高考数学易错题集锦

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高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》技巧及练习题

高中数学《集合与常用逻辑用语》复习知识点一、选择题1．已知集合*4x M xN ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N =B ．N M ⊆C ．20x M N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭D ．*40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭ 【答案】D【解析】【分析】【详解】由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数，而集合N 表示能被40整除的整数，据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数，即*40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭，本题选择D 选项.2．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-，由321m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由211m -≠-得m≠2，则m=1，即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.3．记全集{1,2,3,4,5,6,7,8},U =集合{1,2,3,5},{2,4,6},A=B =则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{4,6,7,8}B ．{2}C ．{7,8}D ．{1,2,3,4,5,6}【答案】C【解析】【分析】根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ⋃,由此求得正确结论.【详解】根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ⋃,{}1,2,3,4,5,6A B =U ,故(){}7,8U C A B ⋃=，故选C.【点睛】本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别，属于基础题.4．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】222x y x y ++≥Q 且224x y +≤ ， 224222x y x y x y ++∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又2x y xy +≥Q ，0,0x y >>221xy xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.5．已知集合{}|3x M y y ==，{|1}N x y x ==-，则M N =I （） A ．{|01}x x < 【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解．【详解】由题意，集合{}|3{|0}x M y y y y ===>,{|1}{|1}N x y x x x ==-=≤，所以{|01}M N x x ⋂=<≤.故选：B ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．6．设，则"是""的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案. 【详解】，当时，，充分性；当，取，验证成立，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.7．“4sin 25α=”是“tan 2α=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角的正弦公式换化简222sin cos 4sin 2sin cos 5ααααα==+，再利用齐次式进行弦切互化，得出22tan 4tan 15αα=+，即可求出tan α，即可判断充分条件和必要条件. 【详解】解：2242sin cos 4sin 25sin cos 5ααααα=⇔=+Q ，则22tan 4tan 2tan 15ααα=⇔=+或12，所以“4sin 25α=”是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.8．给出下列命题，则假命题的个数是（）①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件； ③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④.【详解】若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分条件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程2230x x m +-=无实根，显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误.故选：C【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.9．下列选项错误的是（）A ．命题“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”B ．“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件C ．在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的定义，可以判断A 的真假；由充要条件的定义，判断B ，C 的真假；根据两个命题之间的真假关系即可判断D 的真假．【详解】对于选项Ａ，“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1，故选项A 为真命题；对于选项B ，由“x 2﹣3x +2＞0”得，x ＞2或x ＜1；故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，故选项B 为真命题；对于选项C ，在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”，则边a ＞边b ，由正弦定理知，sin A ＞sin B ；反之，也成立，故在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件,故C 为真命题；对于选项D ，在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题可能为真命题，也可能为假命题．故D 为假命题；故选：D ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查四种命题的定义、性质以及真假关系，充分、必要条件的判断，属于基础题．10．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.11．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（）．A ．{|20}x x -<或D ．{|20}x x x ≤-≥或【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R ，2{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}，故选C ．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．12．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．13．下列四个命题中真命题的个数是①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的关系进行判断．【详解】①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题，则p q ∨为真命题，正确．因此4个命题均正确．故选D ．【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．14．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧ 【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m <<若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题因而()p q ∧⌝为真命题所以选C【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．15．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.16．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅【答案】C【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为NM .故选：C .【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.17．已知集合{|21}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （） A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(2,3)D ．(0,1]【答案】B【解析】【分析】由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．【详解】由题意，可求得{3,1}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]1,3R C A =，所以()[)1,2R C A B ⋂=.故选B.【点睛】本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤【答案】C【解析】根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2n n n ∀>≤，所以选C.19．命题“x R ∀∈，2230x x -+≤”的否定为（）A ．x R ∀∈，2230x x -+≥B ．x R ∃∉，2230x x -+>C ．x R ∃∈，2230x x -+>D ．x R ∀∉，2230x x -+≤【答案】C【解析】分析：根据全称命题的否定得结果.详解：因为x R ∀∈，2230x x -+≤，所以否定为x R ∃∈，2230x x -+>, 选C.点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.20．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>下列命题中是真命题的为（）A ．q ⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】C【解析】【分析】分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.【详解】取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭，故命题p 为真；因为122x x -+≥=12x =时等号成立，故命题q 为真；故p q ∧为真，故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。

2023届高考复习数学易错题专题(集合)汇编 (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题（集合）汇编1．若22{1,1,1}a a ∈++，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12．若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A ⋃=，则m 的值为（）A ．1或0B ．1-或0C ．1或1-或0D ．1或1-或23．（多选题）已知集合{}22,4,A m=，{}2,B m =，A B A ⋃=，则实数m 的值可能为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．44．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆,则实数m 的取值范围为（）A ．[]3,3-B ．(],2-∞C ．(][),33,-∞-+∞D ．(],3-∞ 5．下列集合中表示同一集合的是（）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣ D ．{2,3}M =，{(2,3)}N = 6．若集合{}2|1,{|1}A x x B x mx ====且B A ⊆，则实数m 的集合为（） A ．{1,0,1}- B ．{1,1}- C ．{1,0}- D ．{0,1} 7．已知集合A ＝{x |y ＝log 2(x 3－1)}，B ＝{y |y ＝x －2}，则A ∩B ＝( )A ．(1，＋∞)B ．(－1,2]C ．[2，＋∞)D ．∅8．（多选题）已知集合{}23180A x R x x =∈--<，{}22270B x R x ax a =∈++-<，则下列命题中正确的是（）A ．若AB =，则3a =-B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若3a =，则{}36A B x x ⋂=-<< 9．用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为（）A ．{}1A =B ．{}0A =C ．{}0,1A =D ．{}0A =或{}110．（多选题）已知集合2{|log 0}A x x =≤，集合1{|0}1y B y y +=≥-，集合1{|3}9z D z =≥，则（） A ．A D R ⋃=B ．A B =∅C ．()R A B ⋃ðD D ．R D ð　B11．已知{}22,25,12A a a a =-+其3A -∈，则由a 的值构成的集合是（）A ．∅B ．31,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ C ．{}-1 D ．32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[0,2]13．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为（）A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3 14．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20192020+a b 的值是________．15．已知集合{1A x x =<-或}4x >，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________． 16．设集合A ={x ∣2x −3x +2=0}，B ={x ∣2x +2(a +1)x +2a −5=0}，若U =R ，A ∩(∁ B )=A ，求实数a 的取值范围.17．已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 18．（1）设集合A ={a 2，a ＋1，-1}，B ={2a －1，|a －2|，3a 2＋4}，A ∩B ={-1}，求实数a 的值．（2）设集合{}2,21,4A x x =--，{}5,1,9B x x =--，若{}9A B ⋂=，求实数x 的值. 19．已知集合{}24A x x =<<，()(){}30B x x a x a =--<．（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若{}34A B x x ⋂=<<，求实数a 的取值范围． 20．设集合{}2|320A x x x =-+=，{}22|2(1)50B x x a x a =+++-=.（1）若{2}A B = ，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围；答案解析1．若22{1,1,1}a a ∈++，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－1 【参考答案】D【答案解析】当212a +=时，1a =±，当1a =时，2112a a +=+=，不满足互异性，舍去，当1a =-时，集合为{1,2,0}，满足；当12a +=时，1a =，不满足互异性，舍去.综上1a =-． 2．若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A ⋃=，则m 的值为（）A ．1或0B ．1-或0C ．1或1-或0D ．1或1-或2 【参考答案】C【答案解析】,A B A B A ⋃=⊆ ∴，B ∴=∅；{1}B =-；{1}B =，当B =∅时，0m =；当{1}B =-时，1m =-，当{1}B =时，1m =，故m 的值是0；1；1-。

