人教版高中数学必修5期末测试题

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人教版高中数学必修五期末检测试卷(附答案)

人教版高中数学必修五期末检测试卷（附答案）一、单选题1．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)等于( )A．8B．－C．±8D．2．等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：①若，且，则和都是中的最大项；②给定，对一切，都有；③若，则中一定有最小项；④存在，使得和同号.其中正确命题的个数为（）A．4B．3C．2D．13．在等比数列中，已知，，则公比的值为A．1或B．1或C．1D．4．若x，y满足，则的取值范围是A．，B．C．D．5．、、、、成等差数列，公差是5，这组数据的标准差为A ．50B．C．100D．106．在数列{a n}中，对任意，都有（k为常数），则称{a n}为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；①等差数列一定是等差比数列；①等比数列一定是等差比数列；①通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（）A．①①B．①①C．①①D．①①7．是任意实数，，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．8．已知，，且，则的最小值是（）A．-2B．-1C．1D．29．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．10．若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．二、填空题11．且当取最大值时，的值为__________________.12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为．13．已知函数的图象与轴相切，若关于的不等式的解集为，则实数的值为_______.14．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为______________.15．已知，且，则的最大值为_____．16．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则其最大内角的余弦值为________．17．在中，内角内角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是______．18．已知且,则当=________时，取得最小值.19．已知实数满足条件,则的最小值为__________．20．已知,则函数的最小值等于______．三、解答题21．已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于0的等比数列，且，，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和为.22．在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹假设一台歼战斗机的制造费用为1250百万元已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若用x表示飞机使用年限取整数，则在x年中含第x年飞机维修费用总和为百万元，记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元，即飞机制造费用飞机维修费用飞机使用年限．。

人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案

数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由，确定的等差数列，当时，序号等于（）Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．1012.中，若，则的面积为（）A．B． C.1 D.3.在数列中，=1，，则的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 1014.已知，函数的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．65.在等比数列中，，，，则项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式的解集为，那么（）A. B. C. D.7.设满足约束条件,则的最大值为（）A． 5 B. 3 C. 7 D. -88.在中,,则此三角形解的情况是（）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解9.在△ABC中，如果，那么cosC等于（）10.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A、63B、108C、75D、83二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.在中，，那么A＝_____________;12.已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分) 已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.16(14分)(1) 求不等式的解集：(2)求函数的定义域：17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。

求：(1)角C的度数；18(12分)若不等式的解集是，(1) 求的值；(2) 求不等式的解集.19（14分）如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．A20（ 14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。

该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷附答案

一、选择题1．已知正数x，y 满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．62．已知实数,x y满足约束条件50x yx yy++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则241z x y=++的最小值是（）A．14-B．1C．5-D．9-3．在各项均为正数的等差数列{}n a中，n S为其前n项和，7S=14，则2614ta a=+的最小值为（）A．9 B．94C．52D．24．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若()sin sin sinc C a A b a B=+-，角C的角平分线交AB于点D，且3CD=，3a b=，则c的值为（）A．72B．473C．3D．235．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75︒，距离为126海里，灯塔C在A 的北偏西30，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则此时灯塔C位于游轮的（）A．正西方向B．南偏西75︒方向C．南偏西60︒方向D．南偏西45︒方向6．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得15BCD∠=︒，45BDC∠=︒，302CD m=，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为( )A． B．C ．60mD ．20m7．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（）A ．43-B ．34-C ．34D ．438．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．4C ．8D ．129．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭10．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（） A ．1629B ．1627C ．1113D ．132911．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（） A ．1011B ．910C ．89D ．212．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，且2C A =，则a =______.15．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，BD =，则ABC 的面积为_________.16．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______． 17．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．18．如图，在四边形ABCD 中，已知AB BC ⊥，5AB =，7AD =，135BCD ∠=︒，1cos 7A =，则BC =________.19．已知数列{}n a 满足112a =，()*112n n a a n +=∈N .设2n n n b a λ-=，*n ∈N ，且数列{}n b 是递增数列，则实数λ的取值范围是________.20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b的最小值；（2）证明：92+a b b aab22．如果x ，y R ∈，比较()222+x y 与()2xy x y +的大小．23．将函数()sin 3cos f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 24．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，且bcos A c ⋅=. （1）求角B ；（2）若ABC的面积为BC 边上的高1AH =，求b ，c . 25．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =．（1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．A解析：A 【分析】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 【详解】解：作出不等式组5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示的阴影部分由241z x y =++可得11244z y x =-+-，则144z -表示直线11244z y x =-+-在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当11244z y x =-+-经过点A 时，z 最小，由500x y x y ++=⎧⎨-=⎩可得5522A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，此时552411422z=-⨯-⨯+=-，故选：A.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.3．B解析：B【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式求得26a a+，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．【详解】由题意172677()7()1422a a a aS++===，∴264a a+=，∴26262614114()()4t a aa a a a=+=++6622262644119(5)(52)444a aa aa a a a=++≥+⋅=，当且仅当62264a aa a=，即622a a=时等号成立．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．4．B解析：B【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C的值，由ABC ACD BCDS S S=+△△△可得出ab a b=+，结合3a b=可求得a、b的值，再利用余弦定理可求得c的值.【详解】()sin sin sinc C a A b a B=+-，由正弦定理可得()22c a b a b=+-，可得222a b c ab+-=，由余弦定理可得：2221cos22a b cCab+-==，0Cπ<<，所以3Cπ=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.5．C解析：C 【分析】根据题设中的方位角画出,ABD ACD ∆∆，在ABD ∆中利用正弦定理可求出AD 的长，在ACD ∆中利用余弦定理求出CD 的长，利用正弦定理求CDA ∠的大小（即灯塔C 的方位角）. 【详解】如图，在ABD ∆中，45B =︒，由正弦定理有126242sin 45sin 603AD AB ===︒︒，24AD =. 在ACD ∆中，余弦定理有2222cos30CD AC AD AC AD =+-⨯⨯︒，因AC =，24AD =，12CD =，由正弦定理有sin 30sin CD AC CDA =︒∠，sin CDA ∠=60CDA ∠=︒或者120CDA ∠=︒.因AD CD >，故CDA ∠为锐角，所以60CDA ∠=︒，故选C. 【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.6．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203BC3tan 30203203ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．7．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=，即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---，故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．8．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.10．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 11．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=，又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是解析：455【分析】画出满足条件的平面区域，结合22(4)z x y =++的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可．【详解】画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，的平面区域，如图所示：而22(4)z x y =++()40-，的距离，显然()40-，到直线240x y -+=的距离是最小值，由8445541d -+==+，得最小值是55， 45．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．14．8【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC 的对边abc 为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8 【分析】根据大边对大角，可得a c <, 可设22,2,22a n b n c n =-==+,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于n 的方程求解即可. 【详解】由题意可得A C <,a c ∴<,又角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，故可设22,2,22,a n b n c n =-==+由2,sin sin 2,sin 2sin cos ,C A C A C A A =∴=∴=sin sin a b A B=,()sin 1cos 2sin 221C c n A A a n +∴===-,由余弦定理得()()()()()()22222224414144cos 222222121n n n b c a n n n A bc n n n n n ++--+-++====+++. 所以()()142121n n n n ++=-+,即()()()2114,n n n +=-+解得5n =,故228a n =-=. 故答案为：8. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.15．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案解析：8【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠，设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=，因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =，所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=，所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=，因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=，在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=，可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 2ABCSAC AB BAC =⋅∠=，【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.16．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：5+. 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩故得到113121323211=5++111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）1111-y x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.18．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角解析：)41【分析】由余弦定理可得8BD =、1cos 2ABD ∠=，由诱导公式可得1sin 2CBD ∠=，进而可得cos CBD ∠=sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=，所以8BD =，所以2221cos 22AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos CBD ∠==，所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠12==，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BD BDC BCD ===∠∠，所以)41BC BDC =∠==.故答案为：)41.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.19．【分析】根据题意可得数列的通项公式代入表示根据数列是递增数列所以得恒成立参变分离以后计算【详解】由可得数列是首项和公比均为的等比数列所以则又因为是递增数列所以恒成立即恒成立所以所以故答案为：【点睛】解析：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得数列{}n a 的通项公式，代入表示n b ，根据数列{}n b 是递增数列，所以得10n n b b +->恒成立，参变分离以后计算.【详解】由()*112n n a a n +=∈N 可得，数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，所以12n n a =，则()222n n nn b n a λλ-==-，又因为{}n b 是递增数列，所以()()()11122222220n n n n n b b n n n λλλ++=+---=+->-恒成立，即220n λ+->恒成立，所以()min 223n λ<+=，所以32λ<. 故答案为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算1n n a a +-判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解min ()a f n <或者max ()a f n >.20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故解析：②③④ 【分析】由题意可得，存在x ∈R ，使244x x -，求得x 值，可得14n na a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案．【详解】解：由存在x ∈R ，使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立，得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．∴14n na a +=．则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确；若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-，故④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n项和的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）45；（2）证明见解析【分析】（1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，，∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a bb aab，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==，所以92+a bb a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.22．()()2222x y xy x y ≥++，当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y y y x x y x y x y x xy y x y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥，223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．()()2222x y xy x y ∴≥++，当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题. 23．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）2或【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象，所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==，因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=±⎭+又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos 126a a π+-⨯⨯=，解得a =，所以12sin26ABCSπ=⨯⨯⨯=，当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯=△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式. 24．（1）6π；（2）b =2c =. 【分析】（1）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ；（2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可. 【详解】解：（1）因为cos b A c =-，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，所以22222b c a c +-=-，即222c a b +-=.由余弦定理可得222cos 22c a b B ac +-==，因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin6AH AH AHBc Bππ∠===.因为ABC的面积为11sin 22ac B a ==，解得a = 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-=4842228+-⨯⨯=，则b = 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）21n a n =-；（2）113n nn S +=-. 【分析】（1）利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求通项公式；（2）由（1）知利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，也符合上式，所以对任意正整数n ，21n a n =-.（2）由（1）得213n n n b -=，所以1312135232133333n n n n n S ---=+++++…，① 234111352321333333…n n n n n S +--=+++++，② -①②，得32121111212333333n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…， 21113311132[1()]12122231333n n n n n -++⨯--+=+-=--，所以113n nn S +=-．【点睛】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和. 26．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1n n a b a =即可求出；（2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】（1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212a b a ==，3313a b a ==，（2）设1n a k +=，n n n A b B =，若n k B ≤，则+1n n n n nk A A b b B =≥=，若n n B k A <<，则+1n n n n A b b B ==，若n k A ≥，则+1n n n nn A k b b B B =≥=，综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==，由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥，当1q =时，1n nA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n n n n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.。

高中数学必修5期末测试卷

精品文档高中数学必修五测试卷在每小题给出的四个选项中，只分.5分，共60小题，每小题一、选择题：（本大题共12 有一项是符合题目要求的。

）) 1,1、设a＞1＞b＞－则下列不等式中恒成立的是(1111222ba C．a＞b＞D．．A B．??baba）2.在等比数列中，已知，则等于（aa}aaaa?8{8n321114．．6 C．12 D A．16 B x?1的解集为( 3．不等式) 2?x A. B. C.D. )??(0,??(??)[?1,??,?1],?[?1,0)1] (y?x?1??4、不等式组的区域面积是( )?y??3x?1??153C．D．A．B．1222??0??a?a0aa a,: 已知首项为正数的等差数列,满足5.2009200920102010n则使其前n项和成立的最大自然数n是（）. 0S?n A. 4016 B. 4017 C. 4018 D. 40196、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）2lglgsinC??lgsinAlgcosB?A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形11的最小值为（若7．设）0.b?a?0,ba?3是3的等比中项，则与3ab1 DB 4C 1 A 8 48、如图:三点在地面同一直线上，，从两点测得点仰角分别是D,BCD,C,a?DCA??????,a，则点离地面的高度等于( )AABA????sinasin?asin?sin A. B. ??????????cossin????sinacos?asin?cos? D . C ???????????sincos BDC、如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一913 个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有个花盆，则底层的花盆的个数是（）精品文档．精品文档169 ．C．127 D．255 A．91 B）n≥3则a与b（}a和正项等比数列{b}，且a=b,a=b,公差d＞0,10、若正项等差数列{n2n-112n-1nnn1）的大小关系是（b≤b≥a． D C．a＞b A．a＜b B．a nnnnnnnn1??，x?0)成立，则的最小值是11、若不等式对于一切( 0ax?1x??a??2??5 D.0 C.－3 －A.2 B. －211??1?n?1n a是非其中的前、已知数列n项和12),,)2,](Sa[2()n1]b[2(n1)(b、a ??????nn22) }使得( 零常数，则存在数列{ yx nn A.为等差数列，{}为等比数列y,其中}{xa?x?y nnnnn y?x}{x?y,其中a都为等比数列}B.为等差数列，{nnnnn y}{x?y,其中a?x }和{都为等差数列 C.nnnnn y},y其中{xa?x?和{D.都为等比数列}nnnnn) 5分，共20分。

