第二十二章曲面积分

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曲面积分习题课(供参考)

第二十二章曲面积分习题课一疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中；三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负．（2）类似地，当P 在光滑曲面上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧．解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰．又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧．解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向．解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。

曲面曲线积分复习课

S6
3
x
S3 S1
S4 S6
y
y( x z)dydz x2dzdx ( y2 xz)dxdy a4
S
2024/10/13
13
P289 1(3) xydydz yzdzdx xzdxdy, S为平面
S
x y z 0, x y z 1外侧四面体表面取外侧. z
数学分析
xydydz yzdzdx xzdxdy 0
D By
2(dydz dzdx dxdy)
A x
原式=2 dydz dzdx dxdy 6 dxdy 6 dxdy
S
S
D
3a2
2024/10/13
24
P296 4(1) 求yzdx xzdy xydz的原函数.
dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy
x2 + y2 = z2与平面z h所区域表面的外侧.
数学分析
解：P Q R 2( x y z) x y z
z
原式 2( x y z)dxdydz
V
2 ( x y)dxdydz 2 zdxdydz
V
0 V
2
h
zdz
2
d
z rdr h4 .
0
0
0
2
截面法，利用柱坐标
2024/10/13
S4 y
15
数学分析
P289 1(4) yzdzdx, S为球面x2 y2 z2 1的上半部取外侧.
S
z
S1 : y 1 x2 z2 ,
S2 S1
S2 : y 1 x2 z2 .
y
S1、S2在zx面上的投影均为D：
xz

2202第一型曲面积分的计算(续)

z =z x2 + y2
下的部分 (图22-2). 解对于圆锥面=z x2 + y2 ,
O
y
x
x2 + y2 = 2ax
图 22 − 2
有 zx
= x2x+ y2 , z y
y
, x2 + y2
1
+
z
2 x
+
z
2 y
=2;
而 S 在 xy 平面上的投影为 D( xy) : ( x − a)2 + y2 ≤ a2 . 因此
∫∫ f ( x, y, z( x, y))
1
+
z
2 x
+
z
2 y
dxdy
.
S
D
(2)
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算
例2 计算 ∫∫( xy + zx + yz)dS,
S
其中 S 为圆锥面=z x2 + y2
被圆柱面 x2 + y2 = 2ax 所割
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算
EG − F 2 = 1 + u2 .
然后由公式 (3) 求得:
∫∫ ∫ ∫ =I
v 1= + u2dudv
2π
vdv
a
1 + u2du
0
0
D
( ) =
2π
2

u 2
1 + u2 + 1 ln u + 2

第二十二章曲面积分

第二十二章曲面积分1. 计算曲面积分⎰⎰++SdS zx yz xy )(,其中S 为圆锥曲面22y x z +=被曲面ax y x 222=+所割下的部分.2. 计算⎰⎰SdS xyz ,其中S 是曲面22y x z +=介于两平面1,0==z z 之间的部分.3. 计算⎰⎰S dS z xγcos 2,其中S 是球面2222a z y x =++的下半部, γ是曲面的法线方向与z 轴正向的夹角.4. 计算⎰⎰+S dS y x 221, 其中S 是柱面222R y x =+在平面0=z 和H z =之间的部分.5. 计算⎰⎰S dydz xz 2,其中S 是上半球面222y x a z --=的上侧.6. 计算⎰⎰++S dxdy z dxdz y dydz x 222, 其中S 为球体2222)()()(R c z b y a x ≤-+-+-的表面, 并取外侧.7. 计算⎰⎰++Sdxdy z h dxdz y g dydz x f )()()(,其中)(),(),(z h y g x f 为连续函数; S 为平行六面体c z b y a x <<<<<<0,0,0的外表面.8. 计算曲面积分⎰⎰++S zdxdy x ydzdx xdydz x 223,其中S 为b z z a y x ===+,0,222所围成的立体的表面积.9. 计算⎰⎰+++S xydxdy ydzdx z xyzdydz )(22,其中S 为曲面224z x y +=-上0≥y 的那部分取正侧.10. 计算曲线积分⎰+++++Ldz x dy z dx y )3()2()1(,其中L 是圆周,0,2222=++=++z y x R z y x 若从x 轴正向看去, L 是沿逆时针方向运行.11. 计算⎰+++++=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222, L 是曲线)0,0(2,222222><<=+==++z R a ax y x Rx a z y x , 且L 的正向是使它在求外表面所围小区域在它的左方.12. 计算⎰⎰+++S z dxdy dzdx dydz e y x ),(22其中S 是为曲面22y x z +=及平面2,1==z z 所围成的立体的表面外侧.13. 计算⎰⎰+S y dxdz z x e 22，其中S 是由曲面22z x y +=与平面2,1==y y 所围成立体表面的外侧.。

