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【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修五《数列》同步练习题3及答案解析

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北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)

北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)

一、选择题1．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51012．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．43．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cos B 的最小值为（ ）A ．12B ．22C ．34D ．325．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13296．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910C ．89D ．27．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）．A ．12B ．11C ．10D ．98．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1niii x y =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n9．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( ) ABC ．14D ．1210．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（ ） A ．0d <B ．110S >C ．120S <D ．67a a >11．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．设数列{}n a 中12a =，若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=，且10101b =，则2020a =__. 15．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且112a =，110n n n a S S +++=，则2020S =______． 17．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N；等比数列{}nb 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．18．若数列}{n a2*3()n n n N =+∈，则n a =_______．19．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.20．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______．三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值；（2）求{}n b 的通项公式.22．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比； （2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200nS >，求n 的最小值． 23．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0d <，93n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 24．已知数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥满足：①11a =；②()121,2,,1k ka k n a +==-.记()12n n S A a a a =+++.（1）直接写出()3S A 的所有可能值； （2）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （3）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.25．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．26．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.2．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N 万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．故选：C ． 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．4．A解析：A 【解析】分析：用余弦定理推论得222cos 2a c b B ac +-=．由222,,a b c 成等差数列，可得2222a c b += ，所以22222cos 24a c b a c B ac ac+-+==，利用重要不等式可得2221cos 442a c ac B ac ac +=≥=．详解：因为222,,a b c 成等差数列，所以2222a cb += ． 由余弦定理推论得2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥=当且仅当a c =时，上式取等号． 故选A ．点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．5．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 6．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.8．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =，∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 10．C解析：C 【分析】根据{}n a 是等差数列，且675S S S >>，变形为7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.【详解】数列{}n a 是等差数列675S S S >>，7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>， 76670,0,0a a a a <>+>，所以0d <，()111116111102a a S a +==>， ()()11267121212022a S a a a ++==>，67a a >，故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．D解析：D 【分析】 设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】 设11n n a a q-=，①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列；②，222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列；③，11112111211222=2,222n nn n n n n n a a q a a q a q a q a a q-------==不是一个常数，所以数列{}2n a 不是等比数列； ④，122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选D 【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠， 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=， 可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠， 所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为：2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析：【分析】 由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=，进而由累乘法可得202020192018201711ab b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列{}n b 满足1n n n a a b +=，即1n n na b a +=， 则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而数列{}n b 为等比数列，则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==，则202011a a =， 又由12a =，则20202a =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.15．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2， ∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16．【分析】代入再证明为等差数列继而求得的通项公式再计算即可【详解】因为所以两边同除以得：所以数列是以为首项1为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法属 解析：12021【分析】代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式再计算2020S 即可.【详解】因为110n n n a S S +++=,所以,11n n n n S S S S ++-=-, 两边同除以1n n S S +-得：1111n nS S +-=， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+， 所以202012021S = 故答案为：12021【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.17．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：94【分析】分别求出{}n a 、{}n b 的通项，再构建新数列212n n n c -=，求出{}n c 最大项后可得实数λ的最小值. 【详解】()*1n=∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n=-⨯=，2*()na n n N∴=∈．当2n≥时，111(2)(2)2n n nn n nb S S m m---=-=---=，{}nb是等比数列，112b S m∴==-也适合12nnb-=，故21m-=即1m=，1*2()nnb n N-∴=∈．又n nb aλ≥恒成立等价于212nnλ-≥恒成立，2max max1()()2nnna nbλ-∴≥=，令212n nnc-=，则()2221121142222n n n n nnn n nc c--------=-=，当23n≤≤时，1-->n nc c，当4n≥时，1n nc c--<，故max39()4nc c==，94λ∴≥．【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.18．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题解析：()241n+【分析】有已知条件可得出116a=，2n≥时()()2*131()n n n N⋅⋅⋅=-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出()241na n=+，且当1n=时也成立．【详解】数列}{na2*3()n n n N=+∈4=，即116a=2n≥()()2*131()n n n N⋅⋅⋅+=-+-∈22n=+，所以()241na n=+（2n≥）当1n=时，116a=适合上式，所以()241na n=+【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．19．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c=⨯，判断④正确. 【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠， 故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，当1n =时，111211a S ==-=， 当2n ≥时，111(21)(21)2nn n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=， 因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾， 故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列，所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯， 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【详解】由已知各式相加得即又所以故答案为：【点睛】本题考查了累加求和方法斐波那契数列的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：1m +【分析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案. 【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m + 【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ； （2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q 或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥， ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式， 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法． 22．（1）5；（2）50. 【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比； （2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭，111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．23．（1） 11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈；（2）51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【分析】（1）由123,22,5a a a +成等比数列求得公差后可得通项公式n a ； （2）对23n b b b +++用错位相减法求和．【详解】解：（1）∵123,22,5a a a +成等比数列，∴()2231225a a a +=⋅，整理得2340d d --=，解得1d =-或4d =，当1d =-时，10(1)11n a n n =--=-+； 当4d =时，104(1)46n a n n =+-=+．所以11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈．（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ， ∵0d <，∴1d =-，11n a n =-+23n nnb -=当1n =时，13n S =， 当2n ≥时，2341012233333n n n S -=++++⋅⋅⋅+ 令34122333n n T -=+++，则45111223333n n T +-=+++ 两式相减可得32345111112111122331333333313n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++⋯+-=--整理可得11112423nn T ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭， 则511,212423n n n S n ⎛⎫=+-⨯≥ ⎪⎝⎭ 且113S =满足上式， 综上所述：51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．24．（1）所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7；（2）证明见解析；（3）222n -.【分析】（1）根据递推关系式以及求和式子即可得出结果.（2）充分性：求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n 和公式可证；必要性：利用反证法即可证明.（3）列出n A 中的项，得出数列的规律：每一个数列前1n -项与之对应项是相反数的数列，即可求解. 【详解】解：（1）()3S A 的所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7. （2）充分性：若0n a >，即12n n a .所以满足12n na ，且前n 项和最小的数列是1-，2-，4-，…，22n --，12n -.所以()211212422n n n a a a --++⋅⋅⋅+≥-+++⋅⋅⋅++211222112n n ---⋅=-+=-.所以()0n S A >.必要性：若()0n S A >，即120n a a a ++⋅⋅⋅+>.假设0n a <，即12n n a -=-.所以()()21121242210n n n n S A a a a --=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+-=-<， 与已知()0n S A >矛盾. 所以()0n S A >.综上所述，()0n S A >的充要条件是0n a >.（3）由（2）知，()0n S A >可得0n a >.所以12n na .因为数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥中1a 有1-，1两种，2a 有2-，2两种，3a 有4-，4两种，…，1n a -有22n --，22n -两种，n a 有12n -一种，所以数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥有12n -个，且在这12n -个数列中，每一个数列都可以找到前1n -项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n 项和是122n -⨯. 所以这12n -个数列的前n 项和是1122122222n n n ---⨯⨯⨯=. 所以()n S A 的所有可能值的和是222n -. 【点睛】关键点点睛：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，解题的关键是根据递推关系式得出数列n A 的通项公式，注意讨论，此题也考查了数列不等式、反证法在数列中的应用. 25．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出； （2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】 （1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212ab a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，nn nA bB =， 若n k B ≤，则+1nn n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1nn nn A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A kb b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥， 当1q =时，1nnA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n nn n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.26．（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【分析】（1）根据59a =，13169S =，利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求解. （2）由（1）得到2133n n n n a n b -==，利用数列求和的错位相减法求解. 【详解】 （1）因为()11313713131692a a S a +===，所以77513,24a d a a ==-=， 解得2d =，所以9(5)221n a n n =+-⋅=-. （2）由（1）得213n nn b -=， 则()231111135213333n nT n =⋅+⋅+⋅++-⋅， ()()23411111111352321333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-， 两式相减得：()231211111221333333n nn T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭，1111112193213313n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--， 122233n n ++=-， 所以113n n n T +=-. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。

北师大版高中数学必修5同步学案：第1章 等差数列的概念及其通项公式

北师大版高中数学必修5同步学案：第1章 等差数列的概念及其通项公式

§2 等差数列2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…所以a2＝a1＋d,a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1D ．3n －1D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．－2B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]3．等差数列32,－12,－52,…的第10项为( )A ．－372B ．－332C ．372D ．332B [由a 1＝32,d ＝－12－32＝－2,得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.所以a 10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{a n }中,d ＝－13,a 7＝8,则a 1＝________.10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－13代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2－n.[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列； 当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列； 当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ,即1a n ＋1－1a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2,a 1＝2,故a n ＝2n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？[解] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＝4，a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2＝a 2＋(a ＋d)2,即a 2－2ad －3d 2＝0,解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费． 令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,等候时间为0,那么,需支付多少车费？[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1D ．0,0,0,0D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.52 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，解得a 1＝52.]4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。

新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《数列》同步习题课及答案解析

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北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。

