数学分析第二十二章曲面积分

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数学分析第二十二章曲面积分

Dxy
2. 若曲面 : y y( x, z), 则
f ( x, y, z)dS f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2 dxdz;
Dxz
3. 若曲面： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
Dxy
一投：将曲面向 xoy 面投影，得Dxy .
二换： dS 1 z2x ( x, y) z2y ( x, y) dxdy; 三代： f ( x, y, z) : z z( x, y) f ( x, y, z( x, y));
2. 若曲面： y y(x, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2 dxdz;
D yz
一投：将曲面向 yoz 面投影，得Dyz .
二换：
dS
1
x
2 y
(
y,
z)Biblioteka xz2 (y,z)
dydz;
三代： f ( x, y, z) : x x( y, z) f ( x( y, z), y, z);
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
f ( x, y, z) dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2 dxdy;
原式 xyz dS 4 xy 3(1 x y)dxdy Dxy
其中 D xy {( x , y ) | x y 1 , x 0 , y 0 }
xyzdS
1
1 x
3 xdx (1 x y)dy
0
0
1 (1 x) 3
3 0 x 6 dx

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)章节题库-曲面积分(圣才出品)

第22章曲面积分1．设S是椭圆面的上半部分，点，Ⅱ为S在点P的切平面，（x，y，z）为点O（0，0，0）到平面Ⅱ的距离，求．解：设（X，Y，Z）为Ⅱ上任意一点，则Ⅱ的方程为由此易知由S的方程有，于是其中是S在xOy平面上的投影．作极坐标变换容易求出：2．计算积分其中S：x＋y＋z＝t，解：将z＝t－x－y代入整理可得：由此可知，当时，平面S在球内；当时，平面S在球之外，所以显然当时．F（t）＝0，所以只需计算时的积分：其中D是式（1）所表示的区域．作变换则D变为，其中．于是对式（3）右边进一步计算得所以3．设曲面S由方程所确定，求曲面S的面积．解：在球坐标变换：x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ之下，曲面S的方程是，其参数方程为通过计算易知，由此得由曲面的对称性，只需求第一卦限部分的面积即可．而此时，并且由曲面方程知cos2θ≥0，所以0≤θ≤π/4．故S的面积为4．计算曲面积分，其中S是曲面x2＋y2＝R2及两个平面z＝R，z＝－R（R>0）所围的立体的表面的外侧（数学Ⅰ，Ⅱ）．解：设S1，S2，S3分别为S的上、下底面和圆柱侧面，则记S1＋S2在xOy平面上的投影区域为D xy，则在S3上，而S3在yOz平面上的投影区域D yz：－R≤y≤R，－R≤z≤R，故从而曲面积分5．求，其中S是球面x2＋y2＋z2＝a2（x>0，y≥0，z≥0）的第一卦限部分，取外侧．解：球面在点（x，y，z）处的法向量为，由两类曲面积分的关系，有（利用轮换对称性）其中，x≥0，y≥0．作极坐标变换，有6．计算曲面积分S是闭曲面|x－y＋z|＋|y－z＋x|＋|z－x＋y|＝1，方向取外侧．解：由高斯公式，可得其中Ω是由闭曲面S所围的空间区域．作变换：u＝x－y＋z，v＝y－z＋x，w＝z－x＋y，则区域力变成Ω1：|u|＋|v|＋|w|≤1．由对称性，有7．计算第二型曲面积分其中f（x，y，z）为连续函数，∑是平面x－y＋z＝1在第四卦限部分，方向取上侧．解：设曲面∑的单位法向量为（cosα，cosβ，cosγ），则dydz＝cosαdS，dzdx＝cosβdS，dxdy＝cosγdS．由此可得具体到本例，，因而dydz＝dxdy，dzdx＝－dxdy．于是其中D xy＝{（x，y）1≤x≤1＋y，－1≤y≤0}是曲面∑在xOy平面的投影。

数学分析-第二十二章曲面积分2

取,上 co 0 s 侧 , ( S i)x y()x,y
又 i z(i,i)
n
lim 0 i1
R(i
,i,i
)(Si
)xy
n
lim 0 i1
R(i,i,
z(i,i
))(i
)xy
即 R (x,y,z)dxdR y [x,y,z(x,y)d ] xdy
i块小曲面的面积),Si在xo面 y 上的投影为
(Si )xy,(i ,i ,i )是Si上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值0时,
n
lim
0
i1
R(i
,i
,
i
)(Si
)xy
存在,
则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面Σ 上对
坐标x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分)
对面积的曲面积分为
R(x,y,z)cosdSR[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy
所以 R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cods S

(注意取曲面的两侧均成立 )
两类曲面积分之间的联系
PdydzQdzdxRdxdy

(Pcos Qcos Rcos)dS

物理意义:
P ( x ,y ,z ) d y Q (x d ,y ,z z ) d zR ( d x ,y ,z x ) dx
性质:
1. PdyQ dzd zR dxdxdy 12
PdyQ dzd zR dxdx dPydyQ dzd zR dxdxd

A
n0
流量
A v cos

第二型曲面积分

作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析第二十二章曲面积分
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§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
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§2 第二型曲面积分曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
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§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的计算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
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§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy

数学分析教案-(华东师大版)第二十二章曲面积分

第二十二章曲面积分§22.1 第一曲面积分教学目标：掌握第一型曲面积分的概念及计算。

教学重点：第一型曲面积分的概念及计算。

教学难点：第一型曲面积分的概念及计算。

教学方法：讲练结合。

一、问题的提出物质曲面的质量问题:设S 为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为ρ(x , y , z ), 求其质量: 把曲面分成n 个小块: ∆S 1, ∆S 2 , ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n (∆S i 也代表曲面的面积); 求质量的近似值:i i i i ni S ∆=∑),,(1ζηξρ((ξi , ηi , ζi )是∆S i 上任意一点);取极限求精确值: ||||01lim(,,)niiiiT i M Sρξηζ→==∆∑(||T||为各小块曲面直径的最大值).二、第一型曲面积分的概念与性质定义设曲面S 是光滑的, 函数f (x , y , z )在S 上有界.把S 任意分成n 小块: ∆S 1, ∆S 2 , ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n (∆S i 也代表曲面的面积),在∆S i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值||T||→0时, 极限||||01lim(,,)niiiiT i f Sξηζ→=∆∑总存在, 则称此极限为函数f (x , y , z )在曲面S 上的第一型曲面积分, 记作(,,)Sf x y z dS ⎰⎰, 即||||01(,,)lim (,,)niiiiT i Sf x y z dS f S ξηζ→==∆∑⎰⎰.其中f (x , y , z )叫做被积函数, S 叫做积分曲面. 第一型曲面积分的存在性:当f (x , y , z )在光滑曲面S 上连续时对面积的曲面积分是存在的. 今后总假定f (x , y , z )在S 上连续.根据上述定义面密度为连续函数ρ(x , y , z )的光滑曲面∑的质量M 可表示为ρ(x , y , z )在S 的第一型曲面积分:(,,)SM f x y z dS =⎰⎰如果S 是分片光滑的我们规定函数在S 上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和. 例如设S 可分成两片光滑曲面S 1及S 2(记作S =S 1+S 2)就规定1212(,,)(,,)(,,)S S S S f x y z dS f x y z dS f x y z dS +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.第一型曲面积分的性质: (1)设c 1、c 2为常数, 则1212[(,,)(,,)](,,)(,,)SSSc f x y z c g x y z dS c f x y z dS c g x y z dS +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(2)若曲面S 可分成两片光滑曲面S 1及S 2, 则12(,,)(,,)(,,)SS S f x y z dS f x y z dS f x y z dS =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(3)设在曲面S 上f (x , y , z )≤g (x , y , z ), 则(,,)(,,)SSf x y z dSg x y z dS ≤⎰⎰⎰⎰;(4)SdS A =⎰⎰, 其中A 为曲面S 的面积. 三、第一曲面积分的计算计算方法：化曲面积分为二重积分设曲面S 由方程z =z (x , y )给出, S 在xOy 面上的投影区域为D xy , 函数z =z (x , y )在D xy 上具有连续偏导数, 被积函数f (x , y , z )在S 上连续, 则(,,)[,,(,xySD f x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰.如果积分曲面S 的方程为y =y (z , x ), D zx 为S 在zOx 面上的投影区域, 则函数f (x , y , z )在S 的第一型曲面积分为(,,)[,(,),zxSD f x y z dS f x y z x z =⎰⎰⎰⎰.如果积分曲面S 的方程为x =x (y , z ), D yz 为S 在yOz 面上的投影区域, 则函数f (x , y , z )在S 的第一型曲面积分为(,,)[(,),,yzSD f x y z dS f x y z y z =⎰⎰⎰⎰.例1 计算曲面积分1SdS z ⎰⎰, 其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z =h (0<h <a )截出的顶部.解S 的方程为222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2. 因为 222yx a x z x ---=, 222y x a y z y ---=,dxdy yx a a dxdy z z dS y x 222221--=++=,所以2221xyS D a dS dxdy z a x y =--⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰--=πθ202222h a r a rdr d a 22022)]ln(21[2h a r a a ---=πh a a ln 2π=.提示:222222222222211yx a a y x a y y x a x z z yx --=--+--+=++. 例2 计算SxyzdS ⎰⎰, 其中S 是由平面x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成的四面体的整个边界曲面.解整个边界曲面S 在平面x =0、y =0、z =0及x +y +z =1上的部分依次记为S 1、S 2、S 3及S 4, 于是1234SS S S S xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS =+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4000S xyzdS =+++⎰⎰⎰⎰--=xyD dxdy y x xy )1(3⎰⎰---=1010)1(3xdy y x y xdx ⎰-⋅=1036)1(3dx x x 1203=.提示: S 4: z =1-x -y , dxdy dxdy z z dS y x 3122='+'+=教学要求：掌握第二型曲面积分的概念及计算。

