数学北师大版九年级下册圆周角和圆心角关系定理

《圆周角定理》例题变式教学湖北省宜昌市第九中学褚艳娟【摘要】《圆周角定理》例题变式教学【关键词】圆周角定理变式教学分类讨论从特殊到一般数学思想和方法【正文】针对人教版数九年级上册第24章第一节第4课时《圆周角》的内容，在课的设计过程中首先从教材分析（包括教材的地位和作用，教学目标，教学重难点）、学情分析、教法学法几个方面的思量和把握，整堂课从动手观察开始，以理解圆周角概念和掌握圆周定理为核心，让学生能用它进行简单的推理和计算为最终目的展开。

从学习过程中让学生能充分感悟分类讨论的数学思想，掌握从特殊情况入手，去解决一般性问题的方法.所以教学过程中我设置了观察与思考、猜想与验证、应用与巩固、归纳与拓展四个环节。

在这四个环节中，我通过观察与思考环节，让学生掌握了圆周角的概念，以小组活动为主线，猜想并验证了圆周角定理教学过程中的观察与思考、观察与思考环节，学生掌握了圆周角概念和圆周角定理：同一段弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，并根据同一段弧所对的圆周角有无数多个和圆周角定理，得到同弧或等弧所对的圆周角都相等的推论，现在为了加深圆周角定理及其推论的的理解和记忆，我没有急于按课本的编排顺序去学习圆周角的其他相关知识，而是进入到巩固与应用环节中去：.首先我出示了一个几何背景，如图，圆的两条任意半径OA、OB和圆上一个动点C（不与A,B重合），其中∠AOB=n°例. 对于C在圆周上运动时，当圆心角∠AOB=70°时，以“小题”变式的形式呈现了如下三个问题：问题（1）：当C在优弧AB上运动时，圆周角∠ACB的度数是多少呢？活动形式：学生独立思考作答.【设计分析】这个条件下的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB都是同一段劣弧AB所对的角，它们之间符合圆周角定理中的对应关系，根据圆周角定理即可得到答案11703522ACB AOB︒︒∠=∠=⨯=，此题设置让学生进一步理解了，只有同一段弧所对的圆周角和圆心角之间才有对应的2倍或12的数量关系.同时引导学生观察C在优弧AB上运动时形成的所有圆周角，根据圆周角定理推论，发现这些圆周角都是相等的，即为圆心角∠AOB度数的一半，借此巩固了同弧所对的圆周角相等的推论.问题（2）：是当C继续在圆上其他位置运动时，圆周角∠ACB的度数是否发生变化？若改变，画出图形，并求出度数；若不改变，请说明理由.活动形式：同桌讨论作答【设计分析】因为在第一个问题中，学生已经得出了当C在优弧AB上运动时，∠ACB的度数不变，始终是35°，在这个问题的提出后，学生就会想到去求C点在劣弧AB上运动时形成的圆周角∠ACB的度数，为了区别不同的情况，我用C′表示C在劣弧AB上运动时的位置，并出示了如图2的状态图形，【设计分析】这种情况下的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB并是不同一段弧所对的一组对应角，对于这个问题我预设，有的学生在判断时，会出错.若出错，可以让学生同桌讨论，总结方法，互相补充，老师提炼出找圆周角和圆心角所对弧的方法，这个难点的突破，不仅帮助学生能很轻松发现圆周角∠AC′B 和图中标记的圆心角∠1是优弧AB 所对应的一对角，而且让学生进一步理解了圆周角定理成立的前提条件.这个问题在难度上较第一问来说有所提升，让学生在巩固练习中充分加深了对于圆周角定理中难点的理解，并再一次体会了圆周角定理的推论运用.问题（1）、问题（2）的设置让学生观察到C 在整个圆上运动时所产生的圆周角，即可以分为C 分别在优弧AB 上和劣弧A B 上运动时这两种情况，因此在另一个方面也增强了学生分类讨论的意识 ，与本节课在圆周角定理的猜想与验证过程中所渗透的数学思想遥相呼应.