第二十二章曲面积分

定义设S 为空间上可求面积的曲面块,它把s 分成n 个可求面积的小曲面S i ( 11,2,，n ) , S i 的面积记为 S ，分割T 的细度为),T max S i 的直径，在S i 上任取一点i ,(1 1,2, , n).若有极限且J 的值与分割T 与点i , i, 记作l Tlm 0ii的取法无关,i , i ,iSi=J ,则称此极限为fx,y,z 在S 上的第一型曲面积分, f x, y,z dSs(1)第二十二章曲面积分§ 1第一型曲面积分教学目的掌握第一型曲面积分的定义和计算公式. 教学内容第一型曲面积分的定义和计算公式.(1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式.(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式. 教学建议(1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式. (2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式. 教学程序背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果•一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义.一、第一型曲面积分的概念与性质x ，y ，z 为定义在S 上的函数.对曲面S 作分割T ,第一型曲面积分的性质(1)线性性：设gds存在,-R, c( f f)ds存在,且cc gds . c( f f )ds fdsc⑵可加性：设fds存在，s si s2,则sfds, fds 存在, si s2fds s sifdss2fds反之亦然.f x,y,zdSS = D2 2例i计算S z，其中S是球面x yz2a2被平面z h 0 h a所截的顶部.解S : z a" 2 2x y , x, y x, y 2 2 , 2yah1 z；2 zya2dSS z=D2dxdy da x y =oa2h2a2h—rdr 2ar = o/7dra In a2h22a ln h.、第一型曲面积分的计算定理22.1设有光滑曲面S: z zx,y x,y D，f x,y,z为定义在S上的连续函数,则x, y, z x,y . 1 f x2f：dxdydS作业P2821;2;3;4.§ 2第二型曲面积分教学目的掌握第二型曲面积分的定义和计算公式.教学内容曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式.(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式.(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系.教学建议(1)本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性.S i xy为负(i 1,2, ,n).在每个小曲面S i(2)本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握.教学程序曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分害IJ、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果•一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义.一、第二型曲面积分的概念与性质定义设函数P，Q, R与定义在双侧曲面S上的函数.在S所指定的一侧作分割T它把S 分成n个小曲面沁2 S( i 12 ,n)，分割T的细度阳maX S的直径，以S i yz，%，丸分别为S在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由S的方向来确定.如S的法线正向与z轴正向成锐角时，S i在xy平面上的投影区域的面积S i xy为正，反之，如°的法线正向与z轴正向成钝角时，S i在xy平面上的投影区域的面积任取一点i，i，i，若极限n n nT m0p i, i, i S i yz T m0Q i，i，i S i zx 啊0R i, i, i 氐I 0 i 1 +〔T I 0 i 1 +1 I 0 i 1存在且与分割T与点i, i, i的取法无关，则称此极限为函数P，Q，R d曲面S所指定的一侧的第二型曲面积分，记为Px,y, zdydz Qx, y,zdzdx Rx, y,zdxdyS，(1)上述积分(1)也可写作P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y,z dxdyS + S + S第二型曲面积分的性质(1)若 S(i 1,2, ,nnnc i p dydzC i QiS i 1i 1)都存在，C i( i 1,2, ,n )，为常数，则有ndzdz c i R i dxdyi 1C i p i dydz Q i dzdx R i dxdyp i dydz Q i dzdx R i dxdynRomlxymo HdxySS这里d max Sxy，因E max S i的直径0，立刻可推得d max Si xy0，由相关函数xyR x,y,z x, y dxdyRmo HdxyRx, y,z dxdy R x, y, z x, y=Dxydxdy类似地,P 为定义在光滑曲面s : x x y ,zy,z D yz 上的连续函数时,Q 为定义在光滑曲面s : y yz ,x乙X D zx 上的连续函数时，而s 的法Pdydz Qdzdx Rdxdy(2)若曲面S 由两两无公共内点的曲面块S i ,S 2…S n所组成，S iP x, y, z dydz Q x, y,z dzdx R x, y, z dxdy(i 1,2, ,n )都存在，贝U S也存在，且P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y,z dxdySnPdydz Qdzdx Rdxdy=i 1 S i.二、第二型曲面积分的计算定理22.2设R 为定义在光滑曲面S : z zx,y x, yD xy，上的连续函数，以S 的上侧为正侧(这时S 的法线正向与z 轴正向成锐角)，则有Rx,y,zdxdy Rx,y ,z x,y dxdyS=D xy. (2)证明由第二型曲面积分的定义的连续性及二重积分的定义有而s 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有P x, y,z dydz P x y’z’y’zdydzS =D xy线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有Q x,y,z dzdx Q x, y, z x, y dzdxS =D ZX注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的xyzdxdy 2计算S，其中S 是球面x y1在x 0,y 0部分并取球面外侧.S 1 :乙x, y D xy 2x, y x1,x 0, yS 2 : Z 2 x, y D xy2x,y x1,x 0, yxyzdxdy xyzdxdy S = Si + S 2xyzdxdy那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号曲面在第一，五卦限间分的方程分别为xy 1 x 2y 2dxdyD xy D xyxy 1 x 2y 2dxdy2 xy ,1x 2___ 2 2y dxdy 2 d=01r 3cos sin . 