人教版八年级数学上册-第十三章-轴对称教案及试卷1
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第13章 轴对称 画轴对称图形(第1课时)教案
第十三章轴对称13.2 画轴对称图形第1课时一、教学目标【知识与技能】能画出简单平面图形作轴对称之后的图形,了解画一般轴对称图形的方法.【过程与方法】让每个学生在生动具体的问题情境中参与数学活动,通过积极主动的探索,加深自己的理解和认识.【情感、态度与价值观】让学生体验到成功的喜悦,树立自信心,体验合作交流的重要性,感受数学美,明白数学来源于生活又服务于生活的道理.二、课型新授课三、课时第1课时，共1课时。
四、教学重难点【教学重点】1.轴对称变换的定义.2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.【教学难点】利用轴对称进行一些图案设计.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生：三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程（一）导入新课我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.（出示课件3）（二）探索新知1.创设情境，探究轴对称图形的画法教师问1：（出示课件2）观察思考，欣赏美丽图案，思考这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？学生回答：这些图案都是轴对称图形，希望学习这些图案制作方法.教师问2：在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印，这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点得到的线段被对称轴垂直平分.类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论呢？（出示课件5）学生问：这个如何做呢？出示下边的图案教师问3：认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？（出示课件6）学生回答：成轴对称教师问4：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP ′是什么关系？学生回答：直线l垂直平分线段PP′教师总结点拨：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.教师讲解：同学们自己能做出一个类似的图形吗？学生回答：可以做到.师生共同解答如下：(1)取一张长方形纸；(2)将纸对折，中间夹上复写纸；(3)在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶；(4)把纸展开.得到的图案如下：教师问5：取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？学生动手作图后回答：这两个图形关于某直线成轴对称.教师问6：当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置会变吗？学生画图后回答：当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置不会变化.例1：将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，得到的图案是（）（出示课件8）师生共同解答如下：动手剪一剪，亲自操作后得到答案:B.例2：如图，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝50°，则∠CFD 的度数为（ ）（出示课件10）A ．20° B．30° C ．40° D．50°师生共同解答如下：A. B. C. D. A B D CE F由折叠知道：∠EFD=∠A=90°，∵∠EFB=50°，∴∠CFD=180°-90°-50°==40°.答案：C.总结点拨：折叠是一种轴对称变换，折叠前后的图形形状和大小不变，对应边和对应角相等．2、运用新知，作轴对称图形教师问7：如何画一个点的轴对称图形？学生回答：画出点A关于直线l的对称点A′.教师问8：如何画呢？师生共同解答如下：作法：（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.（2）在垂线上截取OA′＝OA.点A′就是点A关于直线l的对称点. （出示课件12）教师问8：如何画一条线段的对称图形？学生回答：已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.师生共同解答如下：（出示课件13）教师问9：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？师生共同探究后，完成下边的问题例3：如图，已知△ABC 和直线l ，作出与△ABC 关于直线l 对称的图形.师生共同解答如下：（出示课件14）分析：△ABC 可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l 的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.（出示课件15）作法：（1）过点A 画直线l 的垂线，垂足为点O ，在垂线上截取OA ′=OA ，A ′就是点A 关于直线l 的对称点.（2）同理，分别画出点B ，C 关于直线l 的对称点B ′，C ′ .（3）连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，得到△ A ′B ′C ′即为所求. l AB C总结点拨：（出示课件16）作轴对称图形的方法：几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.例4：在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.（出示课件17）师生共同解答如下：总结点拨：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．（出示课件18）（三）课堂练习（出示课件21-25）1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，D两点落在B′，D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为________.3.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.4.如图给出了一个图案的一半，虚线l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.5.如图，画△ABC关于直线m的对称图形.参考答案：1.B2.55°3.解答如下图：4.解答如下图：5.解答如下图：（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.轴对称图形的基本特征。
新人教版八年级上册初中数学 13.1.1 轴对称 教案(教学设计)
第十三章轴对称13.1轴对称13.1.1 轴对称【知识与技能】(1)理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.(2)了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某条直线对称的对应点.(3)掌握线段垂直平分线的概念.(4)理解和掌握轴对称的性质.【过程与方法】通过已知图形画对称轴及画轴对称图形，让学生体会轴对称图形的性质和轴对称在实际生活中的应用.【情感态度与价值观】通过对轴对称图形和轴对称的认识，增强学生对对称美的认识，使学生感受数学带来的美.轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的区别和联系.多媒体课件、剪刀、长方形纸片教师引入：我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称的角度考虑，自然界的许多动植物也按照对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性，(教师利用投影出示一些图片，如图13-1.1-1)……对称给我们带来很多美的感受！其中轴对称是对称中重要的一种，那么这节课我们就学习轴对称.(教师板书课题)探究1：轴对称教师提出问题：把一张长方形纸片对折，剪出一个图案，再打开，就剪出了美丽的窗花，你能剪出什么样的窗花呢？教师先把长方形纸片对折，用剪刀剪出一个图案，再打开这个图案，让学生欣赏，然后学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征，教师归纳轴对称图形及轴对称的概念，并板书概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.然后教师让学生举出一些轴对称图形的例子.教师出示例题：例1在如图13-1.1-2所示的图形中，轴对称图形的个数是(B).学生先独立思考,再口答哪些是轴对称图形，教师进行点评.然后教师让学生完成：教材P60练习第1题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它们的一对对称点)探究2：两个图形成轴对称教师提出问题：在教材P59图13.1-3中，每对图形有什么共同特征？你们能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？学生观察思考，并互相交流，发现其共同特征——每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合.教师进一步说明：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.然后教师让学生举出一些两个图形成轴对称的例子.教师提出问题：(1)将教材P58-59图13.1-2和图13.1-3进行比较，轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别？(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？学生独立思考后，进行交流，然后学生代表发言.教师根据学生回答的情况进行点评，最后师生共同归纳得出：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.接着，教师继续提出问题：(1)成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴对称吗？为什么？(2)在教材图13.1-3中，你能标出A，B，C的对称点吗？学生独立思考后，再展开讨论，教师参与学生的讨论，并及时指导.然后教师让学生完成：教材P60练习第2题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它们的一对对称点)最后教师总结：探究3：垂直平分线教师出示问题：(1)观察教材P59图13.1-4，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？(2)在教材图13.1-5中，你能测量出线段AA′，BB′与直线l的夹角吗？它们与直线l垂直吗？点A与点A′到直线l的距离相等吗？点B与点B′到直线l的距离呢？教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生汇报交流结果.教师接着引导学生从观察三条线段与直线MN的位置关系，利用投影动画展示点A与点A′等重合的情形，并指出：经过线段中点并垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.最后师生共同归纳：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.1.概念：轴对称图形、两个图形关于某条直线对称、对称轴、对称点.2.找轴对称图形的对称点.3.垂直平分线.【正式作业】教材P64习题13.1第1-5题。
最新人教版八年级数学上册第十三章轴对称 教案教学设计 共10课时,含教学反思
第十三章轴对称13.1 轴对称 (1)13.1.1 轴对称 (1)13.1.2 线段的垂直平分线的性质 (3)13.2 画轴对称图形 (8)第1课时作轴对称图形 (8)第2课时用坐标表示轴对称 (12)13.3 等腰三角形 (16)13.3.1 等腰三角形 (16)13.3.2 等边三角形 (25)13.4 课题学习最短路径问题 (33)章末复习 (35)13.1 轴对称13.1.1 轴对称【知识与技能】掌握轴对称图形和关于直线成轴对称等概念.【过程与方法】通过生活中的具体实例认识,培养观察、思维、操作、归纳能力.【情感态度】体验数学与生活的联系,发展审美观.【教学重点】准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的实质.【教学难点】轴对称图形和关于直线成轴对称的区别与联系.一、情境导入，初步认识展示学生按要求收集的图片资料,教师指导并对所有图片进行分类:第一类是轴对称图形,第二类是关于一条直线对称的图形.学生观察,并以小组为单位,讨论下列问题:1.第一类图案有什么共同特征?2.第二类图案有什么共同特征?【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知1.轴对称图形在学生交流和说出两类图案的特征的基础上,教师提出第一类的图案称为轴对称图形.问题1 学生尝试说出轴对称图形的定义,教师适当纠正与补充.问题2 请学生再举一些日常生活中的轴对称图形的例子.问题3 请观察下列图案,看这些轴对称图形各有几条对称轴.2.两个图形关于某条直线对称教师提出第二类图案称为两个图形关于某条直线对称.问题4 鼓励学生说出两个图形关于某条直线对称的定义.问题5 举出生活中两个图形成轴对称的例子.如:提示：对称轴可能不止1条,也可能是水平的或倾斜的.教师再归纳总结轴对称图形和两个图形成轴对称间的区别与联系.三、运用新知，深化理解1.如图,在由小正方形组成的L形的图形中,用三种不同的方法添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.2.角是轴对称图形,它的对称轴是 .【教学说明】问题1中有两种方法比较容易,方法3鼓励学生交流讨论得到;问题2提醒学生不能说成角平分线.【答案】1.2.角平分线所在的直线.四、师生互动，课堂小结本节课你学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?1.布置作业：从教材“习题13.1”中选取.2.如图是一个圆形的纸片,请问:它是轴对称图形吗?如果是, 对称轴有多少条?请你找到它的圆心.3.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应重视以下几点：1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.2.形成提炼概念的能力，注重从实物的形象思维向抽象思维转变.3.在对比中发现，认识知识，如“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系.13.1.2 线段的垂直平分线的性质【知识与技能】1.了解两个图形成轴对称的性质,了解轴对称图形的性质.2.探究线段垂直平分线的性质.【过程与方法】经历探索轴对称图形性质的过程,发展空间观察能力.【情感态度】体验数学与现实间的联系,发展审美感,激发兴趣.【教学重点】轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.【教学难点】线段垂直平分线的性质.一、情境导入，初步认识问题1 下面图形中哪些是轴对称图形?如果是,请说出它的对称轴.问题2 如果两个图形成轴对称,那么这两个图形有什么关系?(如图2,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称)【教学说明】两个图形成轴对称,那么这两个图形就全等.由此提出线段垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如图3,直线l是线段AB的垂直平分线.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知1.探究轴对称的性质(1)作两个成轴对称的三角形,如图.(2)将对称点分别用线段连接起来,观察它与对称轴的位置关系及数量关系,你能得到什么结论?是如何得到这个结论的?(3)轴对称图形是否也具备这样的性质呢?