确定二次函数的表达式
已知三点确定二次函数的表达式
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 1
9a+3b+c = 0 解得 b 4
4a + 2b + c=-1
c3
∴所求的函数关系式为
y x2 。4x 3
解法二 ∵点（1，0）和（3，0）是抛 物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a 1
确定二次函数的关系式
①设 设二次函数的关系式 ②代 将相关数值代入关系式得到方程或
方程组 ③解 解方程或方程组得出待定系数的值 ④写 写出该二次函数的关系式
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1）求二次函数关系式。
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
小 结：
如何选择不同形式的二次函数的关系式？
1.一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知抛物线上三点或三对x、y的值，用一般式.）
2．顶点式： y a x h2 k(a 0)
（已知抛物线的顶点或对称轴或最值，用顶点式.）
3．交点式 ： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
求c的值
∴设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2
∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的关系式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
九下---确定二次函数的表达式
九年级数学下----确定二次函数的表达式1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c，用配方法可化成：y＝a(x-h)2＋k，顶点是(h，k)。
配方: y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋ )2＋。
对称轴是x＝，顶点坐标是 ,其中 h＝，k= , 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。
3、已知A（2，1）、B（0，-4），求经过A、B两点的一次函数表达式。
解：设过A、B两点的一次函数表达式为把、代入得解得k= ,b= 所以表达式为。
我们把这种方法叫做待定系数法4、若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于两点（x1,0）（x2,0）,这时二次函数的表达式可写为y=a(x-x1)(x-x2)，我们把_____________叫做二次函数的交点式。
例1已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求用待定系数法这个二次函数表达式。
练习：根据下列条件求二次函数解析式（用一般式求）1、已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；2、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点；3、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1）；4、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2。
例2已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的解析式。
（用顶点式求）练习:1、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的四种表达式求法推导
爱上数学 提高素养二次函数的四种表达式求法推导整理于 2018.4.18 夜(1)如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为 y = ax 2 + bx + c ，把已知三点坐标代入其中构造 三元一次方程组求 a 、b 、c 。
