2017_2018学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2.1指数函数的图象及性质课后提升训练新人教A版必修1
高中数学 第二章 基本初等函数(1) 2.1.1 指数与指数幂的运算 第一课时 根式学案(含解析)
2．1。
1指数与指数幂的运算第一课时根式根式［提出问题]（1）若x2＝9，则x是9的平方根,且x＝±3；(2）若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4;(3）若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3;(4）若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2。
问题1：观察(1)(3），你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示:是．问题2:一个数的奇次方根有几个？提示:1个．问题3:由于22＝4，小明说,2是4的平方根;小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念（1）a的n次方根定义:如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n〉1，且n∈N＊。
（2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数错误!Rn为偶数±错误![0，＋∞）（3)根式：式子错误!叫做根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数．［化解疑难]根式记号的注意点（1）根式的概念中要求n>1，且n∈N＊。
（2）当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为错误!(a∈R);当n为大于1的偶数时，错误!(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－错误!，从而错误!n＝a.根式的性质［提出问题]问题1：错误!3，错误!3，错误!4分别等于多少？提示:2，－2，2.问题2:错误!，错误!，错误!，错误!分别等于多少?提示：－2,2,2,2.问题3：等式错误!＝a及（错误!)2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时,两式恒成立；当a〈0时，a2＝－a,（a)2无意义．［导入新知］根式的性质(1）(错误!）n＝a（n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n〉1）．(2)错误!＝错误!(3)错误!＝0。
(4）负数没有偶次方根．[化解疑难]（错误!)n与错误!的区别（1)当n为奇数，且a∈R时，有错误!＝(错误!)n＝a;(2)当n为偶数，且a≥0时，有错误!＝（错误!）n＝a。
高中数学课本目录
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图选修3－4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Ｓn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第二讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0， 且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋ －11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右 边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底 数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故 有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组 解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1， 解得aa＝ ＞10或 且2a，≠1. ∴a＝2.
学年高中数学第二章基本初等函数(I)新人教版必修1
【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学第二章基本初等函数（I）新人教版必修12.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时根式目标定位 1.理解n次方根及n次根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.自主预习1.根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naa∈Rn为偶数±na [0，＋∞)(3)根式式子na n叫做根指数，a叫做被开方数.2.根式的性质(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a＜0）(n为大于1的偶数).即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根式一定是无理式.( )(2)若(n－5)n有意义，则整数n一定是奇数.( )(3)a的n次方根是na.( )(4)(m－2)2＝m－2.( )提示(1)错.根式不一定是无理式，如327＝3，16＝4.(2)对.当整数n为偶数时，(n－5)n没有意义.(3)错.当a>0，n为偶数时，a的n次方根为±na.(4)对.根据n次方根的意义，(m－2)2＝m－2. 答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.已知x7＝16，则x＝( )A.2 2B.716 C.－716 D.±716解析由根式的定义知x＝7 16.答案 B3.若a＋(a－2)0有意义，则a的取值范围是( )A.a≥0B.a＝2C.a≠2D.a≥0且a≠2解析要使此式子有意义，必须满足a≥0且a－2≠0，即a≥0且a≠2.答案 D4.3（－1）3＝________；481＝________.解析当n为奇数时，na n＝a，当n为偶数时，na n＝|a|，∴3（－1）3＝－1，481＝3.答案－1 3类型一n次方根的概念问题【例1】 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是________.解析(1)依题意，a＝±81＝±9，b＝3－8＝－2.∴a＋b＝－11或a＋b＝7.(2)由于根指数是3，只需1a－3有意义，∴a－3≠0，故a的取值范围是{a|a≠3}.答案(1)－11或7 (2){a|a≠3}规律方法(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.(2)根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致.【训练1】 (1)若x4＝3，则x＝________.(2)设m＜0，则(－m)2＝________.解析(1)依题意，x是3的4次方根，∴x＝±43.(2)∵m＜0，∴－m＞0，∴(－m)2＝－m.答案(1)±43 (2)－m类型二根式的化简与求值【例2】 (1)化简13（2＋5）3＋1（32－5）3；(2)求值5＋26＋7－4 3.解(1)原式＝12＋5＋12－5＝5－2－(5＋2)＝－4.(2)5＋26＋7－43＝3＋26＋2＋4－43＋3＝（3＋2）2＋（2－3）2＝3＋2＋2－3＝2＋ 2.规律方法(1)①解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.②开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简.(2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论.【训练2】(2016·吉林高一检测)化简3（1＋2）3＋4（1－2）4.解3（1＋2）3＋4（1－2）4.＝2＋1＋|1－2|＝2＋1＋2－1＝2 2. 类型三 有限制条件的根式运算(互动探究)【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________；(2)若代数式2x －1＋2－x 有意义， 化简4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4. [思路探究]探究点一 代数式2x －1＋2－x 有意义，x 应满足什么条件？ 提示 要开偶次方根，满足2x －1≥0且2－x ≥0. 探究点二 代数式4x 2－4x ＋1如何去掉根号？提示 将4x 2－4x ＋1化为(2x －1)2，再利用根式的性质去根号.解 (1)当x <0时，x ＋|x |＋x 2x＝x －x ＋|x |x ＝－xx＝－1.(2)由2x －1＋2－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即12≤x ≤2.故4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4＝（2x －1）2＋24（x －2）4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3. 规律方法 有限制条件的根式化简注意两点：(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.【训练3】 设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值. 解 原式＝（x －1）2－（x ＋3）2＝|x －1|－|x ＋3| ∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 （－3＜x ＜1），－4 （1≤x ＜3）.[课堂小结]1.对n 次方根的三点说明(1)当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数a 的n 次方根是一个负数，记作na . (2)当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记作±na ，负数没有偶次方根. (3)零的任何次方根都是0. 2.根式记号的注意点(1)根式中根指数要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为奇数时，n a 中a ∈R ，当n 为偶数时，na 中a ≥0. 3.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ，n 为奇数；(2)na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.1.若m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2B.3mC.6mD.5－m解析 C 中，6m 隐含m ≥0；当m <0时，没有意义. 答案 C2.下列各式正确的是( ) A.8a 8＝aB.a 0＝1C.4（－4）4＝－4D.3（－3）3＝－3解析 A 中，8a 8＝|a |，当a <0时，不成立.B 中，当a ＝0时，a 0没意义，B 不正确.C 中，4（－4）4＝444＝4，C 不正确；D 中3（－3）3＝－3正确.答案 D3.若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________.解析 原式＝（x －3）2－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1(x >3). 答案 －14.(2016·杭州高一检测)化简：(a －1)2＋（1－a ）2＋7（a －1）7. 解 由题意知a －1有意义，则a ≥1.原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1)＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.基 础 过 关1.若a ＜12，则化简4（2a －1）2的结果是( )A.2a －1B.－2a －1C.1－2aD.－1－2a解析 ∵a ＜12，∴2a －1＜0，∴（2a －1）2＝1－2a ，∴4（2a －1）2＝1－2a .答案 C2.下列式子中成立的是( )A.a －a ＝－a 3B.a －a ＝－a 3C.a －a ＝－－a 3D.a －a ＝a 3解析 依题意－a ≥0，即a ≤0，∴a －a ＝－（－a ）2（－a ）＝－（－a ）3＝－－a 3. 答案 C3.(2016·天津高一检测)化简（x ＋3）2－3（x －3）3得( ) A.6 B.2xC.6或－2xD.－2x 或6或2解析 原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝x ＋3－x ＋3＝6.