如图，在△ABC中，∵ACB=90°，角平分线AE与高CD交于点F，求证：CE=CF．【答案】（1）8；（2）见分析【分析】（1）计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再合并即可；（2）根据直角三角形两锐角互余求得∵B=∵ACD，然后根据三角形外角的性质求得∵CEF=∵CFE，根据等角对等边求得CE=CF．（1）解：21 122cos453-⎛⎫--︒+-⎪⎝⎭221292=--⨯+2129=--+=8；（2）证明：∵在△ABC中，∵ACB=90°，∵∵B+∵BAC=90°，∵CD是AB边上的高，∵∵ACD+∵BAC=90°，∵∵B=∵ACD，∵AE是∵BAC的角平分线，∵∵BAE=∵EAC，∵∵B +∵BAE =∵ACD +∵EAC ，即∵CEF =∵CFE ，∵CE =CF ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，将∵ABC 沿射线AB 平移4cm 后能与∵BDE 完全重合，连接CE 、CD 交BE 于点O ，OB ＝OC ．(1)求证：四边形CBDE 为矩形；(2)若S △BOC 432，求∵ACD 的度数． 【答案】(1)见分析(2)120°【分析】（1）由平移的性质及ASA判定定理可证得OCE ODB ≌，根据全等三角形的性质即可求证结论．（2）根据矩形的性质及面积公式即可求得BC ，进而可利用特殊三角函数值可求得60BCD ∠=︒，根据垂直平分线的性质即可求解．（1）证明：由题意可知：△BDE 由△ABC 平移后得到，∵//BC DE ，且BC DE =，∵四边形CBDE 是平行四边形，∵//CE BD ，且CE BD =，∵ECD CDB ∠=∠，CEB EBD ∠=∠，在OCE 和ODB △中 ECD CDB CE BDCEB EBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵ ()OCE ODB ASA ≌∵OC OD =，OB OE =，又∵OB OC =，∵CD BE =，∵ 平行四边形CBDE 为矩形．（2）由（1）可知四边形CBDE 为矩形，∵90CBD ∠=︒，且4BD =cm ，在OBC 中过点O 作BC 的垂线，垂足为F ，则2OF =，∵143223BOC S BC =⨯⨯=，∵433BC =cm ， ∵在Rt CBD △，43433BD tan BCD CB ∠===，∵60BCD ∠=︒，又∵在△ACD 中，BC 是AD 的垂直平分线，∵60ACB BCD ∠=∠=︒，∵120ACD ∠=︒，∴∵ACD 的度数为120︒．【点拨】本题考查了平移的性质、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、特殊三角函数值求角度，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．【变式2】将矩形ABCD 对折，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展开后再一次折叠，使点A 落在EF 上的点A '处，并使得折痕经过点B ，得到折痕BG ，连接AA '，如图1，问题解决：(1)试判断图1中ABA '△是什么特殊的三角形？并说明理由；(2)如图2，在图1的基础上，AA '与BG 相交于点N ，点P 是BN 的中点，连接AP 并延长交BA '于点Q ，求BQ BA '的值．【答案】(1)ABA '△是等边三角形，理由见分析(2)13BQ BA =' 【分析】（1）等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出AA ′=BA ′，利用折叠得出BA BA '=即可，解法二：根据折叠得出12BE BA =，BA BA '=，90A EB '∠=︒然后利用锐角三角函数定义得出1cos 2BE A BE BA '∠==' ，求出60A BE '∠=︒即可； （2）解法一：过点N 作NH A B '∥交AP 于H ，先证PHN PQB ≌△△（AAS ），再证AHN AQA '∽△△，得出12BQ QA =' 即可 解法二：由折叠可知A N AN '=，由点P 是BN 的中点 ，得出BP PN =，利用平行线等分性质得出1A M A N QM AN ''==，1BQ BP QM PN ==，证出BQ QM A M '==即可．(1)解：ABA '△是等边三角形．解法一：理由是：由折叠可知EF 垂直平分AB ；∵AA ′=BA ′，∵∵ABG 折叠得△A ′BG ，∵BA BA '=，∵AA BA BA ''==；∵ABA '△是等边三角形；解法二：理由是：由折叠可知12BE BA =，BA BA '=，90A EB '∠=︒， ∵1cos 2BE A BE BA '∠==' ， ∵60A BE '∠=︒，∵ABA '△是等边三角形；(2)解法一：过点N 作NH A B '∥交AP 于H ，∵HNP QBP ∠=∠，NHP BOP ∠=∠， 又∵点P 是BN 的中点 ， ∵BP NP =，在△PHN 和△PQB 中， HNP QBP NHP BQP PN PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵PHN PQB ≌△△（AAS ）， ∵HN BQ =，又∵NH A B '∥，∵ANH AA Q '∠=∠，AHN AQA '∠=∠， ∵AHN AQA '∽△△， 由折叠可知12A N AN AA ''==， ∵12HN AN QA AA =='' ， ∵12BQ QA ='， ∵13BQ BA ='； 解法二：由折叠可知A N AN '=， 又∵点P 是BN 的中点 ， ∵BP PN =，过点N 作NM AQ ∥交BA '于M ， ∵1A M A N QM AN''==，1BQ BP QM PN ==， ∵BQ QM A M '==， ∵13BQ BA ='．【点拨】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数值求角，掌握一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是解题关键．。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》说课稿2
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》说课稿2一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章的第一节内容。
本节课的主要内容有：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义及它们的图象和性质。
这部分内容是中学数学中非常重要的基础知识，是进一步学习中学几何、三角函数和其他数学分支的基础。
在本节课中，学生将掌握锐角三角函数的基本概念，了解它们之间的关系，以及学会用锐角三角函数解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学基础知识，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握锐角三角函数的知识。
同时，学生应该具备一定的观察能力、推理能力和解决问题的能力，以便能够更好地学习和理解本节课的内容。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们的图象和性质。
2.过程与方法目标：学生能够通过观察、实验、推理等方法，探索和发现锐角三角函数之间的关系。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和自信心，提高合作和交流的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义及它们的图象和性质。
2.教学难点：锐角三角函数之间的关系，以及如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用以下教学方法和手段：1.引导法：通过提问、引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
2.案例分析法：通过具体的案例，让学生更好地理解和掌握锐角三角函数的知识。
3.小组讨论法：学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作，培养学生的团队精神。
4.多媒体辅助教学：利用多媒体课件，生动形象地展示锐角三角函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入：通过提问，引导学生回顾已学的函数知识，为新课的学习做好铺垫。
九年级数学 第一章 直角三角形的边角关系 1.3 三角函数的计算教学
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得 ∠B≈26.6°.
