高三数学一轮复习第13讲正、余弦定理及应用教案

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高三数学一轮复习精品教案1：正弦定理和余弦定理教学设计

4.6正弦定理和余弦定理1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．『试一试』1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．『解析』设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，解得sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66.『答案』662．(2013·扬州三模)如果满足∠ABC ＝60°，AB ＝8，AC ＝k 的△ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是________．『解析』由条件得8sin 60°＜k ＜8，从而k 的取值范围是(43，8)．『答案』(43，8)1．把握三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2．选用正弦定理或余弦定理的原则如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．『练一练』1．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．『答案』432．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.『解析』由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋3t 2－7t 22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.『答案』2π3考点一利用正弦、余弦定理解三角形『典例』 (2013·徐州摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A ，且C ＝120°.(1)求角A ； (2)若a ＝2，求c .『解析』 (1)由正弦定理及a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A 得sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B －sin C cos A .所以sin(A ＋C )＝sin(B ＋C )．因为A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＋C ＝B ＋C ，所以A ＝B . 又因为C ＝120°，所以A ＝30°.(2)由(1)知a ＝b ＝2，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋4－2×2×2cos 120°＝12，所以c ＝2 3.『备课札记』『类题通法』1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．『针对训练』(2013·南京、盐城一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6 ＝sin A ，求A 的值； (2)若cos A ＝14，4b ＝c ，求sin B 的值．『解析』(1)因为cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝sin A ，即cos A cos π6－sin A sin π6＝sin A ，所以32cos A ＝32sin A . 显然cos A ≠0，否则由cos A ＝0得sin A ＝0，与sin 2 A ＋cos 2 A ＝1矛盾，所以tan A ＝33. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6.(2)因为cos A ＝14，4b ＝c ，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝15b 2，所以a ＝15b .因为cos A ＝14，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝154.由正弦定理得15b sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝14. 考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状『典例』在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．『解析』 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1.又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°. ∴A ＝B ＝C ＝60°， ∴△ABC 为正三角形．『备课札记』在本例条件下，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状. 『解析』由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ， ∴b 2＋c 2＝2bc .∴(b －c )2＝0.即b ＝c ，又A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．『类题通法』判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．『针对训练』(2014·镇江期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足b cos C ＋12c ＝a .(1)求角B ；(2)若a ，b ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．『解析』(1)法一：由正弦定理得sin B cos C ＋12sin C ＝sin A .而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C . 故cos B sin C ＝12sin C .在△ABC 中，sin C ≠0，故cos B ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝a .化简得a 2＋b 2－c 2＋ac ＝2a 2，即b 2－c 2＋ac ＝a 2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由题知b 2＝ac .由(1)知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以a 2＋c 2－2ac ＝0，即a ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．考点三与三角形面积有关的问题『典例』 (2013·苏州暑假调查)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝60°且cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．『解析』 (1)在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114.得sin(B ＋C )＝1－cos 2B ＋C ＝1－⎝⎛⎭⎫－11142＝5314.又B ＝60°，所以cos C ＝cos 『(B ＋C )－B 』＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B ＝－1114×12＋5314×32＝17.(2)因为cos C ＝17，C 为△ABC 的内角，sin(B ＋C )＝5314，所以sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝c sin C 得55314＝c 437，所以c ＝8.又a ＝5，sin B ＝32，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12 ×5×8×32＝10 3. 『备课札记』『类题通法』三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．『针对训练』(2013·南通一调)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项．(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．『解析』(1)由题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B . 因为A ＋C ＝π－B,0＜B ＜π，所以sin(A ＋C )＝sin B ≠0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由B ＝π3得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a ＋c2－2ac －b 22ac＝12，所以ac ＝2.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32.『课堂练通考点』1．在△ABC 中，a ＝1，c ＝2，B ＝60°，则b ＝________. 『解析』由余弦定理得b ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3. 『答案』32．(2014·无锡调研)在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 的长度为________．『解析』在△ABC 中，由A ＝45°，C ＝105°得B ＝30°.由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 得AC 12＝222，所以AC ＝1.『答案』13．(2014·镇江质检)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________. 『解析』由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，令a ＝2，b ＝3，c ＝4，再利用余弦定理得cos C ＝－14.『答案』－144．(2013·山东高考改编)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.『解析』由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.结合余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2. 当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.『答案』25．(2013·南通一调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2的取值范围．『解析』(1)因为tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B. 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，所以sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，所以C ＝π3.(2)由C ＝π3，设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0＜A ＜2π3，0＜B ＜2π3，知－π3＜α＜π3.因为a ＝2R sin A ＝sin A ，b ＝2R sin B ＝sin B ，所以a 2＋b 2＝sin 2A ＋sin 2 B ＝1－cos 2A 2＋1－cos 2B2＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α ＝1＋12cos 2α.由－π3＜α＜π3知－2π3＜2α＜2π3，－12＜cos 2α≤1，故34＜a 2＋b 2≤32.。