当x <－3时，原式＝－(x ＋3)－x ＋3＝－2x . 答案 C4.计算：12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋4（2－e ）4＝____________. 解析 原式＝2＋1－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×0.5＋e －2＝e ＋23.答案 e ＋235.若x 2＋4x ＋4＝－x －2，则实数x 的取值范围是________. 解析 因为x 2＋4x ＋4＝（x ＋2）2＝|x ＋2|. 又|x ＋2|＝－(x ＋2)，所以x ＋2≤0，故x ≤－2. 答案 (－∞，－2]6.化简n（x －π）n (x <π，且n ∈N *). 解 ∵x ＜π，∴x －π＜0，当n 为偶数时，n （x －π）n＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n（x －π）n＝x －π， 综上，n（x －π）n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *.x －π，n 为奇数，n ∈N *7.若等式（x －5）（x 2－25）＝(5－x )x ＋5成立，求实数x 的取值范围. 解 由于（x －5）（x 2－25）＝（x －5）2（x ＋5） 依题意要使（x －5）2（x ＋5）＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.故实数x 的取值范围是[－5，5].8.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9. 解 ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0，即x ≤2， ∴x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9 ＝（x －2）2－（x －3）2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x ) ＝－1.能 力 提 升9.化简－x3x的结果为( )A.－－xB.xC.－xD.－x解析 要使式子有意义，只需－x 3>0，即x <0，所以－x3x ＝－x －xx＝－－x .答案 A10.已知二次函数y ＝ax 2＋2bx 图象如图所示，则4（a －b ）4的值为( )A.a ＋bB.－(a ＋b )C.a －bD.b －a解析 由图象知a ＜0，－b a＞－1，故b ＞a ，即a －b ＜0，∴4（a －b ）4＝|a －b |＝b －a .答案 D11.若a <0，则a 2·(a ＋1)＋3a 3＝________.解析 ∵a <0，∴a 2·(a ＋1)＋3a 3＝|a |(a ＋1)＋a ＝－a (a ＋1)＋a ＝－a 2. 答案 －a 212.若x －1＋4x ＋y ＝0，则x 2 015＋y 2 016＝________.解析 由x －1＋4x ＋y ＝0，得x －1＝0且4x ＋y ＝0，∴x ＝1且y ＝－1， 从而x2 015＋y2 016＝12 015＋(－1)2 016＝1＋1＝2.13.已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4（a ＋b ）4＋3（a ＋b ）3的值.解 因为4a 4＋4b 4＝－a －b .所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ，所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.探 究 创 新14.若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析 因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12·x ＋4x －12·x 12＝4x 14×2－332×2－4x －12＋4x－12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝4x 12－33－4x 12＋4＝4－27＝－23. 答案 －23第2课时 指数幂及运算目标定位 1.理解分数指数幂的含义；熟练掌握用分数指数幂表示一个正实数的n 次方根.2.会进行根式与分数指数幂的相互转化，能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简.3.经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，了解实数指数幂的含义.自 主 预 习1.分数指数幂(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m (a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝1a m n(a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q ).温馨提示：分数指数幂a mn 不能理解为m n个a 相乘；任何有意义的根式都能化为分数指数幂的3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.即 时 自 测1.234化成根式形式为( ) A.324B.423C.432D.243解析 结合正分数指数幂的运算性质可知234＝423. 答案 B2.5a －2可化为( ) A.a －25B.a 52C.a 25 D.－a 52解析5a －2＝(a －2)15＝a －25.答案 A3.计算[(－5)－3]－13的结果是________. 解析 [(－5)－3]－13＝(－5)(－3)(－13)＝－ 5.答案 － 5 4.a 3a 2＝________.解析 ∵a3a 2＝a 12a 23＝a 12－23＝a －16＝16a.答案 16a类型一 根式与分数指数幂的互化【例1】 (1)(2016·济宁高一检测)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 32 C.a 56 D.a 76(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.－x ＝(－x )12(x >0)B.6y 2＝y 13(y <0)C.x －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0) D.x －13＝－3x (x ≠0)解析 (1)a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝25132()a a＝a 2a 56＝a2－56＝a 76.(2)选项A 中，(－x )12无意义，不正确.B 中，6y 2＝y 26＝(－y )13(y <0)，B 不正确.C 中，x －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)正确. D 中，x －13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x ≠－3x (x ≠0)，不正确.答案 (1)D (2)C规律方法 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化关系式： ①根指数指数幂的分母.②被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.(2)当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.【训练1】 将下列各式化为分数指数幂的形式.(1)13x ·（5x 2）2(x >0)；(2)ab 3ab 5(a >0，b >0).解 (1)原式＝13x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 252＝13x ·x 45＝13x 95＝3513935511x xx -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)原式＝[ab 3(ab 5)12]12＝[a ·a 12b 3(b 5)12]12＝(a 32b 112)12＝a 34b 114. 类型二 利用分数指数幂运算性质化简与求值 【例2】 (2016·宁波高一检测)计算：(1)a 23b 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 12b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56. (2)(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫811614＋|－0.01|12. 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫－3÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a . (2)原式＝(0.43)－13－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32414＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3110.规律方法 (1)①由分数指数幂的概念，将根式化成分数指数幂.②利用分数指数幂的运算性质进行化简.(2)对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. 【训练2】 化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16；(2)(2016·温州高一检测)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42232()3-解 (1)原式＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23－1＋13y 12＋12－16＝2524x －43y 56.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234·214－122323⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 类型三 分数指数幂的综合应用【例3】 已知a 12＋a -12＝3，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值.解 ∵a 12＋a -12＝3， ∴两边平方得：a ＋a －1＋2a 12＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝9， 故a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方得a 2＋a －2＋2a ·a －1＝49. 因此a 2＋a －2＝47.规律方法 条件求值问题的两个步骤及一个注意点 (1)两个步骤：(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，要注意整体代换及平方差、立方差公式的灵活应用.【训练3】 若例3条件变为：已知x ＋x －1＝7，求值：(1)x 12＋x －12；(2)x 12－x －12.解 (1)设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2x 12·x －12＝7＋2＝9.又m >0，所以m ＝3，即x 12＋x －12＝3.(2)设n ＝x 12－x －12则n 2＝x ＋x －1－2x 12·x －12＝7－2＝5.∴n ＝±5，即x 12－x －12＝± 5.[课堂小结]1.分数指数幂与根式互化(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法.在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化.(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0. 2.对有理数指数幂的运算性质的三点说明(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积.(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘. (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂.3.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14的值是( ) A.35B.53C.325D.259解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫354－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－1＝53.