平方根和立方根专题(比较难)教学资料
初中平方根与立方根(教案)
初中平方根与立方根教学目标：1. 理解平方根与立方根的概念。
2. 学会计算平方根与立方根。
3. 能够应用平方根与立方根解决实际问题。
教学重点：1. 平方根与立方根的概念。
2. 计算平方根与立方根的方法。
教学难点：1. 平方根与立方根的计算。
教学准备：1. 课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平方根与立方根的概念。
2. 举例说明平方根与立方根的应用。
二、平方根（10分钟）1. 讲解平方根的定义。
2. 演示如何计算一个数的平方根。
3. 练习计算平方根。
三、立方根（10分钟）1. 讲解立方根的定义。
2. 演示如何计算一个数的立方根。
3. 练习计算立方根。
四、平方根与立方根的应用（10分钟）1. 举例说明如何应用平方根与立方根解决实际问题。
2. 练习应用平方根与立方根解决实际问题。
2. 布置作业：练习计算平方根与立方根，并应用解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解平方根与立方根的概念，演示计算方法，并应用解决实际问题，使学生掌握平方根与立方根的知识。
在教学过程中，注意引导学生积极参与，提问解答问题，以提高学生的学习兴趣和积极性。
作业布置是为了巩固所学知识，并培养学生的实际应用能力。
在下一节课中，将继续深入讲解平方根与立方根的性质和应用。
六、平方根与立方根的性质（10分钟）1. 讲解平方根与立方根的性质。
2. 演示如何应用性质计算平方根与立方根。
3. 练习应用性质计算平方根与立方根。
七、平方根与立方根的乘除法（10分钟）1. 讲解平方根与立方根的乘除法规则。
2. 演示如何应用规则计算平方根与立方根的乘除法。
3. 练习应用规则计算平方根与立方根的乘除法。
八、平方根与立方根的综合应用（10分钟）1. 举例说明如何综合应用平方根与立方根解决实际问题。
2. 练习综合应用平方根与立方根解决实际问题。
九、平方根与立方根在科学中的应用（10分钟）1. 讲解平方根与立方根在科学中的重要性。
2. 举例说明平方根与立方根在科学中的应用。
七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根(知识点串讲)【含答案】
专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A．B．C．D．12±12-12116练习1_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
例3．（·_________的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．3x a=2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣8的立方根是﹣2C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．8-例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c 5a 2+3a b 1+-分．（1（求a ，b ，c 的值；（2）求的平方根．3a b c -+练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±C解：9的平方根是.3±故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A ．B ．C ．D ．12±12-12116C 本题解析: ∵ ，211()24=∴的算术平方根为，1412+故选C.练习1 _____．2，的算术平方根是2，4 2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
平方根和立方根(讲义及答案)
平方根和立方根（讲义）➢课前预习1.填空：(_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16．由上述运算可知：①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是_______；_______（“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数．②互为相反数的两个数的平方________．2.做一做，想一想把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x，则x满足的条件为__________．➢知识点睛1.平方根：一般地，如果一个_______________________，即__________，那么这个________就叫做a 的平方根；也叫做____________；记作________，读作“____________”．2. 一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是________；负数________平方根．3. 算术平方根：一般地，如果一个_______________________这个________就叫做a 的算术平方根；记作______，读作“平方根是______． 4. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______5. 立方根：一般地，如果一个_______________________，即________就叫做a 的立方根；也叫做____________；记作“____________”．6. 正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______．7. 求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______．➢ 精讲精练1. 4121的平方根是_________；(14-)2的算术平方根是_______． 2. 下列说法正确的是（ ）A ．-2是-4的平方根B ．2是(-2)2的算术平方根C ．(-2)2的平方根是2D ．8的平方根是43. 下列说法正确的是（ ）A ．-81的平方根是±9B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C ．任何一个数的算术平方根都是正数D ．2是4的平方根4. 下列各式中，正确的是（ ）A =B ．0.6=±C 13=D 6=±5. 下列各式中，正确的是（ ）A ．-(-7)=7B ．412=121C 332244=+=D 0.1=±6.的值为______的平方根是______；的算术平方根是______的平方根是______．7. 2=____；2(=____=____=____；2=____；2=____=____=____．8. 2=______=______；=______；若x 2=(-7)2，则x =__________．9. 一个正数的平方根是a +3与2a -5，求这个正数．10. 一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是__________．11. 2=，则2x +5的平方根是______；若2m +2的平方根是±4，3m +n +1的算术平方根是5，则m +2n 的值是_____．12. 下列说法正确的是（ ）A ．-4没有立方根B ．1的立方根是1±C ．361的立方根是61 D ．-5的立方根是35- 13. 下列说法错误的是（ ）A ．2是8的立方根B ．±4是64的立方根C ．13-是127-的立方根D ．(-4)3的立方根是-414. 340.1=10=，27=-，其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．415. =________=_________= ________；=_______；3=_________；3=_________．16. 3=________； 3=_________；=_________； =_________．17. 