【人教版】高中数学必修五期末试卷含答案

一、选择题1．已知实数x ，y 满足221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（）． A ．2B ．3C ．4D ．82．已知2244x y +=，则2211xy +的最小值为（） A ．52B ．9C ．1D ．943．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（）A ．5B ．4C ．2D ．24．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．75．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km6．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B =，且2b ac =，则a cb+ 的值为（） A 2 B 2C ．2D ．47．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2sin a A c C +33b =+，则ABC 的面积的最大值为（） A ．33B ．3C ．23D 38．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABCS =2sin 2sin sin a b cA B C++=++（）ABCD．9．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．210．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－39211．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年12．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．14．已知函数2()4f x x =+，()g x ax =，当[]1,4x ∈时，()f x 的图象总在()g x 图象的上方，则a 的取值范围为_________. 15．在ABC 中，6B π=，D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACDBC =_____________.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，且2C A =，则a =______.17．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为__________海里/小时.18．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a ，35+20a a =，若存在两项,m n a a 使得=32m n a a ，则14m n+的最小值为______ 19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，则数列{1nS }的前n 项和为_____．三、解答题21．设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集；（2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 22．已知定义在R 上的函数2()f x x x k =-+，其中k 为常数．（1）求解关于x 的不等式()f x kx <的解集；（2）若()2f 是()f a 与f b 的等差中项，求+a b 的取值范围．23．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a ，3c sin B =4a sin C ．（1）求cos B ；（2）求sin(2)6B π+的值．24．在①()cos cos 3cos 0C A A B +=，②()cos23cos 1B A C -+=，③3cos sin b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值.25．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；26．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出不等式组221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .【详解】由题意可作图：当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6，此时P 符合：2x my x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值；(4)下结论．2．D解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值．【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为d ==小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C++≥转化为y kx b≤+（或y kx b≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADC AC DAC⨯⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.6．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a c b+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.7．B解析：B 【分析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值．【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+，又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R ===，∵2sin 2sin a A c C +=，∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=，即222a b c R R R +-=2222cos a c b ac BR R +-==，∴3R =，又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===，∴112sin sin sin()2233ABC S ac B A C A A ππ==⨯=-△21sin (cos sin )cos 2sin )3223A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-， ∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABCS 取得最大值+= 故选：B ．【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力．本题属于中档题．8．B解析：B 【分析】由三角形的面积公式可得，4c =，再由余弦定理可得a =，最后由正弦定理可得结果. 【详解】11c sin60=424︒=⋅⋅⋅=∴=ABCSc c由余弦定理可得：22212cos 1612413,2=+-=+-⨯⨯=∴=a b c bc A a由正弦定理可得：2sin sin sin 2sin sin 3++=====++a b c a b c sinA B C A B C 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题目. 9．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 10．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.11．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算．【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．故选：C ．【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．12．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ．【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．二、填空题13．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ．代入目标函数z y x =-，得044z =-=-．所以z y x =-的最小值是4-. 故答案为：4- 【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14．【分析】由参变量分离法可得知不等式对任意的恒成立利用基本不等式求出的最小值即可得出实数的取值范围【详解】由题意可得则从而有由基本不等式可得当且仅当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】解析：(),4-∞【分析】由参变量分离法可得知，不等式4a x x<+对任意的[]1,4x ∈恒成立，利用基本不等式求出4x x+的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得[]1,4x ∀∈，则24x ax +>，从而有4a x x<+，由基本不等式可得44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以，4a <. 因此，实数a 的取值范围是(),4-∞. 故答案为：(),4-∞. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.15．【分析】先由面积公式求出即得再由余弦定理求出进而利用正弦定理求出再在中利用正弦定理即可求出【详解】在中解得是锐角三角形则由余弦定理可得即则在中由正弦定理可得即则则在中即解得故答案为：【点睛】本题考查【分析】先由面积公式求出sin ACD ∠，即得cos ACD ∠，再由余弦定理求出AD ，进而利用正弦定理求出sin A ，再在ABC 中利用正弦定理即可求出. 【详解】在ACD △中，11sin 42sin 22ACDS AC CD ACD ACD =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠=解得sin ACD ∠=ACD △是锐角三角形，1cos 4ACD ∴∠=,则由余弦定理可得222142242164AD =+-⨯⨯⨯=，即4AD =，则在ACD △中，由正弦定理可得sin sin AD CDACD A=∠2sin A =，则sin A =则在ABC 中，sin sin BC ACA B=4128=，解得BC =.【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先在ACD △中，利用面积公式和正余弦定理解出sin A .16．8【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC 的对边abc 为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8 【分析】根据大边对大角，可得a c <, 可设22,2,22a n b n c n =-==+,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于n 的方程求解即可. 【详解】由题意可得A C <,a c ∴<,又角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，故可设22,2,22,a n b n c n =-==+由2,sin sin 2,sin 2sin cos ,C A C A C A A =∴=∴=sin sin a b A B=,()sin 1cos 2sin 221C c n A A a n +∴===-,由余弦定理得()()()()()()22222224414144cos 222222121n n n b c a n n n A bc n n n n n ++--+-++====+++. 所以()()142121n n n n ++=-+,即()()()2114,n n n +=-+解得5n =,故228a n =-=. 故答案为：8. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.17．【解析】如图在△MNO 中由正弦定理可得则这艘船的航行速度(海里/小时)点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题【解析】如图,在△MNO 中，由正弦定理可得，68sin120686346sin 45MN ===则这艘船的航行速度346176v ==海里/小时). 点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．18．【分析】由先求出数列的通项公式由找到把乘以1等量代换最后利用均值定理即可求解【详解】解：设正项等比数列的公比为由又所以所以即当且仅当即时取等号则的最小值为故答案为：【点睛】考查等比数列的性质以及用均解析：34【分析】由28516a a a ，35+20a a =m n a a 找到12m n +=,把14m n +乘以1，等量代换，最后利用均值定理即可求解. 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由28516a a a ，255516,16a a a ==，又35+20a a =，所以34a =，25316=4,24a q q a === 5515=1622n n n n a a q ---=⨯=，=32m n a a ，所以1110222n m m n a a --==，即12m n +=， 141455321212123121234m n n m n m m n m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥+⋅= ⎪⎝⎭ 当且仅当123n mm n=，即4,8m n ==时取等号，则14m n +的最小值为34故答案为：34. 【点睛】考查等比数列的性质以及用均值定理求最小值，基础题.19．32【分析】利用数列的递推公式推导出由此能求出数列的前6项和【详解】∵数列中∴解得∴数列的前6项和为：故答案为：32【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法考查递推公式递推思想等基础知识考查运算求解解析：32 【分析】利用数列的递推公式推导出11a =，由此能求出数列{}n a 的前6项和. 【详解】∵数列{}n a 中，22a =，21n n n a a a ++=+，834a =， ∴32112a a a a =+=+，43211224a a a a a =+=++=+，543162a a a a =+=+，6541103a a a a =+=+， 7651165a a a a =+=+，876126834a a a a =+=+=，解得11a =，∴数列{}n a 的前6项和为：()()()()61111112246210324832S a a a a a a =+++++++++=+=，故答案为：32. 【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法，考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.20．【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{an}的基本量应用等差数列前n 项和公式表示出进而得到数列{}的通项并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式知解得∴由等差数解析：1n n + 【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{a n }的基本量122a d =⎧⎨=⎩，应用等差数列前n项和公式表示出n S ，进而得到数列{1nS }的通项，并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式，知2151451030a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得122a d =⎧⎨=⎩ ∴由等差数列前n 项和公式：22(1)n S n n n n n =+-=+，()n N +∈ 对于数列{1n S }有211111n S n n n n ==-++∴数列{1n S }的前n 项和1111111...1223111n n T nn n n故答案为：1nn + 【点睛】本题考查了等差数列，根据已知量，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程求基本量，进而得到其前n 项和公式，根据新数列与等差数列前n 项和的关系求得数列通项公式，结合裂项法得到新数列的前n 项和公式三、解答题21．（1）13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭；（2）62a -≤≤．【分析】（1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果；（2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式0∆≤，即解得参数范围. 【详解】解：（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以 2 3x x ==，是方程20x ax b -+=的解由韦达定理得： 5 6a b ==，，故不等式210bx ax -+>为26510x x -+>，解不等式26510x x -+>得其解集为13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭（2）当3b a =-时，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则2Δ4(3)0a a =--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以实数a 的取值范围为62a -≤≤．【点睛】二次函数2()f x ax bx c =++的恒成立问题的解决方法：（1）0a >时()0f x ≥在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立；（2）0a <时()0f x ≤在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立．22．（1）详见解析；（2）[]2,4- 【分析】（1）不等式转化为()()10x x k --<，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为224a b a b +--=，再转化为关于+a b 的一元二次不等式.【详解】（1）()2210x x k kx x k x k -+<⇔-++<，整理为()()10x x k --<，当1k <时，不等式的解集是{}1x k x <<，当1k =时，不等式的解集是∅，当1k >时，不等式的解集是{}1x x k <<; （2）由条件可知()()()22f a f b f +=，即2242a a k b b k k -++-+=+，即()()222424a b a b a b ab a b +--=⇔+--+=，()222a b ab +≤，()()()2242a b a b a b +∴+--+≤，()()2280a b a b +-+-≤ ，即()()240a b a b +++-≤，解得：24a b -≤+≤，所以+a b 的范围是[]2,4-. 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，基本不等式，重点考查转化与化归的思想，讨论的思想，计算能力，属于基础题型.23．（1）14-；（2）716-．【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合2b c a +=，把,b c 用a 表示，然后由余弦定理得cos B ；（2）由同角关系求出sin B ，利用二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再由两角和的正弦公式求得结论．【详解】（1）因为3c sin B =4a sin C ，由正弦定理得34cb ac =，所以43b a =，又2b c a +=，所以23c a =，所以222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅．（2）因为(0,)B π∈，所以sin B ==sin 22sin cos 8B B B ==-，27cos 212sin 8B B =-=-，所以sin(2)sin 2coscos 2sin666B B B πππ+=+717()828216=-+-⨯=-．【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 24．条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值. 【详解】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦，()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈. 由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+，()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，当12a =时，()2min 14b =，即b 的最小值为12；若选择②：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=，解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去），又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，代入上式得sin sin cos 3C B C B =，又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B = 又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①）【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.25．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2n n a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=，设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-，设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=，所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.26．（1）21n a n =-；（2）113n n n T +=-. 【分析】（1）根据59a =，13169S =，利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求解. （2）由（1）得到2133n n n n a n b -==，利用数列求和的错位相减法求解. 【详解】（1）因为()11313713131692a a S a +===，所以77513,24a d a a ==-=，解得2d =，所以9(5)221n a n n =+-⋅=-.（2）由（1）得213n nn b -= ，则()231111135213333n nT n =⋅+⋅+⋅++-⋅， ()()23411111111352321333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-，两式相减得：()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭， 1111112193213313n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--， 122233n n ++=-，所以113n n n T +=-. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。

【人教版】高中数学必修五期末试题(带答案)