答案 B2.计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3b －23·(－3a －1b )÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －4b －53得( )A.－32b 2B.32b 2 C.－32b 73D.32b 73解析 原式＝－6a －4b134a －4b －53＝－32b 2.答案A3.614－3338＋30.125的值为________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32. 答案 324.(2015·淮安高一检测)不用计算器求下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－0.30－16-34； (2)设x 12＋x -12＝2，求x ＋x －1.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－(24) -34＝32－1－2－3＝12－18＝38.(2)由x 12＋x-12＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋x －122＝4，即x ＋x －1＋2＝4，故x ＋x －1＝2.基 础 过 关1.已知a m＝4，a n＝3，则a m －2n的值为( )A.23 B.6C.32D.2解析am －2n＝a m （a n ）2＝49＝23. 答案 A2.如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.xx －1解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.答案 D3.化简(36a 9)4(63a 9)4的结果为( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 (36a 9)4(63a 9)4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 964⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124＝a 4.答案 C4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×216×556＝________. 解析 原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8.答案 85.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______. ①－x ＝(－x )12 (x ≠0)；②x －13＝－3x ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(x ，y ≠0)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －32－23＝b 19. 解析 ①不正确，∵－x ＝－x 12； ②不正确，∵x －13＝13x；③正确，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 43＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3；④不正确，∵b ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23＝b 19. 答案 ③6.计算下列各式的值或化简：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)化简：44x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y 2x . 解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44) 34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝4×（－3）－6x 14＋14－(－12)y －13－23＝2x ·y －1＝2xy .7.化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0). 解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 2（xy －1）1213·(xy )12·(xy )－1＝x 13·y 23|x |16|y |-16·|x |-12·|y |-12＝x 13·|x |-13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.8.化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a .解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a （a －8b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 133＝a （a －8b ）a －8b＝a .能 力 提 升9.(2016·宜春高一检测)计算2－12＋（－4）02＋12－1－（1－5）0，结果是( )A.1B.2 2C. 2D.2－12解析 原式＝12＋12＋2＋1（2＋1）（2－1）－1＝22＋22＋2＋1－1＝2 2. 答案 B10.(2016·长沙长郡中学模块检测)化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1B.－1C.a 2－1a 2＋1D.a 2＋1a 2－1解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝（a －a －1）2（a ＋a －1）（a －a －1）＝a －a －1a ＋a －1＝a （a －a －1）a （a ＋a －1）＝a 2－1a 2＋1. 答案 C11.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝2-15.答案 1421512.(2016·湖北襄阳五中月考)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12. 答案 1213.(2016·天津高一检测)已知a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，求a b －a －b的值. 解 由a b ＋a －b ＝22，得(a b ＋a －b )2＝8. 所以a 2b＋a－2b＋2＝8，即a 2b ＋a－2b＝6.同理(a b －a －b )2＝a 2b＋a－2b－2＝6－2＝4又a >1，b <0知a b－a －b<0. 故a b －a －b＝－2.探 究 创 新14.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b >0，所以a >b >0.所以a －ba ＋b>0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －ba ＋b＝15＝55.2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质目标定位 1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.2.能用描点法或借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步理解指数函数的有关性质(定义域、值域、特殊点、单调性).自 主 预 习1.指数函数的概念一般地，函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2.指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点过点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1函数值 的变化 当x ＞0时，y ＞1； 当x <0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＜0时，y ＞1 单调性是R 上的增函数是R 上的减函数温馨提示：指数函数的图象和性质中，掌握图象是关键，根据图象可以观察理解函数的性质.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3，y ＝2x ＋1，y ＝52x都是指数函数.( )(2)指数函数的图象经过点(2，4)，则当x ＝3时，y ＝8.( )(3)函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象关于y 轴对称.( )提示 (1)错.只有y ＝52x ＝10x是指数函数.(2)对.设指数函数为y ＝a x，得4＝a 2，所以a ＝2.所以y ＝2x.当x ＝3时，y ＝8.(3)对.作出这两个函数的图象，可知这两个函数的图象关于y 轴对称. 答案 (1)× (2)√ (3)√2.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－2)xB.y ＝－5xC.y ＝4x －1D.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x解析 根据指数函数的概念知，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x是指数函数. 答案 D3.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象可能是( )解析 因为43>1，图象经过点(0，1)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 的图象可能是选项A 的图象.答案 A4.函数f (x )＝2x与y 轴的交点坐标为________. 解析 令x ＝0得f (0)＝20＝1. 答案 (0，1)类型一 指数函数的概念【例1】 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx；(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x(a ＞1，且a ≠2).解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x，b ＞0且b ≠1，所以是.规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件.【训练1】 函数y ＝(2a －3)x是指数函数，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a －3>0，2a －3≠1，解得a >32且a ≠2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)类型二 指数函数的图象【例2】 如图是指数函数①y ＝a x，②y ＝b x，③y ＝c x，④y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c解析 法一 在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c >d >1，b <a <1.∴b <a <1<d <c .法二 作直线x ＝1，与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大. 由图可知b <a <1<d <c .答案 B规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象与直线x ＝1相交于点(1，a )由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.【训练2】 函数y ＝|2x－2|的图象是( )解析 y ＝2x －2的图象是由y ＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的.故y ＝|2x －2|的图象是由y ＝2x－2的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的.所以选项B 满足函数y ＝|2x－2|的图象特征. 答案 B类型三 求指数型函数的定义域、值域 【例3】 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3.解 (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝21x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}. 