1 r 2dr2 15例2计算积分⑺(x y)dydz (y z)dzdx (z 3x)dxdy , 为球面x 2y 2z 2R 2取外侧.分别用前和后记前半球面和后半球面的外侧，贝U 有前x .R 2y 2z 2,2 2 2D yz : yzR后: xR2y2z 2,2 2 2D yz : y zR .因此，门(xy)dydz== + 前后.BLy 2—z 2D yzD yz解对积分匚(x y)dydz,y dydzy dydz对积分(y 3 2 2 2r234R 3. 3z)dzdx,分别用右和左记右半球面和左半球面的外侧，则有 yR 2z 2x 2,D zx : x 2z 2R 2;y R 2z 2D zx :x 2z 2R 2.VR 2 z 2x 2z dzdxD zx..RD zx222z xz dzdx2x 2 z 2 R 2下记上半球2R Vw dx2y r cos , z rsin R 一2 , R 2y 2z 2dydz8 ；d ° , R^r 2rdry 2 z 2 R 2'00因此，：：(y z)dydz4 R 3.3综上 ‘ IX y)dydz (y z )dzdx (z 3x)dxd y =3 4 R 34 R 3.作业 P289:1;2.上z R 22 2x y ,D xy :2x22y R 下: xR22 2x y ,D xy : 2 x2 2y R因此，：二(z 3x)dxdy=上+下2x 2y 2 3xdxdy.R 22 2x y3x dxdyD xyD xy对积分二：(z 3x)dxdy,分别用上和§ 3高斯公式与斯托克斯公式教学目的学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分. 教学内容高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件.P Q x yQ x, y, z dzdx R x, y, z dxdy证只证V类似可证R x, y, z dxdySP x, y, z dydz =S和 dxdydzQ x, y, z dzdx=S这些结果相加z 2x,y .于是按三重积分的计算方法有RdzR x, y,Z 2 x,y dxdy=D xyR x,y,z x, y dxdyD xy(1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分.懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件.(2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧.教学建议本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分•要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系. 教学程序一、高斯公式定理22. 3设有空间区域V 由分片光滑的双侧闭曲面S 围成•若函数PQR 在V 上连续, 且具有一阶连续偏导数，则dxdydz -； P x, y, z dydz=S其中S 取外侧•称为高斯公式便得到了高斯公式.先V 设是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面 : z z 2 x, y , x, y D xy$ : z z i x, y , x, y D xy・ ? ・ ? 及垂直于D xy 的边界的柱面S 3组成其中Z i x,yz 2x,yRdxdydz dxdy z D xyz i x,yR x, y, z 2 x, y R x, y,乙 x, y dxdy= D xyR x, y, z dxdy R x, y,z dxdy=S2S iz xR x, y, z dxdy =S2R x, y, z dxdy侧.y x例1计算Sz dydzx2dzdyxz dxdy,其中S是边长为a的正立方体表面并取外解应用高斯公式, 所求曲面积分等于xz dxdydzax dxdydz dz dy y=0 0 0 x dx ay 」a2dy2定理22.4 设光滑曲面S的边界L是按块光滑的连续曲线. 若函数PQR在S （连同L ）其中S,S2都取上侧•又由于S3在xy平面上投影区域的面积为零，所以R x, y, z dxdy 0S3因此Rdxdydz R x, y, z dxdy R x,y, zdxdy R x, y, z dxdy V Z= S2 S1 + S3 匚R x, y,z dxdy =S对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论.详细的推导与格林相似.空间区域V的体积公式1 dxdydz 「：xdydz ydzdx zdxdy =S1 xdydz ydzdx zdxdyV =3S、斯托克斯公式双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向的规定：右手法则.上连续，且有一阶连续偏导数，则R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy ■■- Pdx Qdy RdzS y z z x x y =L（2）其中s的侧与L的方向按右手法则确定.证明先证P—dzdx(3)其中曲面S 由方程zzx，y 确定，它的正侧法线方向数为Z x , Z y , 1,方向余弦为cos ,cos ,cos ，所以z cos z cosx cos y cos若S 在平面上投影区域为D xy , L 在平面上的投影曲线为.现由第二型曲线积分的定义及格林公式有因为 ::P x, y, z dx L—P x,y,z x,y y:P x, y, z x, y dxD xy—P x, y, z x, y dxdy yy z y ，所以cos—P x, y, z x, y dxdy D Xy yP— dxdyz y由于ycos，从而dxdyP込 dxdy z cosPcosSyP cos z dxdy cosP cosSyP cos z dSP dzdxSzP dxdy y综合上述结果，便得所要证明的（3）式.同样对于曲面S 表示为x x y ,z 和y y 乙x 时，可证得dydz :: Qdy=L(4)dxdy 一 Pdx y=LdydzR d zRdz =L(5)S 分割为若于小块，使每dydz dzdxdxdyPdx Qdy Rdzx dz，其中L 为平面x y z 1与各坐标面的交线,将（3）,（4）,（5）三式相加即得（2）式.如果曲面S 不能以z zx ，y 的形式给出，则可用一些光滑曲线把一小块能用这种形式来表示.因而这时（2）式也能成立. 公式（2）称为斯托克斯公式，也可写成如下形式：=Lo 2y z dx x z dy y例2计算L取逆时针方向为正向.解应用斯托克斯公式2y z dx x z dy y x dzL1 1 dydz 1 1 dzdx 12 dxdy=S2dydz 2dzdx 1dxdy 1=S=单连通区域：如果区域V 内任一封闭曲线皆可以不经过 V 以外的点收缩于属于V 的一点, 则称V 为单连通区域.非单连通区域称为复连通区域.定理22.5 设 R 3为空间单连通区域.若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（i ）对于内任一按段光滑的封闭曲线L ，有Pdx Qdy RdzL=0.（ii ）对于内任一按段光滑的曲线L ，曲线积分Pdx Qdy Rdz L 与路线无关.只与L 的起点及终点有关。

