小波分析的基本理论

东北大学研究生考试试卷考试科目：状态监测与故障诊断课程编号：阅卷人：考试日期：2013.12*名：***学号：*******注意事项1．考前研究生将上述项目填写清楚2．字迹要清楚，保持卷面清洁3．交卷时请将本试卷和题签一起上交东北大学研究生院小波分析的基本理论小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。

经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。

小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。

而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。

所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。

1 小波变换理论1.1 连续小波变换定义1.1 小波函数的定义：设ψ（x ）为一平方可积函数，也即ψ（x ）∈ L 2（R ），若其傅里叶变换ψ（ω）满足条件：C ψ=∫|ψ̂（ω）||ω|d ω<+∞+∞−∞1-1则称ψ（x ）是一个基本小波或小波母函数（Mother Wavelet ），并称上式为小波函数的容许性条件。

由定义1.1可知，小波函数具有两个特点：（1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。

由定义的条件知道任何满足可容许性条件的L 2（R ）空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。

但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特性，这样可以更好的完成实验。

（2）波动性：若设ψ̂（ω）在点ω=0连续,则由容许性条件得:∫ψ(x )dx =ψ̂(0)=0+∞−∞ 1-2也即直流分量为零,同时也就说明ψ（x ）必是具有正负交替的波动性,这也是其 称为小波的原因。

定义1.2 连续小波基函数的定义:将小波母函数ψ（x ）进行伸缩和平移,设其收缩因子(即尺度因子)为a,平移因子为b,使其平移伸缩后的函数为ψa,b （x ）,则有:ψa ，b (x )=|a |−12ψ(x−b a)，a >0，b ∈R 1-3称ψa,b （x ）为依赖于参数a,b 的小波基函数。

由于伸缩因子a,平移因子b 都是取连续变化的值,因此又称ψa,b （x ）为连续小波基函数。

它们是一组函数系列,这组函数系列是由同一母函数ψ（x ）经伸缩和平移后得到的。

定义1.3 若f （x ）∈ L 2（R ）,函数f(x)在小波基下进行展开,则f(x)的连续小波变换(CWT)定义为:W ψf(a ，b)={f (x )，ψa ，b (x )}=a f (x )ψ(x−ba )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅dx +∞−∞ 1-4由定义1.3可知,小波基具有收缩因子a和平移因子b,若将函数在小波基下展开,就是把一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上,把一个一维函数变换为一个二维函数,即连续小波变换Wψf（a,b）是f（x）在函数ψa,b（x）上的“投影”。

小波函数若满足容许性条件(1-1),则存在其逆变换。

由小波变换的系数可以重构信号,其重构公式为：f(x)=1Cψ∫∫Wψf(a，b)+∞−∞+∞−∞ψa，b(x)daadb 1-5定理1 连续小波变换是一种线性变换,具有如下性质:（1）叠加性: 设f（x）=k1f1（x）+k2f2（x）,则:Wψf（a,b）= k1 Wψf1（a,b）+k2Wψf2（a,b） 1-6（2）时移不变性: 设g（x）=f（x-c），则：Wψg（a,b）= Wψf（a,b-c） 1-7 （3）尺度变换: 设g（x）=f（cx），则:Wψg(a，b)=|c|−12Wψf(ac，bc) 1-8该性质说明，信号在连续小波变换的尺度a和位移b上做拉伸时，其信号也在时域拉伸，且能保持拉伸前后的形状不变。

（4）内积定理: 对于f（x）∈ L2（R），则有Wψf（a,b）∈ L2（R2），并且对f （x），g（x）∈ L2（R），会有：{ Wψf（a,b），Wψg（a,b）}=Cψ{ f（x），g（x）} 1-9 （5）能量关系：当内积定理中的信号f（x）≡ g（x）时，内积定理变为：∫1a da+∞0∫|Wψf(a，b)|2db=+∞−∞Cψ∫|f（x）|2dx+∞−∞1-10同时称式1-10为能量关系。

性质（4）和性质（5）表明，信号的变换域内积和时域内积之间保持着一定的联系，小波变换系数的幅度平方在尺度位移平面内的积分实际上是在尺度位移域内能量的积累，它与原始信号的能量成正比。

1.2 离散小波变换由前文定义的连续小波基函数：ψa，b (x)=√a(x−ba) 2-11式中a，b∈R，a≠0，ψ满足容许性条件，并且伸缩因子a,平移因子b是连续变化的。

由于连续小波变换系数的信息量是冗余的虽然在有些情况下连续小波变换的冗余性是有益的。

例如，在图像降噪进行数据恢复及特征提取时，连续小波变换以牺牲计算量、存储量为代价来获得更好的结果。

但是许多情况下需要考虑的是在数字处理中压缩数据和节约计算量，这样便希望可以再不丢失原信号的情况下，尽量减小小波变换的冗余度，为了解决这一问题，提出了将其离散化，最大程度地消除或降低冗余性，这才适合数字计算机处理。

离散小波变换是相对于连续小波变换的变换方法，本质上是对收缩因子a和平移因子b分别进行离散化处理。

（1）收缩因子离散化：将收缩因子按幂级数进行离散化，即取a=a0-j，j∈Z，a≠1，这时离散后的函数ψa,b （x）变为aj/2ψ（aj（x-b）），j∈Z（2）平移因子离散化：在尺度j下，平移因子均匀离散化，即使平移量以∆b=ka0-j b作为采样间隔量，其中b 0是j=0时的均匀采样间隔量。

