2.4二次函数a.b.c的符号的确定

3.若抛物线y ax 2 bx c的图象 如图所示，则一次函数y=ax+bc 的图象不经过 。 y
。
y o
图2
x
o
图1
x
y a b c 0 （4）与直线x 1交点 y a b c 0 y a b c 0
y X=1
y a bc 0 y a bc 0
2
当m _____ 时，图象为抛物线； 1 当m _____ 时，抛物线开口向下； 1
当m _____0 时，抛物线经过原点。
6.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c y A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ； ④a+b-c＞0; ⑤ b=2a正确的个数是 （ ） C A、2个 B、3个
11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0） 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值 是 -2 .
7.抛物线y x 2 m 2）x （m 1 （ 3 ）的图象如下：（） 1 求m的取值范围（2）在（）的情况下， OB 6，求 1 OA C的坐标（3）求 AB ;(4)求SABC
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置： ① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴正半轴； ② c=0 ＜＝＞图象过原点； ③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。
练习： 指出下列二次函数与y轴交点的位置： 1.y=x 2 8x 7 2.y=-2x 2 9x 17 3.y=mx 2 kx-4k 2
为（2， 0），则它与x轴的另一个交点坐标为
。
巩固训练 1.如图，若a<0，b>0，c>0，则二次 2 函数 y ax bx c 的图象大致是( ) y y A o
y B o
x
C
o
x
x
D
o
x
2.若函数 y 2 x bx c 的顶点坐标 是(1，-2)，则b= ，c= 。
2
y
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
9.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。
y o x
y o x
y
o
x
训练题： 1.判断下列二次函数与x轴交点情况： （）y x 2x 2；(2) y 2 x x 3 1
2 2
(3)y x 2x 1
2
练习：填空 （1）函数y=ax 2 +bx +c（a 0）的函数值恒为正的 条件为： ， 恒为负的条件为： 。 。 （2）已知抛物线y=ax 2 +bx +c的图象在x轴的下方， 则方程ax 2 +bx +c 0的解的情况为 有 交点。 （3）二次函数y=ax 2 +bx +c中，ac<0，则抛物线与x轴
的两点横坐标为x1，x 2， 则抛物线 x 1 +x 2 的对称轴是直线x 2
y
O
x
3.若设抛物线上关于对称轴对称
例1.已知二次函数y ax 2 bx c，x与y的部分对应值如下， 则其图像与x轴的两个交点坐标分别为 。
x y
-1 15
1 3
2 0
3 -1
5 3
练1.已知二次函数y ax 2 bx c，x与y的部分对应值如下， 那么二次函数的对称轴为 ， x 2时，函数值为 当 。
y
y
.
能否说出 它们的增 减性呢？ . x
x
.
x
华东师范大学出版社
数学
– 结束
（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；
③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。
y o x
y o x
y
o
x
（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；
X y
-3 7
-2 0
0 -8
1 -9
3 -5
5 7
1.若二次函数y ax c，当x取x1，x（x1 x 2）时， 2
2
函数值相等，那么x=x1 +x 2时，y 轴为 。
。
2.若（2， 5），（4， 5）是抛物线上两点，则它的对称
2 3.若二次函数y （x 4） k与x轴的一个交点坐标 2
y C
A
o
B
x
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析
作业：
2
1.已知抛物线y x （m 1）x （m 1），求证： 2 2 无论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。
o
x
y a bc 0
y a b c 0 与直线x 1交点 y a b c 0 y a b c 0
y
y a b c 0 y a b c 0
o
y a b c 0
x
X=-1
练习： 二次函数y ax 2 bx c的图象如图，用(<,>,=)填空: a 0，b 0，c 0，a+b+c 0，a-b+c 0，
3.已知二次函数 y ax bx c 的图 象如图所示，则一次函数 y bx ac 的图象不经过第 象限。 y
2
o
x
4.若抛物线 y (m 1) x 2mx m 3 位于x轴上方,求m的取值范围.
2
已知 : y ( m 1) x 2 x m ， 当m _____ 时，图象为直线； 1
o
1
x (a b c)(a b c) 0
即(a+c) b 0
2 2
(a+c) b
2
2
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的 顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
y M 1 B A x O 1
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
1、二次函数y ax bx c(a 0)的图象如图所示，
2
下列结论①c<0,②b>0③4a+2b+c>0,④(a+c) b
2
2
其中正确的是
（填序号，并说明理由）
y
(a+c)2 b 2
x=1
(a b c)(a b c) x 1时，a+b+c 0 x 1时，a-b+c 0
y
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: b 对称轴是直线x =
① ② ③
2a a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧； b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴； a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
y
o
x
练习： 1.若抛物线y ax 2 bx c的图象如图，说出a，b， c的符号。 2.若抛物线y ax 2 bx c经过原点和第一二三 象限，则a，b，c的取值范围分别是
二次函数的 图象和性质(5)
y o x
复习
抛物线 y ax bx c 的对称轴及顶点 坐标： (公式法) b (1)对称轴：直线 x 2a
2
b 4ac b (2)顶点坐标： , ( ) 2a 4a
2
抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向： y a＞0 开口向上 a＜0 开口向下
来自百度文库
2.已知抛物线y m+6）x 2 （m 1）x m 1的图象 （ 2 与x轴总有两个交点，求m的取值范围。
3.已知抛物线y 2x 3x m与x轴交于A, B两点，且
2
1 线段AB的长为 ，（）求m的值；（2）若抛物线顶 1 2 点为p，求ABP的面积。
函数y=ax² +bx+c的图象和性质： b 4ac-b2 对称轴： 直线x=- b 顶点坐标：- 2a ， 4a ） （ 2a -b± b2-4ac 与y轴交点： ，c） 与x轴交点： （0 （ ，0） 2a 增减性 开口 最 值 x<- b x>- b 当x= - b 时， 向 2a 2a 2a a>0 上 4ac-b2 y有最小值： 4a x<- b x>- b 当x= - b 时， 2a 2a 2a 向 a>0 4ac-b2 下 y有最大值： 4a
y
-1 o
1 x
例3、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
3
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的 一些什么结论？ y
1 3 .
. -1
1
x
1.试判断a, b, c的符号
y
o
x
（5 ）二次函数有最大或最小值由a决定。
2 b 4ac b 当x= 时,y有最大(最小)值 2a 4a
抛物线y ax bx c的对称性
2
b 抛物线y ax bx c是以直线x =- 为 2a 对称轴的轴对称图形，有以下性质：
2
1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等； 抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。
2.如果抛物线交x轴于两点， 那么这两点一定关于对称 轴对称。