5.4广义积分
广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
广义积分应用举例
广义积分应用举例引言广义积分是微积分的一个重要概念，在数学和科学领域中有着广泛的应用。
广义积分可以用来描述曲线下面积、物体质量、电荷、能量等概念。
在本文中，我们将通过一些具体的例子来介绍广义积分的应用。
曲线下面积考虑一个曲线函数f(x)，我们希望计算在一个给定区间[a, b] 上曲线下的面积。
通常情况下，我们可以使用定积分来求解。
然而，如果曲线在区间上具有无穷或间断点，我们就需要使用广义积分来计算面积。
举个例子，考虑函数 f(x) = 1/x，在区间[1, +∞) 上的曲线下的面积。
若直接使用定积分会发现无穷远点是无法计算的，所以我们需要用广义积分。
根据广义积分的定义，我们有：∫(from 1 to +∞) (1/x) dx = lim(R->∞) ∫(from 1 to R) (1/x) dx通过计算，我们可以得到：∫(from 1 to R) (1/x) dx = ln|R|然后将 R 趋近于无穷大，我们得到：∫(from 1 to +∞) (1/x) dx = ∞因此，曲线 f(x) = 1/x 在区间[1, +∞) 上的面积为无穷大。
物体质量广义积分还可以用来计算物体的质量。
考虑一个细长物体，它的质量分布在一个区间上，我们想要计算整个物体的质量。
假设物体的质量密度函数为ρ(x)，那么我们可以使用广义积分来计算物体的总质量。
举个例子，假设物体的密度函数为ρ(x) = x^2，而物体的长度为 l。
我们可以使用广义积分来计算物体的质量：M = ∫(from 0 to l) (x^2) dx通过计算，我们得到：M = l^3/3所以，当物体的质量密度函数为ρ(x) = x^2 时，物体的质量与物体的长度的立方成正比。
电荷与能量在物理学中，广义积分也被广泛用于描述电荷分布和能量。
例如，我们可以使用广义积分来计算带电物体的总电荷以及电荷分布密度。
同样地，我们也可以使用广义积分来计算电场中的能量分布。
广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
广义积分学习指导
广义积分学习指导一、内容提要1、广义积分的概念. ⑴ 无穷区间上的广义积分设)(x f 在),[+∞a 上有定义, a A >∀ R x f ∈)( (],[A a )，记∫∫+∞→+∞=AaA adx x f dx x f )(lim)(称其为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分.若⑴中的极限存在,则称该无穷积分收敛，且其极限值为该无穷积分的值；否则称该无穷积分发散. 类似地可定义： 1）)()(lim)(b B dx x f dx x f bBB b<=∫∫−∞→∞−2）∫∫∫+∞∞−+∞∞−+=ccdx x f dx x f dx x f )()()(∫∫+∞→−∞→+=AcA cBB dx x f dx x f )(lim)(lim)(+∞<<−∞c对积分∫+∞∞−dx x f )(，其收敛的充要条件是∫∞−cdx x f )(及∫+∞cdx x f )(同时收敛.⑵ 无界函数的广义积分(瑕积分)若0>∀δ，函数)(x f 在),(ˆ0δx U 内无界,则称点0x 为)(x f 的一个瑕点（或奇点）.设)(x f 在],(b a 上有定义，a 为其瑕点，且0>∀ε，]),[()(b a R x f ε+∈. 记∫∫+→+=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0,称其为)(x f 在],[b a 上的瑕积分. 若上式中的极限存在，则称此瑕积分收敛，其极限值即为瑕积分值；否则，称此瑕积分发散. 设b 为)(x f 在],[b a 上的唯一瑕点，类似地可定义：∫∫−→+=εεb abadx x f dx x f )(lim )(0设c 为)(x f 在],[b a 内的唯一瑕点（b c a <<）,我们定义∫∫∫+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(∫∫+→−→+++=bc c adx x f dx x f 2211)(lim )(lim 0εεεε此时∫b adx x f )(收敛的充要条件是∫c adx x f )(及∫bcdx x f )(同时收敛.2、Γ 函数的定义及性质Γ 函数： )0()(01>=Γ∫+∞−−s dx e x s x sΓ 函数的几个性质：i. 递推公式：)0)(()1(>Γ=+Γs s s s , !)1(n n =+Γ(n 为正整数, 1)1(=Γ)ii. )10(sin )1()(<<=−ΓΓs ss s ππ这个公式称为余元公式，特别地，当21=s 时，π=Γ)21(iii. ∫+∞−−=Γ01222)(du ues s u ，令21=s 得∫∞+−=022πdu e u3、广义积分的柯西主值按广义积分的定义，无穷积分∫∫+∞→∞+∞−=AcA dx x f dx x f )(lim)(∫−∞→+cBB dx x f )(lim右端极限过程中的B A ,是独立变化的.若考虑B A ,的变化过程要求一致,即定义A B =,则相应的无穷积分∫+∞∞−dx x f )(称为)(x f 在),(+∞−∞上的无穷积分的柯西主值,记为P ．Ｖ．∫+∞∞−dx x f )(. 即P．Ｖ．∫∫−+∞→+∞∞−=AAA dx x f dx x f )(lim)(，若此极限值存在，则称广义积分∫+∞∞−dx x f )(在柯西主值意义下收敛，否则称为发散．