三角函数的图象与性质优质学案
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。
2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。
2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。
2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。
3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。
4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。
5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。
6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。
10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。
六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。
利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。
《3.3三角函数的图象与性质》 学案
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课程小结 1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同： π (1)y＝sinωx－4； π (2)y＝sin4－ωx. 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个 x 值都满足 f(x＋T)＝f(x)，其中 T 是不为零的常 数．如果只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x＋T)＝f(x)，都不能说 T 是函数 f(x)的周 期．
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x π A．y＝sin2＋6 π C．y＝sin2x＋6
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【巩固】 4．函数 y＝ 1 的定义域为________． tan x－ 3
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π π 5．已知函数 f(x)＝cosωx＋6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为2，则函数在[0,2π]上的 零点个数为________．
k∈Z}
R
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考点 2
正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性及最值 函数 y＝sin x 递增区间： π π 2kπ－2，2kπ＋2(k∈Z) 单调性 递减区间： π 3 2kπ＋2，2kπ＋2π(k∈ Z) π x＝2kπ＋2(k∈Z)时，ymax 最 值 π ＝1 x＝2kπ－2(k∈Z)时， ymin＝－1 y＝cos x y＝tan x
π π π π 【解析】(1)由 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋2(k∈Z)，即 3×12＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，得 φ＝kπ＋4(k∈Z)． π π 又|φ|＜2，所以 k＝0，故 φ＝4. π (2)由题意，得 y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故 φ＝kπ＋2，(k∈Z)．
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案第一章：正弦函数的图像与性质1.1 教学目标了解正弦函数的定义和基本概念学会绘制正弦函数的图像掌握正弦函数的性质1.2 教学内容正弦函数的定义和基本概念正弦函数的图像特点正弦函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性1.3 教学步骤1. 引入正弦函数的概念，引导学生理解正弦函数的定义。
2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正弦函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。
3. 讲解正弦函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。
1.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对正弦函数的定义和图像的理解程度。
通过例题和练习题，评估学生对正弦函数性质的掌握程度。
第二章：余弦函数的图像与性质2.1 教学目标了解余弦函数的定义和基本概念学会绘制余弦函数的图像掌握余弦函数的性质2.2 教学内容余弦函数的定义和基本概念余弦函数的图像特点余弦函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性2.3 教学步骤1. 引入余弦函数的概念，引导学生理解余弦函数的定义。
2. 利用数学软件或图形计算器，绘制余弦函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。
3. 讲解余弦函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。
2.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对余弦函数的定义和图像的理解程度。
通过例题和练习题，评估学生对余弦函数性质的掌握程度。
第三章：正切函数的图像与性质3.1 教学目标了解正切函数的定义和基本概念学会绘制正切函数的图像掌握正切函数的性质3.2 教学内容正切函数的定义和基本概念正切函数的图像特点正切函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性1. 引入正切函数的概念，引导学生理解正切函数的定义。
2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正切函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。
3. 讲解正切函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。
3.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对正切函数的定义和图像的理解程度。
三角函数的图像和性质导学案
三角函数的图像和性质----导学案一、考试要求（1）了解任意角的概念，掌握与α角终边相同的角的表示方法。
了解弧度制，能进行角度与弧度的互化，会用弧度制表示弧长公式、扇形面积公式。
（2）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和周期，并能画出三角函数的图像，了解任意角的三角函数线的含义。
（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在(-1/2π，1/2π)上的性质（单调性、最大和最小值、图像与x 轴的交点等），理解同角三角函数的基本关系式1sin cos 22=+x x ,x xxtan cos sin = （4）掌握诱导公式，会用这些诱导公式进行角和三角函数名称的变换。
（5）了解函数 )sin(φω+=x A y 的实际意义，能用“五点法”画出函数的简图，知道参数A,φω, 对函数图像变化的影响。
定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数；（2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。
函数sin()y x ωϕ=+及函数cos()y x ωϕ=+的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+的周期T πω=.函数函数B x A y ++=)sin(ϕω的图象：（1）用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋ϕ)图象简图的五个关键点：xϕω+x2/ππ2/3ππ2)sin(ϕω+=x A y五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