下列说法正确的是（ ）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1，0，1中的一个D ．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是1或者018. 的平方根是________的立方根是________．19. 若一个正数的立方根是m ，则比这个正数大1的数的平方根是______．20. 若x =3．21. （1）若a <0，则3=______；（2）若a 2=1，则3a =______．22. 若x <0，则2x =________，33x =________．【参考答案】➢课前预习1.0；2±；3±；4±①0；正数；非负数；不存在②相等2.22x=➢知识点睛1.数x的平方等于a，x2=a，数x；二次方根；，正负根号a2.两，互为相反数；一，0本身；没有3.正数x的平方等于a，x2=a，正数x a．04.开平方，被开方数5.数x的立方等于a，x3=a，数x a6.正数；0；负数7.开立方，被开方数➢精讲精练1.211±；142.B3.D4.C5.B6.2；2±7.3；9；10；6；a；-a；a；a8.8；0；507；7±9.这个正数是121 910.11.±3，1312.D13.B14.B15.425；0.6；-10；-5；27；﹣916.a；-a；a；-a17.C18.2±；219.20.221.-a，1±22.x-，x。
(精品)暑期培优辅导专题一 平方根和立方根的初步认识和计算
专题一 平方根和立方根的初步认识和计算【知识要点】1.平方根与立方根①一般地，如果2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.记为“a ±”②一个正数a a 的算术平方根.记为“a ”③一般地，如果3x a =，那么x 就叫做a 的立方根.记为“3a ”2.性质（1）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，是0本身；③负数没有平方根.（2）算术平方根的性质：算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 非负，即0a ≥0.（3）立方根的性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0.【温馨提示】1.负数没有平方根，但是它有立方根.2.注意利用绝对值、算术平方根的非负性求解.【方法技巧】体会从一般到特殊的数学思想，从中得到规律.【典例探析】一、基本题型例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.如果把例1改为：“求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.”例2 求下列各数的立方根（1）0.001； （2）64-； （3）212527⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-； （4）2)5(±.例3 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-；（5）39-；（6）()3308.0. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.例4 已知：M a a b =++-82是a +8的算术数平方根，N b a b =--+324是b -3立方根，求M N +的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知a +≥80已知x y x y +=-=-234323，，求x y +的算术平方根与立方根。
专题03 平方根与立方根章节6种题型梳理
专题03 平方根与立方根6种题型梳理基础知识点知识点1-1 算术平方根的概念1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。
其中，a 叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。
记作√a =x 。
注：①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）②a ≥0，x ≥0。
负数没有算术平方根（因为x 2≥0） 2）常见算术平方根表：知识点1-2 平方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的平方根或者二次方根。
求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方。
注：①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“±”②正数的平方根有两个，它们互为相反数。
且正数根即为算术平方根； ③0的平方根和算术平方根都为0；④负数没有平方根和算术平方根。
重难点题型题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧：平方根与算术平方根的区别于联系：A3 B ．12-是14的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数 D ．a 2的算术平方根是a 【答案】D【解析】±3，故A 正确；211()24-=，则12-是14的平方根，故B 正确；2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；∵a 2的算术平方根是|a|，∴当a≥0，算术平方根为a ，当a ＜0时，算术平方是﹣a ， 故a 2的算术平方根是a 不正确．故D 不一定正确；故选：D ．2．（2019·河南洛宁初二期中）算术平方根和立方根都等于本身的数有_________．【解析】1的算术平方根是1，立方根是1，0的算术平方根和立方根都是0，所以算术平方根和立方根都等于本身的数有0和1.3．（2019·全国初二课时练习）填空：(1)1的平方根为____，立方根为_____，算术平方根为_____；(2) 27的立方根是____；(3)___；(4)____．【解析】解：（1）1的平方根为1=±1=，算术平方根为1=，故答案为：±1，1，1；（2）273=，故答案为：3；（3）8=-2=-，故答案为：2-；（44==的平方根为2=±，故答案为：±2． 4．（2019·全国初二课时练习）下列说法中，正确的个数是( )①512的立方根是8，记做8=；②49的平方根是－7；③8是16的算术平方根；④ ±2；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根． A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：①512的立方根是8，记做35128=，正确；②不正确，49的平方根是±7；③不正确，16的算术平方根是4±2，正确；⑤不正确，如－8的立方根，是－2，但－8没有平方根．综上所述，正确的有①④．故选：B ．A ±6B ±2C ．|﹣8|的立方根是﹣2D 4【解析】解：A 6=，6的平方根是，故该选项错误；B 4=，4的平方根是±2，故该选项正确；C 、|−8|＝8，8的立方根2，故该选项错误；D 4=，4的算术平方根是2，故该选项错误，故选：B ．6．（2020·河南省初二期中）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．【解析】82，2．题型2利用平方根和立方根解方程解题技巧：（1）先将方程化简为（x +a ）2=ℎ的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
平方根与立方根复习课件
平方根的运算：可以通过乘法和除法来计算平方根。
平方根的性质
非负性：平方根 的结果总是非负 的。
唯一性：对于给 定的数，其平方 根是唯一的。
定义域：平方根 的定义域是实数 集。
值域：平方根的 值域是非负实数 集。
平方根的运算
平方根的定义与性质 平方根的运算规则 平方根与算术平方根的区别 平方根在实际问题中的应用
平方根和立方根 的应用实例
平方根与立方根的定义和性质
回顾解题思路与方法
平方根与立方根的应用举例