高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新

高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。

如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。

下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。

余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。

下面我分别从教材分析。

教学目标的确定。

教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

高考数学一轮复习教学案正弦定理和余弦定理的应用

第八节正弦定理和余弦定理的应用[知识能否忆起]1．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．2．解三角形应用题的一般步骤(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．[小题能否全取]1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°答案：B2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示， ∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.3.(教材习题改编)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：选A 由正弦定理得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．4．(·上海高考)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6. 答案： 65．(·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．解析：如图，由题意知在△ABC 中，∠ACB ＝75°－60°＝15°，B ＝15°，∴AC ＝AB ＝8.在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行412＝8海里．答案：8解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．测量距离问题典题导入[例1] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． [自主解答] (1)在△ABC 中，由余弦定理得 cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D .解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD >S △ABC .故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？解：因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形， ∠D ＝60°，∠C ＝60°.故S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 000 3≈86 600元．由题悟法求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．以题试法1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝105°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100 m.(1)求sin ∠CAB 的值； (2)求该河段的宽度．解：(1)sin ∠CAB ＝sin 105° ＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. (2)因为∠CAB ＝105°，∠CBA ＝45°，所以∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠CAB ，则BC ＝AB ·sin 105°sin 30°＝50(6＋2)(m)．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 的长就是该河段的宽度．在Rt △BDC 中，CD ＝BC ·sin 45°＝50(6＋2)×22＝50(3＋1)(m)．所以该河段的宽度为50(3＋1)m.测量高度问题典题导入[例2] (·九江模拟)如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD (CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A 处向山顶前进l 米到达B 后，又测得CD 对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC 的长；(2)若l ＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD 的高度．[自主解答] (1)在△ABC 中，∠ACB ＝β－α，根据正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB ，所以BC ＝l sin αsin (β－α).(2)由(1)知BC ＝l sin αsin (β－α)＝24×sin 15°sin 30°＝12(6－2)米．在△BCD 中，∠BDC ＝π2＋π6＝2π3，sin ∠BDC ＝32，根据正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以CD ＝24－83米．由题悟法求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．以题试法2．(·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得BC ＝x .在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40米．测量角度问题典题导入[例3] (·太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[自主解答] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.由题悟法1．测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2．在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．以题试法3.(·无锡模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是________．解析：∵AD 2＝602＋202＝4 000，AC 2＝602＋302＝4 500. 在△CAD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，∴∠CAD ＝45°.答案：45°1．在同一平面内中，在A 处测得的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.19解析：选D ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3. ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.2．一个大型喷水池的有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.3．(·天津高考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B ．－725C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 4．(·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．20 3 海里解析：选A 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， ∴∠BCA ＝45°.又AB ＝40×12＝20(海里)，∴由正弦定理可得20sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(海里)．6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6解析：选B ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003 m ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032m.∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km.∴山高为18－11.4＝6.6 km.7.(·南通调研)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要________元．解析：三角形空地的面积S ＝12×123×25×sin 120°＝225，故共需225×120＝27 000元．答案：27 0008.(·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：329．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 310.如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°， ∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6. 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)解：由题意，设AC ＝x ，则BC ＝x －217×340＝x －40，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝140 3.答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．12.(·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km 的C ，D 两地测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝30°(如图，其中A ，B ，C ，D 在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A ，B 之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？解：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，CD ＝6，∠ADC ＝75°，所以∠CAD ＝60°.因为CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD，所以AD ＝CD ×sin ∠ACD sin ∠CAD＝6×2232＝2 6. 在△BCD 中，∠BCD ＝30°，CD ＝6，∠BDC ＝15°，所以∠CBD ＝135°.因为CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD，所以BD ＝CD ×sin ∠BCD sin ∠CBD＝6×1222＝3 2. 又因为在△ABD 中，∠BDA ＝∠BDC ＋∠ADC ＝90°，所以△ABD 是直角三角形．所以AB ＝AD 2＋BD 2＝(26)2＋(32)2＝42.所以电线长度至少为l ＝1.2×AB ＝6425(单位：km) 答：施工单位至少应该准备长度为6425km 的电线．1.某城市的电视发射塔CD 建在市郊的小山上，小山的高BC 为35 m ，在地面上有一点A ，测得A ，C 间的距离为91 m ，从A 观测电视发射塔CD 的视角(∠CAD )为45°，则这座电视发射塔的高度CD 为________米．解析：AB ＝912－352＝84，tan ∠CAB ＝BC AB ＝3584＝512.由CD ＋3584＝tan(45°＋∠CAB )＝1＋5121－512＝177，得CD ＝169. 答案：1692.10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.解析：∵由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴x sin 45°＝10sin 60°.∴x ＝1063m. 答案：1063m 3.(·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA ―→成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x (x ∈R )的值域．解：(1)连接BC ，由余弦定理得BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.∴BC ＝107，即所求距离为107海里． (2)∵sin θ20＝sin 120°107， ∴sin θ＝ 37. ∵θ是锐角，∴cos θ＝47. f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x ＝37sin x ＋37cos x ＝237sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－237，237.1.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102， ∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2. 因此，乙船的速度为10220×60＝30 2(海里/时)． 2.如图，扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB 为2π3，半径OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段DB 组成，其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO .设∠AOC ＝θ.(1)用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，观光道路最长？解：(1)在△OCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠COD ＝OD sin ∠DCO ＝CO sin ∠CDO＝23，所以CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝cos θ＋13sin θ，OD ＝23sin θ，因为OD <OB ，即23sin θ<1，所以sin θ<32，所以0<θ<π3，所以CD ＝cos θ＋33sin θ，θ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，π3. (2)设观光道路长度为L (θ)，则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长＝1－23sin θ＋cos θ＋13sin θ＋θ ＝cos θ－13sin θ＋θ＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， L ′(θ)＝－sin θ－33cos θ＋1，由L ′(θ)＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以θ＝π6，列表： θ⎝⎛⎭⎫0，π6 π6 ⎝⎛⎭⎫π6，π3 L ′(θ)＋ 0 － L (θ)增函数极大值减函数所以当θ＝π6时，L (θ)达到最大值，即当θ＝π6时，观光道路最长．。

高三数学一轮复习：正、余弦定理及其应用(一)(教案)

