-广义积分
广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
20-广义积分 (1)
例1
计算 x ex2 d x . 0
解
x ex2 d x lim A x ex2 d x
0
A 0
令 u x2
lim
A
1 2
A2 eu d u
0
lim
A
1 2
(eu
)
A2 0
lim (
A
1 eA2 2
1 2
)
1 2
.
能否将这里的书 写方式简化？
为书写方便起见，若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则约定
b f (x) d x lim b f (x) d x ,
a
0 a
称之为函数 f (x) 在[a, b] 上的瑕积分 .
若式中极限存在 , 则称该瑕积分收敛 , 极限值即 为瑕积分值 ; 若式中极限不存在 , 则称该瑕积分发散 .
类似地，可定义
(1) 当x b 为瑕点时 ,
b f (x) d x lim b f (x) d x .
a
(5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算 .
(6) 若在[a, ) 上 f (x) g(x) , 则 f (x) d x g(x) d x .
a
a
二、瑕积分 ——无界函数的广义积分
1. 瑕积分的概念
(1) 瑕点的概念
0，若函数 f (x) 在 Uˆ (x0 , )内无界，则称点 x0 为
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
(1) b f (x) d x lim b f (x) d x (B b) .
B B
(2) f (x) d x c f (x) d x f (x) d x
10广义积分
在 0 使得对任意 a a , b b ， f ( x)dx I ，则记
lim a f ( x)dx a
b
b
f ( x)dx 。否则称 f ( x)dx 发散。
a
b
注 10.1.2 ： 如 果 函 数 f : (a, b)
第 4 页 / 共 10 页
10.3 广义积分的收敛性 判断广义积分的收敛性是一个很重要的问题。由于广义积分是 Riemann 积分 随积分限变化时的极限，所以可以用判断函数收敛的办法来判断广义积分的 收敛性。 Cauchy 准则、 单调有界收敛定理、 夹逼定理是判定收敛的普遍方法， 对广义积分而言还有一个判别收敛的重要方法——比较法。 广义积分收敛的 Cauchy 准则 定理 10.3.1（广义积分收敛的 Cauchy 准则）
A A
lim
2A
sgn( x)dx lim A ，所以
A
x
sgn( x)dx 不收敛。
例 10.1.5：
0
e
dx 收敛当且仅当 0 。
第 2 页 / 共 10 页
解： e
0
A x
1 e A 1 A x , 0 , 0 ，所以 lim e dx 。■ dx 0 A A, 0 , 0
A f ( x)dx I
B
。
于是对任意 A, A (, min{ N , a}) ，
F ( A) F ( A)
A A
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A B
第五节 广义积分
1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:
2
1 x2
sin 1 dx x
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b1
sin
2
x
d
1 x
lim
b
cos
1 b x 2
lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y
1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
2
.
原式
arcsin x a
第九讲广义积分
第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。
数学分析中的广义积分和应用
在数学分析中，广义积分是一个重要的概念，是对一些函数在区间上的积分的推广。
它的应用广泛，涉及到很多领域的计算和解决问题。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及一些应用。
首先，我们来看广义积分的定义。
在实数轴上，如果一个函数f(x)在区间[a,b)上是可积的，且对于任意的a≤c<b，都存在lim(x->c)∫[a,x] f(t)dt存在，则称该广义积分为收敛的，记作∫[a,b) f(x)dx。
如果lim(x->c)∫[a,x]f(t)dt不存在，则称该广义积分是发散的。
广义积分的性质与普通积分类似，我们可以用线性性、单调性、积分中值定理等方法来进行计算和证明。
此外，广义积分也满足Cauchy准则，即对于任意的ε>0，存在一个常数M>0，使得当a≤c≤d<b且|∫[c,d] f(x)dx|≥M时，有|∫[c,d] f(x)dx|<ε。
这个准则的意义在于可以通过对广义积分加上一个足够小的区间上的柯西收敛项来确定收敛性。
广义积分的应用领域非常广泛。
首先是在物理学中的力学、电磁学等方面的应用。
例如，在力学中，我们常常需要计算粒子在各种运动状态下的能量，这就需要对速度函数或者加速度函数进行广义积分。
在电磁学中，我们需要计算电场、磁场引起的能量分布，同样需要对电场强度或磁感应强度进行广义积分。
另外，在概率统计学中，广义积分也有着重要的应用。
概率密度函数可以看作是一种特殊的函数，它的积分对应于其概率的累积分布函数。
通过对概率密度函数进行广义积分，可以计算某个随机变量落在某个区间内的概率。
此外，在经济学中，广义积分也有一些应用。
经济学中的利润函数、边际效益函数等都可以看作是对某种经济现象的描述，而对这些函数进行广义积分可以得到更加具体的结果，帮助我们理解和解决实际经济问题。
最后，广义积分在工程学、生物学、医学等领域也有着广泛的应用。
