3.1函数的概念(学案)
高一数学学案 函数的概念.定义域.值域
3.1 .1函数的概念.定义域.值域 课前案1.目标导航： （1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；（2）体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； （3）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。
2.问题导引：问题1：某-“复兴号”高速列车加速到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S （单位：km/h ）与运行时间（单位：h ） 的关系可以表示为什么？问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？思考：以上两个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 两个实例有什么共同点？3，路径导学： （1））函数的定义：设集合A 、B 是 ,如果对于集合A 中的 ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有的数y 与它对应，那么就称 一个函数，记作 ，其中x 叫做 ， 取值的范围（数集A ）叫做这个函数的 .与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的（2）确定一个函数需要两个要素： 和 （3）、区间及写法：设a 、b R ∈ ，且a<b ，则：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ______ ；满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做 ___ ，表示为 ；满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做 _____ ，表示为 _____ ___、_______ ； 符 号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。
分别满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为 、、 、 。
3.1.1(第1课时)函数的概念 学案(含答案)
3.1.1（第1课时）函数的概念学案（含答案）3.13.1函数的概念与性质函数的概念与性质33..1.11.1函数及其表示方法函数及其表示方法第第11课时课时函数的概念函数的概念学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.知识点一函数的有关概念函数的定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数函数的记法yfx，xA定义域x 称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围即数集A称为函数的定义域值域所有函数值组成的集合yB|yfx，xA称为函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素定义域，对应关系与值域如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数特别提醒两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数1任何两个集合之间都可以建立函数关系2已知定义域和对应关系就可以确定一个函数3若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素4函数yfxx2，xA与uftt2，tA表示的是同一个函数一.函数关系的判断例11多选下列两个集合间的对应中，是A 到B的函数的有AA1,0,1，B1,0,1，fA中的数的平方BA0,1，B1,0,1，fA中的数的开方CAZ，BQ，fA中的数的倒数DA1,2,3,4，B2,4,6,8，fA中的数的2倍答案AD解析A选项121,020,121，为一一对应关系，是A到B的函数B选项00，11，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数C选项A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数D选项122,224,326,428，为一一对应关系，是A到B的函数2设Mx|0x2，Ny|0y2，给出如图所示的四个图形其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A0B1C2D3答案B解析中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是反思感悟1判断对应关系是否为函数的两个条件A，B必须是非空实数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应关系是否为函数的方法任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数跟踪训练11下列对应关系式中是A到B的函数的是AAR，BR，x2y21BA1,0,1，B1,2，y|x|1CAR，BR，y1x2DAZ，BZ，y2x1答案B解析对于A，x2y21可化为y1x2，显然对任意xAx1除外，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义2判断下列对应关系f是否为定义在集合A 上的函数AR，BR，对应关系fy1x2；A1,2,3，BR，f1f23，f34；A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应关系fy1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数由f1f23，f34，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数集合A 中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数二.求函数的定义域.函数值和值域命题角度1求函数的定义域例2求下列函数的定义域1fxx12x11x；2fx5x|x|3；3fx3xx1.解1要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x10，1x0.解得x1，且x1，即函数定义域为x|x1，且x12要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5x0，|x|30，解得x5，且x3，即函数定义域为x|x5，且x33要使函数有意义，自变量x的取值必须满足3x0，x10，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3延伸探究在本例3条件不变的前提下，求函数yfx1的定义域解由1x13得0x2.所以函数yfx1的定义域为0,2反思感悟求函数定义域的常用依据1若fx是分式，则应考虑使分母不为零2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零3若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义4若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2函数y2x23x214x的定义域为________________答案，122,4解析由2x23x20，4x0，4x0，得x12或2x4，所以定义域为，122,4命题角度2求函数值例3已知fx12xxR，且x2，gxx4xR1求f1，g1,gf1的值；2求fgx解1f11211，g1145，gf1g15.2fgxfx412x412x1x2xR，且x2反思感悟求函数值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值2求fga的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知fx11xxR，且x1，gxx22xR，则f2______，fg2______，fgx________.答案13171x23解析fx11x，f211213.又gxx22，g22226，fg2f611617.fgx11gx1x23.命题角度3求值域例4求下列函数的值域1y2x1，x1,2,3,4；2y3x1x1；3yxx.解1当x1时，y3；当x2时，y5；当x3时，y7；当x4时，y9.所以函数y2x1，x1,2,3,4的值域为3,5,7,92借助反比例函数的特征y3x14x134x1x1，显然4x1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y33设uxx0，则xu2u0，则yu2uu12214u0由u0，可知u12214，所以y0.所以函数yxx的值域为0，反思感悟求函数值域常用的四种方法1观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到2配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域3分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；4换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于fxaxbcxd其中a，b，c，d为常数，且a0型的函数常用换元法跟踪训练4求下列函数的值域1y2x1x3；2y2xx1.解1分离常数法y2x1x32x37x327x3，显然7x30，所以y2.故函数的值域为，22，2换元法设tx1，则xt21，且t0，所以y2t21t2t142158，由t0，再结合函数的图像如图，可得函数的值域为158，.三.同一个函数的判定例5多选下列各组函数表示同一个函数的是Afxx，gxx2Bfxx21，gtt21Cfx1x0，gxxxDfxx，gx|x|答案BC 解析A中，由于fxx的定义域为R，gxx2的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数B中，函数的定义域.值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数C中，由于gxxx1的定义域为x|x0，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数反思感悟在两个函数中，只有当定义域.对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值域相等，只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练5下列各组式子是否表示同一个函数为什么1fx|x|，tt2；2y1x1x，y1x2；3y3x2，yx3.解1fx与t的定义域相同，又tt2|t|，即fx与t的对应关系也相同，fx与t是同一个函数2y1x1x的定义域为x|1x1，y1x2的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y1x1x1x2，两函数的对应关系也相同故y1x1x与y1x2是同一个函数3y3x2|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y3x2与yx3不是同一个函数1若Ax|0x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是答案B解析A中值域为y|0y2，故错误；C，D中值域为1,2，故错误2若fxx1，则f3等于A2B4C22D10答案A解析因为fxx1，所以f3312.3函数y1xx的定义域为Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1答案D解析由题意可知1x0，x0，解得0x1.4如果函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3答案A解析当x取0,1,2,3时，y 的值分别为0，1,0,3，则其值域为1,0,35下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是答案C解析根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数函数值与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足1知识清单1函数的概念2函数的定义域.值域3同一个函数的判定2方法归纳观察法.换元法.配方法.分离常数法3常见误区1定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应2自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断。
高一数学(函数的概念)学案