第四课时正、余弦定理及其应用（一）（教案）【复习目标】1．掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式；2．能用正、余弦定理进行边角关系的转换，熟练进行边角计算； 3．会求三角形的未知元素，能解决有关三角形的求值、化简和证明问题．【知识梳理】1．三角形内角和定理①利用π=++C B A ，有)s i n (s i n C B A +=，)cos(cos C B A +-=，tan tan()A B C =-+等；②利用2222π=++C B A ，有2cos 2sin C B A +=等； 2．正弦定理2()sin sin sin sin sin a b c a b c R R ABC A B C sinA B C++====∆++是的外接圆的半径 ::sin :sin :sin a b c A B C =利用正弦定理解决：①已知两角和其中一边；②已知两边和其中一边的对角．（先求另一边的对角，要注意两解，一解或无解情况） 3．余弦定理2222222cos cos 2b c a b c bc A A bc a+=+-=⇔-2222222cos cos 2a c b a c ac B B acb+=+-=⇔-2222222cos cos 2a b c a b ab C C abc=+-=⇔+-.利用余弦定理解决：①已知三边；②已知两边及两边的夹角． 4．常用三角形的面积公式111sin sin sin 222S ab C bc A ca B∆===221sin sin sin 2sin sin sin 22sin()4a B C abcS ab C R A B C B C R====+=2a b c s ++=）5．判断三角形的形状判断三角形的形状时，一般把等式中的边化为角或角化为边，然后再完成恒等变换．注意：齐次等式或齐次式比值中的正弦等价转化．如：2sin sin 2sin a b c A B C +=⇔+=，CBA c b a sin sin sin +=+. 6．解斜三角形问题：按已知条件得不同，可以分为以下四个类型： ① 已知两角一边；② 已知两边夹角；解唯一 ③ 已知三边；④ 已知两边一对角；解不唯一，要讨论；如已知：边,a b ，角A（1）A 为锐角A b a sin < A b a sin = A b a b sin >> b a > 无解一解二解一解（2）A 为钝角b a ≤ b a > 无解一解 7．对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．对于实际应用问题中的有关名词、术语，要理解清楚，如坡角、俯角、仰角、视角、方向角、方位角等．【基础练习】 1．在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（B ）A ．直角三角形B ．等边三角形A b CA b C Ab C C A b aA Cb CA baC ．钝角三角形D ．等腰直角三角形２．△ABC 中，::4:1:1A B C =，则::a b c 为（D ）A ．3∶1∶1B ．2∶1∶1C1∶1 D1∶1３．若,,A B C 是△ABC 的三个内角，且A B C <<（C ≠2π），则下列结论中正确的是（A ）A ．sin sin A C < B ．cot cot A C < C ．tan tan A C < D ．cos cos A C < ４．不等边△ABC 中，,,a b c 分别对角,,A B C ，且最大边a 满足条件222a b c <+，则A ∠的取值区间是（C ）A ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭５．满足条件4,45a b A ===︒的三角形ABC 的个数是（B ）A ．一个B ．两个C ．无数个D ．不存在6．在△ABC 中，222a cb ab -+=，则C ∠=（A ）A ．60︒B ．45︒或135︒C ．120︒D ．30︒７.在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（A ） A.1665 B.5665 C.1665或5665 D.1665- ８．在△ABC 中，A B >是sin sin A B >的（C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件９．在△ABC中，AC =，45A ∠=，75C ∠=，则BC１０．在ABC ∆中，若︒=120A ，5,7AB BC ==，则AB C ∆的面积S =3415. 【典型例题】【例1】解答下列各题：（1）在ABC ∆中，若30A =︒，　2a b ==，求角B ；（2）在ABC ∆中，已知：2,15a b C === ，求角B ．解：（1）由正弦定理，得sin sin a bA B=，即sinsin b A B a =，得 sin B ==∵a b <，∴30B A >=︒，B 为锐角或钝角．即45B =︒或135︒；（2）由余弦定理，得2222cos 4822cos15c a b ab C =+-=+-⨯⨯︒，因为cos151)︒==，所以21248c =-=-所以c ==所以222cos 2b c a A bc +-===，所以30A =︒，135B =︒. 【例２】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且31cos =A . （1）求A CB 2cos 2sin2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值.解：（1）A C B 2cos 2sin2++=)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A =)192()311(21-++= 91-；（2）∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=,又∵3=a ，∴49≤bc ，当且仅当23==c b 时bc 取最大值是49. 【例３】在ABC ∆中，已知AB 边的长4c =，AC 边的长7b =，且BC 边的中线长72AD =，求解这一三角形．解：设x DC BD ==，∵ADB ADC π∠=-∠， ∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理，得x x x x ⋅⨯-+-=⋅⨯-+2727)27(2724)27(222222，解得29=x ，∴9a =，∴72472947cos 222-=⨯⨯-+=A ，∴72arccos -=πA ，又32492749cos 222=⨯⨯-+=B ，∴32arccos =B ，同理可得 2119arccos =C ．【例4】已知,,a b c ABC ∆是的三边，S ABC ∆是面积，求使不等式2224c a b ab pS --+≥恒成立的实数p 取值范围.解：∵2222cos ,c a b ab C =+-∴142cos sin,84cos sin2ab ab C p ab C C p C -≥⋅-≥84cos,(0,),sinCp CC π-≤∈又84cossinCC-的最小值为，(,p∴∈-∞说明：由不等式的结构特征，联想到余弦定理与三角形面积公式，把关于p 的不等式转化为只含参数角C的不等式，本题恒成立的问题就变为求84cossinCC-在(0,)Cπ∈时的最小值问题．【备用例题】１．已知ABC∆的三条边长分别为cba、、；（1）若cba、、依次成等差数列，求B∠的取值范围；（2）若cba、、依次成等比数列，证明ABC∆中至少有两个内角不超过60 ．思考：两题的结论可以互换吗？答：可以解：（1）依题意，cab+=2，2122123221)(4324)(2cos22222222=-≥-+=+-+=-+=acacacacaccaaccacaacbcaB而π<<B0，Bcos单调递减，∴B的取值范围是]30(π，；（2）已知acb=2，由正弦定理，得2222221cos2222a cb ac ac ac acBac ac ac+-+--==≥=，∴060≤B，又由acb=2知ca、中必有一数不大于b，不妨设bc≤，则060≤≤BC，证毕．２．已知cba、、是ABC∆中∠A、∠B、∠C的对边，S是ABC∆的面积.若4,5,a b S===c的长度.解：∵1sin2S ab C=，∴sin2C=，于是60C∠= 或120C∠= ；又∵2222cosc a b ab C=+-，当60C∠= 时，222c a b ab=+-，c当120C∠= 时，222c a b ab=++，c=∴c的长度为21或61．【巩固练习】１．在ABC ∆中，设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q ：ABC ∆是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 2．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（B ）A ．15x <<Bx <<C．1x <<D5x <<3．已知ABC ∆中，1,30a b B ==︒，则ABC ∆或. 4．在ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∠=1611arccos （用反三角函数值表示）.5．在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，给出下列结论： ①由已知条件这一三角形被唯一确定； ②ABC ∆一定是一个钝角三角形；③sin :sin :sin 7:5:3A B C =；④若8=+c b ，则ABC ∆的面积是2315．其中正确结论的序号是_______②③____________ ．6．在ABC ∆中，已知：2,15a b C === ，求：角,B A 和边c ．答案：30,135A B c === .7．已知在ABC ∆中，　,　4,c a b C π=>=tan tan 6A B ⋅=，试求,a b 以及此三角形的面积．解：∵tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B +=+-tan (1tan tan )tan(16)54C A B π=--=--=又∵tan tan 6A B ⋅=，且a b >，则ta n t a n A B >，∴tan 3,tan 2A B ==．而0,　022A B ππ<<<<，∴sin ,　sin 105A B ==利用正弦定理，可得sin sin c A a C ===sinsin5c BbC===1124∴sin225525.ABCS ab C∆==⨯⨯⨯=8．在ABC∆中，已知4442222a b c c a b++=+（），求角C.提示:4442222222222222()2,a b c c a b a b c a b a b c++=++-=∴+-=（）,得答案:0045135或9．如图，水平飞行的飞机的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机高度为海拔8000米，速度为600千米/时，飞行员在A处先看到山顶M的俯角︒=50α，经10秒后在B处看到山顶M的俯角︒=70β，求山顶M 的海拔高度.（精确到1米）答案：4492米10．三角形两边分别为3,1，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__1__.11.ABC∆中，若22tan sin tan sinA B B A⋅=⋅，则ABC∆一定是等腰三角形或直角三角形.12.若ABC∆的三条边为,,a b c满足()()3a b c a b c ab++⋅+-=，则C=60︒.13.设ABC∆的内角,,A B C的对边长分别为,,a b c，3cos()cos2A C B-+=，2b ac=，求B.解：由3cos()cos2A C B-+=及()B A Cπ=-+得3cos()cos()2A C A C---=，3cos cos sin sin(cos cos sin sin)2A C A C A C A C+--=，3sin sin4A C=.又由2b ac=及正弦定理得2sin sin sinB A C=，故23sin4B=，sin B=或sin B=(舍去)，于是3B π=或23B π=. 又由2b ac =知b a b c ≤≤或，所以3B π=.14.ABC ∆中，角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，且(c o s c o s )a B C b c+=+.(1)求证：2A π=；(2)若ABC ∆外接圆半径为1，求ABC ∆周长的取值范围．解：(1)证明：∵(cos cos )a B C b c +=+ ∴由余弦定理得22222222a c a b acabbca abc +-+-⋅+⋅=+，∴整理得222()()0a b b c c +--=. ∵0b c +>，∴222a b c =+.故2A π=.(2)∵ABC ∆外接圆半径为1，2A π=，∴2a =.∴2(sin cos ))4b c B B B π+=+=+．∵02B π<<，∴3444B πππ<+<，∴2b c <+≤∴42a b c <++≤+故ABC ∆周长的取值范围是(4,2+．15.在ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c ===, 若22299190a b c +-=，则B AC co t co t co t += 95解：B A C cot cot cot +=C C B A 2sin cos sin sin =2c ab •2222a b c ab+-=95。

2019-2020最新高三数学一轮复习第13讲正余弦定理及应用教案(1)

——教学资料参考参考范本——2019-2020最新高三数学一轮复习第13讲正余弦定理及应用教案(1)______年______月______日____________________部门教学目标（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。

教学准备多媒体课件教学过程一．知识梳理：1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝cos B＝ca，cos A＝sin B＝cb，tan A＝。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C。

3．三角形的面积公式：（1）△＝ah a＝bh b＝ch c（h a、h b、h c分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sin A sin B sin C。