例如，在工程学中，我们常常需要计算某个工程问题的能量消耗或者材料消耗，这就需要对相应的能量函数或者材料函数进行广义积分。
定积分积分法与广义积分
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，而定积 分可以通过极限的思想推广到广义积分。
03
两者都涉及到积分的存在性和可积性，以及积分的 计算和性质。
定积分与广义积分的区别
定义域不同
定积分的定义域是有限的闭区间，而广义积分的定义域可 能是无限的区间或者无界点集。
积分结果可能不同
在定积分中，如果被积函数在闭区间上连续且在开区间上可积 ，则其积分值是确定的；而在广义积分中，即使被积函数在某
个区间上连续，其积分值也可能不存在。
意义不同
定积分主要用于计算面积、体积等数值结果，而广义积分则更 多地用于研究函数的性质和行为，例如函数的奇偶性、可导性
、收敛性等。
定积分与广义积分的应用场景
定积分的应用场景
在物理学、工程学、经济学等各个领域中，都需要用到定积分来计算各种量值，例如物体的质量、面积、体积 等。
换元法
通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分。
分部积分法
通过分部积分公式将两个函数的乘积转化为两个函数的积分之差。
广义积分的计算方法
无穷区间上的广义积分
通过将无穷区间分割成有限个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行积分， 最后取极限得到广义积分的值。
无界函数的广义积分
对于无界函数的广义积分，需要特别注意积分的上下限，以及在计算过程中对无 界点的处理。
广义积分的性质
01
线性性质
广义积分具有线性性质，即对于两个 函数的和或差的积分，可以分别对每 个函数进行积分后再求和或求差。
02
区间可加性
对于函数在两个区间上的积分，如果 这两个区间有重叠部分，则该函数在 这两个区间上的积分之和等于在重叠 区间上积分的两倍。
03
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。
它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。
广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。
在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。
定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。
如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。
当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。
但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。
有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。
为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。
广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。
广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。
对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。
对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。
广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。
函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。
如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。
广义积分在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。
在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。
广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。
7.7反常积分-广义积分
7.7 反常积分——广义积分黎曼定积分的局限性，积分区间是一个有限区间而且被积函数必定是有界的，对许多问题这不够用。
一、 积分区间无界的广义积分——无穷积分1、 定义 （1）设函数f 在),[+∞a 是有定义，对任何a b >，函数f 在[]b a ,上均可积。
这时，⎰badx x f )(存在，⎰b adx x f )(是b 的函数，如果极限⎰∞→bab dx x f )(lim 存在且有限，那么就把这个极限值记作⎰∞adx x f )(并称上述积分收敛。
⎰⎰∞→∞=bab adx x f dx x f )()(lim 。
如果极限⎰∞→bab dx x f )(lim 不存在，同样也使用符号⎰∞adx x f )(，这时称⎰∞adx x f )(发散。
（2）f 在],(a -∞上有界定义，对任何a A <，f 在[]a A ,上可积，⎰aAdx x f )(存在，如果⎰-∞→aA A dx x f )(lim 存在且有限，记I dx x f a=⎰∞-)(称⎰∞-adx x f )(收敛如果⎰-∞→aAA dx x f )(lim 不存在，称⎰∞-a dx x f )(发散。
（3）f 在),(∞-∞上有定义，对任何实数B A B A <>,0,，f 在[]B A <上可积，任取R a ∈，如果⎰∞-adx x f )(，⎰+∞adx x f )(都收敛，那么说无穷积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛，并且，规定⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=aa dx x f dx x f dx x f )()()(，也称f 在),(∞-∞上可积。