（2）由函数)0,0)(sin(sin >>+=→=ωϕωA x A y x y 图象的基本步骤： （1）平移变换：)sin(sin ϕ+=→=x y x y （2）伸缩变换：)sin()sin(ϕωϕ+=→+=x y x y （3）振幅变换：)sin()sin(ϕωϕω+=→+=x A y x y反过来，x y A x A y sin )0,0)(sin(=→>>+=ωϕω怎样变换？ 函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)（A>0,0>ω）中A ,ϕω,的物理意义: 三、典型例题：1．要得到函数)53sin(2π-=x y 的图像，只需将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5π个单位 C ．向左平移15π个单位 D ．向右平移15π个单位2．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π87=x 对称，那么a 的值（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3、函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于4、给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2x x +=； ②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<； ③函数2sin()32y x π=+是偶函数；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象 其中正确命题的序号是____________ （把正确命题的序号都填上） 5、在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 取值范围为6．函数)92sin(21π-=x y 的振幅是___________，频率是___________，初相是__________． 7．函数21)32sin(+-=πx A y （0>A ）的最大值是27，最小值是25-，则=A _．8．把函数)42sin(π+=x y 的图象向右平移8π个单位，再将横坐标压缩到原来的21所得到的函数图象的解析式是 __________________．9、函数()sin()f x A x B ωϕ=++的图象如右，则)(x f 的解析式和++=)1()0(f f S)2006()2(f f +⋯+的值分别为 ( )A.12sin 21)(+=x x f π ， 2006=SB.12sin 21)(+=x x f π， 212007=SC.12sin 21)(+=x x f π， 212006=SD.12sin 21)(+=x x f π， 2007=S 10．已知函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）在一个周期内，当12π=x 时，取得最大值2，当127π=x 时，取得最小值2-，那么（ ） A ．)3sin(21π+=x y B ．)32sin(2π+=x yC ．)62sin(2π+=x yD ．)62sin(2π+=x y11、已知为常数）R a a x x x x f ∈++=(cos sin 32cos 2)(2（1） 若x ∈R,求的最小正周期，单调增区间，对称中心。
高二数学三角函数的像与性质的优秀教案范本
高二数学三角函数的像与性质的优秀教案范本教案标题：三角函数的像与性质教案目标：1. 理解三角函数的定义及常见性质；2. 掌握三角函数在不同象限的值域和符号规律；3. 运用三角函数的性质解决实际问题。
教学内容：一、三角函数的定义及性质回顾（15分钟）1. 回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；2. 讲解正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性和对称性；3. 引入正割函数、余割函数和余切函数的定义及性质。
二、三角函数在第一象限的性质与值域（20分钟）1. 分析正弦函数、余弦函数在第一象限的图像；2. 探讨正弦函数、余弦函数在第一象限的值域；3. 引导学生研究正切函数在第一象限的性质和值域。
三、三角函数在其他象限的性质与值域（25分钟）1. 探究三角函数在其他三个象限的性质与值域，特别是在四个象限的变号规律；2. 引导学生观察正割函数、余割函数和余切函数在各象限的性质。
四、解决实际问题：角度的计算与测量（30分钟）1. 应用三角函数的性质解决角度的计算问题；2. 引导学生使用三角函数测量无法直接测量的长度；3. 鼓励学生设计实际问题并运用三角函数的性质进行解答。
五、综合练习与拓展（30分钟）1. 分组进行综合练习，巩固三角函数的性质与值域；2. 提供一些拓展题目，扩展学生对三角函数性质的应用。
教学策略：1. 探究式学习：通过观察三角函数的图像和值域，引导学生自主探索性质和规律。
2. 合作学习：通过小组合作和讨论，促进学生间的合作与交流，共同解决实际问题。
3. 拓展性练习：在基本知识巩固的基础上，提供更高层次的应用题目，培养学生的综合运用能力。
教学资源准备：1. 教案PPT，包含定义和性质的图示；2. 学生练习题及答案；3. 实际应用问题的案例和相关材料。
教学评估与反馈：1. 课堂练习：针对各个环节进行小组或个人练习，及时发现学生的问题并予以解答和指导。
2. 作业布置：根据学生的掌握情况布置适当的作业，巩固所学内容。
4.3 三角函数的图像与性质导学案
§4.3 三角函数的图像与性质2014高考会这样考 1.考查三角函数的图像：五点法作简图、图像变换、图像的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．复习备考要这样做 1.会作三角函数的图像，通过图像研究三角函数的性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论其图像、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1． “五点法”作图原理在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫32π，－1、(2π，0)．余弦函数呢？ 2． 三角函数的图像和性质[－1,1] 对称轴：x ＝k π＋∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z )2π单调增区间[2k π－＋π2](k ∈Z )；单调减区间[2k π＋π2，2＋3π2] (k ∈Z )1． 函数的周期性若f (ωx ＋φ＋T )＝f (ωx ＋φ) (ω>0)，常数T 不能说是函数f (ωx ＋φ)的周期．因为f (ωx ＋φ＋T )＝f ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋T ω＋φ，即自变量由x 增加到x ＋T ω，T ω是函数的周期． 2． 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1． 设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图像C 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．答案 π解析 由正弦函数的图像知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π.2．y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝_______________________. 答案 5 34π＋2k π，k ∈Z解析 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π (k ∈Z )，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .3． (2012·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 4． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }B ．