举例说明.2.探索线段垂直平分线的性质探究1 教材中的“探究”.学生先思考教科书上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究.任意画一条线段AB,画出它的垂直平分线MN,在MN上任取点P1,P2,P3,分别量一量点P1,P2,P3到点A，点B 的距离,你有什么发现?与同伴交流,说明理由.探究2 如图,PA=PB,取线段AB的中点O,连接PO,PO与AB有怎样的位置关系?指导学生运用三角形全等知识判定△PAO≌△PBO,从而推得PO是线段AB的垂直平分线.教师总结线段垂直平分线的性质与判定.例1 如图所示,有一块三角形田地,AB=AC=10m,作AB的垂直平分线ED交AC于D,交AB 于E,量得△BDC的周长为17m,请你替测量人员计算BC的长.解:∵ED是AB的垂直平分线,∴DA=DB.又∵△BDC的周长为17m,AB=AC=10m,∴BD+DC+BC=17(m).∴DA+DC+BC=17, 即AC+BC=17(m). ∴10+BC=17(m),BC=7(m). 3.作简单轴对称图形的对称轴.例2 如图所示，△ABC 与△A ′B ′C ′关于某条直线对称，请你作出这条直线.【分析】△ABC 与△A ′B ′C ′中的点A 与A ′，点B 与B ′，点C 与C ′是对应点，连接一对对应点，如连接BB ′，作线段BB ′的垂直平分线即可.解:（1）如图所示，连接BB ′，分别以点B ，B ′为圆心，以大于21BB ′的长为半径作弧，两弧相交于D 、E 两点；（2）作直线DE ，DE 即为所求的直线. 三、运用新知，深化理解1.如果△ABC 中,∠BAC=110°,P\,Q 在BC 上,若MP\,NQ 分别垂直平分AB\,AC,则∠PAQ 的度数是 .2.如图，正方形ABCD 的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为.3.如图所示，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ）A.6B.5C.4D.34.如图所示,OC是∠AOB的平分线,AC⊥AO,BC⊥BO,则OC与AB的关系是( ).A.AB垂直平分OCB.OC垂直平分ABC.OC只平分AB但不垂直D.OC只垂直AB但不平分5.如图,△ABC中，AB=AC，∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC.（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC的长.【教学说明】指导学生解答上述习题时，强调学生应：（1）注意成轴对称的两个图形的全等关系，由此可得到几组边、角的相等；（2）注意线段垂直平分线的性质的灵活运用.【答案】1.40° 2.8cm2 3.B 4.B5.(1)∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∴∠ECD=∠A=36°.(2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,∵∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴BC=EC=5.四、师生互动，课堂小结问题：本节课学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?由学生表述,教师归纳总结.1.布置作业：从教材“习题13.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性、学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考、比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣.强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.13.2 画轴对称图形第1课时作轴对称图形【知识与技能】1.通过动手操作体验如何作轴对称图形.2.能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形.3.能利用轴对称变换设计一些简单的图案.【过程与方法】通过实际操作获取作轴对称图形的方法,并应用于简单的图案设计.【情感态度】通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力\,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.【教学重点】作一个图形经轴对称变换后的图形.【教学难点】通过动手操作总结轴对称变换的特征.一、情境导入，初步认识利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流:如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?问题 1 请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸,把这张纸对折后描图,学生画好后打开对折的纸,观察并回答下列问题:(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(2)两个图形成轴对称有什么特征?问题 2 如果改变对称轴的方向和位置,结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠,描图,打开纸.你发现了什么?【教学归纳】由学生画图、操作、观察后总结出:(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点,连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.问题除上面所用的描图法;还可用什么方法画出轴对称变换后的图形?请学生间交流探讨.例1(1)如图1,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.(2)将△ABC的位置移至图2,图3,图4时,再作出关于直线l对称的图形.并验证画法.【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成,点动成线,故要画一个图形经轴对称后的图形,只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的对称点即可.【教学说明】利用轴对称变换,可以设计出精美的图案.有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案.例2 操作并思考:如图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的三角形沿黑线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺开.(1)你会得到怎样的图案?先猜一猜,再做一做.(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再去掉含90°角的部分展开后的结果又会怎样?为什么?解:(1)得到一个有2条对称轴的图形.(2)按照上面的做法，实际相当于折出了正方形的2条对称轴，因此图中得到的图案一定有2条对称轴.(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.【教学说明】教师参与,与学生一起操作,力求使图案与花边完美.三、运用新知，深化理解1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.2.如图,利用轴对称变换画出花瓶的另一半.3.如图，左边的旗子经过几次轴对称变换,可以变成右边的旗子?你能设计一种变换方案吗?4.如果我们把台球桌做成等边三角形形状,那么从AC中点D处出发的球,能否依次经BC,AB两条边反射后回到D处?如果认为不能,请说明理由;如果认为能,请作出球运动的路线.【教学说明】指导学生解答上述习题时，要注意引导学生：（1）画轴对称图形时，要先画好关键的对应点；（2）在已知成轴对称的图形时，利用成轴对称的图形的性质，找出对称轴.【答案】4.能.运动路线如图的D→E→F→D四、师生互动，课堂小结教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获,最后引导总结.1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.2.经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分.3.画一个图形经轴对称变换后的图形,关键是找到图形上的一些点,作出这些点的对称点.1.布置作业：从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系（如例2）调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.第2课时用坐标表示轴对称【知识与技能】1.能在直角坐标系中画出已知点关于坐标轴对称的点.2.能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标,求出已知点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标.【过程与方法】在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中,培养学生的语言表达能力、归纳能力.【情感态度】在找点,绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习乐趣,养成良好的科学研究方法.【教学重点】能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标.【教学难点】找对称点的坐标之间的关系,规律.一、情境导入，初步认识用多媒体展示北京城风光图片,及北京城形象地图.问题 1 老北京的地图(教材图13.2-3)中,西直门和东直门是关于中轴线对称的,如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,对应于如教材图13.2-3所示的东直门的坐标,你能找到西直门的位置和坐标吗?学生指出西直门的位置或坐标,由此指出用坐标表示轴对称,很方便确定一个地方的位置.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2(1)在直角坐标系中画出下列已知点:A(2,-3);B(-1,2);C(-6,-5);D(3,5);E(4,0);F(0,-3).(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点,并填写表格.(3)请你仔细观察点的坐标,你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性,说说你是如何检验的.【归纳结论】点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等.二、典例精析，掌握新知例1 已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2012的值为( ).A.0B.-1C.1D.(-3)2012出示新问题:1.如图,分别作出△PQR关于直线x=1和直线y=1对称的图形.2.试找出它们对应点的坐标.3.猜想:如果作关于直线x=3和直线y=-4对称的图形,试找出它们对应点的坐标,并总结出一般性规律.点(x,y)关于直线x=m 对称点的坐标是(2m-x,y),即若两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于直线x=m 对称,则m=221x x +,y 1=y 2. 点(x,y)关于直线y=n 对称点的坐标是(x,2n-y),即若两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于直线y=n 对称,则x 1=x 2,n=221y y +. 例2 如图,梯形ABCD 关于y 轴对称,点A 的坐标为(-3,3),点B 的坐标为(-2,0),试写出点C 和点D 的坐标,并求出梯形ABCD 的面积.【分析】已知点D 与点A 关于y 轴对称,点B 和点C 关于y 轴对称,由此可推知点D,点C 的坐标.解：∵点D 与点A(-3,3)关于y 轴对称,∴点D 的坐标为(3,3).同理点C 的坐标为(2,0).故AD=|3-(-3)|=6,BC=|2-(-2)|=4,∴S 梯形=21 (AD+BC)·OE=21×(6+4)×3=15. 【教学说明】由以上例题,应让学生掌握:1.平行于x 轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值.2.求规则图形的面积应选用平行于x 轴(或y 轴)的边为底边,求面积较方便.三、运用新知，深化理解1.说出下列各点关于x轴,y轴对称的点的坐标.(-2,6),(1,-2),(-1,3),(-4,-2),(1,0).2.四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形.3.在坐标系中描出点A(-1,3),B(5,-4),C(-3,-1),D(-1,1),E(-3,5),F(5,8),连接AB,BC,AC,DE,EF,DF,请你判断所得图形是轴对称图形吗?如果不是,请你说明理由;如果是,请说出对称轴.【教学说明】教师指导学生完成上述问题的解答,提示学生解题过程中注重画图找答案,体验数形结合的作用.同时,鼓励学生从实际解题中总结题中所隐含的规律.【答案】1.2.略3.图略.所得图形是轴对称图形，对称轴是y=2.四、师生互动，课堂小结教师引导学生总结本节课用坐标表示轴对称的主要解题方法和解题思路.1.已知点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段间关系来求.2.学生表述关于x轴,y轴对称的点的坐标规律.1.布置作业：从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时采用探究、发现式的教学方法，通过找具有一定代表性的分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标，寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，可培养学生观察、归纳、分析问题解决问题的能力，并通过研究线段之间关系发现对称点的坐标之间的关系，从中体验数形结合思想，教学中应让学生认识到寻找规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤.13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.3.观察等腰三角形的对称性、发展形象思维.【过程与方法】1.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°3.已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠C=38.5°第2组练习答案:1.C2.C3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.第2课时等腰三角形的判定【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的判定.2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.【过程与方法】通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.【教学重点】等腰三角形的判定定理.【教学难点】等腰三角形判定定理的证明.一、情境导入，初步认识先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).引导学生作如下思考:(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2 根据上述探究,考虑:“在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等”，并证明这个结论.1.指导学生表述结论并写出证明过程.2.指出表述要严谨,如不能说成：“如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形”.二、思考探究，获取新知例1 求证：如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”，而等角由已知的平行线和角平分线可推得.例2 如图,标杆AB高5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4m,绳子CD和CE要多长?【教学说明】这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.解：如图(2),选取比例尺为1∶100.①作线段DE=4cm.②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.。
