2019版高考数学一轮复习习题：三角函数的图象与性质(word版含答案)

§4.2三角函数的图象与性质
考纲解读
分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.
五年高考
考点一三角函数的图象及其变换
1.(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
答案D
2.(2016北京,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若
P'位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为
B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为
D.t=,s的最小值为
答案A
3.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.
若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=( )
A. B. C. D.
答案D
4.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.
答案
5.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
解析本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.
(1)因为f(x)=sin+sin,
所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx
=sinωx-cosωx=
=sin.
由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin,
所以g(x)=sin=sin.
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
教师用书专用(6—15)
6.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
答案D
7.(2015四川,4,5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A.y=cos
B.y=sin
C.y=sin2x+cos2x
D.y=sin x+cos x
答案A
8.(2015山东,3,5分)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
答案B
9.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象
( )
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
答案C
10.(2014辽宁,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
答案B
11.(2013湖北,4,5分)将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,
所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A. B. C. D.
答案B
12.(2013山东,5,5分)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函
数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A. B. C.0D.-
答案B
13.(2013四川,5,5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,-
B.2,-
C.4,-
D.4,
答案A
14.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.
答案7
15.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.
且函数表达式为f(x)=5sin.
(2)由(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ-=kπ,
解得x=+-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,
令+-θ=,解得θ=-,k∈Z.
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
考点二三角函数的性质及其应用
1.(2017课标全国Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
答案D
2.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)
B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)
D.x=+(k∈Z)
答案B
3.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关
B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关
D.与b无关,但与c有关
答案B
4.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
答案D
5.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.
答案π
6.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2·sin xcos x(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.
(1)由sin=,cos=-,
f=--2××,
得f=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sin xcos x得
f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
教师用书专用(7—16)
7.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是( )
A. B.π C. D.2π
答案B
8.(2014陕西,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
答案B
9.(2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
10.(2013浙江,4,5分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”
是“φ=”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案B
11.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.
答案π;(k∈Z)
12.(2014上海,1,4分)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.
答案
13.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsincos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tan xcos xcos-
=4sin xcos-
=4sin x-
=2sin xcos x+2sin2x-
=sin2x+(1-cos2x)-
=sin2x-cos2x=2sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,易知函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=,易知A∩B=.
所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
14.(2015重庆,18,12分)已知函数f(x)=sinsin x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在上的单调性.
解析(1)f(x)=sinsin x-cos2x
=cos xsin x-(1+cos2x)
=sin2x-cos2x-=sin-,
因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.
(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,
当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.
15.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.解析(1)由题意知f(x)=-
=-=sin2x-.
由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;
由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);
单调递减区间是(k∈Z).
(2)由f=sin A-=0,得sin A=,
由题意知A为锐角,所以cos A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.
因此bcsin A≤.
所以△ABC面积的最大值为.
16.(2013安徽,16,12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析(1)f(x)=4cosωx·sin
=2sinωx·cosωx+2cos2ωx
=(sin2ωx+cos2ωx)+
=2sin+.
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,
从而有=π,故ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin+.
若0≤x≤,则≤2x+≤.