{x |x ≠2k π－π4，k ∈Z }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋π4，k ∈Z }答案 A解析 令π4－x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π－π4，k ∈Z .5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为( )①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ； ②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像关于x ＝π12对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数； ④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①②④ Z*xx*k答案 D解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝ cos π2＝0，故x ＝π12不是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称轴；命题④：函数y ＝sin|x |不是周期函数．题型一 三角函数的定义域、值域问题例1 (1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域； 学科(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．解 (1)由⎩⎨⎧sin 2x >09－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为{x |－3≤x <－π2或0<x <π2}． 学&科&网Z&X&X&K](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54，最小值为1－22.探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图像，在 同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时，f (x )取最大值1；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪：(1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期．解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．(2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性的判定方法：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 学科 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， 学科 ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对 称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝π6答案 A 解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以当x ＝5π6时，f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝－2 3. 学。
高中数学必修一 (学案)三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的图象【知识梳理】1．正弦曲线、余弦曲线（1）定义：正弦函数=sin )(y x x ∈R ）和余弦函数()cos y x x =∈R 的图像分别叫做_____曲线和_____曲线。
（2）图像：如图所示。
2．“五点法”画图 步骤： （1）列表：（2）描点：画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是_____；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是_____。
（3）用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图。
3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图像，只需把y ＝sin x 的图像向_____平移π2个单位长度即可。
【自主探究】已知0≤x≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x与cos x的大小关系。
【对点讲练】知识点一：利用“五点法”作正、余弦函数的图像例1：利用“五点法”画函数y＝－sin x＋1（0≤x≤2π）的简图。
回顾归纳：作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图。
“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图像在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点。
“五点法”是作简图的常用方法。
变式训练1：利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0，2π]的简图。
知识点二：利用三角函数图像求定义域例2：求函数f（x）＝lgsin x＋16－x2的定义域。
回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍。
变式训练2：求函数f（x）＝cos x＋lg（8x－x2）的定义域。
知识点三：利用三角函数的图像判断方程解的个数例3：在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图像，根据图像判断出方程sin x＝lg x的解的个数。
回顾归纳：三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。
2. 学会利用三角函数图象和性质解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和图形感知能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义及基本概念。
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。
3. 三角函数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。
2. 难点：三角函数图象和性质的灵活运用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学，增强学生对图象的直观感受。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾初中阶段学习的三角函数知识，引出本节课的主题——三角函数的图象与性质。
3. 练习与讨论：布置适量练习题，让学生巩固所学知识，并进行小组讨论，分享解题心得。
4. 实际问题解决：选取几个实际问题，让学生运用三角函数图象和性质进行解答，提高学生的应用能力。
6. 布置作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
附：教学课件及练习题（略）六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对三角函数图象和性质的理解程度。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、交流能力、分享精神等。
4. 实际问题解决评价：评估学生在解决实际问题时，运用三角函数图象和性质的准确性及灵活性。
七、教学拓展：1. 引导学生研究三角函数图象的变换规律，如平移、缩放等。
2. 介绍三角函数在工程、物理等领域的应用，拓宽学生的知识视野。
3. 鼓励学生探索三角函数与数列、几何等学科的联系，提高学生的综合运用能力。
八、教学反思：1. 反思教学目标的设定，是否符合学生的实际需求。
2. 反思教学内容的选择，是否适合学生的认知水平。
三角函数的图象和性质导学案