江苏省淮安中学高一数学《函数的概念》学案教学目的：使学生理解函数的概念;会求一些简单函数的定义域、值域;培养学生辨证唯物主义思想. 教学重点：用集合的思想描述函数的概念;简单函数的定义域、值域的求法. 教学难点：函数概念教学过程：一、学生活动：阅读课本P 21中三个现实生活中的实例. 三个问题的共同特点:(1)初中层次的观点:上述每个问题都含有两个变量,当一个变量的取值确定后,另一个变量的值随之惟一确定.每一个问题都涉及一个确定的函数.(2)集合思想的观点:每一个问题都涉及两个非空数集A 、B,存在某种对应法则,对于A 中任意元素x ,B 中总有一个元素y 与之对应.二、建构数学：1.函数的概念:一般地,设A 、B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应,这样的对应叫做从A 到B 的一个函数,通常记为A x x f y ∈=),(.其中,所有的输入值x 组成的集合叫做函数)(x f y =的定义域.注:函数就是建立在两个非空的数集上的单值对应.x 也称为自变量,y 也称为因变量.给定函数时要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数,如果没有指明定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.函数的定义域也就是自变量x 的允许取值范围. 三、例题讲解例1.判断下列对应是否为函数.(1);,0,2R x x xx ∈≠→(2),y x →这里;,,2R y N x x y ∈∈= (3)x x y x -+-=→11.例2.下列函数是同一函数的是( )A.0)1(-=x y 与1=y B.x y =与2)(x y =C.||x y =与⎩⎨⎧<-≥=0,0,x x x x y D.2x y =与2)1(-=x y例3.求下列函数的定义域(1)x x x f 2)(3-=; (2)2||1)(-=x x f ; (3)23)(+=x x g ;(4)2211)(3++-++=x xx x h ; (5)xy 11111++=.函数定义域的求法方法总结:求函数定义域的步骤:(1)使函数表达式中的各部分有意义(目前涉及的函数主要考虑偶次根式和分母问题),列出不等式(组);(2)解不等式(组);(3)写出函数的定义域(写成集合或区间的形式).对于实际问题的函数,如速度为3米/秒的物体匀速直线运动的位移s (米)随时间t (秒)变化的规律可用函数)0(3≥=t t s .这里定义域为),0[+∞,而不是R.3.函数值域及其求法:若A 是函数)(x f y =的定义域,则对于A 中的每一个x ,都有一个输出值y 与之对应,我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域C.由函数概念易知C ⊆B.函数的值域也就是函数值的取值范围. 例4.求下列函数的定义域与值域. (1)33-+-=x x y ; (2)x y 1=; (3)1)1(2++=x x y ; (4)135+-=x x y ;(5)1)1()(2+-=x x f ; (6)}3,2,1,0,1{,1)1()(2-∈+-=x x x f ;(7)]5,1(,22)(2-∈+-=x x x x f ; (8)x x x f --+=122)(.四.总结回顾函数的概念;定义域与值域的求法. 五.板书设计六、教后记七.作业 班级 姓名 学号1.下列说法中不正确的是有 ；（1）.函数的值域中每一个数在定义域中都有数与之对应 （2）.函数的定义域和值域一定是不含0的集合 （3）.定义域和对应法则相同的函数表示同一函数（4）.若函数的定义域中只含一个元素,则值域中也只含一个元素. 2.给出下列四个命题,其中正确的个数为 ；①1=y 是函数; ②对于A 中的)(x f ,在B 中有惟一的y 与之对应,则)(x f y =为函数;③x x g x x f -=-=2)(,3)(及x x x h -+-=23)(都是函数;④xx x f 2)(=与x x g =)(是同一个函数. 3.xx x x f -+=||)1()(0的定义域是 ；4.分别写出下列函数的定义域、值域.(1)21)(x x f -=,定义域为 ,值域为 ;(2)311)(-=x x g ,定义域为 ,值域为 . 5.已知}20|{},40|{≤≤=≤≤=y y Q x x P ,下列对应法则中不是从P 到Q 的函数为 ； （1）2:x y x f =→ （2）3:xy x f =→ （3）23:x y x f =→ （4）52:x y x f =→ 6.下列是函数的是 .①R x x x ∈-→,21; ②,y x →其中R y R x x y ∈∈=,|,|;③,s t →其中R s R t t s ∈∈=,,2; ④y x →,其中y 是不大于x 的最大整数,Z y R x ∈∈,. 7.若,)(2x x x f -=则=)0(f ,=)1(f ,=-+)()1(n f n f . 8.143-+=x x y 的定义域为 ,值域为 .9.12-+=x x y 的定义域为 ,值域为 . 10.)(x f 的定义域为[-1,1],则)1(+x f 的定义域为 . 11.(1)已知,1)(2-=x x f 求)]1([-f f 的值;(2)求函数,,11)(2R x x x f ∈+=在2,1,0=x 处的函数值和值域;(3)已知,1)(2+=x x f 求使5)1(=-x f 成立的x 值.12.已知函数bax x x f +=)(b a ,(为常数,)0≠a ,满足x x f f ==)(,1)2(有惟一解,求函数)(x f 的解析式和)]3([-f f 的值.13.已知函数bx a x x f ++=2)(满足条件x x f =)(有两个互为相反数的解.(1)求a 、b ; (2)作出)(x f 的图象.。
《3.3.1函数的单调性与导数》学案(第1课时) (2)
§3.3.1函数的单调性与导数(第 1课时)[自学目标]:1. 会熟练求导，求函数单调区间，证明单调性。
2. 会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 [重点]: 会熟练用求导，求函数单调区间 [难点]: 证明单调性 [教材助读]:1、复习回顾：求导公式和运算法则 （1）常函数： （2）幂函数 ：（3）三角函数 ： （4）对数函数的导数: （5）指数函数的导数:运算法则：2、函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果________,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调________. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是________。
[预习自测]1、 已知导函数()f x ' 的下列信息: 当1 < x < 4 时, ()0;f x '> 当 x > 4 , 或 x < 1时, ()0;f x '< 当 x = 4 , 或 x = 1时, ()0.f x '= 试画出函数()f x 的图象的大致形状.探究一：利用单调性求单调区间判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:32(1) ()3; (2) ()23;f x x x f x x x =+=--(3) ()sin ,(0,); f x x x x π=-∈ 32(4) ()2312 1.f x xx x =+-+（5） x x y ln = （6）33xy e x =-探究二：利用单调性判断函数图象如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数()y f x = 在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”,在(,)b +∞ 或(,)a -∞ 内的图象平缓.2设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）．A0 xy 12 xyB 012xyC0 12xyD0 1221xy'()y f x =[当堂检测]1判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:2(1) ()24; (2) ();x f x x x f x e x =-+=-332(3) ()3; (4) ().f x x x f x x x x =-=--[拓展提升]1.讨论二次函数 的单调区间.2 .求证: 函数 在（0，2）内是减函数.3 判定函数1+-=x e y x的单调区间)0()(2≠++=a c bx ax x f 762)(23+-=x x x f4. 求函数xxxf ln2)(2-=的单调减区间6.设函数)()(23Rxcxbxxxf∈++=，已知)()()(/xfxfxg-=是奇函数（1）求cb,的值；（2）求)(xg的单调区间。
学案5：3.1.1 函数的概念
3.1.1 函数的概念【学习目标】1.函数的概念(1)函数的定义设A，B是，如果对于集合A中的，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.(2)函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫做，A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．注意：判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：、和。
3．相同函数值域是由和决定的，如果两个函数的定义域和相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数．4. 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：区间{x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }符号【小试牛刀】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据函数的定义，定义域中的一个x 可以对应着不同的y .( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( ) (4)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．( ) (5)f (x )＝3x ＋4与f (t )＝3t ＋4是相同的函数．( )(6)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．( ) (7)函数f (2x －1)的定义域指2x －1的取值范围．( ) 【经典例题】题型一 函数关系的判定例1(1) 若集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M 到N 的函数f ：M →N 的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x ； ④r ：把x 对应到x .[跟踪训练] 1 设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，不可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )题型二 已知函数的解析式求定义域 求函数定义域的几种类型(1)若f (x )是整式，则函数的定义域是R . (2)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零． (3)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f (x )是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义． 例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝2＋3x －2；(2)y ＝x 2－2x －3； (3)y ＝3－x ·x －1； (4)y ＝(x －1)0＋2x ＋1；[跟踪训练] 2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－－x 2－x ＋6. (2)y ＝10－x 2|x |－3.题型三 函数相同判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. 例3 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号). [跟踪训练] 3 （1）与函数y ＝x －1为同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－xxB ．m ＝(n －1)2C ．y ＝x －x 0D ．y ＝3(t －1)3（2）判断以下各组函数是否表示相等函数： ①f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.②f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.题型四 求抽象函数的定义域 两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.例4 (1)设函数f(x)＝x，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？[跟踪训练] 4 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．例5 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域.[跟踪训练] 5（1）函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域．(2)函数f(1－x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域。
高中数学第三章函数的概念与性质函数的概念学案新人教A版必修第一册
3.1.1 函数的概念课程标准(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一函数的概念要点二同一个函数如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数❷.要点三区间及有关概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：2.特殊区间的表示助学批注批注❶抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．批注❷只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．批注❸这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a <b.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．( )2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是( )A B C D3．区间(0，1)等于 ( )A．{0，1}B．{(0，1)}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0≤x≤1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 函数的概念例1 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是( )(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( ) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积方法归纳1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤2．判断一个对应关系是否为函数的方法巩固训练1 (多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( )A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝√xD．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0题型 2 求函数值(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x 例2 [2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝11+x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．