(北师大版)2018-19年度高中数学必修5-同步习题-第一章数列 第一章检测

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第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an解析:Sn=------=3-2an,故选D.答案:D2.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.-解析:∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴Sn=na1+-d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.答案:A3.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+…+的结果可化为( )A.1-B.1-C.-D.-解析:an=2n-1,设bn=-,则Tn=b1+b2+…+bn =+…+-=---.答案:C4.在正项等比数列{an}中,a3=,S3=,则数列{an}的通项公式为( )A. B.2×C.2×-D.×3n-1答案:C5.某型号计算机的成本不断降低,若每隔两年该型号计算机价格降低,现在的价格是8 100元,则6年后,价格降低为( )A.2 200元B.900元C.2 400元D.3 600元解析:6年后价格降低了3次,则价格降低为8 100×-=2 400(元).答案:C6.若数列{an}满足=d(n∈N+,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4b6的最大值是( )A.10B.100C.200D.400解析:因为正项数列为“调和数列”,所以bn+1-bn=d,即数列{bn}为等差数列,由等差数列的性质,得b1+b2+…+b9=9b5=90,所以b5=10,则b4+b6=2b5=20,所以b4b6=b4(20-b4)=-(b4-10)2+100,则当b4=10时,b4b6取得最大值100.答案:B7.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d d≠1 ,且a1=b1,a4=b4,a10=b10,则a1和d的值分别为( )A. B.-C.-,-D.,-解析:由,,得,,①②由两式得a1=--,代入①式中得--+3d=--·d3,化简得d9-3d3+2=0,即(d3-1)(d6+d3-2)=0.∵d≠1,∴由d6+d3-2=0,得d=-,a1=-d=.答案:D8.已知函数f n =n2cos nπ,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100= )A.-100B.0C.100D.10 200解析:若n为偶数,则cos nπ=1,cos n+1 π=-1,所以an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1.所以数列{an}的偶数项是首项为a2=-5,公差为-4的等差数列;若n为奇数,则cos nπ=-1,cos n+1 π=1,所以an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.所以数列{an}的奇数项是首项为a1=3,公差为4的等差数列.所以a1+a2+a3+…+a100= a1+a3+…+a99 + a2+a4+…+a100 =50×3+×4+50× -5)+× -4)=-100.答案:A9.已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等比数列,且公比q≠1,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则q等于( )A.或-B.C.-D.1+解析:由题意,知a1>0,q>0,且q≠1,若删去a1,则2a3=a2+a4,得2a1q2=a1q+a1q3,解得q=1(舍去);若删去a2,则2a3=a1+a4,得2a1q2=a1+a1q3,即(q-1)(q2-q-1)=0,解得q=;若删去a3,则2a2=a1+a4,得2a1q=a1+a1q3,即(q-1)(q2+q-1)=0,解得q=-;若删去a4,则2a2=a1+a3,得2a1q=a1+a1q2,解得q=1(舍去),综上可得q=或-.答案:A10.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量(单位:t)为f(n)=n(n+1)(2n+1),但如果年产量超过150 t,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A.5年B.6年C.7年D.8年解析:由已知可得第n年的产量an=f(n)-f(n-1)=3n2.当n=1时也适合.根据题意令an≥150,则n≥5,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.答案:C11.定义运算“*”,对任意a,b∈R,满足:①a*b=b*a;②a*0=a;③(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b).设数列{an}的通项公式为an=n**0,则数列{an}为( )A.等差数列B.等比数列C.递增数列D.递减数列解析:由题意知an=**0=0*·+(n*0)+*=1+n+,显然数列{an}既不是等差数列也不是等比数列.因为函数y=x+在[1,+∞ 上是增加的,所以数列{an}为递增数列.答案:C12.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若直线y=a1x+m与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,则数列的前100项和等于( ) A. B. C. D.1解析:因为直线y=a1x+m与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,所以直线x+y-d=0经过圆心,且直线y=a1x+m与直线x+y-d=0垂直,所以2+0-d=0,a1=1,解得d=2,a1=2,则Sn=2n+-×2=n n+1 ,,所以数列的前100项和为1-+…+=1-.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b= .解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+2)(5-2)=1.又b是正数,所以b=1.答案:114.将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………根据以上排列规律,数阵中第n n≥3 行从左至右的第3个数是. 解析:前n-1行的正整数的个数为1+2+…+ n-1)=-,因此第n行从左到右的第3个数是全体正整数中的第-个数,即为-.答案:-15.设数列{an}的通项公式为an=2n-7(n∈N+),则|a1|+|a2|+…+|a15|=.解析:由an=2n-7≤0,得n≤,即ai≤0 i=1,2,3),记Sn为数列{an}的前n项和,易得Sn=a1+a2+…+an=n2-6n.∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+a15=-2S3+S15=-2× -9)+135=153.答案:15316.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn<t恒成立,则实数t的最小值为.解析:令m=1,则=a1=,∴{an}是以为首项,为公比的等比数列,∴an=.∴Sn=---=.∵Sn<t恒成立,∴t大于Sn的最大值,故t的最小值为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}的前n项和Sn.解:设{an}的公差为d,则-, ,即-, -,解得-,或, -.故Sn=-8n+n(n-1)=n2-9n,或Sn=8n-n(n-1)=-n2+9n.18.(12分)在等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=-+n,求b1+b2+b3+…+b10的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得,,解得,.所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10= 2+1 + 22+2 + 23+3 +…+ 210+10= 2+22+23+…+210 + 1+2+3+…+10=--=(211-2)+55=211+53=2 101.19.(12分)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+d=, 化简得a1+2d=2,a1+d=,解得a1=1,d=,故通项公式an=1+-,即an=.(2)由(1)得b1=1,b4=a15==8.设{bn}的公比为q,则q3==8,从而q=2,故{bn}的前n项和Tn=----=2n-1.20.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明:是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明:+…+.(1)解:由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+,因此{an}的通项公式为an=-.(2)证明:由(1)知-.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以--.于是+…+≤1++…+-=-.所以+…+.21.(12分)将数列{an}中所有的项排成如下数阵: a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10……记数阵中的第1列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},其中b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前n项和,且满足-=1 n≥2,n∈N+).(1)证明:数列是等差数列,并求数列{bn}的通项公式.(2)上述数阵中,若从第3行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=-时,求上述数阵中第k k≥3 行所有项的和.(1)证明:由已知,当n≥2时,-=1,又bn=Sn-Sn-1,所以-----=1,即----=1,所以-.又S1=b1=a1=1,所以数列是首项为1,公差为的等差数列. 所以=1+(n-1)=,即Sn=.所以当n≥2时,bn=Sn-Sn-1==-.因此bn=,, -,.(2)解:设数阵中从第3行起,每行的公比都为q,且q>0.因为1+2+…+12==78,所以数阵中第1行至第12行含有数列{an}中的前78项.所以a81在数阵中的第13行第3列,因此a81=b13q2=-,又b13=-=-,所以q=2(q=-2舍去).记数阵中第k k≥3 行所有项的和为S,则S=--=----.22.(12分)设数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N+,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有+…+.(1)解:∵a1,a2+5,a3成等差数列,∴2(a2+5)=a1+a3.又2a1=2S1=a2-22+1,2(a1+a2)=2S2=a3-23+1,∴a2=2a1+3,a3=6a1+13.∴4a1+16=7a1+13,解得a1=1.(2)解:由题设条件知,当n≥2时,2Sn-1=an-2n+1,2Sn=an+1-2n+1+1.∴2an=an+1-an-2n,于是an+1=3an+2n n≥2 .而由(1)知,a2=2a1+3=5=3a1+2,因此对一切正整数n,有an+1=3an+2n,∴an+1+2n+1=3(an+2n).又a1+21=3,∴{an+2n}是以3为首项,3为公比的等比数列.故an+2n=3n,即an=3n-2n.(3)证明:∵an=3n-2n=3·3n-1-2n=3n-1+2(3n-1-2n-1 ≥3n-1,∴-.∴+…+≤1++…+---.。

(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试卷(含答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（ ） A ．4B ．8C ．16D ．243．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7664．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N*-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．175．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（ ） A ．1008B ．2016C ．2018D ．20206．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51017．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n -8．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．99．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）． A ．2B ．1C ．32D ．1210．已知数列{}n a的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（ ） A ．42B ．43C ．44D ．4511．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-12．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．14．数列{}n a 中，16a =，29a =，且{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，则n a =______.15．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 为整数，213a =-，8n S S ≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =________.17．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若112a =，且122n n a a +=-，则100S =________. 19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．22．在①119n n a a +-=-，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()121n n a S n N *+=+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T . 24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈.26．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．C解析：C 【分析】根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解． 【详解】∵{}n a 是等比数列，∴2931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．3．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.4．C解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．5．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈；7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===， 所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项.6．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.7．D解析：D 【分析】根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果.【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.8．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.9．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==.故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数． 【详解】解：由题意，可知：n a ===1n n =-+． 12n n S a a a ∴=++⋯+122=-+1= 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．11．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.12．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.二、填空题13．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同 解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由是以2为公差的等差数列可得：再利用累加求和方法等差数列的求和公式即可得出【详解】∵是以2为公差的等差数列∴∴故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式累加求和方法考查了推理能 解析：25n +【分析】由{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，可得：121n n a a n --=-，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出. 【详解】∵{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列， ∴()()1212221n n a a a a n n --=-+-=-，∴()()()12116321n n n a a a a a a n -=+-+⋯⋯+-=++⋯⋯+-()2121552n n n +-=+=+， 故答案为：25n +. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭， 即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列， 所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭， 所以20202020a =. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16．【分析】设等差数列的公差为由等差数列的性质及前n 项和公式可得再由二次函数的图象与性质可得求得后再由等差数列的通项公式即可得解【详解】设等差数列的公差为则为整数所以由结合二次函数的图象与性质可得解得所 解析：217n -【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质及前n 项和公式可得231322n n d d S n ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭=，再由二次函数的图象与性质可得313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯，求得d 后再由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1213a a d d =-=--，d 为整数， 所以()()()2131313112222n d S d n n n n d a n d d n n n --=+⎛⎫--++ ⎪⎝=⎭=-， 由8n S S ≥，结合二次函数的图象与性质可得0d >，313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯， 解得131376d ≤≤， 所以2d =，所以1215a a d =-=-，所以()()111521217n a a n d n n =+-=-+-=-. 故答案为：217n -. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性质解决等差数列前n 项和最值的问题，属于中档题.17．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++，191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项得出数列是周期数列从而可求和【详解】由题意∴数列是周期数列且周期为4故答案为：【点睛】本题考查数列的周期性考查求周期数列的和解题时可根据递推公式依次计算数列的解析：4256【分析】 由递推公式依次计算出数列的前几项，得出数列是周期数列，从而可求和． 【详解】 由题意2241322a ==-，33a =，42a =-，512a =， ∴数列{}n a 是周期数列，且周期为4.10012341442525()2532236S a a a a ⎛⎫=+++=⨯++-= ⎪⎝⎭．故答案为：4256． 【点睛】本题考查数列的周期性，考查求周期数列的和，解题时可根据递推公式依次计算数列的项，然后归纳出周期性．19．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数.7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-. 【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-． （2）由（1）得n n n a 2n 122-=， 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++，① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭， 所以2332n nn S +=-．易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．答案见解析 【分析】选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值. 【详解】 选①因为119n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭. 由182099n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =；2︒当n 为偶数的，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==， 因为19a =，所以()2173422n n n a n -+=≥，又19a =也满足上式，所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大． 23．（1）13-=n n a ，3n b n =；（2）1321344n n n T +-=+⋅. 【分析】（1）由数列的递推关系式求出等比数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的基本量运算得出{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求出n T ． 【详解】（1）1211n n a S n +=+≥①1212n n a S n -=+≥②①-②得：13n n a a +=，2n ≥ 又因为11a =，23a =所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列所以13-=n n a因为{}n b 为等差数列且39b =，15272b b +=所以有：()111292724b d b b d +=⎧⎨+=+⎩解得：13b =，3d =，所以3n b n =（2）由（1）知3nn c n =⋅213233n n T n =⋅+⋅+⋅①()23131323133n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅②①-②得：2312333...33n n n T n +-=++++-⋅()11131********2n n n n n T n n +++---=-⋅=-⋅-1321344n n n T +-=+⋅【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）()*1(1)2n n a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈，化简可得11212222n n nn a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）.（2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+， 即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-， 综上说述：()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和 （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（Ⅰ）0d =时，n a a =；2d a =时，2n a an a =-；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）根据等差数列写出(1)2n n n dS na -=+，利用等比中项性质列式代入求解；（2）设存在()*2,k k k ≥∈N ，根据等比中项列式，整理化简之后分类讨论0d =与0d >是否成立. 【详解】（Ⅰ）因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S ，又因为数列{}n a 是等差数列，首项1a 为()0a a >，所以(1)2n n n d S na -=+，则()()2246a d a a d +=+，可得0d =或2d a =，当0d =时，n a a =；当2d a =时，2(1)2n a a n a an a =+-=-.（Ⅱ）设存在()*2,k k k ≥∈N，使ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列，则122ln l ln n k k k S S S ++=⋅，对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，首项0a >，所以0d ≥因为()22222ln ln ln ln ln 22k k k k k k S S S S S S +++⋅⎡⎤+⎡⎤⋅<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()22211121112ln ln 22k k k k k k k k S dS a a S a S a ++++++++⎡⎤+--+⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当0d =时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k S dS a a S a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；当0d >时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k k S dS a a S dS a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；综上，不存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列.【点睛】关于等比中项性质的运用，需要注意,,a b c 三个数成等比数列，列式得2b ac =，然后再根据数列是等差还是等比数列化为基本量1,a d 或1,a q 计算.。