类似地可定义与瑕积分相应的柯西主值为 P．Ｖ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∫∫∫+−→+b c c a badx x f dx x f dx x f εεε)()(lim )(0其中c 为)(x f 在),(b a 内的唯一瑕点. 二、重点、难点1、本节的难点是无界函数的广义积分,因为这一类广义积分容易被当成常义积分来计算而导致错误.2、广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元积分法，分部积分法，以及广义的牛顿－莱布尼兹公式. 三、答疑解惑问题 下列积分是否正确?为什么?⑴ 0ln 21)(ln ln 1ln 111313=−==∫∫εεεεεεx x d x dx xx⑵ 奇函数积分012=+∫+∞∞−dx x x答 都不正确. ⑴错误的原因是将广义积分当作常义积分去计算. 1=x 是被积函数的无穷间断点,本例的积分是无界函数的广义积分. 正确的解法是∫∫∫+=εεεε1311313ln 1ln 1ln 1dx x x dx x x dx xx 由于 ∫∫−−→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==++εεεεεεε11112030113ln 21lim ln 1lim ln 1x dx x x dx x x−∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=+→21)1(ln 21lim 20εε 故 ∫εε13ln 1dx xx 发散. ⑵ 错误的原因是)1ln(211202t dx x x t+=+∫当+∞→t 时是发散的,由广义积分∫+∞∞−dx x f )(的收敛定义,广义积分∫+∞∞−+dx x x21是发散的.一般地可以证明：当∫+∞∞−dx x f )(收敛时, 0)(=∫+∞∞−dx x f ()(x f 为奇函数).∫∫+∞+∞∞−=0)(2)(dx x f dx x f ()(x f 为偶函数). 证明从略.。
§5-4广义积分
a
b a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散.
（2）设函数 f ( x)在区间(,b]上连续，取a b，
如
果
极
限
lim
a
b
a
f
(
x
)dx
存
在
，
则
称
此
极
限
为
函
数
f ( x) 在 无 穷 区 间 (,b] 上 的 反 常 积 分 ， 记 作
b
f
( x)dx.
b
f ( x)dx
lim a
b
f ( x)dx
a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时， 称反常积分发散.
（3）设函数 f ( x)在区间(,)上连续,如果反常积分
0 f ( x)dx和 f ( x)dx都收敛，则称上述两反常积分
0
之和为函数 f ( x)在无穷区间(,)上的反常积分，记
作 f ( x)dx.
b e pxd ( px)]
a
1 p
lim
b
e px
b a
e ap
1 lim e pb e pa
, p0 p
p b
, p 0
即当 p 0时收敛，当 p 0时发散.
练习
1.下列反常积分收敛的是（ D ）
A. 2x dx 0
B. e x dx 0
C. xdx 0
1
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)在区间
0 a
[a, b)上的反常积分，
记作 b a
f
(
x)dx
lim
0
§5.4 广义积分
b
f (x)dx F(x)
F(b) F()
f (x)dx F(x)
F() F()
其中 F () lim F (x)
x
例3 证明积分 cos xdx 发散. 0
证： cos xdx lim
b
cos xdx
lim (sin x b )
lim
sin b
0
b 0
b
0 b
1
例4. 讨论广义积分 1
a
lim
0 a 2 x 2 0 0
dx
lim
arcsin
x
a
.
a 2 x 2 0
a0 2
注：在形式上也可采用牛顿—莱布尼兹公式的记法.
1
练习. 讨论广义积分
dx
的敛散性.
解
f
(x)
1 x2
1 x 2
在 [1,1]上除点
x
0 外连续，且lim x0
1 x2
1 dx
1 x 2
0 dx 1 x 2
y
解
exdx lim
b exdx
lim
(e x
b
)
0
b 0
b
0
1 y ex
lim (1 eb ) 1.
A
b
o
x
1
例2.计算 1 x2 dx
解
1
1 x
2
dx
0
1
1 x
2
dx
1 0 1 x2 dx
lim a
01 a 1 x2 dx
lim b
b 0
1
1 x
2
dx
f (x)dx 收敛的充要条件为 P(x) f (t)dt a
5.4 反常积分
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f ( x ) dx = F ( x )
= F (+∞ ) − F (a ) = F (b) − F (−∞ ) = F (+∞) − F (−∞)
8
∫−∞ f ( x) dx = F ( x) ∫−∞ f ( x) dx = F ( x)
+∞
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx.