(2)二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则二次函数的表达式为： y = a ( x - h )2 + k 推导如下：y = ax 2 + bx + c= a (x 2 + b x + c ) aa= a [x 2 + b x + ( b )2 - ( b )2 + c ] a 2a 2 a ab 2 4ac - b 2= a ( x + ) +2a 4a 顶点式的变形：设二次函数y =ax 2 + bx + c (a 0)的图像交 x 轴于点 A (x 1,o ) 和 B (x 2,0)，则 x 1 +x 2 =-b ，1 2 1 2 a cx 1 • x 2 = a点 A 、B 的距离为 d ，=a (x + 2a ) -4ad已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：y =(x -x 0)[x -(x 0 +d )]a [(x +b )2- b 2 + 2a 4a 2 c] a=a [(x + 2a ) + 4ac - b 24a 24ac - b 24ad = x 2-x 1 = (x 2 - x 1)= (x 1 + x 2)2 -4x 1 •x 2 = (-b )2 -4c aa y = ax 2 + bx + c= a (x 2 + b x + c )aa b 2 - 4ac a 2 b 2 - 4ac = a [x 2 + b x + (b )2 -( b )2+ c ] a 2 a 2 aa = a [(x +b )2- b 2 + c] 2a 4a 2 ab 2 b 2 - 4ac=a [(x + )2 - 2 ] 2a 4a 2= a [(x + b )2- 1 d 2]2a 4 2a爱上数学 提高素养3)二次函数两根式：如果二次函数的图像与 x 轴交于点(x 1,.0)和(x 2,0)，则二次函数的表达式为： y = a (x - x )(x - x ) 推导如下：设二次函数的图像交 x y = ax 2 +bx +c (a 0)于点(x 1,o ) 和(x 2,0)， 则 x ,1和x 2 是一元二次方程bc ax 2 +x +c =0(a 0)的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：x 1 + x 2 = -b ，x 1 •x 2 = c1 2 a 1 2 a 所以，y = ax 2 + bx + c= a (x 2+ b x + c ) aa= a [x 2 -(x + x )+ x •x ] = a ( x - x )(x - x )4)二次函数对称点式：如果二次函数的图像过点(x 1,m )和(x 2,m )(它们关于抛物线对称轴x = 函数的表达式对称点式： y =(x -x )(x -x )+m (a 0) ，推导如下： 方法 1 二次函数的图像过点(x 1,m )和(x 2,m )，那么x 1和x 2是 x 的一元二次方程 ax 2 +bx +c = m (即ax 2bx + c - m = 0)的两根，则有 ax 2 +bx +c -m = a (x -x )(x -x ) ∴ ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x + m )即 y = a ( x - x )(x - x ) + m方法 2 二次函数 y = ax 2 +bx +c 的图像经过点(x 1,m )和(x 2,m )，则有b =-a (x 1+x 2)c = ax 1x 2 + m代入 y = ax 2 +bx +c 中，得 y = ax 2 - a ( x + x ) + ax x +m = a [x 2 -(x + x )+ x x ]+m = a ( x - x )(x - x ) + m 对称)，则可以得到二次 m =ax 12 +bx 1 +cm =ax 22 +bx 2 + c。
2.3 确定二次函数的表达式 课件北师大版数学九年级下册
2.3 确定二次函数的表达式
典题精析 例 已知二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点 A （1，3）． （1）求此抛物线的表达式； （2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴 的交点是 C 点，求△ABC 的面积． 解析：（1）设顶点式 y=a（x-3）2+5，然后把 A 点坐标代入求出 a 即可得 到抛物线的表达式；（2）利用抛物线的对称性得到 B（5，3），再确定出 C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
，
∴△ABC 的面积= ×（5-1）×
=5．
易错：（1）设抛物线的表达式为 y=a（x-3）2+5， 将 A（1，3）代入上式得 3=a（1-3）2+5， 解得 a= . 错因：粗心导致丢掉负号. 满分备考：在利用待定系数法求二次函数表达式时，要根据题目给定的条 件，选择恰当的方法设出表达式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线 的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解．
的解析式为 y=2x2+1.
2. D 提示：可设抛物线的表达式为 y=a（x-2）2+1，将点（3，0）代入求得
a+k=2，
得
解得
9a+k=3，
∴y=
.
-12-
2.3 确定二次函数的表达式
当对称轴为直线 x＝3 时，设抛物线表达式为 y＝ a（x-3）2+k. A（0，2），B（4，3）代入表达式，
a+k=2，
得
， 解得
9a+k=3，
∴y=
.