又1x －4≠0，即21x －4≠1， 故y ＝21x －4的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}. (2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x的定义域为(－∞，0].由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x＜1， ∴y ＝1－2x的值域为[0，1). (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R . ∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3＞0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]. 规律方法 1.对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)型函数的定义域、值域(1)定义域：形如y ＝af (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合.(2)值域可分两步求解：①换元，令t ＝f (x )，x ∈D ，并求t ＝f (x )的值域M . ②利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域. 2.求指数型函数定义域、值域注意两点：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.【训练3】 (1)函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________. (2)已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A.[9，81]B.[3，9]C.[1，9]D.[1，＋∞) 解析 (1)要使函数有意义，则有1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.解得x ≥0.故函数的定义域为[0，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的图象过点(2，1)，∴32－b＝1，∴b ＝2，则f (x )＝3x －2，由于2≤x ≤4，知0≤x －2≤2.故f (x )的值域是[1，9]. 答案 (1)[0，＋∞) (2)C [课堂小结]1.指数函数概念的理解判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否具有三个特征： (1)底数a >0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x . (2)指数位置是自变量x ，且x 的系数是1. (3)a x的系数是1.2.指数函数的图象随底数的变化规律由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.可概括为第一象限内，底数自下而上依次增大.3.指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的性质分底数a ＞1，0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.4.(1)由于指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝af (x )(a ＞0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同.(2)求函数y ＝af (x )(a ＞0且a ≠1)的值域的方法如下：①换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； ②求t ＝f (x )的值域t ∈M ；③利用y ＝a t的单调性求y ＝a t在t ∈M 上的值域.1.函数f (x )＝2x－32的定义域是( ) A.(5，＋∞) B.[5，＋∞) C.(－∞，5)D.(－∞，5]解析 依题意2x －32≥0，即2x≥25，解得x ≥5.所以函数y ＝2x－32的定义域为[5，＋∞). 答案 B 2.函数y ＝5－|x |的图象是( )解析 当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x，又原函数为偶函数，选项D 的图象满足要求.答案 D3.若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，则实数a ＝________.解析 由y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2.答案 24.求函数y ＝512x －4的定义域和值域.解 依题意2x －4>0，∴x >2，∴函数y ＝512x －4的定义域为(2，＋∞).当x >2时，2x －4>0， 则12x －4>0，又指数函数y ＝5t在(0，＋∞)上是增函数，∴y >1， 故函数y ＝512x －4的值域为(1，＋∞).基 础 过 关1.函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A. 答案 A2.若函数f (x )＝(a －1)x在R 上是指数函数，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，1)∪(1，＋∞) B.(1，2) C.(1，2)∪(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析 由题意得a －1>0且a －1≠1，所以a >1且a ≠2. 答案 C3.(2016·浙江求实高中期中)函数y ＝a x＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(0，2)解析 因为y ＝a x的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x ＋1的图象，所以，函数y ＝a x＋1的图象经过点(0，2). 答案 D4.函数y ＝4x＋2的值域是________.解析 因为对于任意x ∈R ，都有4x >0，所以4x ＋2>2，即函数y ＝4x＋2的值域是(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)5.已知函数y ＝(a －2)x是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题知函数y ＝(a －2)x是减函数，所以0<a －2<1，即2<a <3. 答案 (2，3) 6.求函数y ＝32x －1－19的定义域.解 要使函数有意义，则32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2. ∵函数y ＝3x是增函数， ∴2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域.解 (1)∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， ∴a2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0，2].8.若y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，求函数f (x )＝a1x ＋2的定义域与值域. 解 因为y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝1，a －2>0且a －2≠1，解得a ＝4.所以f (x )＝41x ＋2由x ＋2≠0，知f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－2}. 令t ＝1x ＋2，则t ≠0，所以4t >0且4t≠1，故f (x )的值域为{y |y >0且y ≠1}. 能 力 提 升9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －12，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.4B.14C.－4D.－14解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝－2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.答案 B10.函数y ＝－e x的图象( ) A.与y ＝e x的图象关于y 轴对称 B.与y ＝e x的图象关于坐标原点对称 C.与y ＝e －x的图象关于y 轴对称 D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 y ＝e x的图象与y ＝－e x的图象关于x 轴对称，y ＝－e x的图象与y ＝e －x的图象关于原点对称. 答案 D11.(2016·浙江杭州西湖高中月考)已知集合A ＝{x |1≤2x<16}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________.解析 由1≤2x<16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，所以A ∩B ＝{0，1，2}. 答案 {0，1，2}12.方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是______.解析 作出y ＝|2x－1|的图象(如图)，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0. 答案 {a |a ≥1或a ＝0}13.设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象.(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3.f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π.f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的指数互为相反数时，它们的图象关于y 轴对称.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图.(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且－1<f (x )≤0.作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 第2课时 指数函数及其性质的应用目标定位 1.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式.2.在解决一些简单的实际问题中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.会求一些与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等.自 主 预 习1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断. 2.简单指数不等式的解法 形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解；(1)当0<a <1时，a f (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x )；(2)当a >1时，a f (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x ).3.形如y ＝af (x )(a ＞0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域.(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当a >1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相同；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.( )(2)函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是(0，＋∞).( ) (3)函数y ＝3－x ＋1的值域是R .( )提示 (1)对.由复合函数的单调性的性质知，该结论正确； (2)错.由指数函数的定义知，函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是R ；(3)错.