三角函数的图象和性质一、考点分析二、基础演练1.)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．2.将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．3.如图，它表示电流I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin(ωt ＋φ)的解析式为________________．4.函数cos(2)4y x π=-+的单调递增区间是________．5.函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．三、知识点1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|．2. 三角函数的图象和性质y ＝sinxy ＝cosxy ＝tanx3. “五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎛⎭⎫3π2，－1、 (2π，0)． 余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．四、典型例题题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．变式训练1：已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx(x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？变式训练2：已知函数f(x)＝23·sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．题型3 五点法作图例3 已知a ＝(2cosx ，cos2x)，b ＝(sinx ，－3)，f(x)＝a ·b .(1) 求f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象； (2) 说明它可以由函数y ＝sinx 的图象经过怎样的变换得到．变式训练3：已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．题型4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用例4 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；(2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值．变式训练4：已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1) 求f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f(x)的最值．五、能力提升：1.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________．2.若函数f(x)＝Asin(2x ＋φ)(A>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)＝________．3.已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．4.已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f(x 1)－f(x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．5. 已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的两个相邻最值点为⎝⎛⎭⎫π6，2、⎝⎛⎭⎫2π3，－2，则这个函数的解析式为________．6.已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1) 求函数y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2) 若f ⎝⎛⎭⎫x 0－π8＝－65，求f(x 0)的值．7. 已知a ＞0，函数f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1. (1) 求常数a 、b 的值；(2) 设g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．8. 设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cosx ＋sinx ，b ＝(4sinx ，cosx －sinx)，f(x)＝a·b . (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知常数ω＞0，若y ＝f(ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；(3) 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6≤x ≤23π，B ＝{x||f(x)－m|＜2}，若A B ，求实数m 的取值范围．六、总结点评1. 求形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sinx 的相应单调区间内即可，注意先把ω化为正数．求y ＝Acos(ωx ＋φ)和y ＝Atan(ωx ＋φ)的单调区间类似．2. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解．3. 由y ＝sinx 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．。
三角函数的图像与性质学案
三角函数的图象与性质一．【课标要求】1.能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图像，了解三角函数的周期性；2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点等）；3.会求正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的周期、单调区间、最值、对称中心、对称轴等，会由图像求参数的值二．【命题走向】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法预测2012年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是sin()y A x ωϕ=+的图象及其变换；三．【知识回顾】1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．周期函数（1）周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ________________，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期. （2）最小正周期：若()f x 在所有周期中存在一个最小正数，称它为最小正周期. （3）函数方程与周期①周期的定义本身就是方程()()f x T f x +=对x R ∀∈恒成立. ②对()()f x T f x +=可作变形:若()()f x a f x b +=+,则()f x 的周期为||T b a =-，若()1()f x a f x +=±,则()f x 的周期为2T a =，若()()f x a f x +=-,则()f x 的周期为2T a =3.函数sin()(0,0),[0,)y A x A x ωϕω=+>>∈+∞的有关概念当函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>表示一个振动量时，A :振幅；12f T ωπ==:频率；2T πω=:周期；x ωϕ+:相位，当0ω=时,ϕ称为初相. 注：上述概念是在0,0A ω>>前提下定义的，若00A ω<<或，则ϕ不是初相.【例题精讲】例1.求下列函数的定义域(1)1tan y x = (2)y = (3)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅-例2.求下列函数的值域(1)2cos cos sin y x x x =+ (2)212sin cos y x x =++ (3)sin cos 1sin cos x xy x x=++例3：求单调增区间 1、求函数1sin(2)23y x π=-的单调递减区间；2、求函数cos(2)3y x π=--的单调递减区间【点题练习】1． 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．2．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．3.sin()4y x π=-+在[0,2]x π∈的增区间是4.2cos 0()x x R ≥∈的x 的集合是。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）学会分析三角函数图像的变化规律；（3）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角函数图像的特性；（2）利用数形结合的方法，研究三角函数的性质；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的兴趣，培养学习的积极性；（2）引导学生感受数学的美丽和实用性，提高学生的数学素养；（3）培养学生合作、探究的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）三角函数性质的深入理解。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生探究三角函数的图像与性质；（2）运用数形结合的方法，帮助学生直观地理解三角函数的性质；（3）采用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队合作能力。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示三角函数的图像和性质；（2）利用数学软件，进行函数图像的动态演示；（3）提供充足的练习题，巩固所学知识。