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平方根与立方根的求解方法
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常见题型及解题技巧知识解决实际问题？
解题思路&问题建模：首先明确题目要求，然后根据平方根与立方根的定义和性质，建立数学模型，将实际问题转化为数 学问题。
平方根与立方根 复习课件
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汇报人：PPT
添加目录标题 引言
平方根复习
立方根复习
例题解析与练 习
总结与回顾
思考与拓展
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引言
课程背景
平方根与立方根的定义 平方根与立方根的运算规则 平方根与立方根的应用场景 平方根与立方根在数学中的重要性
立方根复习
立方根的定义
立方根的概念：求一个数的立 方等于另一个数的运算
立方根的符号：用“x^1/3” 表示
立方根的性质：正数的立方根 是正数，负数的立方根是负数， 0的立方根是0
立方根的运算：求立方根的方 法有多种，包括直接计算、查 表、利用已知数的立方根等
立方根的性质
6.1 平方根、立方根—(含有教学反思)
6.1 平方根、立方根（一）平方根一、教材分析本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。
这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
二、学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
三、教学目标1、掌握平方根及算术平方根的概念。
2、能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根。
3、培养学生观察问题和概括问题的能力。
四、教学重点、难点1、教学重点：平方根和算术平方根的概念和性质。
2、教学难点：平方根与算术平方根的区别与联系。
五、教法设计根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。
六、教学过程㈠创设情境，导入新课洋洋在玩“七巧板”时，不小心把“七巧板”里面的正方形丢了，爸爸决定自己做一个和原来一样的正方形．但现在只知道正方形的面积是25平方厘米，问爸爸能否完成这个任务?(学生探讨，回答问题)㈡观察概括由正方形的面积容易得到其边长为5厘米，故爸爸要完成任务只需做一个边长为5厘米的正方形即可．由此引入平方根的意义。
1、平方根：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。
问题：25的平方根只有一个吗?(学生回答问题，引导发现一个正数的平方根有2个，且互为相反数)2、 试一试：(1) 144的平方根是多少?(2) 0的平方根是多少? (3) 254的平方根是多少? (4) －4有没有平方根?为什么?(请学生自己也编3道题目，同桌交换解答，你发现了什么?)通过“试一试”让学生自己发现结论，教师再加以总结。
概括：（1） 一个正数有两个平方根，且互为相反数；（2） 零只有一个平方根；（3） 负数没有平方根。
专题训练(三) 算术平方根、平方根、立方根的难点突破(共17张PPT)
类型二：算术平方根的非负性 4．(2017·盐城)若 x－3有意义，则 x 的取值范围是_____x_≥_3____ __．
5．(1)已知 y＝ x－8＋ 8－x＋5，求 x＋y 的值； (2)若 y＝ x－12＋ 12－x－6，求 xy 的值．
3 (3)
1＝1，3
1
000＝10，3
1
000
000＝100，…
小数点变化的规律是：
被开方数的小数点向右(左)移动三位，其立方根的小数点向右(左)移动一位．
(4)已知3 10＝2.154，3 100＝4.642，则3 10 000＝___2_1_.5_4____，－3 0.1 ＝___－__0_._4_6_4_2____．
12．先观察，再解决问题．
3 227＝2 3 27； 3 3236＝3 3 236； 3 4643＝4 3 643； …
(1)请再写出一个类似的式子；
3 解：
51524＝5 3
5 124.
Байду номын сангаас
(2)请用含 n 的式子表示上述规律．
3 解：
n＋n3－n 1＝n 3
n3－n 1(n≠1，且 n 为正整数)．
(1) 2＝1.414， 200＝14.14， 20 000＝141.4，… 0.03＝0.173 2， 3＝1.732， 300＝17.32，…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动__两_____位，其算术平方根的小 数点向____右___ __移动___一___ __位；
(2)已知 5＝2.236， 50＝7.071，则 0.5＝__0__.7_0_7_1______， 500＝ ___2_2_._3_6____；
八年级平方根与立方根(教案)
八年级平方根与立方根（教案）平方根与立方根第一课时平方根教学目的：1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；教学重点和难点：重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。
学法指导：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。
教法指导：1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。
本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。
2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。
教学过程：一、引入新课：我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。
例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。
这节课我们就要学习开方运算和平方根。
可以先预练1—20的平方计算。
二、新课学习：1、知识设疑：（1）计算：4；(－4)；(23)；(0.8)；(－0.8)（2）如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？22222因为开方与平方是互为逆运算，所以适当进行平方运算的复习是必须的上面例子可以看到求一个数的平方根，可经转化为通2、知识形成：知识点一：2过乘方运算来求。
我们可以设这个数为某，则某＝16，问题归结为求某。
这个问题可以通过乘方运算来解决。
因为4＝16所以某＝4；又因为(－4)＝16，所以某＝－4。
4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)＝16。
因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。
概括1：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。
就是说，如果某＝a,那么某就叫做a的平方根。
七年级数学下册《平方根立方根》教案、教学设计
1.基础作业：针对平方根、立方根的基本概念和计算方法，布置以下作业：
（1）计算以下各数的平方根和立方根：2、9、16、-1、0、27。
（2）判断以下各命题的真假，并说明理由：
①一个正数的平方根有两个。
②一个负数有一个平方根。
③ 0的平方根是0。
④一个正数的立方根是正数。
⑤一个负数的立方根是负数。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：平方根、立方根的性质和计算方法。
2.教学方法：采用小组合作交流的方式，让学生在讨论中加深理解。
3.教学实施：
（1）将学生分成小组，每个小组针对平方根、立方根的性质和计算方法进行讨论。
（2）教师巡回指导，解答学生在讨论过程中遇到的问题。