综上所述，抛物线的函数表达式为
或
．
答案：
或
题型解法：涉及距离时，一定要考虑点或直线的位置是不是唯一的.若位
中考二次函数常见题型
中考二次函数常见题型
中考二次函数常见题型包括：
1. 确定二次函数的表达式：根据已知条件，如顶点坐标、与x轴的交点坐标等，使用待定系数法求出二次函数的表达式。
2. 二次函数与一元一次方程的关系：根据二次函数图象与x轴的交点，求得一元二次方程的根。
3. 二次函数的增减性：根据二次函数的开口方向以及对称轴，判断函数的增减性。
4. 二次函数图象的平移：通过平移规则，将一个二次函数图象平移到指定位置，再根据平移后的顶点坐标求得新的二次函数表达式。
5. 二次函数的最值问题：根据二次函数的顶点和开口方向，求得函数的最大值或最小值。
6. 二次函数与几何图形的综合题：例如，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，探究四边形ABCP的面积的最大值等。
这些题型涵盖了中考中二次函数的主要考点，可以通过针对性的练习加以掌握。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。
专题训练(二)确定二次函数的表达式常见的五种方法.docx
专题训练（二）确定二次函数的表达式常见的五种方法＞方法一利用一般式求二次函数表达式1•已知抛物线过点A（2，0），B（—l，0），与y轴交于点C，且OC=2.则这条抛物线的表达式为（）A• y = x2—x—2B• y = —X2+X+2C - y=x? —x—2 或y= —x?+x + 2D• y=—x'—x—2 或y=x? + x+22•若二次函数y = x?+bx+c的图象经过点（一4，0），（2，6），则这个二次函数的表达式为 _____________ •3•—个二次函数，当自变量x= —1时，函数值y = 2；当x=0时，y= —1；当x=l时，y=—2.那么这个二次函数的表达式为______________ .4• [2016-安庆外国语学校月考]如图2-ZT-1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax? + bx+c 经过A（-2，-4）＞ 0（0，0），B（2，0）三点.⑴求抛物线y=ax?+bx+c的表达式；（2）若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值.o V/\图2-ZT-1＞方法二利用顶点式求二次函数表达式5•已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=l时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=—2x?相同，则这个二次函数的表达式是（）A• y=—2x2—x+3 B. y=—2x2+4C・y= —2x?+4x + 8 D. y=-2x2+4x+66•已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数表达式为（）A.y = xB. y=—x237.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为㊁米的喷水管喷水的最大高度为4米，此时喷水的水平距离为+米，在如图2-ZT-2所示的坐标系屮，这支喷泉喷水轨迹的函数表达式是____________ .图2-ZT-28•已知抛物线y]=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+l的一个交点的横坐标为2.（1）求抛物线的函数表达式；（2）在如图2-ZT-3所示的平面直角坐标系中画出抛物线yj=ax2+bx+c及直线y2 = x + 1，并根据图象，直接写出使得yi^y2成立的x的取值范闱.图2-ZT-3＞方法三利用交点式求二次函数表达式259•若抛物线的最高点的纵坐标是手，且过点（一1，0），（4，0），则该抛物线的表达式为（）A• y=—X2+3X+4B. y=—X2—3X+4C • y = x‘一3x—4 D. y=x? —3x+410•抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（一1，0），（3，0），其形状及开口方向与抛物线y=—2/相同，则抛物线的函数表达式为（）A• y=—2x‘一x + 3 B. y=—2x2+4x + 5C - y=—2X2+4X +8D. y = —2X2+4X+611・[2016揪阳实验中学期中]已知抛物线与x 轴交于A （1 ‘ 0），B （-4 ‘ 0）两点‘与y 轴交于点C ，且AB = BC ，求此抛物线对应的函数表达式.＞方法四利用平移式求二次函数表达式12 • [2017-绍兴]矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为（2，1）. 一张透明 纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达 式为y=x?，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A - y=x 2 + 8x+ 14 B. y=x 2 —8x+14C • y=x 2+4x + 3 D. y=x 2—4x+313. [2017-盐城]如图2-ZT-4，将函数y =鬆一2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一 条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点Z ，B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图彖的函数表达式是（）A • y=*（x —2）2—2 B. y=|（x-2）2 + 7图 2-ZT-414 •如果将抛物线y = 2x 2+bx+c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了 抛物线 y=2x?—4x+3.⑴试确定b ，c 的值；⑵求出抛物线y=2x?+bx+c 的顶点坐标和对称轴.