问题（3）：是求C 在圆上运动时所产生的两种情况下的圆周角的度数和为多少？并猜想：当n 取其他值时，刚才∠ACB 和∠AC ′B 之间的数量关系还成立吗？说说理由.活动形式：小组讨论，代表发言 【设计分析】乍看起来很简单，学生很容易根据前面的两问结果得到180°的结论，但这题设置的真正意图是让学生通过圆心角∠AOB 的度数为具体数值时，得到∠ACB +∠AC′B =180°的结论，去猜想圆心角∠AOB 的度数为n 时，结论仍然成立，并推理验证这个猜想.整个过程让学生再一次经历了从具体到抽象，从特殊入手，达到解决一般性问题的数学研究问题的过程，并让学生在证明过程中，增强了用字母表示数的符号意识.如果时间允许，可以借机让学生观察A 、B 、C 、D 四个点的位置都在圆周上，顺理成章的引出了圆的内接四边形，四边形的内接圆的定义概念，在讨论了一组内角互补的情况下，让学生猜想并验证另一组内角是否也有同样的数量关系，从而又再一次经历猜想和验证的过程，得到圆的内接四边形的对角互补的性质。

当然，如果时间不允许，可以在下节课，仍然借用这个大背景，专门研究圆的内接四边形的问题.【设计意图】整个例题中三个问题的设置以圆心角∠AOB和圆上不同于A、B的动点C为背景，并以“小题”形式呈现出来的.它是一种难度递进的变式教学，为老师的“教”和学生的“学”搭建了合理台阶.同时教学活动：个人独立思考—同桌商讨—小组共同探索形式的变化也体现出了一种变式教学.不论是设计问题上的变式，还是活动形式上的变式，对于教师引导学生学会如何分析问题，突破难点起到了推波助澜的作用.学生不仅学会了解答此题，更在应用过程中总结得出了类似圆上动点问题，都需要有分类讨论的意识，给学生在“一法多用”，“多题一解”上有所启示.同时在证明圆的内接四边形的第二组对角互补时，也体现出了“一法多用”的变式，让学生再次巩固了根据“圆周角定理”和“周角定义”的综合知识解决类似问题的要领，丰富了他们解决问题的数学方法，帮他们树立了迎接挑战的信心.之后出示了有关圆周角定理相关的变式训练：※变式一：它是对应用中的第二问的图形作了变动，延长了AC′，并给出圆周角∠AC′B的补角∠B C′D的度数，去求圆心角∠AOB的度数是多少？【设计分析】在这里可以用所学知识，预设有两种基本解法：方法一如图4（1），体现出补角定义、周角定义和圆周角定理的应用，方法二如图4（2），主要是利用了之前探究问题中∠ACB与∠AC′B互补的结论和圆周角定理.【设计意图】整个变式体现出了解决问题方法的多样性.它体现出了一题多解的变式教学，其中蕴含了补角定义、周角定义、圆周角定理以及第一个应用中得到两个周角互补的基础知识，加强了新旧知识之间的联系，帮助学生克服了前学后望的情况.在对比学习中，了解了常规方法，探索到了最佳方法，培养了学生多样化思维，同时也让学生明白了基本知识的掌握是灵活解决问题的关键所在.在学生们熟悉圆周角定理的基础上，又出示了第二个变式：※变式二问题一：如图5（1）已知圆周角∠ACB=90°时，求对应的圆心角的度数是多少？【设计分析】学生根据圆周角定理比较容易得出只要无论C运动，只要∠ACB=90°时，所对的圆心角的度数都是180°，这时让学生试着归纳结论：圆周角是90°时，所对的弦长为直径，或是所对的弧为半圆弧.为了能应用上述结论，于是添加了相关如下条件：圆半径OA=5,弦长BC=6，求另一弦长AC的长度.【设计分析】学生此时容易将问题转化为求R t△ABC的直角边的问题，让学生体会到了解决圆与三角形问题的关键在于转化，这种数学思想将贯穿整个整个初中数学学习中去.在上面的问题中已经得到圆心角∠AOB=180°，接着我在圆上找了一个异于C的点P，如图5（2），问题二：连接AP,BP，判断△ABP形状，【设计分析】学生解决这个问题可以用多种方法解决，可以根据圆周角定理，得到了∠AOB所对应的圆周角∠APB为90°，于是判定出△ABP是直角三角形；也有的学生根据例题中的第三问的结论，发现∠APB+∠ACB=180°,根据这个数量关系求出圆周角∠APB的度数为90°.