高三数学一轮复习正弦定理与余弦定理综合应用教学案

正弦定理与余弦定理的应用一、考纲要求正弦定理与余弦定理的应用（B 级要求）．二、复习目标能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．三、重点难点利用两个定理工具解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．四、要点梳理1．仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫____________，目标视线在水平视线下方时叫____________．2．方位角：从正________方向沿顺时针到目标方向线的水平角叫方位角．五、基础自测1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，这条河的宽度为________2．已知向量a,b,c ，且a +b +c =0，a 与b 的夹角为135，c 与b 的夹角为120，2=c ，则+=a b ________．3．甲乙两楼相距20 m ，从乙楼楼底望甲楼楼顶的仰角为60°，从甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是______．4、在ABC ∆中，120A =，c=5，a ＝7，则sin sin B C的值为________． 5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时__________海里6．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为________．六、典例精讲例1、如图所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3． (1)求sin∠CED 的值；(2)求BE 的长．例2、在海岸A 处，发现北偏东45方向，距离A 1n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75方向，距离A 为2 n mile 的C 处有一艘缉私艇奉命以的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h 的速度从B 处向北偏东30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间例3．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A>0, ω>0) x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120o（1）求A , ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？例4、某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1．24，t anβ=1．20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？七、反思感悟正弦定理与余弦定理的应用课时练习1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c，若22a b -=，sin C B =，则A=________2．已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=，3,5a b ==，则BAC ∠=________ 3．某人朝正东方向走3km 后，向右转150︒然后朝新方向走kmx ,结果他离出发点恰好,那么x 的值为_________4．在ABC ∆中，设BC =a ，CA =b ，AB =c ，已知a 与b 的夹角为135︒，b 与c 的夹角为120︒，2||=c ．则ABC ∆的最长的边的长为5．已知在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船航行速度是千米/小时6．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ沿直线走30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向前走则测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是．7．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝_____m 8．如图，某同学在教学楼五楼P 处(P 点高出地面20m)，测得楼前广场地面上正南方向甲同学所在A 处，俯角为30︒乙同学在地面上南偏西30︒方向的B 处，俯角为45︒，求甲乙两同学之间的距离．9．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ(tan θ＝12)的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？A C(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇，试说明理由．10．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，53cos =C ．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？C BA。

高考数学复习第13课时正弦定理、余弦定理(1)学案湘教版

课题：正弦定理、余弦定理（1）教学目的：⑴使学生掌握正弦定理⑵能应用解斜三角形，解决实际问题教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？ ——提出课题：正弦定理、余弦定理二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a s i n =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da A a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R证明三：（向量法）过A 作单位向量垂直于由 AC +CB =AB两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB 则j •AC +j •CB =j • ∴||•||cos90+||•||cos(90C)=||•||cos(90A)∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作垂直于得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、讲解范例：例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 解：0030,45,10===C A c ∴00105)(180=+-=C A B由C c A a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 0=⨯==C A c a 由CcB b sin sin =得 25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 000+=+⨯==⨯==C B c b例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b例4 已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin ==，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：ABDADBAD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin ==即在△BCD 内，利用正弦定理得：.sin sin ,sin sin DBCBDCDC BC DBC DC BDC BC ==即∵BD 是B 的平分线∴∠ABD ＝∠DBC ∴sin ABD ＝sin DBC ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC∴CD BCDBC BDC ABD ADB AD AB ===sin sin sin sin ∴DCADBC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用四、课堂练习：1在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A2R B R C4R D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A B C 等边三角形D 等腰三角形 3在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos b a b B a A -=- 参考答案：1A ，2A 3C4B b A a sin sin =⇒b B a A sin sin =⇒22)sin ()sin (bB a A =⇒2222sin sin bBa A =⇒222cos 12cos 1b B a A -=- ⇒2222112cos 2cos ba b B a A -=- 五、小结正弦定理，两种应用六、课后作业： 1在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B 2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12BA B -+-=-⋅∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2即a 2，b 2，c 2成等差数列七、板书设计（略）八、课后记：。