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拓广探索 比一比，你能得出什么结论？
角 度
(jiǎodù)
增 大
sin15°32 ' = 0.2678
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
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解析 (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长；
(2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系(guān xì)即 可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
(1)求改直后的公路(gōnglù)AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确 到0.1)?
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(1)求改直后的公路(gōnglù)AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米(qiān mǐ)，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD ＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
第二十六页，共三十一页。
5.sin70°，cos70°，tan70°的大小(dàxiǎo)关系是( D) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
锐角三角函数(3)——特殊角的锐角三角函数值+课件+2024--2025学年人教版九年级数学下册
两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为
3
C
___2____.
O
BA
5. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°；
(2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；
(3) cos 60 1 sin 60
1 tan 30
；
随堂即练
答案：(1) 1 3 . (2) 2 3 1. (3) 2. 2
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
随堂即练
2. 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一
个根，求 2 sin2α + cos2α － 3 tan (α+15°)的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ tanα ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°.
sinA
=
1 2
，则下列正确的是
( B)
A. cosA = 2 2
C. tanA = 1
B. cosA = 3 2
D. tanA = 3
随堂即练
2
3. 在 △ABC 中，若 则∠C = 120°.
sin
A
1 2
cos
B
3 2
0，
4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线
OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，
cos A =
∠A的邻边
斜边
AC . AB
B
∠A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
tan A =
浙教版九年级(下)数学教学内容整理
第一章 解直角三角形1、锐角三角函数（1）锐角A 的对边与斜边 的比叫做A 的正弦，记作A sin ；c aA A =∠=斜边的对边sin（2）锐角A 的邻边与斜边 的比叫做A 的余弦，记作A cos ；c bA A =∠=斜边的邻边cos（3）锐角A 的对边与邻边 的比叫做A 的正切，记作A tan ；baA A A =∠∠=的邻边的对边tan特殊的三角函数值若090=∠+∠B A ，则B A cos sin =，即)90cos(sin 0A A -=；B A sin cos =，即)90sin(cos 0A A -=； BA t a n 1t a n =正切与正余弦之间的关系： AAA cos sin tan =同角的正余弦关系：1cos sin 22=+A A2、有关三角函数的计算用计算器求相应的三角函数的值 3、解直角三角形概念：在直角三角形中，除了直角外的5个元素，只要知道其中的2个元素（至少要有一个是边），求其它3个元素的过程叫解直角三角形。
依据：（1）三边间的关系：勾股定理222c b a =+ （2）锐角间的关系：090=∠+∠B A ；（3）边角间的关系：c a A =sin ，c b A =cos ，b aA =tan ；（4）面积公式：ch ab S ABC 2121==∆ 直角三角形可解的条件及可直接解的直角三角形的解（1） 已知两边或已知一边及一锐角，则此三角形可解，即在已知的两个条件中，至少有一个是边。
（2） 可直接解求解的直角三角形分为以下四种情况：① 已知两条直角边a ，b 其解法为22b a c +=，由ba A =tan 得A ∠，A B ∠-=∠090. ② 已知斜边和一直角边（如a ）其解法为22a c b -=，由ca A =sin 得A ∠，A B ∠-=∠090. ③ 已知一直角边和一锐角（如a ，A ∠）其解法为A B ∠-=∠090，A a b tan =，22b a c +=或Aa c sin =④ 已知斜边和一锐角（如c 和A ∠）其解法为A B ∠-=∠090，A c a sin ∙=，B c b sin ∙=或22a c b -=不可解直角三角形的解法除直角外已知的两个元素（至少有一个是边）的直角三角形都是可解的直角三角形，对于不可角的三角形，通常借助于解方程的思想求解。
2021-2022学年下学期初中数学浙教新版九年级同步经典题精练之锐角三角函数的计算
2021-2022学年下学期初中数学浙教新版九年级同步经典题精练之锐角三角函数的计算一．选择题（共10小题）1．（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°2．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°3．（2020秋•杭州期末）下列不等式成立的是（）A．sin60°＜sin45°＜sin30°B．cos30°＜cos45°＜cos60°C．tan60°＜tan45°＜tan30°D．sin30°＜cos45°＜tan60°4．（2021秋•下城区校级月考）请比较sin30°、cos45°、tan60°的大小关系（）A．sin30°＜cos45°＜tan60°B．cos45°＜tan60°＜sin30°C．tan60°＜sin30°＜cos45°D．sin30°＜tan60°＜cos45°5．（2021秋•淮阴区月考）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间6．（2021秋•莱州市期中）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：，显示屏显示的结果为88.99102049，将这个数据精确到0.001后，下列说法正确的是（）A．56.78°的正切函数值约为88.991B．正切函数值为56.78的角约是88.991°C．56°78′的正切函数值约为88.991D．正切函数值为56.78的角约是88°991′7．（2021秋•岱岳区校级月考）锐角A满足，利用计算器求∠A时，依次按键2ndF cos （1÷2）＝，则计算器上显示的结果是（）A．30B．45C．60D．758．（2021秋•莱阳市期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．9．（2021秋•龙口市期中）已知tan A＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．10．（2020秋•鄞州区期末）角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（）A．0＜sinα＜B．0＜tanβ＜1C．cosβ＜sinαD．sinβ＜cosα二．填空题（共10小题）11．（2021秋•龙凤区期末）比较大小：sin80°tan50°（填“＞”或“＜”）．12．（2021秋•岱岳区校级月考）用计算器求得tan65°≈（精确到0.01）．13．（2017•邵阳县校级二模）等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）14．（2021秋•虹口区校级月考）比较sin20°、sin55°、tan70°和cos80°的大小，并由小到大排列：．15．（2021•商河县校级模拟）若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是．16．（2020春•兴庆区校级月考）比较大小：（1）cos35°cos45°，tan50°tan60°；（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则αβ．17．（2019•荔湾区校级模拟）已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km+（k为常数且k＜0），则m的取值范围是．18．（2020•赛罕区二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系．