结束后，让学生归纳得到圆心角是180°时，它所对应的圆周角都是90°，也就是直径所对的圆周角都是90°的结论.接下来添加了如下条件：连接PC,如图5（3），且它恰好平分∠ACB的条件，在（1）的条件下求Rt△ABP的两条直角边的长度【设计分析】因为所添加的PC是圆周角∠ACB的角平分线，看到这个条件，学生会根据角平分线的定义得两个相等的圆周角，那么这个结论会不会对△ABP的形状产生影响呢？学生在这里会出现困难，于是引导学生回忆圆心角、弦、弧之间关系定理，这无疑给学生指明了思考的方向，学生再结合本节的的圆周角定理，把两个相等的圆周角转化成其对应的圆心角相等，从而得到所对的弦长P A=PB的结论，最后判定Rt△ABP是等腰直角三角形，利用勾股定理就可以得出结果.【设计意图】通过变式二，让学生在熟练运用圆周角定理求圆心角或圆周角的度数的过程中总结得到了圆周角定理的第二个推论：直径所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦长是直径，这个推论启示学生遇到圆的直径的条件，要与90°的圆周角或构造直角三角形联系起来，同时也在过程中得到了在同圆或等圆中，圆周角相等时，所对的圆心角、弦长和弧长也相等的结论，这是继弦、弧和圆心角关系定理之后的延续和补充.这个题目实际上是对课本例题的改编，目的在于进行铺垫式的变式探究，让学生在应用圆周角定理的过程中很轻松地再次获取新知，提高了学生自主探索的能力，激发了同学们学习数学的欲望，增强了他们学习的自信心.以上一个例题和两个变式练习的设置不仅让在学生巩固了圆周定理，而且又轻松地再次获得了新知识，培养了学生迁移解决问题的能力.为了让学生能将前面已学过的圆的有关性质融会贯通，思维上有所提升，进行本节小结后，我出示了屏幕上的拓展题，这道题仍然延用了例题中的几何背景：OA、OB是⊙O 的任意两条半径，∠AOB=n °，C为圆上一动点，在这个大条件下，设置了变式三作为拓展延伸的思考题：※变式三：综合应用当C运动到如图6 （1）的位置，此时恰好OC⊥AB，在⊙O上取了一点E，使∠AEB=35°.①则∠BOC= ;②连接EC，如图6 （2），则∠AEC= ; .③延长CO交⊙O于F，连接EF,如图6 （3），则∠AEF= . .【设计意图】此题设置实际上是一题多变式的教学，以“小题”变式的形式呈现,题目涉及到垂径定理，弧、圆周角、圆心角、弦的关系定理，圆周角定理及其推论的知识，是对圆的相关性质所以内容的一次综合，帮助学生形成完整的知识结构，考察了学生知识的综合运用和触类旁通的变通能力，并从中总结出常见一个基本图形，为后面解决类似问题提供了便利.根据实际教学，这节课的教学容量大，学生接受新知的能力有限，因材施教，可以将这节课分为三节课去解决，第一节可以进行圆周角定理的猜想验证，并知晓同弧或等弧所对的圆周角相等的推论，进行简单的计算巩固定理，第二课时可以进行相关综合例题讲解，就是以上的例题变式教学过程，在巩固的过程中，轻松学习了剩下的相关的圆周角的内容，第三节以圆的内接多边形为中点，着重研究圆的内接四边形性质的运用，可以在第二节例题的几何背景下，继续变式教学，使三节课的教学有整体性和完整性.整个例题的变式教学由浅而深，逐级上升，使各个层次的学生都能有收获，也体现出数学课堂上的分层教学.通过例题的变式教学，让学生达到三个境界：第一，学生能明确每道题涉及到的基础知识有哪些，夯实基础，并能将前后所学的内容融会贯通；第二，学生在解题完毕后进行反思，分析解题关键、解题困难在哪里？从而总结解题经验；第三，让学生观察比较所做的例题和变式练习，揭示隐藏在题目中的一般特征，推广为某一类对象的普遍性质，总结解题规律，提高自己分析问题、探索问题的能力和创新能力.【参考文献】[1]《数学课程标准》[2]初中数学例题变式教学探究-学法指导许立均.。