高三数学一轮复习讲义正弦定理和余弦定理教案新人教A版

正弦定理和余弦定理自主梳理1. 正弦定理：__a sin A __＝__b sin B ____＝__csin C _＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝____ sin A ∶sin B ∶sin C _____； (2)a ＝___)2R sin A _____，b ＝__2R sin B _____，c ＝__2R sin C ___；(3)sin A ＝___a 2R ____，sin B ＝___b 2R ___，sin C ＝__c2R _____等形式，以解决不同的三角形问题.2.余弦定理：a 2＝__ b 2＋c 2－2bc cos A ________，b 2＝__ a 2＋c 2－2ac cos B _____，c 2＝____ a 2＋b 2－2ab cos C ____.余弦定理可以变形为：cos A ＝___b 2＋c 2－a 22bc ________，cos B ＝___a 2＋c 2－b 22ac ______，cos C ＝___a 2＋b 2－c 22ab______.3.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题.解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一．①等腰三角形：a ＝b 或A ＝B .②直角三角形： b 2＋c 2＝a 2或 A ＝90° . ③钝角三角形： a 2＞b 2＋c 2或 A ＞90° .④锐角三角形：若a 为最大边，且满足 a 2＜b 2＋c 2或A 为最大角，且 A ＜90° . 6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .基础自测1.在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.2.(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.3.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.4.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b的值为________.5.已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A.2 2B.8 2C. 2D.221.22.13.634. 35.C 6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a 、b 、c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b ＝ .【解析】∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin30°＝32，∴ac ＝6.又a 、b 、c 成等差数列，故2b ＝a ＋c .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos30°， ∴b 2＝4b 2－12－63，得b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】由a ＝2b cos C 得sin A ＝2sin B cos C ∵A ＋B ＋C ＝π ∴sin A ＝sin(B ＋C )∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C 即sin(B －C )＝0 ∵0<B <π，0<C <π ∴B ＝C ，选C. 8．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】∵a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，由正弦定理知：a sin A ＝b sin B ＝csin C.∴sin B ＝sin A ＝sin C ∴A ＝B ＝C ⇒a ＝b ＝c ，∴p ⇒q 又若a ＝b ＝c ，则A ＝B ＝C ＝60°⇒sin A ＝sin B ＝sin C . ∴a sin B ＝b sin C ＝csin A，∴q ⇒p .题型一利用正弦定理求解三角形及有关三角形中的三角函数的范围(最值)例1 ⑴在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c . (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .解 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ， 3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32.∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.由正弦定理asin A ＝bsin B ＝csin C，得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C sin A＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4.(2)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A . ①求角B 的大小；②求cos A ＋sin C 的取值范围．解析 ①由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形得B ＝π6.②cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin(π－π6－A )＝cos A ＋sin(π6＋A )＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋π3)．由△ABC 为锐角三角形知，π2＞A ＞π2－B ，又π2－B ＝π2－π6＝π3.∴2π3＜A ＋π3＜5π6，∴12＜sin(A ＋π3)＜32. 由此有32＜3sin(A ＋π3)＜32×3＝32，所以cos A ＋sin C 的取值范围为(32，32)．点评解决这类问题的关键是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成边，要么把边化成角，然后再进行三角恒等变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型函数，从而求解单调区间、最值、参数范围等问题，注意限制条件A ＋B ＋C ＝π，0＜A ，B ，C ＜π的应用，如本题中由△ABC为锐角三角形得到A ＋B ＞π2，从而推到2π3＜A ＋π3＜5π6.探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.变式训练1 (1) 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________. π6(2)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；（3）在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝______ 解析 (2)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110.又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.(3)由b >a ，得B >A ，由a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B <180° ∴B ＝60°或B ＝120°.（4）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C . ①求角C 的大小；②求3sin A －cos(B ＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解析 ①由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，从而sin C ＝cos C ，又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.②由(1)知B ＝3π4－A .于是3sin A －cos(B ＋π4)＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π6)．∵0＜A ＜3π4，∴π6＜A ＋π6＜11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin(A ＋π6)取最大值2.综上所述，3sin A －cos(B ＋π4)的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.（5）如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN经过△ABC 的重心G .设∠MGA ＝α(π3≤α≤2π3)．①试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为S 1与S 2)表示为α的函数；②求y ＝1S 21＋1S 22的最大值与最小值．解析①因为G 是边长为1的正三角形ABC 的重心，所以AG ＝23×32＝33，∠MAG ＝π6，由正弦定理GM sin π6＝GA sin π－α－π6 ，得GM ＝36sin α＋π6.则S 1＝12GM ·GA ·sin α＝sin α12sin α＋π6(或16 3＋cot α)．又GN sin π6＝GA sin α－π6 ，得GN ＝36sin α－π6，则S 2＝12GN ·GA ·sin(π－α)＝sin α12sin α－π6(或16 3－cot α)，②y ＝1S 21＋1S 22＝144sin 2α·[sin 2(α＋π6)＋sin 2(α－π6)]＝72(3＋cot 2α)．因为π3≤α≤2π3，所以，当α＝π3或α＝2π3时，y 取得最大值y max ＝240；当α＝π2时，y 取得最小值y min ＝216.题型二利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得： a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2 1．已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解 (1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)方法一将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 方法二将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A .由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A .∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π3－A )＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ，∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，·＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值.解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝45.又·＝3，∴bc cos A ＝3，∴bc ＝5.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝36－10－10×35＝20，∴a ＝2 5.３．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB BC ⋅＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的值．【解析】(1)∵AB BC ⋅＝8，∠BAC ＝θ，∴bc cos θ＝8.又a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ∴bc ≤16，即bc 的最大值为16.而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16，∴cos θ≥12∵0<θ<π，∴0<θ≤π3.(2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3＝3[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1∵0<θ≤π3， ∴π6<2θ＋π6≤5π6 ∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2.当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.点评有关三角形中的三角函数求值问题，既要注意内角的范围，又要灵活利用基本不等式．题型三正、余弦定理的综合应用例3 (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围. 解 (1)由题设并由正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2.探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角.通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角.变式训练３ 1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状. 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.2. ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos 2⑴ b a⑵若c 2=b 22求B.解: (1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝ 1＋3 a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.题型四判断三角形的形状一、判断三角形的形状例1在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解析 (1)由已知得：2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c .即a 2＝b 2＋c 2＋bc由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ∴cos A ＝－12∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.(2)由(1)得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C又sin B ＋sin C ＝1得sin B ＝sin C ＝12∵0°<B <60°，0°<C <60°. ∴B ＝C . ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．点评有关三角形形状的判定，途径一：探究内角的大小或取值范围确定形式；途径二：计算边的大小或转化为仅关于边的关系式确定形式．例4 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状.解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .方法一由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形.方法二由正弦定理、余弦定理得：a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形.变式训练4 1.已知在△ABC 中，222cosA b cc+=，则△ABC 的形状是解析：∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴cos A ＋12＝b ＋c 2c.∴cos A ＝b c . 又∵b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，即b 2＋c 2－a 2＝2b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．探究提高利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断. 2. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π41－cos 2A的值．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝423bc .由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13(2)原式＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A ＋π41－cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π42sin 2A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A ＋22cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A －22cos A 2sin 2A＝sin 2A －cos 2A2sin 2A＝－72.所以2sin(A ＋π4)sin(B ＋C ＋π4)1－cos 2A ＝－72方法与技巧1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．2.应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，练题一一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1【解析】根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B 得sin A cos A ＝sin 2B .∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D.2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C .等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形3.在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为( )A.2633B .2393 C.393D.13334.若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.1116【解析】结合正弦定理得：6a ＝4b ＝3c设3c ＝12k (k >0) 则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋16k 2－9k 22×2k ×4k ＝1116，选D.5.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23【解析】由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos60°两式相减得：ab ＝43，选A.二、填空题6.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝__523______.7.若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于____2____. 8.在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.4或5.9．已知△ABC 的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 .【解析】不妨设A ＝120°，c <b 则a ＝b ＋4，c ＝b －4∴cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12解得：b ＝10. ∴S △ABC ＝12bc sin120°＝15 3.三、解答题10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 是锐角，且3b ＝2a ·sinB .(1)求A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积为103，求b 2＋c 2的值.解 (1)∵3b ＝2a ·sin B ，由正弦定理知 3sin B ＝2sin A ·sin B . ∵B 是三角形的内角，∴sin B >0，从而有sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°，∵A 是锐角，∴A ＝60°. (2)∵103＝12bc sin 60°，∴bc ＝40，又72＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，∴b 2＋c 2＝89.11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .解方法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 方法二由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ，∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，又由已知得，sin Bsin C＝4cos A ，∴b ＝4c cos A .② 解①②得b ＝4.12．在△ABC 中，A ，B 为锐角，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＝35，sin B ＝1010. (1)求A ＋B 的值； (2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．【解析】(1)∵A ，B 为锐角，且sin B ＝1010 ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010又cos2A ＝1－2sin 2A ＝35∴sin A ＝55，cos A ＝1－sin 2A ＝255∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知C ＝3π4，∴sin C ＝22由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c 即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，即2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解析】(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin A sin B，即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ，即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ，所以sin C sin A＝2.(2)由(1)知sin C sin A ＝2，所以有ca＝2，即c ＝2a ，又因为周长为5，所以b ＝5－3a ，由余弦定理得：b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×14，解得a ＝1，所以b ＝2.练习2一、选择题1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ·sin C ，则A 的取值范围是( )A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)【解析】由已知得：a 2≤b 2＋c 2－bc由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ∴b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc∴cos A ≥12 ∵A ∈(0，π)，∴A ∈(0，π3]，选C.2.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( ) A.33B.36 C.63D .663.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( ) A.a >b B.a <bC.a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定二、填空题4.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝___60°_____，△ABC 的形状为__正三角形______.5.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是___4_____.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝___π4_____7.在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于____，AC 的取值范围为 .【解析】由正弦定理得：ACsin B ＝BC sin A ，即AC sin2A ＝1sin A， ∴AC 2sin A cos A ＝1sin A ，则ACcos A＝2.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝3A >90°，B ＝2A <90°∴30°<A <45°，22<cos A <32由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围是(2，3)．三、解答题8.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状.解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又∵0°<A <180°，∴A ＝120°.(2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . ∴34＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C ，又sin B ＋sin C ＝1， ② ∴sin B sin C ＝14.③解②③联立的方程组，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.9.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边， 4sin2B ＋C2－cos 2A ＝72. (1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值. 解 (1)∵B ＋C ＝π－A ，即B ＋C 2＝π2－A2，由4sin2B ＋C2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2A －1)＝72，整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，即(2cos A －1)2＝0. ∴cos A ＝12，又0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－bc ＝3，①又b ＋c ＝3，② ∴b 2＋c 2＋2bc ＝9.③① －③整理得：bc ＝2.④解②④联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中b ＝32，tan A ＋tan C ＋tan π3＝tan A ·tan C ·tan π3.(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c 的取值范围．解析 (1)tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C1－tan A ·tan C＝3tan A ·tan C －31－tan A ·tan C ＝－3， ∴A ＋C ＝2π3，∴B ＝π3.(2)由正弦定理有2R ＝b sin B ＝a sin A ＝csin C＝1，∵a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C )＝sin A ＋sin C＝sin A ＋sin(23π－A )＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6)又由0＜A ＜23π，有π6＜A ＋π6＜56π，∴32＜a ＋c ≤3，即a ＋c 的取值范围是(32，3]． 11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，a ＝23，tan A ＋B2＋tan C2＝4，sin B ·sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .【解析】由tan A ＋B 2＋tan C 2＝4，得cot C 2＋tan C2＝4，即cos C 2sin C 2＋sinC2cos C2＝4，所以cos 2C2＋sin2C2sin C 2cos C 2＝4，所以1sin C ＝2，所以sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或5π6，由sin B ·sin C ＝cos 2A 2，得sin B ·sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B ·sin C ＝1－cos B ·cos C ＋sin B ·sin C ，所以cos B ·cos C ＋sin B ·sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6， A ＝π－(B ＋C )＝2π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得， b ＝c ＝a ·sin Bsin A ＝23×1232＝2.12．若tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，c ＝3，试求ab 的最大值．(2)∵tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )∴－sin(A ＋B )cos(A ＋B )＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B即sin(A ＋B )cos A ＋sin(A ＋B )cos B ＋cos(A ＋B )sin A ＋cos(A ＋B )sin B ＝0 即sin(2A ＋B )＋sin(A ＋2B )＝0. ∴2A ＋B ＝－(A ＋2B )＋2k π(k ∈Z ) 或(2A ＋B )－(A ＋2B )＝π＋2k π(k ∈Z )∵A ，B 为△ABC 的内角，∴A ＋B ＝2π3，即C ＝π3.又c ＝3，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C得：3＋ab ＝a 2＋b 2≥2ab∴ab ≤3，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．故ab 的最大值为3.13．在△ABC 中，AC ＝1，∠ABC ＝2π3，∠BAC ＝x ，记f (x )＝AB BC ⋅ .(1)求函数f (x )的解析式及定义域；(2)设g (x )＝6m ·f (x )＋1，x ∈(0，π3)，是否存在正实数m ，使函数g (x )的值域为(1，54]？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由正弦定理BCsin x ＝AB sin π3－x ＝AC sin ∠ABC ＝1sin2π3，得BC ＝23sin x ，AB ＝23sin(π3－x )，∴f (x )＝AB BC ⋅＝AB ·BC cos(π－∠ABC ) ＝43sin x ·sin(π3－x )·12＝23(32cos x －12sin x )·sin x ＝13sin(2x ＋π6)－16，其定义域为(0，π3)． (2)g (x )＝6mf (x )＋1＝2m sin(2x ＋π6)－m ＋1(0＜x ＜π3)，假设存在正实数m 满足题设．∵0＜x ＜π3，∴π6＜2x ＋π6＜5π6，则sin(2x ＋π6)∈(12，1]．又m ＞0，则函数g (x )的值域为(1，m ＋1]，而g (x )的值域为(1，54]，故m ＋1＝54，∴m ＝14.故存在正实数m ＝14使函数g (x )的值域为(1，54]．14在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量p ＝(c －2a ，b )，q ＝(cos B ，cos C )，p ⊥q .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由p ⊥q 得：(c －2a )cos B ＋b cos C ＝0由正弦定理得，sin C cos B －2sin A cos B ＋sin B cos C ＝0 ∴sin(C ＋B )＝2sin A cos B∵B ＋C ＝π－A ∴sin(C ＋B )＝sin A 且sin A >0∴sin A ＝2sin A cos B ，cos B ＝12又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥ac当且仅当a ＝c 时“＝”成立．又b ＝23，∴ac ≤12. ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×12×32＝33，当且仅当a ＝c ＝23时，S △ABC 的最大值为3 3.。