方法归纳求函数值的2种策略巩固训练2 已知函数f(x)＝x+1.x+2(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．题型 3 求函数的定义域例3 求下列函数的定义域．； (2)y＝√x2−2x−3；(1)y＝2＋3x−2(3)y＝√3−x·√x−1； (4)y＝(x－1)0＋√2.x+1方法归纳求函数定义域的常用策略巩固训练3 (1)函数f (x )＝√1+x −1x的定义域是( )A ．[－1，0)∪(0，+∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，+∞)D ．R(2)函数f (x )＝√−x 2+6x −5的定义域为________．题型 4 同一函数的判断例4 下面各组函数中表示同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(√x )2B ．f (t )＝|t |，g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 2−1x−1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．巩固训练4 下列函数中与函数y ＝x 2是同一函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )43．1.1 函数的概念新知初探·课前预习[教材要点]要点一实数集 任意一个数x 唯一 要点二定义域 对应关系 要点三1．(a ，b ) (a ，b ]2．(－∞，＋∞) [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，a ] (－∞，a )[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：只有D 的函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点，故选D. 答案：D 3．答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)A 中至少存在一处如x ＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A 中至少有一个元素在集合B 中对应的元素不唯一，故A 不是函数图象，其余B ，C ，D 均符合函数定义．(2)对于选项B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．答案：(1)BCD (2)A巩固训练1 解析：选项A 中，对于A 中的任意一个实数x ，在B 中都有唯一确定的数y 与之对应，故是A 到B 的函数．选项B 中，对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．选项C 中，集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．选项D 中，对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．答案：ABD例2 解析：(1)∵f (x )＝11+x ，∴f (2)＝11+2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11，∴f (g (3))＝f (11)＝11+11＝112.巩固训练2 解析：(1)f (2)＝2+12+2＝34； (2)∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.例3 解析：(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x−2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)要使函数有意义，需x 2－2x －3≥0，即(x －3)(x ＋1)≥0，所以x ≥3或x ≤－1，即函数的定义域为{x |x ≥3或x ≤－1}．(3)函数有意义，当且仅当{3−x ≥0，x −1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)函数有意义，当且仅当{x −1≠0，2x+1≥0，x +1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．巩固训练3 解析：(1)由{1+x ≥0x ≠0，解得：x ≥－1且x ≠0.∴函数f (x )＝√1+x −1x 的定义域是[－1，0)∪(0，+∞)． (2)由－x 2＋6x －5≥0，得x 2－6x ＋5≤0，(x －1)(x －5)≤0， 解得1≤x ≤5，所以函数的定义域为[1，5]. 答案：(1)A (2)[1，5]例4 解析：对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，而g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B ，两个函数的定义域都为R ，定义域相同，g (x )＝√x 2＝|x |，这两个函数是同一个函数；对于C ，f (x )＝x 2−1x−1的定义域为{x |x ≠1}，而g (x )＝x ＋1的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D ，f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ≠0}，而g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．答案：B巩固训练4 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A。
高中数学第三章函数函数及其表示方法第1课时函数的概念学案新人教B版必修第一册
3.1 函数的概念与性质 3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔 对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二 同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三 常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔 从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔 判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2 求函数的定义域[教材P87例题1]例2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3 同一函数例3 下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔 判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4 求函数的值域[经典例题]状元随笔 求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4 求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4 求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章 函数3．1 函数的概念与性质3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0} R {y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1 解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B (2)①是函数②不是函数例2 【解析】 (1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2 解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3 【解析】 函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】 D跟踪训练3 解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一 因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二 设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4 解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。
3.1.1 第1课时 函数的概念(一)
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(2) 函 数 y ＝ f(x) 的 定 义 域 为 M ＝ {x| － 2≤x≤2} ， 值 域 为 N ＝
{x|0≤x≤2}，则y＝f(x)图象可能是(
)
答案：B
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解析：由题意，函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N
＝{x|0≤x≤2}，对于A中，函数的定义域为{x|－2≤x≤0}，不符合题
的定义域是{x|2≤x≤5}，故对于函数f(x－2)，有2≤x－2≤5，解得4≤x≤7，从而
x
B．M＝R，N＝{y|y≥0}，f：x→y＝|x|
C．M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→y＝± x
D．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2
答案：BD
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解析：对于A选项，因0∈M，而0没有倒数，故A项错误；对于B选
项，因任意实数的绝对值都是非负数，即集合M中的每一个元素在集
10
(1)f(x)＝ ；
x
10
x
解析：设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝ ，
其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，
10
x
f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＝ }，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确
10
定的宽 .
x
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20
(2)f(x)＝2x＋ .
x
20
x
解析：设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋ ，其中x的取值范围A＝
)
A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x
高中数学第三章函数的概念与性质3-1函数的概念及其表示第1课时函数的概念学案新人教A版必修第一册
1第一节 函数的概念及表示 第1课时 函数的概念课标要点核心素养1．理解函数的概念，会用集合语言刻画函数，体会对应关系在函数定义中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域和值域的求解，培养数学运算素养和逻辑推理素养．1．函数的概念（1）定义：一般的，设A 、B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y =f （x ），x ∈A ，其中x 称为自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：对应关系：f ，f 一定要保证一个x 只对应一个y ．定义域：在函数y =f （x ），x ∈A 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域． 值域：所有函数值构成的集合{y |y =f （x ），x ∈A }叫做这个函数的值域． 2．两个函数相同一般地，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系也完全一致（即相同的自变量对应的函数值也相同），那么这两个函数是同一个函数． 3．区间设a ，b 是两个实数，而且a <b ，我们规定：（1）满足不等式a ≤x ≤b 的x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]． （2）满足不等式a <x <b 的x 的集合叫做开区间，表示为（a ，b ）．（3）满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b ）（a ，b ]． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点，这几个区间的几何表示：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b } 开区间 （a ，b ） {x |a ≤x <b }半开半 闭区间 [a ，b ）{x |a <x ≤b } 半开半 闭区间（a ，b ]在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．实数R 可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”． 无穷区间的表示 定义 {x |x ≥a } {x |x >a }{x |x <a }{x |x ≤a } R 符号[a ，+∞）（a ，+∞） （-∞，a ）（-∞，a ]（-∞，+∞）（1）[a ，b ]，（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，四个区间形式中一定是“左端点小右端点大”a <b ． （2）∞端点一定是取不到的，出现∞的一端一定用小括号．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）函数y =f （x ）=x 2，x ∈A 与u =f （t ）=t 2，t ∈A 表示的是同一个函数． （ ） （2）函数y =f （x ）=x 2，x ∈[0，2]与g （x ）=2x ，x ∈[0，2]表示的是同一个函数． （ ） （3）函数f （x ）=x 2，x ∈[0，2]与h （x ）=x 2，x ∈（0，2）表示同一个函数． （ ）（4）两个函数的定义域相同值域也相同，则两个函数表示同一个函数． （ ）（5）f （x ）=√1-x +√x -2是一个函数．