高中数学易错题大汇总及其解析

【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。

而在高中阶段，数学的难度也相应提升，很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。

本文将对高中数学易错题进行大汇总，并给出详细的解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用（1）易错题案例：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,1)处的切线斜率为3，求a、b、c的值。

解析：首先利用已知条件列方程，得到三元一次方程组。

然后利用切线的斜率性质，得到关于a和b的关系式。

最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。

（2）易错题案例：已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c，求a、b、c的值。

解析：利用函数过定点的性质列方程，再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。

2. 数列与数学归纳法（1）易错题案例：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²，求an。

解析：利用等差数列的前n项和公式列方程，然后利用数学归纳法求得an的表达式。

（2）易错题案例：已知{an}是等比数列，且a₁=2，a₃=18，求通项公式。

解析：利用等比数列的通项公式列方程，再利用已知条件求出通项公式的值。

3. 平面向量的运算及应用（1）易错题案例：已知向量a=3i+4j，b=5i-2j，求a与b的夹角。

解析：利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。

（2）易错题案例：已知平面向量a=2i+j，b=i-2j，求2a-3b的模。

解析：利用向量的运算规则，先求出2a和3b，然后再求它们的差向量，最后求出差向量的模。

答案高中高考数学(函数部分)易错题汇总及解析

高中高考数学（函数部分）易错题汇总及解析一、选择题：1，答案：B解析：结合数轴解答。

本题易错点在于集合M 的判断，易认为集合M 为}2211|{><<<=x x x x P 或或，而误选C,2. 答案：C解析：可从集合B 中()()1,2f f ，的象的和等于()3f 入手分析显然有110,000,011,011-+=+=+-=-+=四种情况分别对应的映射有：2个、1个、2个、2个共有个。

3．解析：此题根据复合函数的单调性求解时，转化为求二次函数的单调减区间但易忽视定义域的限制。

4．答案：C 解析：根据同增异减的规律可知二交函数在区间]2,(a -∞上为减函数，则易知以a 为底的对数函数为增函数，易忽略当x 在区间]2,(a -∞上取值时，真数为零的限制。

5．答案：A解析：根据导数解答，分出变量但注意等号是否取得。

6．答案：A解析：数形结合，根据题意易知函数f （x ）在[]2,4上为增函数利用单调性即可比较大小。

7．答案：B解析：可将选项逐次判断。

8．答案：D解析：数形结合9．答案：B 解析：由条件1(2)()f x f x +=可推出函数为周期为4的函数，故根据周期性即得 10．答案：D 解析：由132log <a=log a a 根据单调性分类讨论即得。

11．答案：D解析：代入化简注意开方时由于01,0a x <<>故x x aa ->。

12答案：C解析：根据定义判断13．答案：A 解析：分a>1和a<1讨论解决14．答案：D解析：将问题可转化为二次函数220x x a ---=（2x ≠±）有一解时实数a 的取值范围，注意二次函数可有一解或有两解但一解为2或-2。

15．答案：A 解析：易知d cx bx ax x f +++=23)(=()(1ax x x --a,b,c,d 的关系，再利用当0<x<1时，f （x ）小于零得关于b 答案：一、选择题：BCCCAABBBDDCADA二、（17）)3,0()0,3(⋃-，（18）)23,(-∞，（19）)4,(--∞，（20）3，（21）-4，（22）)4,0[，（23）-4，（24）]3,1[-，三、解答题：25、211|||1|2||2|1|<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-m m m m m 。

2023届高考复习数学易错题专题(数列)汇编(附答案)

2023届高考复习数学易错题专题（数列）汇编1．已知数列{a n }是等比数列，a 5＝4，a 9＝16，则a 7＝( )A ．8B ．±8C ．－8D ．12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=，则（）A. 22S =B. 24144S =C. 31243S =D. 60660S =3．已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或124. 设数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=，求{}n na 的前n 项和（） A. ()121n n -- B. ()121n n -+ C. ()1121n n ++- D. ()1121n n +++ 5. 1232482n n n S =++++= （） A. 22n n n - B. 1222n n n +-- C. 1212n n n +-+ D. 1222n n n +-+ 6. 已知数列{}n a 满足112a =，213a =，()1223111n n n a a a a a a n a a n N ++++++=⋅⋅∈L ，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2021S =（） A. 202120212⋅ B. 202220212⋅ C. 202120222⋅ D. 202220222⋅7．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 2ꞏa 6ꞏa 10＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 2＋b 101－a 3ꞏa 9的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－ 38．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程之和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米9. 已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：1*112233(1)22()n n n a b a b a b a b n n N ++++⋯+=-⋅+∈，若{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，11()3n n c -=-，则数列n n a c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是（）A. 1(41)(3)16nn -+- B. 13(41)16n n ++ C. 1(32)(3)16n n -+- D. 13(32)16n n ++ 10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋tn (n ≤2 020)，若数列{a n }为递减数列，则t 的取值范围是________．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－16n ，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 11|＝________.12．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 17＝______. 13．数列{a n }满足1a n ＋2＝2a n ＋1－1a n ，a 1＝1，a 5＝19，b n ＝2na n ，则数列{b n }的前n 项和为S n ＝________. 14. 已知数列{}n a 满足11a =，()*13n n a a n n ++=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若192n S =-，则n =__________.15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝4n －3，则数列{a n }的通项公式为________． 16. 若数列{}n a 的前n 项和1n n S n-=，则其通项公式为_______． 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，求这个数列的通项公式.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，15n n a S +=+，则5S =______． 19. 已知等比数列{}n a 中，12a =，36S =，求3a 和q ．20. 数列{}n a 是首项14a =的等比数列，且324,,S S S 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式. 21. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()lg 1n S n -=（n ∈N ，1n ≥），求{}n a 的通项公式．22. 已知数列{}n a 中，满足()1212,,n n n a a a b a k a a ++===+对任意*n ∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1a b ==，且{}1n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．。