（3）小组代表分享讨论成果，其他小组进行补充。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生敢于质疑、敢于挑战，培养独立思考和解决问题的能力。
5.通过数学学习，引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了提高自己的能力，更是为了服务社会、造福人类。
二、学情分析
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算和简易方程，对于数学符号和概念也有了一定的理解。在此基础上，学习平方根、立方根这一章节，学生需要在新知识的基础上进行拓展和深化。然而，由于平方根、立方根的概念较为抽象，学生可能会在理解上存在困难，特别是在求解过程中可能会出现混淆。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
4.通过学习平方根、立方根，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流的学习方式，引导学生发现平方根、立方根的性质，培养学生自主学习和合作学习的能力。
2.通过举例、练习、总结等教学环节，让学生在实践中掌握平方根、立方根的计算方法，提高学生的实际操作能力。
平方根与立方根复习课件
立方根的运算性质
立方根具有分配律和结合 律，即 a×(b^3)=(a×b)^3和 (a^3)×(b^3)=(a×b)^3 。
立方根的运算
立方根的近似值
对于一些无法直接开立方的数，我们 可以使用近似值来计算其立方根。例 如，³√17≈4.123，³√213≈12.62。
立方根与平方的关系
对于任何正实数a，都有 (³√a)^2=a^(2/3)。例如， (³√4)^2=4^(2/3)=8。
平方根的应用题
解析与平方根相关的应用题，如面积、体积、勾股定理等问题。
立方根的常见题型解析
立方根的定义与性质
解析立方根的定义，理解立方根的性质，如唯一性、连续性等。
立方根的计算方法
掌握立方根的计算方法，包括直接开立法、因式分解法、配方法 等。
立方根的应用题
解析与立方根相关的应用题，如体积、密度、速度等问题。
平方根与立方根复习课件
目 录
• 平方根基础概念 • 立方根基础概念 • 平方根与立方根的应用 • 平方根与立方根的常见题型解析 • 平方根与立方根的易错点解析
01
平方根基础概念
平方根的定义
平方根的定义
如果一个数的平方等于给定的数 ，则这个数被称为给定数的平方 根。例如，4的平方根是2，因为 2的平方等于4。
VS
运算顺序混淆
与平方根类似，学生在进行立方根运算时 也容易忽略运算的优先级。例如，在计算 表达式 $sqrt[3]{2} times sqrt[3]{3}$ 时 ，应先进行乘法运算再进行开方，但学生 可能会直接将两者相乘后再开方。
平方根与立方根混淆的错误解析
概念混淆
部分学生在处理平方根与立方根问题时容易 将两者概念混淆，导致解题思路和答案出现 偏差。例如，将 $sqrt[3]{8}$ 误认为是 $sqrt{8}$ 的值，或者在处理平方根和立方 根混合运算时出现混乱。
华师大版数学八年级上册11.1《平方根和立方根》(第2课时)教学设计
华师大版数学八年级上册11.1《平方根和立方根》（第2课时）教学设计一. 教材分析《平方根和立方根》是华师大版数学八年级上册第11.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数、实数等知识的基础上，进一步研究平方根和立方根的概念、性质和运算。
本节内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过大量的实例和练习来帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了有理数、实数等知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。
但是，平方根和立方根的概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和具体的操作来引导学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解平方根和立方根的概念，掌握它们的性质和运算。
2.能够运用平方根和立方根解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.平方根和立方根的概念。
2.平方根和立方根的性质和运算。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和探索。
2.利用多媒体和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解平方根和立方根的概念。
3.通过大量的实例和练习，让学生在实践中掌握平方根和立方根的性质和运算。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和图片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个简单的实例引入平方根和立方根的概念。
例如，我们可以提问：“一个正方形的边长是3，那么它的面积是多少？”学生可以很容易地回答出面积是9。
接着，我们进一步提问：“那么9的平方根是多少？”引导学生思考和探索平方根的概念。
呈现（10分钟）利用多媒体和实物模型呈现平方根和立方根的概念。
可以通过展示正方体和立方体的图片，让学生直观地理解立方根的概念。
同时，可以通过动画演示平方根的求解过程，帮助学生理解平方根的概念。
操练（15分钟）让学生通过具体的例子来操练平方根和立方根的运算。
可以给学生一些具体的数值，让他们计算其平方根和立方根。
例如，让学生计算27的立方根和9的平方根。
(完整版)平方根和立方根专题(比较难)
平方根和立方根【知识归纳】1.平方根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。
规定，0的算术平方根为 。
（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。
（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）；=2a 2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。
3）立方根的性质：（1）()33a ＝ ，（2）33a ＝ .4）.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.5）.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.6）.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.7）甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？【巩固练习】：1、16的算术平方根是_______，平方根是_______；2、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；3、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；4、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；5、0)2(12=-+-b a ，则b a +的平方根为 .6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用1、若x 、y 为实数，且20x y y ++-=，则2010()x y的值为 2、若22-a 与|b +2|互为相反数，则（a －b ）2＝__________3、若2x ＋1＋|y －1|＝0，则x 2＋y 2＝__________4、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-6、已知实数,,a b c 满足2112()022a b b c c -+++-=，求()a b c +的值7、已知51024a a b -+-=+，求,a b 的值8、已知20092010a a a -+-=，求22009490a -+的值9、如果22a a b +=--，且3b a m =+，求m 的值是多少？10、已知120a ab -+-=，1111(1)(1)(2)(2)(1998)(1998)ab a b a b a b +++++++++求的值11、一个三角形的两边长为3,2，则它的第三边长可能是（ ）A.0.2 B.1 C. 32+ D.512、一个三角形的三边分别是,,a b c ，则2()a b c +-=______________,2()a b c --=________________13、求下列各式中的x(1)(x-2)2-4=0 (2)(x+3)3 +27=0 (3) 271253+x =0 (4) (2x-1)2=2514、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 110x y --（）的平方根。