如果⎰∞-adx x f )(，⎰+∞a dx x f )(中至少有一个发散，这时就称⎰+∞∞-dx x f )(发散。
⎰+∞∞-dx x f )(收敛⇔⎰∞-adx x f )(，⎰+∞adx x f )(均收敛⇔⎰⎰+∞→-+∞→B aB aAA dxx f dx x f )(,)(lim lim 均存在且有限。
广义积分中定理证明公式
广义积分中定理证明公式广义积分是数学分析中的一个重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在这篇文章中，咱们就来好好聊聊广义积分中的定理证明公式。
咱先来说说广义积分到底是啥。
广义积分其实就是把普通的定积分的概念进行了扩展。
比如说，有些函数在某个区间上的积分，按照常规的定积分没法直接算，但通过广义积分的方法就能处理。
比如说，咱们来看一个简单的例子。
假设咱们有个函数 f(x) = 1/x，要在区间[1, +∞) 上积分。
按照常规的定积分，这没法直接算，因为积分上限是无穷大。
但通过广义积分，咱们就能想办法处理它。
在广义积分中，有几个重要的定理和证明公式，咱们一个一个来看。
先来说说比较判别法。
这个判别法就像是一个筛选器，能帮咱们判断一个广义积分到底是收敛还是发散。
比如说，如果咱们有两个函数f(x) 和 g(x)，在某个区间上满足一定的条件，然后通过比较它们，就能知道对应的广义积分的情况。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都理解不了。
我就给他举了个特别形象的例子。
我说，想象你在跑步，f(x) 就像是你的速度，g(x) 就像是你旁边那个人的速度。
如果你的速度一直比他快，而且他最后能跑到终点，那你肯定也能跑到终点；反过来，如果他一直跑不到终点，那你也没戏。
这一下子，那学生就恍然大悟了。
再来说说绝对收敛和条件收敛。
这俩概念有时候也能把人绕晕。
简单来说，如果一个广义积分的绝对值的积分是收敛的，那这个广义积分就是绝对收敛；如果广义积分本身收敛，但绝对值的积分不收敛，那就是条件收敛。
就像有一次，我在课堂上让学生们自己思考一个例子，然后有个学生就想出了一个特别巧妙的函数，通过这个例子，大家对这两个概念的理解一下子就深刻了好多。
还有柯西判别法，这个方法也特别有用。
通过函数在无穷远处的行为，就能大致判断出积分的情况。
在学习广义积分的定理证明公式的过程中，大家可别被那些复杂的符号和式子给吓住了。
多做几道题，多想想例子，慢慢地就能掌握其中的精髓啦。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
定积分-广义积分
+∞ ∫1
dx
例4 解
I=
∫
+∞ p t te 0
d t ( p > 0 ).
t p t + ∞ 1 +∞ p t I= e + ∫0 e dt p 0 p
=
1 p
2
e
pt
+∞ 1 = 2 0 p
1+ x b 2x +∞ 2 x d x= lim ∫ 0 dx 解 因∫ 0 2 2 b→ +∞ 1+ x 1+ x = lim ln(1 + x 2 ) b = +∞ 0
b
b
x →a
lim f ( x ) = ∞ , 取 ε > 0, +
存在 , 则称I为f (x) 在
b
(a , b]上的广义积分, 记作
称 ∫ f ( x ) d x 收敛 ; 若极限I不存在, 称 ∫ f ( x ) d x 发散 .
a a
b
∫a f ( x ) dx = ε lim+ ∫a +ε f ( x ) dx →0
b
x →b
2. 若 f ( x ) ∈ C [a , b ) , lim f ( x ) = ∞ , 则定义
b ∫a
f ( x ) dx =
b ε lim ∫a ε → 0+
f ( x ) dx
3. 若 f ( x ) 在 [a , b]上连续 （除点 c (a < c < b ) 外） ,
lim f ( x ) = ∞ , 则定义
+
问题：F (c )与F (c )相等吗？
二、典型例题
例1 曲线 y =
8-1 广义积分的概念与计算
在区间[a, b)上的广义积分，
b
记作 f ( x)dx lim
b f ( x)dx .
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点c (a c b)外连
续，而在点c 的邻域内无界.如果两个广义积分
算广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ；
2、
dx
；
x2 2x 2
3、 x ne xdx （ n 为自然数 ）；4、 2 dx ；
0
0 (1 x)2
5、 2 xdx ；
1 x1
6、 x ln x dx ；
第一节 反常积分的概念与计算
• §1 无穷限的广义（反常）积分 • §2 无界函数的广义（反常）积分 • §3 小结
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷 区间[a,) 上 的广义 积
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
cos
2
广 义 积 分
广义积分
前面介绍的定积分有两个限制条件：积分 区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某 些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在 有限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以 推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间 的广义积分和无界函数的广义积分两类.