函数y ＝3－x ＋1的值域是(0，＋∞).答案 (1)√ (2)× (3)× 2.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB.2lg (x ＋y )＝2lg x·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D.2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证.A 项，2lg x ＋lg y＝2lg x·2lg y，故错误；B 项，2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(x ·y )≠2lg(x ＋y )，故错误；C 项，2lg x ·lg y＝(2lg x )lg y，故错误；D 项，2lg(xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x·2lg y，正确.答案 D3.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为( )A.(－∞，＋∞)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，1)解析 因为x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＝2x －1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数.答案 A4.已知某种细菌在培养过程中，每20 min 繁殖一次，经一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个细菌.解析 因为3 h ＝9×20 min ，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).答案 512类型一 利用函数的单调性比较大小 【例1】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫56－0.24与⎝ ⎛⎭⎪⎫56－14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π与1； (3)(0.8)－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12. 解 (1)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56x，且0<56<1. ∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56x在(－∞，＋∞)上是减函数，又－0.24>－14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫56－0.24＜⎝ ⎛⎭⎪⎫56－14.(2)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx ，且0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在(－∞，＋∞)上是减函数， 又－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1.(3)(0.8)－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫542，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12＜(0.8)－2. 规律方法 比较幂值大小的三种类型及处理方法【训练1】 (1)下列判断正确的是( ) A.2.82.6>2.82.9B.0.52<0.53C.π2<π 2D.0.9－0.3>0.9－0.2(2)(2016·潍坊高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x ) ＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是________.解析 (1)函数y ＝0.9x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.9－0.3>0.9－0.2.(2)因为f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，因此m <n .答案 (1)D (2)m <n 类型二 解简单的指数不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2.(2)已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，求x 的取值范围.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2＝22－x 2，所以原不等式等价于22－x 2≤21.因为y ＝2x 是R 上的增函数，所以2－x 2≤1，所以x 2≥1，即x ≤－1或x ≥1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}.(2)因为a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1，所以y ＝(a 2＋a ＋2)x在R 上是增函数. 所以x >1－x ，解得x >12.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12.规律方法 1.解指数不等式问题，需注意两点：(1)形如a f (x )>ag (x )的不等式，借助y ＝a x的单调性 ①a >1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x ). ②0<a <1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x ).(2)形如a x＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解.2.(1)解指数不等式时，若底数a 的取值不定，要分类讨论.(2)不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式. 【训练2】 设0＜a ＜1，解关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3.解 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在R 上是减函数， 又∵a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3， ∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. ∴不等式的解集是(1，＋∞).类型三 指数型函数的单调性(互动探究)【例3】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域.[思路探究]探究点一 函数f (x )是由哪两个函数复合而成的？提示 由二次函数u ＝x 2－2x 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u复合运算得到. 探究点二 如何研究f (x )的单调性？提示 根据二次函数u ＝x 2－2x 及指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u的单调性，利用“同增异减”的规律确定函数f (x )的单调性.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u. ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减. ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13u≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0，3]. 规律方法 1.形如y ＝af (x )(a >0且a ≠1)的函数的单调性的判定(1)定义法，即“取值——作差——变形——定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性.(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.其中影响单调性的因素有两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调区间.【训练3】求函数y＝2－x2＋2x的单调区间.解函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u ＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数.当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].类型四指数型函数在实际中的应用【例4】某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1万立方米)解先归纳出函数解析式，再按指数型函数的性质进行讨论.列表如下：由上表，得经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x，x∈N*.当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.规律方法 1.类似上面此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝ka x(k≠0，a＞1且a≠1)的函数称为指数型函数.。
2017-2018学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第一课时 对数函数的图象及性质
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有关对数型函数图象问题的应用技巧 (1)求函数 y＝m＋logaf(x)(a＞0，且 a≠1)的图象过定点 时，只需令 f(x)＝1 求出 x，即得定点为(x，m)． (2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对 应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点， 判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后 综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． (3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 y＝1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一 象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大， 可比较底数的大小．
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[点睛] 底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升 降”：当 a＞1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜a＜1 时， 对数函数的图象“下降”．
3．反函数 指数函数 y＝ax 和对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1) 互为反函数．
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
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判断一个函数是对数函数的方法
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[活学活用] 1．函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实 数 a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 1. 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，∴a＝1. 答案：1
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求对数型函数的定义域
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(4)