2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不A．12C．1 4易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题） 1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（） A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A 种排法2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有720种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（）A ．731424735454A A A A A A -- B ．4343A AC ．7314222473543254A A A A C A A A -- D ．4345A A7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（）A ．36B ．72C ．81D ．14411．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A ．288种B ．360种C ．480种D ．504种12．A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（）A ．72B ．36C ．18D ．64易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合） 1．()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为（）在车站的个数为（）A ．15B ．16C ．17D ．188．不等式2886x x A A -<⨯的解集为（）A ．{2，8}B ．{2，6}C ．{7，12}D ．{8}9．若24C P mm n n =，则m = . 10．已知()1111A A A N ,2n n n n n n x n n -+-+++=∈≥，求x 的值． 11．解关于正整数x 的不等式288P 6P x x -<． 12．解关于正整数n 的方程：4321A 140A n n +=．13．已知57A 56C n n =，且()201212nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+.求12323n a a a na +++⋅⋅⋅+的值. 14．（1）解不等式266A 4A x x -<．（2）若2222345C C C C 55n ++++= ，求正整数n ．15．（1）若32213A 2A 6A x x x +=+，则x = .（2）不等式46C C n n >的解集为 .易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理） 1．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方染共有（）A．81 B．48 C．36 D．245．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（）种A．24 B．36 C．48 D．606．将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种7．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为A．484B．472C．252D．2328．下列说法正确的是（）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果D．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个9．如图，线路从A到B之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现AB之间线路不通，则下列判断正确的是（）A．至多三个断点的有19种B．至多三个断点的有22种C．共有25种D．共有28种10．某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目，计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法. （1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加了项目，且每个项目均有人参加.11．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？12．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）13．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有（用数字作答）14．某单位有A、B、C、D四个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这8人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有种不同的安排方法？易错点五：均匀分组与不均匀分组混淆致误（相同元素与不同元素分配问题）1．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种2．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有（）A．42种B．36种C．72种D．46种3．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（）A．216 B．288C．432 D．5124．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．50种D．60种5．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲､乙等6人报名参加了A､B､C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A､B项目，乙不能参加B､C项目，那么共有（）种不同的选拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．526．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（）易错点六：由于重复计数致错（可重复与限制问题）1．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣且在游览过程中必须按先M后N的次序，则不同的游览线路有多少种？9．用0,1,2,3,4,5,6可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？10．某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，共有多少种不同的安排方法？参考答案易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种【答案】C【详细分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.【答案详解】由题意可得12331233A A A A 72=，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（） A ．144 B ．864 C ．1728 D ．2880【答案】C【详细分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【答案详解】甲家庭的站法有2223A A 12=种，乙家庭的站法有3234A A 72=种，最后将两个家庭的整体全排列，有22A 2=种站法，则所有不同站法的种数为127221728⨯⨯=．故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A 和B 不相邻，则不同的排法共有（） A ．120种 B ．240种 C ．360种 D ．480种【答案】D【详细分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即66A ，然后求学员A 和B 相邻的排列数，两数相减即可.【答案详解】一方面：若要求学员A 和B 相邻，则可以将学员A 和B 捆绑作为一个“元素”，此时一共有5个元素，但注意到学员A 和B 可以互换位置，所以学员A 和B 相邻一共有2525A A 2154321240⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.结合以上两方面：学员A 和B 不相邻的不同的排法共有625625A A A 720240480-⋅=-=种排法.故选：D.9．某高铁动车检修基地库房内有A E ~共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01,02、A．12C．1 4【答案】B【详细分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【答案详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有22222A A 8⨯⨯=种不同的排法.故选：B12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（）A ．70种B ．72种C ．36种D ．12种【答案】C【详细分析】相邻问题用捆绑法即可得解.【答案详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，则共有3333A A 36=种排法.故选：C13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（）A ．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B ．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C ．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D ．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种【答案】ABC【详细分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.【答案详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，对于A 中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有3252A A 120=种排法，所以A 正确；对于B 中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有3333A A 36=种排法，所以B 正确；对于C 中，全体排成一排，男生互不相邻，则有3234A A 72=种排法，所以C 正确；对于D 中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有13A 3=种排法，此时乙有13A 3=种排法，共有113333A A A 54=种排法；C ．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D ．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种【答案】AC【详细分析】对于A ，根据社区A 必须有同学选择，由甲､乙､丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B ，根据同学甲必须选择社区A ，有乙丙都有5种选择求解；对于C ，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D ，由甲､乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；【答案详解】对于A ，如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有335461-=（种），故A 正确；对于B ，如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有2525=（种），故B 错误；对于C ，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有54360⨯⨯=（种），故C 正确；对于D ，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有2525=（种），故D 错误. 故选：AC.18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（）A ．3名男生排在一起，有6种不同排法B ．2名女生排在一起，有48种不同排法C ．3名男生均不相邻，有12种不同排法D ．女生不站在两端，有108种不同排法【答案】BC【详细分析】利用捆绑法可判断A 、B ；利用插空法可判断C ；利用分步计数法可判断D. 【答案详解】解：由题意得：对于选项A ：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有3333A A 36⋅=种，A 错误；对于选项B ：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有2424A A 48⋅=种，B 正确；对于选项C ：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有2323A A 12⋅=种，C 正确；对于选项D ：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有2232C A 6⋅=种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有223323C A A 36⋅⋅=种，D 错误.故选：BC易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题）1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A -种排法【答案】AC【详细分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【答案详解】选项A ,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有33A 种，加上4名男生一共有5个个体，则有55A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有5335A A 种排法，故A 正确；选项B ,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有44A 种，再将3名女生插入空中，有35A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有4345A A 种排法，故B 不正确；选项C ,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有16C 种，再将剩余的6人全排列，有66A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有1666C A 种排法，故C 正确；选项D ,利用间接法，3人站成一排共有77A 种排法，若甲站最左边有66A 种排法，乙站最右边有66A 种排法，甲站最左边且乙站最右边有55A 种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有765765A 2A A -+种排法，故D 不正确；故选：AC.2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法【答案】AD【详细分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次详细分析选项，即可判断. 【答案详解】A ：从3个歌唱节目选1个作为开场，有13C =3种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有553A 360=种，故A 正确；B ：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有22A 2=种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有552A 240=，故B 错误；C ：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有44A 24=种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，所以符合题意的方法有2524A 480=种，故C 错误；D ：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，所以不同的选法共111111323121C C C C C C 11++=种，故D 正确. 故选：AD.3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（） A ．4个空位全都相邻的坐法有120种 B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种 C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种【答案】AC【详细分析】对于A ，用捆绑法即可；对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错；故选：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种【答案】BCD【详细分析】根据相关的计数原理逐项详细分析.【答案详解】对于A ，将甲乙捆绑有22A 种方法，若戊在丙丁之间有22A 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有14A 种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有2122A A 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有212222A A A 种排法，所以总的排法有221212224222A A A A A A 24+= ，故A 错误；对于B ，若甲在最左端，有44A 24= 种排法，若乙在最左端，先排甲有13A 3= 种排法，再排剩下的3人有33A 6= ，所以总共有243642+⨯= 种排法，正确；对于C ，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有14A 种，再插戊有15A 种，总共有1145A A 20=种，正确；对于D ，先分组，将甲乙丙丁分成3组有24C 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有33A 种方法，共有2343C A 36= 种方法，正确；故选：BCD.5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（） A ．4个空位全都相邻的坐法有720种 B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种 C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种【答案】AC【详细分析】对于A ，用捆绑法即可;对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：66A 720=，故A 对；对于B ，先排5个学生55A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有26A 中方法，所以一共有5256A A 3600=种，故B 错；对于C ，先排5个学生55A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有46C 种，所以一共有5456A C 1800=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有1800种，空位两个两个相邻的有： 5256A C 1800=，空位只有两个相邻的有521564A C C 7200=，所以一共有18001800720010800++=种，故D 错；故选：AC6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（）A ．731424735454A A A A A A --B ．4343A AC ．7314222473543254A A A A C A A A -- D ．4345A A【答案】CD【详细分析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可【答案详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有35A 种情况．则有4345A A 种排法，第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有314354A A A 种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有22243254C A A A 种排法，则歌手不相邻有3142224354773254A A A C A A A A --种排法．故选：CD7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（） A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法故选：BC.10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（）A ．36B ．72C ．81D ．144【答案】D【详细分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.【答案详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，故共有3434A A 624144=⨯=种不同的排法，故选：D11．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A ．288种B ．360种C ．480种D ．504种【答案】C【详细分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【答案详解】先安排甲乙以外的4个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有4245A A 480=种.故选：C12．A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（）A ．72B ．36C ．18D ．64【答案】A【详细分析】先将其余三人全排列，利用插空法求解. 【答案详解】解：先将其余三人全排列，共有33A 种情况，再将A 和B 插空，共有24A 种情况，所以共有2343A A 12672=⨯=种情况，故选：A.。