19．（2017•陕西模拟）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个正多边形是边形；B．用科学计算器计算：3﹣2sin38°19′≈．（结果精确到0.01）20．（2017•蓝田县三模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点P是第二象限内一点，连接OP．若OP与x轴的负半轴之间的夹角α＝50°，OP＝13.5，则点P到x轴的距离约为（用科学计算器计算，结果精确到0.01）．2021-2022学年下学期初中数学浙教新版九年级同步经典题精练之锐角三角函数的计算参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】常规题型．【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．【解答】解：∵cos60°＝，cos30°＝，∴30°＜∠A＜60°．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角的余弦值随着角度的增大而减小是解题的关键，是基础题，比较简单．2．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】三角形；运算能力．【分析】先求出cos30°＝，cos45°＝，利用已知三角函数值确定＜＜，进而求α的范围．【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，∴＜＜，∴cos45°＜cosα＜cos30°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【点评】本题考查锐角三角形函数的增减性，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．3．（2020秋•杭州期末）下列不等式成立的是（）A．sin60°＜sin45°＜sin30°B．cos30°＜cos45°＜cos60°C．tan60°＜tan45°＜tan30°D．sin30°＜cos45°＜tan60°【考点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】将特殊角的三角函数值进行比较即可．【解答】解：A、∵＞＞，∴sin60°＞sin45°＞sin30°，故选项不成立；B、∵＞＞，∴cos30°＞cos45°＞cos60°，故选项不成立；C、∵＞1＞，∴tan60°＞tan45°＞tan30°，故选项不成立；D、∵＜＜，∴sin30°＜cos45°＜tan60°，故选项成立．故选：D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，属于基础题．4．（2021秋•下城区校级月考）请比较sin30°、cos45°、tan60°的大小关系（）A．sin30°＜cos45°＜tan60°B．cos45°＜tan60°＜sin30°C．tan60°＜sin30°＜cos45°D．sin30°＜tan60°＜cos45°【考点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】利用特殊角的三角函数值得到sin30°＝，cos45°＝，tan60°＝，从而可以比较三个三角函数大小．【解答】解：∵sin30°＝，cos45°＝，tan60°＝，而＜＜，∴sin30°＜cos45°＜tan60°．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大；余弦值随着角度的增大而减小；正切值随着角度的增大而增大．也考查了特殊角的三角函数值．5．（2021秋•淮阴区月考）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】利用特殊角的三角函数值得到tan60°＝，则tan A＞tan60°，然后根据正切值随着角度的增大而增大进行判断．【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了特殊角的三角函数值．6．（2021秋•莱州市期中）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：，显示屏显示的结果为88.99102049，将这个数据精确到0.001后，下列说法正确的是（）A．56.78°的正切函数值约为88.991B．正切函数值为56.78的角约是88.991°C．56°78′的正切函数值约为88.991D．正切函数值为56.78的角约是88°991′【考点】计算器—三角函数．【专题】计算题；应用意识．【分析】根据计算器的功能键作用即可判断．【解答】解：根据计算器功能键作用知：该组按键表示：正切函数值为56.78的角约是88.991°..故选：B．【点评】本题考查用计算器求角，熟悉计算器各个功能键的作用是求解本题的关键．7．（2021秋•岱岳区校级月考）锐角A满足，利用计算器求∠A时，依次按键2ndF cos （1÷2）＝，则计算器上显示的结果是（）A．30B．45C．60D．75【考点】计算器—三角函数．【专题】实数；运算能力．【分析】根据计算器即可求出答案．【解答】解：∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．【点评】本题考查三角函数的计算，解题的关键是正确利用计算器得出答案，本题属于基础题型．8．（2021秋•莱阳市期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】度分秒的换算；计算器—三角函数．【专题】实数；运算能力．【分析】根据计算器按键方法判断即可．【解答】解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．【点评】此题考查了计算器﹣三角函数，以及度分秒的换算，弄清计算器上的按键方法是解本题的关键．9．（2021秋•龙口市期中）已知tan A＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数．【专题】计算题；运算能力．【分析】直接根据计算器功能键判断．【解答】解：根据计算器功能键，先按反三角2ndF，再按正切值．故选：A．【点评】本题考查利用计算器求角，熟悉计算器功能键和按键顺序是求解本题的关键．10．（2020秋•鄞州区期末）角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（）A．0＜sinα＜B．0＜tanβ＜1C．cosβ＜sinαD．sinβ＜cosα【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解答】解：0°＜α＜β＜45°，A、0＜sinα＜，是真命题，不符合题意；B、0＜tanβ＜1，是真命题，不符合题意；C、cosβ＞sinα，是假命题，符合题意；D、sinβ＜cosα，是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理和锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•龙凤区期末）比较大小：sin80°＜tan50°（填“＞”或“＜”）．【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】函数思想；特殊化方法；推理能力．【分析】正弦函数值小于1，而tan50°＞tan45°，故tan50°＞1即可比较二者大小．【解答】解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜1，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦（切）函数值随角的增大而增大，但锐角的正弦函数值小于1．12．（2021秋•岱岳区校级月考）用计算器求得tan65°≈ 2.14（精确到0.01）．【考点】近似数和有效数字；计算器—三角函数．【专题】实数；运算能力．【分析】根据计算器即可求出答案．【解答】解：tan65°≈2.14，故答案为：2.14．【点评】本题考查三角函数的计算，解题的关键是正确利用计算器得出答案，本题属于基础题型．13．（2017•邵阳县校级二模）等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为49.5°．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）【考点】近似数和有效数字；等腰三角形的性质；计算器—三角函数．【分析】首先画出图形，再利用cos B＝＝，结合计算器求出答案．【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，∵腰和底的长分别是10和13，∴BD＝，∴cos B＝＝＝，∴∠B≈49.5°．故答案为：49.5°．【点评】此题主要考查了计算器求三角函数值，正确应用计算器是解题关键．14．（2021秋•虹口区校级月考）比较sin20°、sin55°、tan70°和cos80°的大小，并由小到大排列：cos80°＜sin20°＜sin55°＜tan70°．【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】根据正弦、正切函数随着角度的增大而增大，余弦函数随着角度的增大而减小的性质，可以确定正确答案．【解答】解：∵cos80°＝sin10°，10°＜20°＜55°，∴cos80°＜sin20°＜sin55°＜1，∵tan70°＞tan45°＝1，∴cos80°＜sin20°＜sin55°＜tan70°，故答案为：cos80°＜sin20°＜sin55°＜tan70°．