4
例1. 求曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积。 解： 面积的含义可理解为Βιβλιοθήκη A=∫+ ∞ dx
1 y= 2 x
A
b
1
x
2 b
1 dx A = lim ∫ 2 = lim − b → + ∞ x 1 b→ +∞ 1 x 1 = lim 1 − = 1 b → + ∞ b
u →+∞ a
lim
∫
u
f ( x)dx = J ,
(1)
则称此极限J为函数 f ( x)在 [a, +∞) 上的无穷限反常积分 (简称无穷积分), 记作
并称
∫
+∞
J =∫
+∞
a
f ( x)dx,
+∞
a
f ( x)dx, 收敛.
如果极限(1)不存在, 称 即：
∫
+∞
∫
a
f ( x)dx 发散.
a
f ( x)dx = lim
广义积分
+∞
+∞
1
dx 当 _______时收敛； 当 ______ 时 _______ 时收敛； 时收敛 p x
a→−∞ a b→+∞ 0 0 b
0
+∞
+∞
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1 计算广义积分 解
+∞
∫
+∞
−∞
dx 0 +∞ dx dx ∫−∞ 1 + x 2 = ∫−∞ 1 x 2 + ∫0 1 x 2 + + 0 b 1 1 dx + lim ∫0 dx = lim ∫a 2 2 a → −∞ 1 + x b→ +∞ 1+ x
∫a f ( x)dx
b
= lim ∫a+ε f ( x)dx
ε →+0
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 称广义积分发散. 时，称广义积分发散.
类 似 地 ， 设 函 数 f ( x ) 在 区 间 [a , b ) 上 连 续 ， 而 在 点 b 的 左 邻 域 内 无 界 .取ε > 0 ， 如 果 极 限
a →−∞
b
限为函数 f (x ) 在无穷区间 (−∞, b] 上的广义积 分，记作∫−∞ f ( x )dx.
b
∫−∞ f ( x)dx
b
= lim ∫ f ( x)dx
a→−∞ a
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 称广义积分发散. 时，称广义积分发散.
第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分
x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区 间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数． 由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy
第五章 积分 5-4 反常积分
b
1
t (x a) p d x
|
1 1
p
(x
a) 1
p
b
,
t
p1 ,
|
ln
(x
a)
b
,
t
p1
《高等数学》课件 (第五章第四节)
所以
b
1
lim
ta
t
(x a) p d x
1 (b a) 1 p , 1 p ,
p1 p1,
,
p1
所以, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散. 类似地, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散.
《高等数学》课件 (第五章第四节)
5.4.1 无限区间上的反常积分 y
考虑由直线 x = a, y = 0 和曲线
y = f (x) ( 0) 围成的平面无穷区域
f (x)
的面积 A.
x Oa
视面积 A 为有限区域 0 y f (x), y
a x b 面积 A b
b f ( x) d x 的极限,
xa _
a 为 f (x) 的奇点或暇点. 同样若函数 f (x) 在 a < 0 附近有定义,
且 lim f (x) , 则称 x a 为 f (x) 的奇点或暇点.
xa
定义 5-4 设函数 y = f (x) 在 [a, b) 连续, b 是 f 的奇点, 若
t
lim f ( x) d x
0
解
In
x ne x d x
0
x n d e x
0
| x n e x
n
x n1 e x d x
广义积分计算公式
广义积分计算公式广义积分是微积分中的一种重要概念，它是对实数区间上的函数进行积分的一种方法。
广义积分计算公式提供了一种计算广义积分的方法，它包括了不定积分和定积分两种形式。
在下面的文章中，我将详细介绍广义积分的计算公式和具体的计算方法。
首先，我们来看不定积分的计算公式。
不定积分是对函数进行积分而不指定上下限的形式，它可以表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)表示要积分的函数。
不定积分的计算公式可以通过基本积分公式来得到。
常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-12. ∫1/x dx = ln，x， + C。
3. ∫e^x dx = e^x + C。
4. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
5. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
这些基本积分公式是广义积分计算的基础，它们可以用来计算更加复杂的不定积分。
下面我们来看定积分的计算公式。
定积分是对函数在一个闭区间上进行积分，它可以表示为∫[a,b]f(x)dx。
其中f(x)表示要积分的函数，[a,b]表示积分的闭区间。
定积分的计算公式可以通过牛顿—莱布尼茨公式来得到。
牛顿—莱布尼茨公式为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们，如果能够找到一个函数F(x)，使得它的导数等于f(x)，那么定积分的结果就等于F(b)-F(a)。
在实际计算中，很多函数并没有具体的原函数表达式，因此我们需要通过其他方法来计算定积分。
常见的方法包括换元法、分部积分法和凑微分法等。
换元法是指通过变量代换来简化积分的计算。
具体来说，我们可以将原函数的自变量进行适当的变换，使得积分变得更加容易计算。
常见的变量代换包括三角函数的代换、指数函数的代换和对数函数的代换等。
分部积分法是指通过将积分公式转化为乘法形式，然后使用乘法的公式进行计算。
定积分的分部积分法广义积分
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
f ( x)dx lim
a a
f ( x)dx (a b) (5.4.2)
f ( x)dx
c
f ( x)dx
f ( x)dx
(5.4.3)
c
lim
a - a
c
f ( x)dx lim
b c
b
f ( x)dx
其 中 ， c （- ， ） .