（ ）[解析] （1）√ 两个函数定义域相同，对应关系也相同．（2）× 两函数的对应关系不同． （3）× 两函数的定义域不同．（4）×值域可以由定义域和对应关系唯一确定，当且仅当定义域和对应关系相同才是同一个函数．反例f（x）=x与f（x）=-4x的定义域和值域相同，但不是同一个函数．（5）×此题x范围是空集，而函数要求定义域是非空数集，故不是函数．[答案] （1）√（2）×（3）×（4）×（5）×函数的定义与函数相等兴趣探究中（1）I是R的函数吗？（2）R是I的函数吗？[思考] 1．电路中的电压U=220v，电流I与电阻R之间的变化规律，用欧姆定律表示，即I=220x2．炮弹的运动轨迹中，炮弹的高度H与时间t的关系H=v0t-xx2（t>0）中（1）H是t的函数吗？（2）t是H的函数吗？2[解析] 1．每一个R对应一个I，而且每一个I对应一个R，满足函数定义．故1中两问都是函数．2．每一个t对应一个H，而且每一个H对应两个t，不满足函数定义．故2中两问（1）是函数，（2）不是函数．[答案] 1．（1）是（2）是2．（1）是（2）不是知识归纳1．判断对应关系是否为函数的2个条件（1）A，B必须是非空数集．（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．即对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法（1）先看定义域，若定义域不同，则不相等；（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．考向例题考向一判断函数关系【例1】判断下列对应关系f是不是定义在集合A上的函数．（1）A=N，B=N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；（2）A={-1，1，2，-2}，B={1，4}，对应法则f：x→y=x2，x∈A，y∈B；（3）A={-1，1，2，-2}，B={1，2，4}，对应法则f：x→y=x2，x∈A，y∈B；（4）A={三角形}，B={x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．[解析] （1）对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．（2）对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．（3）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．（4）集合A不是数集，故不是函数．[答案] （1）不是（2）是（3）是（4）不是即时巩固判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．；①A=R，B=R，对应法则f：y=1x2②A={1，2，3}，B=R，f（1）=f（2）=3，f（3）=4；③A={1，2，3}，B={4，5，6}，对应法则如图所示．的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．[解析] ①A=R，B=R，对于集合A中的元素x=0，在对应法则f：y=1x2②由f（1）=f（2）=3，f（3）=4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．[答案] ①不是②是③不是考向二判断同一个函数【例2】下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=√x2，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=x2x3，g（x）=xC．f（x）=√x3D．f（x）=x2，g（x）=（√x）423[解析] 选项A 中，由于f （x ）=√x 2=|x |，g （x ）=x 两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；选项B 中，由于f （x ）=x 的定义域为R ，g （x ）=x 2x 的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C 中，f （x ）=√x 33=x ，g （x ）=x 的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；选项D 中，f （x ）=x 2的定义域为R ，g （x ）=（√x）4=x 2的定义域为[0，+∞），两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．[答案] C函数的三要素兴趣探究[思考] （1）函数y =x -1和函数y =x 2-1x +1定义域是否相同？是不是同一个函数？为什么？ （2）函数y =√x 3和y =√x 64定义域是否相同？是不是同一个函数？为什么？ [答案] （1）y =x -1的定义域是R ，函数y =x 2-1x +1的定义域是{x |x ≠-1}，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数．（2）y =√x 3的定义域是{x ∈R|x ≥0}，函数y =√x 64的定义域是R ，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数． 知识归纳函数定义域求解要考虑函数解析式中的分母不为零，偶次根式中的被开方数要大于等于0，有时还要考虑到实际问题的实际意义． 考向例题考向一 求函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域：（1）f （x ）=2+3x -2；（2）f （x ）=（x -1）0+√2x +1； （3）f （x ）=√3-x ·√x -1； （4）f （x ）=(x +1)2x +1-√1-x．[解析] （1）当且仅当x -2≠0，即x ≠2时， 函数f （x ）=2+3x -2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．（2）函数有意义，当且仅当{x -1≠0,2x +1≥0,x +1≠0,解得x >-1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >-1且x ≠1}． （3）函数有意义，当且仅当{3-x ≥0,x -1≥0,解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}． （4）要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足{x +1≠0,1-x ≥0,解得x ≤1且x ≠-1， 即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠-1}．[答案] （1）{x |x ≠2} （2）{x |x >-1且x ≠1}． （3）{x |1≤x ≤3} （4）{x |x ≤1且x ≠-1}． 方法技巧：求函数定义域的常用方法（1）若f （x ）是分式，则应考虑使分母不为零． （2）若f （x ）是偶次根式，则被开方数大于或等于零．（3）若f （x ）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． （4）若f （x ）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． （5）若f （x ）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 即时巩固1．下列函数的定义域不是R 的是 （ ）A ．y =x +1B ．y =x 2C ．y =1xD ．y =2x[解析] A 中为一次函数，B 中为二次函数，D 中为正比例函数，定义域都是R ；C 中为反比例函数，定义域是{x |x ≠0}，不是R ． [答案] C2．已知函数f （x ）=√2-x的定义域为M ，g （x ）=√x +2的定义域为N ，则M ∩N = （ ）A ．{x |x ≥-2}B ．{x |x <2}C ．{x |-2<x <2}D ．{x |-2≤x <2}[解析] 由题意得M ={x |x <2}，N ={x |x ≥-2}，4所以M ∩N ={x |-2≤x <2}． [答案] D 考向二 求函数值 【例3】 已知f （x ）=11+x（x ∈R ，且x ≠-1），g （x ）=x 2+2（x ∈R ）．（1）求f （2），g （2）的值； （2）求f [g （3）]的值． [解析] （1）∵f （x ）=11+x，∴f （2）=11+2=13．又∵g （x ）=x 2+2，∴g （2）=22+2=6． （2）∵g （3）=32+2=11， ∴f [g （3）]=f （11）=11+11=112．[答案] （1）f （2）=13g （2）=6 （2）f [g （3）]=112方法技巧：求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，用a 替换表达式中的x 即得f （a ）的值．对于f [g （x ）]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g （x ）]与g [f （x ）]的区别和函数求值的方法． 即时巩固已知函数f （x ）=x 2+x -1．（1）求f （2），f （1x ），f （a +1）； （2）若f （x ）=5，求x ． [解析] （1）f （2）=22+2-1=5，f （1x ）=1x 2+1x -1=1+x -x 2x 2，f （a +1）=（a +1）2+（a +1）-1=a 2+3a +1．（2）∵f （x ）=x 2+x -1=5， ∴x 2+x -6=0，解得x =2或x =-3． 考向三 求函数值域【例4】求下列函数的值域．（1）y =2x -1，x ∈{1，2，3，4，5}； （2）y =√x -1； （3）y =xx +1． [解析] （1）（直接法）将x =1，2，3，4，5分别代入y =2x -1计算得函数的值域为{1，3，5，7，9}． （2）（观察法）∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴√x≥0，∴√x -1≥-1．∴函数y =√x -1的值域为[-1，+∞）． （3）（分离常数法）∵y =xx +1=1-1x +1， 且定义域为{x |x ≠-1}，∴1x +1≠0，即y ≠1． ∴函数y =xx +1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}． [答案] （1）{1，3，5，7，9} （2）[-1，+∞） （3）{y |y ∈R ，且y ≠1}． 即时巩固求函数y =3-xx +1的值域． [解析] ∵y =3-xx +1=-1+4x +1，且定义域为{x |x ≠-1}，∴1x +1≠0，即y ≠-1． ∴函数y =3-xx +1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠-1}． [答案] {y |y ∈R ，且y ≠-1}1．下列对应关系是从集合M 到集合N 的函数的是 （ ）A ．M =R ，N ={x ∈R |x >0}，f ：x →|x |B ．M =N ，N =N *，f ：x →|x -1| C ．M ={x ∈R |x >0}，N =R ，f ：x →x 2D ．M =R ，N ={x ∈R |x ≥0}，f ：x →√x5[解析] 对于A ，集合M 中x =0时，|x |=0，但集合N 中没有0；对于B ，集合M 中x =1时，|x -1|=0，但集合N 中没有0；对于D ，集合M 中x 为负数时，集合N 中没有元素与之对应；分析知C 中对应是集合M 到集合N 的函数． [答案] C2．已知函数f （x ）=x 21+|x -1|，则f （-2）= （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 [解析] 由题意知f （-2）=(-2)21+|-2-1|=44=1[答案] C3．下列函数中，值域为（0，+∞）的是 （ ）A ．y =√xB ．y =√xC ．y =1x D ．y =x 2+1[解析] y =√x的值域为[0，+∞），y =1x 的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），y =x 2+1的值域为[1，+∞）．[答案] B 4．函数y =1-√1-x的定义域为 ．[解析] 由{1-x ≥0,1-√1-x ≠0解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为（-∞，0）∪（0，1]． [答案] （-∞，0）∪（0，1] 5．求下列函数的值域：（1）y =x +1，x ∈{1，2，3，4，5}； （2）y =2x +1x -3．[解析] （1）（观察法）因为x ∈{1，2，3，4，5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2，3，4，5，6}． （2）（分离常数法）y =2x +1x -3=2(x -3)+7x -3=2+7x -3，显然7x3≠0，所以y ≠2．故函数的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）．。
高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性第课时学案含解析B版第一册
3。
1。
3 函数的奇偶性第2课时学习目标1.掌握函数奇偶性的简单应用。
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件。
自主预习1.函数的奇偶性与单调性的性质（1）若f（x)为奇函数且在区间[a,b]（a<b）上为增函数（减函数），则f(x)在［—b,—a]上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.（2）若f（x)为偶函数且在区间[a，b］(a〈b）上为增函数（减函数),则f(x）在[-b,-a]上为（函数),即在关于原点对称的区间上单调性.2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内：(1)两个奇函数的和函数是函数,积函数是函数;（2）两个偶函数的和函数、积函数都是函数;(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是函数。
3.函数的对称轴与对称中心(1）若函数f（x）的定义域为D,对∀x∈D都有f（T+x）=f （T—x)(T为常数),则x=是f（x)的对称轴.（2）若函数f（x)的定义域为D，对∀x∈D都有f（a+x）+f（a-x）=2b(a，b为常数),则是f(x)的对称中心.课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f（x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=x(x-1）,则当x〉0时，f（x）=。