新人教版第十三章轴对称全章教案
§13.1 轴对称（1）教案目标：1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．3．了解线段垂直平分线的概念．教案重、难点：轴对称的概念和性质教案过程：一、问题导入：引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！二、课本精讲：问题1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的2问题共同特征吗？共同特征：每一对图形沿着虚1 / 19线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合．CABABCMN ABC ′′,′关于直线,对称，点问题3 如图，△′和△′′ MN AABBCCABC有什么关系？′，′与直线分别是点，的对称点，线段，′，教师：你能说明其中的道理吗？MN CABABC 对称，那么，直′和△′关于直线上面的问题说明“如果△′BBMN AAAAMN BBCC′和线还平分线段垂直线段′，′，并且直线′和′，CC′”．如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…其他条件不变，上述结论还成立吗？CBMN ACABC AB′,′问题3 如图，△和△,′′′′关于直线对称，点 CCBBMN AABAC有什么关系？′与直线′，′，的对称点，线段分别是点，，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点2 / 19所连线段．问题4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？lBBl AA平分结论：直线′，垂直线段′，直线BBAAAABBl ′的垂直′，′（或直线′，是线段线段平分线）．教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三、巩固提高：2 1、教科书60页练习四、课堂小结： 1）本节课学习了哪些主要内容？（ 2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是什么？（）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎3（么探究这些性质的？五、课后作业： 5题4、3、、213.1教科书习题第1、课后反思：）13.1 轴对称（2 教案目标：1．理解线段垂直平分线的性质和判定．．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．2．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂3 线，了解作图的道理．教案重、难点：线段垂直平分线的性质．3 / 19教案过程：一、问题导入：探索并证明线段垂直平分线的性质l ABPPPl 上的点，请猜想点，…是，3如图，直线2垂直平分线段，，1PPPA B 的距离之间的数量关系．与点，…到点1，2， 3教师：你能用不同的方法验证这一结论吗？二、课本精讲：l AB 两个端点的距离相上任取一点，那么这一点与线段请在图中的直线等吗？线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”lABCAC CBP l 上．，点，垂足为， =已知：如图，直线在⊥PBPA =．求证：用符号语言表示为：AB l CA CB=⊥，，∵PBPA =∴线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．AB PBP PA 的垂直平分线上，那么点是否在线段教师：反过来，如果= 呢？AB P 在线段的垂直平分线上．点PBPA ．已知：如图，=AB P 求证：点的垂直平分线上．在线段用数学符号表示为：PBPA =，∵AB P ∴点的垂直平分线上．在与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．AB 能找到多少个两端点的距离相等的点吗？教师：你能再找一些到线段AB 到线段两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？4 / 19AB l AB 的距离都相等；反过来，与上的点与在线段，的垂直平分线AB ll AB 的距，可以看成与两点的距离相等的点都在直线、上，所以直线离相等的所有点的集合．教师：如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？三、巩固提高：2. 、页练习1教科书62 四、课堂小结： 1）本节课学习了哪些内容？（ 2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？（ 3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？（五、课后作业：题6、9教科书习题13.1第课后反思：3）轴对称（13.1教案目标： 1．能用尺规作线段的垂直平分线．．进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．2 ．运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．3 作线段的垂直平分线．教案重点：教案难点：作线段的垂直平分线．教案过程：一、问题导入：有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？二、课本精讲：5 / 19作线段的垂直平分线我们已能用尺规完成：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．教师：那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？A B 关于某条直线成轴对称，如图，点和点1 例你能作出这条直线吗？AB 教师：怎样作线段的垂直平分线呢？作法：如图．ABAB 的为半，为圆心，以大于）分别以点（1D C，两点；径作弧，两弧相交于CD2）作直线．（CD 就是所求作的直线．教师：这种作法的依据是什么？教师：这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中点．教师：如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴． . 如图中的五角星，请作出它的一条对称轴你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？三、巩固提高：3 2、、页练习教科书641 四、课堂小结： 1（）本节课学习了哪些内容？6 / 19 （2）作线段的垂直平分线的依据是什么？举例说明这种作法有哪些运用？（3）如何用尺规作轴对称图形的对称轴？五、课后作业：教科书习题13.1第10、12题．课后反思：13.2 画轴对称图形（1）教案目标：1．理解图形轴对称变换的性质．2．能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形．教案重点：画轴对称图形．教案难点：画轴对称图形．教案过程：一、问题导入：在一张半透明纸张的左边部分，画出左脚印，如何由此得到相应的右脚印？二、课本精讲：请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？一个平面图形和与它由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形．成轴对称的另一个图形之间有什么关系？l 对称的图形，这个图形与原由一个平面图形可以得到与它关于一条直线图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直l 的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．线于这条直线对教师：如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关7 / 19称的图形呢？ABC lABC，画出与△和直线例1 如图，已知△l 对称的图形．关于直线l A 的垂线，垂画法：（1）如图，过点画直线A OAAOOA 关，点足为点，在垂线上截取′就是点′=l 的对称点；于直线l C B的对称点，）同理，分别画点（2关于直线CB′，′；CBAABABCC）连接′′，得到的△′，′′′′，′′即为所求．（3l ABC 教师：如何验证画出的图形与△对称？关于直线已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该图形关于这条直线对称的图形的一般方法．几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．三、巩固提高：2 、68页练习1教科书四、课堂小结：）本节课学习了哪些内容？（1 ）一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？（2 3）画轴对称图形的一般方法是什么？依据是什么？（五、课后作业：题．第教科书习题13.21课后反思：2）13.2 画轴对称图形（教案目标：y x 轴对称的点的坐标的．理解在平面直角坐标系中，已知点关于1轴或变化规律．8 / 192．掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法．x 轴或在平面直角坐标系中关于教案重、难点：x y 轴轴对称的点的变化规律和作出与一个图形关于y 或轴对称的图形．教案过程：一、问题导入：如图，如果以天安门为原点，分别以长安街和中y x 轴建立平面直角坐标系，对应于东直门的坐标，你能找到西直轴线为轴和门的位置，说出西直门的坐标吗？二、课本精讲：探究并归纳已知点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律y x 轴对称的点的对于平面直角坐标系中任意一点，你能找出其关于轴或坐标吗？它们之间有什么规律？x 轴对称的点，把它们的在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标填入表格中．x 轴对称的每对对教师：观察下图中关于称点的坐标有怎样的变化规律？x 轴对称的每对对称点的横坐标相关于等，纵坐标互为相反数．y 轴对称的每对对称点的教师：观察关于坐标有怎样的变化规律？y 轴对称的每对对称点的横坐标互为关于相反数，纵坐标相等．教师：请你再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律．x yx轴对称的点的坐标为）关于点（，（_______，）；9 / 19xyy 轴对称的点的坐标为（___，____）关于）．点（，ABCD AB（-2，-5，1例如图，四边形的四个顶点的坐标分别为），（CDABCD x y 轴对），分别画出与四边形轴和5），关于（-5，41），（-2，称的图形．x y 轴对称的图形的方法和步骤教师：归纳画一个图形关于. 轴或先求出已知图形中一些特殊点（多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形．步骤简述为：（1）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连线．三、巩固提高：教科书70页练习1、2、3四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？x y 轴的对称点的坐标有什轴或（2）在平面直角坐标系中，已知点关于x y 轴对称？轴或么变化规律，如何判断两个点是否关于x y 轴对称的图形的方法和步骤．）说一说画一个图形关于轴或（3五、课后作业：教科书习题13.2第2、4、5题．课后反思：13.3 等腰三角形（1）教案目标：1．探索并证明等腰三角形的两个性质．2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．教案重、难点：探索并证明等腰三角形性质．10 / 19教案过程：一、问题导入：如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它ABC 有什么特点？展开，得到的△教师：仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？教师：同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？二、课本精讲：教师：在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？等腰三角形的特征:（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．教师：利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？ABC AB ACB = 中，∠=．求证：∠已知：如图，△C． 1你还有其他方法证明性质吗？11 / 19可以作底边的高线或顶角的角平分线.教师：性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．教师：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．三、巩固提高：教科书77页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？五、课后作业：教科书习题13.3第1、2、4、6题．课后反思：13.3 等腰三角形（2）教案目标：1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解等腰三角形的尺规作图.教案重、难点：理解和运用等腰三角形的判定定理教案过程：一、问题导入：问题等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？12 / 19性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等．结论：这两条边所对的角相等．二、课本精讲：思考性质定理证明方法是什么？作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等．问题一个三角形满足什么条件是等腰三角形？思考1 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？这两个角所对的边相等．思考2 这个命题的题设和结论又分别是什么呢？如何证明这个命题？题设：一个三角形有两个角相等．结论：这两个角所对的边相等．问题类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？AB CABC B 求证：中，∠. =已知：如图，在△∠ AC．= 教师：你还有其他证明方法吗？BC 上的中线吗？思考能作底边等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．符号语言：CABC B 中，∠，=∠在△∵ACAB =∴．思考与等腰三角形性质进行比较看有什么区别？求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角例1.形的一边，那么这个三角形是等腰三角形BCADCAE ABC ∠已知：∠是△的外角，∠1 =2∥，．13 / 19AB AC.=求证：a h ，求作这个等腰，底边上的高的长为例2 已知等腰三角形底边长为三角形.作法：aAB ）作线段；=（1DMNAB AB 相交于点（2）作线段；的垂直平分线，与hDC MNC 3）在=上取一点；，使（ABC BCAC. 4）连接，则△，就是所求作的等腰三角形（三、巩固提高：4 3、1、2、页练习教科书79四、课堂小结： 1）本节课学习了哪些内容？（ 2）等腰三角形的判定方法有哪几种？（）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．（3五、课后作业：题．、5教科书习题13.3第2课后反思：3）13.3 等腰三角形（教案目标：．探索等边三角形的性质和判定．1．