高三数学一轮教学资料正弦定理和余弦定理活动导学案

《正弦定理与余弦定理》活动导学案【学习目标】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【重难点】选择适当的定理解决三角形的角、边问题。

【课时安排】1-2课时【活动过程】一.自学质疑：1．在△ABC 中，边,,a b c 所对角为,,A B C ,且sin cos cos A B C a b c==，则A ∠=____. 2、在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ .3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是____________.4．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = _____． 5．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是． 6.(2013·南京、盐城一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝sin A ，求A 的值；(2)若c os A ＝14，4b ＝c ，求sin B 的值．探究一1.在ABC ∆中，若︒===30,1,3A AC AB ，则ABC ∆的面积为 .2.在ABC ∆中，若︒===60,3,2B b a ，则=A .3.在ABC ∆中，若︒===30,15,5A b a ，则=c .4.若cC b B a A cos cos sin ==，则ABC ∆为三角形. 5.已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为c b a ,,.若26+==c a ，且︒=∠75A ，求b .6.在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=.（1）求A 的大小；（2）若1sin sin =+C B ，试判断ABC ∆的形状..探究二1.在ABC ∆中，若,31sin ,4,5===A B b π则=a . 2.已知锐角三角形ABC 的面积为33，3,4==AC BC ，则角=C .3.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状为 . 4.在ABC ∆中，已知31tan ,21tan ==B A ，则其最长边与最短边的比值为 . 5在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，已B b a C A sin )()sin (sin 2222-=-，ABC ∆的外接圆半径为2.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的面积的最大值探究三1.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,，且2223a bc c b =++，则=A .2.在ABC ∆中，已知4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则=C cos .3.在ABC ∆中，4,13,3===AC BC AB ，则边AC 上的高为 .4.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.当c b a ,,成等比数列时，且a c 2=，则=B cos . 5在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知c b a ,,成等比数列，且bc ac c a -=-22，（1）求角A ；（2）求cB b sin 的值.6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且ca b C B +-=2cos cos （1）求角B 的大小；（2）若4,13=+=c a b ，求三角形的面积.探究四1.在ABC ∆中，若B C bc b a sin 32sin ,322==-，则角=A .2.在△ABC 中，a ＝1，c ＝2，B ＝60°，则b ＝________.3.在ABC ∆中，若面积)(41222c b a S -+=，则角=C . 4.设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三条边，则实数a 的取值范围是 .5.在锐角三角形ABC 中，若C b a a b cos 6=+，则=+B C A C tan tan tan tan .6.(2014·无锡调研)在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 的长度为________．7.(2014·镇江质检)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________.8.(2013·山东高考改编)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.9.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =．（1）求c a的值；（2）求b 的值．10.设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若23b =，试求AB CB ⋅的最小值.11.(2013·南通一调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B.(1)求角C的大小； (2)若△ABC的外接圆直径为1，求a2＋b2的取值范围．。