＞方法五 利用对称轴求二次函数表达式15 •如图2-ZT-5 »已知抛物线y = — x?+bx+c 的对称轴为直线x= 1，且与x 轴的一c . y=|(x —2)2—5个交点坐标为(3 ‘ 0)，那么它对应的函数表达式是__________y：X=1/f v/ 01图2-ZT-516.如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2-ZT-6，二次函数y, = x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点.(2)二次函数y=2(x+2)?+l的“关于y轴对称二次函数”表达式为________________ ；二次函数y = a(x—hF+k的“关于y轴对称二次函数”表达式为 _____________ ;(3)平面直角坐标系屮，记“关于y轴对称二次函数”的图彖与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形‘教师详解详析1 •［解析］C 由题意可知点C 的坐标是（0 ' 2）或（0 ‘ 一2）.设抛物线的表达式为r4a+2b+c=0 ‘r a= — \+bx+c.由抛物线经过点(2，0)，(—1，0)，(0，2)，得v a-b+c=0， 解得＜ b=l ， .c=2，lc=2，物线的表达式是j=-?+x+2.同理，由抛物线经过点（2，0），（—1，0），（0，— 2）求得该抛物线的表达式为y=x 2-x~2.故这条抛物线的表达式为），=—d+x+2或y=F —x —2.2 •［答案］y=?+3x-4(16一4Z?+c=0， (b=3，［解析］将点(—4、0)、(2 ‘ 6)代入y=,+bx+c 、得］ 解得］l4+2b+c=6， lc=—4，・・・这个二次函数的表达式为y=/ + 3兀一4.3 • y=x~2x — 14a —2b+c=—4，4a+2b+c=0， c=0，r 1a=~2 '解这个方程组，得＜b=},、c=0，所以抛物线的表达式为 尸~y+x.(2)由 y= —|x 2+x= —|(x —1)2+| »平分线段 OB 、：・OM=BM » :.AM+OM=AM+BM.连接4B 交直线x=\于点则此时AM+OM 的值最小.过点A 作AN 丄x 轴于点N ， 在RtAABTV 中，AB=y ］AN 2+BN 2=^/42+42=4 ^2，因此 AM+OM 的最小值为 4 迈.5 • D6 •［解析］D J 函数图象过点（0，为和（2，弓），・・・函数图象的对称轴为直线x=\，故该 函数图彖的顶点坐标为（1，2）.设函数表达式为.尸吩一1F+2.把（一1，— 1）代入，得4a+2 =—1，解得d=—扌，・•・此函数表达式为y=— |（x —1）2+2.7 •［答案］J =-10（X -|）2+4I 解析］设喷泉喷水轨迹的函数表达式为y=a （x —护+4.将点（0，为代入，得| +4，解得a=-l0，故喷泉喷水轨迹的函数表达式为y= —10（x —护+4.8・解：（I ）；•抛物线与直线y 2=x+\的一个交点的横坐标为2，・••交点的纵坐标为2+1{则抛可得抛物线的对称轴为直线x=\，并冃.对称轴垂直=3即此交点的坐标为(2，3). 设抛物线的表达式为yi=tz(x—1)2+4. 把(2 » 3)代入，得3=d(2—1)'+4，解得a= — 1，抛物线的表达式为yi = —(X— l)2+4=—x24-Zr+3.(2)令yi=0，即一d+2兀+3=0，解得%i=3 »x2= —1，二抛物线与兀轴的交点坐标为(3，0)和(一1，0).在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象、iij知使得yi$y2成立的x的取值氾圉为一1W X W2.1 39 •［解析］A由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线1 +4)=^，故该抛物线的顶点坐标为(号，乎).设该抛物线的表达式为尸心+l)(x—4).将(扌，手)代入，得晋=dg+l)(号一4)解得a= —1，故该抛物线的表达式为y=—(兀+1)(尢一4)=—,+3x+4.注意: 本题也可运用顶点式求抛物线的表达式.10•［解析］D设所求的函数表达式为X!)(x—%2)-因为抛物线y=ax2 + bx+c与兀轴的两个交点坐标为(一1，0)，(3,0)，所以y=a(x~3)(x+l).又因为其形状及开口方向与抛物线y=—2x1相同» 所以y= — 2(兀一3)(x+l)，即y=—2x2+4x+6.11•解：由4(1，0)，B(_4，0)可知AB=5，OB=4.又・：BC=AB，・・・BC=5.在RtABCO 中，寸52_42=3，・••点C的坐标为(0，3)或(0，-3).设抛物线对应的函数表达式为y=a(x— 1)(兀+4).将点(0 ' 3)代入‘得3=a(0-1)(0+4) >3将点(0，一3)代入，得一3=a(0-l)(0+4)，解得°=才3 3该抛物线对应的函数表达式为y=—^(x—l)(x+4)或)，=才(兀一l)(x+4)，即y= _討_条+3或『=条2+条_3.12 •［解析］A 根据题意可知点C的坐标为(一2，—1)，故一个点由点4平移至点C，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位.又・・•该点在点A时，抛物线的函数表达式为丿= x2，・••该点在点C时，抛物线的函数表达式为y=（兀+4）2—2=/+8兀+14.O x13•［解析］D 如图，连接AB »B r，过点4作AC丄交BE的延长线于点C，则AC=3.由于平移前后的抛物线形状相同，根据割补的思想可知阴彫部分的面积等于平行四边形ABBA的面积，:・BB‘・AC=3BB,=9，:・BB‘ =AA f=3 ‘故平移后的抛物线的表达式14•解：（1）・・了=2?一4兀+3 = 2（”一2兀+1 — 1） + 3 = 2（.丫一1）2+1，・・・将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y=2（x-4）2+3，.•・），=2,—16兀+35，.*./?= —16，c=35.（2）由y=2（x~4）2+3得顶点坐标为（4，3），对称轴为直线兀=4.15・［答案］y=-?