高中物理竞赛讲座23(物理微积分2word)

2
式中已略去高阶小量 (Δri ) 。 ，该细圆环带上、下表面所带电荷量之和为
Δqi 2σΔS i 2σ 0 ri
2
2
2π ri Δri
4π 0 Δri ri
设时刻 t，细圆环转动的角速度为 w
0 t
单位时间内，通过它的“横截面”的电荷量，即为电流
ΔI i Δqi
2 3 4k 2 0 πa 0 (a 2 a1 ) 2 2 a12 a 2 R
0 t
(12)
由（12）式可见，张力 F 随时间 t 线性减小
五、 （23 届复赛） （25 分）磁悬浮列车是一种高速运载的工具，它具有两个重要系统， 一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接 触，另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随 时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体 获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为
d
得
2nπ k
n 0,1,2,
（8）
F0 0 （9）
当 kd
2n 1 π ，即 d
2n 1 π k
n 0,1,2,
（10）
F0 达最大值
F0 max
4 B02l 2 v k （11） R
当 d 取其它值时， F0 介于 0 与最大值 F0 max 之间．
（1）
平移速度 v0 为恒量．由此可见，题给出的磁场 B x, t B0 cos t kx 可视为一在 空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度 v0 沿 x 轴的正方向平移． 如果金属框移动的 速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框 中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用． 由题已知，在时刻 t，金属框移动的速度为 v ，金属框 MN 边位于坐标 x 处，PQ 边位于 坐标 x d 处．设此时金属框的磁通为 （规定由纸内到纸外 为正） ；经过一很短的时 间间隔 t ，整个磁场分布区域向 x 方向移动了一段距离 v0 t ，金属框向 x 方向移动了一 段距离 vt ，其结果是：MN 边左侧穿过面积为 金属框，PQ 边左侧穿过面积为
（28 届复赛）四、 （20 分）空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，在此区域建立直角 坐标系 O-xyz，如图所示，匀强电场沿 x 方向，电场强度 E 1 E0 i ，匀强磁场沿 z 方向，
k 分别为 x 方向和 z 方向的单位矢量。 磁感应强度 B B0 k ，E0、B0 分别为已知常量， i、
qB0 ，若有一电荷量为正 q、质量为 m 的粒子，在 t=0 时 m


2
（6）
利用三角学公式，得
2 2 4 B0 l v k sin 2 kd sin 2 2 t kx kd F sin 2 t kx kd f t 0 R 2 2 2
1、有一束带电量都为+q、质量都为 m 的粒子，同时从 Oyz 平面内的某点射出，它们的 初速度均在 Oyz 平面内，速度的大小和方向各不相同，问经过多少时间这些粒子又能同时 回到 Oyz 平面内。 2、现在该区域内再增加一个沿 x 方向随时间变化的匀强电场，电场强度
E z ( E0 c o s t )k ，式中
B x, t B0 cos t kx
在 t t 时刻，磁场的空间分布为
B x, t t B0 cos t t kx B0 cos t k x k t
比较上面两式，不难看出， t 和 t t 这两个时刻的磁场的空间分布规律是相同的，只
t 沿顺时针方向（沿回路 MNPQM 方向)为正，可得 t 时刻的
E R
(4)
磁场对于上下两边 NP 和 MQ 的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力为零．规定 向右的力为正，则磁场作用于金属框 MN 边的安培力为 i
t B x, t l ；由于 PQ 边和 MN 边的
电流方向相反，磁场作用于金属框 PQ 边的安培力为 的合力