2018年高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时 数列求和习题课 北师大版必修5

2018年高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时 数列求和习题课 北师大版必修5

(2)令{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n（n2＋1）＋1211－－1212n＝n（n2＋1）＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
(2)由第一问知，an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝n（1＋22n－1）＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
如果一个数列的通项公式可写成 cn＝an±bn 的形式，而数列{an}， {bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么 可采用分组转化法求和．
3.已知 an＝3nn，求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：Sn＝13＋322＋333＋…＋n3－n－11＋3nn， 13Sn＝312＋323＋…＋n－3n 1＋3nn＋1， 两式相减得 23Sn＝13＋312＋313＋…＋31n－3nn＋1
＝1311－－1331n－3nn＋1 ＝12－2×1 3n－3nn＋1， 所以 Sn＝34－4×13n－1－2×n3n＝34－24n×＋33n .
规范解答
数列求和
(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n， {bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝（（abn＋n＋12））n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)由题意知，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当 n＝1 时，a1＝S1＝11，
【解】 (1)设{an}的公比为 q， 由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2. 又 an>0，解得：a1＝2，q＝2， 所以 an＝2n.

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北师大版高中数学必修必修课后习题答案（精品）第一章算法初步1(1算法与程序框图练习(P5) 1、算法步骤:第一步，给定一个正实数. r2第二步，计算以为半径的圆的面积. Sr,,rS第三步，得到圆的面积.2、算法步骤:第一步，给定一个大于1的正整数. ni,1第二步，令.i第三步，用除，等到余数. nrr,0ii第四步，判断“”是否成立. 若是，则是的因数;否则，不是的因数. nn ii第五步，使的值增加1，仍用表示.in,第六步，判断“”是否成立. 若是，则结束算法;否则，返回第三步.练习(P19)di,1算法步骤:第一步，给定精确度，令.i第二步，取出的到小数点后第位的不足近似值，赋给;取出的到小数点22abi后第位的过剩近似值，赋给.ba第三步，计算m,,55.2amd,ii第四步，若，则得到的近似值为;否则，将的值增加1，仍用表示.55 返回第二步.a第五步，输出5.程序框图:习题1.1 A组(P20)1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题.3为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准:每户每月用水未超过7 m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费;超过7m的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 3设某户每月用水量为 m，应交纳水费元， yx1.2,07xx ,,,那么与之间的函数关系为 yxy,,1.94.9,7xx,, ,我们设计一个算法来求上述分段函数的值.算法步骤:第一步:输入用户每月用水量. x第二步:判断输入的是否不超过7. 若是，则计算; xyx,1.2 若不是，则计算. yx,,1.94.9第三步:输出用户应交纳的水费. y程序框图: 2、算法步骤:第一步，令i=1，S=0.第二步:若i?100成立，则执行第三步;否则输出S.2第三步:计算S=S+i.第四步:i= i+1，返回第二步.程序框图:3、算法步骤:第一步，输入人数x，设收取的卫生费为m元.第二步:判断x与3的大小. 若x>3，则费用为; mx,，,，5(3)1.2 m,5若x?3，则费用为.第三步:输出. m程序框图:B组 1、算法步骤:第一步，输入.. abcabc,,,,,111222 bcbc,2112. 第二步:计算x,abab,1221acac,1221第三步:计算. y,abab,1221第四步:输出xy,.程序框图:2、算法步骤:第一步，令n=1?6.8，则执行下一步; 第二步:输入一个成绩r，判断r与6.8的大小. 若r 若r<6.8，则输出r，并执行下一步.第三步:使n的值增加1，仍用n表示.第四步:判断n与成绩个数9的大小. 若n?9，则返回第二步;若n>9，则结束算法.程序框图: 说明:本题在循环结构的循环体中包含了一个条件结构.1(2基本算法语句练习(P24)、程序:、程序:1 2 INPUT “a，b=”;a，b INPUT “F=”;Fsum=a+b C=(F,32)*5/9diff=a,b PRINT “C=”;Cpro=a*b ENDquo=a/bPRINT sum，diff，pro，quo END 、程序:3 INPUT “a，b，c=”;a，b，c 、程序:4 p=(a+b+c)/2 INPUT “a，b，c=”;a，b，cs=SQR(p*(p,a) *(p,b) *(p,c)) sum=10.4*a+15.6*b+25.2*cPRINT “s=”;s PRINT “sum =”;sumEND END 练习(P29)、程序:1 INPUT “a，b，c=”;a，b，cIF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THENPRINT “Yes.”ELSEPRINT “No.”END IFEND、本程序的运行过程为:输入整数若是满足的两位整数，则先取出的十位，记2x. x9<x<100x作，再取出的个位，记作，把，调换位置，分别作两位数的个位数与十位数，然后输出新axbab的两位数如输入，则输出. 2552.、程序:3 INPUT “Please input an integer:”;aIF a MOD 2=0 THENPRINT “Even.”ELSEPRINT “Odd.”END IFEND、程序:4 INPUT “Please input a year:”;yb=y MOD 4c=y MOD 100d=y MOD 400IF b=0 AND c<>0 THENPRINT “Leap year.”ELSEIF d=0 THENPRINT “Leap year.”ELSEPRINT “Not leap year.”END IFEND IFEND练习(P32)、程序:、程序:1 2 INPUT “n=”;n INPUT “n=”;n i=2 i=1DO f=1r=n MOD i WHILE i<=ni=i+1 f=f*iLOOP UNTIL i>n,1 OR r=0 i=i+1IF r=0 THEN WENDPRINT “n is not a prime number.” PRINT f ELSE ENDPRINT “n is a prime number.”END IFEND习题1.2 A组(P33),，,xx1(0) ,,yx,,0(0) 1、 ,,xx，,1(0) ,、程序:、程序:2 3 INPUT “n=”;n INPUT “a，b，h=”;a，b，h i=1 p=a+bsum=0 S=p*h/2WHILE i<=n PRINT “S=”;Ssum=sum+(i+1)/i ENDi=i+1WENDPRIN T“sum=”;sumEND 习题1.2 B组(P33)、程序:、程序:1 2 INPUT “a，b，c=”;a，b，c n=1INPUT “r，s，t=”;r，s，t p=1000d=a*s,r*b WHILE n<=7IF d?0 THEN p=p*(1+0.5)x=(s*c,b*t)/d n=n+1y=(a*t,r*c)/d WENDPRINT “x，y=”;x，y PRINT pELSE ENDPRINT “Please input again.”END IFEND、程序:、程序:3 4 INPUT “x=”;x INPUT “a=”;a INPUT “n=”;n IF x<1 THENy=x tn=0ELSE sn=0IF x<10 THEN i=1y=2*x,1 WHILE i<=nELSE tn=tn+ay=3*x,11 sn=sn+tnEND IF a=a*10END IF i=i+1PRINT “y=”;y WENDEND PRINT snEND 1(3算法案例练习(P45)1、(1)45; (2)98; (3)24; (4)17.2、2881.75., 20083730,3、， ()2()8习题1.3 A组(P48)1、(1)57; (2)55.2、21324.2123153、(1)104; (2) (3)1278; (4). ()7()6、4习题1.3 B组(P48)n,45i,1a,0b,0c,01、算法步骤:第一步，令，，，，.第二步，输入. ai()aa,，1第三步，判断是否. 若是，则，并执行第六步. 0()60,,ai bb,，1第四步，判断是否. 若是，则，并执行第六步. 60()80,,aicc,，1第五步，判断是否80()100,,ai. 若是，则，并执行第六步.ii,，1i,45第六步，. 判断是否. 若是，则返回第二步.第七步，输出成绩分别在区间[0,60),[60,80),[80,100]abc,,的人数. 2、如“出入相补”——计算面积的方法，“垛积术”——高阶等差数列的求和方法，等等. 