+2x+3c b［解析「・•抛物线y=—/+加+c的对称轴为直线x=l，•逬=1，解得b=2，又・・•与x轴的一个交点坐标为（3，0），・・・0=—9 + 6+c，解得c=3，故函数表达式为）=一"+2兀+3.16•解：（1）（答案不唯一）顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称.c °（2）y=2（x—2）~ + 1 y=a（x+/?）~+k（3）若点A在y轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A，B，O，C得到一个而积为24的菱形，由BC=6，得OA = S，则点4的坐标为（0，8），点B的坐标为（一3，4）.设一个抛物线的表达式为少=°（兀+3尸+4.4将点A的坐标代入，得9d+4=8，解得a=g.4 4二次函数少=刖兀+3F+4的“关于y轴对称二次函数”的表达式为〉=彳（兀一3）2+4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于），轴对称二次函数”的表达式还4 c 4 o可以为y= _§（兀+3）2_4，y=—^（x—3）^-4.综上所述，“关于y轴对称二次函数”的表达式为)=£(X+3)2+4，),=詁一3尸+4或y4 4 o=一姿+3) —4，＞=一尹一3)2—4.。
确定二次函数表达式(已知三个条件)
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 3 t2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 3，所以S= 3t（2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？ （1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a
1 3
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4， 解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
3 确定二次函数的表达式
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的六种表达式
二次函数的六种表达式一、标准式二次函数的标准式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为常数，a不为0。
其中a决定了二次函数的开口方向和开口程度，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点位置。
在应用中，可以通过标准式方程确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过标准式方程求解二次方程，解决实际问题。
二、顶点式二次函数的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为常数，a不为0。
其中(h,k)为二次函数的顶点坐标。
通过顶点式可以方便地确定二次函数的顶点坐标，进而画出函数图像。
同时，可以通过顶点式进行函数的变形，例如平移、压缩、拉伸等操作。
三、描点式二次函数的描点式为y-y₁=a(x-x₁)²，其中(x₁,y₁)为已知点，a为常数且不为0。
通过描点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过描点式求解二次方程，解决实际问题。
四、导数式二次函数的导数式为y'=2ax+b，其中a、b均为常数，a不为0。
通过导数式可以方便地确定二次函数的斜率，进而画出函数图像。
同时，可以通过导数式求解二次方程的极值，解决实际问题。
五、交点式二次函数的交点式为y=k(x-x₁)(x-x₂)，其中k、x₁、x₂均为常数，k 不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。
通过交点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过交点式求解二次方程，解决实际问题。
六、因式分解式二次函数的因式分解式为y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中a、x₁、x₂均为常数，a不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。
通过因式分解式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过因式分解式求解二次方程，解决实际问题。
二次函数有六种常见的表达式，每种表达式都有其特点和应用。
2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案
2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版数学九年级下册第2章第3节的内容。
本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。
教材通过实例引导学生探究二次函数的解析式，让学生在实际问题中体会数学的应用价值。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本概念，并了解了一次函数和正比例函数的解析式。
因此，学生在学习本节课时，具备了一定的数学基础。
但部分学生对于待定系数法求解二次函数解析式的理解可能存在困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例和讲解，帮助他们理解和掌握待定系数法的运用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。
2.过程与方法：通过探究二次函数的解析式，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式及其求解方法。
2.难点：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生探究二次函数的解析式；以实际案例为例，讲解待定系数法的运用；小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生探究二次函数的解析式。
