一轮复习--函数求值域

例题 求下列函数的值域：
(1)
y2
x2 2 x
;
(2)
y log 1 ( x 2 2 x 1).
2
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y ∈〔1/2,+∞).
(1)
y2
x2 2 x
;
(2)
y log 1 ( x 2 x 1).
配凑系数
例2 设
，求函数
的最大值。
配凑常数项
例3 已知 ，求函数 的最大值。
策略二 遇到分式，可尝试分离后 再用基本不等式
配凑分子，分离分式 例4 求 的最小值。
同除分子，分离分母 例5 求 的值域.
练习：求下列函数的值域: 2x ; 2 x +1
(1)y=
2-2x+5 x (2)y= (x>1) . x-1
练习3：求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域. [-3, 5].
二、换元法
例题 求下列函数的值域：
y=5-x+√3x-1；
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
解：令t t2 1 3 x 1 0则x , 3
1 2 1 3 2 65 于是y=5- (t +1)+t=- (t- ) + , 3 3 2 12
3 65 65 t ，ymin , 故y -, . 2 12 12
例2
2 y=x-2+√4-x .

4 ) 2,
令x 2 cos , [0, ]则y 2 cos 2 4 4 cos 2
2(cos sin 1) 2 2 sin(
(-∞,0) ∪(0 ,+∞) 奇函数 f(-x)=-f(x)
a 函数 f x x (a>0)的单调 x 区间是
f x 在(- a ,0),(0, a )是减函数.
在( ,- a ),( a ,+)是增函数,
单调区间的分界点为: a的平方根
a 4.函数 f x x (a>0)的大致图像 x
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
-1
3/2
o 1/2
1 -3/4 x
练习1：函数f(x)=x2-2x(x∈［0,4］)的 最大值是 8 ，最小值是 -1 .
f(x)=(x-1)2-1.
当x=1时,f(x)min=-1;
当x=4时，f(x)max=42-2×4=8.
练习2：求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 6]; [3, 6]. [2, 11];
例题1：
12 12 3 x 的最小值为_______; 1.若x>0,f(x)= x 此时x=_______. 2
12 -12 若x<0,f(x)= 3 x 的最大值为_______; x -2 此时x=_______.
策略一 利用配凑法，构造可用 基本不等式求最值的结构
通过简单的配凑（凑系数或凑项） 后，使原本与基本不等式结构不 一致的式子，变为结构一致，再 利用均值不等式求解最值。
y o
y ax
x
7 例1.已知函数f x x x
(1).x 1, 2 , 求f x 的值域.
(2).x 2, 4 , 求f x 的最小值.
(3).x 7, 3 , 求f x 的值域.
7 解:函数f (x) x 在 0, 7 , 7,0 递减 x 递增 在 7 , , , 7 (1).在x 1, 2 是减函数 f (2) f ( x) f (1)
2


, ]. 2 2
, ); 2 2
练习：求下列函数的值域: (1) y=x- x-1 ; 3 [ 4 , +∞)
(2) y=x+ 2-x2 ;
[- 2 , 2]
(3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .
[0, 3 2+ 2 ]
三、分离常数法
bc cx d c d a c y ax b a ax b a
y
x2 5 x 4
2

x2 4 1 x 4
2

x 4
2
1 x2 4
1 则y t (t 2) 令t x 4 t 5 当t 2,即 : x 0时, ymin 2
2
五、利用双勾函数
a 函数 f x x (a>0)的性质. x
1. 定义域 2.奇偶性
[-1, 1]
[4, +∞)
3.求函数 y
x 5
2
x 4
2
的最小值.
错解:
y x2 5 x 4
2

x2 4 1 x 4
2
2

x 4
2
1 x 4
2
2
当且仅当
x 4
1 时取等号 x2 4
3.求函数
y
x2 5
2
的最小值. x 4
依据:
正解:
1 利用函数 y t (t>0)的单调性. t t (0,1] 单调递减 三不等, 常用单调性 t [1, ) 单调递增
1 即 f ( x) 8 2 1 值域为 , 8 2



(2).分析知x 7 2,4 , f ( x)的最小值为f ( 7)
(3).在x 7, 3 是增函数 f (7) f ( x) f (3) 16 16 即-8 f ( x) x 7, 3 值域为 8, - 3 3
3 x 例：求函数 y 的值域. 2x 5 3 x 1 11 1 解: y (1 ) 2x 5 2 2x 5 2
y o
O’
1 2

5 2
x
2x 1 例2 : 求函数 y x 3
的值域
cx+d 方法归纳：形如y= ax+b
c 的值域： y y , 且y R a
(a≠0)函数
3x 5 练习1：求下列函数的值域：y 2x 3
练习2：求函数的值域:
x 2 y= 2x+1
(0, 1)
四、利用基本不等式
ห้องสมุดไป่ตู้
基本不等式：
如果 a 0, b 0 则 a+b 2 ab，当且仅 当 a =b 时等号成立。
在基本不等式的应用中，我们需要注意它成立 的三个条件：“一正、二定、三相等”
f ( x)在x 2,4 最小值为2 7
2.已知函数 f x 2 ,求f(x)的最小值,并 x 4 求此时的x值.
解:原函数化为f x
2
x 5
2
2
x 4 1 x 4
2
x 4
2
1 x 4
2
1 令t x 4 y=t+ ,(t 2) 此函数在 1,+ 递增 t 1 5 2 y min 2 , 此时t 2 2 x 4 x 0 2 2 5 即f x 时, x 0 2
2 2
（2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0, 故y=log1/2u是定义域为（0，2]上的减函数， 即原函数值域的为y ∈〔-1,+∞)。
2 0, , sin( ) 1.4 y 2( 2 1), 2 4
即值域为y∈〔-4,2√2-2〕
一般的：常用的三角代换有：形 如 1 x 2 可令x cos , [0, ];
或令x sin , [
形如 1 x 可令x tan , (
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用 k (k>0)的最值(等号不成立)时. 基本不等式不能求得 y=x+ x 练习：求下列函数的值域: (1)y= 1-2x - x ; 1 [- 2 , +∞)
4 (2)y=x+ x (0<x≤1);
[5, +∞)
六、复合函数的值域
y
2 a a
0
a 2 a
x
a 5.函数 f x x (a>0)的值域 x
, 2
2 a , a

y
b 1. f ( x ) ax (a 0, b 0) x
2 ab
y ax
o
b a
x
b 2. y ax (a , b 0) x
明确：
函数的值域是由全体函数值所构成 函数的值域取决于定义域和对应关系, 不论用什么方法求函数的值域应先考虑
其定义域.
一、配方法
1 例1 求函数 y x x (1 x 1)的值域。 2
2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问 y 题，可用配方法或图像法求解。
1 2 3 解：y ( x ) , x 1,1 , 2 4 1 3 3 x= ，ymin , x 1, ymax , 2 4 2