四、教学内容与步骤1. 导入新课：（1）复习已知三角函数的图像和性质；（2）引出本节课要学习的内容：三角函数的图像与性质。
2. 探究正弦函数的图像与性质：（1）展示正弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析正弦函数的性质；3. 探究余弦函数的图像与性质：（1）展示余弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析余弦函数的性质；4. 探究正切函数的图像与性质：（1）展示正切函数的图像；（2）引导学生观察、分析正切函数的性质；五、课堂练习与拓展1. 课堂练习：（1）根据给定的函数式，绘制函数图像；（2）根据函数图像，分析函数的性质；（3）解决实际问题，运用三角函数的性质。
三角函数的图像和性质导学案012
三角函数的图像和性质导学案一、 学习目标：1、能够说出正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质，清楚画出正切函数在区间)2,2(ππ- 上的图像。
2、知道函数)sin(φω+=x A y 的物理意义，能画)sin(φω+=x A y 的图像，会说出φω,,A 对函数性质的影响。
二、自主梳理1．三角函数的图象和性质 函数 y ＝sin xy ＝cos x y ＝tan x图象定义域 值域 周期性 奇偶性单调性在______________________上增，在__________________________________上减在__________________________上增，在______________________________上减在定义域的每一个区间________________________________内是增函数2.正弦函数y ＝sin x当x ＝____________________________________时，取最大值1； 当x ＝____________________________________时，取最小值－1. 3．余弦函数y ＝cos x当x ＝__________________________时，取最大值1； 当x ＝__________________________时，取最小值－1.4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为____________、___________、______________.5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为______________和____________，y ＝tan x 没有对称轴答案 自主梳理1．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z ) [2k π－π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z ) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )2．2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 3.2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 4.(k π，0)(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z ) 5.x ＝k π＋π2(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )6.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)， ，(2π，0); （2）余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)， ，(3π2，0)，(2π，1)． 答案：（1）(3π2，－1)（2）(π，－1)三、基础训练：1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π. 答案 A5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A四、合作、探究、展示：探究点一 求三角函数的定义域例1 (2011·衡水月考)求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域．例1 解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ). 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4.变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为________________________．变式迁移1 ⎣⎡⎭⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎨⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎨⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎣⎡⎭⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . 探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调区间．例2 解题导引 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4 (k ∈Z )，即⎣⎡⎦⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的递减区间．由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4 (k ∈Z )，即⎣⎡⎦⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的递增区间．综上可知，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )；递减区间为⎣⎡⎦⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z )． 变式迁移2 (2011·南平月考)(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的周期及单调区间．变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－712π，⎣⎡⎦⎤－π12，512π，⎣⎡⎦⎤1112π，π. (2)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4得y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )．探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，若a >0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．变式迁移3 解 ∵x ∈R ， ∴cos x ∈[－1,1]，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1； 若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝－sin(－2x ＋π3)，周期为π.综合应用例4．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0. (1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=-b a 即()22222=+-=-b b a a b a ,又∵1sin cos ||2222=+==ααa a ,1sin cos ||2222=+==ββb b ∴222=-b a ∴0=b a ∴b ⊥a(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==变式迁移4.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间.(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]. ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0 得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .五、课堂检测：1．(2011·黄山月考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 值不可能是 ( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π31．A [画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]2．(2010·安徽6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是 ( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6 (k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3 (k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z ) 2．B [由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1， 故f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调增区间满足： 2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3.]3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )A ．0 B ．1 C ．－1 D.π43．A 4．函数y ＝－x cos x 的部分图象是图中 ( )4．D5．(2011·三明模拟)若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x5．D [因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，即－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x ．]6．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是________．6.π2解析 依题意得T 4＝π8，所以最小正周期T ＝π2.7．函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．7．4π解析 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z )时，f (x )取最小值；而x 4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π (k ∈Z )时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π.8．(2010·江苏)定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．8.23解析 线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23.9．(12分)(2011·厦门月考)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．9．解 由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z )．∴f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．……………………………………………………………………………………………(3分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x＝(2cos 2x －1)(cos 2x －1)2cos 2x －1＝cos 2x －1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(6分) 又∵定义域关于原点对称， ∴f (x )是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12.∴原函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(12分)10．(12分)(2010·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．10．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a (3分)∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.…………………………………………………………(4分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．…………………………………………………………………(8分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(10分)∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2，∴a ＝－1.………………………………………………………………………………(12分) 11．(14分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x2－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.………………………………………………………(4分)(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . ……………………………………………………………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π3.根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z .……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。
三角函数图像与性质教学设计(优秀4篇)
三角函数图像与性质教学设计（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。
2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。
2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。
3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。
4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
教案编写完毕，仅供参考。
如有需要，请根据实际情况进行调整。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。
2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。
七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。
三角函数的图象与性质学案