数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分4 场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即P dx =Q dy =Rdz, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使lu∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u.基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ；4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ；5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i ni iu u f∑=∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v=u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz, ▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴dr ▽φ=(dx+dy+dz)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ=d φ. 4、∵▽f=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,, 又▽u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, f ’(u)=du df, ∴f ’(u)▽u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u du df ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,=▽f. 5、▽f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∑∑∑===n i i i n i i i n i i i z u u f y u u f x u u f 111,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ni i i i i i i z u u f y u u f x u u f 1,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n i i i i iz u y u x u u f1,,=i n i iu u f∑=∇∂∂1.例1：设质量为m 的质点位于原点, 质量为1的质点位于M(x,y,z), 记OM=r=222z y x ++, 求rm的梯度. 解：rm∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r z r y r x r m ,,2.注：若以r 0表示OM 上的单位向量，则有r m∇=02r rm -, 表示两质点间引力方向朝着原点, 大小是与质量的乘积成正比, 与两点间的距离的平方成反比. 这说明引力场是数量函数r m 的梯度场. 所以称rm为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义数量函数D(x,y,z)=zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂, 则称D 为向量函数A 在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=div A(x,y,z).设n 0=(cos α, cos β, cos γ)为曲面的单位法向量, 则=n 0dS 就称为曲面的面积元素向量. 于是得高斯公式的向量形式：⎰⎰⎰VdivAdV =⎰⎰⋅SdS A .在V 中任取一点M 0, 对⎰⎰⎰VdivAdV 应用中值定理,得⎰⎰⎰VdivAdV =div A(M*)·△V=⎰⎰⋅SdS A , 其中M*为V 中某一点，于是有div A(M*)=VdSA S∆⋅⎰⎰. 令V 收缩到点M 0(记为V →M 0) 则M*→M 0, 因此div A(M 0)=VdSA SM V ∆⋅⎰⎰→0lim.因⎰⎰⋅SdS A 和△V 都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A 的散度div A 构成的数量场，称为散度场.其物理意义：div A(M 0)是流量对体积V 的变化率，并称它为A 在点M 0的流量密度.若div A(M 0)>0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若div A(M 0)<0, 说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇. 若向量场A 中每一点皆有div A=0, 则称A 为无源场.向量场A 的散度的向量形式为：div A=▽·A.基本性质：1、若u,v 是向量函数, 则▽·(u+v)=▽·u+▽·v ； 2、若φ是数量函数, F 是向量函数, 则▽·(φF)=φ▽·F+F ·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数, 则▽·▽φ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)), 则▽·(u+v)=zR R y Q Q x P P ∂+∂+∂+∂+∂+∂)()()(212121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P z R y Q x P 222111=▽·u+▽·v. 2、▽·(φF)=z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂)()()(ϕϕϕ=zR z R y Q y Q x P x P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ =φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P +(P ,Q,R)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ=φ▽·F+F ·▽φ. 3、∵▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴▽·▽φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x ϕϕϕ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂，称为拉普拉斯算符, 于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=⎪⎭⎫⎝⎛-r z r y r x r m,,2所产生的散度场.解：∵r 2=x 2+y 2+z 2, ∴F=3222)(z y x m ++-(x,y,z),▽·F=-m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂333r z z r y y r x x =0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义向量函数F(x,y,z)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,, 称之为向量函数A 在(x,y,z)处的旋度, 记作rot A.设(cos α,cos β,cos γ)是曲线L 的正向上的单位切线向量t 0的方向余弦, 向量ds =(cos α,cos β,cos γ)ds= t 0dl 称为弧长元素向量. 于是有斯托克斯公式的向量形式：⎰⎰SdS rotA ·=⎰Lds A ·.向量函数A 的旋度rot A 所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称⎰L A ·为沿闭曲线L 的环流量. 表示流速为A 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L 的流体总量，反映了流体沿L 时的旋转强弱程度. 当rot A=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A 为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关. 在场V 中任意取一点M 0,通过M 0作平面π垂直于曲面S 的法向量n 0, 且在π上围绕M 0作任一封闭曲线L, 记L 所围区域为D ，则有⎰⎰SrotA ·=⎰⎰DdS n rotA 0·=⎰LA ·. 又由中值定理有 ⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 其中 μ(D)为区域D 的面积, M*为D 中的某一点. ∴(rotA ·n 0)M*=)(·D A Lμ⎰.当D 收缩到点M 0(记作D →M 0)时, 有M*→M 0, 即有 (rotA ·n 0)0M =)(·limD A LMD μ⎰→ .左边为rot A 在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式. 右边的极限与坐标系的选取无关，所以rot A 与坐标系选取无关.物理意义：⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分. 即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向. 若取定旋转轴上一点O 作为原点，则刚体上任一点P 的线速度v 可表示为v=ω×r, 其中r=OP 是P 的径向量. 设P 的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx ,ωy ,ωz ), ∴v=(ωy z-ωz y,ωz x-ωx z,ωx y-ωy x), ∴rot v=(2ωx ,2ωy ,2ωz )=2ω或ω=21rot v.即线速度向量v 的旋度除去21, 就是旋转的角速度向量ω. 也即 v 的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rot A=▽×A. 1、若u,v 是向量函数, 则 (1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v ；(2)▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u ； (3)▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v)；(4)▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则 (1)▽·(▽×A)=0, ▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂yP P xQ Q xR R zP P zQ Q yR R )()(,)()(,)()(212121212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,,=▽×u+▽×v. (2)∵▽(u ·v)=▽(P 1P 2+Q 1Q 2+R 1R 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂++∂∂++∂∂++∂z R R Q Q P P y R R Q Q P P x R R Q Q P P )(,)(,)(212121212121212121 = ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂,122112211221x RR x R R x Q Q x Q Q x P P x P P,122112211221y RR y R R y Q Q y Q Q y P P y P P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z R R z R R z Q Q z Q Q z P P z P P 122112211221.又u ×(▽×v)=u ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,, = ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,21212121xRR z P R y P Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 2121212121212121,. v ×(▽×u)= ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,12121212xR R zP R yP Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 1212121212121212,. (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 111v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q x P P 212121212121212121,,(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; ∴▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u. (3)∵▽·(u ×v)=▽·(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2) =zP Q Q P y R P P R xQ R R Q ∂-∂+∂-∂+∂-∂)()()(212121212121=y P R y R P y R P y P R x R Q x Q R x Q R x R Q ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂+∂∂1221122112211221zQP z P Q z P Q z Q P ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+12211221.又v ·(▽×u)=v ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,=yP R xQ R xR Q zP Q zQ P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂121212121212;u ·(▽×v)=yPR x Q R x R Q z P Q z Q P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂212121212121;∴▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v).