高等数学第22章第3节高斯公式与斯托克斯公式

由斯托克斯公式，可导出空间曲线积分与路线无关的条件. 区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点。如球体是单连通区域。非单连通区域称为复连区域。如环状区域不是单连通区域中，而是复连通区域。
与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理。定理22.5 设为空间单连通区域。若函数P，Q，R在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（i）对于内任一按段光滑的封闭曲线L有（ii）对于内任一按段光滑的曲线L，曲线积分与路线无关；（iii）是内某一函数u的全微分，即（6）（iv）在内处处成立。这个定理的证明与定理21.12相仿，这里不重复了。例3 验证曲线积分与路线无关，并求被积表达式的原函数。解由于所以曲线积分与路线无关。
（4）和
（5）将（3）、（4）、（5）三式相加即得（2）式。如果曲面S不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时（2）式也能成立。 ▌ 公式（2）称为斯托克斯公式。为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：例2 计算其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向（图22 －8）。解应用斯托克斯公式推得
，（1）其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。
证下面只证读者可类似地证明这些结果相加便得到了高斯公式（1）。先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面
①若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用表示。及以垂直于的边界的柱面组成（图22－6），其中。于是按三重积分的计算方法有其中都取上侧。又由于在xy平面上投影区域的面积为零，所以因此对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。 ▌ 高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。例1 计算其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。解应用高斯公式，所求曲面积分等于

数学分析第二十二章曲面积分

Dxy
2. 若曲面 : y y( x, z), 则
f ( x, y, z)dS f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2 dxdz;
Dxz
3. 若曲面： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
Dxy
一投：将曲面向 xoy 面投影，得Dxy .
二换： dS 1 z2x ( x, y) z2y ( x, y) dxdy; 三代： f ( x, y, z) : z z( x, y) f ( x, y, z( x, y));
2. 若曲面： y y(x, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2 dxdz;
D yz
一投：将曲面向 yoz 面投影，得Dyz .
二换：
dS
1
x
2 y
(
y,
z)Biblioteka xz2 (y,z)
dydz;
三代： f ( x, y, z) : x x( y, z) f ( x( y, z), y, z);
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
f ( x, y, z) dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2 dxdy;
原式 xyz dS 4 xy 3(1 x y)dxdy Dxy
其中 D xy {( x , y ) | x y 1 , x 0 , y 0 }
xyzdS
1
1 x
3 xdx (1 x y)dy
0
0
1 (1 x) 3
3 0 x 6 dx