高三数学一轮复习讲义正弦定理和余弦定理应用举例教案

芯衣州星海市涌泉学校正弦定理和余弦定理应用举例自主梳理1.实际问题中的常用角(1)．仰角和俯角与目的视线同在一铅垂平面内的程度视线和目的视线的夹角，目的视线在程度视线上方时叫仰角，目的视线在程度视线下方时叫俯角．(如下列图)(2)．方位角一般指从正北方向顺时针转到目的方向线的程度角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．(3)．方向角：相对于某一正方向的程度角．(如下列图)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目的方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目的方向．③南偏西等其他方向角类似．(4)．坡度角坡面与程度面所成的二面角的度数.坡面与程度面的夹角．(如下列图)(5)．坡比坡面的铅直高度与程度宽度之比，即i＝＝tanα(i为坡比，α为坡角)．自我检测1．如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝200 米．那么A，C两点的间隔为()A.米B．100 米C.米D．200 米2．如下列图，两座A和B与海洋观察站C的间隔相等，A在观察站C的北偏东40°，B在观察站C的南偏东60°，那么A在B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°A、B的相对位置如下列图，由得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，那么α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°3．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，那么塔高为________m. 4．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，那么山的高度BC为________m.500(＋1)5．△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD.解由cos∠ADC＝＞0知B＜，由得cosB＝，sin∠ADC＝，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.由正弦定理得，＝，所以AD＝＝＝25.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型题型一与间隔有关的问题例1如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间是是？实际应用题，本质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得＝，∴DB＝＝＝＝10(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间是是t＝＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．变式训练1〔1〕要测量对岸A、B两点之间的间隔，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的间隔.解:在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，∴A、B之间的间隔为km.〔2〕某观测站C在目的A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解如下列图，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝＝，所以sinB＝.在△ABC中，AC＝＝24，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，AB＝－11(舍)，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A还有15千米．点评：(1)实际问题经抽象概括后，量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或者者余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，量与未知量涉及到两个(或者者两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．〔3〕如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间是是.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，那么CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝海里.又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.题型二测量高度问题例2如下列图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一程度面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得＝，所以BC＝＝，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝变式训练2(1)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，假设沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解由题意可知，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，＝，∴BD＝＝20.过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DB·sin15°＝20×＝10(－1)．在Rt△ABE中，AB＝BE·tan30°＝(3－)(米)．故所求的塔高为(3－)米．(2)如图，某人在塔的正向上的C处在与塔垂直的程度面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.解(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×＝100(米)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝＝＝50(－1)(米).在Rt△ABE中，tanα＝.∵AB为定长，∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD.当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(米).设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟.那么t＝×60＝×60＝(分钟).(2)由(1)知当α获得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，∴AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°＝50(－1)··＝25(3－)(米).即所求塔高AB为25(3－)米.题型三几何中的正、余弦定理应用问题例3如下列图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长.探究进步要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成假设干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理.解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得＝，sin∠ABC＝＝＝.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝.同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°，由正弦定理：＝，解得BD＝.故BD的长为.变式训练3如下列图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.解:(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°，所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理＝，故AE＝＝＝－.四三角形中最值问题例4某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如下列图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝4，tanβ＝0，请据此算出H的值；(2)该小组分析假设干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的间隔d(单位：m)，使α与β之差较大，可以进步测量精度．假设电视塔实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？解(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.tanβ＝.所以tan(α－β)＝＝≤，当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号，所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，那么0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．变式训练4〔1〕如下列图，半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．解设∠POB＝θ，四边形面积为y，那么在△POC中，由余弦定理得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ.∴y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sinθ＋(5－4co sθ)＝2sin(θ－)＋.∴当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.所以四边形OPDC面积的最大值为2＋.〔2〕．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，那么运动开始________h后，两车的间隔最小．解析如下列图：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，那么AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.∴当t＝时，DE最小．〔3〕．如图，某拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运发动的平安，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的间隔；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解方法一(1)依题意，有A＝2，＝3，又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.当x＝4时，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝＝5(2)如图，连接MP，在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.设∠PMN＝θ，那么0°<θ<60°.由正弦定理得＝＝，∴NP＝sinθ，MN＝sin(60°－θ)，∴NP＋MN＝sinθ＋sin(60°－θ)＝＝sin(θ＋60°)．∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．1．解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或者者几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并答题．(4)检验解出之答案是否具有实际意义，对解进展取舍．2．应用举例中常见几种题型测量间隔问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．练习一一、选择题1．假设等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B.C. D.2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的间隔为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的间隔为()A．50m B．50mC．25m D.m3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，那么其外接圆的半径为()A. B.C. D．94．某人向正向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值是()A. B．2C.或者者2 D．35．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一在船的南偏西60°方向，另一在船的南偏西75°方向，那么这只船的速度是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里二、填空题6．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，那么第三条边AC 的最小值是____153．7．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个B 在北偏东60，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个在北偏东15，这时船与的间隔为km ．30km8．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的间隔为10米(如下列图)，旗杆底部与第一排在一个程度面上．假设国歌长度约为50秒，升旗手应以____0.6____米/秒的速度匀速升旗．三、解答题9.如图，在△ABC 中，∠B＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长.解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝＝5.10.圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积 S=S△ABD+S△CDB=12AB·ADsinA+12BC·CD·sinC ∵A+C=180°，∴sinA=sinC故S=12(AB·AD+BC·CD)sin A=12(2×4+6×4)sinA=16sinA 由余弦定理，在△ABD 中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA在△CDB 中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC∴20－16cosA=52－48cosC ，∵cosC=－cosA ， AD O C∴64cosA=－32，cosA=－1 2，又0°＜A＜180°，∴A=120°故11．如图，A、B、C、D都在同一个与程度面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座的塔顶．测量船于水面A 处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间间隔与另外哪两点间间隔相等，然后求B、D的间隔(计算结果准确到0.01km，≈14，≈49)．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD.在△ABC中，＝，即AB＝＝，所以BD＝≈0.33(km)．故B、D的间隔约为0.33km.12．如下列图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？解如图，连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10(海里)．又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10(海里)．因此乙船的速度大小为×60＝30(海里/小时)．练习二一、选择题1.假设在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cosα等于()A. B. C. D.2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，那么斜坡长为()A.1B.2sin10°C.2cos10°D.cos20°3.在△ABC中，∠A＝45°，AB＝，BC＝2，那么∠C等于()A.30°B.60°C.120°D.30°或者者150°4.如下列图，位于A处的信息中心得悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，那么cosθ等于()A. B.C. D.二、填空题5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径为_.50_______米.6.如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，那么BC的长为________.87.△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么△ABC的面积为________.158.在△ABC中，B＝60°，AC＝，那么AB＋2BC的最大值为____2____.9.在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.假设△ADC的面积为3－，那么∠BAC＝____.60°____.三、解答题10.如下列图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°方向，假设此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝180°－45°＝135°，所以∠A＝15°.由正弦定理，得＝，即＝，所以AC＝＝15(＋).所以A到BC的间隔为AC·sin45°＝15(＋)×＝15(＋1)≈15×(32＋1)＝40.98(海里).这个间隔大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险11．在某海滨城附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城O(如图)的东偏南θ2θ=方向(cos)10300千米的海面P处，并以20千米/小时的速度向西偏北45°方向挪动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/小时的速度不断增大，问几小时后该城开始受到台风的侵袭？解:如图,设在时刻t(小时)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(千米)．假设在时刻t城O受到台风的侵袭，那么OQ≤10t＋60.由余弦定理知OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ.∵PO＝300，PQ＝20t，cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°＝×＋×＝，12．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为戒备水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝，0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)假设该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入戒备水域，并说明理由．解：(1)如图，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ由于0°<θ<90°，所以cosθ＝＝.由余弦定理得BC＝＝10.所以船的行驶速度为＝15(海里/小时)．(2)方法一如下列图，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.由题设有，x1＝y1＝AB＝40，x2＝ACcos∠CAD＝10cos(45°－θ)＝30，y2＝ACsin∠CAD＝10sin(45°－θ)＝20，又点E(0，－55)到直线l的间隔d＝＝3<7，所以船会进入戒备水域．方法二易求点B坐标为(40,40)(方法同解法一)．在△ABC中，由正弦定理得sinB＝·sinθ＝，∴cosB＝＝＝.即tanB＝＝，∴kBC＝tan(45°＋B)＝＝2.∴直线BC的方程为y－40＝2(x－40)，即2x－y－40＝0，以下同解法一．。