一、 无穷区间的广义积分
定义2
二、 无界函数的广义积分
【例35】
二、 无界函数的广义积分
【例36】
二、 无界函数的广义积分
【例37】
二、 无界函数的广义积分
【例38】
பைடு நூலகம்
二、 无界函数的广义积分
二、 无界函数的广义积分
由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整 数n
Γ(n+1)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)
以及∫baf(x)dx收敛和发散的概念.
(6-13)
二、 无界函数的广义积分
定义5
设f(x)在区间［a,b］上除点c(a<c<b) limx→cf(x)=∞，如果两个广义积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx 都收敛，则称广义积分∫baf(x)dx收敛
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx; (6-14) 否则，称其没有意义或发散.
∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx, (6-12) 此时称广义积分∫baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分 ∫baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.
类似地，可定义f(x)在区间［a,b) ∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx
数学分析-第十一章-广义积分
证
e pxdx a
e px p
a
e ap p
,
,
p0
p0
即当 p 0 时,收敛;当 p 0 时发散.
2020/10/13
12
例5
证明广义积分
1
1 xp
dx
①当 p 1时收敛，
②当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
a
f
( x)dx.
b
a
f
( x)dx
lim
b a
f
( x)dx
当极限存在时，称广义
积分收敛；当极限不存
在时，称广义积分发散.
问: f(x)在 (-∞ b]上的反常
积分如何计算？
2020/10/13
y f (x)
6
b
类似地，设函数 f ( x) 在区间(, b] 上连续，取
a
b
，如果极限 lim a
x+dx dx
x
x
R
4
设 火 箭脱 离 地 球 引 力 范 围 至 少必 须 的 初 速 度 为v0 , 则 根据机械能守恒定律, 有
动能 解之得:
1 2
m
v 02
mgR
克服引力作功
v0 2gR，
将 g 9.8103 km / 秒2, R 6371km 代入即得
v0 11.2km / 秒 — —第二宇宙速度.
时，称广义积分发散.
2020/10/13
y f (x)
b 15
设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点c (a c b)外连
第9章广义积分
322第九章 广义积分引言在Riemann 积分（常义积分）中，有两个先决条件：1、被积函数有界；2、积分限有限。
上述两个条件，极大限制了常义定积分所能揭示的含义，限制了积分所能表达的自然现象，也就限制了定积分的应用范围，这就要求人们从更广的角度考虑积分理论。
事实上，从理论层面上看，当建立一套基本理论之后，人们会不断去掉各种条件的限制，尽可能扩大理论的外延，以便涵盖更多的东西，丰富其内涵。
因此，从理论上，提出Riemann 常义积分后，不可避免地考虑这样的问题：能否去掉上述两个限制条件？去掉上述两个条件后，会发生什么现象？从应用角度看：定积分的产生源于实践，用于解决人类改造自然过程中出现的实际问题，如计算面积、做功等。
但实践中，确实又涌现出更多的实际问题，要解决这些问题，必须突破上述两个限制条件。
如计算由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低速度—第二宇宙速度（0v =11.2Km/s ）时，需要计算克服地球引力F(r) 所做的功()RW F r dr +∞=-⎰，其中，F （r ）为物体在r 处所受的地球引力，R 为地球半径。
再如，封闭曲线所围的平面图形的面积能够用定积分计算，那么，诸如曲线y =、1y x =以x 轴为渐近线，因此，它们与x轴及直线x =0和x=1所围图形几乎是封闭的图形，这样的图形面积存在吗？如何计算？如果延用定积分理论，曲线y =与x 轴及直线x =0和x=1所围图形的面积应为1S =⎰。
显然，上面涉及到的两个积分都涉及到突破定积分两个条件的限制的问题，不再是常义（Riemann ）定积分。
因此，不论从实践上，还是从理论上，都要求我们突破Riemann 积分两个先决条件的约束，将Riemann 积分推广到一个新的高度。
这就是广义积分（反常积分）。
323§1 无穷限广义积分本节，我们突破常义积分的积分限有界的限制条件，引入无穷限广义积分的概念。
一、定义从定积分的几何意义――平面区域面积的计算谈起。
广义积分
第十章 广义积分§1 无穷限的广义积分定积分()baf x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[],a b 是有限区间；其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。