要
使
函
数
式
有
意
义
，
需
4x－3>0， log0.54x－3≥0，
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》430教案教学设计 一等奖名师公开课比赛优质课评比
2.1.1（1）指数与指数幂的运算（教学设计）教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，)0()0(aaaaaann”的理解，培养学生分类讨论的意识。
3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n是偶数时，)0()0(aaaaaann的得出及运用教学过程一、创设情境，新课引入：问题（课本P58问题2）：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP．当生物死亡了5730，25730，35730，…年后，它体内碳14的含量P分别为21，2)21(，3)21(，…．是正整数指数幂．它们的值分别为21，41，81，…．当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：（1）若ax2，则x叫a的.如：2是4的平方根一个正数的平方根有个，它们互为数；负数没有平方根；零的平方根是.（2）若ax3，则x叫a的.如：2是8的立方根，－2是－8的立方根。
一个正数的立方根是一个数，一个负数的立方根是一个数，0的立方根是.（3）类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的；一个数的五次方等于a，则这个数叫a的；一个数的六次方等于a，则这个数叫a的；……；一个数的n次方等于a，则这个数叫a的；一般地，如果axn，则x叫a的n次方根，其中1n且*Nn. 问：（1）16的四次方根是.32的五次方根是.－32的五次方根是.（2）一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0的n次方根是多少？（给学生留点时间进行探究）得出结论：（1）一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(3)教案数学教案
指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值.②第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是52一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.41421<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明52是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a α是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a α是一个确定的实数,就不会再造成混乱. （2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s 都是无理数).②(a r )s =a rs(a>0,r,s 都是无理数).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r 是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ). 应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001） （1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.143;（4）33.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值； 对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.143≈2.336;（4）33≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n 位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简. (1)3224ab ba -(a>0,b>0); (2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0);(3)246347625---+-.活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a -2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044•a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) 246347625---+- =222)22()32()23(---+- =3-2+2-3-2+2=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=21(5n 1-5n 1-),n∈N *,求(x+2x 1+)n 的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5n1与5n1-具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x 2=41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 2-2·50+5n 2-)=41(5n 2+2+5n 2--4) =41(5n 1+5n 1-)2-1. 这时应看到1+x 2=1+41(n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)2,这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,带入即可.解：将x=21(5n 1-5n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)n ,所以(x+2x 1+)n=［21(5n 1-5n 1-)+211)55(41n n-+］n=［21(5n 1-5n 1-)+21(5n 1+5n 1-)］n =(5n 1)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2 例1计算:(1)105432)(0625.0833416--+++π;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-;(3)(-2x 41y31-)(3x 21y 32)；(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价. 解：(1)105432)(0625.0833416--+++π =(425)21+(827)31+(0.062 5)41+1-21=(25)2×21+(23)313⨯+(0.5)414⨯+21 =25+23+0.5+21 =5;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-=(53)32+(2-1)-2+(73)31-(3-3)31-=5323⨯+2-2×(-1)+7313⨯-3)31(3-⨯-=25+4+7-3=33; (3)(-2x 41y 31-)(3x 21y 32)=(-2×3)(x 41x 21·y31-y 32)=323121416+-+•-yx=-6x 43y 31=3436y x-;(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41)=((x 41)2-(y 41)2)÷(x 41-y 41) =(x 41+y 41)(x 41-y 41)÷(x 41-y 41) =x 41+y 41.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a -3)(a 3-a -3)÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］.活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x 32)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2-(a -3)2］÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a+a -1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a 23=(a 21)3还容易看出,对其中夹杂的数字m 可以化为m·a 21a 21-=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P 59习题2.1A 组 3.利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1-2321-)-1B.(1-2321-)-1C.1-2321- D.21(1-2321-) 分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1-2321-)=1-2161-,所以原式的分子分母同乘以(1-2321-),依次类推,所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1-2321-)-1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1-2+(22710)32--3π0+9-0.5+490.5×2-4.解：原式=(925)21+100+(6427)32-3+4921×161=53+100+169-3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=21(a n 1-a n 1-),则(x+2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,将x=21(a n 1-a n 1-)代入1+x 2,得1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x+2x 1+)n=［21(a n 1-a n 1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1-a n 1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a.答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂32的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂52的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算32的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”32的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.我们把用2作底数,3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…,同样把用2作底数, 3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数: 21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为32. 即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<32<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说32是一个实数,32=3.321 997 …也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时,32的近似值从大于32的方向逼近32； 当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时,32的近似值从小于32的方向逼近32.所以32就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即32≈3.321 997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业课本P 60习题2.1 B 组 2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)指数幂及其运算
解析:原式 = 5
2× 2
)
= 52 = 25.