(2）函数f（x)为R上的奇函数,当x〉0时，f(x)=-2x2+3x+1,则f(x）=.【训练1】(1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x〈0时，f（x）=-x2-x,求函数f(x)的解析式;（2）已知f（x)是R上的偶函数,当x∈(0，+∞)时,f(x）=x2+x—1,当x∈（-∞，0）时，求f（x)的解析式.题型二利用奇偶性研究函数的性质例2研究函数f（x）=x2—2|x｜+1的单调性，并求出f(x)的最值.【训练2】研究函数f（x）=x+1的单调性,并写出函数的值x域。
题型三证明函数图像的对称性例3求证：二次函数f（x)=—x2—2x+1的图像关于x=-1对称。
【训练3】证明函数f（x）=x的图像关于点（—1，1）对x+1称.课堂练习1。
高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第1课时函数的表示法学案含解析第一册
3。
1。
2 函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1。
掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点）1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养。
(1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．（2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780。
3980.1210.050。
01问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的?提示：解析法、图象法和列表法．函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)（1)任何一个函数都可以用解析法表示．(）(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．（）[答案](1)×(2)×2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于(）x1≤x<222<x≤4f(x)123A。
1B．2C．3D．不存在C[∵当2〈x≤4时，f(x)＝3，∴f（3）＝3。
]3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其定义域是______．［－2,3］［由图象可知f（x）的定义域为[－2，3］．］4．若f(x)＝x2＋bx＋c,且f（1）＝0，f（3）＝0，则f（－1)＝________。
人教A版高中学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 函数的概念-第2课时函数概念的应用
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解 令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,
3.1.1 函数的概念(课时教学设计)-高中数学人教版(2019)必修第一册
《3.1.1 函数的概念》教学设计教材内容：函数是现代数学中最基本的概念，是描述世界变化规律的最重要的数学工具，在解决实际问题中有着不可或缺的作用，函数是贯穿高中数学的主线，在高中的数学中有着重要的地位，本节课的学习有助于学生掌握函数思想，为后续数学的学习起着铺垫作用。
教学目标：1.通过具体实例，归纳、概括出函数的三个要素，建立用集合与对应语言刻画的函数概念，发展学生数学抽象素养.2.对简单具体的函数，能得出其定义域、值域与对应关系，会用函数的定义刻画函数。
3.用具体实例体会对应关系f 的真正含义，能将对应关系 f 与对应关系的具体表示、函数y=f(x)，x ∈A 与函数的(解析式、图象与表格等)表示区分开来，在具体函数中体会“对应”观点下函数思想的本质。
教学重点与难点：1.重点：用实例归纳概括函数的三个要素，用集合与对应的语言建立函数的概念。
2.难点：如何在实例分析基础上让学生通过比较、归纳、概括不同案例中的共同特征，并由此建立函数概念.教学过程设计：引导语：同学们好！我们知道，客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如，“天宫二号”在发射过程中，离发射点的距离随时间变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路运营里程逐年增加，已突破2万公里……所有这些现象，常常用函数模型来描述，并且通过研究函数模型我们就可以把握相应的运动变化规律.在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数式刻画变量之间的对应关系的数学模型和工具.初中阶段函数的定义：如果有两个自变量x 与y ，并且对于x 的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.例如，正方形的周长l 与边长x 的对应关系是x l 4 ，而且对于每一个确定的x 都有唯一l 与之对应，所以l 是x 的函数.这个函数与正比例函数x y 4=相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.问题1 某“复兴号”高速列车加速到h km /350后保持匀速运行半小时.（1）这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系如何表示？这是一个函数吗？（2）有人说“根据对应关系t S 350=，这趟列车加速到h km /350后，运行h 1就前进了km 350.”你认为这个说法正确吗？你能确定这趟列车运行多长时间前进km 210吗？（3）你认为应该如何刻画这个函数？师生活动：1 教师给出问题题干和第(1)问后，提醒学生先不要看教科书，在信息平台上提交自己的答案，教师点评答案，引导学生用初中函数的定义进行表述.2 教师给出第(2)问，学生判断后，教师给予点评，启发学生认识到函数应关注自变量的变化范围和函数值的变化范围.3 让学生思考如何表述S 与t 的对应关系，教师再与学生一起讨论的基础上给出表述的示范.设计意图：问题1的第(1)问是为了让学生回顾初中所学的函数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题；第(2)问是要激发认知冲突，发现初中函数概念的不严谨；第(3)问是为了让学生关注到t 与S 的变化范围后，尝试用更精确的语言表述函数概念.问题2 某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？（2）一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？（3）你能仿照问题1刻画这个函数吗？师生活动：1教师给出问题后，让学生在在信息平台上上提交自己的答案，学生可能多数是得出d w 350=，视情况教师也可引导他们得出用表格表示的对应关系（表1）： 表1 一个工人一周的工资列表123456工作时间（天）3507001050140017502100所的工资（元）2 教师提问启发学生思考后，还可以用以下追问帮助学生理解函数值的变化范围：你认为工人一周所获取的工资为2450元吗？学生在信息平台上书写并提交自己的答案，教师在点评学生答案的基础上给出规范的表述.3 教师追问（4）：如果将问题2中工人每天的工资改为400元，而其它条件不变，你认为还可以用同样的函数来确定工人一周的工资吗？为什么？在学生思考与讨论的基础上，教师引导他们认识到：对应关系是影响函数的重要因素，对应关系不同函数就不同.4 教师追问（5）：问题1和问题2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？你认为影响函数的要素有哪些？让学生在信息平台上提交自己的答案，教师引导学生认识到不能只由对应关系是否相同判断两个函数是否相同，决定函数的三个要素是：自变量的变化范围、函数值的变化范围和对应关系.设计意图：问题2的第（1）问和第（2）问让学生在用初中函数定义认识到w是d的函数的基础上，尝试用不同方法表示函数，为认识函数对应关系做准备；第(3)问是让学生模仿问题1的表述方法去描述函数，既让他们熟悉表述方法，同时训练他们的抽象概括能力；追问（4）进一步帮助学生认识函数对应关系的重要性；追问（5）帮助学生理解怎样区别不同的函数，进一步认识函数三要素的不可或缺，引导学生总结函数的三要素.问题3 图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index,简称AQI）变化图.图1（Ⅰ）你能根据该图确定这一天内12：00的空气质量指数（AQI ）的值I 吗？是否可以确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数（AQI ）的值I ？（Ⅱ）你认为这里的I 是t 的函数吗？如果是，你能仿照前面的说法刻画这个函数吗？师生活动：教师呈现问题3，给学生适当时间阅读思考.教师将第（Ⅰ）问中的前一问设计成填空题，让学生思考后在学案上提交. 学生提交的答案可能不一样，教师点评时要帮助学生理解其原因，并让学生在此基础上回答后一问，引导学生体会图象表示的对应关系的实质，明确由确定的t 值找出对应I 值的方法与步骤.对于第（Ⅱ）问，有些学生可能从初中函数认识的角度，会认为I 不是时间t 的函数（因为没有用解析式表示对应关系）。
新课标人教A版高中数学必修1第一章第2节《函数的概念》学案
函数的概念※ 知识梳理 1.函数的概念：设A ，B 是非空的_____，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的________数x ，在集合B 中都有________的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .其中x 叫做______，x 的取值范围A 叫做函数y ＝f (x )的______；与x 的值相对应的y 值叫做_____，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数y ＝f (x )的______，则值域是集合B 的____． 2．常见函数的定义域和值域函数关系式图象定义域值域反比例函数y ＝kx(k ≠0)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)3．相等函数：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由______和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就________．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．如y ＝1与y ＝xx 不是相等函数，因为____________．y ＝3t ＋4与y ＝3x ＋4是相等函数．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．4．区间与无穷大：（1）区间的几何表示定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半 闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b } 半开半 闭区间(a ，b ]这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．（2）实数集R 的区间表示：实数集R 可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．（3）无穷大的几何表示定义 符号 数轴表示{x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤b } (－∞，b ]{x |x <b }(－∞，b )※ 典例分析【题型一】函数的基本概念【例1】1. 如图所示，能够作为函数y ＝f (x )的图象的有________．[答案] ①⑤ 解：根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x 轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.2. 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1 B ． A={(x ，y)|x ，y ∈R }，对任意的(x ，y)∈A ，(x,y)→x+y.C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：答案：D3. 下列各对函数中，是相等函数的序号是________.① f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0 ② f (x )＝22x 1)+（与g (x )＝|2x ＋1| ③ f (n )＝2n ＋1(n ∈Z )与g (n )＝2n －1(n ∈Z ) ④ f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2 ⑤ y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1[答案] ②④4. 已知一个函数的解析式为2)(x x f =2，它的值域为{1，4}，这样的函数有 个.[答案]9[解析]列举法:定义域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.【课堂练习1】1. 下列对应是否为A 到B 的函数：①A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x→y ＝|x|； ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y ＝x 2； ③A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y ＝x ； ④A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x→y ＝0.答：(1)①③不是 ②④是2. 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.f 2：x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．【解】(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数，x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (3)同一函数．理由同(2)．【题型二】 求函数定义域 【例2】1. 求下列函数的定义域：①y ＝4－x ； ②y ＝1|x |－x ； ③y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9.