(4)∵▽×(u ×v)=▽×(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂y Q R R Q x R P P R x P Q Q P z Q R R Q z R P P R y P Q Q P )()(,)()(,)()(212121212121212121212121= ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂,1221122112211221zP R zR P zR P zP R yQ P yP Q yP Q yQ P,1221122112211221x QP x P Q x P Q x Q P z R Q z Q R z Q R z R Q ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂y R Q y Q R y Q R y R Q x P R x R P x R P x P R 1221122112211221; 又(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q xP P 212121212121212121,,;(▽·v)u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q xP 222u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y Q R x P R z R Q y Q Q x P Q z R P y Q P xP P 212121212121212121,,; (▽·u)v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yQ R xP R zR Q yQ Q xP Q zR P yQ P xP P 121212121212121212,,; ∴▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v. 2、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则▽×(φA)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR )()(,)()(,)()(ϕϕϕϕϕϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂P yyP Q xxQ R xxR P zzP Q zzQ R yyR ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,=φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂P yQ xR xP zQ zR yϕϕϕϕϕϕ,,=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则(1)▽·(▽×A)=▽·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂y P x Q z x R z P y z Q y R x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y P z x Q z x R y z P y z Q x y R x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z Q x x Q z y P z z P y x R y y R x =0. ▽×▽φ=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x y y x z x x z y z z y ϕϕϕϕϕϕ,,=0. (2)▽×(▽×A)=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z Q y R y x R z P x y P x Q x z Q y R z x R z P z y P x Q y ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂z y Q y R x R z x P y x P x Q z Q y z R x z R z P y P x y Q 222222222222222222,,; 又▽(▽·A)=▽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R yQ xP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂z R y Q x P z z R y Q x P y z R y Q x P x ,,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂222222222222,,z R y z Q x z P z y R y Q x y P x z R y x Q x P ; ▽2A=△A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂222222222222222222,,z R y R x R z Q y Q x Q z P y P x P ;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A ，即div A=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场. 因为在向量场A 中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面，用断面S 1, S 2截它，以S 3表示所截出的管的表面，即得到由S 1, S 2, S 3围成的封闭曲面S ，于是有⎰⎰⋅SdS A =⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A +⎰⎰⋅外侧3S dS A =0. 又由向量线与曲面S 3的法线正交知,⎰⎰⋅外侧3S dS A =0.∴⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A =0, 即⎰⎰⋅内侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A . 等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A 为管量场. 如例2，由梯度rm ∇所成的引力场F 是管量场.概念：对无旋场A ，即rot A=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场. 因为当rot A=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关, 且有u(x,y,z), 使得du=Pdx+Qdy+Rdz, 即grad u=(P ,Q,R), u 称为势函数. 所以，若向量场A 的旋度为0，则必存在某势函数u ，使得grad u=A. 这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 例1中引力势u=r m 就是势函数. ∴▽u=F=-⎪⎭⎫⎝⎛r z r y r x r m ,,2. 又▽×▽u ≡0, ∴▽×F=0, 它也是引力场F 是有势场的充要条件.若向量场A 既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F 就是调和场. 若A 是一个调和场，则必有 ▽·A=0, ▽u=A. 显然▽·▽u=▽2u=△u=0, 即必有势函数u 满足222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=0, 这时称函数u 为调和函数. 习题1、若r=222z y x ++, 计算▽r, ▽r 2, ▽r1, ▽f(r), ▽r n (n ≥3). 解：∵x r ∂∂=r x , y r ∂∂=r y , z r ∂∂=r z, ∴▽r=⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=r1(x,y,z); 记u=r 2=x 2+y 2+z 2, ∵x u ∂∂=2x, y u ∂∂=2y, zu ∂∂=2z, ∴▽r 2=▽u=2(x,y,z);记v=r1, ∵x v ∂∂=-3r x , y v ∂∂=-3r y , z v∂∂=-3rz , ∴▽r 1=▽v=31r -(x,y,z);∵x f ∂∂=f ’(r)r x , y f ∂∂=f ’(r)ry , z f∂∂=f ’(r)r z , ∴▽f(r)=f ’(r)r 1(x,y,z); ∴▽r n =nr n-1⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=nr n-2(x,y,z), (n ≥3).2、求u=x 2+2y 2+3z 2+2xy-4x+2y-4z 在O(0,0,0), A(1,1,1), B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点. 解：∵x u ∂∂=2x+2y-4, y u ∂∂=4y+2x+2, zu∂∂=6z-4,∴在O(0,0,0), grad u=(-4,2,-4); 在A(1,1,1), grad u=(0,8,2); 在B(-1,-1,-1), grad u=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0, 4y+2x+2=0, 6z-4=0, 解得x=5, y=-3, z=32, ∴在(5,-3,32), |grad u|=0.3、证明梯度的基本性质1~5. 证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)A=(y 2+z 2,z 2+x 2,x 2+y 2)；(2)A=(x 2yz,xy 2z,xyz 2)；(3)A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++xy z zx y yz x . 解：(1)∵P=y 2+z 2, Q=z 2+x 2, R=x 2+y 2； ∴div A=x ∂∂(y 2+z 2)+y ∂∂(z 2+x 2)+z ∂∂(x 2+y 2)=0；又y ∂∂(x 2+y 2)-z ∂∂(z 2+x 2)=2y-2z; z ∂∂(y 2+z 2)-x∂∂(x 2+y 2)=2z-2x; x∂∂(z 2+x 2)-y ∂∂(y 2+z 2)=2x-2y. ∴rot A=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x 2yz, Q=xy 2z, R=xyz 2； ∴div A=x ∂∂(x 2yz)+y ∂∂(xy 2z)+z∂∂(xyz 2)=6xyz ；又y ∂∂(xyz 2)-z ∂∂(xy 2z)=x(z 2-y 2); z ∂∂(x 2yz)-x∂∂(xyz 2)=y(x 2-z 2); x∂∂(xy 2z)-y ∂∂(x 2yz)=z(y 2-x 2). ∴rot A=(x(z 2-y 2),y(x 2-z 2),z(y 2-x 2)).(3)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy z zx y yz x . ∵P=yz x , Q=zxy, R=xy z ；∴div A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z z =xyzx yz 111++；又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y z =22xy z xz y -; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z x =22yz x y x z-; ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x y =z x y z y x 22-. ∴rot A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x y y x z x x z y z z y xyz 222222,,1.5、证明散度的基本性质1~3. 证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3. 证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z), Q=zx(x+2y+z), R=xy(x+y+2z),y ∂∂[xy(x+y+2z)]-z∂∂[zx(x+2y+z)]=x 2+2xy+2xz-x 2-2xy-2xz=0; z ∂∂[yz(2x+y+z)]-x∂∂[xy(x+y+2z)]=2xy+y 2+2yz-2xy-y 2-2yz=0; x∂∂[zx(x+2y+z)]-y ∂∂[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z 2-2xz-2yz-z 2=0.∴对空间任一点(x,y,z)都有rot A=(0,0,0)=0i+0j+0k=0, ∴A 是有势场. 由d[xyz(x+y+z)]=yz(2x+y+z)dx+xz(x+2y+z)dy+xy(x+y+2z)dz 知，其势函数为u(x,y,z)=xyz(x+y+z)+C.8、若流体流速A=(x 2,y 2,z 2), 求单位时间内穿过81球面x 2+y 2+z 2=1, x>0,y>0,z>0的流量.解：设S 为所给81球面，S 1, S 2, S 3分别是S 在三个坐标面上的投影, 则所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0+⎰⎰⋅11S dS n A +⎰⎰⋅22S dS n A +⎰⎰⋅33S dS n A =⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛球体81V divAdV=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(2=⎰⎰⎰++103202sin )cos sin sin cos (sin 2dr r d d ϕϕθϕθϕϕθππ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2021)sin (cos 421πθθθπd =83π.注：其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S, S 1, S 2, S 3的单位法矢，显然有A|n i (i=1,2,3)，∴A ·n i =0，从而⎰⎰⋅iS i dS n A =0 (i=1,2,3), 于是所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0=83π.9、设流速A=(-y,x,c) (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周x 2+y 2 =1, z=0；(2)沿圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0.解：(1)圆周x 2+y 2 =1, z=0的向径r 适合方程r=costi+sintj+0k(0≤t ≤2π). ∵A ·dr=(-sinti+costj+ck)·(-sinti+costj+0k)dt=dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰π20dt =2π.(2)圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0的向径r=(2+cost)i+sintj+0k (0≤t ≤2π); ∵A ·dr=[-sinti+(2+cost)j+ck]·(-sinti+costj+0k)dt=(2cost+1)dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰+π20)1cos 2(dt t =2π.。