第二型曲面积分

作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析第二十二章曲面积分
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§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的计算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析第二十二章曲面积分
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§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy

二十二章第三节高斯公式与斯托克斯公式

沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为沿场中某一有向曲面Σ
Φ = ∫∫ A dS = ∫∫ A n 0 dS
Σ Σ
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
向正侧穿过曲面Σ 通量. 称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
散度的定义: (2). 散度的定义:
2π
1
3
9π . 2
使用Guass公式时应注意: 使用Guass公式时应注意: Guass公式时应注意
是对什么变量求偏导数; 1. P,Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 2.是否满足高斯公式的条件; 是否满足高斯公式的条件
3.Σ是取闭曲面的外侧. 3.Σ是取闭曲面的外侧.
Σ1 Σ1
=
h2dxdy = πh4 . ∫∫
D xy
故所求积分为
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ
1 4 = πh πh4 = 1 πh4 . 2 2
物理意义: 3. 物理意义: (1). 通量的定义: (1). 通量的定义:
设有向量场
A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k
三部分组成, Σ 由 Σ 1 , Σ 2 和 Σ 3 三部分组成,
z
Σ2 Σ3
Σ1
Σ1 : z = z1( x, y) Σ2 : z = z2 ( x, y) Σ3 x
o
Dxy
y
根据三重积分的计算法
R ∫∫∫ z dv =

第二十二章曲面积分

S2 D S
2 2 2 ( x y z ) dS 4 D
a2 ( x2 y 2 )
4a
3 2
0
d
a
rdr a2 r 2
a 0
0
8a 3 ( a 2 r 2 ) 8a 4 .
对于由参量形式表示的光滑曲面 x x(u , v), S : y y (u , v), z z (u , v), (u , v) D,
f ( x(u, v), y (u, v), z (u, v)) EG F 2 dudv.
D
例 3 计算 zdS , 其中 S 为螺旋面 (图 22 - 2)的
S
一部分 x u cos v, S : y u sin v, (u , v) D, z v, 0 u a , D: 0 v 2 .
解由于 E xu yu zu cos v sin v 1,
2 2 2 2 2
F xu xv yu yv zu zv u sin v cos v u sin v cos v 0, G xv yv zv u sin v u cos v 1
M 0 为 S 上任一点, L 为 S 上任一经过点 M 0 , 且不超出 S 边界的闭曲线. 又设 M 为动点, 它在 M 0 处与 M 0 有相同的法线方向, 且有如下特性: 当 M 从 M 0 出发沿 L 连续移动, 这时作为曲面上的点 M , 它的法线方向也连续地变动. 最后当 M 沿 L 回到 M 0 时, 若这时 M 的法线方向仍与 M 0 的法线方向相一致, 则说这曲面 S 是双侧曲面; 若与 M 0 的法线方向相反, 则说 S 是单侧曲面.

数学分析22.2第二型曲面积分(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。

设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。

动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。

取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。

第二十二章曲面积分

,则上侧法线方向对应第三个分量
, 即选“+”号时，应有
，亦即法线方向与
轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向
闭合曲面分内侧和外侧. 二、第二型曲面积分 1. 稳流场的流量以磁场为例. P284 2. 第二型曲面积分的定义 P284 . 闭合曲面上的积分及记
法. 3. 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加
§1 第一型曲面积分
一、第一型面积分的定义和性质 1.引例：曲面的质量 2.第一型面积分的定义 3.第一型面积分的性质二、第一型面积分的计算 Th22.2 设有光滑曲面
.
为
上的连续函数,则
. 例1 计算积分
, 其中
是球面
被平面
所截的顶部。三、作业
§2 第二型曲面积分
一、曲面的侧 1．单侧曲面与双侧曲面 2．双侧曲面的定向曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为
锥体V的体积
; 而
，因而,
.
例1.设V是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连续收缩为V上的一点. 又设函数、和在V上有连续的偏导数. 表示V内任一不自交的光滑封闭曲面, 是的外法线. 试证明: 对V内任意曲面恒有
的充要条件是
在V内处处成立. 证
. 由Gauss公式直接得到 .
, 其中 L为平面与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向.
2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性空间单连通、复连通域. Th 22.5 设
R 为空间单连通区域 . 若函数下四个条件等价:
ⅰ> 对于内任一按段光滑的封闭曲线L , 有
第二十二章曲面积分
【教学目的】 1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系； 2.掌握高斯公式与斯托克斯公式； 3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用【教学重点】曲面积分的概念、计算【教学难点】第二型曲面积分【教学时数】18学时

高等数学第22章第2节第二型曲面积分

第二十二章曲面积分§2 第二型曲面积分一曲面的侧为了给曲面确定方向，先要阐明曲面的侧的概念。

设连通曲面S 上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M 为曲面S 上的一点，曲面在M 处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向。

设0M 为S 上任一点，L 为S 上任一经过点0M ，且不超出S 边界的闭曲线。

又设M 为动点，它在0M 处与0M 有相同的法线方向，且有如下特性：当M 从0M 出发沿L 连续移动，这时作为曲面上的点M ，它的法线方向也连续地变动。

最后当M 沿L 回到0M 时，若这时M 的法线方向仍与0M 的法线方向一致，则说这曲面S 是双侧曲面①；若与0M 的法线方向相反，则说S 是单侧曲面。

我们通常碰到的曲面大多是双侧曲面。

单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(M öbius)带。

它的构造方法如下：取一矩形长纸带ABCD(如图22-3(a))，将其一端扭转1800后与另一端粘合在一起(即让A 与C 重合，B 与D 重合。

如图22-3(b)所示)。

读者可以考察这个带状曲面是单侧的。

事实上，可在曲面上任取一条与其边界相平行的闭曲线L ，动点M 从L 上的点0M 出发，其法线方向与① 事实上，可以证明，只需对S 中某一点．．．0M 且又不超出S 的边界的任何闭曲线L 上具有上述特性，则S 是双侧曲面。

0M 的法线方向相一致，当M 沿L 连续变动一周回到0M 时，由图22-3(b)看到，这时M 的法线方向却与0M 的法线方向相反。

对默比乌斯带还可更简单地说明它的单侧特性，即沿这个带子上任一处出发涂以一种颜色，则可以不越过边界而将它全部涂遍(即把原纸带的两面都涂上同样的颜色)。

通常由()y x z z ,=所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z 正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时，则另一侧(也称下侧)为负侧。