[解析] (1)①4－x ≥0，即x ≤4，故函数的定义域为{x |x ≤4}．②分母|x |－x ≠0，即|x |≠x ，所以x ＜0.故函数的定义域为{x |x ＜0}．③解不等式组⎩⎨⎧ 5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎨⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5且x ≠3}．【课堂练习2】1. 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的解析式，并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为(0，a2)．2. （2016年高考江苏卷） 函数y =232x x --的定义域是 .【答案】[]3,1-3. 若函数86-)(2++=m mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 .4. 已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .【题型三】复合函数的定义域【例3】1. 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A. (－1,1)B. )21,1(--C. (－1,0)D. )1,21(解析：由题意知－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.答案：B2. 已知f (x 2－1)的定义域为[0，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__________．解析：∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，∴－1≤x 2－1≤8，∴函数y ＝f (x )的定义域是[－1，8]．【课堂练习3】1. 已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0，1)，则f (x )的定义域是______________．[解析]因为f (2x ＋1)的定义域为(0，1)，即其中的函数自变量x 的取值范围是0<x <1，令t ＝2x ＋1，所以1<t <3，所以f (t )的定义域为{t |1<t <3}，所以函数f (x )的定义域为{x |1<x <3}．2. 已知函数f (x )的定义域是[0,1]，求g(x)=f (2x )＋f (x ＋23)的定义域；解： 解不等式组0212013x x ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，∴g(x) 的定义域是[0,13]. 【题型四】求函数的解析式 【例4】1. 已知f (x )＝21xx+，求f (2x ＋1)； 解析：f (2x ＋1)＝244122+++x x x .2. f (x ＋1)＝x ＋2x . 求f (x )的解析式；解：方法一：设u ＝x ＋1，则x ＝u －1(u ≥1)，∴f (u )＝(u －1)2＋2(u －1)＝u 2－1(u ≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二：∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，由于x ≥0，所以x ＋1≥1.∴ f (x )＝x 2－1(x ≥1)3. y ＝f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋8，求f (x )的解析式；解：由条件可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f [f (x )]＝9x ＋8，∴有a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8.比较系数可得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2；或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4.故f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4，4. f (x )＝2f (1x)·x －1，求f (x )的解析式；解：在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2()f x x－1代入f (x )＝2f (1x)x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.(x>0) 5. f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式.解：令x=0,y=-x,则f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+2xx +课堂小结：函数解析式的求法：(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．（5）赋值法：赋x,y 特殊值，适用于解抽象函数。
人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：3.1.1 函数的概念
第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)相关概念：x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的. 显然，值域是集合B的.(3)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．『微思考』(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？(2)什么样的对应可以构成函数关系？知识点2区间及相关概念(1)一般区间的表示设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半闭半开区间{x|a<x≤b}半开半闭区间(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}『微体验』1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2』∪『0，＋∞)C．(－∞，－2)∪『0，＋∞)D．(－∞，－2』∪(0，＋∞)2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2B．3 C．4D．53．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 下列对应中是A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝『－1,1』，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如下图所示：(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：A ．1B ．2C ．3D ．4『方法总结』判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一． 跟踪训练1 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数；②对于不同的x 值，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量；④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二 求函数定义域问题 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3；(3)y ＝ax －3(a 为常数)．变式探究 将本例(1)改为y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 2，其定义域如何？『方法总结』求函数定义域的常用依据(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的『解 析』式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练2 (1)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2』D ．『2，＋∞)(2)函数f (x )＝xx －1的定义域为________．探究三 求函数值和函数值域问题例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域．『方法总结』求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；④换元法：对于形如y＝ax＋b＋cx＋d的函数，求值域时常用换元法，令t＝cx＋d，将原函数转化为关于t的二次函数；⑤分离常数法：对于形如y＝cx＋dax＋b的函数，常用分离常数法求值域；⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝1x－1.跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；(3)y＝x＋1－2x.探究四同一个函数的判定例4 下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.『方法总结』判断同一个函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤．(2)两个注意点．①在化简『解析』式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示变量无关．跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)y1＝(x＋3)(x－5)x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1·x－1，y2＝(x＋1)(x－1).随堂本课小结1．对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．求函数的定义域就是求使函数『解析』式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．——★参*考*答*案★——课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(2)自变量定义域函数值值域子集(3)定义域对应关系『微思考』(1)提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.(2)提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．知识点2区间及相关概念(1)a<b『a，b』(a，b) 『a，b) (a，b』(2) (－∞，＋∞)(3) 『a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b』(－∞，b)『微体验』1．C『『解析』』集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪『0，＋∞)．2．D『『解析』』用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．3．(1,2)∪(2，＋∞)『『解析』』{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 B『『解析』』(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；(4)集合B 不是确定的数集，故不是A 到B 的函数；(5)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数． 跟踪训练1 B『『解 析』』①③正确，②是错误的，对于不同的x 值，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f (x )表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来． 探究二 求函数定义域问题例2 解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(3)要使函数有意义，必须使ax －3≥0.当a ＞0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥3a ； 当a ＜0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤3a； 当a ＝0时，ax －3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．变式探究 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x 2≥0，解得{x |－1＜x ≤1}．跟踪训练2 (1)A『『解 析』』由2－x ≥0，解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2』，所以∁R M ＝(2，＋∞)． (2){x |x ≥0，且x ≠1}『『解 析』』要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠1}．探究三 求函数值和函数值域问题例3 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)f (x )＝11＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，∴值域是{y |y ≠0}．g (x )＝x 2＋2的定义域为R ，最小值为2，∴值域是{y |y ≥2}．跟踪训练3 解 (1)(逐个求法)将x ＝1,3,5,7依次代入『解 析』式，得y ＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．(2)(配方法)∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2』．(3)(换元法或配方法)令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22，且t ≥0，∴原函数化为y ＝1－t 22＋t ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1≤1.∴所求函数的值域是(－∞，1』． 探究四 同一个函数的判定 例4 ②③『『解 析』』①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 跟踪训练4 解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y 1＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．。