1 ( 0) 4 4 2
运用三角函 数倍角公式
8
由例8可见,在一些定积分的求解中,需要综合 运用定积分的换元积分法和分部积分法.
分部积分法
又例(补充) 计算
解
1
1
ln(1 x) (2 x)
2
1
dx.
0
1
ln(1 x) (2 x) 2
1
dx
0
0
1 ln(1 x)d 2 x
9(6)
0
e- x dx
令 x t，x t 2， dx 2tdt 且 x 0 t 0; x t
广义积分理论与应用实践
广义积分理论与应用实践广义积分是微积分的一个重要分支，其理论在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文主要介绍广义积分的基本概念、性质以及在实际问题中的应用实践。
1. 广义积分的基本概念在传统的积分理论中，我们熟知的是定积分和不定积分。
定积分是对一个函数在一个有限区间上的积分，而不定积分则是求一个函数的原函数。
然而，在某些情况下，函数在所考虑的区间上可能不满足积分的条件，比如在某一点处不连续或者无界，此时就需要引入广义积分的概念。
广义积分是对某些特殊函数或者在特殊区间上的积分的扩展。
具体而言，对于一个函数在某一区间上的积分，如果在该区间上函数不满足积分的条件，我们可以通过适当的处理来定义其广义积分。
常见的广义积分包括无穷积分和间断积分。
2. 广义积分的性质广义积分具有一些重要的性质，使得我们可以对其进行研究和运用。
其中一些重要的性质包括线性性、可加性、保号性等。
这些性质为我们对广义积分的计算和应用提供了便利。
另外，对于单调有界函数、绝对收敛函数等特殊函数类，广义积分同样满足类似于定积分的计算规则，这为我们处理一些特殊函数的积分问题提供了一定的便利。
3. 广义积分在应用中的实践广义积分理论在实际问题中有着广泛的应用。
在工程领域，比如在信号处理、控制系统、电路分析等方面，广义积分的概念和计算方法都有着重要的意义。
在物理学中，广义积分常常应用于解决一些特殊的物理问题，比如在热力学、电磁学、力学等领域中，广义积分的概念和运用都发挥着不可替代的作用。
总的来说，广义积分的理论虽然在某种程度上是对传统积分的一种推广和拓展，但其所涵盖的范围更加广泛，适用于更多种类的函数和情况，为我们理解和解决一些复杂问题提供了新的思路和方法。
结语通过对广义积分的基本概念、性质和应用进行简要介绍，我们可以看到广义积分理论在数学和其他领域中的重要性和实用性。
希望本文能够帮助读者更好地理解广义积分的概念和作用，为进一步深入研究提供一定的参考价值。
广 义 积 分
广义积分
前面介绍的定积分有两个限制条件：积分 区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某 些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在 有限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以 推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间 的广义积分和无界函数的广义积分两类.
一、 无穷区间的广义积分
定义2
二、 无界函数的广义积分
【例35】
二、 无界函数的广义积分
【例36】
二、 无界函数的广义积分
【例37】
二、 无界函数的广义积分
【例38】
பைடு நூலகம்
二、 无界函数的广义积分
二、 无界函数的广义积分
由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整 数n
Γ(n+1)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)
以及∫baf(x)dx收敛和发散的概念.
(6-13)
二、 无界函数的广义积分
定义5
设f(x)在区间［a,b］上除点c(a<c<b) limx→cf(x)=∞，如果两个广义积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx 都收敛，则称广义积分∫baf(x)dx收敛
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx; (6-14) 否则，称其没有意义或发散.
∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx, (6-12) 此时称广义积分∫baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分 ∫baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.