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证2明．探索等边三角形的性质与判定．教案重、难点：教案过程：一、问题导入：问题满足什么条件的三角形是等边三角形？14 / 19三条边都相等的三角形是等边三角形．二、课本精讲：请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；. 区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条等腰三角形有哪些特殊的性质呢？问题从边的角度：两腰相等；从角的角度：等边对等角；从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？思考结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？轴对称图形角边图形是（三线合一）两边相等两底角相等等腰三角形一条对称轴（等边对等角）（定义）三边相等等边三角形（定义）对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明.ABC A B C=60°．∠ =已知：△是等边三角形求证：∠∠=ABC 是等边三角形，证明：∵△BC ACBC AB．，∴ ==A BAC ．∠∠，∠ =∴∠=A BC ． =∠∴∠=∠A BC=180°，+∠∵∠+∠A =60°．∴∠15 / 19A BC =60°．∠ =∴∠∠=等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.符号语言：ABC 是等边三角形，∵△A BC =60° =∴∠∠=∠思考利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.问题等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形．请你将得到的这两个命题进行证明.等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．符号语言：ABC 中，在△A B C ， =∵∠∠=∠ABC 是等边三角形．∴△等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．符号语言：ABC 中，在△BC AC A =60°，∵ =，∠ABC 是等边三角形．∴△判定等边三角形的方法：从边的角度：等边三角形的定义；从角的角度：等边三角形的两条判定定理．16 / 19等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形．BCABC DE, 是等边三角形，∥例1 如图，△ADE EDABAC 是等边三分别交，，．求证：△于点.角形三、巩固提高：2 、80页练习1教科书四、课堂小结：）本节课学习了等边三角形的性质和判定；（1共有几种判定等 2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？（边三角形的方法？）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．（3五、课后作业： 14题．13.3第12、教科书习题课后反思：）13.3 等腰三角形（4 教案目标：°角的直角三角形的性质．1．探索含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计302．理解含算．. 30°角的直角三角形的性质教案重、难点：探索并理解含教案过程：一、问题导入：A ABC 请你在括号内补）（°问题已知△中，∠=60, .17 / 19ABC 能成为等边三角充一个条件，使△形.二、课本精讲：思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？活动用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．BC ABC 与斜30°角的直角△的直角边问题你能借助这个图形，找到含AB 边之间有什么数量关系吗？°，那么它所对的直角边等30猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于.于斜边的一半请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，问题.用符号语言表述出来这个命题是真命题吗？请进行证明．思考A ABC C °，∠=90已知：如图，在Rt△中，∠ABBC = 求证：．. =30°°，那在直角三角形中，如果一个锐角等于30.么它所对的直角边等于斜边的一半符号语言：18 / 19ABC 中， Rt△∵在C A =30°，°，∠∠ =90BC AB ．= ∴D 是斜如图是屋架设计图的一部分，点例AB ACDE ABBC，梁、的中点，立柱垂直于横梁DE BCA 、=7.4 cm，∠=30°，立柱要多长？三、巩固提高： 81页练习教科书四、课堂小结：）本节课学习了哪些内容？1（哪些问题？需要注 30°角的直角三角形的性质时，能解决2（）在应用含意哪些问题？五、课后作业： 15题．第教科书习题13.3 课后反思：19 / 19。
人教版初中数学2011课标版八年级上册第十三章13.1轴对称(教案)
1.让学生掌握轴对称的基本概念，培养他们的几何直观和空间观念，提高抽象思维能力；
2.培养学生运用轴对称性质解决实际问题的能力，增强数学应用意识，提升模型观念；
3.通过探索轴对称变换，培养学生的推理能力和运算能力，激发他们的创新意识；
4.引导学生感受轴对称在生活中的广泛应用，提高审美观念，增强数学与现实生活的联系绍：首先，我们要了解轴对称的基本概念。轴对称是指在平面上，存在一条直线，将图形沿此直线折叠后，两侧的部分能够完全重合。轴对称是几何图形的重要性质，它在生活中的应用非常广泛。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了轴对称在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-对称轴的确定：学生可能会在对称轴的识别上存在困难，需要教授判断对称轴的方法，如通过对称点的中垂线等。
-轴对称变换的计算：在涉及坐标变换时，部分学生可能对坐标的计算感到困惑，需要详细讲解变换规律。
-轴对称在实际问题中的应用：学生可能难以将轴对称知识灵活应用于解决复杂问题，需要通过案例分析、练习巩固等方式提高应用能力。
-轴对称变换：指导学生学会进行轴对称变换，理解变换过程中图形的不变性质。
-实际应用：通过实例分析，使学生掌握轴对称在实际问题中的运用，如设计图案、解决几何问题等。
举例：在讲解轴对称性质时，可出示长方形、等腰三角形等典型轴对称图形，强调对称轴两侧的对应部分是完全一致的。
2.教学难点
-识别轴对称图形：部分学生可能难以判断某些图形是否具有轴对称性质，需要通过具体实例进行指导。
举例：在讲解识别轴对称图形时，可以让学生观察蝴蝶、心形等常见轴对称图形，引导学生通过折叠、比对等方法判断对称性。在确定对称轴的难点上，可以通过具体图形的对称点、对称线段等特征，教授学生寻找对称轴的技巧。
初中数学人教版八年级上册：第13章《轴对称》全章教案(22页,含反思)
初中数学人教版八年级上册实用资料第十三章轴对称13．1轴对称13．1.1轴对称1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．3．掌握线段垂直平分线的概念．4．理解和掌握轴对称的性质．重点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．难点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．一、作品展示1．让部分学生展示课前的剪纸作品．2．小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？二、概念形成(一)轴对称图形1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题．(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？(二)两个图形关于某条直线对称1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？2．两个图形成轴对称的定义．观察右图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．(三)轴对称的性质观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？引导学生说出如下关系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？结合学生发表的观点，教师总结并板书．对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．三、归纳小结主要围绕下列几个问题：(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；(2)找轴对称图形的对称轴．四、布置作业教材习题13.1第1，2，3题．数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时)第1课时线段的垂直平分线的性质与判定掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC ≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 外一点C.(如下图) 求作：AB 的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁． (2)以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和点E.(3)分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF 就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF 就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD ＝CE ，DF ＝EF ，∴C ，F 都在AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题． 2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA ＝PB ，PO ⊥AB ，则必有AO ＝BO ，为什么？(2)如左下图，△ABC 中，AC ＝16 cm ，DE 为AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为26 cm .求BC 的长．(3)有A ，B ，C 三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．第2课时 画对称轴会画轴对称图形的对称轴．重点轴对称图形的对称轴的画法． 难点轴对称图形的对称轴的画法．一、提出问题如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？ 二、探究新知 我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？例1 如图(1)，已知点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析：我们只要连接点A 和点B ，作出线段AB 的垂直平分线，就可以得到点A 和点B 的对称轴，为此作出到点A ，B 距离相等的两点，即线段AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB 的垂直平分线．教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形． 学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．作法：如图(2)．(1)分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.CD就是所求作的直线．这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图．教师引导学生思考：(1)在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？三、举例分析例2如图(1)，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．例3图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．四、巩固练习教材第64页练习第1，2，3题．五、课堂小结本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？六、布置作业教材习题13.1第7，8题．通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．13．2画轴对称图形(2课时)第1课时作轴对称图形通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．重点能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．难点较复杂图形的轴对称图形的画法．一、问题导入我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．二、探究新知[活动]在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)[思考1]如何画一个点的对称图形？例1画出点A关于直线l的对称点A′.画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．[思考2]如何画一条直线的对称图形？例2已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′.(2)画出点B关于直线l的对称点B′.(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．[思考3]如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A 关于直线l的对称点．(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．三、课堂练习1．教材第68页练习第1，2题2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是()四、小结与作业1．归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．2．作业：教材习题13.2第1题．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．第2课时用坐标表示轴对称1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．难点找对称点的坐标之间的关系．一、问题导入教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？二、探究新知【探究1】(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．已知点A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－D(3，5) E(4，0) F(0，－3)5)关于x轴的对称点关于y轴的对称点【探究2】在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？【归纳】关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．【探究3】按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？【归纳】一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．三、举例分析【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．(1)A，B关于y轴对称；(2)A，B关于x轴对称；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．