2013-2014学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2013-2014学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线位置上．1．（3.00分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=．2．（3.00分）与﹣660°角终边相同的最小正角是．3．（3.00分）求值：=．4．（3.00分）已知点M（tanα，cosα）在第二象限，则角α的终边在第象限．5．（3.00分）已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．6．（3.00分）若幂函数f（x）的图象经过点，则=．7．（3.00分）设a=log30.8，b=log30.9，c=0.80.9，则a，b，c按由小到大的顺序排列为．8．（3.00分）已知平行四边形ABCD，M是AD的中点，若，则向量=（用向量表示）．9．（3.00分）已知向量，若，则实数k=．10．（3.00分）已知函数，则满足f（x0）=1的实数x0=．11．（3.00分）已知，则=．12．（3.00分）下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边在y轴上的角的集合是；②函数y=sinx在第一象限是增函数；③函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin2x的图象．13．（3.00分）若函数y=2sinx在区间（n，m）（n＜m）上的值域是[﹣2，1），则m﹣n的最大值是．14．（3.00分）如图，过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A，B两点，过B 作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C，若AC恰好平行于y轴，则点A的坐标为．二、解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8.00分）已知函数的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={x|log2x＜﹣1}．（1）求A∪C；（2）若C⊊（A∩B），求a的值．16．（10.00分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）当x∈（1，+∞）时，求函数f（x）的值域．17．（10.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．18．（10.00分）坐落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角∠ACB=45°，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．19．（10.00分）已知函数的图象如图所示，直线是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式并写出函数的单调增区间；（2）若f（α）=且，求f（α）的值．20．（10.00分）已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2013-2014学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线位置上．1．（3.00分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B={x|1＜x≤2} ．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}故答案为：{x|1＜x≤2}2．（3.00分）与﹣660°角终边相同的最小正角是60°．【解答】解：与﹣660°终边相同的角的集合为{α|α=﹣660°+k•360°，k∈Z}令﹣660°+k•360°＞0°解得k＞故k=2时，α=60°满足条件故答案为：60°3．（3.00分）求值：=﹣．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣．故答案为：﹣4．（3.00分）已知点M（tanα，cosα）在第二象限，则角α的终边在第四象限．【解答】解：∵点M（tanα，cosα）在第二象限，∴∴α在第四象限．故答案为：四5．（3.00分）已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．【解答】解：由点P在线段AB上，且作图如下：可得P为AB的三等分点，且靠近A，由实数与向量的乘法的意义可得，∴λ=故答案为：6．（3.00分）若幂函数f（x）的图象经过点，则=4．【解答】解：设f（x）=x n，∵幂函数y=f（x）的图象过点，∴2n=∴n=﹣2．这个函数解析式为f（x）=x﹣2．则f（）=（）﹣2=4故答案为：4．7．（3.00分）设a=log30.8，b=log30.9，c=0.80.9，则a，b，c按由小到大的顺序排列为a＜b＜c．【解答】解：∵y=log3x是增函数，∴a=log30.8＜log30.9=b＜log31=0，c=0.80.9＞0，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．8．（3.00分）已知平行四边形ABCD，M是AD的中点，若，则向量=﹣（用向量表示）．【解答】解：如图所示，∵平行四边形ABCD，M是AD的中点，∴．在△ABM中，==．故答案为：．9．（3.00分）已知向量，若，则实数k=8．【解答】解：由题意可得=（1，2）﹣2（0，﹣1）=（1，4），∵，∴=0，代入数据可得1×k+4×（﹣2）=0，解得k=8故答案为：810．（3.00分）已知函数，则满足f（x0）=1的实数x0=2或﹣．【解答】解：若x0＞0，由f（x0）=1得，即x0﹣2=0，∴x0=2，若﹣1≤x0≤0，由f（x0）=1得sin（π）=1，即π=，即x0=或（舍去），∴x0=2或，故答案为：x0=2或．