一、选择题1．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（） A ．3B ．4C ．5D ．62．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，c =S =（） AB．6C ．16D．125．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（） A．BC．D．6．在ABC 中，若2a =，b =30A =︒，则B 等于（） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒7．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（） A ．35mB ．10mC ．490013m D．8．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（） A ．-64B ．-36C ．36D ．649．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫⎪⎝⎭ C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．167,73⎛⎫⎪⎝⎭ 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．611．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（） A ．92B ．103C ．2048D ．102412．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______．14．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.15．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为__________海里/小时.16．给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥；③在ABC 中，若cos cos b A a B =则ABC 为等腰三角形；④若将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是12π.其中正确的结论是________.17．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 18．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．19．给定*1log (2)()n n a n n N +=+∈，则使乘积12k a a a 为整数的()*k k ∈N 称为“和谐数”，则在区间内[1,2020]的所有“和谐数”的和为_______.20．定义：如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列叫“等和数列”，这个常数叫公和．给出下列命题： ①“等和数列”一定是常数数列；②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列； ③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列； ④数列{}n a 是“等和数列”且公和100h =，则其前n 项之和50n S n =；其中，正确的命题为__________．（请填出所有正确命题的序号）三、解答题21．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)22．已知函数()0f x m =≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．23．已知,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边，且5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+. （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积S c ==sin sin B C 的值24．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知)cos cos A c a C =.（1）求c b；（2）若cos 2c A b =，且ABC 的面积为4，求a . 25．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}2log n b 的首项为1，公差为1，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 26．在①121n n S S +=+，②214a =，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn nbc a =，求数列{}n c 的前项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值．【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ．【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．2．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-，平移直线12zy x +=-，由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时，直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值，由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=，可知当直线12zy x +=-，经过点A 时，直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值，由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．3．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ；因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.4．D解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 2C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 2S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．5．B解析：B 【分析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值．【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+，又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=，即2222a b c ac R R R +-=，2222cos 2a c b ac Bac R R+-==，∴3R =，又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===，∴112sin sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A △ππ==⨯⨯⨯=-21sin (sin )cos 2sin )3223A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-，∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABCS += 故选：B ．【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．6．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=，又由a b <，且0180B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒，故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h ，由已知可知3,3OA h OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB 中，由余弦定理得22233352cos150h h h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得521h m =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩ ∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.9．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+，可得数列{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，可得：660a t -≥，770a t -≤，即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤，解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，10．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -，当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=-两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-，所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦，所以5(219)2k <-<，当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4，故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.11．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等解析：()2,1--【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出20a b =<，写出满足条件的一组有序实数对即可．【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．14．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应解析：12【分析】根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然后由()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，利用基本不等式求解.【详解】因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，所以2sin sin sin C A B =+，由正弦定理得2c a b =+，所以()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，()2222231112222a b c c c a b +-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以cos C 的最小值是12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【解析】如图在△MNO 中由正弦定理可得则这艘船的航行速度(海里/小时)点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题【解析】如图,在△MNO 中，由正弦定理可得，68sin120686346sin 45MN ===则这艘船的航行速度346176v ==海里/小时). 点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．16．①③④【分析】将化成后可得图象的对称中心故可判断①的正误；参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出的值从而可判断④的正误【详解】对于①因为故的图解析：①③④ 【分析】将()f x 化成()321f x x -=++后可得图象的对称中心，故可判断①的正误；参变分离后考虑1y x x=-在()0,1上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出ϕ的值，从而可判断④的正误. 【详解】对于①，因为()321f x x -=++，故()f x 的图象可以看出3y x-=向左平移1个单位，向上平移2个单位，故()f x 的图象的对称中心为()1,2-，故①正确. 对于②，考虑方程10x k x -+=在()0,1上有实数根即1k x x=-在()0,1上有实数根，故(),0k ∈-∞，故关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根时，则[)0,k ∈+∞，故②错误. 对于③，由正弦定理得到sin cos sin cos =B A A B ，故()sin 0B A -=，因为(),B A ππ-∈-，故0B A -=即B A =，故③正确. 对于④，平移后得到的图象对应的解析式为sin 223πy x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为该函数为偶函数，故202,32ππφk πk Z ⨯--=+∈，故5,212k ππφk Z =--∈，因为0ϕ>，故min 12πϕ=，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征，注意在三角形中，可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系，而正弦型函数图象的性质，可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论，本题属于中档题.17．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．18．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．【详解】因为0a >，0b >，2b p a a =-与2a qb b=-，所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==，b a =时取等号，所以p q ．故答案为：p q ．【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．19．2026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式：得为整数∴分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为：2026【点睛】考查数列的综解析：2026 【分析】根据换底公式把1log (2)n n a n +=+代入12k a a a ⋯并且化简，转化为lg(2)lg 2k +为整数，即22n k +=，n *∈N ，可求得区间[1,2020]内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式：log log log b a b NN a=，得()231241log 3log 4log 5log 2k k a a a k +=⋯+122lg3lg 4lg5lg(2)lg(2)log (2)lg 2lg3lg 4lg(1)lg 2==++⋯⋅⋅⋅⋅=++k k k a a a k k 为整数，∴22n k +=，n *∈N ，k 分别可取23422,22,22---，最大值222020n -≤，则n 最大可取10，故所有“和谐数”的和为()923104122221818202612-++⋅⋅⋅+-=-=-.故答案为：2026. 【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把12k a a a ⋯化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.20．②【分析】利用等和数列的定义对每一个命题逐一分析判断得解【详解】①等和数列不一定是常数数列如数列是等和数列但是不是常数数列所以该命题错误；②如果一个数列既是等差数列又是等和数列则这个数列一定是常数列解析：② 【分析】利用“等和数列”的定义对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】①“等和数列”不一定是常数数列,如数列1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,是“等和数列”，但是不是常数数列，所以该命题错误；②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列.如果数列{}n a 是等差数列，所以112(2)n n n a a a n +-+=≥，如果数列{}n a 是“等和数列”，所以11+(2),n n n n a a a a n -+=+≥所以11(2),n n a a n -+=≥所以122(2)n n a a n -=≥，所以1(2)n n a a n -=≥，所以这个数列一定是常数列，所以该命题是正确的.③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列. 如果数列{}n a 是等比数列，所以211(2)n n n a a a n +-⋅=≥，如果数列{}n a 是“等和数列”，所以11+(2),n n n n a a a a n -+=+≥所以11(2),n n a a n -+=≥所以221(2)n n a a n -=≥，所以1(2)n n a a n -=±≥，所以这个数列不一定是常数列，所以该命题是错误的.④数列{}n a 是“等和数列”且公和100h =，则其前n 项之和50n S n =，是错误的.举例“等和数列”1,99,1,99,1,其5201505S =≠⨯，所以该命题是错误的. 故答案为：② 【点睛】本题主要考查数列的新定义的理解和应用，考查等差数列和等比数列的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．(1)3. (2)5. 【解析】试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，则由,可得∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 22．（1）4m ≤；（2）94．【分析】（1）函数()2221690f x x x x x m =++-+≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，利用绝对值不等式的性质求得()min g x 即可得解；（2）由（1）可得21432a b a b+=++，然后利用基本不等式计算即可求得74a b +的最小值．【详解】（1）函数()2221690f x x x x x m =++-+≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（2）由（1）知4n =，正数a ，b 满足21432a b a b+=++，所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦54944+≥=，当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时，等号成立，所以74a b +的最小值为94．【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 23．（1）3A π=；（2）12. 【分析】（1）由已知化简可得22cos 5cos 30A A +-=，解出1cos 2A =即可求出角A 的大小；（2）利用面积公式可求得b ，再利用余弦定理可求得a ，进而求出ABC 外接圆直径，得出所求. 【详解】（1）5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+，25cos()22cos 1B C A ∴++=-，22cos 5cos 30A A ∴+-=解得1cos 2A =或cos 3A =-（舍去）.0A π<<，所以3A π=.（2）313sin 223S bc π==，6bc ∴=， 3,c b =∴=由余弦定理得22212369,3a b c bc a =+-=+-==，由正弦定理得ABC外接圆直径2sin 2a R A === 2(2)sin sin 6R B C bc ==，所以1sin sin 2B C =. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简. 24．（1）3；（2）【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】（1）因为)cos cos A c a C =，cos sin sin cos C A C A C -=，()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，而()sin sin A C B +=b =，故3c b =. （2）由（1）知cos 6A =，则sin 6A =，又ABC的面积为21sin 2bc A ==，则3c =，b =由余弦定理得2222cos 27923276a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，解得a =. 【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键.25．（1）21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-⨯+.【分析】（1）由等差数列的前n 项和公式，等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组，解方程组后可得通项公式n a ；（2）由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ，然后由错位相减法求得和n T ．【详解】（1）设{}n a 公差为d ，则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. （2）由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=，2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯，（1） ()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯，（2）（1）－（2）得：2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-，()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．26．条件性选择见解析，（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41n b n =-；（2）()110245n n T n +=+-【分析】（1）选择①②，可以判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由112n n S a +=-可判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择①③根据条件可得()11n n S a n ->=，根据条件不能求出1a 的值，故不能选①③；根据{}n b 的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；（2）利用错位相减法可求解. 【详解】（1）选择①②：由121n n S S +=+⇒当2n ≥时，有121n n S S -=+，两式相减得：12n n a a +=，即112n n a a +=，2n ≥．又当1n =时，有()2112212S S a a =+=+，又∵214a =，∴112a =，2112a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；选择：②③：由112n n S a +=-⇒当2n ≥时，112n n S a -=-，两式相减得：122n n n a a a +=-+，即112n n a a +=，2n ≥．又当1n =时，有12112S a a =-=，又∵214a =，∴112a =，2112a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；选择①③：由121n n S S +=+，112n n S a +=-，则112122n n n S S a ++=+=- 即111n n S a ++=-，所以()11n n S a n =->，，两式相减可得：()1121n n a a n +>=，当1n =时，由121n n S S +=+，得2121S S =+，即()121221a a S a +=+，即1221a a += 由112n n S a +=-，得1212S a =-，即1212a a =-，与上式相同，不能求出1a 的值. 故不能选择①③所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，∵13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列， ∴()23172b b b -=，即()()2322336d d +-=+，解得：4d =或12d =-（舍）， ∴()34141n b n n =+-=-，故12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41n b n =-．（2）()412n n c n -⨯= 所以()1233272112412nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，则()()23123272452412n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得()()22164222412n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯ ()()114126441212n n n -+-=+⨯--⨯-()110254n n +=-+-． ∴()110245n n T n +=+-【点睛】关键点睛：本题考查利用{}n a 与n S 的关系证明等比数列，等差数列基本量的计算，等比数列前n 项和问题，解答本题的关键是错位相减法求和中的计算，即由()1233272112412n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，和()()23123272452412n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯相减得到()()22164222412n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯，属于中档题.。