高中数学第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1第1课时函数的概念一学案含解析第一册
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3。
1.1函数的概念【素养目标】1．通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．（数学抽象）2．了解构成函数的三要素．(数学抽象)3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象）4．理解同一个函数的概念．（数学抽象)5．能判断两个函数是否是同一个函数．（逻辑推理）【学法解读】1．函数概念的引入,学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x）的含义，学生要加深理解．第1课时函数的概念(一）必备知识·探新知基础知识知识点1函数的概念定义设A、B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数,记作y＝f（x）,x ∈A三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域__x__的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.思考1：(1）对应关系f一定是解析式吗？(2)f（x)与f（a）有何区别与联系?提示：（1）不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格,或文字描述等形式．(2)f(x)与f(a）的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f（x）的值,是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量,f（a）是f(x）的一个特殊值．知识点2区间及有关概念(1）一般区间的表示．设a，b∈R，且a〈b，规定如下：定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间__[a，b］__{x｜a＜x ＜b}开区间__(a,b）__｛x｜a≤x ＜b｝半开半闭区间__［a，b）__{x|a＜x≤b}半开半闭区间__（a，b］__(2）特殊区间的表示．定义R{x｜x≥a｝{x｜x〉a}｛x|x≤a}{x｜x<a}符号__（－∞,＋∞)____[a，＋∞)____(a，＋∞）____(－∞,a］____(－∞，a）__思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞"或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？提示：（1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．（2)“∞"读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号．基础自测1．区间［5，8）表示的集合是（C）A．｛x|x≤5或x>8}B．｛x｜5<x≤8}C．{x|5≤x〈8｝D．{x｜5≤x≤8}［解析］区间[5,8）表示的集合是{x|5≤x〈8｝，故选C．2．已知f(x）＝2x＋1,则f(5)＝(C)A．3 B．7C．11 D．25［解析]f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．3．（2019·江苏,4)函数y＝7＋6x－x2的定义域是__［－1,7]__.［解析]要使函数y＝错误!有意义，应满足7＋6x－x2≥0，∴x2－6x－7≤0，∴（x－7)（x＋1)≤0，∴－1≤x≤7，∴函数y＝错误!的定义域是［－1，7]．4．已知f(x)＝错误!，g(x)＝－x2＋2。
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A版必修第一册
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f 的正确理解，函数符号y ＝f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一 函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作□02y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做□03自变量，x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域；与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B 的子集． 注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A 是函数的定义域，因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应；集合B 不一定是函数的值域，因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ，也就是说，B 中的某些元素可以不是函数值，即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中，我们用符号y ＝f (x )表示函数，其中f (x )表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘x ”．知识点二 函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应．知识点三 区间的概念(1)设a ，b 是两个实数，而且a <b .我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a ，b ]； ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间，表示为□04(a ，b )； ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点． 实数集R 可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”． 我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合，用区间分别表示为□12[a ，＋∞)，□13(a ，＋∞)，□14(－∞，b ]，□15(－∞，b )． (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 知识点四 同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y ＝f (x )，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ，不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________． ①A ＝{1,4}，B ＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2}，对应关系：③A ＝[0,2]，B ＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y ＝x 是同一个函数的是________． ①y ＝x 2；②y ＝3x 3；③y ＝(x )2；④s ＝t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋3；(2)f (x )＝1x ＋1；(3)y ＝x －1＋1－x ；(4)y ＝x ＋1x 2－1；(5)y ＝(1－2x )0. [解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}． (5)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [解] 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4. 故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32，∴函数f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 例3 如图所示，用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x (单位：m)，求此框架围成的面积y (单位：m 2)与x 的函数关系式．[解] 由题意可得，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ， 于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx2>0，得0<x <1π＋2，∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数关系式为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y ＝f (x )为整式，则函数的定义域是实数集R .(2)分式：若y ＝f (x )为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y ＝f (x )为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]中，g (x )∈[a ，b ]，从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域．②若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由x ∈[m ，n ]可确定g (x )的范围，设u ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，所以g (x )的范围即f (x )的定义域．③已知f [φ(x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域，先由f [φ(x )]中x 的取值范围，求出φ(x )的取值范围，即f (x )中的x 的取值范围，即h (x )的取值范围，再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围．(6)实际问题：若y ＝f (x )是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1] (1)若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；②y ＝x ＋1|x |－x ；(3)①求函数y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9的定义域； ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y (单位：m 2)关于一边长x (单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知，－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.∴f (x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1，∴函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}． (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．②因为矩形的一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二 已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )＝2x 2－4，x ∈R ，若f (x 0)＝2，求x 0的值． [解] 易知f (x 0)＝2x 20－4， ∴2x 20－4＝2，即x 20＝3. 又∵x 0∈R ，∴x 0＝± 3. 金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x ∈[0，＋∞)”，则x 0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈(－∞，0)，若f (x 0)＝3.求x 0的值． 解 由题意可得f (x 0)＝x 20－2x 0. ∴x 20－2x 0＝3，即x 20－2x 0－3＝0. 解得x 0＝3或x 0＝－1.又∵x 0∈(－∞，0)，∴x 0＝－1. 题型三 已知自变量的值求函数值 例5 已知f (x )＝x 2，x ∈R ，求： (1)f (0)，f (1)； (2)f (a )，f (a ＋1)．[解] (1)f (0)＝02＝0，f (1)＝12＝1. (2)∵a ∈R ，a ＋1∈R ， ∴f (a )＝a 2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f (x )＝x 2求解，实质上就是求代数式的值，例如f (1)就是当x ＝1时，代数式x 2的值，而f (a ＋1)就是当x ＝a ＋1时，代数式x 2的值．[跟踪训练3] 已知f (x )＝x ＋1x ＋1，求： (1)f (2)；(2)当a >0时，f (a ＋1)的值． 解 (1)f (2)＝2＋13.(2)易知f (x )的定义域A ＝[0，＋∞)， ∵a >0，∴a ＋1>1，则a ＋1∈A ， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋2. 题型四 求函数的值域 例6 求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝xx ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝x ＋x ＋1. 解 (1)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0，∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(2)配方，得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y |2≤y <11}． (3)(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1，且t ≥0，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，由t ≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞). 