2.准备PPT，展示二次函数的图像和解析式。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。
然后提出问题：“如何表示这个二次函数？”引发学生的思考。
2.呈现（15分钟）通过PPT呈现二次函数的解析式，解释二次函数的各个系数代表的意义。
同时，引导学生观察解析式与图像之间的关系。
3.操练（20分钟）以实际案例为例，讲解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
北师大数学九年级下册第二章-确定二次函数的表达式(含解析)
第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲 一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式 一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可 易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、 已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（ ）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】 把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、 已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】 （1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）． 【解析】 （1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）． 例题3、 已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】 （1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】 暂无解析随练1、 已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（ ） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】 由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、 函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（ ） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-． 例题2、 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】 设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38， 所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。
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求出a 的值即可．
范例1：抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，
5)，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式为y ＝2x 2
＋4x ＋5．
仿例1：二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则此二次函数表达式为( A )
A ．y ＝－x 2＋2x ＋2
B ．y ＝x 2－2x －2
C ．y ＝－x 2－2x ＋2
D ．y ＝－x 2－2x －2
仿例2：抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则此抛物线的表达式
是y ＝－x 2
＋2x ＋3．
,(仿例1题图)) ,(仿例2题图))
,(仿例3题图))
仿例3：如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2
－(a 2
－1)x ＋1的图象，那么a 的值是－1．
知识模块二 已知任意两点求二次函数表达式 阅读教材P 42～P 43，完成下面的内容：
范例2：已知二次函数y ＝ax 2
＋bx －6的图象经过点A(1，－3)，B(－1，－3)，则二次函数的表达式为( A )
A ．y ＝3x 2－6
B ．y ＝x 2＋2x －6
C ．y ＝9x 2＋6x －6
D ．y ＝9x 2－6x －6
仿例：小聪做作业时不小心将题目：“已知二次函数y ＝x 2
■x■的图象如图所示”污染，则题目中二次函数的表达式为y ＝x 2
－73
x －2．
第2课时
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)且经过点(0，1)，则二次函数表达式为y ＝－18
x 2
＋2x ＋1．
2．已知抛物线y ＝ax 2
－2x ＋c 过点(1，－4)和(2，－7)，则二次函数
仿例2：二次函数图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ，求二次函数的表达式．
解：∵A(－1，0)，B(4，0)，
∴AO ＝1，OB ＝4，AB ＝AO ＋OB ＝1＋4＝5. ∴OC ＝5，即点C 的坐标为(0，5)．
∵A(－1，0)，B(4，0)的纵坐标都为0，
∴设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －4)． ∵点C 的坐标为(0，5)，
∴5＝a(0＋1)(0－4)，解得a ＝－5
4
.
∴所求的二次函数表达式为：y ＝－5
4
(x －4)(x ＋1)．
教学 反思。