高中数学必修五期末试卷含答案

一、选择题1．已知实数x ，y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（） A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,32．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（） A．(1,1 B．()1+∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）3．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．36B ．42C ．49D ．604．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．45．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（）AB．C．D6．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S = AB．C ．2 D ．47．在ABC 中，60A ∠=︒，4AC =，BC =ABC 的面积为 A．B ．4C．D8．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．22 C．62- D ．62+ 9．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（） A ．4039B ．4040C ．4041D ．404210．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．911．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（） A ．1011B ．910C ．89D ．212．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（）A ．153B ．190C ．231D ．276二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．14．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，3OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．ABC 的三边边长,,a b c 成递增的等差数列，且最大角等于最小角的2倍，则::a b c =______16．给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥；③在ABC 中，若cos cos b A a B =则ABC 为等腰三角形；④若将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是12π.其中正确的结论是________.17．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则41a b+的最小值为________． 18．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a ，35+20a a =，若存在两项,m n a a 使得=32m n a a ，则14m n+的最小值为______ 19．已知数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，且11a =，()12n n n S a a n *+=∈N ．若11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n T =______． 20．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 三、解答题21．（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.22．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin bC a-=tan cos A C -．（1）求角A 的大小；（2）若b =2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ． 24．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC为锐角三角形，b =2a c -的取值范围. 25．已知数列{}n a 满足：121(21)n n n a q---=，224224231(N )22n n n n n a a a *++⋅⋅⋅+=+∈．（Ⅰ）求2n a ；（Ⅱ）若7553q <<，求数列{}n a 的最小项． 26．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划.2．A解析：A【解析】试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．3．C解析：C 【分析】由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b aa b a b a b++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229494(3)(8)(4)(9)3737249b a b a b aa b a b a b a b++=++=+++=，当且仅当65a =，45b =时取等号．故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．4．B解析：B 【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案.【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5，又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13，即2211x y y x +++的最小值为13，所以3m ≤，则m 的最大值为13；故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．5．B解析：B 【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角，然后用余弦定理得2()33a c ac +-=，再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值．【详解】因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号，所以a c +≤a c+的最大值为故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．6．C解析：C【解析】12sin1202S c==⨯︒，解得c=2.∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12，解得a=，∴24sinaRA===，解得R=2.本题选择C选项.7．C解析：C【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.【详解】因为ABC∆中，60A∠=︒，4AC=，BC=由正弦定理得：sin sinBC ACA B=，所以4sin60sin B︒=，所以sin1B=，所以90,30B C︒︒∠=∠=，所以14sin302ABCS︒∆=⨯⨯= C.【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得sin1B=，从而求得90,30B C︒︒∠=∠=，之后应用三角形面积公式求得结果.8．D解析：D 【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =，所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12==故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040．故选：B ．【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.10．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =，又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果. 【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.二、填空题13．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值解析：23 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c，则由图可知12c ≥，即2c ≥，将2z y x =-化为122zy x =+，观察图形可知，当直线122zy x =+经过点A 时，z 取得最大值，由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23. 【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y bz x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率；（2）z ax by =+，可看作直线a zy x b b=-+的截距问题；（3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：23【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC AB θ=⋅⋅︒==OAB 的面积11sin 1sin 222OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=+13(sin )60)2θθθ==-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为：【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．【分析】由题意可得又最大角等于最小角的倍运用正弦定理求出用余弦定理化简求出边长关系【详解】的三边边长成递增的等差数列最大角为最小角为由正弦定理可得化简可得用余弦定理代入并化简可得：则则移项可得：消去解析：4:5:6【分析】由题意可得2b a c =+，又最大角等于最小角的2倍，运用正弦定理求出2cos a A c =，用余弦定理化简求出边长关系. 【详解】ABC 的三边边长a 、b 、c 成递增的等差数列，2b a c ∴=+，最大角为C ∠，最小角为A ∠， sin sin 2C A ∴=，由正弦定理可得sin sin sin 22sin cos a c c cA C A A A===，化简可得2cos a A c =，用余弦定理代入并化简可得：23220ab a ac bc -+-=，()()2220c a b a a b ---=，则()()20a b c a a b ⎡⎤--+=⎣⎦，a b ≠，则22c a ab =+，移项可得：()()c a c a ab -+=，()2b c a ab -=，消去b 并化简可得23a c =，设4a k =，6c k =，则5b k =，则::4:5:6a bc =.故答案为：4:5:6. 【点睛】本题结合数列知识考查了运用正弦定理和余弦定理来解三角形，探究出三角形根据已知条件得到的三边数量关系，有一定的计算量，需要熟练运用各公式进行化简.16．①③④【分析】将化成后可得图象的对称中心故可判断①的正误；参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出的值从而可判断④的正误【详解】对于①因为故的图解析：①③④ 【分析】将()f x 化成()321f x x -=++后可得图象的对称中心，故可判断①的正误；参变分离后考虑1y x x=-在()0,1上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出ϕ的值，从而可判断④的正误. 【详解】对于①，因为()321f x x -=++，故()f x 的图象可以看出3y x-=向左平移1个单位，向上平移2个单位，故()f x 的图象的对称中心为()1,2-，故①正确. 对于②，考虑方程10x k x -+=在()0,1上有实数根即1k x x=-在()0,1上有实数根，故(),0k ∈-∞，故关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根时，则[)0,k ∈+∞，故②错误. 对于③，由正弦定理得到sin cos sin cos =B A A B ，故()sin 0B A -=，因为(),B A ππ-∈-，故0B A -=即B A =，故③正确. 对于④，平移后得到的图象对应的解析式为sin 223πy x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为该函数为偶函数，故202,32ππφk πk Z ⨯--=+∈，故5,212k ππφk Z =--∈，因为0ϕ>，故min 12πϕ=，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征，注意在三角形中，可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系，而正弦型函数图象的性质，可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论，本题属于中档题.17．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：92【分析】由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案．【详解】0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列，∴2a b +=， ∴()41141141941(52222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即43a =，23b =，取等号，故14a b +的最小值为92．故答案为：92．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．18．【分析】由先求出数列的通项公式由找到把乘以1等量代换最后利用均值定理即可求解【详解】解：设正项等比数列的公比为由又所以所以即当且仅当即时取等号则的最小值为故答案为：【点睛】考查等比数列的性质以及用均解析：34【分析】由28516a a a ，35+20a a =找到12m n +=,把14m n+乘以1，等量代换，最后利用均值定理即可求解. 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由28516a a a ，255516,16a a a ==，又35+20a a =，所以34a =，25316=4,24a q q a ===5515=1622n n n n a a q ---=⨯=，，所以1110222n m m n a a --==，即12m n +=，14145531212123124m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当123n mm n=，即4,8m n ==时取等号，则14m n +的最小值为34故答案为：34. 【点睛】考查等比数列的性质以及用均值定理求最小值，基础题.19．【分析】由得数列的递推关系数列奇数项成等差数列偶数项成等差数列分别求出通项公式后合并可得然后用裂项相消法求和【详解】∵∴两式相减得又∴由且得因此综上∴故答案为：【点睛】本题考查求等差数列的通项公式裂解析：1n n + 【分析】由11n n n a S S ++=-得数列{}n a 的递推关系，数列奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，分别求出通项公式后，合并可得n a ，然后用裂项相消法求和n T ．【详解】∵12n n n S a a +=，∴1122n n n S a a +++=，两式相减得11121222n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-，又10n a +≠，∴22n n a a +-=，由1122S a a =且11a =得22a =，因此2112(1)12(1)21n a a n n n -=+-=+-=-，222(1)22(1)2n a a n n n =+-=+-=，综上，n a n =，*n N ∈，111(1)1n b n n nn ，∴11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++．故答案为：1n n +．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．20．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）[)1,2；（2）见解析【分析】（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；（2）分类讨论法解不等式即可．【详解】解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-， ∴方程23kx +=的解集为1,5，∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-，∴()2f x x =-+，∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩，解得12x ≤<，∴[)1,2A =；（2）∵()2220ax a x +--≥，①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-；当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得1x ≤-，或2x a≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当21a=-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a<-即20a -<<时，解得21x a ≤≤-；3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a-≤≤；综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-；当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-；当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．22．（1）25-；（2）⎛-∞ ⎝⎭，. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴6k <-∴k 的取值范围是(-∞，【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．23．（1）π4A =；（2）a =AD = 【分析】（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =cos 10B =-3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD . 【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos AA A+=，∴cos A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴3a BD ==，又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴AD = 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算. 24．（1）3B π=；（2）()0,3.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角B 的大小；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简2a c -，再由锐角三角形得出C 的范围，进而得出答案．【详解】（1）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+.再由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又()0,B π∈，则3B π=.（2）由3B π=，b =224sin 2sin 4sin 2sin 3a c A C C Cπ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭224sin cos cos sin 2sin 33C C C C ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则62C ππ<<，则0cos 2C <<. 所以2a c -的取值范围为()0,3.25．（Ⅰ）2231n n a n =-；（Ⅱ）25q . 【分析】（Ⅰ）设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，利用122n n n n S S a -=-可求2n a . （2）讨论{}2-1n a 的单调性后可求数列{}21n a -的最小项，结合223n a >可求数列{}n a 的最小项．【详解】解：（Ⅰ）设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，即23122n S n n =+， ∴2131(1)(1)22n S n n -=-+-．则12231(2)n n n n S S n n a -=-=-≥，故()22231n n a n n =≥-，当1n =，21a =，也符合此式， ∴2231n n a n =-．（Ⅱ）222223313313n n a n n ==+>--．考虑奇数项，∵12121n n q a n --=-， ∴[]112121(21)(21)2121(21)(21)n n n n n q q n n q q a a n n n n --+---+-=-=+-+- ()()()111121(21)(21)(21)(21)2222n n q n q q q q q n n n q n n --⎡⎤-+----==+⎢⎥-⎡⎤⎣⎦+⎦-⎣-，又()1112121q q q +=+--， ∵7553q <<，得()112,321q +∈-，而220q ->， ∴当2n ≤时，2121n n a a +-<，当3n ≥时，2121n n a a +->，即奇数项中5a 最小．而25252593n q a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为255q a =．【点睛】思路点睛：数列的最大项最小项，一般根据数列的单调性来处理，如果数列是分段数列，则可以分别讨论各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小项.26．（1）n a n =，2nn b n=；（2）证明见解析；【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410S a =，即可得到1d a =，从而求出{}n a 的通项公式，再由1122n n n n n c T T c c --=-=-，可得{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出{}n c 的通项，最后由n n n c a b =⋅，求出{}n b 的通项公式；（2）依题意可得()()1111112121n n n n n c c c ++=-----，利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为{}n a 为等差数列，且{}n a 前n 项的和为n S ，设其公差为d ，因为410S a =，11a =，所以()11441492a d a d ⨯-+=+，所以11d a ==，所以n a n =，因为11a =，12b =，n n n c a b =⋅，所以1112c a b =⋅=，因为{}n c 的前n 项和为n T 且22n n T c =-，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n c T T c c c c ---=-=---=-，所以()122n n c c n -=≥，所以{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n c =，因为n n n c a b =⋅，所以2nn n n c b a n== （2）因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n c c c +++==-------所以()()()()()()1212231111111n n n c c c c c c c c c ++++------ 122311111111111111212121212121212121n n n n +++=-+-++-=-=-<--------- 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试题(含答案)