第二章复习参考题A组(P50)、()程序框图:程序:11 INPUT “x=”;x IF x<0 THENy=0ELSEIF x<1 THENy=1ELSEy=xEND IFEND IFPRINT “y=”;y END、()程序框图:程序:12 INPUT “x=”;x IF x<0 THENy=(x，2)，2 ELSEIF x=0 THENy=4ELSEy=(x,2)，2 END IFEND IFPRINT “y=”;y END2、见习题1.2 B组第1题解答.3、INPUT “t=0”;t IF t<0 THEN PRINT “Please input again.” ELSE IF t>0 AND t<=180 THEN y=0.2 ELSE IF (t,180) MOD 60,0 THEN y=0.2，0.1*(t-180),60 ELSE y=0.2，0.1*((t-180),60，1) END IF END IF PRINT “y=”;y END IF END、程序框图:程序:4 INPUT “n=”;ni=1S=0WHILE i<=nS=S+1,ii=i+1WENDPRINT “S=”;SEND5、 (1)向下的运动共经过约199.805 m i=100(2)第10次着地后反弹约0.098 m sum=0(3)全程共经过约299.609 m k=1WHILE k<=10sum=sum+ii=i,2k=k+1WENDPRINT “(1)”;sumPRINT “(2)”;iPRINT “(3)”;2*sum,100 END第二章复习参考题B组(P35) 、、1 2 INPUT “n=”;nIF n MOD 7=0 THENPRIN T “Sunday”END IFIF n MOD 7=1 THENPRINT “Monday”END IFIF n MOD 7=2 THENPRINT “Tuesday”END IFIF n MOD 7=3 THENPRINT “Wednesday”END IFIF n MOD 7=4 THENPRINT “Thursday”END IFIF n MOD 7=5 THENPRINT “Friday”END IFIF n MOD 7=6 THENPRINT “Saturday”END IFEND3xn、算法步骤:第一步，输入一个正整数和它的位数.n,1nm,m,nnn 第二步，判断是不是偶数，如果是偶数，令;如果是奇数，令.22i,1 第三步，令iix 第四步，判断(1)ni，,的第位与第位上的数字是否相等. 若是，则使的值增加1，ix仍用表示;否则，不是回文数，结束算法.im,n 第五步，判断“”是否成立. 若是，则是回文数，结束算法;否则，返回第四步.第二章统计2(1随机抽样练习(P57)1、.抽样调查和普查的比较见下表:抽样调查普查节省人力、物力和财力需要大量的人力、物力和财力可以用于带有破坏性的检查不能用于带有破坏性的检查结果与实际情况之间有误差在操作正确的情况下，能得到准确结果抽样调查的好处是可以节省人力、物力和财力，可能出现的问题是推断的结果与实际情况之间有误差. 如抽取的部分个体不能很好地代表总体，那么我们分析出的结果就会有偏差.2、(1)抽签法:对高一年级全体学生450人进行编号，将学生的名字和对应的编号分别写在卡片上，并把450张卡片放入一个容器中，搅拌均匀后，每次不放回地从中抽取一张卡片，连续抽取50次，就得到参加这项活动的50名学生的编号.(2)随机数表法:第一步，先将450名学生编号，可以编为000,001， (449)第二步，在随机数表中任选一个数. 例如选出第7行第5列的数1(为了便于说明，下面摘取了附表的第6,10行).16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5457 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数1开始向右读，得到一个三位数175，由于175<450，说明号码175在总体内，将它取出;继续向右读，得到331，由于331<450，说明号码331在总体内，将它取出;继续向右读，得到572，由于572>450，将它去掉. 按照这种方法继续向右读，依次下去，直到样本的50个号码全部取出，这样我们就得到了参加这项活动的50名学生.3、用抽签法抽取样本的例子:为检查某班同学的学习情况，可用抽签法取出容量为5的样本. 用随机数表法抽取样本的例子:部分学生的心理调查等.抽签法能够保证总体中任何个体都以相同的机会被选到样本之中，因此保证了样本的代表性.4、与抽签法相比，随机数表法抽取样本的主要优点是节省人力、物力、财力和时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本.练习(P59)1、系统抽样的优点是:(1)简便易行;(2)当对总体结构有一定了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样调查;(3)当总体中的个体存在一种自然编号(如生产线上产品的质量控制)时，便于施行系统抽样法.系统抽样的缺点是:在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差.2、(1)对这118名教师进行编号;118kk,,7.375 (2)计算间隔，由于不是一个整数，我们从总体中随机剔除6个样16本，再来进行系统抽样. 例如我们随机剔除了3,46,59,57,112,93这6名教师，然后再对剩余k,7的112位教师进行编号，计算间隔;(3)在1,7之间随机选取一个数字，例如选5，将5加上间隔7得到第2个个体编号12，再加7得到第3个个体编号19，依次进行下去，直到获取整个样本.3、由于身份证(18位)的倒数第二位表示性别，后三位是632的观众全部都是男性，所以这样获得的调查结果不能代表女性观众的意见，因此缺乏代表性. 练习(P62)1、略2、这种说法有道理，因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果. 因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.3、可以用分层抽样的方法进行抽样. 将麦田按照气候、土质、田间管理水平的不同而分成不同的层，然后按照各层麦田的面积比例及样本容量确定各层抽取的面积，再在各层中抽取个体(这里的个体是单位面积的一块地).习题2.1 A组(P63)1、产生随机样本的困难:(1)很难确定总体中所有个体的数目，例如调查对象是生产线上生产的产品.(2)成本高，要产生真正的简单随机样本，需要利用类似于抽签法中的抽签试验来产生非负整值随机数.(3)耗时多，产生非负整数值随机数和从总体中挑选出随机数所对的个体都需要时间.2、调查的总体是所有可能看电视的人群.学生A的设计方案考虑的人数是:上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了. 因此A方案抽取的样本的代表性差.学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性. 因此B方案抽取的样本的代表性差.学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，也有一定的片面性. 因此C方案抽取的样本的代表性.所以，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率.3、(1)因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.(2)在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题:有些学生担心提出意见对自己不利;又如不响应问题:由于种种原因，有些学生不能发表意见;等等.(3)前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.(4)为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷;为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷.4、将每一天看作一个个体，则总体由365天组成. 假设要抽取50个样本，将一年中的各天按先后次序编号为0,364天用简单随机抽样设计方案:制作365个号签，依次标上0,364. 将号签放到容器内充分搅拌均匀，从容器中任意不放回取出50个号签. 以签上的号码所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.用系统抽样设计抽样方案:先通过简单随机抽样方法从365天中随机抽出15天，再把剩下的350天重新按先后次序编号为0,349. 制作7个分别标有0,7的号签，放在容器中充a分搅拌均匀. 从容器中任意取出一个号签，设取出的号签的编号为，则编号为akk，,,7(050)所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.显然，系统抽样方案抽出的样本中个体在一年中排列的次序更规律，因此更好实施，更受方案的实施者欢迎.2564298，,5、田径队运动员的总人数是(人)，要得到28人的样本，占总体的比例为.72281612,,于是，应该在男运动员中随机抽取(人)，在女运动员中随机抽取(人).5616，,7这样我们就可以得到一个容量为28的样本.6、以10为分段间隔，首先在1,10的编号中，随机地选取一个编号，如6，那么这个获奖者奖品的编号是:6,16,26,36,46.7、说明:可以按年级分层抽样的方法设计方案.习题2.1 B组(P64)1、说明:可以按年级分层抽样的方法设计方案，调查问卷由学生所关心的问题组成.例如:(1)你最喜欢哪一门课程, (2)你每月的零花钱平均是多少,(3)你最喜欢看《新闻联播》吗, (4)你每天早上几点起床,(5)你每天晚上几点睡觉,要根据统计的结果和具体的情况解释结论,主要从引起结论的可能原因及结论本身含义来解释.2、说明:这是一个开放性的题目，没有一个标准的答案.2(2用样本估计总体练习(P71)364.41362.511.90,,0.191、说明:由于样本的极差为，取组距为，将样本分为10组. 可以按照书上的方法制作频率分布表、频率分布直观图和频率折线图.2、说明:此题目属于应用题，没有标准的答案.3、茎叶图为: 茎叶10 7 811 0 2 2 2 3 6 6 6 7 7 8 12 0 0 1 2 2 3 4 4 6 6 7 8 8 13 0 2 3 4由该图可以看出30名工人的日加工零件个数稳定在120件左右. 练习(P74) 这里应该采用平均数来表示每一个国家项目的平均金额，因为它能反应所有项目的信息. 但平均数会受到极端数据2000万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大.练习(P79)1、甲乙两种水稻6年平均产量的平均数都是900，但甲的标准差约等于23.8，乙的标准差约等于41.6，所以甲的产量比较稳定.s,6.55x,496.862、(1)平均重量，标准差.66.67 (2)重量位于之间有14袋白糖，所占的百分比约为,. (,)xsxs,，15.2s,12.50x,19.253、(1)略. (2)平均分，中位数为，标准差.这些数据表明这x,15.2些国家男性患该病的平均死亡率约为19.25，有一半国家的死亡率不超过15.2，说明存在大的异常数据，值得关注. 这些异常数据使标准差增大.习题2.2 A组(P81)1、(1)茎叶图为:茎叶 (2)汞含量分布偏向于大于1.00 ppm的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于1.00 ppm的区域. 0.0 7(3)不一定. 因为我们不知道各批鱼的汞含量分布是否都和0.2 4这批鱼相同. 即使各批鱼的汞含量分布相同，上面的数据只能0.3 9为这个分布作出估计，不能保证平均汞含量大于1.00 ppm. 0.5 40.6 1 s,0.45 (4)样本平均数，样本标准差. x,1.080.7 2 (5)有28条鱼的汞含量在平均数与2倍标准差的和(差)的0.8 1 2 4 范围内. 0.9 15 8 81.0 2 2 81.1 41.2 0 0 6 91.3 1 71.4 0 41.5 81.6 2 81.8 52.1 02、作图略. 从图形分析，发现这批棉花的纤维长度不是特别均匀，有一部分的纤维长度比较短，所以在这批棉花中混进了一些次品.3、说明:应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均数信息、最低录取分数线信息等. 