【解析】(1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．四、课堂巩固1．平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b的值为()A．1B．－1C．5D．－53．点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为() A．(a，b) B．(a，－b)C．(－a，b) D．(－a，－b)4．若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于()对称．A．x轴B．y轴C．x轴或y轴D．不确定五、拓展思维如图，点A(1，4)，B(4，1)，l为第一、三象限角∠xOy的平分线．(1)求证：l垂直平分AB；(2)A，B关于l成轴对称吗？(3)如果点A，B的坐标分别为(6，8)和(8，6)，它们还关于l对称吗？(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．六、小结与作业小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．作业：教材习题13.2第3，4题．本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形(2课时)第1课时等腰三角形的性质和应用1．理解并掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．重点等腰三角形的性质及应用．难点等腰三角形的性质的证明．一、情境导入【活动1】教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．二、探究新知如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A 是顶角，∠B和∠C是底角．【活动2】把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：重合的线段重合的角学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．教师活动：引导学生归纳．性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗？如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．证明：作BC边上的中线AD，如图．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，所以△ABD ≌△ACD(SSS )，所以∠B ＝∠C. 这样，就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗？由△ABD ≌△ACD ，还可得出∠BAD ＝∠CAD ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 从而AD ⊥BC ，这也就证明了等腰△ABC 底边上的中线平分顶角∠A 并垂直于底边BC. 添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2. 三、应用提高例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．学生活动：小组合作，分组讨论、交流．教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)发现：(1)∠ABC ＝∠ACB ＝∠CDB ＝∠A ＋∠ABD ； (2)∠A ＝∠ABD ； (3)∠A ＋2∠C ＝180°.若设∠A ＝x ，则有x ＋4x ＝180°，得到x ＝36°，进一步得到两个底角的度数．四、小结与作业请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．作业：教材习题13.3第1，3，7题．本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．第2课时 等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法． 2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．重点等腰三角形的判定方法． 难点等腰三角形的判定方法的证明．一、提出问题出示教材第77页“思考”． 学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 如何证明？ 二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证． 已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD ⊥BC ，或AD 平分∠BAC ，但不能作BC 边上的中线．学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD(AAS )，∴AB ＝AC.归纳等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”． 三、应用举例 1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明． 学生讨论后，自己完成证明过程．例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1＝∠2，AD ∥BC.(如图所示)求证：AB ＝AC.分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．13．3.2等边三角形(2课时)第1课时等边三角形的性质和判定。
人教版数学八年级上册教案《13-1轴对称》(第2课时)
人教版数学八年级上册教案《13-1轴对称》（第2课时）一. 教材分析《13-1轴对称》是人教版数学八年级上册的一章内容，主要讲述了轴对称的概念、性质及应用。
本节课是该章节的第二课时，主要内容是进一步巩固轴对称的概念，引导学生发现和总结轴对称的性质，并通过实例让学生了解轴对称在实际生活中的应用。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了轴对称的基本概念，但可能对轴对称的性质和应用还不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和丰富的活动，帮助学生深入理解轴对称的性质，并发现其在生活中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能熟练掌握轴对称的概念，理解轴对称的性质，并能够运用轴对称解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，学生能培养自己的空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能体验到数学与生活的紧密联系，增强对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：轴对称的概念、性质及应用。
2.难点：轴对称性质的证明和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生观察、思考、交流，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.教师准备：准备好相关的教学材料，如PPT、实例图片、练习题等。
2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解轴对称的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活中的实例，如剪纸、折叠等，引导学生回顾轴对称的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一些轴对称的图形，让学生观察并总结轴对称的性质。
同时，教师引导学生思考轴对称在实际生活中的应用。
3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，检验学生对轴对称概念和性质的理解。
教师在过程中给予个别学生指导。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过合作学习，进一步巩固轴对称的概念和性质。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考轴对称在其他领域的应用，如艺术设计、工程建筑等，拓宽学生的视野。
人教版八年级数学上册《第13章第1单元轴对称》教案设计
方法总结：利用轴对称的性质可以将线段进行转化，然后结合三角形的任意两边之和大
于第三边的性质予以解答，总之熟记各性质是解题的关键．
【类型四】 轴对称在折叠问题中的应用 如图，将长方形纸片先沿虚线 AB 向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线 CD 向下
[师]乙同学的观察能力很强，提的问题非常好．像这样，把一个图形沿着 某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）
好，接下来我们做练习来巩固所学内容． Ⅲ．随堂练习 （一）下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？（图 略）（学生口答） [生甲]图（1）是轴对称图形，它的对称轴是过蝴蝶头和尾的直线． [生乙]图（2）也是轴对称图形．它的对称轴是过第一架飞机头和尾的直线． [生丙]图（3）是轴对称图形．它的对称轴是中间那条竖直的线． [生丁]图（4）不是轴对称图形．图（5）是轴对称图形，它有四条对称轴． [师]大家回答得很好，看来同学们已能判断轴对称图形并找出它的对称轴了． （二）下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它 们的对称轴，并找出一对对称点． 答案：图（1）（3）（4）中的两个图案是轴对称的，图（2）不是．其对称 轴及对称点如图．
1．轴对称图形的定义； 2．对称轴； 3．轴对称图形的设计方法．
轴对称图形
这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发 现，形成认识，独立获取知识和技能．另外，借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围， 使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创 新能力的培养．
第十三章《轴对称》教案
第十三章《轴对称》教案一、本章主要内容：本章的主要内容是从生活中的图形入手,学习轴对称与其根本性质,欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索简单图形之间的轴对称关系,能够按照要求画出简单平面图形〔点、线段、直线、三角形等〕关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形；理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索等边三角形的性质定理与等边三角形的判定定理；能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象与解决简单的实际问题,在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,开展空间观念,激发学习兴趣．二、教学目标：1、知识与技能①、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索轴对称的根本性质,理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质②、了解线段垂直平分线的概念,探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角的有关概念,探索并掌握它们的性质以与判定方法2、过程与方法通过大量的现实生活右的图形来认识轴对称图形与轴对称的概念,让学生体验轴对称在现实生活中的广泛应用,在具体教学过程中,可在教材的根底上适当拓展,使内容更为丰富.3、情感与价值观通过本节学习,能初步应用本章所学的知识解释生活中的轴对称现象与解决简单的实际问题, 在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,开展空间观念,提高思维能力,培养学生体会数学美感的价值观.三、教学重点：轴对称的性质、等腰三角形的性质和判定.四、教学难点：运用轴对称的思路分析识认复杂图形,进展推理论证.五、教学的几个建议：1、教学中要注意联系实际.2、教学中要注意通过比照加深概念的理解.3、满足学生多样化的学习需求,为学生提供个性化学习的时间和空间4、重视现代信息技术工具的应用六、教具准备：课件、电子白板、运程教育资源网七、课时安排：本章教学时间约需14课时,具体分配如下：13.1 轴对称------------------------------------------- 3课时13.2 画轴对称图形---------------------------------- 2课时13.3 等腰三角形------------------------------------5课时13.4 课题学习最短路径问题-------------------- 2课时数学活动复习与小结------------------------------------------- 2课时13.1 轴对称〔1〕一、教学目标：1、知识与技能：①、感受生活中对称现象的普遍性和对称美.②、掌握轴对称图形、关于直线对称的概念.③、会识别关于直线对称,并能找出对称轴.2、过程与方法：①、通过学习轴对称图形和关于直线对称,进一步认识几何图形的本质特征.②、通过学习轴对称图形和关于直线对称的区别和联系,进一步开展学生抽象概括能力.3、情感与价值观;通过学习轴对称图形和关于直线对称,体会他们在现实生活中的应用,激发学生的学习欲望,主动参与数学学习活动,提高学生的学习能力和审美能力.二、教学重点：掌握轴对称图形和关于直线轴对称的概念.三、教学难点：比拟观察得到轴对称图形和关于直线对称的区别和联系.四、教具准备：课件、电子白板、运程教育资源网.五、教学程序：〔一〕欣赏图片观察思考1、车标设计：2、图案欣赏：[通过展示图片,让学生初步感受轴对称,体会轴对称与现实生活的严密联系,激发学生的学习欲望,提高他们的学习积极性.]〔二〕动手操作探索新知1、观察动画合作交流〔课件〕：轴对称图形定义：2、新知应用提高能力①、下面图形是不是轴对称图形？②、下面四幅图中是轴对称的有几个？③、画出下面每个轴对称图形的对称轴④、下面是几家银行的标志,其中是轴对称图形的是？⑤、想一想：0-9十个数字中,哪些是轴对称图形？〔抢答〕0 1 2 3 4 5 6 7 8 9⑥、猜字游戏: 在艺术字中,有些汉字是轴对称的,你能猜一猜如下是哪些字的一半？〔图形参课件〕⑦、把一圆形纸片两次对折后,得到右图,然后沿虚线剪开,得到两局部,其中一局部展开后的平面图形是< >3、动手操作探讨对称轴条数[动手操作填写下表]A B C D图形形状是否轴对称图形对称轴的数量<条>4、合作交流归纳提高〔1〕有些轴对称图形的对称轴只有一条,但有的轴对称图形的对称轴却不止一条,有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条.〔2〕对称轴通常画成虚线,是直线,不能画成线段.〔三〕观察探索研究新知：1、观察下面的每对图形有共同特点?[学生通过观察、思考、合作交流,认识两个图形轴对称的本质特征,鼓励学生善于思考、勇于发现,培养合作意识.]2、两个图形成轴对称的定义：把_______沿着某一条直线折叠,如果它能够与_____图形____,那么就说这两个图形______________或者说这两个图形成轴对称.这条直线叫做_____.折叠后重合的点是对应点,叫做______.3、新知应用反应提高①、下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称?如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对应点.[图形参课件]②、判断：成轴对称的两个图形全等?< >如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等?< >这两个图形对称?< >③、想一想：一辆汽车的车牌在水中的倒影如以下图,你能确定该车车牌的？