一、选择题1．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（） A ．14B ．13C ．12D ．12．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（） A ．8B ．7C ．6D ．33．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．若3,60a b A ===︒，则边c =（） A ．1B ．2C ．4D ．65．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，3a =，2b =，且22cos ac B a b ⋅-=-，则B =（） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（）A．B ．5C．D．7．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④cos BAC ∠=⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（） A．B ．12mC．D．8．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112z x y =+的取值范围是（）A ．514z ≤≤B ．1524z ≤≤ C ．112z ≤≤ D ．312z ≤≤9．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（）A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（） A ．13λ≥B ．15λ>C ．15λ≥D ．0λ>11．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（）A ．1011B ．910C ．89 D ．212．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知2xy x =+，则42x y+的最小值为_________14．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时.16．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．17．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足940a c -<，对任意的x ∈R 都有()0f x >恒成立，则12(2)2(1)(0)⎛⎫ ⎪⎝⎭-+f f f f 的取值范围是_________. 18．在ABC 中，2AB =，4AC =．BC 边上的中线2AD =，则=ABC S △_____．19．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.三、解答题21．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.22．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 23．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.24．在①()cos cos 3cos 0C A A B +=，②()cos23cos 1B A C -+=，③3cos sin 3b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值.25．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a-成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()222221log log +=n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23n mT >恒成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简22211()44u mn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++，则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++ 2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++，当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤，故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 4．C解析：C【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．考点：余弦定理，正弦定理．5．B解析：B 【分析】由余弦定理化简得222b a c -+=，得到cos A =，进而求得3sin 4A =，再由正弦定理，解得1sin 2B =，即可求解. 【详解】在ABC 中，因为22cos 4ac B a b ⋅-=-，由余弦定理可得2222224a c b ac a b ac +-⋅-=-，即2222224a c b a b +--=-，整理得222b ac -+=，所以222cos 2c b a A bc -+==，因为(0,)A π∈，所以3sin 4A ==，又由正弦定理，可得sin sin a b A B=，解得sin 1sin 2b A B a ==，因为(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=，又因为a b >，所以A B >，所以6B π=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.6．C解析：C 【解析】11sin 122224ABC S ac B c c ∆==⨯⨯⨯== ,c =22222cos 132********b ac ac B =+-=+-⨯=-= ,5b = , 252sin 2b R B === ，选C. 7．D解析：D 【分析】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解. 【详解】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3OB =，在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即2223122233h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =；选①②③④，则3AB h =，2AC h =，在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即()2223612222833h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】画出不等式组对应的平面区域，由,x y 都取最大值得出z 的最小值，当z 取最大值时，点(),x y 落在直线250x y +-=上，再结合基本不等式得出z 的最大值.【详解】该不等式组对应的平面区域如下图所示由可行域易知，当4,2x y ==时，112z x y =+取得最小值111442+= 当点(),x y 落在直线250x y +-=上时，112z x y=+取得最大值此时25x y +=，2225224x y xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭ 112542225x y z x y xy xy +∴=+==≥ 当且仅当2x y =，即55,24x y ==时取等号，显然55,24⎛⎫⎪⎝⎭在可行域内即1524z ≤≤ 故选：B 【点睛】关键点睛：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案.9．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论．【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈，故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ．【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．10．A解析：A 【分析】根据1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅，根据d =2，即可求得1a 的值，即可求得n a ，进而可得211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法即可求得n T 的表达式，分析即可得答案. 【详解】因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅ 所以2141214()()[]2a a a a a ++=⋅，整理可得2111(22)2(26)a a a +=⋅+ 解得11a =，所以*12(1)21,n a n n n N =+-=-∈，所以211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1111111111(1+++)45375923212123n T n n n n =-+-+-⋅⋅⋅---+-+=11111111(1)()432123342123n n n n +--=-+++++，因为对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，所以111()042123n n +>++，即13n T <，所以13λ≥. 故选：A【点睛】解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.11．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13．【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正解析：【分析】依题意可得21x y +=，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为2xy x =+，2x xy =+-，所以()()()()2222221(1)42222x y x xy x x xy x y ⎡⎤+-+=+-=+-++⎣⎦，所以2242144x y y x xy +-+=-，所以()()222210x y x y +-++=，所以()2210x y +-=，所以21x y +=，所以42x y +≥=42x y =，即14x =，12y =时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解．【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b 为正实数，2a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时取等号， 32ab ab ∴-≥，230ab ab ∴--≥，即()()310ab ab -+≥解得：3ab ≥或1ab ≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已知条件转换成关于ab 的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．15．【分析】由题意设得到然后在中利用正弦定理求解【详解】如图所示：设船的初始位置为半小时后行驶到两个港口分别位于和所以则设则在中所以利用正弦定理解得所以船速为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际解析：()1031+【分析】由题意，设BA x =，得到CA x =，然后在Rt BDA 中，利用正弦定理求解. 【详解】如图所示：设船的初始位置为A ，半小时后行驶到B ，两个港口分别位于C 和D ，所以45BCA ∠=︒，15CBD ∠=︒，则30CDB ∠=︒，设BA x =，则CA x =，在Rt BDA 中，10DA x =+. 所以利用正弦定理10sin 60sin 30x x+=︒︒，解得)531x =所以船速为)()153110312÷=.故答案为：)1031【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得解析：24【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=，同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=，故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故2cos 4α=, 2. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.17．【分析】用abc 把各函数值表示出来再由已知条件得到abc 之间的关系进而得到不等式恒成立即可求范围【详解】∵∴又由二次函数对任意的都有恒成立知：而∴故∴令即∴若有即可而在上无最大值无最小值但∴故答案为解析：1(,)2+∞【分析】用a 、b 、c 把各函数值表示出来，再由已知条件得到a 、b 、c 之间的关系，进而得到不等式恒成立，即可求范围【详解】 ∵1(0),(),(1),(2)42242a bf c f c f a b c f a b c ==++=++=++ ∴1()2412242(2)2(1)(0)422()884a b f ca b c b c f f f a b c a b c c a a+++++===+-+++-+++ 又由二次函数2()f x ax bx c =++对任意的x ∈R 都有()0f x >恒成立知：2400b ac a ⎧∆=-<⎨>⎩，而940a c -<∴94c b a -<<>，故b a -<<∴2242c b c c a a a ++>>-32t => 即22222422t t b c t t a ++>>- ∴22111211()()228422b c t t a ++>+>-，若221111()(),()()2222f t tg t t =+=- 有max min 12()()84b c f t g t a +>+>即可，而在3,2()t ∈+∞上()f t 无最大值，()g t 无最小值但31()()22g t g >=∴1()12(2)2(1)(0)2f f f f >-+故答案为：1(,)2+∞ 【点睛】本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系，首先由各函数值的表达式代入目标式并化简，再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系，进而构造一元二次函数，根据不等式恒成立，求目标式范围18．【分析】中分别用余弦定理表示再利用解边长再根据余弦定理求角最后根据三角形面积公式求解【详解】设中中解得：中故答案为：【点睛】本题考查解三角形重点考查数形结合分析问题计算能力属于基础题型解析：15【分析】ABD △，ADC 中，分别用余弦定理表示cos ADB ∠，cos ADC ∠，再利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=解边长BC ，再根据余弦定理求角BAC ∠，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】设BD DC x ==，ABD △中，22222cos 224x xADB x +-∠==⋅⋅，ADC 中，22222412cos 224x x ADC x x+--∠==⋅⋅ 180ADB ADC ∠+∠=，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=,212044x x x-∴+=，解得：6x =26BC ∴=， ABC 中，(22224261cos 2244BAC +-∠==-⨯⨯,2115sin 144BAC ⎛⎫∴∠=--= ⎪⎝⎭, 11524152ABCS∴=⨯⨯= 15【点睛】本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题型.19．34【分析】当为奇数时可得当为偶数时利用等差数列的通项公式及前项和公式即可得出【详解】当为奇数时当为偶数时则数列是以为首项的等差数列故答案为:34【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式【分析】当n 为奇数时，20n na a +-=，可得135792a a a a a =====，当n 为偶数时，22n n a a +-=，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可得出. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴ 当n 为奇数时，20n n a a +-= ，135792a a a a a ∴=====，当n 为偶数时，22n n a a +-=，则数列{}2n a 是以23a =为首项，2的等差数列，()()12913924843253422a a a a a a a a a ⨯⎛⎫∴+++=+++++++=⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭34=.故答案为: 34 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，分类讨论、分组求和的方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.20．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-，因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=，将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =，所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+，由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<，所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.三、解答题21．（1）3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（2）4-；（3）0.65 【分析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案；（2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544kx x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案；（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802x x k x ++≥+，求出()()20842x x x +++的最大值，令()()max20841802x x k x ++⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦，即可得出答案. 【详解】（1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204kk x x =---+，即3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以()4544kx x ++≥=+4544k x x+=+，即4x =时，等号成立.所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为18012k +-.（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+，令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x mm++++==+++，由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********h m h ==⨯++=+，所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 22．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽. 【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x米，因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭，由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；（2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 23．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形. 【分析】（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为sin sin B C +=()sin 601B +=求解.【详解】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，所以22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为()0,A π∈，所以120A =.（2）由（1）知()sin sin sin sin 60B C B B +=+-，()1sin sin 6012B B B =+=+=，因为()0,60B ∈，所以6090B +=，解得30,30B C ==，所以ABC 是等腰三角形. 【点睛】方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断． 24．条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值. 【详解】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦，()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B = 又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈. 由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+，()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，当12a =时，()2min 14b =，即b 的最小值为12；若选择②：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=，解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去），又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，sin sin cos C B C B =，又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①）【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 25．（1）21n a n =-；（2）1011.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得答案；（2）求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】（1）111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 1a 符合上式，所以21n a n =-．（2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+， ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++，令120201212021n ->+，解得1010n >，所以最小正整数n 为1011. 【点睛】数列求和的方法技巧：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（1）12n na ；（2）233m <. 【分析】（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项.（2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围.【详解】（1）因为()*224n n S a a n N =-∈，故11224n n S a a --=-，所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且10a ≠，故0n a ≠，故12n n a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n n a . （2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭, 所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m >即233m <. 【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷及答案