教学难点对于复杂的平方根和立方根运算问题的解决
教学难点对于复杂的平方根和立方根运算问题的解决平方根和立方根运算在数学学习中是相对复杂且容易引起学生困惑的内容。
尤其是当运算问题变得更加复杂时，学生可能会陷入迷惑和困惑之中。
为了解决这一教学难点，教师可以采用以下几种策略：一、引入实际应用场景将平方根和立方根的运算问题与实际生活中的场景联系起来，可以帮助学生理解问题的本质和意义。
例如，运用平方根和立方根的概念解决建筑设计或生物科学实验中的问题，让学生感受到这些运算在实际中的应用，从而增加学习的兴趣和动力。
二、启发式教学法采用启发式教学法可以激发学生的思考和独立解决问题的能力。
教师可以通过提供一些提示，引导学生思考和推理。
例如，教师可以提示学生使用近似值或查表法来解决复杂的平方根和立方根运算问题。
这样的提示将帮助学生建立解决问题的策略，并促使他们思考如何将问题转化为更为简化的形式。
三、巧妙运用数学工具在教学过程中，教师可以展示一些数学工具的使用，帮助学生更好地解决复杂的运算问题。
例如，教师可以介绍使用计算器或电脑软件进行平方根和立方根的计算，这样学生可以更准确地得到结果，并且能够更好地理解数学知识与数学工具之间的联系。
四、提供丰富的练习和案例通过提供丰富的练习和案例，教师可以帮助学生熟悉平方根和立方根运算的方法和技巧。
教师可以设计一些有挑战性的问题，让学生运用所学知识解决。
此外，教师也可以提供一些真实的数学问题，让学生运用平方根和立方根运算解决实际的数学难题。
通过不断练习，学生将逐渐提高他们的计算能力和解决问题的技巧。
五、拓展学生思维教师可以引导学生拓展思维，开阔视野。
例如，教师可以向学生介绍虚数和复数的概念，让学生在解决平方根和立方根运算问题时不仅限于实数范围内的解。
通过对数学概念的拓展，学生能够更深入地理解平方根和立方根的运算规律，从而更加灵活地解决各类问题。
总结起来，教学难点对于复杂的平方根和立方根运算问题的解决，需要教师采用多种策略：引入实际应用场景、启发式教学法、巧妙运用数学工具、提供丰富的练习和案例以及拓展学生思维。
教学难点对平方根和立方根的运算进行综合应用
教学难点对平方根和立方根的运算进行综合应用平方根和立方根是数学中常见的运算，涉及到对数字进行开方和立方的操作。
对于学生来说，这两种运算往往是教学中的难点之一。
本文将探讨如何对平方根和立方根的运算进行综合应用，以帮助学生更好地理解和掌握这两种运算。
一、平方根的运算应用平方根的运算是对一个数开平方，并得到一个新的数。
在实际生活和学习中，平方根的运算有许多应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 面积计算：在几何学中，常常需要计算不规则图形的面积。
对于某些图形，可以通过计算其面积的平方根来得到其边长。
例如，如果我们知道一个正方形的面积是16平方单位，那么可以通过计算该正方形的边长的平方根，得到边长为4单位。
2. 物理运动：在物理学中，运动的速度和加速度等概念经常涉及平方根的运算。
例如，当我们知道一个物体的加速度和时间时，可以通过平方根运算来求出该物体的速度。
3. 电路设计：在电路设计中，电阻和电容的数值经常需要通过平方根运算得到，以便满足某些特定的电路要求。
通过这些实际应用场景的讲解，学生能够更好地理解平方根的概念和运算方法，使抽象的概念具体化，提高学习效果。
二、立方根的运算应用立方根是对一个数开立方，并得到一个新的数。
与平方根一样，立方根的运算也有许多应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 三维空间：在几何学中，经常需要计算物体的体积或边长。
对于某些形状的物体，可以通过计算其体积或边长的立方根来得到。
例如，当我们知道一个正方体的体积是27立方单位时，可以通过计算其边长的立方根来得到边长为3单位。
2. 编码与解码：在密码学和信息技术中，经常需要对数据进行加密和解密。
其中一种常见的加密方式是利用立方根运算进行编码。
通过对数据进行立方根运算，可以将其转化为其他形式，从而增加数据的安全性。
3. 自然科学：在物理学、化学学等自然科学领域，立方根的运算被广泛应用。
例如，在求解某些物质的密度、摩尔质量等问题时，需要使用到立方根的运算。
平方根与立方根复习PPT教学课件
壮词与结尾一句话是否相符？
相符。 一方面表明了前面所描述的年轻时的
经历现在只是一种追忆。 一方面说明自己已年近半百，还能有
机会实现自己的理想吗? 所以最后一句也是壮语，只是它已变
雄壮为悲壮，充满了作者壮志不遂的抑郁、 愤慨。
本文凭什么可以称得上是“壮词”？
•
明确： • 从题材看写军营生活； • 从情感看表达了建功立业的雄心壮志； • 从语言看豪放、壮丽。计算下面一 题：
13 23 33 n3
宋词赏析
《浣溪沙》——晏殊 《破阵子——为陈同甫赋壮词以寄之》
辛弃疾
词，又称“长短句”。是一种配乐可唱的诗体。
词有词牌，调有定格，句有定数，字有定声。 宋时鼎盛。词按字数可分为小令（少于58字）、 中调（59---91字）、长调（多于91字）。
二、下列各式中，x为何值时有意义？
1 x
2 x2 1
3 1 x x
4 x 3
x4
三、已知 y 3 x x 3 ，
求 x y 的值。
四、求下列各式中的x: （1）3(2x+1)2－147=0 （2）27x3=7 81 +1
五、解关于x的方程。
4 x2 3 4 x2
六、若x2 =(－5)2，求(x－1)3的值。
《浣溪沙》 晏殊
一曲新词酒一杯，去年天气旧亭 台。夕阳西下几时回。
无可奈何花落去，似曾相识燕归 来，小园香径独徘徊。
《浣溪沙》这首词巧借“花落去”“燕归来”的自然景象，
抒写了心灵的感受——物是人非，时光不再。
本词为晏殊的名篇之一，抒写悼惜春残花落，好景不长 的愁怀。语意十分蕴藉含蓄，通篇无一字正面表现思情别 绪，读者却能从“去年天气旧亭台”、“燕归来”、“独 徘徊”等句，领会到作者对景物依旧、人事全非的暗示和 深深的叹恨。词中“无可奈何花落去”一联工巧而流丽， 风韵天然，向称名句。
初二--专题1-平方根-立方根
word 格式-可编辑-感谢下载支持名师堂学校方法讲义之—— 专题1: 平方根、立方根【知识要点】一、无理数：无理数是指无限不循环小数．．．．．．．．无理数不能化成分数．而有限小数或无限循环小数都是有理数．二、平方根与算术平方根：1．算术平方根：如果一个正数．．x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数．．x 叫做a 的算术平方根． 符号表示为：a ．特别规定，0的算术平方根是0，即00=．因此，若a 是一个非负数，则a 也是一个非负数，即a ≥0．2．平方根：如果一个数．．．x ．的平方等于．．．．．a ．，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根．（也叫做二次方根）． 显然：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．一个正数a 的两个平方根记为a ±．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 为被开方数． 显然，开平方与平方互为逆运算．3．性质：a a =2)(（a ≥0）；||2a a =（a 取任意数）三、立方根：如果一个数．．．