〔四〕课堂小结归纳比拟：1、如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的局部能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.2、把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点叫做对称点.3<五>课堂练习应用提高1、有两条对称轴的轴对称图形是〔〕A． B． C． D．2、图案,对称轴有〔〕A．2条 B．4条C．8条D．无数条3、等边三角形有三条对称轴,其中一条是〔〕A．一边上的高线B．一个角的平分线C．一边上的中线D．一边上的高所在直线4、如下图案中,不是轴对称的是〔〕5、两个图形关于直线对称的是〔〕〔六〕布置作业：1、课本64页1、2、3题.2、练习册板书设计13.1 轴对称一、轴对称图形、关于直线对称的定义. 二、轴对称图形与关于直线对称的区别于联系.教学后记：13.1 轴对称〔2〕一、教学目标：1、知识与技能：①、掌握线段垂直平分概念.②、通过探究掌握两个图形关于直线对称的性质.③、掌握并会运用线段垂直平分线的性质和判定.2、过程与方法：①、通过对轴对称图形的研究理解轴对称的性质,进一步培养学生的抽象能力.②、通过类比角平分线的性质、判定与线段垂直平分线的性质、判定,加深对两者的理解,使学深感受类比的好处.3、情感与价值观;通过轴对称性质的学习加强学生对事物内在联系,增强学生创造美好生活的信心.二、教学重点：轴对称的性质、线段垂直平分线的性质与判定.三、教学难点：线段垂直平分线的性质与判定的描述.四、教具准备：课件、电子白板、运程教育资源网.五、教学程序：〔一〕创设情境引入新课问题情境：一节课我们共同研究了轴对称的定义,那么轴对称具有性质？与对称轴有关的知识有哪些呢？1、如果一个图形沿着一条直线,两侧的图形能够,这个图形就是轴对称图形.2、折痕所在的这条直线叫做______3、把一个图形沿着某一条直线,如果它能够,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 〔二〕合作交流 探究新知探究一：线段的垂直平分线的概念、轴对称的性质：1．如图,ABC ∆与C B A '''∆关于直线MN 对称,点C B A ''',,分别是C B A ,,的对称点.试写出图中所有相等的线段和相等的角<不添字母>； 2．说明线段C C B B A A ''',,与MN 有关系？.3．猜测：叫做线段的垂直平分线？关于直线对称的两个图形有性质？ 归纳：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线4、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 探究二：线段的垂直平分线的性质1、如图,直线l 垂直平分线段AB ,P 1,P 2,P 3,…是l 上的点,请猜测点P 1, P 2,P 3,… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． 问题1：你能用不同的方法验证这一结论？ 问题2：你能用文字语言表示这一结论？2、归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. [学生通过证明、比拟准确掌握线段垂直平分线的性质、判定.] 〔三〕课堂练习 应用提高 练习1、 如图,在△ABC 中,BC =8,AB 的中垂线 交BC 于D ,AC 的中垂线交BC 与E ,如此△ADE 的周长等 于______． 练习2 如图,AD ⊥BC ,BD =DC ,点C 在AE 的垂直平分线上,AB ,AC ,CE 的长度有关系？AB +BD 与DE 有关系练习3如图,AB =AC ,MB =MC ．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线？〔四〕动手操作 发散思维1、尺规作图：如何用尺规作图的方法经过直线外一点作直线的垂线？ 1、如图,过点P 画∠AOB 两边的垂线,并和 同桌交流你的作图过程． 〔五〕课堂小结 反应提高： 〔1〕本节课学习了哪些内容？〔2〕线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有关系？ 〔3〕如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ 〔六〕课堂练习 应用新知1．点C 垂直于线段AB ,且CA ＝CB ,如此点C 是线段AB 的〔 〕A ．中点B ．延长线上的点C ．垂线上的点D ．垂直平分线上的点2．如下说法中错误的答案是〔 〕A ．线段的对称轴是它的垂直平分线B ．线段垂线上的点到线段两端点的距离相等C ．到线段两端距离相等的点都在一条直线上D ．轴对称图形的两个对称点到对称轴的距离相等ABlPP P A B CD E AB C D E A B C D M AB P3．如图,△ABC中,BC=10,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,如此△ADE的周长为_______.4．如图,AB的垂直平分线DE交BC于E,D是垂足,假如AD=6㎝,△ACE的周长为16㎝,如此△ABC的周长为________.5．如图,∠MON＝450,角的内部有一点P,设点P关于OM的对称点为A,点P关于ON的对称点为B,〔1〕求证：OA⊥OB；〔2〕假如AB交OM于E,交ON于F,且AB=8cm,求△PEF的周长.6．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,BD=BC.过点D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.问BE垂直平分CD？为？〔七〕布置作业1、教材第65页习题第4、10题.2、练习册.板书13.1 轴对称一、段垂直平分线定义. 二、例题轴对称性质.线段垂直平分线定义：性质：判定：教学反思：13.1轴对称〔3〕一、教学目标：1、知识与技能：①、会用"尺规作图〞作线段的垂直平分线.②、会作图形成轴对称或对称图形的对称轴.2、过程与方法：通过对对称轴画法的研究,进一步培养学生的动手能力.3、情感与价值观;通过轴对称性质的学习加强学生对事物内在联系,增强学生创造美好生活的信心.二、教学重点：线段的垂直平分线的画法三、教学难点：对称轴的画法四、教具准备：课件、电子白板、运程教育资源网.五、教学程序：〔一〕、创设情境复习引入问题：1、轴对称的性质是？2、如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？3、有时我们感觉两个平面图形是轴对称的,如何验证呢？不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴？〔二〕探究新知培养能力探究1、如图,点A 和点B 关于某条直线成轴对称, 你能作出这条直线？作法：如图．〔1〕分别以点A,B 为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D 两点；〔2〕作直线CD．CD 就是所求作的直线．问题：这种作法的依据是？这种作图方法还有哪些作用？探究2、如果两个图形成轴对称,怎样作出图形的对称轴？[如果两个图形成轴对称,其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴．]探究3、你能作出这个五角星的其他对称轴？它共有几条对称轴？〔三〕新知应用发散思维练习1、作出如下图形的一条对称轴,和同学比拟一下,你们作出的对称轴一样？练习2、如图,角是轴对称图形？如果是,它的对称轴是？练习3、如图,与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．练习4．如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,△A′B′C′和△A′′B′′C′′关于直线EF对称．〔1〕画出直线EF；〔2〕直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB′′与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系．拓展思维：如图,两个图形关于直线对称.如果只能用直尺和圆规两种画图工具,你能画出对称轴？在图1中画出,保存痕迹, 并说明你的依据；如果要求只能用直尺一种画图工具,你还能画对称轴？在图2中画出,保存痕迹,说明这次画图的依据.〔四〕课堂小结归纳提高：1、谈谈本节课的主要收获2、会轴对称图形、关于直线对称的对称轴的画法.〔五〕布置作业：1、课本66页9、12、13题2、练习册板书设计13.2 画轴对称图形 <1>一、教学目标：1、知识与技能：①、会作出图形经过一、两次轴对称的图形. ②、体会成轴对称图形全等,对称线段相等. ③、体会对称点所连线段被对称轴垂直平分.④、会利用作轴对称图形进展简单图案设计. 2、过程与方法：经历对称的变换的画图、观察、交流等活动理解其根本性质. 3、情感与价值观;通过利用轴对称作图和图案设计,开展实践能力.二、教学重点：利用轴对称作图三、教学难点：利用对称变换设计图案四、教具准备：课件、电子白板、运程教育资源网.五、教学程序：〔一〕、创设情境 引入新知问题1．在纸的左边局部,画出左手印,把这X 纸左右对折后描图,打开对折的纸进展观察,这两个手印成轴对称？你知道对称轴是？ 问题2．在纸上画一个ABC ∆,在旁边任意画一条直线l ,分别作出顶点C B A ,,到直线l 的垂线段,然后将纸沿直线l 对折,描出ABC ∆与顶点到l 的垂线段,打开对折的纸进展观察.你能从中悟出怎样作一个图形关于某直线对称的对称图形？ 〔二〕、探究新知 培养能力探究1、如下三幅图是怎样得到的？〔图形参课件〕[图形都可以看作是以它的一局部作为根底,经轴对称变换扩展而来.] 轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程. 探究2、利用轴对称变换设计美丽图案〔图形参课件〕 观察思考：你有发现？1、对称轴的方向和位置发生变化,得到图形的方向和位置也会发生变化.2、轴对称变换的特征:①.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小_______；②新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l 的_______ ③.连接任意一对对应点的线段被对称轴______④成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过___________后得到.⑤ 一个轴对称图形也可以看作以它的一局部为根底,经___________扩展而成的. 〔三〕、自我尝试 动手操作1、对称轴 l 和一个点A,你能作出点A 关于l 的对称点 A ´？2、如何画线段AB 关于直线l 的对称线段A ′B ′?3、课本67例1：如图,△ABC 和直线l,作出与△ABC 关于直线l 对称的图形. 拓展：如图,△ABC 和直线l,作出与△ABC 关于直线l 对称的图形.[教师通过电子白板展示图案,学生观看图片.学生先观察图形找出关键点,再作出它们的对称点,并连接.教师指导学生画图.]4、小结：作图形关于直线对称的图形的一般步聚:找点：确定图形中的一些特殊点 画点：画出特殊点关于直线的对称点 连线：连接对称点 〔四〕、课堂练习 应用提高1、小强从镜子中看到的电子表的读数如如下图 ,如此电子表的实际读数是________2、右面的数据是某个时间经过轴对称变换而得来的,请问它表示的时间是多少？3、如下各图中,画△ＡˊＢˊＣˊ,使△ＡˊＢˊＣˊ 与△ＡＢＣ关于直线ＭＮ成轴对称图形.4、课本68页练习1、2题[学生通过观察、思考、动手、合作交流,培养学生的合作意识和思维能力.] 〔五〕、课堂小结 归纳提高通过今天的学习,你有收获与体会？ 1、轴对称变换的定义； 2、轴对称变换的特征； 3、画图形关于直线的对称图 轴对称变换的特征:1、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样；2、新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l 的对称点；3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 〔六〕、布置作业 练习册板书设计ＭＮＮ〔1〕 〔2〕 〔3〕13.2 画轴对称图形 <2>一、教学目标：1、知识与技能：①、会由一点求关于坐标轴对称的点坐标.②、掌握两点关于坐标轴对称的坐标规律. 2、过程与方法：在找两点关于坐标轴对称的坐标规律.的过程中,培养学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力、养成良好的自觉探索的习惯,体会数形结合的思想. 3、情感与价值观;再找点、描点的过程中让学生体会数形结合的思想,激发学生学习数学的乐趣.二、教学重点：会由一点求关于坐标轴对称的点坐标.三、教学难点：找两点关于坐标轴对称的坐标规律.四、教具准备：课件、电子白板、运程教育资源网.五、教学程序：〔一〕、创设情境 引入新知思考：如图,是一副老城的示意图,其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系,根据如以下图的东直门的坐标,你能找到西直门的坐标？观察:图中两个圆脸与y 轴有位置关系？ 〔二〕、探究新知 培养能力 探究1：如图,你能在平面直角坐标系中画出点A 、B 、C关于y 轴的对称点?〔图形参课件〕1、思考：关于y 轴对称的点的坐标具有怎样的关系？关于y 轴对称的点的坐标的特点是:横坐标互为相反数,纵坐标相等. 2、练习：①、点P<-5, 4>与点Q 关于y 轴对称,如此点Q 的坐标为__________. ②、点M<a, -2>与点N<-3, b>关于y 轴对称,如此a=_____, b =_____. 探究2：如图,在平面直角坐标系中你能画出点A 、B 、C 关于x 轴的对称点?1、思考：关于x 轴对称的点的坐标具有怎样的关系？关于x 轴对称的点的坐标的特点是:横坐标相等,纵坐标互为相反数. 2、练习：①、点P<-4, 5>与点Q 关于x 轴对称,如此点Q 的坐标为__________.②、点M<a, -3>与点N<-2, b>关于x 轴对称,如此a=_____, b =_____. 交流合作:小结：在平面直角坐标系中,关于x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点〔x, y 〕关于x 轴对称的点的坐标为______.点〔x, y 〕关于y 轴对称的点的坐标为_______. 〔三〕、应用新知 提高能力1、完成下表2、点P<6, b+2>与点P ’<a+b, -3a>.假如点p 与点p ’关于x 轴对称,如此a=_____ b=_______.假如点p 与点p ’关于y 轴对称,如此a=_____ b=_______. 3、如图,四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A 〔-5,1〕,B 〔-2,1〕,C 〔-2,5〕,D 〔-5,4〕,分别画出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形．4、讨论归纳：画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤.〔1〕求特殊点的坐标；〔2〕描点；〔3〕连线．5、学生练习：△ABC 的三个顶点的坐标分别为A<-3,5>,B<- 4,1>,C<-1,3>,作出△ABC 关于y轴对称的图形.〔四〕、课堂小结 归纳提高谈谈本节课的收获：这节课你学到了？ 1、点〔x, y 〕关于x 轴对称的点的坐标为______.点〔x, y 〕关于y 轴对称的点的坐标为_______. 2、在平面直角坐标系中一个图形关于x 轴或y 轴的对称图形的画法.[先求出图形中的一些特殊点<如多边形的顶点>的对应点的坐标,描出并连接点,就可以得到这个图形的轴对称图形.] 〔五〕、课堂思考 发散思维如图,分别作出点P,M,N 关于直线x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别有关系? 〔图形参课件〕 〔六〕布置作业1、课本71页2、3、5、7题. 2、练习册.13.2 画轴对称图形一、两点关于坐标轴对称的坐标规律. 二、例题：教学反思：13.3 等腰三角形〔1〕一、教学目标： 1、知识与技能：①、掌握等腰三角形"等边对等角〞的性质.点 <2,-3> <-1,2> <-6,-5> <0.5,1><4, 0>关于x 轴的对称点关于y 轴的对称点xy OAB C D②、掌握等腰三角形"三线合一〞的性质.③、归纳证明两个角相等的常用方法.2、过程与方法：①、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,培养学生推理能力.