三角函数的图象与性质导学目标： 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．(－π2，π2)自主梳理1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定域内的每一个x 值，都满足__________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f (x )的最小正周期．2．三角函数的图象和性质函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域值域周期性奇偶性单调性在______________上增，在______________上减在_____________上增，在_____________上减在定义域的每一个区间____________________内是增函数对称中心(k π，0)(k ∈Z )(k π＋，0)π2(k ∈Z )(，0)k π2(k ∈Z )对称性对称轴x ＝k π＋，π2(k ∈Z )x ＝k π，(k ∈Z )无自我检测1．设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是，则f (x )的最小正周期是________．π42．函数y ＝3－2cos(x －)的最大值为________，此时x ＝________.π43．函数y ＝tan(－x )的定义域是________．π44．比较大小：sin(－)________sin(－)．π18π105．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点中心对称，|φ|的最小值为________．(4π3，0)长兴县金陵高级中学2015届高三数学第一轮复习学案B 编号023主备人: 施海尧审核人：胡军强探究点一 求三角函数的定义域例1 求函数y ＋的定义域．tan x 变式迁移1 函数y ＝＋lg(2sin x －1)的定义域为1－2cos x ________________________．探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin 的单调区间．(π4－x )变式迁移2 (1)求函数y ＝sin ，x ∈[－π，π]的单调递减区间；(π3－2x )(2)求函数y ＝3tan的周期及单调区间．(π6－x 4)探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －)＋b 的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值π3π2为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cosx ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋)的周期．π3转化与化归思想例 (14分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －sin x ，x ∈[0，]；3π2(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【答题模板】解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋)2－，cos x ∈[－1,1]．1212当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－时，y min ＝－，1212故函数值域为[－，4]．[4分]12(2)y ＝3cos x －sin x ＝2cos(x ＋)．33π6∵x ∈[0，]，∴≤x ＋≤，∵y ＝cos x 在[，]上单调递减，π2π6π62π3π62π3∴－≤cos(x ＋)≤，∴－≤y ≤3，故函数值域为[－，3]．[9分]12π63233(3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝，且|t |≤.t 2－122∴y ＝t ＋＝(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；t 2－1212当t ＝时，y max ＝＋.2122∴函数值域为[－1，＋]．[14分]122【突破思维障碍】 1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值．a 2＋b 22．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c )型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.2．(2010·江苏6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝sin ωx －cos ωx 的单调增区间是________．33．(2011·江苏四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－，]上单调递增，则ω的最2π32π3大值为________．4．把函数y ＝cos(x ＋)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ4π3的最小值是________．5．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋)(x ∈R )有下列命题：π3(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；(2)y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －)；π6(3)y ＝f (x )的图象关于点(－，0)对称；π6(4)y ＝f (x )的图象关于x ＝－对称．π6其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)6．(2011·泰州调研)定义函数f (x )＝Error!给出下列四个命题：①该函数的值域为[－1,1]；②当且仅当x ＝2k π＋(k ∈Z )时，该函数取得最大值；π2③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋(k ∈Z )时，f (x )<0.3π2上述命题中正确的个数为________．7．函数f (x )＝2sin 对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为x4________．8．(2010·江苏)定义在区间上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点(0，π2)为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)π6＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．π210．(14分)已知函数f (x )＝，求它的定义域和值域，并判断它的奇2cos4x －3cos2x ＋1cos 2x偶性．11．(14分)(2010·宿迁高三二模)已知向量a ＝(sin x ，2sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定3义f (x )＝a·b －.3(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<)为偶函数，求θ的值．π2。
(完整word版)三角函数的图像和性质教案
课 题三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。
教学目标与 考点分析 1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。
教学方法导入法、讲授法、归纳总结法学习内容与过程基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R1、已知函数)33sin()(π+=x x f（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8π=x ，则=ϕ______．学生对本次课的小结及评价1、本次课你学到了什么知识2、你对老师下次上课的建议⊙ 特别满意 ⊙ 满意 ⊙ 一般 ⊙ 差 学生签字：课后练习：（具体见附件）课后小结教师签字：审阅签字: 时 间:教务主任签字: 时 间:龙文教育教务处。
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第四节
三角函数的图象与性质
知识梳理· 自主学习01
课堂探究· 双向交流02
课时作业
知识梳理· 自主学习01
课前热身 稳固根基
知识点一 周期函数与最小正周期 对于函数 f(x)， 如果存在一个非零常数 T， 使得当 x 取定义域 内的每一个值时，都有
π π x ≠ ＋ k π 且 x ≠ ＋ k π ， k ∈ Z (2) x 4 2
考点二
三角函数的值域与范围问题
π π 【例 2】 已知函数 f(x)＝sin(2x＋ )＋cos(2x＋ )＋2sinxcosx. 3 6 (1)求函数 f(x)的周期； π (2)先将函数 y＝f(x)的图象向右平移 个单位长度， 再将所得 12 图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 π y＝g(x)的图象，求 y＝g(x)在[ ，2π]上的值域． 3
π 5π 即函数的定义域为2kπ＋ ，2kπ＋ ，k∈Z. 3 6
tanx－1≠0， (2)要使函数有意义，必须有 π x≠ ＋kπ，k∈Z， 2 π x≠4＋kπ，k∈Z， 即 x≠π＋kπ，k∈Z. 2 π π 故函数的定义域为{x|x≠ ＋kπ 且 x≠ ＋kπ，k∈Z}． 4 2 π 5π 答案：(1)2kπ＋ ，2kπ＋ ，k∈Z 3 6
解析：sin68° ＝sin(90° －22° )＝cos22° .因为余弦函数 y＝cosx 在 [0 ， π] 上 是 单 调 递 减 的 ， 且 22° <23° <97°， 所 以 cos97° <cos23° <cos22° .即 cos97° <cos23° <sin68° .