这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中都要去掉这两个限制，把定积分的概念拓广为：（i ）无限区间上的积分；（ii ）无界函数的积分。
一、无穷限广义积分的概念定义1 设()f x 在[,)a +∞上有定义，且对于任意的A ()A a >在区间[],a A 上可积。
当极限lim()AaA f x dx →+∞⎰存在时，称这极限值I 为()f x 在[,)a +∞上的广义积分。
记作()lim()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰。
如果上述的极限不存在，就称()af x dx +∞⎰发散。
类似可定义()af x dx -∞⎰。
当()af x dx -∞⎰和()af x dx +∞⎰都收敛时，就称()f x dx +∞-∞⎰收敛，并且有()()()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰。
这是显然有：()()''limAA A A f x dx f x dx +∞-∞→+∞→+∞=⎰⎰。
如果上述的极限不存在，就称()f x dx +∞-∞⎰发散。
定理1 如果()f x 在[),a +∞连续，()F x 是()f x 的原函数，则()()()af x dx F F a +∞=+∞-⎰。
例：讨论1pdxx +∞⎰的收敛情形。
无穷限积分的性质性质1 若函数)(x f 在[),a +∞上可积，k 为常数，则)(x kf 在[),a +∞上也可积，且()()aakf x dx k f x dx ++∞=⎰⎰。
即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。
广义积分中值定理和狭义的区别
广义积分中值定理和狭义的区别1. 定义区间不同- 狭义积分中值定理：适用于闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，存在ξ∈[a,b]，使得∫_{a}^bf(x)dx = f(ξ)(b - a)。
- 广义积分中值定理：积分区间可以是无穷区间（如[a,+∞)、(-∞,b]、(-∞,+∞)）或者是无界函数在有限区间上的积分（瑕积分）情况。
2. 定理条件不同- 狭义积分中值定理要求函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。
- 广义积分中值定理在处理无穷区间广义积分时，要求函数f(x)在相应无穷区间上广义可积；对于瑕积分情况，要在除瑕点外的区间上满足一定的可积性和连续性等条件，并且在广义积分收敛的前提下才有相应的中值定理结论。
3. 中值取值范围不同- 狭义积分中值定理中ξ是闭区间[a,b]内确定的一个值。
- 广义积分中值定理中，对于无穷区间广义积分，中值ξ的取值范围是与无穷区间相关的某个区间（例如在[a,+∞)上的广义积分，ξ可能在[A,+∞)中的某个值，A≥slant a）；对于瑕积分，ξ在去除瑕点后的某个合适区间内取值。
4. 结论形式有差异- 狭义积分中值定理结论形式比较简单直接，是∫_{a}^bf(x)dx = f(ξ)(b - a)这种乘积形式。
- 广义积分中值定理结论在形式上要根据广义积分的类型（无穷区间广义积分或瑕积分）进行调整，例如对于∫_{a}^+∞f(x)g(x)dx（其中f(x)单调有界，g(x)在[a,+∞)上可积），存在ξ∈[a,+∞)，使得∫_{a}^+∞f(x)g(x)dx = f(a)∫_{a}^ξg(x)dx+f(+∞)∫_{ξ}^+∞g(x)dx（这里f(+∞)=lim_{x→+∞}f(x)），形式相对复杂，要考虑函数在无穷处的极限等因素。
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例1 解
计算
0
xe
x2
d x.
0
xe
x2
d x lim
A
A 0
xe
x2
dx
令 u x2
1 A2 u lim e d u A 2 0 1 lim (e u ) A 2
A2 0
能否将这里的书 写方式简化？
1 A2 1 lim ( e ) A 2 2 1 . 2
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f ( x) 在 [a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f ( x) R( [a, A] ) . 记
a
f ( x) d x lim
A
A a
0
0
cos x d x sin x
x
lim sin x sin 0 ,
由于 lim sin x 不存在，故原积分
x 0
cos x d x 发散 .
例5 解
dx a x p (a 0) 的敛散性， 其中P 为任意常数. 讨论 P－积分
当 P 1 时:
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
f ( x) d x .
c
f ( x) d x f ( x) d x [ f ( x) g ( x)] d x u ( x)v( x) d x u ( x)v( x)
c
f ( x) d x
cR.
a
f ( x) d x
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
g ( x) f ( x) 0，
则 (1) 当 ( 2) 当
a a
g ( x) d x 收敛时，积分 f ( x) d x 发散时，积分
a a
f ( x) d x 也收敛 . g ( x) d x 也发散 .