(完整版)高中数学易错题

高中数学易错题数学概念的理解不透必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21，所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确；错解二：选C.平行就共面；【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列，所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x（8）函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2π，增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2π，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严（1）读题不清必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.（2）忽视隐含条件必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（）不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）必修一（13）方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（）A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误（1）数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r，（ba ρρλ+）19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到12k=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），11,62k k=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22(1)650m x x+-+=，令1122(,),(,)P x y Q x y，则12122265,11x x x xm m+=⋅=++，则221212251my y m x xm==+，由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222325OP OQ OT⋅==-=.（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错曲线x2－122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=AB，则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为222241b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________解析：（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ，得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ，解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，时，12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=；当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。

高考数学复习易做易错题选

高考数学复习易做易错题选一、选择题；1．设ABCD 是空间四边形；E ；F 分别是AB ；CD 的中点；则BC AD EF ,,满足（）A 共线B 共面C 不共面D 可作为空间基向量2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心；M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点；则直线OM( )A 是AC 和MN 的公垂线B 垂直于AC 但不垂直于MNC 垂直于MN ；但不垂直于ACD 与AC 、MN 都不垂直3．已知平面α∥平面β；直线L ⊂平面α,点P ∈直线L,平面α、β间的距离为8；则在β内到点P 的距离为10；且到L 的距离为9的点的轨迹是（）A 一个圆B 四个点C 两条直线D 两个点4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中；点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动；并且总保持A P ⊥BD 1,则动点P 的轨迹（）A 线段B 1C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段C 线段BC 1D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段5．下列命题中；① 若向量a 、b 与空间任意向量不能构成基底；则a ∥b 。

② 若a ∥b ； b ∥c ；则c ∥a .③ 若 OA 、OB 、OC 是空间一个基底；且 OD =31OA ＋31 OB ＋31OC ,则A 、B 、C 、D 四点共面。

④ 若向量 a + b ； b + c ； c + a 是空间一个基底；则 a 、 b 、 c 也是空间的一个基底。

其中正确的命题有（）个。

A 1B 2C 3D 46．给出下列命题；①分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c ；直线a ⊥c ；则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形；其中真命题是( )7．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等；把它们拼接起来；使一个表面重合；所得多面体的面数有( )A 、7B 、8C 、9D 、108．下列正方体或正四面体中；P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点；这四个点不共面的一个图是( )9． a 和b 为异面直线；则过a 与b 垂直的平面( )A 、有且只有一个B 、一个面或无数个C 、可能不存在D 、可能有无数个10．给出下列四个命题；（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱. （2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱；则其顶点数V 、面数F 满足的关系式为2F－V=4.（3）若直线l ⊥平面α；l ∥平面β；则α⊥β.（4）命题“异面直线a 、b 不垂直；则过a 的任一平面与b 都不垂直”的否定.其中；正确的命题是（）A ．（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4） 11．如图；△ABC 是简易遮阳棚；A ；B 是南北方向上两个定点；正东方向射出的太阳光线与地面成40°角；为了使遮阴影面ABD 面积最大；遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°12．一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α；β；则α+β满足（）A 、α+β<900B 、α+β≤900C 、α+β>900D 、α+β≥900。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习有答案

【高中数学】高中数学《集合与常用逻辑用语》期末考知识点一、选择题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或2【答案】C【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}；a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项.2．下列有关命题的说法正确的是（）A ．函数1()f x x=在其定义域上是减函数 B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 C ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件D ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”【答案】B【解析】【分析】对于选项A ：利用反比例函数的图象与性质判断即可；对于选项B ：利用原命题与它的逆否命题同真假，判断原命题的真假即可；对于选项C ：根据充分条件与必要条件的定义即可判断；对于选项D ：根据原命题的否命题的定义判断即可；【详解】对于选项A ：由反比例函数的图象与性质知，函数1()f x x =在区间()(),0,0,-∞+∞上单调递减，故选项A 错误；对于选项B ：由题意知，当x y =时，sin sin x y =显然成立，故原命题为真命题，根据原命题与其逆否命题同真假可知，其逆否命题亦为真命题，故选项B 正确；对于选项C ：当1x =-时，有2560x x --=成立，反过来，当2560x x --=时，可得6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选项C 错误；对于选项D ：根据原命题的否命题的定义知，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，故选项D 错误；故选：B【点睛】本题考查反比例函数的单调性、四种命题之间的关系及真假判断和充分条件与必要条件的判断；熟练掌握四种命题之间的关系及真假判断的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.3．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（） A ．{}13x x -≤，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[5,)+∞B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤，故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.5．14a =-是函数2()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将14a =-代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】当14a =-时，2211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭，2x =-，充分性；当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.6．已知命题:p m ∃∈R ，10+<m ，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立，若p ，q 至少有一个是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[)2,1--B ．(],2-∞-C ．[]2,1--D ．[)1,-+∞【答案】B【解析】【分析】根据题意可判断命题p 为真命题，所以可得命题q 必定为假命题，进而得到参数的取值范围；【详解】因为p ，q 中至少有一个为假命题，而命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题；所以命题q 必定为假命题，所以2410m ∆=-⨯≥，解得2m ≤-或2m ≥.又命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题，所以1m <-，于是2m ≤-.故选：B.【点睛】本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.8．给出下列说法：①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20； ②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x +<”．其中正确说法的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=，该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =，所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确；对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈，所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/，则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确.故选：D.【点睛】本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．9．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为NM .故选：C .【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10．下面说法正确的是（）A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”【答案】A【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；D. 命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该选项错误.故选：A【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.12．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a b a a b >⇔>，显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论13．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1x≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=，则下列命题中为真命题的是 ( )A ．p ∨(⌝q )B ．p ∧(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．(⌝p )∧q 【答案】D【解析】【分析】先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假.【详解】对于命题p ：当x ≤0时，x+1x≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；对于命题q ：当x 0=4π时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题．结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题．故答案为D.【点睛】 (1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.14．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.15．下列选项错误的是（）A ．命题“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”B ．“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件C ．在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的定义，可以判断A 的真假；由充要条件的定义，判断B ，C 的真假；根据两个命题之间的真假关系即可判断D 的真假．【详解】对于选项Ａ，“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1，故选项A 为真命题；对于选项B ，由“x 2﹣3x +2＞0”得，x ＞2或x ＜1；故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，故选项B 为真命题；对于选项C ，在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”，则边a ＞边b ，由正弦定理知，sin A ＞sin B ；反之，也成立，故在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件,故C 为真命题；对于选项D ，在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题可能为真命题，也可能为假命题．故D 为假命题；故选：D ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查四种命题的定义、性质以及真假关系，充分、必要条件的判断，属于基础题．16．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤【答案】C【解析】根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2n n n ∀>≤，所以选C.17．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .【详解】若(),0a b ϕ=，0a b -=a b =+两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =当0a =0b b b =-= ，0b ∴≥ ，即a 与b 互补，同理0b =时，a 与b 互补，反过来，当0ab =时，0a b -= ，即(),0a b ϕ= ，故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.18．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sinx ＋cosx ＝2成立”．则下列判断正确的是（）A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．非p ∧q 为真命题D ．非p ∨非q 是假命题【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：：∵任意x ∈R 时，都有x 2-x+14=（x−12）2≥0， ∴p 是假命题；∵sinx+cosx=2sin （x+4π），当x=4π时，sinx+cosx=2， ∴q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，非p n q 为真命题，故选C考点：复合命题的真假19．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2【答案】D【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.20．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，由“1a <-”，可得4πθ>，再举特例34πθ=，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π” 不能得到“1a <-”，即可得解.【详解】解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则tan 1a θ=->，即4πθ>，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”，若“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”，不妨令34πθ=，则3tan 14a π=-=，则不能得到“1a <-”，即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件，故选A.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.。