答案(dá àn):B
【做一做 3-2】 ( 3)1+
A. 3
B. 2 3
C.1
D.3
解析:原式=( 3)1+
3
3+1- 3
× ( 3)1- 3 等于(
= ( 3)2 = 3.
答案(dá àn):D
第八页，共二十一页。
)
2
1
4 与2 不一定相等
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数(zhěngshù)指数推广到了
有理数指数.
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2
5
【做一做 1-1】 3 等于(
5
A. 3 B. 35
C. 3
1
5
)
5
D. 32
答案(dá àn):D
4
5
-
【做一做 1-2】 5 等于(
(1)同底数(dǐshù)幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.
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1
3
2
3
【做一做 2-1】 已知 m>0,则 · 等于(
)
1
3
2
9
A.m
B.
C.1
D.
答案(dá àn):A
2
3
3
7
【做一做 2-2】 已知 x>0,y>0,化简( )21 等于(
1
2
3 1
×
2 3
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质
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第十二页，共三十八页。
(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这 一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要 有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
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第十三页，共三十八页。
解析：选 B.法一：由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底
数必小于 1.
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点的纵坐
标即各指数函数的底数，则 1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知 a，b，
c，d 与 1 的大小关系为 b＜a＜1＜d＜c.
法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再Байду номын сангаас③④比较 c，d 的
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求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
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1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx 满足不等式 0<m<n<1，则 它们的图象是( )
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2．已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图象必定不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 A.函数恒过点(0，1＋b)，因为 b＜－1，所以点(0，1 ＋b)在 y 轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
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高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算(第1课时)根式aa高一数学
.
4
∴x 是 2 019 的 4 次方根,则 x=± 2 019.
4
答案:± 2 019
【做一做1-3】 已知x7=5,则x=
.
解析:∵x7=5,∴x 是 5 的 7 次方根,则 x=
7
答案: 5
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7
5.
2.根式(gēnshì)
(1)定义:式子 a叫做根式, 这里叫做根指数, 叫做被开方数.
原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
-2-2,-3 < < 1,
∴原式 =
-4,1 ≤ < 3.
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题型一
题型二
题型三
反思1.有条件的根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过
配方、拆分等方式进行化简.
2.能利用根式的性质对根式进行化简.
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1.n次方根(fānggēn)
一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈
定义 *
N
a>0 x>0
n 是奇数
x 仅有一个值,记为
a<0 x<0
个数
a>0
x 有两个值,且互为相反数,记为 ±
n 是偶数
由此看来,只要( )有意义,其值就恒等于 a,即( ) = .
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2. 对 an 的理解
剖析 是实数an 的 n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受 n 的
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)．学情预设学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．二、师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N*，x≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x 都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1.在这里要注意生生之间、师生之间的对话．①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝k x ，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x ，y ＝32x ，y ＝－2x.学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．(2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟)师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝a x的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．0＜a＜1a＞1(0，＋∞)过定点(0,1)1．例：已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝a x的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，即a 3＝π.解得13πa =，于是f (x )＝3πx . 所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π. 设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y =112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)作者：王建波导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x x x a a a a x -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-，即21x x a -－1＞0. 又因为1x a ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数． 证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x x a a a -=. 因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．例1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；……经过x 年 人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x 的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．AB B ．AB C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B .答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________． 解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010x x xx +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010x x xx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号， 所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系． (1)①y ＝3x，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象左移1个单位得到；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．课堂小结思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B组1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时指数函数及其性质的应用(2)作者：刘玉亭导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.图7比较可知函数y ＝2x －1、y ＝2x －2与y ＝2x的图象的关系为：将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y ＝2x －1的图象；将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．点评：类似地，我们得到y ＝a x与y ＝ax ＋m(a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x的图象向左移动m 个单位得到y ＝ax ＋m的图象； 当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．例2 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R ，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，(2)在(1)的基础上求出f (x )，转化为关于k 的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1.所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1；。
高中数学第二章基本初等函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时分数指数幂新人教A版必修1
B．234
C．18
D．243
[解析]
4－23
＝
1
3
42
＝22123
＝213＝18.
(C)
2．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是
m
A．am÷an＝a n
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
(D )
• [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确， 故选D．
(3)由于a23
－a－32
＝(a12
)3－(a－12
3
)3，所以有a21 a2
－a－32 －a－12
1
＝a2
－a－21 a＋a－1＋a12
1
a2
－a－12
·a－12
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
『规律方法』 (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知
条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体
3
(2)化简：
7
a2
a－3÷ 3 a－83 a15÷3
a－3 a－1.
• [思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指 数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)21 ＝1＋16－110＝1165.
3
(2)原式＝
7
a2
a－32
÷
a－83
15
a3
3
÷
a－23
• 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分 数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式 又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
2018人教A版高中数学必修一课件：第二章 基本初等函数Ⅰ17 精品
－16
1 3＝－24
1 3
＝－8 3.
(2)因为a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以aab＋＝b＝ 4. 6，
a－ a＋
bb2＝aa＋ ＋bb－ ＋22
ab ab
＝66－ ＋22 44＝120＝15.
因为a>b>0，所以 a> b>0，
所以
a－ a＋
b＝ b
15＝
5 5.
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2 3
(m>0)，则a3＋b3的值为(
)
A．0
m B. 2
C．－m2
3m D. 2
二、填空题(每小题5分，共15分) 7．用分数指数幂表示下列各式．
(1)3 p6q5＝__________； (2) m－n4＝__________；
3 (3)
m－n2＝__________；
(4) mm3 ＝__________.