x ．的立方等于．．．．．a ．，即x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（或三次方根）．记为3a ．任何数的立方根都只有一个．．．．．．．．．．．．，正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负，0的立方根是0． 对于任意数a ，均有a a a ==3333)(．四、数据估算：估算在现实生活中经学用到，估算主要有两种方法：①“夹逼法”，通过两边无限逼近，逐渐确定真实值所在范围；②根据问题中的误差范围，取近似值．【典型例题】例1 求下列各数的平方根：（1）81 （2）2516 （3）412 （4）49.0例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．（1）－64 （2）0 （3）(－4)2 （4）10－2名师课堂——关键教方法例3 求下列各式的值：（1）10000 （2）144- （3）12125 （4）0001.0- （5）±625 （6）±8149例4 求下列各数的立方根：（1）－8 （2）8 （3）278-（4）0.216 （5）0例5 求下列各式的值：（1）327 （2）327- （3）327102- （4）36427--例6 求下列各式中的x 值：（1）x 2＝25； （2）25x 2－36＝0； （3）x 3＝0.008； （4）(x －1)3＝27例7 若0)2(42=-+++x y x ，则=+y x 23＿＿＿＿＿。
专题06 平方根、立方根知识讲解(解析版)
专题06 平方根、立方根知识讲解知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（ ）A 3=-B ．2=C 8=D 3=【答案】D.3， ∴选项A 错误；∵±2， ∴选项B 错误；4， ∴选项C 错误；3， ∴选项D 正确． 故答案为：D ．【例1－2】（2021·河北邯郸期末） ） A ．0.2的平方根 B ．0.2-的算术平方根 C ．0.2的负的平方根 D ．0.2-的平方根【答案】C.【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为：，其中为0.2的负的平方根 故答案为：C ．【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B ．25-的平方根是C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数 【答案】D.【解析】解：A 、9的平方根是±3，错误； B 、−25的没有平方根，错误；C 、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；D 、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确． 故答案为：D ．【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________． 【答案】5.【解析】解：∵b 的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16=a 3-109 ∴a =5． 故答案为：5．【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（ ） A ．非负数才有平方根 B ．非负数的算术平方根是非负数 C ．任何数都有两个平方根 D ．负数没有平方根【答案】C.【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确； B. 非负数的算术平方根是非负数，正确； C. 0只有1个平方根，错误； D. 负数没有平方根，正确． 故答案为：C ．【变式1－2】（2020·山东济南期中）若30a ++=，则+a b 的立方根是______． 【答案】－1.【解析】解：∵30a ++=， ∴3+a=0， 2-b=0， ∴a=-3，b=2 ∴a+b=-1∴a+b 的立方根-1． 故答案为：-1．64m，现准备将其【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为3扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m，则它的棱长需要增加__________m．【答案】1.【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a，∵体积为64m3，∴=4m；设体积达到125m3的棱长为b，则=5m，∴b-a=5-4=1（m）．故答案为：1．【变式1－4】对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2与的值互为相反数，求1-【答案】见解析.【解析】解：（1）答案不唯一.=，8与﹣8互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x）+（x+5）＝0，解得x＝8，∴1=1﹣4＝﹣3．【变式1－5】（2020·________，2________．【答案】32．，9的算术平方根为33.22，故答案为：32．【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知a 的整数，31a b +-的平方根是4±， (1)求,a b 的值； (2)求的平方根．【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.<<，且a 的整数， ∴a=5∵3a+b -1的平方根是±4， ∴3a+b -1=16 ∴b=2（2）当a=5，b=2时，a+2b=9 ∴a+2b 的平方根为：±3．知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x 的两个不同的平方根是23a +与15a -，则x 的值是（ ） A ．11 B ．121C ．4D ．11±【答案】B.【解析】解：由题意得：2a+3+a -15=0 解得：a=4当a=4时，2a+3=11 则x=112=121. 故答案为：B ．【变式2－1】已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ． （1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？ 【答案】（1）121；（2）2.【解析】解：（1）由正数m 的平方根互为相反数，得：2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝112＝121；（2）∵|a﹣3|（c﹣n）2＝0，∴a＝3，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝3+0+5＝8，∴a+b+c的立方根是2．【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数a的两个不同平方根分别是22x-和63x-，则a=______．【答案】36.【解析】解：由题意得：2x-2+6-3x=0，解得x=4，2x-2=6，a=62=36故答案为：36.【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x，y为实数，且20x+=，则的值为（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】B.【解析】解：由题意得：x+2=0，y-2=0∴x=-2，y=2∴ =-1故答案为：B.【例2－3】﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．【答案】0或﹣1或﹣1 2 .﹣2x﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12． 故答案为：0或﹣1或﹣12． 