尽管该校友的分数位于中位数之下，而中位数本身并不能提供更多录取分数分布的信息.在已知最低录取分数线的情况下，很容易做出判断;在已知平均数小于中位数很多，则说明最低录取分数线较低，可以推荐该校友报考这所大学，否则还要获取其他的信息(如标准差的信息)来做出判断.4、说明:(1)对，从平均数的角度考虑; (2)对，从标准差的角度考虑;(3)对，从标准差的角度考虑; (4)对，从平均数和标准差的角度考虑; 5、(1)不能. 因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数. 现在x,100已知知道至少有一个人的收入为万元，那么其他员工的收入之和为 5049(万元) x,，,,3.55010075,i,i1每人平均只有1.53. 如果再有几个收入特别高者，那么初进公司的员工的收入将会很低.(2)不能，要看中位数是多少.7525(3)能，可以确定有,的员工工资在1万元以上，其中,的员工工资在3万元以上.(4)收入的中位数大约是2万. 因为有年收入100万这个极端值的影响，使得年平均收入比中位数高许多.x=1.5y,1.26、甲机床的平均数，标准差;乙机床的平均数，标准差s=1.2845甲z甲. 比较发现乙机床的平均数小而且标准差也比较小，说明乙机床生产出的次品比s,0.8718z甲机床少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好.7、(1)总体平均数为199.75，总体标准差为95.26.(2)可以使用抓阄法进行抽样. 样本平均数和标准差的计算结果和抽取到的样本有关.(3) (4)略习题2.2 B组(P82)1、(1)由于测试的标准差小，所以测试结果更稳定，所以该测试做得更好一些. TT11(2)由于测出的值偏高，有利于增强队员的信心，所以应该选择测试. TT22(3)将10名运动员的测试成绩标准化，得到如下的数据:A B C D E F G H I J(20)2T,,0.00 1.50 2.00 -1.00 -1.50 -2.00 2.50 2.00 0.50 -0.50 1-1.33 1.33 1.33 -2 -2.33 -1.33 1.67 -1.67 -1.33 -1.67 (35)3T,,2从两次测试的标准化成绩来看，运动员G的平均体能最强，运动员E的平均体能最弱.2、说明:此题需要在本节开始的时候就布置，先让学生分头收集数据，汇总所收集的数据才能完成题目.2(3变量间的相关关系练习(P85)1、从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康. 但除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果. 我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题. 但吸烟引起健康问题的可能性大，因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的.2、从现在我们掌握的知识来看，没有发现根据说明“天鹅能够带来孩子”，完全可能存在既能吸引天鹅和又使婴儿出生率高的第3个因素(例如独特的环境因素)，即天鹅与婴儿出生率之间没有直接的关系，因此“天鹅能够带来孩子”的结论不可靠.而要证实此结论是否可靠，可以通过试验来进行. 相同的环境下将居民随机地分为两组，一组居民和天鹅一起生活(比如家中都饲养天鹅)，而另一组居民的附近不让天鹅活动，对比两组居民的出生率是否相同.练习(P92),x,01、当时，，这个值与实际卖出的热饮杯数150不符，原因是:线性回y,147.767归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果,的偏差;即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x，预报值能y,ye够等于实际值. 事实上:ybxae,，，. (这里是随机变量，是引起预报值与真实值yye之间的误差的原因之一，其大小取决于的方差.)2、数据的散点图为:从这个散点图中可以看出，鸟的种类数与海拔高度应该为正相关(事实上相关系数为0.793). 但是从散点图的分布特点来看，它们之间的线性相关性不强. 习题2.3 A组(P94)1、教师的水平与学生的学习成绩呈正相关关系. 又如，“水涨船高”“登高望远”等.2、 (2)回归直线如下图所示: (1)散点图如下:(3)基本成正相关关系，即食品所含热量越高，口味越好.(4)因为当回归直线上方的食品与下方的食品所含热量相同时，其口味更好.3、(1)散点图如下:,(2)回归方程为:. yx,，0.66954.933(3)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系.4、(1)散点图为:, (2)回归方程为:. yx,，0.546876.425(3)由回归方程知，城镇居民的消费水平和工资收入之间呈正线性相关关系，即工资收入水平越高，城镇居民的消费水平越高.习题2.3 B组(P95)1、(1)散点图如下:,(2)回归方程为:. yx,,1.44715.843,(3)如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额为(万元). y,42.0372、说明:本题是一个讨论题，按照教科书中的方法逐步展开即可. 第二章复习参考题A组(P100)A1、.nm2、(1)该组的数据个数，该组的频数除以全体数据总数; (2). NA3、(1)这个结果只能说明城市中光顾这家服务连锁店的人比其他人较少倾向于选择咖A啡色，因为光顾连锁店的人使一种方便样本，不能代表城市其他人群的想法.A (2)这两种调查的差异是由样本的代表性所引起的. 因为城市的调查结果来自于该市光顾这家服装连锁店的人群，这个样本不能很好地代表全国民众的观点.4、说明:这是一个敏感性问题，可以模仿阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”来设计提问方法.5、表略. 可以估计出句子中所含单词的分布，以及与该分布有关的数字特征，如平均数、标准差等.6、(1)可以用样本标准差来度量每一组成员的相似性，样本标准差越小，相似程度越高.(2)组的样本标准差为，组的样本标准差为. 由于专业裁ABS,3.730S,11.789AB判给分更符合专业规则，相似程度应该高，因此组更像是由专业人士组成的. A7、(1)中位数为182.5，平均数为217.1875.(2)这两种数字特征不同的主要原因是，430比其他的数据大得多，应该查找430是否由某种错误而产生的. 如果这个大数据的采集正确，用平均数更合适，因为它利用了所有数据的信息;如果这个大数据的采集不正确，用中位数更合适，因为它不受极端值的影响，稳定性好.8、(1)略.(2)系数0.42是回归直线的斜率，意味着:对于农村考生，每年的入学率平均增长0.42,.(3)城市的大学入学率年增长最快.说明:(4)可以模仿(1)(2)(3)的方法分析数据.第二章复习参考题B组(P101)1、频率分布如下表: 分组频数频率累计频率[12.34,13.62]2 0.04 0.04(13.62,14.9]4 0.08 0.12(14.9,16.18]3 0.06 0.18(16.18,17.46]8 0.16 0.34(17.46,18.74]13 0.26 0.6(18.74,20.02]11 0.22 0.82(20.02,21.3]3 0.06 0.88 从表中看出当把指标定为17.46千元 (21.3,22.58]3 0.06 0.94 时，月65,的推销员经过努力才能完成销 (22.58,23.86] 1 0.02 0.96 售指标.(23.86,25.14] 2 0.04 12、(1)数据的散点图如下:, (2)用表示身高，表示年龄，则数据的回归方程为. yxyx,，6.31771.984(3)在该例中，斜率6.317表示孩子在一年中增加的高度.(4)每年身高的增长数略. 3,16岁的身高年均增长约为6.323 cm.(5)斜率与每年平均增长的身高之间之间近似相等.第三章概率3(1随机事件的概率练习(P113)1、(1)试验可能出现的结果有3个，两个均为正面、一个正面一个反面、两个均为反面.(2)通过与其他同学的结果汇总，可以发现出现一个正面一个反面的次数最多，大约在50次左右，两个均为正面的次数和两个均为反面的次数在25次左右. 由此可以估计出现一个正面一个反面的概率为0.50，出现两个均为正面的概率和两个均为反面的概率均为0.25.2、略3、(1)例如:北京四月飞雪;某人花两元钱买福利彩票，中了特等奖;同时抛10枚硬币，10枚都正面朝上.(2)例如:在王府井大街问路时，碰到会说中文的人;去烤鸭店吃饭的顾客点烤鸭;在1,1000的自然数任选一个数，选到的数大于1.练习(P118)1、说明:例如，计算机键盘上各键盘的安排，公交线路及其各站点的安排，抽奖活动中各奖项的安排等，其中都用到了概率. 学生可能举出各种各样的例子，关键是引导他们正确分析例子中蕴涵的概率思想.2、通过掷硬币或抽签的方法，决定谁先发球，这两种方法都是公平的. 而猜拳的方法不太公平，因为出拳有时间差，个人反应也不一样.3、这种说法是错误的. 因为掷骰子一次得到2是一个随机事件，在一次试验中它可能发生也可能不发生. 掷6次骰子就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现2也可能不出现2，所以6次试验中有可能一次2都不出现，也可能出现1次，2次，…，6次. 练习(P121)DB1、0.7 2、0.615 3、0.4 4、 5、习题3.1 A组(P123)D1、. 2、(1)0; (2)0.2; (3)1.439070,0.067,0.14010.891,,3、(1); (2); (3). 6456456454、略5、0.136、说明:本题是想通过试验的方法，得到这种摸球游戏对先摸者和后摸者是公平的结论. 最好把全班同学的结果汇总，根据两个事件出现的频率比较近，猜测在第一种情况下摸到11红球的概率为，在第二种下也为. 第4次摸到红球的频率与第1次摸到红球的频率应10101该相差不远，因为不论哪种情况，第4次和第1次摸到红球的概率都是. 10习题3.1 B组(P124)1、. D2、略. 说明:本题是为了学生根据实际数据作出一些推断. 一般我们假定每个人的生日在12个月中哪一个月是等可能的，这个假定是否成立，引导学生通过收集的数据作出初步的推断.3(2古典概率练习(P130)1111、. 2、. 3、. 1076练习(P133)331、，. 88112132、(1); (2); (3); (4); 1313413210(5); (6); (7); (8)1. 132说明:模拟的方法有两种.(1)把1,52个自然数分别与每张牌对应，再用计算机做模拟试验.(2)让计算机分两次产生两个随机数，第一次产生1,4的随机数，代表4个花色;第二次产生1,13的随机数，代表牌号.43、(1)不可能事件，概率为0; (2)随机事件，概率为; (3)必然事件，概率为91;(4)让计算机产生1,9的随机数，1,4代表白球，5,9代表黑球.14、(1); (2)略; 6(3)应该相差不大，但会有差异. 存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的，但在200次试验中，该事件发生的次数又是有规律的，所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2 A组(P133)11、游戏1:取红球与取白球的概率都为，因此规则是公平的. 2。