第二十二章曲面积分

S2 D S
2 2 2 ( x y z ) dS 4 D
a2 ( x2 y 2 )
4a
3 2
0
d
a
rdr a2 r 2
a 0
0
8a 3 ( a 2 r 2 ) 8a 4 .
对于由参量形式表示的光滑曲面 x x(u , v), S : y y (u , v), z z (u , v), (u , v) D,
f ( x(u, v), y (u, v), z (u, v)) EG F 2 dudv.
D
例 3 计算 zdS , 其中 S 为螺旋面 (图 22 - 2)的
S
一部分 x u cos v, S : y u sin v, (u , v) D, z v, 0 u a , D: 0 v 2 .
解由于 E xu yu zu cos v sin v 1,
2 2 2 2 2
F xu xv yu yv zu zv u sin v cos v u sin v cos v 0, G xv yv zv u sin v u cos v 1
M 0 为 S 上任一点, L 为 S 上任一经过点 M 0 , 且不超出 S 边界的闭曲线. 又设 M 为动点, 它在 M 0 处与 M 0 有相同的法线方向, 且有如下特性: 当 M 从 M 0 出发沿 L 连续移动, 这时作为曲面上的点 M , 它的法线方向也连续地变动. 最后当 M 沿 L 回到 M 0 时, 若这时 M 的法线方向仍与 M 0 的法线方向相一致, 则说这曲面 S 是双侧曲面; 若与 M 0 的法线方向相反, 则说 S 是单侧曲面.

数学分析22.2第二型曲面积分(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。

设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。

动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。

取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。

高等数学第22章第2节第二型曲面积分

第二十二章曲面积分§2 第二型曲面积分一曲面的侧为了给曲面确定方向，先要阐明曲面的侧的概念。

设连通曲面S 上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M 为曲面S 上的一点，曲面在M 处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向。

设0M 为S 上任一点，L 为S 上任一经过点0M ，且不超出S 边界的闭曲线。

又设M 为动点，它在0M 处与0M 有相同的法线方向，且有如下特性：当M 从0M 出发沿L 连续移动，这时作为曲面上的点M ，它的法线方向也连续地变动。

最后当M 沿L 回到0M 时，若这时M 的法线方向仍与0M 的法线方向一致，则说这曲面S 是双侧曲面①；若与0M 的法线方向相反，则说S 是单侧曲面。

我们通常碰到的曲面大多是双侧曲面。

单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(M öbius)带。

它的构造方法如下：取一矩形长纸带ABCD(如图22-3(a))，将其一端扭转1800后与另一端粘合在一起(即让A 与C 重合，B 与D 重合。

如图22-3(b)所示)。

读者可以考察这个带状曲面是单侧的。

事实上，可在曲面上任取一条与其边界相平行的闭曲线L ，动点M 从L 上的点0M 出发，其法线方向与① 事实上，可以证明，只需对S 中某一点．．．0M 且又不超出S 的边界的任何闭曲线L 上具有上述特性，则S 是双侧曲面。

0M 的法线方向相一致，当M 沿L 连续变动一周回到0M 时，由图22-3(b)看到，这时M 的法线方向却与0M 的法线方向相反。

对默比乌斯带还可更简单地说明它的单侧特性，即沿这个带子上任一处出发涂以一种颜色，则可以不越过边界而将它全部涂遍(即把原纸带的两面都涂上同样的颜色)。

通常由()y x z z ,=所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z 正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时，则另一侧(也称下侧)为负侧。