F (b) lim F ( x) .
x
lim F ( x) lim F ( x) .
x x
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例2
计算
0
0
dx . 2 1 x
0
解
dx arctan x 2 1 x
x
1 2 d x 1 t 故 dt , 4 0 1 x 2 0 t2 1 t2 1 1 令 u t , 则 d u (1 2 ) d t , t t 1
且 t : 0 时， u : , 从而,
0
dx 1 d u 4 1 x 2 u 2 2
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
与级数的情形类似, 比较判别法也是判别无 穷积分 敛散性的重要方法. P 积分是重要的比较标准 之一 .
例9 解
判别无穷积分
3
1
dx 的敛散性. 4 x 1
由于
0
3
1 4 x 1
1 1 3 x4/3 x4
4 而 p 1 的 P 积分 3
1 x
4/3
1
d x 收敛 , 故
无穷积分
3
1
dx 收敛 . 4 x 1
读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.
二、瑕积分 ——无界函数的广义积分
1. 瑕积分的概念
(1) 瑕点的概念
ˆ ( x0 , ) 内无界，则称点x0 为 0，若函数 f ( x) 在 U
1 1 u arctan 2 2 2
1 1 . 2 2 2 2 2 2
3. 无穷积分敛散性的判别法
实际上, 我们可以将无穷积分的 定义式写成下面的形式 :
a
f ( x) d x lim
x
x a
f (t ) d t ; f (t ) d t .
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a
dx ln | x | x
a
lim ln | x | ln a ,
x
故 p 1 时， P 积分发散 .
当 P 1 时:
a
d x x1 p x 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1, p 1.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十七讲 广义积分
主讲:岑利群
第五节 广义积分 一、无穷区间上的积分
二、瑕积分
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界
函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计
算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广.
证
(1) 若积分
a
g ( x) d x 收敛 ，则下列极限存在
x
lim
x a
f (t ) d t I .
由于有极限的量在该极 限过程中必有界 , 故可知
G ( x) g (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 .
a
x
由 a x 时, 0 f ( x) g ( x) 得
若 0 , f ( x ) R ( [ a , b] ) , 记
b a
f ( x) d x lim
0
b a
f ( x) d x ,
称之为函数 f ( x) 在 [a, b] 上的瑕积分 .
若式中极限存在 , 则称该瑕积分收敛 , 极限值即 为瑕积分值 ; 若式中极限不存在 , 则称该瑕积分发散 .
1
ln x d x. 2 x
ln x
运用分部积分法
1 x
1 x2 1 x
ln x ln x 1 1 x 2 d x x 1 1 x 2 d x d x 罗 2 ln x 1 1 x lim lim 0 x x x x 1 1 x
a
a
g ( x) d x .
a
u ( x)v( x) d x .
(5) 无穷积分也可按照定积 分的换元法进行计算 .
(6) 若在 [a, ) 上 f ( x) g ( x) , 则
a
f ( x) d x
a
g ( x) d x .
例6 解
计算
发散
收敛
综上所述，
P－积分
a
dx (a 0) p x
P 积分当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散 .
2. 无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分 均存在，则
(1) ( 2) (3) ( 4)
a a a a
f ( x) d x
a
a
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
lim arctan x arctan 0
2
.
例3
解
计算
dx 1 x 2 .
dx 1 x 2 arctan x
lim arctan x lim arctan x
x x
2
(
2
)
y
.
O
1 1 y 1 x2
函数 f ( x) 的一个瑕点 .
1 例如： x a 是 f ( x) 的一个瑕点； xa
x 1 是 g ( x) ln(1 x 2 ) 的瑕点.
x a 是 h( x )
1 的瑕点. 2 2 x a
(2) 瑕积分的概念
设 f ( x) 在 (a, b] 上有定义 , x a 为其瑕点 .
为书写方便起见，若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，则约定
a b
f ( x) d x F ( x) f ( x) d x F ( x) f ( x) d x F ( x)
0
lim F ( x) F (a) .
x
b
x
例4
计算
0
x d x. 2 1 x
0
解
0
x 1 2 d x ln( 1 x ) 2 1 x 2
1 lim ln( 1 x 2 ) 0 x 2