2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大值 Word版含解析

2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大值 Word版含解析

[A 基础达标]1．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3B ．3－22C ．3－23D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x·1x ＝3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号． 2．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 解析：选B.因为x ＋1x －1＋5 ＝(x －1)＋1x －1＋6 ≥2（x －1）·1x －1＋6＝8. 所以log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5≥3，所以y min ＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36解析：选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎡⎦⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎡⎦⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝⎛⎭⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4 解析：选D.因为x ＞1，y ＞1，所以log 2x ＞0，log 2y ＞0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝⎛⎭⎫log2x ＋log2y 22＝⎣⎡⎦⎤log2（xy ）22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.5．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( ) A ．－3B ．2C ．3D ．8 解析：选C.y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝2×3－5＝1.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，即a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3. 6．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值为________． 解析：x ＋1x ＋y ＋1y＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y＝3＋⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立． 答案：57．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a2＋b2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14. 答案：148．若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________． 解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，所以1a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b)＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，所以2a ＋b 的最小值为8. 答案：8 9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值； (2)设x ＞－1，求y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值． 解：(1)2x ＋y ＝3（2x ＋y ）3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y时等号成立，即y 2＝4x 2. 所以y ＝2x .又因为1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43. 所以当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83. (2)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0.设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. 所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值为9. 10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)． (2)法一：S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x×163y ＝1 832－480＝1 352， 当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1 800， 即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352.法二：S ＝1 832－6x －163×1 800x＝1 832－⎝⎛⎭⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x×9 600x＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝9 600x， 即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800x＝45. [B 能力提升]11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立， 所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12．若a ，b ∈R ，ab >0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________． 解析：a4＋4b4＋1ab ＝a3b ＋4b3a ＋1ab ，由基本不等式得，a3b ＋4b3a ＋1ab≥2a3b ×4b3a ＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a3b ＝4b3a ，4ab ＝1ab同时成立时等号成立． 答案：413．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，所以3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0.所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0.所以xy ≥1，所以xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝⎛⎭⎫x ＋y 22， 所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号．所以x ＋y 的最小值为2.14．(选做题)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝2米，AD ＝1米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？(2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：(1)设DN 的长为x (x >0)米，则|AN |＝(x ＋1)米，因为|DN||AN|＝|DC||AM|， 所以|AM |＝2（x ＋1）x， 所以S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝2（x ＋1）2x . 由S 矩形AMPN >9，得2（x ＋1）2x>9， 又x >0，所以2x 2－5x ＋2>0，解得0<x <12或x >2. 即DN 的长的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．(单位：米) (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y ＝2（x ＋1）2x ＝2x2＋4x ＋2x ＝2x ＋2x ＋4≥2·2x·2x＋4＝8(x >0)． 当且仅当2x ＝2x即x ＝1时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为8平方米．。

2017-2018学年北师大必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案

2017-2018学年北师大必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案

第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为 ()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2019全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1 260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。

(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(3)

一、选择题1．设0,0a b >>，若4a b +=.则49a b+的最小值为（ ） A ．254B ．252 C ．85D ．1252．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ）A ．12B ．45C ．92D ．4193．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．64．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．35．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-16．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<< D ．42m -<<7．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16 B ．25C ．36D ．498．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R9．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．810．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<-11．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知2xy x =+，则42x y+的最小值为_________14．已知实数x y ，，正实数a b ，满足2x y a b ==，且213x y+=-，则2a b +的最小值为__________．15．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______．16．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．17．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 18．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 、1h ，A ，B 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h ．若合理安排生产可使收入最大为______元．19．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 20．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值. 22．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.23．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（4a +1）x +4（a ∈R ）.（1）若关于x 的不等式f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，求实数a ，b 的值； （2）解关于x 的不等式f （x ）＞0.24．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？25．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值； （2）求x y +的最小值26．如果x ，y R ∈，比较()222+x y 与()2xy x y +的大小．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值． 【详解】0,0,4a b a b >>+=()(4914914912513134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当49b aa b =，即812,55a b ==时取等号. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．C解析：C 【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min0213222PM--==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是232922⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y bx a--：两点连线斜率， 3．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.4．B解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦， 所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>， 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】 作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.6．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()21214424428y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立， 由于不等式2212m m x y+>+成立， 故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.7．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：416416416(1)16111111a a ab a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.8．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．10．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题11．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()2233x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．A解析：A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正解析：【分析】依题意可得21x y +=，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为2xy x =+，2x xy =+-，所以()()()()2222221(1)42222x y x xy x x xy x y ⎡⎤+-+=+-=+-++⎣⎦， 所以2242144x y y x xy +-+=-， 所以()()222210x y x y +-++=， 所以()2210x y +-=，所以21x y +=，所以42x y +≥=42x y =，即14x =，12y =时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（解析：2【分析】由条件化简可得218a b =，利用均值不等式求最小值即可.【详解】正实数a b ，满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==， 所以2222212log log log 3a b a b x y+=+==-， 所以218a b =，由均值不等式知，22a b +≥=，当且仅当2a b =，即a =，4b =时等号成立.故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线解析：53【分析】 作出可行域，令yt x =，OA OB y k k x ≤≤，所以7,313t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22111222x y xy t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用函数的单调性即可求最值. 【详解】由43040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得：13575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以137,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由140x x y =⎧⎨+-=⎩解得：13x y =⎧⎨=⎩，所以()1,3B ，y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以OA OB yk k x ≤≤, 775131305OAk -==-，30310OB k -==-，令7,313y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 所以22111222x y xy t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1y t t =+在7,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,3单调递增，当3t =时，1713109213791y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，当75t=时，1153233y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以222x y xy +的最大值为53，故答案为：53. 【点睛】 思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的ac倍；2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；（2）z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=倍.16．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．17．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最解析：12-【分析】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立，则有△＝m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，实数m的最小值为：1 2-，故答案为12-．【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y＝x2+mx+m在x∈[1，2]上的最值问题．18．800000【分析】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元列出实际问题中xy所需满足的条件作出可行域数形结合求出目标函数的最大值【详解】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元目标函数为需要满解析：800000【分析】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，列出实际问题中x、y所需满足的条件，作出可行域，数形结合求出目标函数30002000z x y=+的最大值.【详解】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为30002000z x y=+，需要满足的条件是24002500x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，作出可行域如图所示，目标函数30002000z x y=+可转化直线3122000y x z=-+，数形结合知当直线经过点A时z取得最大值．解方程组24002500x yx y+=⎧⎨+=⎩，可得点()200,100A，则z 的最大值为30002002000100z =⨯+⨯=800000元． 故答案为：800000 【点睛】本题考查线性规划解决实际问题，属于基础题.19．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）1；（2）9. 【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值； （2）先求得141b a+=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值． 【详解】 （1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<，即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --， 又不等式的解集为{|02}x x <<， 所以2(2)2m --=，解得1m =； （2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=， 所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号， 所以+a b 的最小值为9． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 22．(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞【分析】(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）； (2) 利用一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ， ∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ，∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x ∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1∴f （x ）＝x 2﹣x+1．(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0． 化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1． ∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题. 23．（1）-1,6；（2）答案见详解 【分析】（1）由f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}结合韦达定理即可求解参数a ，b 的值；（2）原式可因式分解为()()()14f x ax x =--，再分类讨论即可0,0,0a a a =<>，对0a >再细分为111,0,,,444a a a ⎛⎫⎛⎫=∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】（1）由f （x ）≥b 得()24140ax a x b -++-≥，因为f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，故满足4112a a ++=，412b a-⨯=，解得1,6a b =-=； （2）原式因式分解可得()()14f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当0a =时，()40f x x =-+>，解得(),4x ∈-∞；当0a <时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为1,4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当0a >时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， ①若14a =，即14a =，则()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为4x ≠；②若14a <，即14a >时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；③若14a >，即104a <<时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题. 24．（1）400吨；（2）不获利，补40000元. 【分析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，利用基本不等式求得yx的最小值，利用等号成立的条件求得x 的值，由此可得出结论； （2）令()2211100200800003008000022f x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-⎪⎝⎭，求得该函数在区间[]400,600的最大值，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤， 所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元）， 当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立， 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭，400600x ≤≤，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-. 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损. 【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）4；（2）4. 【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值.【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy +≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号）， ∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥， ∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号）， 所以x y +的最小值为4. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力. 26．()()2222x y xy x y ≥++，当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y yy x x y xyx y xxy yx y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥，223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ()()2222x y xy x y ∴≥++，当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题.。

北师大高中数学必修5综合测试卷及答案

北师大高中数学必修5综合测试卷及答案

必修五综合测试卷姓名： 学号： 得分：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则7a 的值等于( ) A ．1B ．14C ．15D ．162．∆ABC 中，AB45A =︒，C =75︒则BC=( ) A ．3-BC ．2D ．3．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为S n ，若3a +9a =6，则S 11=( )A ．12B ．33C ．66D ．994．对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题中①ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，c >d ， 则a c b d +>+；③若a >b ，c >d ，则ac bd >；④a >b ，则1a >1b其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．某船开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．15kmB ．30kmC ．15D ．km6．已知等比数列{}n a ，若1a +2a =20，3a +4a =80，则5a +6a 等于( ) A ．480B ．320C ．240D ．1207．在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()cos cos sin a C c A B +=，则角B 的值为( ) A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π8．数列{}n a 满足a 1=1，()1122n n n a a n a --=≥+，则使得12009k a >的最大正整数k 为( )A ．5B ．7C ．8D ．109．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 （ ）A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a10.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95S S 的值为A ．1B ．－1C ．2D ．21二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在题后的横线上) 11.在钝角三角形ABC ∆中a=1,b=2.。

