二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

一、函数定义与表达式

1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；

2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；

3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与

x轴两交点的横坐标）。

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式

表示。二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。

二、函数图像的性质——抛物线

1）开口方向——二次项系数a

二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然

a≠0.

当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反

之a的值越小，开口越大；

当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反

之a的值越大，开口越大。

顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负

决定开口方向，a的大小决定开口的大小。|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。

y = 2x^2

y = x^2

y = (1/2)x^2

y = -(1/2)x^2

y = -x^2

y = -2x^2

2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴顶点式：x = h

两根式：x = x1、x = x2

3）对称轴位置

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）

a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧

a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧

4）增减性，最大或最小值

当a>0时，在对称轴左侧（当x。-b/2a时），y随着x的增大而增大；

当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；

当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；

5）常数项c

常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）。

6）a、b、c符号判别

二次函数y = ax^2 + bx + c（a≠0）中a、b、c的符号判别：

1.符号判别

当抛物线的开口向上时，a>0；当开口向下时，a<0.

当抛物线与Y轴的交点在X轴的上方时，c>0；在X轴

的下方时，c<0.

对称轴在Y轴的左侧时，a、b同号；在Y轴的右侧时，a、b异号。

7.抛物线与x轴交点个数

当Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。这两点间

的距离AB=|x1-x2|=2|a|/Δ。

当Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，顶点在x 轴上。

当Δ=b²-4ac0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.

8.特殊情况

①二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则Δ=b²-4ac=0；

②二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；

③二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0.

三、平移

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标(h,k)；

⑵左右平移变h，左加右减；上下平移变k，上加下减。

练：

1.A

2.D

3.A

4.B

5.C

6.B

1.抛物线的符号判别

当抛物线的开口向上时，a为正数；当开口向下时，a为负数。

当抛物线与Y轴的交点在X轴的上方时，c为正数；在X 轴的下方时，c为负数。

当对称轴在Y轴的左侧时，a和b的符号相同；在Y轴的右侧时，a和b的符号不同。

7.抛物线与x轴交点个数

当Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。这两点间的距离AB=2|a|/Δ。

当Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，且顶点在x 轴上。

当Δ=b²-4ac0时，图像在x轴上方，y大于0；当a<0时，图像在x轴下方，y小于0.

8.特殊情况

①二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二

次函数的顶点在X轴上，则Δ=b²-4ac=0；

②二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函

数的图像关于Y轴对称，则b=0；

③二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0.

三、平移

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶

点坐标(h,k)；

⑵左右平移变h，左加右减；上下平移变k，上加下减。

练：

1.A

2.D

3.A

4.B

5.C

6.B

1、已知二次函数y=2x²-4x-6，将其写成标准式：y=2(x-

1)²-8，因此它的顶点坐标为(1,-8)，与x轴交点为(-1,0)和(3,0)，与y轴交点为(0,-6)。

2、已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于C(0,c)点，与x轴

交于B(c,0)，其中c＞0.

1）因为抛物线与y轴交于C点，所以x=0时，y=c，代

入y=ax²+bx+c得到b+1+ac=0.

2）因为C与B两点距离等于22，所以(0-c)²+(c-0)²=22，

解得c=1或c=7.

当c=1时，代入b+1+ac=0得到b=-3，所以抛物线的解析

式为y=ax²-3x+1.

当c=7时，代入b+1+ac=0得到b=-8，所以抛物线的解析

式为y=ax²-8x+7.

又因为一元二次方程ax²+bx+c的两根之差的绝对值等于1，所以(b²-4ac)的平方根的绝对值等于1，即b²-4ac=±1.

代入y=ax²+bx+c得到x=(-b±√(b²-4ac))/2a，两根之差为

√(b²-4ac)/a，因此√(b²-4ac)=±a。

代入b²-4ac=±1得到b²-1=4ac或b²-1=-4ac。