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，知晓正弦，正切，余弦的增减属性是解题的关键．15．（2021•商河县校级模拟）若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是0＜m＜；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角的正弦函数的取值范围，易得0＜1﹣3m＜1，求解；由一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，可得sin41°＝cos49°，进而由余弦函数随角增大而减小，比较角的大小，可得答案．【解答】解：α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则有0＜1﹣3m＜1，解得0＜m＜；∵sin41°＝cos49°，根据余弦函数随角增大而减小，故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．【点评】解决此类问题，关键是熟记并灵活运用特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性．16．（2020春•兴庆区校级月考）比较大小：（1）cos35°＞cos45°，tan50°＜tan60°；（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则α＞β．【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】（1）根据余弦值随角度的增大余弦值越小，正切值随角度的增增大而增大，进而得出答案；（2）利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：（1）cos35°＞cos45°，tan50°＜tan60°；故答案为：＞，＜；（2）∵sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则α＞β．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．17．（2019•荔湾区校级模拟）已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km+（k为常数且k＜0），则m的取值范围是＜m＜﹣．【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据θ的范围即可求得km+的范围，从而求得m的取值范围．【解答】解：∵0°＜θ＜30°，∴sin0°＜sinθ＜sin30°，即0＜km+＜，∴﹣＜km＜，∴＜m＜﹣．故答案是：＜m＜﹣．【点评】本题主要考查了特殊角0°与30°的正弦值，以及正弦函数随角度的增大而增大．18．（2020•赛罕区二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为cos A ＝，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系sin70°＞cos40°＞cos50°．【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】解直角三角形及其应用；模型思想．【分析】根据余弦的定义即可确定答案；先化成“同名锐角三角函数”再比较，根据sin70°＝cos20°且余弦随角度的增大而减小即可确定大小关系．【解答】解：∵直角三角形ABC中，角C为直角∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，即cos A＝，∴余弦的定义为cos A＝；∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，∴cos20°＞cos40°＞cos50°，∴sin70°＞cos40°＞cos50°，故答案为：cos A＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．【点评】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键．19．（2017•陕西模拟）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个正多边形是五边形；B．用科学计算器计算：3﹣2sin38°19′≈ 1.76．（结果精确到0.01）【考点】多边形内角与外角；计算器—三角函数．【分析】A：根据正多边形的外角和为360°，即可解决问题；B：利用计算器求出sin38°19′≈0.6193，代入计算即可；【解答】解：A：设边数为n，由题意n＝＝5，所以这个正多边形是五边形，故答案为五．B：原式＝3﹣2×0.6193≈1.76．故答案为1.76．【点评】本题考查正多边形的性质、计算器的应用等知识，解题的关键是记住正多边形的外角和为360°．20．（2017•蓝田县三模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点P是第二象限内一点，连接OP．若OP与x轴的负半轴之间的夹角α＝50°，OP＝13.5，则点P到x轴的距离约为10.34（用科学计算器计算，结果精确到0.01）．【考点】近似数和有效数字；点的坐标；计算器—三角函数．【分析】过点P作P A⊥x轴于点A，根据三角函数求出P A即可．【解答】解：过点P作P A⊥x轴于点A，如图所示∵sinα＝，∴P A＝OP•sin50°≈13.5×0.766≈10.34；故答案为：10.34．【点评】本题考查了解直角三角形以及点的坐标，由三角函数求出P A是解决问题的关键．考点卡片1．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．2．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．3．度分秒的换算（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．4．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．5．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．6．锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sin A≤1，1≥cos A≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tan A＞0．7．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．8．计算器—三角函数（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．（2）求锐角三角函数值的方法：如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果．注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．。
九年级数学初三下册：第一章 直角三角形的边角关系教案 教学设计
第一章直角三角形的边角关系1 锐角三角函数第1课时正切与坡度1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等．3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．一、情境导入师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？课件出示下图，提出问题：(1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？(2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？甲组乙组二、探究新知引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题：1．比较梯子的倾斜程度(1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？(2)分别求出每组图中的AC BC 与ED FD，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？ 2. 如下图，小明想通过测量B 1C 1及 AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及 AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)Rt △AB 1C 1和 Rt △AB 2C 2有什么关系？ (2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？ 3．正切是如何定义的？4．梯子的倾斜程度与tan A 的值有什么关系？ 5．坡度是如何定义的？ 三、举例分析例 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？甲 乙(1)tan α和tan β 的值分别是多少？ (2)你能比较tan α和tan β 的大小吗？(3)根据tan A 的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？ 四、练习巩固1．在△ABC 中，∠C ＝90°，则tan A 等于( ) A.BC AB B.AC AB C.BC AC D. AB AC2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，若tan A ＝34，则AC ＝________.3．