2π

2圆环的电流在环心产生的磁感应强度为
ΔBi k
ΔI i 2 0 Δri k ri ri2
(1)
式中 Δri 是一个微小量，注意到 ri ri 1
Δri ri ri 1 1 1 2 ri ri 1 ri 1 ri ri
在0
x 都是正的，故 x 2a0 ） ，
即半个导线圆环上受的总安培力的大小为 BI 2a 0 ，方向沿 y 正方向，由于半个圆环处 于平衡状态，所以在导线截面 Q、N 处所受（来自另外半个圆环）的拉力（即张力）F 应满 足 2F BI 2a0 。由（3） 、 （6）两式得
F BIa0
在 t 时间间隔内，通过金属框的磁通增量为
B x, t B x d , t l v0 v t
规定框内的感应电动势 E
（2）
t 沿顺时针方向（沿回路 MNPQM 方向)为正，由电磁感应定
t
（3）
律，可得 t 时刻的感应电动势 E t 规定金属框内的感应电流 i 感应电流为 i t
高中物理竞赛讲座（微积分 2）
五、 （22 届复赛） （25 分）一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为
a1、a2，厚度可以忽略。两个表面都带有电荷，电荷面密度 随离开环心距离 r 变化的规律
均为 (r )
0
r2
， 0 为已知常量。薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度
ri ri Δri ri2 ，有
(2)
将各细圆环产生的磁场叠加，由（1） 、 （2）式得出环心 O 点处的磁感应强度：
B 2k 0 (a 2 a1 ) a1 a 2
(3)
由于 a0<<a1， 可以认为在导线圆环所在小区域的磁场是匀强磁场， 可由 O 点的场表示。 磁场对导线环的磁通量
（7）
4 B02l 2 v k sin 2 kd F0 R 2
F0 称为安培力
f t 的幅度．从（7）式可以看出，安培力 f t 在 F0 的幅度内随时间
变化，但其值不会小于零，表示磁场作用于金属框的安培力始终向右． （ 2 ）讨论安培力的大小与线框几何尺寸的关系就是讨论 F0 与线框几何尺寸的关 系． F0 与金属框长度 l 的平方成正比，与金属框的宽度 d 有关： 当 kd 2nπ ， 即
是 t 时刻原位于 x t 处的磁场，经历 t 时间，在 t t 时刻，出现在 x 处．即整个磁 k
场的分布经时间间隔 t 沿 x 轴的正方向平移了一段距离 x x x t k
平移速度 v0
x t k
方向如图所示，它沿 x 及 y 方向分量分别
f x BIl cos BIy (8)
f y BIl sin BIx (9)
根据对称性，作用于沿半个导线圆环 QMN 上的各电流元的安培力的 x 分量之和相互抵 消，即 f x
BIΔy BI Δy 0
B( x, t ) B0 cos(t kx)
式中 B0、ω、k 均为已知常量，坐标轴 x 与轨道平行，在任一时刻 t，轨道平面上磁场 沿 x 方向分布是不均匀的，如图所示，图中 Oxy 平面代表轨道平面， “X”表示磁场方向垂 直 Oxy 平面指向纸里， “.” 表示磁场方向垂直 Oxy 平面指向纸外，规定指向纸外时 B 取正 值， “X”和 “.”的疏密程度表示沿 x 轴 B 的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质 量的金属矩形 MNPQ 处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边 MN 的长度为 L。与轨道平 行的金属框边 MQ 的长度为 d，金属框的电阻为 R，不计金属框的电感。
v0 v lt 的磁通 B x, t v0 v lt 移进了
v0 v lt 的磁通 B x d , t v0 v lt 移出了金属框，故
在 t t 时刻，通过金属框的磁通为
B x, t v0 v l t B x d , t v0 v l t
Φ BS 2k 0 (a 2 a1 ) 2 πa 0 a1 a 2
(4)
由于 是变化的，所以上述磁通量是随时间变化的，产生的感应电动势的大小为
E
2 2 2k 0 (a 2 a1 ) πa 0 2k 0 (a 2 a1 ) πa 0 (5) t a1 a 2 t a1 a 2
由全电路欧姆定律可知，导线环内感应电流的大小为
I
2 2k 0 (a 2 a1 ) πa 0 E (6) R a1 a 2 R
设题图中薄圆环带正电作逆时针旋转，穿过导线圆环的磁场方向垂直纸面向外，由于 薄圆环环作减角速转动，穿过导线圆环的磁场逐渐减小，根据楞次定律，导线圆环中的感 应电流亦为逆时针方向，导线圆环各元段 l 所受的安培力都沿环半径向外。现取对于 y 轴 两对称点 U、V，对应的二段电流元 Il 所受的安培力的大小为 f BIl (7)
减速转动，t = 0 时刻的角速度为 0 。将一半径为 a0 (a0<<a1)、电阻为 R 并与薄圆环共
面的导线圆环与薄圆环同心放置。试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力 F 与时 间 t 的关系。 提示：半径为 r、通有电流 I 的圆线圈（环形电流） ，在圆心处产生的磁感应强度为