当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;
当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点一三角函数的图象及其变换
1.(2018四川德阳三校联考,5)将函数f(x)=sin2x图象上的点保持纵坐标不变,将横坐标缩短为原来的,再将图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=sin
B.g(x)=sin
C.g(x)=sin
D.g(x)=sin
答案C
2.(2017河南百校联考,6)已知将函数f(x)=tan(2<ω<10)的图象向右平移个单位后与f(x)的图象重合,则ω=( )
A.9
B.6
C.4
D.8
答案B
3.(2016福建福州一中1月模拟,6)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,为了得到函数g(x)=Asinωx的图象,只需要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案D
考点二三角函数的性质及其应用
4.(2018辽宁鞍山一中一模,4)函数f(x)=2sin xcos x+cos2x图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)
B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)
D.x=+(k∈Z)
答案D
5.(2017豫南九校2月联考,7)已知函数f(x)=sin2x-2cos2x,下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)在区间上是增函数
D.函数f(x)的图象可由g(x)=2sin2x-1的图象向右平移个单位长度得到
答案D
6.(2017河北武邑第三次调研,4)已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数g(x)=λsin xcos x+sin2x的图象的一条对称轴是直线( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=-
答案D
7.(人教A必4,一,1-4A,3,变式)函数f(x)=sin+cos2x的振幅和最小正周期分别是( )
A.,
B.,π
C.,
D.,π
答案B
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:45分时间:40分钟)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018河北衡水模拟,9)设函数f(x)=2cos(ωx+φ)对任意的x∈R,都有f=f,若函数g(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)+2,则g的值是( )
A.2
B.0
C.2或4
D.1或3
答案D
2.(2018广东广雅中学、华东中学、河南名校第一次联考,12)已知函数
f(x)=(1-2cos2x)sin-2sin xcos xcos,f(x)在上单调递增,若f≤m恒成立,则实数m的取值范围为( )
A. B. C.[1,+∞) D.
答案C
3.(2017山西五校3月联考,8)设k∈R,则函数f(x)=sin+k的部分图象不可能为( )
答案D
4.(2017河北名校二模,8)函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)
的图象,并且函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数ω的值为( )
A. B. C.2D.
答案C
5.(2016福建龙岩一模,11)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,△EFG是边
长为2的等边三角形,为了得到g(x)=Asinωx的图象,只需将f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案A
二、解答题(共20分)
6.(2018江苏常州武进期中,15)如图为函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图象的一部分,其中点P是图象上的一个最高点,点Q是与点P相邻的与x轴的一个交点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递增区间.
解析(1)由题图可知A=2,
T=4×=4π,∴ω==,故f(x)=2sin.
又∵点P在函数图象上,
∴2sin=2,即+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),
又∵|φ|<π,∴φ=-,
故f(x)=2sin.
(2)由(1)得,f(x)=2sin,
把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,
得到y=2sin的图象,
再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=2sin的图象,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故g(x)的单调递增区间是(k∈Z).
7.(2017山西临汾一中等五校第二次联考,17)已知函数f(x)=2sin xcos x-cos2x(x∈R).
(1)若f(α)=且α∈,求cos2α;
(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(3)记函数f(x)在x∈上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a<b)上单调递增,求实数a
的最小值.
解析(1)f(x)=sin2x-cos2x=2sin.
∵f(α)=,∴sin=,又α∈,
∴2α-∈,∴cos=-.
∴cos2α=cos=-×-×=-.
(2)∵f'(x)=4cos,∴f'(0)=2,又f(0)=-,
∴所求切线方程为y=2x-.
(3)当x∈时,2x-∈,f(x)∈[1,2],∴b=2.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
又函数f(x)在[aπ,2π](a<2)上单调递增,∴[aπ,2π]⊆,∴-+2π≤aπ<2π,∴a min=.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 根据图象确定函数解析式
1.(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈,则cos=( )
A.±
B.
C.-
D.
答案C
2.(2017湖北七市3月联考,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,x1≠x2且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )
A.1
B.
C.
D.
答案D
方法2 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
3.(2017河北衡水中学三调考试,7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是( )
A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z
B.[6kπ-3,6kπ],k∈Z
C.[6k,6k+3],k∈Z
D.[6k-3,6k],k∈Z
答案D
方法3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性的求解方法
4.(2018广东东莞二调,10)已知函数f(x)=sin x+λcos x(λ∈R)的图象关于x=-对称,若把
函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴方程为( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
答案D
5.(2017广东清远清城期末,9)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,其图象相邻两条
对称轴之间的距离为,且函数f是偶函数,下列判断正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的图象关于直线x=-对称
D.函数f(x)在上单调递增
答案D。