11．（3.00分）已知，则=﹣．【解答】解：∵sin（﹣2x）=cos[﹣（﹣2x）]=cos（+2x）=2cos2（x+）﹣1∵cos（x+）=∴sin（）=2×=故答案为：12．（3.00分）下列说法中，所有正确说法的序号是③④．①终边在y轴上的角的集合是；②函数y=sinx在第一象限是增函数；③函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin2x的图象．【解答】解：①终边在y轴上的角的集合是}，故①不正确；②因为第一象限角描述的是角的位置，而角的大小不能确定，故函数y=sinx在第一象限是增函数不正确；③函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，最小正周期是π，正确；④把函数的图象向右平移个单位长度得到y=3sin[（2﹣）+]=3sin2x的图象，故正确．故答案为：③④．13．（3.00分）若函数y=2sinx在区间（n，m）（n＜m）上的值域是[﹣2，1），则m﹣n的最大值是．【解答】解：由y=2sinx=﹣2，则sinx=﹣1，由y=2sinx=1得sinx=，即﹣1≤sinx，不妨取一个周期区间[]，当sinx=时，x=或，∴满足条件的最大值区间为（，），此时m﹣n的最大值为，故答案为：．14．（3.00分）如图，过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A，B两点，过B 作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C，若AC恰好平行于y轴，则点A的坐标为（log32，2）．【解答】解：设A（n，3n），B（m，3m），由9x=3m=32x，即m=2x，解得x=，即C（，3m）．∵AC平行于y轴，∴n=，m=2n，∴A（，3n），B（m，3m）．又A，B，O三点共线．∴k OA=k OB，∴=，∴3m=2•3n=32n，即3n=2，即n=log32，∴，故点A的坐标是（log32，2）．故答案为：（log32，2）．二、解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8.00分）已知函数的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={x|log2x＜﹣1}．（1）求A∪C；（2）若C⊊（A∩B），求a的值．【解答】解：（1）由题意得，A=（0，+∞），C=（0，）∴A∪C=（0，+∞）（2）由题意得，B=（﹣∞，）∴A∩B=（0，）∵C⊊（A∩B），∴∴0＜a＜2又∵a∈N*∴a=116．（10.00分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）当x∈（1，+∞）时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，，∴函数f（x）是奇函数．（2）令t=2x，∵x∈（1，+∞），∴t∈（2，+∞），则函数f（x）等价为y=g（t）=，∵t＞2，∴t+1＞3，，∴，故函数的值域为（﹣1，）．17．（10.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由题意可得=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2），∵，∴（cosα﹣2）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣2）2，且α∈（0，π）．整理可得tanα=1，α=．（2）若，则（cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）=，化简得sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴==2sinαcosα=﹣．18．（10.00分）坐落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角∠ACB=45°，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【解答】解：如图作CE⊥AB于E．∵AB∥CD，AB=150，CD=90，∴BE=90，AE=60．设CE=x，∠ACE=α，∵∠ACB=45°，∴∠BCE=45°﹣α．在Rt△AEC和Rt△BEC中，∵tanα=，tan（45°﹣α）=∴=tan（45°﹣α）=，化简整理得x2﹣150x﹣5400=0，解得x1=180，x2=﹣30（舍去）．答：两建筑物底部间距离BD是180米．19．（10.00分）已知函数的图象如图所示，直线是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式并写出函数的单调增区间；（2）若f（α）=且，求f（α）的值．【解答】解：（1）由题意，，∴T=π，又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），（2分）由，解得，又，∴，∴．（5分）由知，∴函数f（x）的单调增区间为．（7分）（2）解法1：依题意得：，即，（8分）∵，∴，∴，（10分）∵．（14分）解法2：依题意得：，得，①（9分）∵，∴，∴=，（11分）由得②①+②得，∴（14分）解法3：由得，（9分）两边平方得，，∵∴，∴，（11分）∴，又，∴，∴．（14分）20．（10.00分）已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=f（﹣x）得到：f（﹣1）=f（1）⇒log4（4﹣1+1）﹣k=log4（4+1）+k，∴．（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点即方程有且只有一个实根化简得：方程有且只有一个实根令t=2x＞0，则方程有一个正根①，不合题意；②或﹣3若，不合题意；若③若一个正根和一个负根，则，即a＞1时，满足题意．所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=﹣3}。