知识点三：综合题型【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x 的值 （1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16， x+1=4或x+1=-4 x=3或x=-5 （2）（2x -1）3=-27 2x -1=-3 x=-1【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x ． (1)24120x -= (2)()216281x -= 【答案】见解析. 【解析】解：(1)4x 2=12 x 2=3x= (2)（x -2）2=8116x -2=94或x -2=-94x=或x=-14【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m 3=8，n 2=9，且mn ＜0，求m 2-2mn+n 2的值． （2）已知=5，b 2=9，（c -1）2=4，且ab ＞0，bc ＜0，求式子ab -bc -ca 的值． 【答案】（1）25；（2）23或39. 【解析】解：（1）由m 3=8，得m=2， 由n 2=9，得n=±3， 由mn ＜0，得：m=2，n=-3 当m=2，n=-3时， m 2-2mn+n 2=4+12+9=25 （2）由题意知a=±5， 由b 2=9得：b=±3， 由（c -1）2=4，得：c=3或-1 ∵ab ＞0，bc ＜0 ∴a 、b 同号，b 、c 异号当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23 当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39． 【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -+=，求d +c 的平方根． 【答案】（1）x =5，169或x=-21，1521；（2）±3. 【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x -18=0， 解得：x=5这个数是（2×5+3）2=169. ②2x+3=x -18，解得x=-21 这个数是（-21-18）2=1521； （2）由题意得：2c -d =0，d 2-36=0， 解得：d=±6，c=±3．当d =-6，c =-3时，d +c =-9（没有平方根）， 当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3．【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是55，a是多少？【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11．【解析】解：（1）①=(-6+5)2+6=1+7=7②，=(5+5)2×2+6=100×2+6=206（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55，整理得：（a+6）2=25，a+6=5或a+6=-5∴a=-1或a=-11.【变式4－1】已知2x+1的算术平方根是0=4，z是﹣27的立方根，求2x+y+z的值．【答案】12.【解析】解：∵2x+1的算术平方根是0，∴2x+1＝0，∴2x＝﹣1，=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根， ∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12.【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x 值为64时，输出的y 值是（ ）A ．4 BC ．2D 【答案】B.，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2 故答案为：B ．【例5－1】（2020·浙江期中），（ ） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3【答案】C. 【解析】解：． 故答案为：C ．【例5－2】（2020· 2.449≈7.746≈，则______． 【答案】0.07746. 【解析】解： 故答案为：0.07746．【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又，10100∴<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<<，可得3040<<， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56． 【解析】解：（1）①∵，1000＜195112＜1000000∴<100，∴能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，83=512， ∴能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<，∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【变式5－1】（2020·的值是______________________．【答案】11.47【解析】解：=1.147，∴故答案为: 11.47．【变式5－2】（2019· 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A．B．101）C．D1【答案】B.1之后，扩大10倍即可实现，故答案为：B.【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：（1）表格中x=_________________，y=_________________；（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；（3）根据你发现的规律填空：已知：，_________________；②58.48≈，则a=_________________．【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；∴x=0.1，y=10；故答案为：0.1；10．（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；==≈；（30.271410≈，0.5848∴，≈，58.48∴，∴a=200000；故答案为：①0.2714；②200000．【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[＝﹣2，按此规定，[1﹣＝_____．【答案】-4．∴4＜5，∴﹣4＞﹣5，∴﹣3＞1﹣4，故，[1﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【例6－2】（2020·x的所有整数x的和是_____．【答案】2.【解析】解：∵﹣21，2＜3，x的所有整数有﹣1，0，1，2，∴﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小：______0.5 ．（填“>”，“<”或“= ”）【答案】＞.1>1∴>0.5故答案为：＞．【例6－4】对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，如，现对85进行如下操作：，这样对85只需3次操作后就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．【答案】255.【解析】解：设，x为正整数，则1≤，∴1≤y<4，即最大正整数是3；设，y为正整数，则3≤，∴9≤y<16，即最大正整数是15；设，z为正整数，则15≤，∴225≤z<256，即最大正整数是255．∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A对应的数是1，则点A′对应的数x=_________，若点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =_________；（2）在（1）的条件下，求代数式x 4y 算术平方根．