浙教版九年级下册数学第一章1.2 锐角三角函数的计算 已知三角函数值求锐角的度数随堂练习(解析版)

1.2__锐角三角函数的计算__
第2课时 已知三角函数值求锐角的度数
1．∠A 满足cos A ＝1
2，利用计算器求∠A 时，依次按键SHIFT cos （1÷2）＝，则计算器上显示的结果是( C ) A ．30 B ．45 C ．60
D ．75
2．若∠A 是锐角，且cos A ＝tan30°，则( C ) A ．0°<∠A <30°
B ．30°<∠A <45°
C ．45°<∠A <60°
D ．60°<∠A <90°
【解析】 由cos A ＝tan30°≈0.577 4可得∠A ≈55°，∴45°＜∠A ＜60°.故选C.
3．已知cos A ·sin30°＝3
4，则∠A 为( A ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．75°
【解析】 由题意，得cos A ×12＝34，∴cos A ＝3
2，∴∠A ＝30°.故选A.
4．已知cos A ＝2
2，且∠A 为锐角，那么sin 2A ＋tan 2A ＝( B )
A ．1 B.3
2 C ．2 D. 2
【解析】 由cos A ＝22，得∠A ＝45°，∴sin 2A ＋tan 2
A ＝12＋1＝32.故选B. 5．已知tan A ＝0.301 4，用计算器求锐角A ，可以按照下面方法操作：依次按键SHIFT tan ，然后输入函数值0.301 4，得到∠A ≈__17°__(精确到1°)． 6．如图1－2－8，有一滑梯A
B ，其水平宽度A
C 为5.3 m ，铅直高度BC 为2.8 m ，则∠A 的度数约为__27.8°__(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．
图1－2－8
【解析】 tan A ＝2.8
5.3≈0.528 3，利用计算器求角度可知∠A ≈27.8°. 7．如图1－2－9，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝9，∠A ＝48°.求：
图1－2－9
(1)AB 边上的高线(精确到0.01)； (2)∠B 的度数(精确到1′)．
解：(1)如答图，过点C 作AB 边上的高线CH ，垂足为H .
第7题答图
∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CH
AC ， ∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin48°≈6.69； (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ， ∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos48°， ∴在Rt △BCH 中， tan B ＝CH BH ＝
CH
AB －AH ＝9sin48°8－9cos48°
≈3.382，
∴∠B ≈73°52′.
8．若用三根长度分别为8，8，6的木条做成一个等腰三角形，则这个等腰三角形的各个角的大小分别为多少(精确到1′)?
解：如答图，根据题意，作△ABC ，AB ＝AC ＝8，BC ＝6.
第8题答图过点A作AD⊥BC于点D，
则BD＝CD＝3.
∴cos B＝BD
BA＝
3
8，
∴∠B≈67°59′，
∴∠C≈67°59′，∠A≈44°2′.
9．如图1－2－10是一晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D 两点立于地面，经测量：OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF＝32 cm，求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°)．
图1－2－10 第9题答图
解：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm.
在Rt△OEM中，∵∠OME＝90°，
∴cos∠OEF＝EM
OE＝
16
34≈0.470 6，
∴∠OEF≈61.9°.
10．如图1－2－11是一张简易活动餐桌，测得OA＝OB＝30 cm，OC＝OD＝50 cm，现要求桌面离地面的高度为40 cm，那么两条桌脚的张角∠COD的度数大小应为(B)
A．100°B．120°C．135°D．150°
图1－2－11 第10题答图
【解析】 如答图，过点O 作高线MN ，交AB 于点M ，交CD 于点N . 设OM ＝x ，有
x 40－x
＝30
50，∴x ＝15， ∴cos ∠MOB ＝OM OB ＝1530＝1
2，∴∠MOB ＝60°， ∴∠COD ＝∠AOB ＝120°.故选B.
11．如图1－2－12，在矩形ABCD 中，若AD ＝1，AB ＝3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是( C )
图1－2－12
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
12．等腰三角形的底边长为20 cm ，面积为100
3 3 cm 2，则顶角为__120__度．
第12题答图
【解析】 如答图，作等腰三角形ABC 的高线AD ，有BD ＝1
2BC ＝10(cm)． 又∵12BC ·AD ＝100
33，
∴ 12×20×AD ＝10033，解得AD ＝10
33， ∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝10
1033＝3，
∴∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝120°.
13．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图1－2－13①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO ′后，电脑转到AO ′B ′位置(如图③)，侧面示
意图为图④.已知OA ＝OB ＝24 cm ，O ′C ⊥OA 于点C ，O ′C ＝12 cm. (1)求∠CAO ′的度数；
(2)显示屏的顶部B ′比原来升高了多少？
(3)垫入散热架后，要使显示屏O ′B ′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转多少度？
① ②
③ ④
图1－2－13
解：(1)∵O ′C ⊥OA ，O ′C ＝12 cm ，O ′A ＝OA ＝24 cm ， ∴sin ∠CAO ′＝
O ′C O ′A ＝1224＝1
2
， ∴∠CAO ′＝30°；
第13题答图
(2)如答图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D . ∵∠BOD ＝180°－∠AOB ＝60°， ∴BD ＝24sin60°＝123(cm)，
又∵B ′C ＝B ′O ′＋O ′C ＝24＋12＝36(cm)，
36－123cm，
∴B′C－BD＝()
36－123cm；
即显示屏的顶部B′比原来升高了()
(3)∵120°－90°＝30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
14．九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
(1)如图1－2－14①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF为16 m(E为护墙上的端点)，EF的中点距地面FB的高度为1.9 m，请你求出点E离地面FB的高度；
(3)如图③，第三小组利用第一、二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度．在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4 m到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1 m)(参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，3≈1.732，2≈1.414)．
图1－2－14
解：(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠BCD，
∴∠α＝2∠CDB＝76°；
(2)如答图①，过点E作EG⊥FB，垂足为G，过EF的中点O作OH⊥FB，垂足为H.
∵OH＝1.9 m，∴EG＝2OH＝3.8(m)．
答：点E离地面FB的高度为3.8 m；
第14题答图(3)如答图②，延长AE交直线PB于G，设AG＝x m.
在Rt△QAG中，tan∠AQG＝AG
QG，得QG＝
3
3x m.
在Rt△P AG中，tan∠APG＝AG
PG，得PG＝x m.
∵PQ＋QG＝PG，∴4＋
3
3x＝x，解得x≈9.46，
∴AG＝PG＝9.46 m，∴AE＝AG－EG≈5.7(m)．答：旗杆AE的高度约是5.7 m.。