②、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.3、情感与价值观;引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,建立学习的信心.二、教学重点：等腰三角形的性质与应用.三、教学难点：等腰三角形的性质证明.四、教具准备：课件、电子白板、运程教育资源网.五、教学程序：〔一〕、创设情境引入新知学生都是操作,观察所得三角形的形状,〔二〕探究新知培养能力∆沿AD对折再展开,重复几次,观察图形1、问题：将等腰ABC①．图中有哪些相等的角？有哪些相等的线段？∆是不是轴对称图形？对称轴是？②．等腰ABC∆除两腰相等外,它的角有性质？用语言描述等腰三角形的这条性质并给与证明.③．等腰ABC∆中,AD有几种角色？各是？用语言描述等腰三角形的这条性质并给与证明.④．等腰ABC2、有关结论：①、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.3、学生练习：①、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,如此它的周长是；②、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,如此它的周长是；③、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,如此它的周长是4、思考：等腰三角形是轴对称图形？[学生讨论交流得出]等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线所在的直线.5、等腰三角形的性质性质1 ：等腰三角形的两个底角相等.即等边对等角.性质2 ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.即等腰三角形三线合一[学生通过观察、思考、描述、证明,鼓励学生善于思考、勇于发现,大胆尝试.培养学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力、养成良好的自觉探索几何命题的习惯.]〔三〕课堂练习应用新知判断题：1、等腰三角形的顶角一定是锐角.2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角解答题：1、如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.2、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30.求∠１和∠ADC的度数．〔四〕课堂小结归纳提高本节课学习了等腰三角形的那些知识：1、轴对称图形2、两个底角相等,简称"等边对等角〞3、顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合,简称"三线合一〞4、解决等腰三角形问题时常用的辅助线5、学习的数学思想与方法:分类讨论和一题多解.〔五〕布置作业1、课本77页练习2、3题；81页1、2题.13.3 等腰三角形〔2〕一、教学目标：1、知识与技能：①、掌握并会运用"等角对等边〞判定等腰三角形.②、归纳证明两条线段相等的常用方法.2、过程与方法：通过推理证明等腰三角形的判定定理,开展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.体会解决等腰三角形问题的常用辅助线.3、情感与价值观;引导学生观察、发现等腰三角形的判定方法,让学生从观察中获得成功,在这个过程中体验学习的兴趣..二、教学重点：等腰三角形的判定定理.三、教学难点：等腰三角形判定定理的证明..四、教具准备：课件、电子白板、运程教育资源网.五、教学程序：〔一〕、创设情境复习引入1、等腰三角形的性质是？〔1〕等腰三角形的两个底角相等.〔可以简称：等边对等角〕〔2〕等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的高互相重合<等腰三角形三线合一>2 、等腰三角形的对称轴是？。
人教版八年级上册数学第十三章 《轴对称》全章教学设计
人教版八年级上册数学第十三章《轴对称》全章教学设计13.1.1 轴对称在本节中，我们将研究轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念。
我们需要了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴和对应点，以及线段垂直平分线的概念。
此外，我们还将理解和掌握轴对称的性质。
在作品展示环节，我们可以让部分学生展示课前的剪纸作品，并进行小组活动，讨论窗花制作过程中的剪纸方法和窗花图案的共同特点。
在概念形成环节中，我们首先提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”。
然后，我们结合教材图13.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置。
学生可以举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子。
在概念形成环节的第二部分，我们观察教材中的图13.1-3，思考每对图形共同的特点，并给出两个图形成轴对称的定义。
我们可以举例，讨论轴对称图形和两个图形成轴对称的区别。
在概念形成环节的第三部分，我们观察教材中图13.1-4，引导学生发现线段AA′与直线MN的位置关系，并总结出对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段的规律。
在这个基础上，我们给出线段的垂直平分线的概念，并把上述规律概括成图形轴对称的性质。
此外，我们还讨论了类似的，轴对称图形的对称轴是任何一个对应点所连线段的垂直平分线。
你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出。
因此，我们需要找出原命题的条件和结论，然后将其写成“如果…那么…”的形式。
我们鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是：“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是：“这个点与这条线段两个端点的距离相等”。
此时，逆命题就很容易写出来。
“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
人教版初中数学八年级上册第十三章：轴对称(全章教案)
第十三章轴对称本章的内容包括：轴对称、画轴对称图形、等腰三角形、最短路径问题．轴对称是一种重要的对称．本章我们将从生活中的对称出发，学习几何图形的轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此体会图形变化在几何研究中的作用．在中考中，本章重点考查轴对称图形的性质、等腰三角形、等边三角形的判定及性质．【本章重点】轴对称图形的性质、等腰三角形的性质及判定．【本章难点】运用轴对称的思路分析认识复杂图形，进行推理论证．【本章思想方法】1．体会和掌握分类讨论思想，如：在解答等腰三角形的问题中，当腰和底、顶角的大小、角的位置不明确时，需要进行分类讨论．2．体会方程思想，如：在解决等腰三角形的问题时，根据边或角之间的关系，先设适当的边或角为未知数，再将其他的边或角用含未知数的代数式表示出来，最后根据等腰三角形的周长或三角形的内角和定理等构造方程解决问题．3．体会数形结合思想，如：运用本章知识解决实际问题时经常根据题意画出符合条件的图形，利用数形结合思想解决问题．13．1轴对称3课时13．2画轴对称图形2课时13．3等腰三角形4课时13．4课题学习最短路径问题1课时13．1轴对称13.1.1轴对称(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．【过程与方法】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流．【情感态度与价值观】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系．【教学难点】轴对称的性质．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P58～P60的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.3．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.4．图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．下列体育运动标志中，不是轴对称图形的有1个．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？【解答】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形，(2)(4)(7)(8)(10)是轴对称图形．(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．【互动总结】(学生总结，老师点评)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【例2】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2 cm，∠C＝95°，则AE＝________，∠D＝________.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质，有AE＝AB＝2 cm，∠D＝∠C ＝95°.【答案】2 cm95°【互动总结】(学生总结，老师点评)根据成轴对称的两个图形全等及全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．下图中的轴对称图形有(B)A．(1)(2)B．(1)(4)C．(2)(3)D．(3)(4)2．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B ＝40°，则∠BCD的度数是(A)A．130° B．150° C．40° D．65°3．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，n条对称轴．解：如图．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．可用折叠法判断是否为轴对称图形．2．多角度、多方法思考对称轴的条数．3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．请完成本课时对应练习！13.1.2线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的性质和判定一、基本目标【知识与技能】探索并理解线段垂直平分线的性质及判定．【过程与方法】经历探索轴对称图形性质及判定的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．二、重难点目标【教学重点】掌握线段垂直平分线的性质及判定．【教学难点】运用其性质及判定解答相关问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P61～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？答：直线MN垂直平分线段AA′、BB′、CC′.2．垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等.3．垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)△DBC的周长为35 cm，求BC→需求BC＋DC的长，利用AD＝BD(垂直平分线的性质)→BC＋DC＝AC.【解答】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF .在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分，方法2即线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A ＝5，则线段PB 的长度为( B )A．6 B．5C．4 D．32．到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个．3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连结DF，交AC 于点E，连结BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB.∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线．(2)解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证△ADE ≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF 即可．【解答】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD ＝CF ， ∴AB ＝BC ＋AD .【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)线段垂直平分线⎩⎪⎨⎪⎧性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等判断：与线段两个端点距离相等的点在这 条线段的垂直平分线请完成本课时对应练习！第3课时线段垂直平分线的有关作图一、基本目标【知识与技能】理解并掌握线段垂直平分线的有关作图．【过程与方法】经历探索线段垂直平分线的有关作图的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过作轴对称图形的对称轴，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与操作的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力，同时培养学生动手操作的意识及能力．二、重难点目标【教学重点】理解作轴对称图形的对称轴的方法．【教学难点】能解决有关线段垂直平分线的作图题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．2．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．3．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴．解：它们都是轴对称图形，第一幅图的对称轴是中间的水平直线，第二、三幅图的对称轴是中间的竖着直线．4．作线段AB 的垂直平分线．解：作法：(1)分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E 、F两点；(2)作直线EF ，EF 即为所求的直线．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例题】找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．【互动探索】(引发学生思考)如何作轴对称图形的对称轴？【解答】所画对称轴如下所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．活动2巩固练习(学生独学)1．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．2．观察图中的图形，是轴对称图形的画出所有的对称轴．略环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)作对称轴的步骤：先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．请完成本课时对应练习！13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形一、基本目标【知识与技能】掌握作已知图形关于直线的轴对称图形的方法．【过程与方法】在探索问题的过程中体会知识间的关系，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用，感受数学与生活的联系．