当S 为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。

数学分析第二十二章曲面积分

D x y f( x ,y ,z ( x ,y ) )1 z x 2 ( x ,y ) z y 2 ( x ,y ) d x d y
5
例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
D xy:x2y2a2h2 1zx2 z2y
h o
D x y ay x
dS z
adxdy
2
Dxy a2x2y2 a 0 d
z H
z dz
o
y
x
11
课堂练习、复习
3.计算三重 I积 (x2分 y2)dxdydz，由 x2y2z2和 za
围成。请考角察坐：标利系用先直一二后后 , 柱二一面、坐标系，球面坐标系。
12
§2 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)
一、曲面的侧及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四*、两类曲面积分的联系
32
一、高斯 ( Gauss ) 公式
推广
Green 公式
Gauss 公式
定理1. 设空间闭区域由分片光滑的闭曲
面所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在
上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d yd z Q d zd x R d xd y (Gauss 公式)
下面先证: RzdxdydzRdxdy
的外侧 , 计算
I S2xcdoysd2 zx
解: 利用轮换对称性, 有
dxd y z cos2 z
S
2d xd z cos2
y z
,
Scdzod2sxySdcxod2syz0
I
S

数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)，以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在，且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。

数学分析讲义 - CH22(曲面积分)

曲面的面积定义为
S ru rv dudv
D
1 中国矿业大学理学院胡建华ຫໍສະໝຸດ 华师大数学分析(第四版)讲义
第 22 章
曲面积分
易计算
( y , z ) ( z , x ) ( x, y ) ru rv ( , , ) ( A, B, C ) (u , v) (u , v) (u , v) ru rv A2 B 2 C 2 EG F 2 ， E ru ru , F ru rv , G rv rv
EG F 2 R 2 sin
S
D
EG F 2 d d R 2 sin d d d R 2 sin d 4 R 2
D 0 0
2

【例 2】求以 (0, 0, 0) 为顶点，圆 x R cos , y R sin , z h 为底的圆锥面的面积。解 r (t , ) ( Rt cos , Rt sin , ht ), D : 0 2 , 0 t 1
【例 1】求半径为 R 的球面面积。解 r ( , ) ( R sin cos , R sin sin , R cos ), D : 0 , 0 2

r ( R cos cos , R cos sin , R sin ) r ( R sin sin , R sin cos , 0)
4 中国矿业大学理学院胡建华
华师大数学分析(第四版)讲义
第 22 章
曲面积分
解
2 2 2 E xu yu zu cos 2 v sin 2 v 1,