类似地，可定义f(x)在区间［a,b) ∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx
广义积分的计算方法及例题
广义积分的计算方法及例题广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积、弧长、体积等问题。
广义积分的计算方法有很多种，其中包括换元法、分部积分法、分数分解法、极坐标法等。
这篇文章将详细介绍这些计算方法，并通过例题来说明其应用。
一、换元法换元法是广义积分中常用且实用的计算方法之一。
它利用代数运算中的代换思想，将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，从而简化积分的计算。
换元法的基本思路可以用如下步骤表示：1. 选择适当的代换变量。
2. 将被积函数转化为新变量的函数，利用链式法则计算微元的变换。
3. 将新变量的积分限转化为原变量的积分限。
4. 进行原变量的积分运算。
例如，计算广义积分∫(x^3+1)/(x^4+x^2)dx，我们可以选择x^2作为代换变量，进行以下代换：u = x^2则有du = 2xdx将被积函数中的x^2和dx用u和du表示，则被积函数可以转化为1/(u^2+u)du。
接下来计算u的积分，再将结果转化回原变量的积分。
二、分部积分法分部积分法是广义积分中常用的计算方法之一，利用求导和积分之间的关系进行计算。
分部积分法的基本思路可以用如下公式表示：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是待定函数，u'(x)和v'(x)分别是其导数。
例如，计算广义积分∫x sin(x)dx，我们可以选择u(x) = x和v'(x) = sin(x)，则有u'(x) = 1和v(x) = -cos(x)。
将这些值代入分部积分公式，则可以得到∫x sin(x)dx = -x cos(x) - ∫(-cos(x))dx，再进行简化即可。
三、分数分解法分数分解法是计算广义积分中的一种特殊方法，适用于被积函数为有理函数的情况。
分数分解法的基本思路是将有理函数拆解成多个简单函数之和，从而求出每个简单函数的积分后再加总。
广义积分——精选推荐
§4 广义积分【目的要求】1、理解无穷型和无界型广义积分的概念；2、熟练掌握广义积分的求法；3、了解Γ函数的概念与性质． 【重点难点】1、无穷型和无界型广义积分的定义；2、无穷型和无界型广义积分的求法． 【教学内容】前面我们讲的定积分()d ba f x x ⎰是在下述条件下讨论的：(1) 积分区间[],a b 有限；(2) 被积分函数()f x 在[],a b 上有界.然而，在实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数在有限积分区间上为无界函数的积分. 因此，有必要将定积分加以推广，引入广义积分的概念.一、无穷限的广义积分定义 4.1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，取u a >，如果极限lim ()d uau f x x J →+∞=⎰存在，则此极限J 为函数()f x 在[,)a +∞上的广义积分或反常积分. 记作()d lim ()d uaau J f x x f x x +∞→+∞==⎰⎰.此时，我们称广义积分()d af x x +∞⎰存在或收敛；如果上述极限不存在，称()d af x x +∞⎰发散.类似地，可定义函数()f x 在(],b -∞上的广义积分为：()d l i m ()dbbuu f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰. 如果上述极限存在，则称广义积分()d b f x x -∞⎰收敛；否则称为发散.也可定义函数()f x 在(),-∞+∞上的广义积分. 称()d f x x +∞-∞⎰为收敛的，当且仅当广义积分()d c f x x -∞⎰与()d cf x x +∞⎰均收敛，且()d ()d ()d c cf x x f x x f xx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰（c 为实数）. 当()d c f x x -∞⎰与()d cf x x +∞⎰中至少有一个发散时，则称广义积分()d f x x +∞-∞⎰为发散的.例 1 设p 为常数，试讨论11d p x x+∞⎰的敛散性. 解 当1p =时，11111d lim d lim ln lim ln ln1u uu u u x x xu xx +∞→+∞→+∞→+∞===-=+∞⎰⎰（不存在）.所以，11d x x+∞⎰是发散的. 当1p ≠时，1111111d lim d lim 1u p up p u u x x x x x p +∞-+→+∞→+∞==-+⎰⎰ =111lim11p u u p p-+→+∞--+- 因为10p -+>，即1p <，1lim p u u -+→+∞=+∞.而10p -+<，即1p >时，1lim 0p u u -+→+∞=.所以，当1p <时，11d p x x +∞=+∞⎰，即11d p x x+∞⎰是发散的. 1p >时，111d 1p x x p+∞=-⎰，即11d p x x +∞⎰是收敛的. 综上所述：当1p ≤时，广义积分11d p x x +∞⎰发散；当1p >时，广义积分11d p x x+∞⎰收敛，且其值为11p-. 由无穷区间广义积分的定义，可知无穷区间广义积分的计算是一般在计算定积分()d ba f x x ⎰之后再求极限. 若极限存在，则收敛；若极限不存在，则发散.另外，为了书写方便，在具体计算中，可以将无穷区间上的广义积分的积分限看作+∞或-∞，即()d ()()()lim ()()a a x f x x F x F F a F x F a +∞+∞→+∞==+∞-=-⎰，()d ()()()()lim ()bb x f x x F x F b F F b F x +-∞-∞→-∞==--∞=-⎰，其中，()F x 为()f x 的一个原函数.例 2 计算21d 1x x+∞+⎰. 解201d arctan lim arctan arctan 0012x x x x x π+∞→+∞+∞==-=+⎰. 例 3 计算0d x xe x +∞-⎰.