【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.【解析】解：(1) 设P 点表示的数为x ，P′表示的数为-x+2，点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =-1+2=1，点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =4×(-1)+2=-4+2=-2，故答案为：x=1；y=-2，(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x －4y 的值为=1-4×（-2）=9，代数式x －4y 算术平方根为3．【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+ (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1) (2)（n 为正整数）.【解析】解：(1)=1+14−141+=，验证：(2)=1+1 n−1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x 为16时，y 值为_____；(2)是否存在输入有意义的x 值后，却始终输不出y 值？如果存在，写出所有满足要求的x 值；如果不存在，请说明理由；(3)如果输入x 值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x 值可能是什么情况；(4)当输出的y x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【解析】解：（1）当x=16，则（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系2t=0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）【答案】1.3.【解析】解：把l=0.4m代入关系式2t=得，∴12=0.45tπππ=⨯≈1.3（秒）．【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)【答案】能躲开．【解析】解：足球下落的时间：，学生的声音传播到楼下的时间：t==0.06s由2>0.06所以楼下的学生能躲开．【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a 为阴影正方形边长的小数部分，b 的整数部分，求+a b 的值．【答案】（1）13（2）1，2，3；（3【解析】解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=， ∵阴影部分是一个正方形，故答案为：13（21，2，3．（3）∵34<<，∴3a =，∵34<<∴b=3∴33+= 【例9－1】（2020·四川月考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）A ．B ．22b a -C ．0D ．2b【答案】A.【解析】解：由图可知：a<0<b ，a+b<0，原式=-a -b+（-a ）+b=-2a故答案为：A ．【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c |-|a c【答案】2a-c.【解析】解：由数轴得a<b<0<c，∴a-c<0，a+b<0，原式=-b-（c-a）+(a+b)=-b-c+a+a+b=2a-c.。
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平方根和立方根专题
(比较难)
平方根和立方根
【知识归纳】
1.平方根：
（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。
规定，0的算
术平方根为 。
（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。
（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）； =2a
2.立方根：
1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；
2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。
3）立方根的性质：（1）3＝ ，（2＝ .
4）.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.
5）.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.
6）.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.
7）甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：
甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？
【巩固练习】：
1、16的算术平方根是_______，平方根是_______；
2、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；
3、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；
4、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；
5、0)2(12=-+-b a ，则b a +的平方根为 .
6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用
1、若x 、y 为实数，且20x y y ++-=，则2010()x y 的值为
2、若22-a 与|b +2|互为相反数，则（a －b ）2＝__________
3、若2x ＋1＋|y －1|＝0，则x 2＋y 2＝__________
4、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值
5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-
6、已知实数,,a b c 满足21
1
2()022a b b c c -+++-=，求()a b c +的值
7、已知51024a a b -+-=+，求,a b 的值
8、已知20092010a a a -+-=，求22009490a -+的值
9、如果22a a b +=--，且3b a m =+，求m 的值是多少？
10、已知120a ab -+-=，1
1
11
(1)(1)(2)(2)(1998)(1998)ab a b a b a b +++++++++求的值
11、一个三角形的两边长为3,2，则它的第三边长可能是（ ）A.0.2 B.1 C. 32+ D.5
12、一个三角形的三边分别是,,a b c ，则2()a b c +-=______________,2()a b c --=________________
13、求下列各式中的x
(1)(x-2)2-4=0 (2)(x+3)3 +27=0 (3) 271253+x =0 (4) (2x-1)2=25
14、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 110x y --（）的平方根。
15、如图，某计算装置有一数据输入口A 和一运算结果的输出口B ，
下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：
按照
这个计算装置的计算规律，若输出的数是101，则输入的数是
A 1 2 3 4 5
16、已知3a-22和2a-3都是m 的平方根，试求m 的值
17、已知实数a 、b 满足()0222=-+-a b a ，那么b －a ＝ .
18、观察下列各式====,…. 请你将猜想到的规律用含自然数(1)n n ≥的代数式表示出来是 .
19．若,x y 都是实数且4y =，求xy 的值．。