如图，Rt △ACB 中，∠B ＝90°，BC ＝10，tan A ＝512，求AB ，AC.五、课堂小结 1．易错点：(1) tan A 中常省略角的符号“∠”，用希腊字母表示角时也可省略，如：tan α，tan β 等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan ∠BAC 或tan ∠1，tan ∠2 等；(2) tan A 没有单位，它表示一个比值；(3) tan A 是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘“A ”． 2．归纳小结：(1)tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边；(2)tan A 的值越大，梯子越陡．3．方法规律：(1)一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A＝∠A的对边∠A的邻边只能在直角三角形中适用；(2)坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．六、课外作业1．教材第4页“随堂练习”第1、2题．2．教材第4页习题1.1第1、2题．本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更徒引入新课，激发了学生的求知欲．为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解．本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系．第2课时正弦和余弦1．理解正弦、余弦及三角函数的意义．2．能够运用sin A，cos A表示直角三角形两边的比．3．根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．重点理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进行简单计算．难点正弦、余弦的理解及应用．一、复习导入1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝34，AC＝10，求BC，AB的长．2．若梯子与水平面相交的锐角为∠A，∠A越大，梯子越________；tan A的值越大，梯子越________．3．当Rt △ABC 中的一个锐角A 确定时，其他边之间的比值也确定吗？ 可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？二、探究新知1．正弦、余弦及三角函数的定义 课件出示：(1)Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是什么？ (2)B 1C 1AB 1和B 2C 2AB 2的关系是什么？(3)如果改变B 2在斜边上的位置，则B 1C 1AB 1和B 2C 2AB 2的关系是什么？ 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边与斜边的比值____________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？2．梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 的关系探究活动：梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 之间有什么关系？如图，AB ，A 1B 1表示梯子，CE 表示支撑梯子的墙，AC 在地面上． (1)梯子AB ，A 1B 1哪个更陡？(2)梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 有关系吗？ 三、举例分析例 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200，sin A ＝0.6，求BC 的长．(1)sin A等于图中哪两条边的比？(2)你能根据sin A＝0.6写出等量关系吗？(3)根据等量关系你能求出BC的长吗？四、练习巩固1．在 Rt△ABC中，若各边的长度同时都缩小4倍，则锐角A的正弦值( )A．缩小4倍B．缩小2倍C．保持不变D．不能确定2．已知∠A，∠B为锐角．(1)若∠A＝∠B，则sin A________ sin B；(2)若sin A＝sin B，则∠A ________∠B.3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝6，求∠B的三个三角函数值．五、课堂小结1．易错点：(1)sin A，cos A，tan A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；(2)sin A，cos A，tan A是一个完整的符号，表示∠A的正弦、余弦、正切，习惯省去“∠”符号；(3)sin A，cos A，tan A都是一个比值，注意区别，且sin A，cos A，tan A均大于0，无单位；(4)sin A，cos A，tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系．2．归纳小结：(1)正弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB 的比叫做∠A的正弦，记作sin A；(2)余弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB 的比叫做∠ A的余弦，记作cos A；(3)sin A越大，梯子越陡； cos A越小，梯子越陡．3．方法规律：两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．六、课外作业1．教材第6页“随堂练习”第1、2题．2．教材第6～7页习题1.2第1、3、4、5题．本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义．同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力．本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义．2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3．能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．重点能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角大小．难点通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进行有关推理的能力．一、复习导入1．在Rt△ABC中，∠C ＝90°.(1)a，b，c三者之间的关系是什么？∠ A＋∠ B等于多少度？(2)如何表示sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B? 2．观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？二、探究新知课件出示：如图所示，在Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°.(1)a，b，c三者之间有什么样的关系？(2)sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流．(3)cos 30°等于多少？tan 30°呢？(4)sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？(5)45°角的三角函数值分别是多少呢？引导学生填写表格：三角函数值sin A cos A tan A30°45°60°三、举例分析例1 计算：(1) sin 30°＋cos 45°；(2) sin 260°＋cos 260°－tan 45°.处理方式：通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程．例2 (课件出示教材第9页例2)引导学生思考如下问题：(1)你能根据题意画出图形吗？(2)你能根据所画图形构造直角三角形吗？(3)你能找到图形中的特殊角吗？(4)你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？四、练习巩固1．下列式子中成立的是 ( )A．cos 72°＜sin 35°＜tan 46°B．sin 35°＜tan 46°＜cos 72°C．tan 46°＜cos 72°＜sin 35°D．tan 46°＜cos 40°＜sin 35°2．已知等腰△ABC的腰长为4 3，底角为30°，则底边上的高为________，周长为________．3．若(3tan A－3)2＋||2cos B－3＝0，则△ABC按角分类是什么三角形？五、课堂小结1．易错点：(1)能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(2)能根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．2．归纳小结：sin 30°＝12，sin 45°＝22，sin 60°＝32；cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12；tan 30°＝33，tan 45°＝1，tan 60°＝ 3.3．方法规律：在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则有：sin A＝cos (90°－A)；cos A＝ sin (90°－A) ；sin B＝cos (90°－B)；cos B＝sin (90°－B)．