解d d (d )xxx x x e x x e x ee x+∞+∞+∞---+∞-=-=--⎰⎰⎰=0lim 0lim 11x xx x x xe e xe --+∞-→+∞→+∞--=-+=.例 4 计算22arctan d 1xx x+∞-∞+⎰. 解22202220arctan arctan arctan d d d 111xx x x x x x x x +∞+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰.而 20332arctan 11d arctan 0()133224x x x x ππ-∞-∞==--=+⎰，23302arctan 11d arctan ()0133224x x x x ππ+∞+∞==-=+⎰， 故22a r c t a n d 1242412x x x πππ+∞-∞=+=+⎰. 二、无界函数的广义积分定义 4.2 设函数()f x 在区间(,]a b 上连续，而lim ()x af x +→=∞，任取0ε>，如果极限lim ()d ba f x x J εε++→=⎰存在，则此极限J 为函数()f x 在(],a b 上的广义积分，记作()d b af x x ⎰，即()d baf x x ⎰=0lim ()d ba f x x J εε++→=⎰.此时，我们称广义积分()d baf x x ⎰收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分()d baf x x ⎰发散.类似地，对于函数()f x 在[),a b 上连续，而lim ()x bf x -→=∞的广义积分为： 0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰.如果上述极限存在，则称广义积分()d b af x x ⎰收敛；否则称为发散.对于函数()f x 在区间[,]a b 上除x c =，a c b <<外均连续，而lim ()x cf x →=∞的广义积分()d b af x x ⎰为收敛，当且仅当广义积分()d c af x x ⎰与()d bcf x x ⎰均收敛，且()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.当()d caf x x ⎰与()d bcf x x ⎰中至少有一个发散时，则称广义积分()d b af x x ⎰为发散的.例 5 计算广义积分32x ⎰. 解 函数()f x =(]2,3上连续，而2limx +→=∞，任取0ε>， 33220limx x εε++→=⎰⎰0lim εε++→=0l i m 2ε+→==. 即广义积分32x ⎰收敛于2. 例 6 计算广义积分10ln d x x ⎰.解 函数()ln f x x =在区间(]0,1内连续，而0lim ln x x +→=-∞，任取0ε>，1100ln d lim ln d x x x x εε++→=⎰⎰10l i m (l n )x x x εε+→=- [][]0ln11lim ln εεεε+→=---，其中 0l i m l n 0εεε+→= 所以1l n d 1xx =-⎰.例 7 证明广义积分d ()bqaxx a -⎰当01q <<时收敛；当1q ≥时发散. 证 当1q =时，d d ln()()()bb b a q aa x xx a x a x a ==---⎰⎰ ln()lim ln()x ab a x a +→=---=+∞.当1q ≠时，11(),01,d ()1()1, 1.qqbbaq ab a q x x a q x a qq --⎧-<<-⎪==-⎨--⎪+∞>⎩⎰因此，当01q <<时，此广义积分收敛，其值是1()1qb a q ---；当1q ≥时发散.例 8 考察131d x x -⎰. 解 被积函数在区间[)(]1,00,1- 内连续，0x =处为无穷间断点. 利用定义101333110d d d x x x x x x --=+⎰⎰⎰， 其中 _03321100d d 111lim lim ()22x x x x εεεε---→→⎡⎤==-+=-∞⎢⎥⎣⎦⎰⎰， 所以031d xx -⎰发散，同理130d x x ⎰也发散. 因此广义积分131d x x -⎰发散. 注意：如果不注意到031d xx-⎰的被积函数在0x =处为无穷间断点，会发生如下错误：131d 0xx -=⎰.三、Γ函数定义 4.3 广义积分10d x xe x α+∞--⎰ (0)α>，作为参变量α的函数，称为Γ函数，记为()αΓ，即10()d x x e x αα+∞--Γ=⎰.可以证明0α>时，()αΓ收敛.Γ-函数是概率论中一个重要函数，并有下列性质：性质 1 (1)1Γ=.性质 2 (1)()αααΓ+=Γ. 性质 3 n 为自然数，(1)!n n Γ+=.性质 4 1()2Γ=下面我们证明之.证 显然，0(1)d 1x e x +∞-Γ==⎰.由分部积分公式(1)d d()(d )x x xx x e x x e x e e x ααααα+∞+∞+∞---+∞-Γ+==-=--⎰⎰⎰=10d x x xe e ax x αα+∞-+∞---+⎰ =10d x x x ee x x ααα+∞-+∞---+⎰，利用洛必达法则，可得0lim 00x x x x e x e αα-+∞-→+∞=-=，所以10(1)d ()x x e x ααααα+∞--Γ+==Γ⎰.当α为自然数时，性质3成立. 性质4将在后面章节中证明.例 8 计算下列积分：(1)2d xe x +∞-⎰； (2)20d x x -⎰.解 (1) 利用1()2Γ=，即120d xx e x +∞--=⎰.令12t x -=，则2x t =，d 2d x t t =. 得2102d t t e t t +∞--=⎰22d t e t +∞-=⎰2d xe x +∞-⎰=.(2) 令2t x =，则2t x =，d d 2tx =. 于是200d 3d d ()2442x t t t x t ---===Γ⎰⎰⎰1()2==。
5.4广义积分
1 0 p 1 ( )
二、无界函数的反常积分
b
定义
f ( x ) 在 (a , a ) 无界 ,
b
f ( x ) dx a f ( x ) dx lim a 0
b
右端极限存在 , 则称 反常积分 (瑕积分 ) f ( x ) dx 收敛 , 广义积分 否则称 f ( x ) dx 发散 .