当S 为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。

数学分析22.3高斯公式与斯托克斯公式(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ，其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0，同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。

数学分析讲义 - CH22(曲面积分)

曲面的面积定义为
S ru rv dudv
D
1 中国矿业大学理学院胡建华ຫໍສະໝຸດ 华师大数学分析(第四版)讲义
第 22 章
曲面积分
易计算
( y , z ) ( z , x ) ( x, y ) ru rv ( , , ) ( A, B, C ) (u , v) (u , v) (u , v) ru rv A2 B 2 C 2 EG F 2 ， E ru ru , F ru rv , G rv rv
EG F 2 R 2 sin
S
D
EG F 2 d d R 2 sin d d d R 2 sin d 4 R 2
D 0 0
2

【例 2】求以 (0, 0, 0) 为顶点，圆 x R cos , y R sin , z h 为底的圆锥面的面积。解 r (t , ) ( Rt cos , Rt sin , ht ), D : 0 2 , 0 t 1
【例 1】求半径为 R 的球面面积。解 r ( , ) ( R sin cos , R sin sin , R cos ), D : 0 , 0 2

r ( R cos cos , R cos sin , R sin ) r ( R sin sin , R sin cos , 0)
4 中国矿业大学理学院胡建华
华师大数学分析(第四版)讲义
第 22 章
曲面积分
解
2 2 2 E xu yu zu cos 2 v sin 2 v 1,

数学分析教案(华东师大版)第二十二章曲面积分

第二十二章曲面积分教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2•掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。

教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。

教学时数：18学时§ 1 第一型曲面积分一. 第一型面积分的定义：1.几何体的质量：已知密度函数，分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算2.曲面的质量：3.第一型面积分的定义：定义及记法.,面积分J［血忙.4.第一型面积分的性质：第一型面积分的计算1. 第一型曲面积分的计算Th22.2设有光滑曲面-； .1，上二.T.：「为一7■上的连续函数,则例4 计算积分',其中■是球面iv J，-被平面_ : '工所截的顶部. P281§第二型曲面积分曲面的侧:1.单侧曲面与双侧曲面：2.双侧曲面的定向：曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为二二I…I . ■ ■ I,则上侧法线方向对应第三个分量 ...，即选+ ”号时，应有:«■■■ .■，亦即法线方向与［轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧.第二型曲面积分:1. 稳流场的流量：以磁场为例.P2842.第二型曲面积分的定义：P284 .闭合曲面上的积分及记法.3.第二型曲面积分的性质：线性，关于积分曲面块的可加性.第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系：4.设丹为曲面£的指定法向,贝U^P{^y.z）dydz + Q（扎y ⑵沏x+ R（扎恥）必妙二心力益”刃+ R(x,y r2)cos(«,z)^.三第二型曲面积分的计算：----- 三.Th22!.2 设R（XJ⑵是定义在光滑曲面S ：Z = Z（X J）,（兀刃E D 0上的连续函数,以S的上侧为正侧（即co论⑵〉0）,则有⑵必妙二禺如.证P类似地，对光滑曲面&廿⑵，（丿⑵E D』，在其前侧上的积分丿⑵妙必=卩（粉必）妙血.对光滑曲面J .m . J ： - D :,在其右侧上的积分计算积分][--'■■-：-■ ' 「匚二二…J 时,通常分开来计算三个积分为此，分别把曲面投影到YZ 平面,ZX 平面和XY 平面上化为二重积分进行计算•投影域的侧由曲面、的定向决定.P287 例2 计算积分二，_为球面-I ；-- 「— 取外侧.解对积分 1分别用石和门记前半球面和后半球面的外侧，则有 -:f T…一计算积分 '/是球面"''7，- -丨在因此,外侧,因此,H—‘IL + It...=对积分则有\i ---亠"，分别用二：「H」—=乍和一二记右半球面和左半球面的-2 1 ■S *J J0 -12 -y 2d^dy = -JZ S 3 . 综上,[]'- ■■§ 3 Gauss 公式和Stokes 公式一.Gauss 公式：Th22.6 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面 J 围成.若函数P,Q,R 在 V上连续，且有连续的一阶偏导数，则对积分分别用一和 :-记上半球面和下半球面的外侧则有因此,『’八―J =—dxdydz = + Qdzdx + Bdxdy ,其中、取外侧•称上述公式为 Gauss 公式或 OcTporpa —G CKU 公式.设V 是矽型区域（即Z-型体），其边界曲面£由曲面:「一二〔：下侧，,> ■ --7； ■.>；；.-■；上侧，,■. ■< -.: [IT —」厂「「「Fa* 3曙dP dQ 3R dxdy __ 以及垂直于二'平面的柱面-. .（外侧）组成. 注意到只证dy az dxdydz-I ■■-.--'取外侧.解一「： :- -■. .vi<, 一匚:卷1堂彳込1今兰+聖芒訂dx f dy f 3z dx dy dz由Gauss 公式什’例2 计算积分\ [■-■ ■ ■ ■■'■ ■.■ -，其中J 是边长为」的正方体V 的表面取外侧.V : ：. .■ _ : _ i . P291解应用Gauss 公式,有可类证「F 必矽曲=妙也，[存dxdydz =只Qdzdx以上三式相加，即得Gauss 公式.一为球面面下方的部分，取外法线方向V 的表面外侧,由Gauss 公式,有=3j 『xdy 占二弘锥体v 的体积=3'yjr = 64兀;JJ xdydz + ydzdx + zdxdy = 4例1 设v 是三维空间的区域，其内任何封闭曲面都可不通过 v 外的点连续收缩为V 上的一点.又设函数「二二匚1、 J 二「匚I 和工二二匚1在V 上有连续的偏导数•「表示V 内任一不自交的光滑封闭曲面，•是：■的外法线•试证明：对V 内任意曲面：'恒有£[Pc 阳（丹卫）+Q CO 5（MJ ） + Rc 阳（加⑵肉=0、3F 3Q SR A的充要条件是 1-在V 内处处成立.8x dy 3z a 位屮”）必妙必= ay^—a dy = a计算积分『一二一一…；,一为锥面二二在平解设："为圆■ _' ■.■ : ■取上侧则]•/构成由其所围锥体=64兀[0 + X ）必= 因而,低户亦他耳+ 肮0£（科⑵= ^Pdydz + Qdzdx+ &te妙.—：由Gauss公式直接得到.-：反设不然,即存在点二：.「.二_二V使/ 3P 3Q QR r■ - - 亠，' 3x dy dz叫、、「、dP dQ dR yf w不妨设其.I.l.由■'' 在点丄，一连续，存在以点丄，一为中心且在V dy azf3P 3Q 3R、、一.内的小球f ,使在其内有.以一表示小球1：：的表面外侧，5x dy dz就有IT J谄逍呼卜处＞。