【高考数学】高三易错题138道

高三易错题一：集合与命题易错题错误原因分析1.已知集合{}220,M x x x m x R =-+=∈非空，则集合M 中所有元素之和为.入选理由：集合的互异性考的比较隐蔽2.已知A 是由实数组成的数集，满足：A a ∈则A a∈-11；且A ∉1.（1）若A ∈2，则A 中至少含有哪些元素；（2）A 能否为单元素集合？若能，求出集合A ；若不能，说明理由；（3）若A a ∈，则a11-是A 中的元素吗？说明理由.入选理由：集合新定义的理解3.已知集合A {|25}x x =-≤≤,B {|121}x m x m =+≤≤-,满足B A ⊆,求实数m 的取值范围入选理由：交并集运算注意∅是否存在以及端点处是否可取4.非空集合P 满足（1）{}54321，，，，⊆P ；(2)若a P ∈,则6a P -∈，符合上述两个条件的集合P 的个数是_______________入选理由：子集个数的运算。

对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n 21n -22n-.高三易错题二：不等式易错题错误原因分析1.已知41,145a c a c -≤-≤--≤-≤,试求9a c -的取值范围．入选理由：待定系数法的应用2.解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->,并写出解集入选理由：字母讨论不全，没有条理导致分类不全3.若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2，求不等式20cx bx a ++>的解集。

入选理由：韦达定理的应用4.入选理由：图像法求不等式8.若不等式()11m x x ≤++-的解集为全集，求实数m 的求值范围．入选理由：绝对值函数的值域高三易错题三：函数16.已知18361log 9,18,,log 455n m m n -==试用表示．入选理由：对数的基本性质可否熟练高三易错题三：三角比和三角函数易错题错误原因分析1.已知sin sin(2)(1),m m βαβ=+≠求证：1tan()tan .1mmαβα++=-入选理由：角的拼凑（由结论去找条件）9.将一块圆心角为120︒，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值．入选理由：模拟考试中得分率很低高三易错题四：数列1.已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围入选理由：数列单调性与函数单调性的区别错误原因分析2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若{}nS 也是等差数列，且公差和{}n a 的公差相同，则数列{}n a 的首项和公差的和_________1=+d a ；入选理由：等差数列和前n 项和的公式入选理由：奇数项和偶数项之间的关系（相除和相减）项的和在等差数列10.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求数列｛a n ｝的通项公式；入选理由：对于分式递推公式。

2024届高考数学易错题专项(导数及其应用) 练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项（导数及其应用）练习易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数的单调性）1易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最值）易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问题）(2)讨论函数()f x 在区间(1,)+∞上的零点个数． 10．设函数2()(1)e x f x mx x -=++，其中m ∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点，设极大值点为a ，b 为()f x 的零点，求证：ln 2a b -≥． 11．已知函数()()ln f x x x =- (1)求()f x 的单调区间和极值；(2)讨论()()2g e x x xf ax -=-的零点个数．参考答案易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）1．已知函数()ln f x x =与()g x 的图象关于直线y x =对称，直线l 与()()1,e 1x g x h x +=-的图象均相切，则l的倾斜角为（）8．已知函数()f x=(1)若12a=，求曲线(2)讨论()f x的单调性；的单调性）1易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最值）1．已知函数()()2ln R x f x kx x kx k =--∈，在()20,e 有且只有一个极值点，则k 的取值范围是（）由图象知要使直线y a=与只需a<0或2e14a+ =，综上所述：易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问题）1．已知函数()3296f x x x x a =-+-（R a ∈）.。

2023届高考复习数学易错题专题(常用逻辑用语)汇编 (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题（常用逻辑用语）汇编1．命题“∀a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为（） A ．∀a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立 B ．∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立 C ．∃a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立 D ．∃a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立 2．使“a b >”成立的一个充分不必要条件是（）A．1a b >+ B．1a b > C．22a b > D．33a b >3．下列命题的否定是真命题的是（）A ．a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根B ．每个正方形都是平行四边形C ．m N N ∃∈D ．存在一个四边形ABCD ，其内角和不等于360°4．“直线m 垂直于平面α内的无数条直线”是“m ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设x >0，y >0，则“x ＋y ＝1”是“xy ≤14”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（多选）下列命题的否定中，真命题的是（）A ．x R ∃∈，2104x x -+，2220x x a +++=D ．所有三角形都有外接圆 7．（多选）下列选项中p 是q 的充分不必要条件的是（）A．:12p x <<，:12q x ≤≤B．:1p xy >，:1q x >，1y > C．1:1p x >，:1q x < D．p ：两直线平行，q ：内错角相等8．已知命题p ：x 2－3x ＋2≤0，命题q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[1，＋∞)C ．{0}D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)9．已知:0p a ≥；:q x R ∀∈，20x ax a -+>，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（多选）已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a 0B ．a 5C ．a 0D ．a 511．(多选)下列命题正确的是( )A ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B ．命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”C ．设x ，y ∈R，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要不充分条件D ．设a ，b ∈R，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件12．命题“0x ∀>11x+≥”的否定是___________. 13．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．14．已知():210110p x q m x m m -≤≤-≤≤+>，:，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是____________．15．命题“x ∃∈R ，210x x ++≤”的否定是______．16．已知命题“2,10x R ax ax ∀∈-+>”为真命题，则实数a 的取值范围是__________.17．设:12m x m α-≤≤，:24x β≤≤，m R ∈，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，则实数m 的取值范围为___________.18．若“∃x ∈[4,6]，x 2－ax －1>0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．19．在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②存在区间()2,4A =，(),3B a a =，使得A B =∅ ，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a ．问题：求解实数a ，使得命题[]:1,2p x ∀∈，20x a -≥，命题:q ______，都是真命题．（若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分.）答案解析1．命题“∀a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为（） A ．∀a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立 B ．∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立 C ．∃a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立 D ．∃a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立【参考答案】D【答案解析】 “∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为：∃a ，b >0， a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2都不成立.2．使“a b >”成立的一个充分不必要条件是（）A．1a b >+ B．1a b > C．22a b > D．33a b >【参考答案】A【答案解析】对于A 选项，若1a b >+，则a b >成立，即充分性成立，反之，若a b >，则 1a b >+不一定成立，所以1a b >+是“a b >”成立的一个充分不必要条件，对于B 选项，当0b <时，由1a b >得a b <，则a b >不成立，即1a b>不是充分条件，不满足条件；对于C 选项，由22a b >，若2a =-，1b =，则a b <，则a b >不一定成立，所以22a b >不是a b >的充分条件，不满足条件，对于D 选项，由33a b >可得a b >，则33a b >是a b >成立的充要条件，不满足题意。