a b a
a f ( x ) dx s
f ( x ) dx
b
y f ( x)
f ( x ) 在 (b , b) 无界 ,
a f ( x ) dx lim 0 a
定义
b
b
s a a
b
b
x
右端极限存在 , 则称广义积分 反常积分 (瑕积分) a f ( x ) dx 收敛 ,
F (a ) c ,
F (a ) 与 a 无关 .
2 . 设 f (t ) 连续且为奇函数 , 证明 f (t ) dt 是偶函数 ; 设 f (t ) 连续且为偶函数 , 证明 f (t ) dt 是奇函数 .
0 0 x
x
证 . 设 F ( x ) f (t ) dt
试卷I.
eu 1 ~ u u 0
u x ln( 1 x sin x ) 0
x ln( 1 x sin x ) lim x 0 x3
ln( 1 u) ~ u u 0
u x sin x 0
x sin x lim 1 2 x 0 x
a
又 f (t T ) f (t )
f ( t )dt f ( x )dx
0
无穷限的反常积分
f ( x)dx F( x) F() F(a),
a
a
F () lim F ( x).
x
b
b
f ( x)dx F ( x) F(b) F(),
F () lim F ( x).
x
f ( x)dx F( x) F() F().
6
例
计算反常积分
1
dx x
2
.
解
1
dx x2
20
例
求
1
0
1
1dx x
解 lim1
x0 x
x 0为瑕点.
11 dx
0x
ln
x
1 0
0
lim
x0
ln
|
x
|
1 1dx 1 x
也发散.
发散.
注 错误的做法:
1 1 dx
1 x
ln x
1 1
0.
21
0, 例 已知 f ( x) 121x, ,
x 0 试用分段函数表示
0 x2 x
b
f (x)dx
f ( x)dx
f ( x)dx
a
无界函数的反常积分(瑕积分)
b
f ( x)dx
a
注意
1. 不要与常义积分混淆;
2. 不能忽略内部的瑕点.
23
思考题
积分 1 ln x dx的瑕点是哪几点？ 0 x1
解答
积分 1 ln x dx 可能的瑕点是 x 0, 0 x1
x1
lim ln x lim 1 1, x1 x 1 x x1
c点为f ( x)的瑕点,(即lim f ( x) ).如果
x c
高等数学同济大学版5.4广义积分
上与x轴围成的图形面积是多少？
答：
A
lim
b
1
1 b
1
1 1 x2 dx
无穷限的广义积 分，和定积分有 类似的几何意义
无穷限的广义积分
定义1 设函数 f ( x)在区间[a,)上连续, 如果极限
b
lim f ( x)dx
b a
存在, 则称此极限为 f ( x) 在[a,)上的广义积分(又称为
而在点c的邻域内无界, 则函数 f ( x)在区间[a,b] 上的广义
积分定义为
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx,
b
当上式右端两个积分都收敛时, 称广义积分 f ( x)dx是收敛的, a b
否则, 称广义积分 f ( x)dx 是发散的. 无界函数的广义积分又 a
*第四节 广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结 思考题
1
引例 求函数 y x2 在区间 [1, b]上与x轴围成的图形面积.
y
1
y x2
根据定积分的几何意义,
所求面积A 为
O1
b b x
A
b 1
1 x2
dx
1 x
b 1
1 1. b
1 问：当 b 时，函数 y x2 在区间 [1, )
无穷积分,下同), 记为 f ( x)dx a
b
即 f ( x)dx lim f ( x)dx;
a
b a
b
此时, 就说广义积分 f ( x)dx收敛, 若极限 lim f ( x)dx
a
b a
不存在, 则称广义积分 f ( x)dx 发散. a
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+∞
1 dx 2 x
+∞ 1
1 = −( lim −1) = 1 x→+∞ x
例２ ∫
1 − x2 − e 2
.
+∞
−∞
+∞
xe
1 +∞ − x 2 dx = − ∫ e d ( − x 2 ) = ? 2 −∞
−∞
1 1 − x2 − x2 = − [ lim e − lim e ] = − (0 − 0) = 0 x → −∞ 2 x → +∞ 2
5.4 广义积分
积分区间为无穷区间的积分
主要内容
5.4.1 无穷区间上的积分
引例
y
y = e−x与 x 轴、 由曲线
y = e−x
1
y 轴所“围成”的开口图 轴所“围成” 开口图
形的面积A如何求？ 形的面积 如何求？ 如何求
A
0
x
?