一、选择题1．已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．0B ．3C ．4D ．52．若直线l ：()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b +的最小值为（） A ．2 B ．4 CD．3．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则A B =（）A ．{}12x x <≤ B ．{}2x x ≥- C ．{}16x x <≤ D ．{}6x x ≥- 5．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，cos si n c C B -=，则B 的值是（）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 7．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若301C c a =︒==，，ABC ∆的面积为AB．2 C ．34 D ．328．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（）A ．2 B． C ．3 D．9．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（）A ．1008B ．2016C ．2018D ．2020 11．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（） A ．192 B ．212 C ．2155 D ．236612．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（）A ．1B ．1-或2C ．3D ．1- 二、填空题 13．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______. 14．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.15．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，a =24sin cos sin 2A aB b A =，则ABC 外接圆的面积为_________． 16．在ABC 中，2AB =，4AC =，则C ∠的取值范围为______. 17．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______18．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的增函数，则实数m 的取值范围是__________.19．在数列{}n a 中， 11a =，212(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.20．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.三、解答题21．已知函数()()()23f x x a x =-+.（1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+；（2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()21f x x x =-++．（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若()f x 的最小值是m ，且3m a b +=，求212a b +的最小值． 23．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a ，3c sin B =4a sin C ．（1）求cos B ；（2）求sin(2)6B π+的值．24．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知()()()222222222(2)2a b a b c a b c a b a c b ++-=+-++-．（1）若a ＝4，b ＝2，求△ABC 的面积；（2）证明：sin 2sin tan cos 2cos A B C A B+=+． 25．在数列{}n a 中，11a =，()*21221,,k k k a a a k N -+∈成等比数列，公比为0k q >. （Ⅰ）若2k q =，求13521k a a a a -+++⋅⋅⋅+；（Ⅱ）若()*22122,,k k k a a a k N++∈成等差数列，公差为k d ，设11k k b q=-. ①求证：{}n b 为等差数列； ②若12d =，求数列{}k d 的前k 项和k D .26．已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈. （1）证明：数列1{}1n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n n a c n =⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：314n T ≤<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2y x z =-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，因此，解出A 点坐标，代入目标函数，即可得到最大值.【详解】画出满足约束条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩的目标区域，如图所示:由2z x y =+,得2y x z =-+，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，联立20350x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A ，所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=，故选:：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2．B解析：B【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，推出22a b +=，利用基本不等式转化求解21a b+取最小值．【详解】解：圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=，表示以2()1,M -为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，故220a b --+=，即22a b +=， ∴2212222112242a ba b b a b a b a b a b a +++=+=++++，当且仅当22b a a b=，即2a b =时，等号成立，故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．3．B解析：B【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =.故选：B.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 4．C解析：C【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题. 5．C解析：C【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin A a-，sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin b B ， ∵sin sin A b a B-=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．6．C解析：C【分析】cos sin sin B C C B A =-，再由三角恒等变换化简可得sin =B B ，进而可得tan B =.【详解】因为1a =cos si n c C B -=cos sin C c B -=，cos sin sin B C C B A =-，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，in n co c s s os in s s n n i i B C B C C B B C =-，化简得sin sin sin C B B C =-，因为()0,C π∈，()0,B π∈，所以sin 0C ≠，所以sin =B B 即tan B =所以23B π=. 故选：C.【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 7．A解析：A【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积.【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，，由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅，即2320b b -+=，解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.∴ABC ∆的面积为1113sin 132224ab C =⨯⨯⨯=. 故选A .【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解.【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=， ∴2c =，∵sin sin 3sin A B C +=∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长22，以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.9．C解析：C【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】因为2132123n n a a a a a a n--=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=, ()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n n S n n n ⎛⎫=⨯-+-++-= ⎪++⎝⎭，由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥-⎪⎝⎭的n 的最大值为5. 故选：C.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和. 10．C解析：C【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案.由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈； 7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===.而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===，所以满足2021na <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C.【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项. 11．C解析：C【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 12．B解析：B【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解.【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q.故选B.【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用. 二、填空题13．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有12||3C C R r =+=，变形可得：2249a b +=，2222222222222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．14．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.15．【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角的余弦值进而求得角的正弦值以及外接圆半径故可得解【详解】由正弦定理得：则设外接圆的半径为则外接圆的面积为故答案为：【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实解析：7π【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角A 的余弦值，进而求得角A 的正弦值以及外接圆半径，故可得解. 【详解】由正弦定理得：sin sin a bA B=则 sin sin a B b A =24sin cos sin 2Aa Bb A = ∴21cos 24A = ∴21cos 2cos 122A A =-=- ∴2213sin 1cos 122A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭设ABC ∆外接圆的半径为R ，则21227sin 3a R A ===∴7R =ABC ∆外接圆的面积为27S R ππ==．故答案为：7π.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的取值范围【详解】解：在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调解析：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出a 的范围，再结合余弦定理可以用a 表示cos C ，求出cos C 的范围，进而求得C ∠的取值范围. 【详解】解：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意得2c =，4b =，b c a b c -<<+，即26a <<，2222123cos 2882a b c a a C ab a a+-+===+，令()382x f x x =+，所以()2221312'828x f x x x-=-=，所以根据导数与函数单调性的关系得：函数()f x 在(2,上单调递减，在()上单调递增，所以当26x <<时，()f x 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭.所以cos ,12C ⎫∈⎪⎪⎣⎭又因为0πc <<，所以π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.17．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由ACB ∠与BAC ∠，求出ABC ∠的度数，根据sin ACB ∠，sin ABC ∠，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．【详解】解：在ABC ∆中，50AC m =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得：50sin 21sin 2AC ACBAB ABC⨯∠===∠．故答案为：. 【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．【分析】由题意知在上恒成立从而结合一元二次不等式恒成立问题可列出关于的不等式进而可求其取值范围【详解】解：由题意知知在上恒成立则只需解得故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了运用导数探究解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于m 的不等式，进而可求其取值范围. 【详解】解：由题意知，知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，则只需22430m ∆=-⨯⨯≤，解得13m ≥. 故答案为:1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在R 上恒成立问题，如若()200ax bx c a ++≥≠在R 上恒成立，可得00a >⎧⎨∆≤⎩ ；若()200ax bx c a ++≤≠在R 上恒成立，可得00a <⎧⎨∆≤⎩. 19．【分析】利用累加法可求得数列的通项公式【详解】当时符合上式则故答案为：【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式属于基础题解析：12n -【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】11a =，212(2)n n n a a n ---=≥∴()()()121321=+n n n a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-0121+2+2++2n -=⋅⋅⋅()()2212122+2221212n n n ----==+-=-∴12nna ()2,*n n N ≥∈当=1n 时，11a =符合上式，则12n n a .故答案为：12n - 【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题.20．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+，即2123n n a a n +++=+，故22n n a a +-=，由1a a =知2124a a +=， 214242a a a ∴=-=-，32a a =+，462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<，即42262a a a a <-<+<-，解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．三、解答题21．（1）3|2x x ⎧<-⎨⎩或}2x a >+；（2）112a <-或51325a <<. 【分析】（1）对一元二次不等式分解因式，通过72a >-得出322a +>-，可得不等式的解集；（2）关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，可得0∆>，设()22(32)38g x x a x a =+--+，则有()10g >且对称轴小于1，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】（1）∵()()()2346f x x a x x =-+>+ ∴22(12)3(2)0x a x a -+-+>，即()3202x x a ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭73,222a a >-+>-3|2x x ⎧∴<-⎨⎩或}2x a >+（2）解法一：∵22(32)380x a x a +--+=在(–),1∞上有两个不相等实根 ∴2412550a a ∆=+->112a <-或52a > 设()22(32)38g x x a x a =+--+，则()10g > ∴()232380a a +--+>∴135a <，又()g x 的对称轴为324a x -=-，∴3214a--<，∴72a < ∴综上112a <-或51325a <<. 解法二：∵22(32)380x a x a +--+=在(,1)-∞上有两个不相等实根∴223823x x a x ++=+令2238()23x x g x x ++=+令()()23,00,5t x =+∈-∞则2316()2t t g t t-+=，即183()22g t t t =+-由图象可知，该题转化为y a =与18322y t t =+-有两个不同的交点 ∴112a <-或51325a << 【点睛】方法点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根的分布，考查了学生计算能力，不妨设一元二次方程所对应的二次函数()f x 开口向上，则两根都小于k 时，则()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩； 2.两根都大于k 时，则()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ 3.一根小于k ，一根大于k 时，则()0f k <．22．（1）[]23，-；（2）92．【分析】（1）将()f x 解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得()5f x ≤时的解集；从而得出答案；（2）先由（1）求出()f x 的最小值3m =，所以得1a b +=；再将212a b+构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值. 【详解】解：（1）21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，()5f x ≤等价于1,215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或2215x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤≤-或12x -<<或23x ≤≤．故不等式()5f x ≤的解集为[]23，-. （2）由（1）可知3m =，则1a b +=，则21212559()2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当23a =，13b =时，等号成立）．故212a b +最小值为92．【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 23．（1）14-；（2）．【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合2b c a +=，把,b c 用a 表示，然后由余弦定理得cos B ；（2）由同角关系求出sin B ，利用二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再由两角和的正弦公式求得结论．【详解】（1）因为3c sin B =4a sin C ，由正弦定理得34cb ac =，所以43b a =，又2b c a +=，所以23c a =，所以222222416199cos 22423a a aa cb B ac a a +-+-===-⋅．（2）因为(0,)B π∈，所以sin 4B ==sin 22sin cos B B B ==，27cos 212sin 8B B =-=-，所以sin(2)sin 2coscos 2sin666B B B πππ+=+717()828216=-+-⨯=-．【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.24．（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知可得210c =，由余弦定理可求cos C ，进而求得sin C ，再由面积公式即可求出；（2）根据已知条件由余弦定理可得(2)cos (cos 2cos )a b C c A B +=+，再由正弦定理可得(sin 2sin )cos sin (cos 2cos )A B C C A B +=+，即可得证. 【详解】解：（1）因为a ＝4，b ＝2，所以()()()222820412412ccc -=-++，解得210c =，则2225cos 28a b c C ab +-==，所以sin 8C =，故△ABC 的面积11sin 4222S ab C ==⨯⨯=（2）证明：因为()()()222222222(2)2a b a b ca bc a b a c b ++-=+-++-，所以2222222222(2)24222a b c b c a a c b ab a b abc abc ab bc ac+-+-+-+⋅=⋅+⋅，即(2)cos (cos 2cos )a b C c A B +=+，由正弦定理得(sin 2sin )cos sin (cos 2cos )A B C C A B +=+，故sin 2sin tan cos 2cos A BC A B+=+，得证．【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用条件结合正余弦定理进行化简，尤其是第二问需先利用余弦定理对条件进行转化化简.25．（Ⅰ）413-k ；（Ⅱ）①证明见解析；②(3)2+=k k k D .【分析】（Ⅰ）根据题中条件，得到221214k k k a q a +-==，求出21k a -的通项，利用等比数列的求和公式，即可求出结果；（Ⅱ）①先由条件，得到212222k k k a a a ++=+，推出112k kq q +=+，得出11k k b b +-=，即可证明数列是等差数列；②根据12d =，由①的结论，根据等差数列的通项公式，求出k b ，推出11k q k=+，得到221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据212k k k d a a +=-，求出{}k d 的通项，判断其是等差数列，由等差数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）由已知，221214k k k a q a +-==，所以1214k k a --=，又11a =，所以数列{}21k a -是以1为首项，以4为公比的等比数列，所以()132111414413k k k a a a -⨯-=-++⋅⋅⋅+=-；（Ⅱ）①对任意的*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等差数列，所以212222k k k a a a ++=+，即22221212k k k k a a a a +++=+，即112k kq q +=+，所以111111111k k kq q q +==+---，即11k k b b +-=，所以{}n b 成等差数列，其公差为1.②若12d =，则21a q =，231a q =，322a a -=，所以21120q q --=，又0k q >，所以12q =，从而111111k k k q q =+-=--，即11k q k=+. 所以221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得235212111323k k k a a a a a k a a a ---=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=，则221(1)k k k a a q k k -==+，所以2212(1)(1)1k k k d a a k k k k +=-=+-+=+，即{}k d 为等差数列，所以()1(3)22k k k d d k k D ++==.【点睛】思路点睛：求解等差数列与等比数列的综合问题时，一般需要根据等差数列与等比数列的通项公式，以及求和公式，进行求解.（有时需要根据递推公式，先证明数列是等差数列或等比数列，再进一步求解）26．（1）证明见解析，21n n a n +=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据已知，表示出1111111n n n n a a a a -----=-=，然后代入11111n n a a ----计算可得1，所以证明出数列1{}1n a -是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出 1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅，然后利用裂项相消法计算前n 项和n T ，再判断出数列的单调性，即可证明.【详解】（1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=，所以1111111111111111n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---，所以数列1{}1n a -为首项为111a -，公差为1的等差数列. 又132a =，1121a =-，所以111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为21n n a n +=+，所以1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅. 所以121n n n T c c c c -=++⋅⋅⋅++1121111111112222322(1)2(1)2n n nn n n -=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅，即11(1)2n nT n =-+⋅，显然1n T <，另一方面， 111111121(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n n n T T n n n n n n ---+-=---=-=>+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅，故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=，因此，314n T ≤<. 【点睛】常见的数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷(附答案)(1)