六、课外作业1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．2．教材第10页习题1.3第1～4题．本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3 三角函数的计算1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．2．能用计算器由已知三角函数值求角度．3．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．重点熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序．难点非整数度的角的三角函数值的求法．一、情境导入课件出示：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m)引导学生思考以下问题：(1)在Rt△ABC中，sin α如何表示？(2)你知道sin 16°是多少吗？(3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数值呢？二、探究新知1．已知角求三角函数值(1)引导学生阅读教材第12页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：①利用计算器求三角函数值用到哪些按键？②求值过程中按键使用的先后顺序是什么？③求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？④通过自学你能利用计算器求出sin 16°的数值吗？(2)课件出示：当缆车继续由点B到达点D时，他又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？引导学生思考如下问题：①缆车从点B到点D通过的路程是多少？②缆车从点B到点D水平通过的路程是多少？③缆车从点B到点D垂直高度上升了多少？2．已知三角函数值求角(1)课件出示：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道，这条斜道的倾斜角是多少？引导学生思考如下问题：①在Rt△ABC中，sin A如何表示？②你能根据题目中的已知条件求出sin A的数值吗？③你能根据sin A的数值求出∠A吗？(2)引导学生阅读教材第13～14页用计算器求角的操作过程，提出问题：①利用计算器求角用到哪些按键？②求角过程中按键使用的先后顺序是什么？③如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？④你能利用计算器求出∠A的度数吗？三、练习巩固1．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是( )A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.662. 用计算器求tan 35°的值，按键顺序是____________________．3．在 Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°)．四、课堂小结1．易错点：(1)用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的．2．归纳小结：(1)用计算器求三角函数值；(2)用计算器求角．3．方法规律：(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；先输入数字后，再按三角函数键．五、课外作业1．教材第14页“随堂练习”第1、2、3题．2．教材第15页习题1.4第1～6题．本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高．但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练．在教学过程中，我深切感到自身知识面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展．在以后的教学中，我还要继续加强自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4 解直角三角形1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系．2．能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角的关系解直角三角形．重点直角三角形的解法．难点灵活运用三角函数解直角三角形．一、复习导入师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角．课件出示：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.(1)直角三角形的三边之间有什么关系？(2)直角三角形的锐角之间有什么关系？(3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？师：直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题．二、探究新知1．已知两边解直角三角形课件出示教材第16页例1，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能正确求解吗？教师给出解直角三角形的定义及其依据．2．已知一边和一锐角解直角三角形课件出示教材第16～17页例2，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能仿照例1独立完成求解吗？3．总结(1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？(2)除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，要知道其中的几个元素就可以求出其他的元素？(3)通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？归纳：解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：(1)已知两条边(一直角边一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角；一斜边一锐角)．三、练习巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝34，AB＝5，则边AC的长是( )A．3 B．4 C.154D.5742．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝23，那么AB＝________.3．在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．四、课堂小结1．易错点：(1)如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；(2)至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形．2．归纳小结：(1)“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；(2)解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角；(3)解直角三角形的方法：①已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未知数，根据勾股定理列方程)；②已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；③已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余．3．方法规律：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，首选正切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除．五、课外作业1．教材第17页“随堂练习”．2．教材第17～18页习题1.5第1～4题．本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边角之间的关系．正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键．解直角三角形的方法灵活多样，学生可以自由选择解题方法．在处理例题时，首先让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同进步．5 三角函数的应用1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．重点经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．难点灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决．一、情境导入如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．二、探究新知课件出示教材第19页“想一想”，提出问题：(1)什么是仰角？(2)在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？(3)怎样求该塔的高度？处理方式：学生先独立思考解决问题的方法，再回答．解：(1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．(2)30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.