答案：cos97° <cos23° <sin68°
f(x＋T)＝f(x)
，则称 f(x)为周期函数，
T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这 个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期．
π 1． (2017· 新课标全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin(2x＋ )的最小正周期 3 为( ) A．4π C．π B．2π π D. 2
π 2π 解析： 依题意得， 函数 f(x)＝sin(2x＋ )的最小正周期 T＝ ＝ 3 2 π.选 C.
答案：C
2．函数 f(x)＝( 3sinx＋cosx)( 3cosx－sinx)的最小正周期是 ( ) π A. 2 3π C. 2 B．π D．2π
解析：解法 1：由题意得 f(x)＝3sinxcosx－ 3sin2x＋ 3cos2x π －sinxcosx＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin(2x＋ )．故该函数的最小正周 3 2π 期 T＝ ＝π.故选 B. 2 解法 2：由题意得
【答案】
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解.
(1)函数 y＝lg(2sinx－1)＋ 1－2cosx的定义域为________． 1 (2)函数 y＝ 的定义域为________． tanx－1
解析：(1)要使函数 y＝lg(2sinx－1)＋ 1－2cosx有意义，则 1 sin x > ， 2sin x － 1>0 ， 2 即 1－2cosx≥0， cosx≤1. 2 π 5π 解之得 2kπ＋ ≤x<2kπ＋ ，k∈Z. 3 6
1 解析： f(x)min＝4－2＝2， 此时， x＝2kπ(k∈Z)， x＝6kπ(k∈Z)， 3 所以 x 的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
答案：2 {x|x＝6kπ，k∈Z}
5．(必修 4P41 第 5 题改编)cos23° ，sin68° ，cos97° 从小到大 的顺序是________________．
π π π f(x)＝2sinx＋6× 2cosx＋6＝2sin2x＋3 ，
2π 故该函数的最小正周期 T＝ ＝π，故选 B. 2
答案：B
知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
3．(必修 4P40 第 4 题改编)函数 y＝4sinx，x∈[－π，π]的单 调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
课堂探究· 双向交流02
课堂升华 强技提能
考点一 三角函数的定义域 【例 1 】 ________．
【解析】
2 64－x ≥0，① 由题意，得 2sinx－1>0，②
函数 f(x) ＝ 64－x2＋ log2(2sinx － 1) 的定义域是
1 由①得－8≤x≤8，由②得 sinx> ， 2 π 5 由正弦曲线得 ＋2kπ<x< π＋2kπ(k∈Z)． 6 6
数
解析：由函数 y＝4sinx，x∈[－π，π]的图象可知，该函数在
π π π π － ， － π ，－ ， π 上是增函数，在 和 2 2 上是减函数． 2 2
答案：B
1 4．(必修 4P40 练习第 3(2)题改编)函数 f(x)＝4－2cos x 的最 3 小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为____________．
π π π π B． 在－2，2上是增函数， 在－π，－2和2，π 上都是减函
数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
π π π π － ， D．在2，π∪ －π，－2上是增函数，在 2 2 上是减函
所以不等式组的解集为
11 7 π 5 13 － π ，－ π ， π π ， 8 ∪ ∪ 6 6 6 . 6 6
11 7 π 5 13 － π ，－ π ， π π ， 8 ∪ ∪ 6 6 6 6 6