因而离散后的函数ψa,b （x ）变为a 0j/2ψ（a 0j （x- ka 0-j b 0））, j ∈Z在实际运用中，我们通常取a 0=2，b 0=1，这时ψa,b （x ）变为2j/2ψ（2j （x-k ）），这时记ψj,k （x ）=2j/2ψ（2j （x-k ）），称ψa,b （x ）为离散小波。

定义1.4 若f （x ）∈ L 2（R 2），则f （x ）的离散小波变换定义为：W ψf(j ，k)=〈f ，ψj ，k 〉=2j 2⁄∫f (x )+∞−∞ψ（2j （x −k ））̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅dx 1-12其相应的逆变换为：f (x )=∑∑W ψf(j ，k)2j 2⁄+∞−∞+∞−∞ψ（2j （x −k ））̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1-13 上文表述的对连续小波进行离散化时，若取离散的栅格a=2，∆b =0，即相当于只将伸缩参数a 进行二进制离散，而平移参数b 仍取连续变换，则得到的离散小波称为二进小波。

定义1.5 函数ψ（x ）∈ L 2（R ），若存在二常数0<A ≤B <∞使得A ≤∑|ψ̂(2−j ω)|2+∞j=−∞≤B 1-14 那么称ψ（x ）为二进小波。

其时域表示为：ψj,b =2j/2ψ（2j（x-b ）） 函数f （x ）在 L 2（R ）的二进小波变换定义为：(W j ψf)(b )=〈f (x )，2j 2⁄ψ（2j （x −b ））〉=∫2j 2⁄f (x )+∞−∞ψ（2j （x −b ））̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅dx 1-15 其相应的逆变换为：f (x )=∑∫(W jψf)(b )+∞−∞+∞j=−∞2j 2⁄（2j （x −b ））̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅db 1-16 二进小波是介于连续小波和离散小波之间的一种“半离散”化小波，它只是对伸缩参数进行了离散化，而在时间域上的平移参数仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它与离散小波相比所具有的独特优点。

正因为如此，它在奇异性检测、图像处理等方面十分有用。

2 多分辨率分析理论由于离散化小波的信息量仍是冗余的，因此再次从数字计算机处理的角度考虑，人们仍然希望减小离散化小波的冗余量，直到得到一组正交基。

这组正交基称为正交小波基。

如何构成正交基，构造小波母函数ψ（x ），而解决这些问题的方法就是多分辨率分析理论。

多分辨分析（Multi-resolution Analysis MRA ），又称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。

其创建者S.mallat 是在1988年在构造正交小波基时提出，在研究图像处理问题时建立这套理论的。

MRA 不仅为正交小波基的构建提供了一种比较简单的方法，并且对正交小波变换的快速算法提供了理论根据。

但其思想又同多采样滤波器不谋而合，这样把小波变换和数字滤波器理论相结合起来。

这使在小波变换理论中多分辨率分析具有重要的地位。

2.1 多分辨分析多分辨分析的基本思想是随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗到细地观察目标。

为了更好的理解这个思想，把尺度想象为照相机的镜头，当尺度由大到小变化时，就相当于照相机镜头由远及近的观察目标。

在大的尺度空间里对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标的大概。

而在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，则可观看到目标的细微部分。

定义2.1 L 2（R ）空间中的多分辨分析是L 2（R ）中满足如下条件的一个闭子空间序列{V j }j ∈Z ：（1）一致单调性：⋯⊂V -2⊂V -1⊂V 0⊂V 1⊂V 2⋯;（2） 渐进完全性: Uj∈Z V j̅̅̅̅̅̅=L 2(R )，⋂j∈Z V j={0};（3） 伸缩规则性: f （x ）∈V j ⇔ f （2j x ），j ∈Z ；（4）平移不变性: f （x ）∈V 0⇔ f （x-n ）∈V 0，∀n ∈Z ； （5）正交基存在性：正交基存在性条件可放宽为Riesz 基存在性，存在函{θ（x-n ）}n ∈Z 构成V 0的Riesz 基，即存在0<A ，B <∞，使得对∀f ∈ V 0均能唯一地分解为：f (x )=∑c k θ（x −k ）+∞n=−∞ 2-1其中 A ∑|c k |2+∞n=−∞≤||∑c k θ（x −n ）+∞n=−∞||2≤B ∑|c k |2+∞n=−∞ 2-2定义2.1所描述的多分辨分析在人类视觉系统对物体认识的直观解释。

事实上，如果把V j 看作是某人眼睛在尺度j 下观察到的一个物体，而这个物体实际上是三维物体的两面。

那么当尺度增加到j+1时，这个人所观察到的就是物体的全部，也就是三维物体的三个面，这样就表示人进一步的观察了物体，相当于拉近了照相机的镜头。

因而V j+1比V j 包含更多的信息，即V j ⊂V j+1。

所以，尺度越大，距目标越近，则观察到的信息越丰富；尺度越小，距目标越远，则观察到的信息越少。