22数学分析课件曲面积分共16页文档

第二十二章曲面积分目的与要求：1. 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式；2. 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．以及两类曲面积分的联系，3. 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．重点与难点：本章重点是掌握第一、二型曲面积分的定义和计算公式和用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．；难点则是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系.第一节第一型曲面积分一第一型曲面积分的概念与性质 1 背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 2 第一型曲面积分的定义定义设S 为空间上可求面积的曲面块，),,(z y x f 为定义在S 上的函数．对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个可求面积的小曲面i S ()n i ,,2,1 =，i S 的面积记为i S ∆，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点()i i i ζηξ,, ()n i ,,2,1 =．若有极限()∑=→∆ni iiiiT Sf 1,,limζηξ=J且J 的值与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为),,(z y x f 在S 上的第一型曲面积分，记作()⎰⎰SdS z y x f ,, （1）3 第一型曲面积分的性质1．线性性: 设()⎰⎰SdS z y x f ,,,()⎰⎰SdS z y x g ,,存在,R ∈βα,, 则()()⎰⎰+SdS z y x g z y x f ),,(,,βα存在,且()()⎰⎰+SdS z y x g z y x f ),,(,,βα()⎰⎰=SdS z y x f ,,α()⎰⎰+SdS z y x g ,,β2．可加性: 设()⎰⎰SdS z y x f ,,存在,21S S S =，则()⎰⎰1,,S dS z y x f ，()⎰⎰2,,S dS z y x f 存在,且()⎰⎰SdS z y x f ,,()+=⎰⎰1,,S dS z y x f ()⎰⎰2,,S dS z y x f ；反之亦然.二第一型曲面积分的计算定理22．1 设有光滑曲面S ：()y x z z ,=，()D y x ∈,， ),,(z y x f 为定义在S 上的连续函数，则()⎰⎰SdS z y x f ,,=()⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221),(,,证略例 1 计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面2222a z y x =++被平面()a h h z <<=0所截的顶部.解 S ：222y x a z --=， (){}2222),(,h a y x y x D y x -≤+=∈222221yx a a z z y x --=++⎰⎰Sz dS =⎰⎰--D y x a a 222=⎰⎰--2202220h a dr r r a ad πθ=⎰--220222h a dr r a r a π=22022)ln(h a r a a ---π=ha a ln 2π作业 P282 1，2，3，4.第二节第二型曲面积分一曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．二第二型曲面积分的概念 1 第二型曲面积分的定义定义设函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,,21 ，分割T 的细度{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，以yz i S ∆，zx i S ∆，xy i S ∆分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为正，反之，如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为负),,2,1(n i =．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限 ()∑=→∆ni i iiiT yzSP 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT zxSQ 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT xySR 1,,limζηξ存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记为⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,( (1)上述积分(1)也可写作⎰⎰Sdydz z y x P ),,(+⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(+⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(2 第二型曲面积分的性质1．若⎰⎰++Si i i dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,( ),,2,1(n i =都存在，i c ),,2,1(n i =，为常数，则有⎰⎰∑∑∑⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛===S n i i i n i i i n i i i dxdy z y x R c dzdx z y x Q c dydz z y x P c 111),,(),,(),,( =∑⎰⎰=++ni Si i i i dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P c 1),,(),,(),,(2．若曲面S 由两两无公共内点的曲面块n S S S ,,,21 所组成，⎰⎰++iS dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(),,2,1(n i =都存在，则⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(也存在，且⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=∑⎰⎰=++ni S idxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P 1),,(),,(),,(三第二型曲面积分的计算定理22．2设),,(z y x R 为定义在光滑曲面S ：),(y x z z =，xy D y x ∈),(，上的连续函数，以S 的上侧为正侧（这时S 的法线正向与z 轴正向成锐角），则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,( （2）证由第二型曲面积分的定义⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=()∑=→∆ni i iiiT xySR 1,,lim ζηξ=()∑=→∆ni i i i i i i d xy S R 1),(,,lim ηξζηξ这里{}的直径xy i ni S d ∆=≤≤1max ，因{}的直径i ni S T ≤≤=1max 0→，立刻可推得{}的直径xy i ni S d ∆=≤≤1max 0→，由相关函数的连续性及二重积分的定义有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=()∑=→∆ni i i i iiid xy S R 1),(,,lim ηξζηξ所以 ⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(类似地：),,(z y x P 为定义在光滑曲面S ：),(z y x x =，yz D z y ∈),(上的连续函数时，而S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((),,(z y x Q 为定义在光滑曲面S ：),(x z y y =，zx D x z ∈),(上的连续函数时，而S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面1222=++z y x 在0,0≥≥y x 部分并取球面外侧．解曲面在第一，五卦限间分的方程分别为1S ： 2211y x z --=， {}0,0,1),(),(22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy 2S ：2221y x z ---=，{}0,0,1),(),(22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy ，⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221⎰⎰----xyD dxdy y x xy 221=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 2212=⎰⎰-123201sin cos 2dr r r d θθθπ152=．例2 计算积分⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，其中∑为球面2222R z y x =++取外侧.解对积分⎰⎰∑+dydz y x )(, 分别用前∑和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有前∑： ,222z y R x --= 222 R z y D yz ≤+; 后∑： ,222z y R x ---= 222 R z y D yz ≤+.因此, ⎰⎰∑+dydz y x )(=⎰⎰∑前+ ⎰⎰∑后=()⎰⎰-+--=yzD dydz y z y R222()⎰⎰=+---yzD dydz y z y R 222=-===========--=⎰⎰⎰⎰≤+==2222022sin ,cos 222 82R z y Rr z r y rdr r R d dydz z y R πθθθ()3023223432214R rR Rr r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===. 对积分dx dz z y ⎰⎰∑-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有右∑： ,222x z R y --= 222 R z x D zx ≤+; 左∑： ,222x z R y ---= 222 R z x D zx ≤+. 因此, =-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右+⎰⎰∑左=()()⎰⎰⎰⎰--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π.对积分dxdy x z ⎰⎰∑+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有上∑： ,222y x R z --= 222 R y x D xy ≤+; 下∑： ,222y x R x ---= 222 R y x D xy ≤+. 因此, dxdy x z ⎰⎰∑+)3(=⎰⎰∑上+ ⎰⎰∑下=()()⎰⎰⎰⎰=+----+--=xyxyD D dxdy x y x R dxdy x y x R 33222222⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π.综上, ⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R ππ=⨯作业 P289 1，2.第三节高斯公式与斯托克斯公式一高斯公式定理22．3 设有空间区域V 由分片光滑的双侧闭曲面S 围成．若函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则dxdydz z R y Q x P V)(∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,( 其中S 取外侧．称为高斯公式证只证dxdydz z RV⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰S dxdy z y x R ),,( 类似可证dxdydz x P V ⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰S dydz z y x P ),,(和dxdydz y QV⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰S dzdx z y x Q ),,( 这些结果相加便得到了高斯公式．先V 设是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面1S ：),(1y x z z =，xy D y x ∈),( 2S ：),(2y x z z =，xy D y x ∈),(及垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成其中),(),(21y x z y x z ≤．于是按三重积分的计算方法有dxdydz z RV⎰⎰⎰∂∂=dz z R dxdy xy D y x z y x z ⎰⎰⎰∂∂),(),(21 =⎰⎰-xyD dxdy y x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x zy x R )),(,,(2⎰⎰-xyD dxdy y x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R ⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R ⎰⎰-+1),,(S dxdy z y x R其中1S ，2S 都取上侧．又由于3S 在xy 平面上投影区域的面积为零，所以0),,(3=⎰⎰S dxdy z y x R因此dxdydz z R V⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R ⎰⎰-+1),,(S dxdy z y x R +⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(对于不是xy 型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy 型区域来讨论．详细的推导与格林相似．空间区域V 的体积公式：dxdydz V )111(++⎰⎰⎰=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ．V ∆=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31 例 1 计算⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22,其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧．解应用高斯公式，所求曲面积分等于⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx xdydz z x y )()(22dxdydz xz y z x y z x y x V ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂+-∂∂=)()())((22 dxdydz x y V⎰⎰⎰+=)(=⎰⎰⎰+a a a dx x y dy dz 000)(=40221a dy a ay a a=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰ 二斯托克斯公式双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向的规定：右手法则．定理22．4 设光滑曲面S 的边界L 是按块光滑的连续曲线．若函数),,(z y x P ， ),,(z y x Q ，),,(z y x R 在S （连同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则dxdy yP x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰ =⎰++L dz z y x R dy x y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( （2）其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．证先证dxdy y P dzdx z P S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰Ldx z y x P ),,( （3）其中曲面S 由方程),(y x z z =确定，它的正侧法线方向数为{}1,,y x z z --，方向余弦为()γβαcos ,cos ,cos ，所以 γαcos cos -=∂∂x z ，γβcos cos -=∂∂y z 若S 在xy 平面上投影区域为xy D ，L 在xy 平面上的投影曲线为Γ．现由第二型曲线积分的定义及格林公式有⎰L dx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂- 因为 )),(,,(y x z y x P y ∂∂=yz z P y P ∂∂∂∂+∂∂ 所以 dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-S dxdy y z z P y P 由于γβcos cos -=∂∂y z ，从而 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-S dxdy y z z P y P =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-S dxdy z P y P γβcos cos =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-S dxdy z P y P γβγcos cos cos =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-S dS z P y P βγcos cos =dxdy y P dzdx z P S∂∂-∂∂⎰⎰. 综合上述结果，便得所要证明的（3）式．同样对于曲面S 表示为),(z y x x =和),(x z y y =时，可证得dydz z Q dxdy x Q S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰Ldy x y x Q ),,( （4） dzdx x R dydz y R S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰Ldz z y x R ),,( （5）将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式．如果曲面S 不能以),(y x z z =的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示．因而这时（2）式也能成立．该公式称为斯托克斯公式，它也可写成如下形式：⎰⎰∂∂∂∂∂∂S z y x R z y x Q z y x P z y x dxdy dzdx dydz ),,(),,(),,( =⎰++L dz z y x R dy x y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(例2 计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交，取逆时针方向为正向．解应用斯托克斯公式⎰-+-++Ldz x y dy z x dx z y )()()2(=dxdy dzdx dydz S )21()11()11(-++++⎰⎰=dxdy dzdx dydz S-+⎰⎰22 =232111=-+．单连通区域：如果区域V 内任一封闭曲线皆可以不经过V 以外的点收缩于属于V 的一点，则称V 为单连通区域．非单连通区域称为复连通区域．定理 22．5 设3R ⊂Ω为空间单连通区域．若函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（1）对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L ，有⎰++Ldz z y x R dy x y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=0．（2）对于Ω内任一按段光滑的曲线L ，曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 与路线无关．只与L 的起点及终点有关。