(3)∵CD是Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan 30°＝CDAC，即AC＝CD tan 30°.在Rt△BDC中，tan 60°＝CDBC，即BC＝CDtan 60°，又∵AB＝AC－BC＝50 m，∴CD tan 30°－CDtan 60°＝50.解得CD≈43 m.三、举例分析例(课件出示教材第19页“做一做”)引导学生思考：(1)你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？(2)你能根据题意画出示意图吗？(3)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？(4)40°和35°的角分别是哪个角？(5)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？(6)Rt△ABC中的哪条边不变？解：由条件可知，在Rt△ABC中，sin 40°＝ABAC，即AB＝4sin 40°，原楼梯占地长BC＝4cos 40°.调整后，在Rt△ADB中，sin 35°＝ABAD，则AD＝ABsin35°＝4sin 40°sin 35°，楼梯占地长DB＝4sin 40°tan 35°.∴调整后楼梯加长AD－AC＝4sin 40°sin 35°－4≈0.48(m)．楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝4sin 40°tan 35°－4cos 40°≈0.61(m)．四、练习巩固1．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500 m，则它上升的最大高度为( )A．500sin α B.500sin αC．500cos α D.500cos α2．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________ m．(结果保留根号)3．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12 m处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号)五、课堂小结1．易错点：(1)对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等．对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程(组)，然后解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；(2)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化．2．归纳小结：解直角三角形一般有以下几个步骤：(1)审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知条件；(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；(3)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．3．方法规律：(1)在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数值；②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数值；(2)求某些未知量的途径往往不唯一．选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算．六、课外作业1．教材第20页“随堂练习”第1、2题．2．教材第21页习题1.6第1～4题．本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节．上课前多揣摩学生的认知特点，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让他们做课堂这个舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作．不断总结课堂教学中的得失，不断进步，只有这样，才能真正提高课堂教学效率．6 利用三角函数测高1．能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，能够对所得到的数据进行分析，从而得出符合实际的结果．2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．重点设计活动方案、自制仪器、运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．难点运用直角三角形的边角关系求物体的高．一、情境导入问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方法？问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？二、探究新知1．设计活动方案，自制仪器(1)测倾器(或测角仪、经纬仪等)由哪几部分构成？(2)制作测角仪时应注意什么？处理方式：小组讨论总结测倾器的制作方法和使用步骤．2．测量倾斜角(1)把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．师：这样做的依据是什么？3．测量底部可以到达的物体的高度要测物体MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图)(1)在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE＝α.(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.(3)量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离)．师：根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？解：在Rt△MEC中，∠MCE＝α，AN＝EC＝l，∴tan α＝MEEC，即ME＝EC·tan a＝l·tan α.∵NE＝AC＝a，∴MN＝ME＋EN＝l·tan α＋a.4．测量底部不可以到达的物体的高度要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：(1)在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测角仪(点A，B，N都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE＝β.(3)量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.师：根据测量数据，你能求出MN的高度吗？分析：根据测量的AB的长度，AC，BD的高度以及∠MCE，∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN的高度．解：∵在Rt△MDE中，ED＝MEtan β，在Rt△MCE中，EC ＝MEtan α，∴EC－ED＝b.∴MEtan β－MEtan αtan αtan β＝b.∴ ME＝btan αtan βtan β－tan α.∴ MN＝btan αtan βtan β－tan α＋a.三、练习巩固1．直升飞机在离地面2 000 m的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是( )A．2 000 m B．2 000 3 mC．4 000 m D．4 000 3 m2．2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°.已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为 ________米(精确到1米)．(参考数据：sin 22.3°≈0.38，cos 22.3°≈0.93，tan 22.3°≈0.41)3．九年级1班的同学为了了解教学楼前一棵树的生长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰角为30°，树高5 m，今年他们仍在原地A处测得大树顶点D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少米？(精确到0.01)(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75，3≈1.732)。
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1.2__锐角三角函数的计算__
第2课时 已知三角函数值求锐角的度数
1．∠A 满足cos A ＝1
2，利用计算器求∠A 时，依次按键SHIFT cos （1÷2）＝，则计算器上显示的结果是( C ) A ．30 B ．45 C ．60
D ．75
2．若∠A 是锐角，且cos A ＝tan30°，则( C ) A ．0°<∠A <30°
B ．30°<∠A <45°
C ．45°<∠A <60°
D ．60°<∠A <90°
【解析】 由cos A ＝tan30°≈0.577 4可得∠A ≈55°，∴45°＜∠A ＜60°.故选C.
3．已知cos A ·sin30°＝3
4，则∠A 为( A ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．75°
【解析】 由题意，得cos A ×12＝34，∴cos A ＝3
2，∴∠A ＝30°.故选A.