一、选择题1．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（） A ．6B ．7C ．8D ．92．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（） A ．2B ．1C ．2D．223．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（） A ．[]2,4B ．42,2⎡⎤⎣⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D ．([)41,22,⎤⋃+∞⎦4．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒6．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.AB．3C．3D ．8．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，若a =b =45B =︒，则A =（）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒9．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年10．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（）． A ．12B ．11C ．10D ．911．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--12．已知数列{}n a的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（） A ．42B ．43C ．44D ．45二、填空题13．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 14．已知1,1,1,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩当z x y =+取到最小值时，xy 的最大值为________.15．已知0,0a b >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.16．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．17．如图，三个全等的三角形ABF ，BCD ，CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，则tan ACE ∠的值为__________.18．在ABC 中，2AB =，4AC =．BC 边上的中线2AD =，则=ABC S △_____． 19．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3n n a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.22．已知函数2()(3)2f x ax a x =+-+（其中a ∈R ）. （1）当a ＝－1时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若()1f x ≥-的解集为R ，求实数a 的取值范围.23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围.24．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且60AB BC m ==，求建筑物的高度．25．在数列{}n a 中，已知12a =，且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，*n ∈N . （1）设1nn a b n=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式；（2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150x x y =⎧⎨+-=⎩，解得A （1，4），化目标函数z ＝x +2y ﹣1为y 1222x z =-++，由图可知，当直线y 1222x z =-++过A 时，z 有最大值为8．故选C ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．2．D解析：D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可．详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2，∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2()()a b a c++=22，当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．3．B解析：B【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A，B两点求得a值，则答案可求．【详解】解：由约束条件40,20,1xyy x-⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥.故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭，当0a =时，z x ay =+无最小值；当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值．当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.5．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.6．B解析：B 【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到,a b 之间的关系，从而确定出三角形的形状. 【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=，所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形，故选：B. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用()sin sin C A B =+，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状. 7．B解析：B 【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin120sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，所以·sin 4sin45sin sin60CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：AB =所以A 与B的距离AB = 故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．8．C解析：C 【解析】∵45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin 2a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C9．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算．【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．故选：C ．【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．10．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.11．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =，当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.12．B解析：B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数．【详解】解：由题意，可知：n a ===1n n =-+． 12n n S a a a ∴=++⋯+1=1= 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．二、填空题13．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：1[,)4+∞.【分析】利用基本不等式求得24xx +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立，即24xx +在[]1,3x ∈的最大值为14，又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞.故答案为：1[,)4+∞.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24xx +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示：将目标函数变形为由图可知当直线与直线重解析：14【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为y x z =-+，通过平移可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，再利用基本不等式求解即可.【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，由图可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，此时1x y +=，所以21()24x y xy +≤=，当且仅当x y =且1x y +=，即12x y ==时等号成立. 所以xy 的最大值为14. 故答案为：14【点睛】本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.15．【分析】先利用基本不等式求得的最小值进而求得的最小值即可得到答案【详解】由题意设又由当且仅当时即时等号成立即的最小值为所以的最小值是故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题其中解答中先解析：623【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案. 【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++，又由()32336(2)[(2)2(2)]()9992222a b a b a b a b +++++⋅+=++≥+=+++++，当且仅当()326(2)=22a b a b ++++时，即22)a b +=+时等号成立，即z 的最小值为9+2+a b 的最小值是3.故答案为3. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16．【分析】利用正弦定理得到再根据有两解得到计算得到答案【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理有两解意在考查学生的计算能力解析：(3,【分析】利用正弦定理得到sinA =，再根据ABC ∆有两解得到sin sin 1B A <=<，计算得到答案. 【详解】由正弦定理得：sinsin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：sin sin 13B A x <=<⇒<<故答案为(3, 【点睛】本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力.17．【分析】首先设中利用正弦定理表示的值【详解】设因为三角形互为全等三角形且是等边三角形所以且在中根据正弦定理有所以所以即故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理三角函数恒等变换属于中档题型解析：7【分析】首先设AE x =，CBD ACE θ∠=∠=，CBD 中，CD AE x ==,3BD x =,6060BCE ACE θ∠=-∠=-,利用正弦定理表示tan ACE ∠的值. 【详解】设AE x =，22EF AE x ==，因为三角形ABF ，BCD ，CAE 互为全等三角形，且ABC 是等边三角形，所以CBD ACE θ∠=∠=，CD AE x ==，3BD AF AE EF x ==+=，且6060BCE ACE θ∠=-∠=-,在CDB △中，根据正弦定理有sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，所以()3sin sin 60x x θθ=-，所以()313sin sin 60cos sin 2θθθθ=-=-，即73sin cos 2θθ=，sin 3tan cos θθθ==. 故答案为：3【点睛】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.18．【分析】中分别用余弦定理表示再利用解边长再根据余弦定理求角最后根据三角形面积公式求解【详解】设中中解得：中故答案为：【点睛】本题考查解三角形重点考查数形结合分析问题计算能力属于基础题型解析：15【分析】ABD △，ADC 中，分别用余弦定理表示cos ADB ∠，cos ADC ∠，再利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=解边长BC ，再根据余弦定理求角BAC ∠，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】设BD DC x ==，ABD △中，22222cos 224x xADB x +-∠==⋅⋅，ADC 中，22222412cos 224x x ADC x x+--∠==⋅⋅ 180ADB ADC ∠+∠=，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=,212044x x x-∴+=，解得：x =BC ∴=，ABC 中，(222241cos 2244BAC +-∠==-⨯⨯,sin BAC ∴∠==,12424ABCS∴=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题型.19．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n nnc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<；若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=，利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故解析：②③④ 【分析】由题意可得，存在x ∈R ，使244x x -，求得x 值，可得14n na a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案．【详解】解：由存在x ∈R ，使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立，得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．∴14n na a +=．则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确；若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-，故④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n 项和的求法，属于中档题．三、解答题21．(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞【分析】(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）； (2) 利用一元二次不等式的解法即可得出．【详解】(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ， ∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ，∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1 ∴f （x ）＝x 2﹣x+1．(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0．化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1． ∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题. 22．（1）(2)(62)-∞-+∞，，；（2）99a -+≤【分析】（1）当0a =时，解一元二次不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）化简不等式()1f x ≥-，对a 分成0a ≠和0a >两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =-时，由()0f x <得，2420x x --+<，所以2420x x +->，所以不等式的解集为(2)(62)-∞-+∞，，；（2）因为()1f x ≥-解集为R ，所以2(3)21ax a x +-+-≥在R 恒成立，当0a =时，得321x -+-≥，不合题意；当0a ≠时，由2(3)30ax a x +-+≥在R 恒成立，得()203120a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以99a -+≤ 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 23．（1）π3；（2）()1,4. 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简已知即得解；（2）先求出ππ62C <<，再利用正弦定理求出1tan b C=+，即得解. 【详解】（1）因为22cos b c a C -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=，又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=，所以2cos sin sin 0A C C -=.因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为()0,πA ∈，所以π3A =. （2）由（1）得π3A =，根据题意得π0,2ππ,32C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得ππ62C <<.在ABC 中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以π2sin sin sin 31sin sin sin tan C c B C C b C C C C⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====+. 因为ππ62C <<，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0,3，所以()11,4+. 故b 的取值范围为()1,4. 【点睛】易错点睛：本题求b 的取值范围，利用的是函数的方法，学生容易把C 的范围求错，简单认为(0,)2C π∈，解不等式π0,2ππ,32C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩得到的才是正确范围.24．【分析】设建筑物的高度为h ，可求出,,PA PB PC ，在PBA △和PBC 中，分别由余弦定理，再利用180PBA PBC ∠+∠=余弦互补即可求解. 【详解】设点P 在平面中的射影为点D ，设建筑物的高度为h ，则PD h =，2PA h =，2PB h =，23PC =，所以在PBA △和PBC 中，分别由余弦定理，得222cos 2602PBA h∠=⨯⨯①22246023cos 2602h h PBC h+-∠=⨯⨯② ∵180PBA PBC ∠+∠=， ∴cos cos 0PBA PBC ∠+∠=．③由①②③，解得6h =306h =-(舍去)，即建筑物的高度为306．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是熟练运用余弦定理，利用两角互补余弦值互为相反数列方程. 25．（1）12n n b -=；（2）22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【分析】（1）由定义证明数列{}n b 是等比数列，得出数列{}n b 的通项公式；（2）由{}n b 的通项公式求出n a ，再由错位相减法以及分组求出法得出数列{}n a 的前n 项和n T . 【详解】解：（1）因为12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，所以1211n n a an n+=⋅-+ 所以11211n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，又1111a -=所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n nb -=.（2）由（1）知，()()111212n n n n n a b n n n --=+⋅=+=⋅+⋅所以()21(1)11223222n n n n T n -+=⨯+⨯+⨯++⋅+设211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅① 232S 1222322n n n =⨯+⨯+⨯++⋅②①-②得211212222?212nn nn n S n n ---=++++-⋅=--所以(1)21n n S n =-⋅+所以22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，对于求{}n a 的前n 项和，关键是利用错位相减法结合分组求和得出n T .26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析．【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立．当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++，123n n T b b b b =+++11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+；故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。

【人教版】高中数学必修五期末试题附答案

一、选择题1．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（） A ．9 B ．94C ．52D ．23．不等式112x x ->+的解集是（）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R4．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72︒的等腰三角形（另一种是两底角为36︒的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，51BC AC -=．根据这些信息，可得sin54︒=（）．A 15+ B 35+ C 45+ D 125- 5．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°B ．30°C ．60°D ．120°6．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（） A．,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．1,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭ C．,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（）ABCD．108．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．4C ．8D ．129．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（） A ．52-B ．116C ．332D ．110．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（） A ．23B ．45C ．32D ．5411．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28a =-，390n S -=，228n S =，则n =（） A ．10B ．11C ．12D ．1312．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t+的最小值是____________. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，①若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；②若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形；③若222cos cos cos 1A B C +-=，则△ABC 为直角三角形；④若△ABC 为锐角三角形，则sin A <cos B ．以上结论中正确的有____________.（填正确结论的序号）15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 、1h ，A ，B 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h ．若合理安排生产可使收入最大为______元．17．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2b =，2a c =，则当角C 取最大值时，△ABC 的面积为__________．19．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______． 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+⎪⎝⎭，则2018S =______. 三、解答题21．已知函数2(1)2f x x x =++（1）求关于x 的不等式2()(0)f x b b ≥≥的解集；（2）若不等式22[()]2()10f x mf x m -+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立，求m 的取值范围．22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c =-+-.（1）求A ；（2）若2c =，试问b 的值是否可能为5?若可能，求ABC 的周长；若不可能，请说明理由.24．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角C 为23π，且()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++．（1）求::a b c 的值；（2）若ABC 的内切圆的半径332r =-，求ABC 的面积．25．在数列{}n a 中，已知12a =，且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，*n ∈N . （1）设1nn a b n=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .26．若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：1,2,3,4,5,；② 等比数列：11111,,,,24816--；（2）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+，根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.2．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．【详解】由题意172677()7()1422a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++62264119(5)(5444a a a a =++≥+=，当且仅当62264a a a a =，即622a a =时等号成立．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．3．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+，即302x <+，则有20x +<，解得2x <-，所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.4．A解析：A 【分析】在ABC ，由正弦定理可知sin sin BC BAC AC ABC ∠=∠可得cos36︒=，进而根据诱导公式得sin54cos36︒== 【详解】在ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin 3611sin sin 722sin 36cos362cos362BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠=====∠，∴cos36︒== 由诱导公式()sin54sin 9036cos36︒=-=，所以sin54︒=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴2222a b c cosC ab +-==又∵C 为三角形内角 ∴30C =︒. 故选B ．【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题．6．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论．【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+，由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos cos()cos A A A C A A ==∈-⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．7．C解析：C 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠．【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ，易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=，在Rt ADE ∆中，AD ==AC在ACD ∆中，由余弦定理得2222521310cos 210252AC AD CD DAC AC AD +-+-∠===⋅⨯⨯，故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．8．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解．【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=，则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--，所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立，所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=，当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<，因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332．故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；10．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果.【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+，因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和，所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==，则95959459S a T b ==，5545a b =，故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.11．C解析：C 【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得313n n n S S a ---=，从而求得146n a -=，然后由121()()22n n n n a a n a a S -++==求解. 【详解】由题意得322890138n n S S --=-=，所以13138n a -=. 所以146n a -=. 所以121()()1922822n n n n a a n a a S n -++====，故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.12．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+，所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+，所以242a a +=，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.二、填空题13．【分析】变换得到利用均值不等式计算得到答案【详解】当且时即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值意在考查学生的计算能力和转化能力解析：716变换得到22816132s ts s s t s s t+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=，222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-+=+，当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163t =时等号成立. 故答案为：716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．①③【分析】结合三角形的性质三角函数的性质及正弦定理对四个结论逐个分析可选出答案【详解】对于①由正弦定理所以由sinA ＞sinB 可推出则即①正确；对于②取则而△ABC 不是等腰三角形即②错误；对于③则解析：①③ 【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案. 【详解】对于①，由正弦定理sin sin a b A B=，所以由sin A ＞sin B ，可推出a b >，则A B >，即①正确；对于②，取15,75A B ︒︒==，则sin 2sin 2A B =，而△ABC 不是等腰三角形，即②错误；对于③，()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1A B C A B C +-=-+---=，则222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，故△ABC 为直角三角形，即③正确；对于④，若△ABC 为锐角三角形，取80,40A B ︒︒==，此时sin80cos40sin50︒︒︒>=，即sin cos A B >，故④错误. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.15．【分析】由余弦定理直接进行计算即可得的值根据正弦定理可求结合大边对大角可求的值【详解】解：由余弦定理得：则由正弦定理可得：为锐角故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理在解三角形中的应用考查计解析：6π 【分析】由余弦定理直接进行计算即可得b 的值，根据正弦定理可求sin C ，结合大边对大角可求C 的值．【详解】解：4a =，2c =，60B =︒， ∴由余弦定理得：22212cos 164242208122b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=-=，则b =∴由正弦定理sin sin b cB C=，可得：2·sin 1sin 2c B C b ===， c a <，C 为锐角，6C π∴=．故答案为：6π．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力．16．800000【分析】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元列出实际问题中xy 所需满足的条件作出可行域数形结合求出目标函数的最大值【详解】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元目标函数为需要满解析：800000 【分析】设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，列出实际问题中x 、y 所需满足的条件，作出可行域，数形结合求出目标函数30002000z x y =+的最大值. 【详解】设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是2400250000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，作出可行域如图所示，目标函数30002000z x y =+可转化直线3122000y x z =-+，数形结合知当直线经过点A 时z 取得最大值．解方程组24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩，可得点()200,100A ，则z 的最大值为30002002000100z =⨯+⨯=800000元．故答案为：800000 【点睛】本题考查线性规划解决实际问题，属于基础题.17．【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成解析：(1,)+∞【分析】由题中定义得出()()f x a f x +>，作差变形后得出22313304ax a x a a ++->对任意的x ∈R 恒成立，结合0a >得出∆<0，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为函数()y f x =是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立，由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭．因此，实数a 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.18．【分析】由余弦定理可得再利用基本不等式的性质可得的最大值再利用三角形面积计算公式即可得出【详解】解：在中由余弦定理可得：时取等号此时当取最大值时的面积故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理基本不等式的解析：3【分析】由余弦定理可得cos C ，再利用基本不等式的性质可得C 的最大值，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】解：2b =，2a c =，∴在ABC ∆中，由余弦定理可得：22222441311cos ()22222242a b c c c c C ab c c +-+-===+⨯⨯⨯=，(0,)C π∈，3c =时取等号．此时，3a =， 06Cπ∴<，∴当C 取最大值6π时，ABC 的面积11222S =⨯=故答案为：3．【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的等差数列，将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.20．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N*∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）(,1][5,)-∞-⋃+∞．【分析】（1）根据条件即[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，再分0b >和0b =两种情况写出不等式的解集.（2）令()t f x =，则[0,4]t ∈，即22210t mt m -+-≥在[0,4]t ∈上恒成立,从而求出答案. 【详解】解：（1）由2()f x b ≥得：22210x x b ++-≥，∴[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，①当0b >时，11b b -+>--，所以不等式的解集为{1 1}xx b x b ≥-+≤--∣或； ②当0b =时，111b b -+=--=-，2(1)0x +≥，所以不等式的解集为R ．（2）函数22()[()]2()10g x f x mf x m =-+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立等价于min ()0g x ≥，令()t f x =，又∵[2,1]x ∈-，∴[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，由1t m ≥+对[0,4]t ∈恒成立知：1m ≤-，由1t m ≤-对[0,4]t ∈恒成立知：5m ≥，综上所述，m 的取值范围为(,1][5,)-∞-⋃+∞．【点睛】关键点睛：本题考查解含参数的二次不等式和二次不等式恒成立求参数的范围问题，解答本题的关键是令()t f x =，[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，属于中档题.22．（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞．【分析】（1）由p 为真命题，若()[]()220,1f x x x =-∈，只需()2min 3f x m m ≥-恒成立，即可求m 的取值范围；（2）若q 为真时1m ，结合已知条件：讨论p 真q 假、p 假q 真，分别求得m 的范围，取并集即可.解：（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，令()[]()220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-，当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤．因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ；故当命题q 为真时，1m ．又∵p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩，得12m <≤；当p 假q 真时，有1m <或2m >，且1m ，得1m <．综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞．【点睛】关键点点睛：（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有()2min 3f x m m ≥-求参数范围.（2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可. 23．（1）3A π=；（2）不可能，理由见解析.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求出；（2）由余弦定理得出cos 0B <，得出B 为钝角，与已知矛盾. 【详解】解：（1）因为2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c =-+-，由正弦定理可得22(2)(2)a b c b c b c =-+-，即222a b c bc =+-. 再由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =. 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）假设5b =，则由余弦定理，得2222cos 19a b c bc A =+-=，所以22219425cos 022a c b B ac ac+-+-==<，所以B 为钝角，这与ABC 为锐角三角形矛盾，故b 的值不可能为5.24．（1）1:1:2.（1）利用诱导公式可将已知等式化简得到sin sin A B =，知A B =，a b =，由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，由此可求得结果；（2）根据()12ABC S a b c r =++⋅△和1sin 2ABCS ab C =，根据（1）中c =，可构造方程求得a ，代入可得所求面积. 【详解】（1）A B C π++=，()sin sin A C B ∴+=，()sin sin B C A +=，()cos cos A B C +=-，由()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++得：2sin 2sin cos 2sin cos sin 3B A C A A π=-=-=，A B ∴=，a b =，2::sin :sin :sin sin:sin:sin1:1:663a b c A B C πππ∴=== （2）由（1）知：c =，()()1132222ABCSa b c r a ⎫=++⋅=⎪⎭，又21sin 2ABCSab C ==，(232224a⎫⎪⎝⎭∴=，解得：1a =，244ABCSa ∴==. 【点睛】关键点点睛：第二问求解三角形面积的关键是能够利用两种不同方式表示出所求三角形的面积，即()11sin 22S a b c r ab C =++⋅=，从而构造方程求得所需的边长. 25．（1）12n n b -=；（2）22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【分析】（1）由定义证明数列{}n b 是等比数列，得出数列{}n b 的通项公式；（2）由{}n b 的通项公式求出n a ，再由错位相减法以及分组求出法得出数列{}n a 的前n 项和n T . 【详解】解：（1）因为12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，所以1211n n a an n+=⋅-+所以11211n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，又1111a -=所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n nb -=.（2）由（1）知，()()111212n n n n n a b n n n --=+⋅=+=⋅+⋅所以()21(1)11223222n n n n T n -+=⨯+⨯+⨯++⋅+设211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅① 232S 1222322n n n =⨯+⨯+⨯++⋅②①-②得211212222?212nn nn n S n n ---=++++-⋅=--所以(1)21n n S n =-⋅+所以22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，对于求{}n a 的前n 项和，关键是利用错位相减法结合分组求和得出n T .26．（1）①不是跳跃数列；②是跳跃数列；（2）()()2,23,21-.【分析】（1）①根据定义可直接判断其不是跳跃数列；②根据定义可直接判断其是跳跃数列；（2）根据条件分1n n a a +>和1n n a a +<两种情况求出n a 的取值范围，再求出首项1a 的取值范围. 【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,，不满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,24816--，满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以是跳跃数列；（2）由()2111955n n n n a a a a +-=--，得()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----， ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----.若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时n a ⎛∈ ⎝⎭.若2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则21195n n a a +⎛-=∈ ⎝⎭，所以()12,2a ∈-；若53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(1a ∈，所以()()12,23,21a ∈-. 【点睛】求解等差等比的综合问题，需要分析清楚条件，根据条件描述的等差数列的性质还是等比数列的性质列式，然后再根据数列{}n a 是等差或者等比数列，将式子表示为基本量1,a d 或者1,a q 进行化简计算.。