(完整版)高中数学易错题(含答案)

高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。

2023届高考复习数学易错题专题(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)汇编 (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）汇编1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )2．若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1,2]上有最大值4，则a 的值为( )A.38 B ．－3 C.38或－3 D ．43．函数f (x )＝|a x －a |(a >0且a ≠1)的图象可能为( )4．若函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)5．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则x y ＝( )A ．4B ．1C ．4或1D ．546．已知函数f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )．若f (2a －1)<f (a )，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) B.(0,1)C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫0，13 7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋2，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎣⎡⎭⎫34，1 C.⎣⎡⎦⎤23，34 D.⎝⎛⎦⎤23，348．已知函数f (x )的定义域为R ，且在[0，＋∞)上是增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )>g (1)，则x 的取值范围是( )A ．(0,10)B ．(10，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫110，10D ．⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)9．若函数f (x )＝12x 2＋a |x |在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[－6，－4]C ．[2,3]D ．[－3，－2]10．(多选)若实数a ，b 满足log a 2＜log b 2，则下列关系中可能成立的有( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜1＜bC ．a ＞b ＞1D ．0＜b ＜1＜a 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，0≤x <1，log 2(x ＋1)，x ≥1，g (x )＝ax 2＋2x ＋a －1，若对任意的实数x 1∈[0，＋∞)，总存在实数x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，74 B.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，74 D.⎣⎡⎦⎤0，74 12．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6] 13．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝1314．已知函数y ＝ax 2－2x ＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．15．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.16．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝_______.17．已知函数y ＝a 4－ax (a >0且a ≠1)在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．18、已知函数y ＝log 12(6－ax ＋x 2)在[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________．19．已知点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 的图象上，且a >1，b >1，则a ln b 的最大值为________．20．已知函数f (x )＝log a (x ＋3)在区间[－2，－1]上总有|f (x )|<2，则实数a 的取值范围为________．又x ＝0时，y ＝12，没有选项同时符合这3个条件．4．若函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)【参考答案】B【答案解析】令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u ＝2－ax 在定义域上是减函数，要使函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，则函数y ＝log a u 在其定义域上必为增函数，故a >1.当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.综上可知，a 的取值范围是(1,2)．5．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则x y ＝( )A ．4B ．1C ．4或1D ．54 【参考答案】A【答案解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ lg xy ＝lg (x －2y )2，x －2y >0，x >0，y >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝(x －2y )2，①x >2y >0. ②由①得x 2－5xy ＋4y 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫x y 2－5x y＋4＝0，解得x y ＝4或x y ＝1(不满足②，舍去)，∴x y 4. 6．已知函数f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )．若f (2a －1)<f (a )，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) B.(0,1) C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫0，13【参考答案】D【答案解析】由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0可得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．因为f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，所以f (－x )＝ln [1－(－x )2]＝ln(1－x 2)＝f (x )，所以f (x )为偶函数．易知y ＝1－x 2在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增．由f (2a －1)<f (a )可得f (|2a －1|)<f (|a |)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2a －1<1，－1<a <1，|2a －1|>|a |，解得0<a <13.故选D.7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋2，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎣⎡⎭⎫34，1C.⎣⎡⎦⎤23，34D.⎝⎛⎦⎤23，34【参考答案】C 【答案解析】由题意，分段函数f (x )在R 上单调递减，可得对数的底数需满足0<a <1，根据二次函数图象开口向上，二次函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－4a －32上单调递减，可得－4a －32≥0，解得a ≤34.又由[x 2＋(4a －3)x ＋3a ]min ≥[log a (x ＋1)＋2]max ，得3a ≥2，又a ∈(0,1)，解得1>a ≥23.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，34.8．已知函数f (x )的定义域为R ，且在[0，＋∞)上是增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )>g (1)，则x 的取值范围是( )A ．(0,10)B ．(10，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫110，10 D ．⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞) 【参考答案】C【答案解析】∵g (－x )＝－f (|－x |)＝g (x )，∴g (x )是偶函数，又f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴g (x )在[0，＋∞)上是减函数．∵g (lg x )>g (1)，∴g (|lg x |)>g (1)，∴|lg x |<1，解得110<x <10，选C.9．若函数f (x )＝12x 2＋a |x |在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[－6，－4]C ．[2,3]D ．[－3，－2]【参考答案】D【答案解析】f (x )＝12x 2＋a |x |，∵f (－x )＝12(－x )2＋a |－x |＝12x 2＋a |x |＝f (x )，∴f (x )为实数集上的偶函数，∵f (x )在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，∴f (x )在[3,4]上递增，在[1,2]上递减，∴函数f (x )＝12x 2＋a |x |，x >0的对称轴x ＝－a ∈[2,3]，得a ∈[－3，－2]，故选D.10．(多选)若实数a ，b 满足log a 2＜log b 2，则下列关系中可能成立的有( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜1＜bC ．a ＞b ＞1D ．0＜b ＜1＜a【参考答案】ABC【答案解析】当0＜b ＜a ＜1时，log 2b ＜log 2a ＜0，即1log b 2＜1log a 2＜0，故log a 2＜log b 2，A 正确；当0＜a ＜1＜b 时，log b 2＞0，log a 2＜0，故log a 2＜log b 2，B 正确；当a ＞b ＞1时，log 2a ＞log 2b＞0，即1log a 2＞1log b 2＞0，故log a 2＜log b 2，C 正确；当0＜b ＜1＜a 时，log b 2＜0，log a 2＞0，故log a 2＞log b 2，D 错误．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，0≤x <1，log 2(x ＋1)，x ≥1，g (x )＝ax 2＋2x ＋a －1，若对任意的实数x 1∈[0，＋∞)，总存在实数x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，74 B.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，74 D.⎣⎡⎦⎤0，74 【参考答案】D【答案解析】因为对任意的实数x 1∈[0，＋∞)，总存在实数x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以函数f (x )的值域是函数g (x )的值域的子集．当0≤x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1，此时f (x )∈⎣⎡⎦⎤34，1；当x ≥1时，f (x )＝log 2(x ＋1)单调递增，f (x )∈[1，＋∞)，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.对于函数g (x )＝ax 2＋2x ＋a －1，当a ＝0时，函数g (x )＝2x －1在[0，＋∞)上单调递增，此时g (x )的值域为[－1，＋∞)，满足⎣⎡⎭⎫34，＋∞⊆[－1，＋∞)；当a ≠0时，要使函数f (x )的值域是函数g (x )的值域的子集，则二次函数的图象开口必须向上，即a >0，此时函数g (x )的对称轴为x ＝－1a <0，故函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，此时g (x )的值域为[a －1，＋∞)，由⎣⎡⎭⎫34，＋∞⊆[a －1，＋∞)得，a －1≤340<a ≤74.综上可得：实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，74. 12．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6] 【参考答案】C【答案解析】不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2，3]恒成立，等价于a ≥y x 2⎝⎛⎭⎫y x 2，对于x∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立．令t ＝y x ，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立．∵y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝⎛⎭⎫t －142＋18，∴t ＝1时，y max ＝－1，∴a ≥－1，故选C. 13．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝13【参考答案】ACD【答案解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函数f (x )有两个不同的零点，A 正确．因为二次函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，且图象开口向上，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，B 不正确．令t ＝a x ，则f (a x )＝g (t )＝3t 2－6t －1＝3(t －1)2－4.当a ＞1时，1a ≤t ≤a ，故g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上先减后增，又a ＋1a 2＞1，故最大值为g (a )＝3a 2－6a －1＝8，解得a ＝3(负值舍去)．同理当0＜a ＜1时，a ≤t ≤1a ，g (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝3a 2－6a －1＝8，解得a ＝13(负值舍去)．故C 、D 正确．14．已知函数y ＝ax 2－2x ＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【参考答案】(－∞，0]【答案解析】当a ＝0时，y ＝－2x ＋3满足题意；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1a≤2，解得a <0.综上得a ≤0. 15．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.【参考答案】2或12【答案解析】当a >1时，y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上单调递增，所以log a 4－log a 2＝1，解得a＝2；当0<a <1时，y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上单调递减，所以log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.综上可得，a ＝2或12.16．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝_______.【参考答案】－32【答案解析】当a >1时，f (x )在[－1,0]上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，1＋b ＝0，无解．当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝－1，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝－1，a －1＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.17．已知函数y ＝a4－ax (a >0且a ≠1)在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【参考答案】(1,2]【答案解析】令u ＝4－ax ，由于a >0且a ≠1，内层函数u ＝4－ax 在区间[1,2]上为减函数，所以外层函数y ＝a u 为增函数，则有a >1.由题意可知，不等式4－ax ≥0对任意的x ∈[1,2]恒成立，所以4－2a ≥0，解得a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．18、已知函数y ＝log 12(6－ax ＋x 2)在[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【参考答案】[4,5)【答案解析】设u ＝6－ax ＋x 2，∵y ＝log 12u 是减函数，∴函数u 在[1,2]上是减函数．∵u ＝6－ax ＋x 2的对称轴为直线x ＝a 2，∴a 2≥2，且u >0在[1,2]上恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，6－2a ＋4>0，解得4≤a <5，∴实数a 的取值范围为[4,5)． 19．已知点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 的图象上，且a >1，b >1，则a ln b 的最大值为________．【参考答案】e【答案解析】由题意知b ＝e 2a ，则a ln b ＝a ln e 2a ，令t ＝a 2－ln a (t >0)，则ln t ＝ln a 2－ln a ＝－(ln a )2＋2ln a ＝－(ln a －1)2＋1≤1，当ln a ＝1时，“＝”成立，此时ln t ＝1，所以t ＝e ，即a ln b 的最大值为e.20．已知函数f (x )＝log a (x ＋3)在区间[－2，－1]上总有|f (x )|<2，则实数a 的取值范围为________．【参考答案】⎝⎛⎭⎫0，2∪(2，＋∞)．【答案解析】∵x ∈[－2，－1]，∴1≤x ＋3≤2.当a >1时，log a 1≤log a (x ＋3)≤log a 2，即0≤f (x )≤log a 2.∵对任意的x ∈[－2，－1]，|f (x )|<2恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2<2，解得a > 2. 当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋3)≤log a 1，即log a 2≤f (x )≤0.∵对任意的x ∈[－2，－1]，|f (x )|<2恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 2>－2，解得0<a <2. 综上可得，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，2∪(2，＋∞)．。