4．已知cos A ＝2
2，且∠A 为锐角，那么sin 2A ＋tan 2A ＝( B )
A ．1 B.3
2 C ．2 D. 2
【解析】 由cos A ＝22，得∠A ＝45°，∴sin 2A ＋tan 2
A ＝12＋1＝32.故选B. 5．已知tan A ＝0.301 4，用计算器求锐角A ，可以按照下面方法操作：依次按键SHIFT tan ，然后输入函数值0.301 4，得到∠A ≈__17°__(精确到1°)． 6．如图1－2－8，有一滑梯A
B ，其水平宽度A
C 为5.3 m ，铅直高度BC 为2.8 m ，则∠A 的度数约为__27.8°__(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．
图1－2－8
【解析】 tan A ＝2.8
5.3≈0.528 3，利用计算器求角度可知∠A ≈27.8°. 7．如图1－2－9，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝9，∠A ＝48°.求：
图1－2－9
(1)AB 边上的高线(精确到0.01)； (2)∠B 的度数(精确到1′)．
解：(1)如答图，过点C 作AB 边上的高线CH ，垂足为H .
第7题答图
∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CH
AC ， ∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin48°≈6.69； (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ， ∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos48°， ∴在Rt △BCH 中， tan B ＝CH BH ＝
CH
AB －AH ＝9sin48°8－9cos48°
≈3.382，
∴∠B ≈73°52′.
8．若用三根长度分别为8，8，6的木条做成一个等腰三角形，则这个等腰三角形的各个角的大小分别为多少(精确到1′)?
解：如答图，根据题意，作△ABC ，AB ＝AC ＝8，BC ＝6.
第8题答图过点A作AD⊥BC于点D，
则BD＝CD＝3.
∴cos B＝BD
BA＝
3
8，
∴∠B≈67°59′，
∴∠C≈67°59′，∠A≈44°2′.
9．如图1－2－10是一晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D 两点立于地面，经测量：OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF＝32 cm，求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°)．
图1－2－10 第9题答图
解：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm.
在Rt△OEM中，∵∠OME＝90°，
∴cos∠OEF＝EM
OE＝
16
34≈0.470 6，
∴∠OEF≈61.9°.
10．如图1－2－11是一张简易活动餐桌，测得OA＝OB＝30 cm，OC＝OD＝50 cm，现要求桌面离地面的高度为40 cm，那么两条桌脚的张角∠COD的度数大小应为(B)
A．100°B．120°C．135°D．150°
图1－2－11 第10题答图
【解析】 如答图，过点O 作高线MN ，交AB 于点M ，交CD 于点N . 设OM ＝x ，有
x 40－x
＝30
50，∴x ＝15， ∴cos ∠MOB ＝OM OB ＝1530＝1
2，∴∠MOB ＝60°， ∴∠COD ＝∠AOB ＝120°.故选B.
11．如图1－2－12，在矩形ABCD 中，若AD ＝1，AB ＝3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是( C )
图1－2－12
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
12．等腰三角形的底边长为20 cm ，面积为100
3 3 cm 2，则顶角为__120__度．
第12题答图
【解析】 如答图，作等腰三角形ABC 的高线AD ，有BD ＝1
2BC ＝10(cm)． 又∵12BC ·AD ＝100
33，
∴ 12×20×AD ＝10033，解得AD ＝10
33， ∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝10
1033＝3，
∴∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝120°.
13．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图1－2－13①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO ′后，电脑转到AO ′B ′位置(如图③)，侧面示
意图为图④.已知OA ＝OB ＝24 cm ，O ′C ⊥OA 于点C ，O ′C ＝12 cm. (1)求∠CAO ′的度数；
(2)显示屏的顶部B ′比原来升高了多少？
(3)垫入散热架后，要使显示屏O ′B ′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转多少度？
① ②
③ ④
图1－2－13
解：(1)∵O ′C ⊥OA ，O ′C ＝12 cm ，O ′A ＝OA ＝24 cm ， ∴sin ∠CAO ′＝
O ′C O ′A ＝1224＝1
2
， ∴∠CAO ′＝30°；
第13题答图
(2)如答图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D . ∵∠BOD ＝180°－∠AOB ＝60°， ∴BD ＝24sin60°＝123(cm)，
又∵B ′C ＝B ′O ′＋O ′C ＝24＋12＝36(cm)，
36－123cm，
∴B′C－BD＝()
36－123cm；
即显示屏的顶部B′比原来升高了()
(3)∵120°－90°＝30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
14．九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
(1)如图1－2－14①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF为16 m(E为护墙上的端点)，EF的中点距地面FB的高度为1.9 m，请你求出点E离地面FB的高度；
(3)如图③，第三小组利用第一、二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度．在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4 m到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1 m)(参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，3≈1.732，2≈1.414)．
图1－2－14
解：(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠BCD，
∴∠α＝2∠CDB＝76°；
(2)如答图①，过点E作EG⊥FB，垂足为G，过EF的中点O作OH⊥FB，垂足为H.
∵OH＝1.9 m，∴EG＝2OH＝3.8(m)．
答：点E离地面FB的高度为3.8 m；
第14题答图(3)如答图②，延长AE交直线PB于G，设AG＝x m.
在Rt△QAG中，tan∠AQG＝AG
QG，得QG＝
3
3x m.
在Rt△P AG中，tan∠APG＝AG
PG，得PG＝x m.
∵PQ＋QG＝PG，∴4＋
3
3x＝x，解得x≈9.46，
∴AG＝PG＝9.46 m，∴AE＝AG－EG≈5.7(m)．答：旗杆AE的高度约是5.7 m.。