数学分析曲面积分

第22章曲面积分§1 第一曲面积分一．问题的提出设有一块滑腻的金属曲面S 。

它的密度是不均匀的。

在其点（x,y,z ）s ∈处密度为ρ（x,y,z ），并设 ρ 在S 上持续。

试求金属曲面S 的质量M.为解决此问题，试用常常利用的微元分析法即（(1)分割:）把S 分成小块曲面s1,s2,…….sn 虽然在每一个小曲面 si 上密度是不均匀的。

但当分割加细时，由持续性知在每一个小曲面片si 上的密度能够以为是一个常数。

换句话说，能够在si 任意取一点(i i i ζηξ,,)的密度, 作为 si 上的密度，面积为 i s ,质量为 mi ,则m=p (i i i ζηξ,,)si ∆。

当分割无穷加细时，能够以为右端的极限是曲面S 的质量M 。

问题是此出如何论述“分割无穷加细”呢？所谓“无穷加细”指的是没有看分割的进行，分割后所得的小曲面上任意两点间的距离都是无穷小。

为此，si m m ∈∀2,1 ,记 d(m1,m2) 为M1,M2 两点见的距离di=sup d(m1,m2),d=maxdi.。

可见，“无穷加细的划分进程”可用 d->0 来描述。

综上所述 m=lim ∑=ni i i i p 1),,(ζηξSi ∆如此，通过“分割，作和，取极限”的微元分析法解决以上金属曲面质量的问题。

那个进程类似于定积分,所以也给它一个“积分”名称，称之为“第一块曲面积分”。

推而广之。

就取得一般概念如下：二．第一类曲面积分的概念设 f(x,y,z) 是滑腻曲面S 上的有界函数。

把S 分割为小曲面 si,s2…….sn ，记di=supd(m1,m2),d=maxdi. 若是 lim ∑=ni i i i p 1),,(ζηξSi ∆的极限存在，而且此极限与S 的分割和点),,(i i i p ζηξ 在 si 上的选取无关，则称之为第一类曲面积分，记作 =⎰⎰sfdslim ∑=ni i i i p 1),,(ζηξSi ∆注意：①上述记号中的积分是关于“面积”积分，这是曲面积分的由来。

第二十二章曲面积分

第二十二章曲面积分1. 计算曲面积分⎰⎰++SdS zx yz xy )(,其中S 为圆锥曲面22y x z +=被曲面ax y x 222=+所割下的部分.2. 计算⎰⎰SdS xyz ,其中S 是曲面22y x z +=介于两平面1,0==z z 之间的部分.3. 计算⎰⎰S dS z xγcos 2,其中S 是球面2222a z y x =++的下半部, γ是曲面的法线方向与z 轴正向的夹角.4. 计算⎰⎰+S dS y x 221, 其中S 是柱面222R y x =+在平面0=z 和H z =之间的部分.5. 计算⎰⎰S dydz xz 2,其中S 是上半球面222y x a z --=的上侧.6. 计算⎰⎰++S dxdy z dxdz y dydz x 222, 其中S 为球体2222)()()(R c z b y a x ≤-+-+-的表面, 并取外侧.7. 计算⎰⎰++Sdxdy z h dxdz y g dydz x f )()()(,其中)(),(),(z h y g x f 为连续函数; S 为平行六面体c z b y a x <<<<<<0,0,0的外表面.8. 计算曲面积分⎰⎰++S zdxdy x ydzdx xdydz x 223,其中S 为b z z a y x ===+,0,222所围成的立体的表面积.9. 计算⎰⎰+++S xydxdy ydzdx z xyzdydz )(22,其中S 为曲面224z x y +=-上0≥y 的那部分取正侧.10. 计算曲线积分⎰+++++Ldz x dy z dx y )3()2()1(,其中L 是圆周,0,2222=++=++z y x R z y x 若从x 轴正向看去, L 是沿逆时针方向运行.11. 计算⎰+++++=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222, L 是曲线)0,0(2,222222><<=+==++z R a ax y x Rx a z y x , 且L 的正向是使它在求外表面所围小区域在它的左方.12. 计算⎰⎰+++S z dxdy dzdx dydz e y x ),(22其中S 是为曲面22y x z +=及平面2,1==z z 所围成的立体的表面外侧.13. 计算⎰⎰+S y dxdz z x e 22，其中S 是由曲面22z x y +=与平面2,1==y y 所围成立体表面的外侧.。

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0 0
2
5
例5
计算 xdS , 其中是圆柱面 x 2 y 2 1,