题型五 相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2＋1，g (t )＝t 2＋1 C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |[解析] A 项中，由于f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C 项中，由于f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝x x的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数． [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y ＝x 相同？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同． (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同． (3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y＝x 不相同，所以不相同．(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相同．1．下列各图中，可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ，B 中的图象与y 轴有两个交点，即有两个y 值与x ＝0对应，所以A ，B 不可能是函数y ＝f (x )的图象；对于C 中图象，过x ＝1作与x 轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C 不可能是函数y ＝f (x )的图象．故选D.2．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( )A ．{x |x ≥2} B．{x |x >2}C ．{x |x ≤2} D．{x |x <2}答案 C解析 要使函数式有意义，则2－x ≥0，即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}．3．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝________.答案 2解析 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (a ＋1)； (2)若f (x )＝5，求x . 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2， f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋(a ＋1)－1＝a 2＋3a ＋1.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.。
311函数的概念学案-河北省献县第一中学人教A版【2019新教材】高一数学必修第一册
高中数学第一册［新教材］人教A版（2019）必修一第三章函数的概念和性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念【学习目标】1.在初中的基础之上，进一步体会函数描述的是变量之间的依赖关系，会用集合与对应的语言来刻画函数,2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义【核心素养】1，通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2，借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养【知识导学】知识点一函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．【名师点拨】(1)对应中的两个集合A，B是非空的实数集，（2）函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．注意其中的(任意性)、(存在性)、(唯一性)（3）集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A}⊆B.（4）在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”，也就是说：对应关系f是函数的本质特征，好比计算机的某种程序（或解决某问题的方法），当我们在f( )中括号里面放入某个x，就会按照这个程序得到一个结果即y值（5）函数的三要素，从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、值域，判定函数和函数相等的依据知识点二区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a＜x＜b}开区间{x|a≤x＜b}半开半闭区间{x|a＜x≤b}半开半闭区间(2)特殊区间的表示定R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}义符(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)号注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．【初试身手】1．（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】C。
函数概念
附件一《函数的概念与图象》学案[教学目标]1、了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则；2、掌握求函数定义域的方法以及步骤；3、掌握求函数值域的基本求法；4、会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解。
[预习自测]例1． 下列各图中表示函数的是-------------------------[]xC ．2x y =与2)1(+=x yD ．)(x f =∣x ∣，)(x g =2x 例3．求下列函数的定义域：（1）()f x x （2）)(x f =+-x 5x-21例4．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1- （1）求函数(1)f x +的定义域；（2）求函数=y )41()41(-++x f x f 的定义域。
例5． 求下列函数的值域：（1）21,{1,2,3,4,5}y x x =+∈； （2）=y x 1+;（3）=y 322+--x x 变题：=y 322+--x x 5(-≤x ≤2-）；例6．画出下列函数的图象，并求值域：(1)y =13-x ，∈x [1，2]； (2)y = (1-)x,∈x{0,1,2,3}； (3)y=x ； 变题：1y x =-； (4)y =2x 22--x[课内练习]1．下列图象中表示函数y=f(x)关系的有--------------------------------( )A.(1)(2)(4)B.(1)(2)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)2．下列四组函数中，表示同一函数的是----------------------------------( )A ．y =32y x =- B ．2y x =和y x x =C ．y x =和y =D ．y x =和2y =3、函数()1f x x x=-的定义域是――（ ） Ａ．(),0-∞Ｂ．()0,+∞Ｃ．[0,)+∞Ｄ．Ｒ4．函数f(x)的定义域是[12,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ） A ［0,1］ B ［2，52］ C ［0，52］ D (),3-∞5．函数()f x =()01x -+的定义域是： 6．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是 7．函数()201y x x=>+的值域为（ ） A ．[]0,2 B ．(]0,2 C ．()0,2 D ．[)0,2 8．函数y=2x 2-4x-3，0≤x ≤3的值域为 ( ) A (-3,3) B (-5,-3) C (-5,3) D (-5,+∞) 9．函数2y x=()2x ≠-的值域为10．作出函数223(1y x x x =--≤-或2x >）的图象[巩固提高]1．下列各图中，可表示函数)(x f y =的图象的只可能是--------------------[ ]C ．1,y x x R =-∈与1,y x x N =-∈D ． =)(x f 2-x 1与12)(-=t t g3．函数y =21x -+12-x 的定义域是----------------------------[ ] A ．[1-，1] B ．（),1[]1,+∞-∞- C ．[0，1] D ．{1,1-}4．函数y =xx 1+的定义域是 5.函数y =)1(1>x x的值域是---------------------------------------[ ] A ．（),0()0,+∞∞- B ．R C ．（0，1） D ．(1,)∞+走6.下列函数中，值域是(0,∞+)的是--------------------------------[ ] A ．y=132+-x x B ．y =21+x （)0>x C ．12++=x x y D ．21x y =7．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走作余下的路，在 下图中纵轴表示离学校距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合学生走法的是 （ ）8.在同一个坐标系中作出函数)(x f =2)1(-x 与)(x g=1-x 的图象 （1）问：=y )(x g 的图象关于什么直线对称？（2）已知121<<x x ，比较大小：)(1x g )(2x g附件二：。
函数的概念(第一课时)
时间（s） 问题 1：试用初中函数概念解释上例，并思考：如果将炮弹飞行时间 t 的取值看 做数集 A，则 A= ，炮弹距地面的高度 h 的变化范围看做数集 B， 则 B= ，对比初中函数概念可知，对于数集 A 中的任意一个时间 t， 按照对应关系（*） ，在数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应。 （2）近几年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图 中的曲线显示 了南极 上空臭氧层空 洞的面 积从 1979～2001 年的变化情况
A B C 练习 1、判断下列对应关系是否为 A 到 B 的函数. (1)A=R,B=｛x|x>0｝,f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f: x→y=x2; (3)A=R,B=Z,f: x→y=
例 2、 已 知 函 数 f
D
x
(x )=
x+3 + 1 x+ 2（1） 求函 Nhomakorabea的定义域；
（ 2） 求 f
函数的概念（第一课时）
一、 知识回顾 请同学们画出初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数的图像，结合 图像解释初中函数的定义。 初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变 量，y 是 x 的函数。 二、 新知探究 观察下列三个实例，回答后面的问题： （1） 一枚炮弹发射后， 经过 26s 落到地面击中目标。 炮弹的最高点为 845m， 且炮弹距地面的高度 h （单位： 随时间 m） （单位： 变化的规律是 h=130t-5t2。 s）
（2）描述上例中恩格尔系数和时间（年）的关系。 问题 3：请仿照（1） ： 归纳总结：以上的三个例子中的变量之间的关系都可以统一描述为：对于数集 A 归纳总结 中的每一个 x，按照某种对应关系 f，在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对 应，记作 f：A→B. 新知探究：据此我们可以得到高中阶段的函数概念：设 A，B 是非空 非空的数集，如 新知探究 非空 果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意 任意一个数 x，在集合 B 任意 中都有唯一 唯一确定的数 y=f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 唯一 B 的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫 做函数的定义域；与 x 的值相对应 y 值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x 相对应的 相对应 ∈A｝叫做函数的值域。 问题： 问题：试判断值域和集合 B 的关系？ 三、 典例剖析 例 1、下面图像中不能作为函数 y=f(x)的图像的是（ ）
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1.设f(x)=2x2-1,求f(1),f(-1),f(0),f(b).
2.求函数 的定义域。
四、拓展延伸：（徜徉于知识的海洋，你会有意想不到的收获！）
你能求出函数 + 的定义域吗？
从这两例，可以看到两个重要事实：
（1）在每个例子中都指出了_______________-
（2）每个例子中都给出了_______________-
3、函数的概念：设集合A是一个____，按照某种确定的
________，对A中的，都有的实数值y与它对应，则称这种对应法则为集合A上的_____，记作，其中x为,y为。.自变量x的取值集合A叫做函数的，对应的因变量y的取值集合叫做函数的。
学习目标：
1．理解函数的概念，理解符号f(x)的意义；
学习过程：
一、自主探究：(看一看，你会有新的发现! )
请同学们阅读课本P43-P45，完成下列填空：
1、路程问题：路程s和时间t的关系式____________________
2、体积问题：体积v与高度h之间的关系式_________________
4、已知函数f(x)=x3+x,求f(0),f(3),f(-3),f(a),f(-a).
二、合作探究：（议一议，你会有更大的收获！）
1、日
2、会根据函数解析式求函数的定义域及函数值。
2、常数函数是一类特殊的函数，例如f(x)=10,x∈R,你能理解吗