基本思想： 基本思想： 在 [0, +∞) 上任取一点 b ，先 −x y 求由 y = e 与 x 轴、 轴及 x = b 所围成的曲边梯形的面积， 所围成的曲边梯形的面积，即求 b 闭区间 [0, b]上的定积分∫ e−xdx,
−x
例３ xe dx = − ∫ ∫0
= − lim xe − 0
x → +∞
+∞
+∞
(
−x
)− e
− x +∞ 0
0
xde
−x
xe − x +∞ − +∞ e − x dx =− ∫0 0
x → +∞
= 0 − ( lim e− x − 1) = 1
＊例
1 的收敛性 讨论广义积分 ∫ dx 1 xp +∞ 1 +∞ 1 +∞ 当 p = 1时，∫ dx = ∫ dx = ln | x | = +∞ p 1 x 1 x 1 当 p ≠ 1时，
∫
a
∫
+∞ a
f (x)dx = lim ∫ f (x)dx
b→+∞ a
+∞
b
这时也称广义积分 ∫ a f (x)dx 收敛；如果上述 收敛； +∞ 极限不存在， 发散． 极限不存在，则称广义积分∫ f (x)dx 发散．
a
类似地， 类似地，
∫
∫
b −∞
f ( x ) dx = lim
a →−∞
∫
x→+∞
x→−∞
∫
∫
+∞ a
b
f ( x ) dx = F ( x )
f ( x ) dx = F ( x )
+∞ a
b −∞
+∞
= lim F ( x ) − F ( a )
x → +∞
− ∞
= F ( b ) − lim F ( x )
x → −∞
x → +∞ x → −∞
∫
+∞ −∞
f ( x ) dx = F ( x ) − ∞ = lim F ( x ) − lim F ( x )
1 +∞ 1 dx = ∫−∞ x 2 + 2 x + 2 ∫−∞ 1 + (1 + x) 2 d (1 + x)
+∞ = [arctan(1 + x)]−∞ = lim arctan(1 + x ) − lim arctan(1 + x ) x → +∞ x → −∞ π π = − (− ) = π
＋∞
例
求 ∫ ln xdx
1
+∞
∫
+∞
1
轴围成的面积， ln xdx 表示由曲线 f (x) = ln x 与 x 轴围成的面积，
当 x ≥ 1 时,函数 f (x) = ln x 函数 单调增加， 单调增加，即 A = ∫1 ln xdx = +∞． 因此
+∞
+∞
A
∫
+∞
1
发散． ln xdx 发散．
2
2
∫
∫
+∞ −∞
c
f ( x ) dx 收敛的充要条件是: 收敛的充要条件是:
f ( x ) dx 与
−∞
∫
+∞
c
同时收敛. f ( x ) dx同时收敛.
若F ′( x) = f ( x) 并记
F(+∞) = lim F(x), F(−∞) = lim F(x)
则三种无限区间的广义积分可形式上写成
0
y
∫
b
0
e−xdx,
y = e−x
1
0
b → +∞
x
然后再让 b →+∞ ，所得的极限即为所求开口图 b −x y = e−x 在区 形的面积． 形的面积．我们把 lim ∫ e dx 称为函数 上的广义积分． 间 [0, +∞)上的广义积分．
b→+∞ 0
定义１ 定义１ 设函数 f (x) 定义在区间 [a, +∞)上，任取 b > a ,如 如 b 存在， 果极限 lim ∫ f (x)dx 存在，则称此极限为函数 f (x) b→+∞ a [a, +∞)上的广义积分，记作 +∞ f (x)dx ， 上的广义积分 广义积分， 在无穷区间 即
1− p 1− p
+∞
1 当p ≤ 1时， p dx发散； ∫１ x ＋∞ 1 1 当p > 1时, ∫１ x p dx收敛于 p − 1
+∞， p < 1 +∞ 1 x +∞ x 1 ∫1 x p dx = 1− p 1 = xlim 1− p − 1− p = 1 ， p >1 →+∞ p −1
b a
f ( x ) dx
上的广义积分 定义为函数 f (x)在区间 (−∞, b] 上的广义积分. 广义积
+∞ −∞
f ( x ) dx = ∫− ∞ f ( x ) dx +
c
∫
+∞ c
f ( x ) dx c ∈ ( −∞,+∞ )
定义为函数
f ( x) 在区间
上的广义积 广义积分 (−∞, + ∞) 上的广义积分.
−x
+∞ −x
例1 e dx = − ∫ e d (− x) = − e ∫0 0
− lim e − x − 1 = − (0 − 1) = 1
x → +∞
+∞
(
)
[ ]
− x +∞ 0
=
练习 练习
求 求∫
∫
1
0 −∞
e dx
x
∫
∫
1
0 −∞
exdx = ex
0 −∞
= 1− lim ex = 1