北师大版高中高三数学必修5《数列》评课稿

北师大版高中高三数学必修5《数列》评课稿

北师大版高中高三数学必修5《数列》评课稿1. 引言本评课稿旨在对北师大版高中高三数学必修5《数列》进行全面评价，并提供教学建议，以帮助教师更好地教授这一内容。

本文将从以下几个方面进行评价和分析：教材内容的合理性、教学设计的创新性、学生的学习效果以及教师的教学方法。

2. 教材内容的合理性北师大版高中高三数学必修5《数列》的教材内容设计合理、全面、科学，符合高中数学课程标准，并且具有循序渐进的特点。

教材中的内容覆盖了数列的基本概念、数列的通项公式、数列的性质和数列的应用等知识点。

每个知识点都有清晰的定义和解释，且配有充分的例题和习题，能够帮助学生逐步理解和掌握数列的相关概念和性质。

3. 教学设计的创新性本套教材在教学设计上充分考虑了学生的实际情况和学习特点，采用了多样化的教学方法和教学资源，以提高学生的学习兴趣和主动性。

首先，教材中有丰富的例题和习题，通过这些习题可以帮助学生强化对数列的基本概念和性质的理解，并培养学生的解题能力和思维能力。

其次，教材中还设计了一些拓展性的应用题，引导学生应用数列的知识解决实际问题，培养学生的综合运用能力和创新思维。

另外，教材还采用了多媒体教学手段，结合计算机、投影仪等现代化教学设备，展示数列的图形、动画等形式，直观地展示数列的性质和应用，激发学生的学习兴趣。

4. 学生的学习效果经过调研和观察，北师大版高中高三数学必修5《数列》教材在学生的学习效果上表现良好。

通过学习该教材，学生能够掌握数列的基本概念和性质，能够运用数列的通项公式解决相关问题，并能够理解数列在数学和实际生活中的应用。

此外，学生在学习过程中表现出较高的学习动力和积极性，对数列的学习兴趣浓厚。

教材中的例题和习题设计得当，既能够巩固掌握的知识，又能够拓展思维和解题能力，对学生的学习起到很好的促进作用。

5. 教师的教学方法教师在上课过程中，根据教材的内容和学生的实际情况，采用了多种教学方法和策略，取得了良好的教学效果。

2018秋新版高中数学北师大版5习题：第一章数列1.2.1.1版含解析数学

2018秋新版高中数学北师大版5习题：第一章数列1.2.1.1版含解析数学

2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念和通项公式课时过关·能力提升1.在数列{a n }中,a 1 =2,2a n +1 -2a n =1,那么a 101的值为 ( ) B.50 C.51 D.52a n +1 -a n =12,∴数列{a n }是首||项为2,公差为12的等差数列,那么a n =2 +12(n -1). ∴a 101 =2 +12×100 =52.n }是公差为正数的等差数列,假设a 1 +a 2 +a 3 =15,a 1a 2a 3 =80,那么a 11 +a 12 +a 13的值为( ) B.120 C.90 D.75a 1 +a 2 +a 3 =15,得a 2 =5,所以a 1 +a 3 =10,a 1a 3 =16,解得a 1 =2,a 3 =8或a 1 =8,a 3 =2.{a n }的公差为正数,所以数列{a n }是递增数列.所以a 1 =2,a 3 =8,其公差d =a 2 -a 1 =5 -2 =3,所以a 11 +a 12 +a 13 =(a 1 +10d ) +(a 2 +10d ) +(a 3 +10d ) =(a 1 +a 2 +a 3) +30d =15 +30×3n ||项a 1 =7,公差d =5的等差数列,假设a n =2 017,那么序号n 等于( )B.401C.402D.403a 1 =7,d =5,a n =7 +5(n -1) =5n +2.5n +2 =2 017,解得n =403.{a n }的公差为d ,假设数列{2a 1a n }为递减数列,那么( )B.d>0C.a 1d<0D.a 1d>0{2a 1a n }为递减数列,且y =2x 是增函数,所以{a 1a n }是递减数列,a 1a n +1 -a 1a n =a 1(a n +1 -a n ) =a 1d<0.log 32,log 3(2x -1),log 3(2x +11)成等差数列,那么x 的值为( ) -3 B.log 37 C.log 27 D.4log 3(2x +11) -log 3(2x -1) =log 3(2x-1) -log 32,∴2x +112x -1=2x -12,即22x -4·2x -21 =0,解得2x =73(舍去),∴x =log 27.{a n }中,a 1 =70,d = -9,那么这个数列中绝||对值最||小的一项为( )B.a 9C.a 10D.a 11{a n }中,由a 1 =70,d = -9,得a n = -9n +79,∴数列{a n }是首||项为正数的递减等差数令 -9n +79≥0,解得n ≤799,且a 8 =7,a 9 = -2,a 10 = -11,a 11 = -20,∴这个数列中绝||对值最||小的a 9.{a n },假设a n =10 -2n (n ∈N +),且a 1 +a 2 +… +a m =|a 1| +|a 2| +… +|a m |,那么正整数m 的最||大值是( )B.5C.6D.7a n =10 -2n ,得{a n }为递减数列.a m =10 -2m ≥0,m ∈N +,1≤m ≤5.∴m 的最||大值为5.8.等差数列{a n }的图像是平行于x 轴的直线上的均匀分布的一群孤立的点,那么数列{a n }的公差d 〞 "<〞或 " =〞).{a n }是等差数列,知a n =a 1 +(n -1)d =dn +a 1 -d.由其图像是平行于x 轴的直线上的孤立的0,故d =0.9.在数列{a n }中,a 1 =1,对任意的n ∈N +,有a n +1 =a n 1+a n ,那么1a 2 017= .a n +1 =a n 1+a n ,得1a n+1−1a n =1, 故{1a n }是首||项为1,公差为1的等差数列, 所以1a n =1 +(n -1) =n. 故1a 2 017 =2 017.10.在数列{a n }中,a 3 =2,a 7 =1,且数列{1a n +1}是等差数列,那么a 11 = .a 3 =2,a 7 =1,所以1a 3+1=13,1a 7+1=12. 设等差数列{1a n +1}的公差为d ,那么1a 7+1=1a 3+1 +4d , 即12=13 +4d ,解得d =124,所以1a 11+1=1a 7+1 +4d =12+16=23,解得a 11 =12.求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项. 是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.由a 1 =3,d =7 -3 =4,得当n =4时,a 4 =3 +(4 -1)×4 =15;当n =10时,a 10 =3 +(10 -1)×4 .(2)是.由a 1 =2,d =9 -2 =7,得这个数列的通项公式为a n =2 +(n -1)×7 =7n -5. 令7n -5 =100,解得n =15∈N +,因此100是这个数列的第15项.★12.在数列{a n }中,a 1 =35,a n =2 -1a n -1(n ≥2,n ∈N +),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N +). (1)求证:数列{b n }是等差数列;{a n }中的最||大项和最||小项,并说明理由.a n =2 -1a n -1(n ≥2,n ∈N +),b n =1a n -1, ∴当n ≥2时,b n -b n -1 =1a n -1−1a n -1-1 =1(2-1a n -1)-1−1a n -1-1=a n -1a n -1-1−1a n -1-1 =1. 又b 1 =1a 1-1 = -52, ∴数列{b n }是以 -52为首||项,1为公差的等差数列.(1)知,b n =n -72,那么a n =1 +1b n =1 +22n -7. 设函数f (x ) =1 +22x -7,易知f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上是减少的. 故当n =3时,a n 取得最||小值 -1;当n =4时,a n 取得最||大值3.。

高中数学 第一章 数列高考原创题探讨素材 北师大版必修5

高中数学 第一章 数列高考原创题探讨素材 北师大版必修5

高中数学 第一章 数列高考原创题探讨素材 北师大版必修5【原创题探讨】数 列【原创精典1】如图①，②，③，……是由花盆摆成的图案，① ② ③根据图中花盆摆放的规律，猜想第n 个图形中花盆的盆数n a = .【解析】通过图形的变化寻求规律，以每行盆数为突破口。

【答案】2331n n -+【原创精典2】已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．【解析】利用a n ＝S n －S n －1求通项尤其注意n=1时的情况。

【答案】,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －10n －1＝9·10 n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-)2(109)1(111n n n 【原创精典3】将自然数0，1，2，…按照如下形式进行摆列：，根据以上规律判定，从2009到2011的箭头方向是( )【解析】利用摆列的规律找到数列通项，从而确定所要箭头方向。

【答案】B新动向前瞻 【样题1】计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数211611111）（个转换成十进制形式是（ ）.A ．1722-B ．1622-C ．1621-D ．1521-【解析】151********(1111)1212121221=⨯+⨯+⨯+⨯=-【答案】C【样题2】已知数列：1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+211，⎪⎭⎫ ⎝⎛++41211，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++8141211，…，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-12141211n ，求它的前n 项的和S n ． 【解析】考查数列的求和。

【答案】∵ a n ＝1＋21＋41＋……＋121-n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n 2112211211 ∴a n ＝2－121-n 则原数列可以表示为：(2－1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-212，⎪⎭⎫ ⎝⎛-2212，⎪⎭⎫ ⎝⎛-3212，…⎪⎭⎫ ⎝⎛--1212n 前n 项和S n ＝(2－1)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-212＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-2212＋…＋⎪⎭⎫ ⎝⎛--1212n ＝2n －⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-122121211n ＝2n －211211--n ＝2n －2⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211 ＝121-n ＋2n －2【样题3】已知公差大于0的等差数列{n a 1}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ．【解析】【答案】设{n a 1}的公差为d(d ＞0)，由a 2，a 4，a 8成等比数列可知21a ，41a ，81a 也成等比数列， ∴(41a )2＝21a ·81a ∴(11a ＋3d)2＝(11a ＋d)(11a ＋7d) 化简得d 2＝1a d ，∴11a ＝d 又a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1化简为21a ＋41a ＋61a ＝6421a a a∴3·41a ＝621a a ·41a ∴21a ·61a ＝3，即(11a ＋d)(11a ＋5d)＝3 2d·6d＝3 ∴d＝21，11a ＝21 ∴n a 1＝11a ＋(n －1)d ＝2n ∴a n ＝n2 【样题4】以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n 、a n ＋1)均在一次函数y ＝2x ＋k 的图象上，数列{b n }满足条件：b n ＝a n ＋1－a n ，且b 1≠0．⑴ 求证：数列{b n }为等比数列．⑵ 设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S 6＝T 4，S 5＝－9，求k 的值．【解析】考查特殊数列的判断及求和公式的灵活运用【答案】⑴由题意，a n ＋1＝2a n ＋k∴ b n ＝a n ＋1－a n ＝2a n ＋k －a n ＝a n ＋kb n ＋1＝a n ＋1＋k ＝2a n ＋2k ＝2b n∵ b 1≠0，∴ nn b b 1+＝2 ∴ {b n }是公比为2的等比数列．⑵ 由⑴知a n ＝b n －k∵ b n ＝b 1·2n －1 ∴ T n ＝)12(21)21(11-=--n n b b S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )－nk＝T n －nk ＝b 1(2n－1)－nk∵ ⎩⎨⎧-==9546S T S ∴ ⎩⎨⎧-=-=-953115663111k b b k b 解得：k ＝8【样题5】已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ,4224S S =+,1n n n a b a +=． （1）求公差d 的值；（2）若152a =-，求数列{}nb 中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≤成立，求1a 的取值范围．【解析】考查等差数列的综合运用及函数的增减性。