高中数学余弦定理试讲教案

高中数学余弦定理试讲教案教案名称：高中数学余弦定理试讲教学内容：余弦定理教学目标：1.了解余弦定理的概念及应用；2.能够根据余弦定理求解三角形中的未知变量；3.能够灵活运用余弦定理解决实际问题。

教学重点：掌握余弦定理的公式及应用方法教学难点：灵活应用余弦定理解决具体问题教学准备：1.投影仪及相关课件；2.图形模型、桌面练习题、作业练习题。

教学过程：Step 1：导入（10分钟）引导学生回顾三角形的基本概念及定理，激发学生对余弦定理的兴趣。

Step 2：概念讲解（10分钟）1.介绍余弦定理的定义及公式：在任意三角形ABC中，设三边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。

2.通过具体图形示例解释余弦定理的原理。

Step 3：公式推导（15分钟）1.引导学生通过对三角形ABC的角分析，推导余弦定理的公式。

2.请学生配合教师进行一些小练习，巩固推导过程。

Step 4：应用练习（20分钟）1.针对不同类型的三角形，提供练习题，要求学生应用余弦定理求解未知量。

2.组织学生在小组内相互讨论，互相解答问题。

Step 5：拓展应用（10分钟）1.引导学生探讨余弦定理在实际问题中的应用，如航空航天、地质勘探等领域。

2.鼓励学生提出问题，并尝试用余弦定理解决。

Step 6：总结（5分钟）1.回顾本节课学习的内容，总结余弦定理的重要概念及应用方法。

2.布置相关作业，巩固所学知识。

教学反思：1.本课程设计以学生为主体，通过理论讲解、公式推导、练习应用等环节，使学生能够全面理解和掌握余弦定理。

2.在教学过程中，需要根据学生的实际情况及反馈，随时作出调整，确保教学效果达到预期目标。

正弦定理和余弦定理讲解

年级高一学科数学内容标题正弦定理和余弦定理编稿老师褚哲一、学习目标1. 掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能应用这些公式解斜三角形.2. 能正确理解实际问题中仰角、俯角、视角、方位角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.3. 能熟练应用正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、几何等方面的问题.4. 在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能力.二、重点、难点重点：正、余弦定理及其证明；用正弦定理、余弦定理解三角形. 难点：定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.三、考点分析本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的.正、余弦定理是我们学习三角形相关知识的延续和发展，这些定理进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求角三解形的重要工具，本章内容经常会与三角部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.1. 正弦定理（1）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在ABC ∆中R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆半径），上式对任意三角形均成立.（2）利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角； ②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角. 2. 余弦定理（1）余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在ABC ∆中，Cab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= 余弦定理还有另一种形式：若令︒=90C ，则222b ac +=，这就是勾股定理.abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=（2）利用余弦定理，可以解决以下两类三角形的相关问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3. 在解三角形问题时，须掌握的三角关系式在ABC ∆中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运用.（1）π=++C B A ；（2）C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+；（3）2cos 2sinC B A =+，2sin 2cos CB A =+；（4）C ab S sin 21=∆，A bc S sin 21=∆，B ac S sin 21=∆.4. 实际应用问题中的有关名词、术语（1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（2）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角. （3）方位角：从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角. （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 5. 须熟悉的三角形中的有关公式解斜三角形时主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：c b a P ++=（P 为三角形的周长） a ah S 21=（a h 表示a 边上的高）A bcB acC ab S sin 21sin 21sin 21===R abc S 4=（可用正弦定理推得）)(21c b a r S ++=（r 为内切圆半径）此处还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式. 6. 关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题的过程中将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即表示了在ABC ∆中，已知a 、b 和A ∠时解三角形的各种情况当A ∠为锐角时，当A ∠为直角或钝角时知识点一：正弦定理与余弦定理例1：已知∆ABC 中，∠A ︒=60，3a =sin sin sin a b cA B C++++思路分析：可通过设一参数k(k>0)使sin sin a b A B =sin ck C==，证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b cA B C++++即可. 解题过程：设sin sin a bA B =()0sin >==k k Cc 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k CA B C ++++=k又sin aA=k ==︒=260sin 3，所以sin sin sin a b cA B C ++++=2解题后反思：∆ABC 中，等式sin sin abAB=sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++恒成立.（1）定理的表示形式：sin sin abA B =sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形的两角和任一边，求其他两边及一角；②已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边及角.例2：在∆ABC 中，已知=a c ︒=45B ，求b 及A 的值. 思路分析：本题的已知条件显然符合余弦定理求解的条件. 解题过程：∵2222cos =+-ba c ac B=222+-⋅cos45°=2121)+-= 8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴︒=60A .解法二：∵︒⋅==45sin 2232sin sin B b a A 2.4+1.4=3.8，21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即︒0＜A ＜︒90 ∴︒=60A解题后反思：使用解法二时应注意确定A 的取值范围.例3：在△ABC 中，已知a=3，b =2，B =45°，求A 、C 及c .思路分析：这是一道已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定△ABC 是否有解，有几个解，亦可用余弦定理求解. 解题过程：∵B =45°<90°，且b <a ，∴△ABC 有两解：由正弦定理得：sin A =23245sin 3sin =︒=bBa ， ∴A =60°或120°.①当A =60°时，C =75°⇒c =22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒=B C b . ②当A =120°时，C =15°⇒c =22645sin 15sin 2sin sin -=︒︒=BC b . 故A =60°，C =75°，c =226+或A =120°，C =15°，c =226-. 解题后反思：因sin A =sin(π－A )，故在解三角形中要考虑多种情况，灵活使用正、余弦定理，关键是将“条件”与情况对应.知识点二：三角形中的几何计算例4：已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.思路分析：利用正、余弦定理可以进行边角互化，解题时要注意有意识地进行边角关系的统一.解题过程：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R=2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cosC=ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°. （2）ABC S ∆=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA －cos120°sinA ）=3sinAcosA+3sin 2A =23sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，S max =233. 解题后反思：求最值往往是先建立函数关系式，然后借助函数的方法去求解.例5：在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+A C B . （1）求角A 的度数；（2）若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.思路分析：在三角形的求解中，会经常用到π=++C B A ，显然把B C +转化成A π-可是解题过程更为简便. 解题过程：（1）由272cos 2sin42=-+A C B 及︒=++180C B A ，得： ()[]271cos 2cos 122=+-+-A C B ，()5cos 4cos 142=-+A A即01cos 4cos 42=+-A A ，21cos =∴A ， ︒<<︒1800A Θ，︒=∴60A （2）由余弦定理得：bca cb A 2cos 222-+=21cos =A Θ，212222=-+∴bc a c b ，()bc a c b 322=-+∴. 3=a ，3=+c b 代入上式得：2=bc由⎩⎨⎧==+23bc c b 得：⎩⎨⎧==2c a b 或⎩⎨⎧==12c b .解题后反思：正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用得比较广泛，应熟练掌握这些定理.此外，还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.知识点三：应用性问题例6：如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为︒75，︒30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为︒60，AC=0.1km .试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449）思路分析：解斜三角形的问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解. 解题过程：在△ADC 中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=︒30，所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，在△ABC 中，,ABC sin CBCA sin ∠=∠A AB即AB=2062315sin 60sin +=︒︒AC ，因此，BD=。