高考数学易错题专项训练(一)

高考数学易错题专项训练(一)一、正误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A是B的真子集；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.()2.A⊆B说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.()3.若集合A中含有n个元素，则集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个.()4.交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).()5.A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．()6.若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，綈p是綈q的必要不充分条件.()7.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.()8.否命题是原命题的条件与结论同时否定，命题的否定是仅仅否定原命题的结论，而命题的条件不变.()9.函数y＝f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.()10.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)的交点可能是0个、1个或2个.()11.f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.存在既是奇函数又是偶函数的函数：f(x)＝0.()12.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.()13.若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a；若满足f(x＋a)＝1f（x），则f(x)是周期函数，T＝2a(a≠0，a为常数).()14.若f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于x＝a对称；如果f(x)满足f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称.()15.函数y＝a x与y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性.()16.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.如果f(x)在(a，b)上单调，则y＝f(x)在(a，b)内有唯一的零点.()17.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)<0.那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.()18.函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0，且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值；若在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值.()19.f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).()20.f′(x)≥0是可导函数f(x)在x∈(a，b)内是增函数的充要条件；f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要条件.()二、矫正训练(一)选择题(共10小题)1.集合A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}.则下列关系正确的是()A ．A ∪B ＝R B ．A ⊆∁R BC ．B ⊆∁R AD ．∁R A ∁R B2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x 2＋sin xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋sin 2x 4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(13，＋∞) 5.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 7.如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 8.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．－2C ．3或－2D ．129.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}10.已知函数y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0，f (x )＋xf ′(x )>0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124，b ＝2f (2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．a >c >b(二)填空题(共6小题)11.已知命题p ：x 2－2x －3<0，命题q ：x >a ，若命题p 是命题q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.12.如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x >1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.14.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.15.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.16.已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________.参考答案一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.√9.√10.×解析：不符合函数的定义，不会有2个及2个以上的交点.11.√ 12.√ 13.√ 14.√ 15.√16.×解析：不满足零点存在定理的条件，即没有明确图象是连续不断的一条曲线.17.√18.×解析：没有理解函数的极大(小)值的概念，本题把极大值与极小值定义弄反了.19.√20.×解析：错误理解函数单调性与导数的关系.二、1.解析：没有分析清楚集合中的元素导致错误.D [A ＝{x ||x ＋1|≤3}＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，所以∁R B ＝{y |y >2或y <0}，∁R A ＝{x |x <－4或x >2}，所以∁R A∁R B ，选D ．] 2.解析：容易遗漏幂函数的系数是1，且当α>0时，g ＝x α在(0，＋∞)上为增函数而导致错误.B [因为函数为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.因为幂函数在(0，＋∞)上是增函数，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1.选B ．]3.解析：判断函数的奇偶性时，应注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，这一点易忽略.A [函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，所以函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2－cos x 是偶函数；函数f (x )＝2x ＋12x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以函数f (x )＝2x ＋12x 是偶函数；函数f (x )＝x ＋sin 2x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝－x ＋sin(－2x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋sin 2x 是奇函数.故选A ．]4.解析：此类问题易于忽略的是首先判断函数的奇偶性和单调性，从而避免讨论.A [由 f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔13＜x ＜1，故选A ．]5.解析：此类问题易于忽略的是判断函数的单调性和转化到同一单调区间上讨论问题.C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，所以a ＝f (log 0.53)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f (log 23) b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )＝f (0)，因为log 25＞log 23＞0，而f (x )＝2|x |－1在[0，＋∞)上为增函数，所以c ＜a ＜b ，故选C ．]6.解析：忽略了由f (f (a ))＝2f (a )直接得到f (a )≥1，从而解不等式或利用数形结合的方法解决问题.C [由f (f (a ))＝2f (a )可知f (a )≥1，则⎩⎨⎧a ≥12a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1，解得a ≥23，答案选C ．] 7.解析：忽略利用函数的图象求出a ，b 的范围导致错误.C [由函数图象可知00，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选C ．] 8.解析：忽略函数的定义域导致错误.A [函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝x 2－3x ，由y ′＝x 2－3x ＝12，得x 2－x －6＝0，解得x ＝3或x ＝－2(舍去)，选A ．]9.解析：不能分析清楚存在与恒成立的区别导致错误.A [由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题“p ∧q ”是真命题，则p ，q 同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2，即a ≤－2或a ＝1，选A ．] 10.解析：不会构造函数，不能判断函数的奇偶性导致错误.C [令函数F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )为偶函数.当x >0时，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数递增，则a ＝F (log 124)＝F (－log 24)＝F (－2)＝F (2)，b ＝F (2)，c ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝F (－lg 5)＝F (lg 5)，因为0<lg 5<1<2<2，所以a >b >c ，选C ．] 11.解析：忽略从集合的角度解决充要条件的应用问题而导致错误.(－∞，－1] [M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，因为N ＝{x |x >a }且M ⊆N ，所以有a ≤－1.]12.解析：忽略倾斜角的范围以及正切函数的单调性导致错误.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 [由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3，(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以π3≤α<π2.]13.解析：忽略了第一段函数的最大值小于或等于第二段函数的最小值导致错误.(2，3][要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a ≤3.解得2<a ≤3，即a 的取值范围是(2，3].]14.解析：忽略函数的f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0导致错误. (－2，2) [由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2).]15.解析：分段函数的值域是各段函数值域的并集，应首先求出各段函数的值域，易于忽略. (1，2] [当x ≤2，故－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1，所以f 1(x )＞3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2].]16.解析：由于是存在性的问题，易忽略g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值导致错误. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞ [f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，f ′(x )>0函数递增；当x <－1时，f ′(x )<0函数递减，所以当x ＝－1时f (x )取得极小值即最小值f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e .]。