人教版高中数学必修5期末测试题

期末测试题测验时光：90分钟试卷满分：100分一.选择题：本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是相符标题请求的．1．在等差数列3,7,11…中,第5项为()． A ．15B ．18C ．19D ．232．数列{}n a 中,假如n a ＝3n (n ＝1,2,3,…) ,那么这个数列是()．A ．公役为2的等差数列B ．公役为3的等差数列C ．首项为3的等比数列D ．首项为1的等比数列3．等差数列{a n }中,a 2＋a 6＝8,a 3＋a 4＝3,那么它的公役是()．A ．4B ．5C ．6D ．74．△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分离为a ,b ,c ．若a ＝3,b ＝4,∠C ＝60°,则c 的值等于()． A ．5B ．13C ．13D ．375．数列{a n }知足a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +),那么a 4的值为()．A ．4B ．8C ．15D ．31 6．△ABC中,假如A a tan ＝Bbtan ＝Cc tan ,那么△ABC 是()．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 7．假如a ＞b ＞0,t ＞0,设M ＝b a ,N ＝tb t a ++,那么()．A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 与N 的大小关系随t 的变更而变更 8．假如{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可认为()． A ．a n ＝－2n ＋3B ．a n ＝－n 2－3n ＋1C ．a n ＝n21D ．a n ＝1＋log 2n9．假如a ＜b ＜0,那么()．A ．a －b ＞0B ．ac ＜bcC ．a 1＞b1D ．a 2＜b 210．我们用以下程序框图来描写求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的进程．令a ＝2,b ＝4,若c ∈(0,1),则输出区间的情势为()．A ．MB ．NC ．PD ．∅盘算△＝b 2－4ac11．等差数列{a n }中,已知a 1＝3,a 2＋a 5＝4,a n ＝33,则n 的值为()．A ．50B ．49C ．48D ．4712．设聚集A ＝{(x ,y )｜x ,y ,1―x ―y 是三角形的三边长},则A 所暗示的平面区域(不含鸿沟的暗影部分)是()．ABCD13．若{a n }是等差数列,首项a 1＞0,a 4＋a 5＞0,a 4·a 5＜0,则使前n 项和S n ＞0成立的最大天然数n 的值为()．A ．4B ．5C ．7D ．814．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ,第k 项知足5＜a k ＜8,则k ＝()．A ．9B ．8C ．7D ．6二.填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．将答案填在题中横线上．15．已知x 是4和16的等差中项,则x ＝． 16．一元二次不等式x 2＜x ＋6的解集为．17．函数f (x )＝x (1－x ),x ∈(0,1)的最大值为．18．在数列{a n }中,其前n 项和S n ＝3·2n＋k ,若数列{a n }是等比数列,则常数k 的值为．三.解答题：本大题共3小题,共28分. 解答应写出文字解释.证实进程或演算步调.19．△ABC 中,BC ＝7,AB ＝3,且B Csin sin ＝53．(1)求AC ;(2)求∠A ．20．某工场建筑一个长方体无盖蓄水池,其容积为4800立方米,深度为3米．池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x 米．(1)求底面积,并用含x 的表达式暗示池壁面积; (2)如何设计水池能使总造价最低?最低造价是若干?21．已知等差数列{a n }的前n 项的和记为S n ．假如a 4＝－12,a 8＝－4．(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求S n 的最小值及其响应的n 的值;(3)从数列{a n }中依次掏出a 1,a 2,a 4,a 8,…,12n －a ,…,组成一个新的数列{b n },求{b n }的前n 项和．期末测试参考答案一.选择题1．C2．B3．B4．C5．C6．B 7．A8．D9．C10．B11．A12．A 13．D14．B 二.填空题15．10． 16．(－2,3)．17．41．18．－3．三.解答题19．解：（1）由正弦定理得BAC sin ＝C AB sin ⇒AC AB ＝BC sin sin ＝53⇒AC ＝335⨯＝5．（2）由余弦定理得cos A ＝ACAB BC AC AB ⋅-+2222＝53249259⨯⨯-+＝21-,所以∠A ＝120°．20．解：（1）设水池的底面积为S 1,池壁面积为S 2,则有S 1＝38004 ＝1600(平方米)．池底长方形宽为x 6001米,则 S 2＝6x ＋6×x 6001＝6(x ＋x 6001)．（2）设总造价为y ,则y ＝150×1600＋120×6(x ＋x6001)≥240000＋57600＝297600．当且仅当x ＝x 6001,即x ＝40时取等号．所以x ＝40时,总造价最低为297600元．答：当池底设计为边长40米的正方形时,总造价最低,其值为297600元．21．解：（1）设公役为d ,由题意,⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧解得⎩⎨⎧ 所以a n ＝2n －20．（2）由数列{a n }的通项公式可知, 当n ≤9时,a n ＜0, 当n ＝10时,a n ＝0, 当n ≥11时,a n ＞0．所以当n ＝9或n ＝10时,S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90．（3）记数列{b n }的前n 项和为T n ,由题意可知b n ＝12-n a ＝2×2n －1－20＝2n －20．所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n－20) ＝(21＋22＋23＋ (2))－20n＝21221--+n －20n＝2n +1－20n －2．a 4＝－12 a 8＝－4 a 1＋3d ＝－12a 1＋7d ＝－4d ＝2a 1＝－18。

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数学必修5试题
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（）
Ａ．99
Ｂ．100
Ｃ．96
Ｄ．101
2.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（）
A ．
21 B ．2
3 C.1 D.3 3.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为（） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 101 4.已知0x >，函数4
y x x
=
+的最小值是（） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 5.在等比数列中，112a =，12q =，132
n a =，则项数n 为（） A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6.不等式2
0(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（）
A. 0,0a <∆<
B. 0,0a <∆≤
C. 0,0a >∆≥
D. 0,0a >∆>
7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
,则3z x y =+的最大值为（）
A ． 5 B. 3 C. 7
D. -8 8.在ABC ∆
中,80,100,45a b A ︒
===,则此三角形解的情况是（） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（）
2A.
3 2B.-3 1C.-3 1D.-4
10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83
二、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 11.在ABC ∆中，045,B c b ==A ＝_____________; 12.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为_____ _ 三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15(6分) 已知等比数列{}n a 中，4
5
,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.
16(8分)(1) 求不等式的解集：0542
<++-x x
(2)
求函数的定义域：5y =
+
17 (6分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b
是方程2
20x -+=的两个根，且
2cos()1A B +=。

求：角C 的度数；
18(10分)若不等式0252
>-+x ax 的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<<221x x ， (1) 求a 的值；
(2) 求不等式
01522>-+-a x ax 的解集.
19（10分）如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为︒152的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为︒122．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为︒32．求此时货轮与灯塔之间的距离．
20（ 10分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。

该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图。

（1）求n a ；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
A。

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