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列等式恒成立的是( )
A.mn 7＝n17 m7
12 B.
－24＝3
－2
4 C.
x3＋y3＝(x＋y)
3 4
D. 3 9＝3 3
2. a3 (a>0)的值是( ) a·5 a4
A．1
B．a
C．a15
17
D．a 10
3．设a
1 2
－a－12
＝m，则a2＋a 1＝(
b－2·(－3a－12
b－1)÷(2a
1 3
b－32
)
＝56×－3÷2a13－12－13 b－2＋(－1)－(－32)
＝－54a－12 b－32 .
12．A 因为(1－2 －312 )(1＋2 －312 )(1＋2 －116 )(1＋2 －18 )(1＋ 2－14 )(1＋2－12 )＝(1－2－116 )(1＋2－116 )(1＋2－18 )(1＋2－14 )(1＋2－12 ) ＝…＝1－2－1＝12，所以原式＝12(1－2－312 )－1.
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指数函数的图象及性质
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·洛阳高一检测)下列函数是指数函数的是( )
A.y=
B.y=(-8)x
C.y=2x-1
D.y=x2
【解析】选A.由指数函数的定义知A正确;B,C,D错误.
2.(2017·杭州高一检测)指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)·f(2)等于( )
A.8
B.16
C.32
D.64
【解析】选 D.设f(x)=a x,由条件知f(-2)=,故a-2=,所以a=2,因此f(x)=2x,所以f(4)·f(2)=24×22=64.
3.已知函数f(x)=3-x-1,则f(x)的( )
A.定义域是(0,+∞),值域是R
B.定义域是R,值域是(0,+∞)
C.定义域是R,值域是(-1,+∞)
D.定义域、值域都是R
【解析】选C.由f(x)=3-x-1=-1知f(x)的图象是由y=的图象向下平移一个单位,故f(x)的定义域为R,值域为(-1,+∞).
4.(2017·兰州高一检测)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值
为( )
A.0
B.
C.1
D.
【解析】选D.因为3a=9,所以a=2,所以tan=tan60°=.
5.(2017·长沙高一检测)当a>0且a≠1时,函数f(x)=a x+1-1的图象一定过
点( )
A.(0,1)
B.(0,-1)
C.(-1,0)
D.(1,0)
【解析】选C.令x+1=0得x=-1,此时y=0,故f(x)的图象一定过点(-1,0).
6.函数f(x)=3x-3(1<x≤5)的值域是( )
A.(0,+∞)
B.(0,9)
C. D.
【解析】选C.因为1<x≤5,所以-2<x-3≤2,3-2<3x-3≤32,于是有<f(x)≤9,即所求函数的值域为.
7.(2017·宜昌高一检测)如图,面积为8的平行四边形OABC,对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y=a x(a>0,且a≠1),经过点E,B,则a= ( )
A. B. C.2 D.3
【解题指南】首先设点E(t,a t),则点B的坐标为(2t,2a t),又因为2a t=a2t,所以a t=2;然后根据平行四边形的面积是8,求出t的值,代入a t=2,求出a的值即可.
【解析】选A.设点E(t,a t),则点B的坐标为(2t,2a t),
又因为2a t=a2t,所以a t=2,
因为平行四边形OABC的面积=OC·AC=a t·2t=4t,又平行四边形OABC的面积为8,
所以4t=8,t=2,所以a2=2,a=.
8.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则|a|的取值范围是( )
A.1<|a|<
B.|a|<1
C.|a|>1
D.|a|>
【解析】选D.因为当x>0时函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,所以a2-1>1,故|a|>. 【延伸探究】本题中条件“总大于1”若换为“总小于1”,其结论又如何?
【解析】选A.由题意知0<a2-1<1,所以1<a2<2,即1<|a|<.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.图中的曲线C1,C2,C3,C4是指数函数y=a x的图象,而a∈,则图象
C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是__________,__________,__________, __________.
【解析】过点(1,0)作直线x=1,在第一象限内分别与各曲线相交.可知y3>y4>y1>y2,故图象C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是,,π,.
答案:π
10.(2017·长春高一检测)已知函数y=在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,则m+n 的值为________.
【解析】因为y=在[-2,-1]上为减函数,所以m==3,n==9,所以m+n=12. 答案:12
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.设f(x)=3x,g(x)=.
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象.
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?
【解析】(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示:
(2)f(1)=31=3,g(-1)==3.
f(π)=3π,g(-π)==3π.
f(m)=3m,g(-m)==3m.
从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等.
12.(2017·郑州高一检测)函数f(x)=4x-2x+1+3的定义域为.
(1)设t=2x,求t的取值范围.
(2)求函数f(x)的值域.
【解析】(1)因为t=2x在x∈上单调递增,
所以t∈.
(2)函数可化为:f(x)=g(t)=t2-2t+3,
g(t)在上递减,在[1,]上递增,
比较得g<g().
所以f(x)min=g(1)=2,
f(x)max=g()=5-2.
所以函数的值域为[2,5-2].
【补偿训练】已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值.
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
【解析】(1)因为f(2)=,所以a2-1=即a=.
(2)因为y=f(x)=,x≥0.
所以x-1≥-1,故≤=2,
即函数的值域为(0,2].
【能力挑战题】
设函数f(x)=ka x-a-x(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求常数k的值.
(2)若a>1,试判断函数f(x)的单调性,并加以证明.
【解析】(1)函数f(x)=ka x-a-x的定义域为R,
因为函数f(x)=ka x-a-x(a>0且a≠1)是奇函数,
所以f(0)=k-1=0,所以k=1.
(2)函数f(x)在R上为单调增函数,证明如下:
f(x)=a x-a-x,设x1,x2为R上两任意实数,且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(-)-(-)
=(-)+
=(-)+=(-). 因为a>1,x1<x2,所以0<<,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在R上为单调增函数.。