【易错题】高考数学试卷及答案

【易错题】高考数学试卷及答案一、选择题1．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（）A ． 1.2308ˆ.0yx =+ B ．0.0813ˆ.2yx =+ C ． 1.234ˆyx =+ D ． 1.235ˆyx =+ 2．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（）．A ．B ．C ．D ．3．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（）A ．21B ．19C ．9D ．-116．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（） A ．{}22x x -≤>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（）A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈8．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±9．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（） A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+10．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（） A ．28B ．32C ．33D ．2711．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A ．34 B ．16C ．1112D ．252412．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.15．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 16．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ． 17．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）18．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 19．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为．三、解答题21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月用水量的中位数.22．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值.23．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．24．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】【分析】由题意得在线性回归方程ˆy bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到a 的值，进而可得所求方程．【详解】设线性回归方程ˆy bx a =+中，由题意得 1.23b =， ∴ 1.23ˆy x a =+．又回归直线过样本点的中心()4,5， ∴5 1.234a =⨯+， ∴0.08a =，∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+．故选A ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．2．A解析：A 【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩，只有选项A 中的图象符合要求，故选A.3．A解析：A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项．【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．4．B解析：B 【解析】试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.5．C解析：C 【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得1=9m ⇒=,故选C.考点：圆与圆之间的外切关系与判断6．B解析：B 【解析】【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<< {}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.7．D解析：D 【解析】【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．8．A解析：A 【解析】【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.9．D解析：D 【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符；s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D 【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．10．B解析：B 【解析】【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ，其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯，可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 12．C解析：C 【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C ．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．二、填空题13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实解析：(]2,3【解析】【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.16．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为解析：【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==．故答案为．17．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用解析：35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r rr r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.考点：1.二项式定理的展开式应用.18．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令解析：22(2)10x y -+=. 【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径22(52)(10)10-+-=，故圆的方程为22(2)10x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.19．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x +∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n n n a a a a q --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12na a a 取得最大值6264=.考点：等比数列及其应用三、解答题21．(1)； (2)36000；（3）.【解析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.（Ⅲ）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．22．（1）()2239x y -+=（2）【解析】分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出PA PB +．详解：（1）由26cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为226x y x +=，即()2239x y -+=（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--=因为0>，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩所以又因为（2，1）为直线所过定点，1212PA PB t t t t ∴+=+=-==≥=所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．23．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】由不等式的解集和方程的关系，可知12，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可.【详解】解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12，2；由根与系数的关系得55221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-．所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<<所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.24．（1）19；（2）89. 【解析】试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为31279= （2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为31279= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199-= 考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．25．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ (2) 211b e -≤ 【解析】【分析】【详解】分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2⇔1+1x ﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x ﹣lnx x ，g （x ）min 即为所求的b 的值详解：（1）在区间()0,∞+上， ()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '=得1x a =，在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-，即1ln 1+x b x x-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立，令()1ln 1x g x x x =+-，则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=，易得()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()()22min 11g x g e e ==-，即211b e-≤. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >。

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2019高考数学易错题集锦
同学们在高考数学复习时有一些低级错误一个不注意
就非常容易出现，下文高考数学易错题，希望考生们都能掌握。

2019高考数学易错题集锦：
1.集合中元素的特征认识不明。

元素具有确定性，无序性，互异性三种性质。

2.遗忘空集。

A含于B时求集合A，容易遗漏A可以为空集的情况。

比如A 为(x-1)的平方>0，x=1时A为空集，也属于B.求子集或真子集个数时容易漏掉空集。

3.忽视集合中元素的互异性。

4.充分必要条件颠倒致误。

必要不充分和充分不必要的区别——：比如p可以推出q，而q推不出p，就是充分不必要条件，p不可以推出q，而q 却可以推出p，就是必要不充分。

5.对含有量词的命题否定不当。

含有量词的命题的否定，先否定量词，再否定结论。

6.求函数定义域忽视细节致误。

根号内的值必须不能等于0，对数的真数大于等于零，等等。

7.函数单调性的判断错误。

这个就得注意函数的符号，比如f(-x)的单调性与原函数相
反。

8.函数奇偶性判定中常见的两种错误。

判定主要注意1，定义域必须关于原点对称，2，注意奇偶函数的判断定理，化简要小心负号。

9.求解函数值域时忽视自变量的取值范围。

总之有关函数的题，不管是要你求什么，第一步先看定义域，这个是关键。

10.抽象函数中推理不严谨致误。

11.不能实现二次函数，一元二次方程和一元二次不等式的相互转换。

二次函数令y为0→方程→看题目要求是什么→要么方程大于小于0，要么刁塔(那个小三角形)b的平方-4ac大于等于小于0种种。

12.比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。

13.忽略对数函数单调性的限制条件导致失误。

14.函数零点定理使用不当致误。

f(a)xf(b)。