平面 z x 2及 z 0所围成的空间立体的表面.
解

1

2 3
其中1 ：z 0 ,
2： z x 2 ,
投影域D1 ： x 2 y 2 1
匀质之质量 M S .
非匀质之质量，用元素法解决
分割把分成 n 小块 S i （ S i 也
表示第 i 小块曲面的面积）.
取近似
求和
取极限 M lim ( i , i , i ) Si .
0 i 1
n
定义1 设 S 为可求面积的曲面, 为定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T , 将 S 分成
1 2
2
1
o x
1 3
1
y
xyz dS xyz dS
3 4
4
1 : x 0. 2 : y 0.
xyz dS xyz dS xyz dS
1 2
z
1
xyz dS xyz dS
3 4
2
1
0
i 1
n
o
x
( k ,k ) ( k ) xy
而

( k ) x y
1 z x ( x , y ) z y ( x , y ) dxd y
2 2
2 , k ) ( k ) x y 1 z x ( k , k ) z y ( k 2
2 2 dS 1 z x z y dxdy
1 0 ( 1) dxdy 2dxdy,
故
2
( x y z )ds

D xy
2 ( x y 5 y )dxdy 2 (5 x )dxdy
D xy
2 d (5 r cos )rdr 125 2.

( 3) 若可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
f ( x , y, z ) dS f ( x , y, z ) dS g( x , y, z ) dS .
1 2
特别，当 f ( x , y, z ) 1 时， dS 的面积。

3. 用曲面积分表示与物质曲面有关的物理量
o a x
a
y
0 2 , D xy : 2 2 0 r a h .
z a
h
dS 1 z a 2 2 2 dxdy Dxy a x y
o a x
a
y
x r cos , y r sin .
a 2a ln . h
记忆口诀：“ 一投，二换，三代 ”.
2. 若曲面：y y( x , z ), 则

f ( x , y , z )dS
D zx

2 f [ x , y( x , z ), z ] 1 y 2 y x z dzdx .
一投：将曲面向 xoz 面投影，得 Dxz .
2 二换： dS 1 y 2 ( x , z ) y x z ( x , z ) dxdz;

Dx y
f ( x, y ,
) 1 z x ( x, y ) z y ( x, y )d xd y
2
2
例1 计算

dS , 其中是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 z
被平面 z h ( 0 h a ) 截出的顶部.
解
: z a x y .
第一型曲面积分的计算的证明
定理22.1 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 S 上连续, 则
x
O
y

D xy
f ( x, y, z( x, y ))
证明由定义知
z
: z z( x , y )
S k
( k ,k , k )
lim f ( k ,k , k ) Sk
1 2 3 4
xyz dS
4
z
1
4 : z 1 x y.
将曲面 4 向 xoy 面投影，得
0 x 1, Dxy : 0 y 1 x .
2
1
o x
1 3
4
1
y
z x 1,
z y 1.
2 dS 1 z 2 ( x , y ) z x y ( x , y ) dxdy 3 dxdy .
一投：将曲面向 yoz 面投影，得 D yz .
2 二换： dS 1 x 2 ( y , z ) x y z ( y , z ) dydz;
三代： f ( x , y , z )
: x x( y, z )
f ( x( y , z ), y , z );
注：
（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则
dS z D
2 z2 ( x , y ) z x y ( x, y)
dxdy
a dxdy. 2 2 2 a x y
xy
a
Dxy
1 a dxdy 2 2 2 2 2 2 a x y a x y z 1 dxdy a 2 2 2 a x y h
0 2 , D xy : 2 2 0 r a h .
第二十二章曲面积分
§1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分
§3 高斯公式与斯托克斯公式
§1 第一型曲面积分
一、概念的引入
实例
若曲面是光滑的 , 它的面密度为连续函数( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
z a
将曲面向 yoz 面投影，得
D yz : y 2 z 2 a 2 , y 0.
xy
xz
y
2 2 2
a y z z . a2 y2 z2
,
a x
o
a
y
dS 1
x2 y ( x, y)
2 xz ( x, y)
dydz
a dydz. 2 2 2 a y z
z x 1,
z y 1.
2 dS 1 z 2 ( x , y ) z x y ( x , y ) dxdy 3 dxdy .
xyz dS xyz dS
4
z
1

DXY
xy(1 x y ) 3 dxdy
1 1 x
2
1
o x
1 3
2.对面积的曲面积分的性质
(1) ( 2)
kf ( x , y, z ) dS k f ( x , y, z ) dS;

[ f ( x , y, z ) g( x , y, z )] dS

f ( x , y , z ) dS g( x , y , z ) dS;
1 : x 0. 2 : y 0. 3 : z 0.
o x
1 3
4
1
y
xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS
1 2 3 4
xyz dS
4
xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS
2
2
2
z a
h
将曲面向 xoy 面投影，得
Dxy : x 2 y 2 a 2 h2 .
zx x , a2 x2 y2
o a x
a
y
zy
y a2 x2 y2
.
zx
x , a2 x2 y2
zy
Hale Waihona Puke y a2 x2 y2.
dS 1
思考:
若是球面出的上下两部分, 则
被平行平面 z =±h 截
z
h
dS z ( 0 )

dS a z ( 4 π a ln h )
x
y
h

例2
解
x r cos , y r sin .
所以，
: x a2 y2 z2 .
二第一型曲面积分的计算
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z( x , y ), 在oxy面上的投影区域为 D xy , 则

f ( x , y, z )dS
D xy

2 f [ x , y , z( x , y )] 1 z 2 z x y dxdy .
n 个小曲面块Si ( i = 1, 2, . . . , n ) , Si 的面积记为
在 Si 任取一点若极限
||T || 0
lim
f ( , ,
i 1 i i
n
i
) S i
存在, 则称此极限为 f ( x, y, z ) 在 S 上的第一型
曲面积分, 记作
f ( x, y, z ) ds
a x
z a
o
a
y
y r cos , z r sin .
例3 计算
xyz dS ,

其中是由平面 x 0, y 0,
z 0, 及 x y z 1 所围成的四面体的整个边

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