(整理)22数学分析课件曲面积分.

第二十二章曲面积分目的与要求：1. 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式；2. 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．以及两类曲面积分的联系，3. 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．重点与难点：本章重点是掌握第一、二型曲面积分的定义和计算公式和用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．；难点则是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系.第一节第一型曲面积分一第一型曲面积分的概念与性质 1 背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 2 第一型曲面积分的定义定义设S 为空间上可求面积的曲面块，),,(z y x f 为定义在S 上的函数．对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个可求面积的小曲面i S ()n i ,,2,1 =，i S 的面积记为i S ∆，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点()i i i ζηξ,, ()n i ,,2,1 =．若有极限()∑=→∆ni iiiiT Sf 1,,limζηξ=J且J 的值与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为),,(z y x f 在S 上的第一型曲面积分，记作()⎰⎰SdS z y x f ,, （1）3 第一型曲面积分的性质1．线性性: 设()⎰⎰SdS z y x f ,,,()⎰⎰SdS z y x g ,,存在,R ∈βα,, 则()()⎰⎰+SdS z y x g z y x f ),,(,,βα存在,且()()⎰⎰+SdS z y x g z y x f ),,(,,βα()⎰⎰=SdS z y x f ,,α()⎰⎰+SdS z y x g ,,β2．可加性: 设()⎰⎰SdS z y x f ,,存在,21S S S =，则()⎰⎰1,,S dS z y x f ，()⎰⎰2,,S dS z y x f 存在,且()⎰⎰SdS z y x f ,,()+=⎰⎰1,,S dS z y x f ()⎰⎰2,,S dS z y x f ；反之亦然.二第一型曲面积分的计算定理22．1 设有光滑曲面S ：()y x z z ,=，()D y x ∈,， ),,(z y x f 为定义在S 上的连续函数，则()⎰⎰SdS z y x f ,,=()⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221),(,,证略例 1 计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面2222a z y x =++被平面()a h h z <<=0所截的顶部.解 S ：222y x a z --=， (){}2222),(,h a y x y x D y x -≤+=∈222221yx a a z z y x --=++⎰⎰Sz dS =⎰⎰--D y x a a 222=⎰⎰--2202220h a dr r r a ad πθ=⎰--220222h a dr r a r a π=22022)ln(h a r a a ---π=ha a ln 2π作业 P282 1，2，3，4.第二节第二型曲面积分一曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．二第二型曲面积分的概念 1 第二型曲面积分的定义定义设函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,,21 ，分割T 的细度{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，以yz i S ∆，zx i S ∆，xy i S ∆分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为正，反之，如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为负),,2,1(n i =．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限 ()∑=→∆ni i iiiT yzSP 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT zxSQ 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT xySR 1,,limζηξ存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记为⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,( (1)上述积分(1)也可写作⎰⎰Sdydz z y x P ),,(+⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(+⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(2 第二型曲面积分的性质1．若⎰⎰++Si i i dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,( ),,2,1(n i =都存在，i c ),,2,1(n i =，为常数，则有⎰⎰∑∑∑⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛===S n i i i n i i i n i i i dxdy z y x R c dzdx z y x Q c dydz z y x P c 111),,(),,(),,( =∑⎰⎰=++ni Si i i i dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P c 1),,(),,(),,(2．若曲面S 由两两无公共内点的曲面块n S S S ,,,21 所组成，⎰⎰++iS dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(),,2,1(n i =都存在，则⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(也存在，且⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=∑⎰⎰=++ni S idxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P 1),,(),,(),,(三第二型曲面积分的计算定理22．2设),,(z y x R 为定义在光滑曲面S ：),(y x z z =，xy D y x ∈),(，上的连续函数，以S 的上侧为正侧（这时S 的法线正向与z 轴正向成锐角），则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,( （2）证由第二型曲面积分的定义⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=()∑=→∆ni i iiiT xySR 1,,lim ζηξ=()∑=→∆ni i i i i i i d xy S R 1),(,,lim ηξζηξ这里{}的直径xy i ni S d ∆=≤≤1max ，因{}的直径i ni S T ≤≤=1max 0→，立刻可推得{}的直径xy i ni S d ∆=≤≤1max 0→，由相关函数的连续性及二重积分的定义有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=()∑=→∆ni i i i iiid xy S R 1),(,,lim ηξζηξ所以 ⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(类似地：),,(z y x P 为定义在光滑曲面S ：),(z y x x =，yz D z y ∈),(上的连续函数时，而S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((),,(z y x Q 为定义在光滑曲面S ：),(x z y y =，zx D x z ∈),(上的连续函数时，而S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面1222=++z y x 在0,0≥≥y x 部分并取球面外侧．解曲面在第一，五卦限间分的方程分别为1S ： 2211y x z --=， {}0,0,1),(),(22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy 2S ：2221y x z ---=，{}0,0,1),(),(22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy ，⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221⎰⎰----xyD dxdy y x xy 221=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 2212=⎰⎰-123201sin cos 2dr r r d θθθπ152=．例2 计算积分⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，其中∑为球面2222R z y x =++取外侧.解对积分⎰⎰∑+dydz y x )(, 分别用前∑和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有前∑： ,222z y R x --= 222 R z y D yz ≤+; 后∑： ,222z y R x ---= 222 R z y D yz ≤+. 因此, ⎰⎰∑+dydz y x )(=⎰⎰∑前+ ⎰⎰∑后=()⎰⎰-+--=yzD dydz y z y R222()⎰⎰=+---yzD dydz y z y R 222=-===========--=⎰⎰⎰⎰≤+==2222022sin ,cos 222 82R z y Rr z r y rdr r R d dydz z y R πθθθ()3023223432214R r R Rr r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===. 对积分dx dz z y ⎰⎰∑-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有右∑： ,222x z R y --= 222 R z x D zx ≤+; 左∑： ,222x z R y ---= 222 R z x D zx ≤+. 因此, =-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右+⎰⎰∑左=()()⎰⎰⎰⎰--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π.对积分dxdy x z ⎰⎰∑+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有上∑： ,222y x R z --= 222 R y x D xy ≤+; 下∑： ,222y x R x ---= 222 R y x D xy ≤+. 因此, dxdy x z ⎰⎰∑+)3(=⎰⎰∑上+ ⎰⎰∑下=()()⎰⎰⎰⎰=+----+--=xyxyD D dxdy x y x R dxdy x y x R 33222222⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π.综上, ⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R ππ=⨯作业 P289 1，2.第三节高斯公式与斯托克斯公式一高斯公式定理22．3 设有空间区域V 由分片光滑的双侧闭曲面S 围成．若函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则dxdydz z R y Q x P V)(∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,( 其中S 取外侧．称为高斯公式证只证dxdydz z RV⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰S dxdy z y x R ),,( 类似可证dxdydz x P V ⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰S dydz z y x P ),,(和dxdydz y QV⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰S dzdx z y x Q ),,( 这些结果相加便得到了高斯公式．先V 设是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面1S ：),(1y x z z =，xy D y x ∈),( 2S ：),(2y x z z =，xy D y x ∈),(及垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成其中),(),(21y x z y x z ≤．于是按三重积分的计算方法有dxdydz z RV⎰⎰⎰∂∂=dz z R dxdy xy D y x z y x z ⎰⎰⎰∂∂),(),(21 =⎰⎰-xyD dxdy y x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x zy x R )),(,,(2⎰⎰-xyD dxdy y x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R ⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R ⎰⎰-+1),,(S dxdy z y x R其中1S ，2S 都取上侧．又由于3S 在xy 平面上投影区域的面积为零，所以0),,(3=⎰⎰S dxdy z y x R因此dxdydz z R V⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R ⎰⎰-+1),,(S dxdy z y x R +⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(对于不是xy 型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy 型区域来讨论．详细的推导与格林相似．空间区域V 的体积公式：dxdydz V )111(++⎰⎰⎰=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ．V ∆=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31 例 1 计算⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22,其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧．解应用高斯公式，所求曲面积分等于⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx xdydz z x y )()(22dxdydz xz y z x y z x y x V ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂+-∂∂=)()())((22 dxdydz x y V⎰⎰⎰+=)(=⎰⎰⎰+a a a dx x y dy dz 000)(=40221a dy a ay a a=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰ 二斯托克斯公式双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向的规定：右手法则．定理22．4 设光滑曲面S 的边界L 是按块光滑的连续曲线．若函数),,(z y x P ， ),,(z y x Q ，),,(z y x R 在S （连同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则dxdy yP x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰ =⎰++L dz z y x R dy x y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( （2）其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．证先证dxdy y P dzdx z P S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰Ldx z y x P ),,( （3）其中曲面S 由方程),(y x z z =确定，它的正侧法线方向数为{}1,,y x z z --，方向余弦为()γβαcos ,cos ,cos ，所以 γαcos cos -=∂∂x z ，γβcos cos -=∂∂y z 若S 在xy 平面上投影区域为xy D ，L 在xy 平面上的投影曲线为Γ．现由第二型曲线积分的定义及格林公式有⎰L dx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂- 因为 )),(,,(y x z y x P y ∂∂=yz z P y P ∂∂∂∂+∂∂ 所以 dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-S dxdy y z z P y P 由于γβcos cos -=∂∂y z ，从而 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-S dxdy y z z P y P =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-S dxdy z P y P γβcos cos =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-S dxdy z P y P γβγcos cos cos =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-S dS z P y P βγcos cos =dxdy y P dzdx z P S∂∂-∂∂⎰⎰. 综合上述结果，便得所要证明的（3）式．同样对于曲面S 表示为),(z y x x =和),(x z y y =时，可证得dydz z Q dxdy x Q S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰Ldy x y x Q ),,( （4） dzdx x R dydz y R S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰Ldz z y x R ),,( （5）将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式．如果曲面S 不能以),(y x z z =的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示．因而这时（2）式也能成立．该公式称为斯托克斯公式，它也可写成如下形式：⎰⎰∂∂∂∂∂∂S z y x R z y x Q z y x P z y x dxdy dzdx dydz ),,(),,(),,( =⎰++L dz z y x R dy x y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(例2 计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交，取逆时针方向为正向．解应用斯托克斯公式⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=dxdy dzdx dydz S)21()11()11(-++++⎰⎰=dxdy dzdx dydz S-+⎰⎰22=232111=-+．单连通区域：如果区域V 内任一封闭曲线皆可以不经过V 以外的点收缩于属于V 的一点，则称V 为单连通区域．非单连通区域称为复连通区域．定理 22．5 设3R ⊂Ω为空间单连通区域．若函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（1）对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L ，有⎰++Ldz z y x R dy x y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=0．（2）对于Ω内任一按段光滑的曲线L ，曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 与路线无关．只与L 的起点及终点有关。

第二十二章 曲面积分

曲面积分习题课(供参考)

曲面曲线积分复习课

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