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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五数列 同步练习5.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．128.图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）13．41，4(1)n -10．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =．10．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭10.在xOy 平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n *∈N ，连接原点O 与点(,4)n P n n -，用()g n 表示线段n OP 上除端点外的整点个数，则(2008)g =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S = （ ）A ．45B ．50C ．55D ．605. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ==，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a ++(n ÎN *)的直线的斜率是A ．4B ．3C ．2D ．16．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则155a a =A ．3B ．13C ．3或13D ．3-或13- 6．5113133133133,4,1,3a a a a a a a a ⋅=⋅=+=∴== 或3133,1,a a ==1513533a a a a ∴==或13，故选C 。

3. 已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于（ ）。

A ．18B ．27C ．36D ．453.C 解：在等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，∴198a a +=，则该数列前9项和S 9=199()2a a +=36， 故选择答案C3．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数211611111）（个转换成十进制形式是（ ）.A ．1722-B ．1622-C ．1621-D ．1521-3．解析：15141016216(1111)1212121221=⨯+⨯+⨯+⨯=-，答案：C 4．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭9.若数列{}n a 满足221n n a a d +-=（d 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方差数列”．甲：数列{}n a 是等方差数列； 乙：数列{}n a 是等差数列，则（ ）．A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件11． 设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则67a a +=______11．1811．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……试用 n 表示出第n 个图形的边数 ____________n a =.11、134n -´3．在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a +=（ ）A ．135B ．100C ．95D ．80 6. 在等差数列中，若是a 2+4a 7+a 12=96，则2a 3+a 15等于()A ．12 ()B ．96 ()C 24 ()D ．486. 在各项为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项和为21，则345a a a ++=A.33B. 72C.84D.1898．已知等比数列}{n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得1S ＝8，2S ＝20，3S ＝36，4S ＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 （ ） A ．1S B ．2S C ．3S D ．4S12. 已知等比数列{n a }的各项均为不等于1的正数，数列}{n b 满足,18,ln 3==b a b n n 126=b ，则数列}{n b 前n 项和的最大值为______________. 12. 1328. △ABC 内有任意三点不共线的2005个点，加上,,A B C 三个顶点，共2008个点，把这2008个点连线形成互不重叠（即任意两个三角形之间互不覆盖）的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ）A ．4008 B.4009 C.4010 D.40115．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列nb{a }前10项的和等于A.55B.70C.85D.1005．解析：C ．本题考查了等差数列的通项及前n 项和计算．11111111,11(1)12523n n n b n a a n b b n a a b a b n a b n n n =+-=+-=+-=++--=++-=+-=+ 因此，数列{}nba 也是等差数列，并且前10项和等于：10(413)852+= 1．已知等差数列{a n }是单调数列，且a 1,a 3,a 4,成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则3523S S S S --的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．不能确定 13．在等比数列{a n }中，若=+++-==+++4321324321111189,815a a a a a a a a a a ，则13．35-3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2S n+1+a n 2，a 2=－1则数列{a n }的首项为 （ ） A ．1或－2B ．±1C ．±2D ．2或－120、（本题满分14分）设函数2113()424f x x x =+-，对于正数数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()n n S f a =，()n N *∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在等比数列{}n b ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+ 对一切正整数n 都成立？若存在，请求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.20.解：（1）由2113()424f x x x =+-，()n n S f a = ，()n N *∈ 得2113424n n n S a a =+-()n N *∈ ① ………2分2111113424n n n S a a +++=+- ， ② 即 221111111()422n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-+-， ………4分即 221111()()042n n n n a a a a ++--+= ，即 11()(2)0n n n n a a a a +++--=∵n a ＞0，∴12n n a a +-= ，即数列{}n a 是公差为2的等差数列，……7分 由①得，21111113424S a a a ==+-，解得13a =， 因此 ，数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. ………9分 （2）假设存在等比数列{}n b ，使得对一切正整数n 都有111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+ ③当2n ≥时，有1122112(23)2n n n a b a b a b n --+++=-+ ④③－④，得 2(21)n n n a b n =+， 由21n a n =+得，2n n b = ………………13分 又11162(211)a b ==⨯+满足条件，因此，存在等比数列{}2n，使得111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+ 对一切正整数n都成立. …………………14分21、（本小题满分14分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n nnn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p . 21、解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，………………2分)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- ………………4分（2）由（1）得n n n b 212-=， n n nn n T 2122322523211321-+-++++=∴- ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . nn n n n n T 23232122132+-=---=∴-，………………6分 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f nn 得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m ………………9分（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=，则1)1(4)1(2)32)(12(22)11()11)(11(121)11)(11()11)(11(321)()1(221121-++=+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n 1)1(2)1(2=++>n n ………………12分)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p . ………………14分 21．（本小题满分14分）把自数按下表排列：（Ⅰ）求200在表中的位置（在第几行第几列）；（Ⅱ）试求自上至下的第m 行，自左至右的第n 列上的数；（Ⅲ）求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、……的通项公式和前n 项和的求和公式.21．（本小题满分14分）解：把表中的各数按下列方式分组：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），……，（Ⅰ）由于第n 组含有2n －1个数，所以第n 组的最后一个数是1+3+5+2)12(n n =-+Λ因为不等式2002≥n 的最小整数解为n=15，这就是说，200在第15组中，由于142=196，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数. 所以200在表中自上至下的第4行，自左至右的第15列上； …………4分（Ⅱ）如果n m ≥，则第m 行上的数自左至右排成的数列是以－1为公差的等差数列；这个数列的首项是第m 行的第1个数，即分组数列的第m 组最后一个数为是1+3+5+…+（2m －1）=m 2，则自上至下的第m 行，自左至右的第n 列上的数为m 2+)1)(1(--n12+-=n m ；………………7分如果m<n ，则第n 列上的数自上向下排成的数列是以1为公差的等差数列；这个数列的首项是第n 列的第1个数，即分组数列的第n 组的第一个数为{1+3+5+…+[2(n －1)－1]}=(n －1)2+1，则自上至下的第m 行，自左至右的第n 列上的数为m n m n +-=⋅-++-22)1(1)1(1)1( …………10分（Ⅲ）设表中主对角线上的数列为{a n }，即1，3，7，13，21，……，则 易知n a a n a a n n n n 2211=-+=++，即∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+Λ+-+-=---1]12)2(2)1(2[+⋅+Λ+-+-=n n 112)1(22+-=+-⨯=n n n n …………12分 ∴n n a a a a S +Λ+++=321nn n n n n nn n ++-++=++Λ+++-+Λ+++=2)1(6)12)(1()321()321(2222 n n 32313+=………………14分20．（14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足114,2+==n n n a a S a （1）求;,,432a a a （2）求;n a（3）若,2)(2211n n n nn n n b a C a C a C =+++ 求证：nb b b 147222221-≤++ .20．解：（1）8,6,4432===a a a3分 （2）由已知：当n>1时，,411=--+n n a a 5分 当n 为偶数时，,24)15.0(2n n a a n =⨯-⨯+= 6分当n 为奇数时，,24]1)1(5.0[1n n a a n =⨯-+⨯+= 7分（此处等价于证出数列为等差）故n a n 2=对任意正整数n 都成立，即n a n 2=8分（3）nb b n nC k C a C n n n n k n k n k k n 1,222,22111=∴=∴==Θ--- 11分 所以222222211312111nb b b n ++++=+++n n n )1(1321411131211222-++⨯++≤++++=.1471113121411n nn -=--++-++=14分18．（本小题满分14分）已知数列}2{1n n a ⋅-的前n 项和96n S n =-．(1) 求数列｛n a ｝的通项公式；(2)设2(3log )3n n a b n =⋅-，求数列｛1nb ｝的前n 项和． 18.解：(1)1n =时，011123,3a S a ⋅==∴=; ………………2分当11232,26,2n n n n n n n a S S a ----≥⋅=-=-∴=时． ………………4分 23(1)3(2)2n n n a n -=⎧⎪∴=⎨-≥⎪⎩通项公式 ………………6分(2) 设｛1nb ｝的前n 项和为n T ，当1n =时， 1211113log 13,3b T b =-=∴==；………………8分2n ≥时，223(3log )(1)32n n b n n n -=⋅-=⋅+⋅，∴1n b 1(1)n n =+ ………………10分 ∴n T =1211111132334n b b b +++=++++⨯⨯ 1(1)n n +＝5161n -+5161n T n ∴=-+ ………………14分 20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=+nn nS b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：123n T n >-．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(1),1－=- aS a a ∴1,=a a 当2n ≥时，11,11n n n n n a aa S S a a a a --=-=---1nn a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n n a a a a -=⋅=； ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)(31)211(1)n n n n n aa a a a ab a a a ⋅----=+=-，若{}n b 为等比数列， 则有2213,b b b =而21232323223,,,a a a b b b a a+++=== 故22232322()3a a a a a +++=⋅，解得13a =， ………………………………7分 再将13a =代入得3n n b =成立， 所以13a =． ………………………………………………………………8分（III ）证明：由（Ⅱ）知1()3nn a =，所以11111331131311()1()33n n n n n n n c +++=+=++-+- 111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+- 1112()3131+=--+-n n ， ………………………………………………… 9分由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133n n n n ++-<-+- 所以1113112()2()313133＋++=-->---n n n n n c ， …………………… 12分从而122231111111[2()][2()][2()]333333n n n n T c c c +=+++>--+--+--22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++-11112()2333n n n +=-->-．即123n T n >-． …………………………14分20. （本小题满分14分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

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