【情感态度与价值观】经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，培养学生的应用意识和探究精神．二、重难点目标【教学重点】作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．【教学难点】利用轴对称进行一些图案设计环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．画出下列轴对称图形的所有对称轴．略2．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.3．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】画出△ABC关于直线l的对称图形．【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？【解答】如图所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连结即可得到．活动2巩固练习(学生独学)1．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是(B)2．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.略活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝()A．20° B．30°C．40° D．50°【互动探索】根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE，∴∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB＝60°，∴∠CFD＝30°，故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)作与图形成轴对称的图形，关键在于将图形抽象出各点，然后作点的对称点，再连线即可．请完成本课时对应练习！第2课时坐标中的轴对称一、基本目标【知识与技能】理解并掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律．【过程与方法】1．在探索关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生形象思维能力和数形结合的思维意识．2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．【情感态度与价值观】在探索规律的过程中，培养学生的应用意识和探究精神，提高学生的求知欲和好奇心．二、重难点目标【教学重点】直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．【教学难点】能解决有关坐标中的轴对称问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P68～P70的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；(2)关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.2．(1)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；(2)关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．3．点P(－4,3)关于x轴的对称点为Q，则点Q的坐标为(－4，－3).4．点P(－3,4)关于y轴的对称点为M，则点M的坐标为(3,4).环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在平面直角坐标系中，已知点A(－3,1)、B(－1,0)、C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．【互动探索】(引发学生思考)作已知图形关于坐标轴的对称图形的关键是什么？【解答】如图，△DEF是△ABC关于y轴对称的图形．【互动总结】(学生总结，老师点评)在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连结，即可作出已知图形关于坐标轴的对称图形．活动2巩固练习(学生独学)1．点A(2，－3)向上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是(2，－3).2．点P(3,4)关于y轴对称的点的坐标是P′(a，b)，则a－b＝－7.3．已知点A(2a－b,5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2018的值．解：(1)∵点A、B关于x轴对称，∴2a－b＝2b－1,5＋a－a＋b＝0，解得a＝－8，b＝－5.(2)∵A、B关于y轴对称，∴2a－b＋2b－1＝0,5＋a＝－a＋b，解得a＝－1，b＝3，∴(4a＋b)2018＝1.3．画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并指出△A1B1C1的顶点坐标．解：画图略．其中A1(3，－4)、B1(1，－2)、C1(5，－1)．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在10×10的正方形网格中，每个小方格的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点在格点上．(1)若以点B为原点，线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，画出四边形ABCD 关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；(2)点D1的坐标是________；(3)求四边形ABCD的面积．【互动探索】(1)以点B 为原点，线段BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，然后作出各点关于y 轴对称的点，顺次连结即可；(2)根据直角坐标系的特点，写出点D 1的坐标；(3)把四边形ABCD 分解为两个直角三角形，求出面积．【解答】(1)画图略． (2)点D 1的坐标为(－1,1)．(3)四边形ABCD 的面积为12×1×3＋12×1×2＝52.【互动总结】(学生总结，老师点评)轴对称变换作图，基本作法是：(1)先确定图形的关键点；(2)利用轴对称性质作出关键点的对称点；(3)按原图形中的方式顺次连结对称点．求多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的和或差求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)坐标中的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧关于x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律作已知图形关于x 轴、y 轴对称的图形请完成本课时对应练习！13．3等腰三角形13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、基本目标【知识与技能】1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．2．利用等腰三角形的性质解决相关问题．【过程与方法】经历等腰三角形性质的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强了语言表达能力．【情感态度与价值观】在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，提高学习的兴趣．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握等腰三角形的性质．【教学难点】运用等腰三角形的性质解决有关问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P75～P77的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.2．教材P75【探究】：(1)如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC.从上述过程中可知，在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形．(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角：①重合的线段：AB与AC、BD与CD、AD与AD；②重合的角：∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、∠ADB与∠ADC.3．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”)．(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.4．在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【互动探索】(引发学生思考)设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．【解答】∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.设∠A＝x，则∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝1＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36.∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的角平分线，即作等腰三角形的高，再根据等角的余角相等求解．【证明】过点A作AE⊥BC于点E.∵AB＝AC，∴∠BAD＝2∠2.∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°.∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.∴∠DBC＝∠2.∴∠BAD＝2∠DBC.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证等式中，角之间的数量关系，利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为(D)A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°2．如图，在△ABC，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝3 cm.3．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.证明：∵AB＝AC，CN＝AC，∴AB＝CN，∠N＝∠CAN.又∵AB∥CN，∴∠BAM＝∠N，∴∠BAM＝∠CAM，∴AM为∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴AM为三角形ABC的边BC上的中线，∴BM＝CM.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 是等腰三角形，且∠A ＋∠B ＝130°，求∠A 的度数．【互动探索】要求∠A ，需先讨论∠A 是等腰△ABC 的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．【解答】①当∠A 为顶角时，则∠B ＝∠C . ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠B ＝∠C ＝50°. ∴∠A ＝80°.②当∠C 为顶角时，则∠A ＝∠B ， ∵∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠A ＝65°.③当∠B 为顶角时，则∠A ＝∠C ， ∵∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠A ＝∠C ＝50°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 等腰三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧等边对等角三线合一轴对称性请完成本课时对应练习！第2课时等腰三角形的判定一、基本目标【知识与技能】1．探索等腰三角形的判定方法．2．掌握等腰三角形性质与判定的综合应用．【过程与方法】经历判定等腰三角形的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强数学语言表达能力．【情感态度与价值观】在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，感受数学学习的乐趣，激发学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】掌握等腰三角形的判定方法．【教学难点】会运用等腰三角形的判定方法解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P77～P78的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形为等腰三角形．2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.证明过程略．(提示：作△ABC的角平分线AD)3．等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成等角对等边)．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.【互动探索】(引发学生思考)要证AB＝AC，本题不能直接连结AD，由全等得到，可以考虑连结BC利用等腰三角形的性质与判定方法求证．【证明】连结BC.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB.∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要是通过连结BC，使AB、AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等．【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形，需证CE＝CF.由等角的余角相等可得∠B＝∠ACD，由AE是∠BAC的平分线和三角形外角的性质可得CE＝CF.【解答】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD＝3 cm.2．如图，AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55°.3．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2,3)，在y轴上确定点P，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．3个B．4个C．5个D．6【互动探索】∵△AOP为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO＝AP(有一个)．此时只要以A为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P1；(2)AO＝OP(有两个)．此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P2、P4；(3)AP＝OP(一个)．作AO的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P3.综上所述，共有4个．故选B.。
人教版数学八年级上册 13.2画轴对称图形-教案设计(1)
课题：13．2.2用坐标表示轴对称安阳市第三十三中学一、概述《用坐标表示轴对称》是人教版八年级上册第十三章第二节第二课时的内容。
本节课是在学生学习了轴对称及轴对称变换的概念和特征后进行的。
用坐标表示轴对称体现了轴对称在平面直角坐标系中的应用，从数量关系的角度来刻画轴对称。
通过这节课的学习,让学生感受图形轴对称变换之后的坐标的变化,从而体验数和形的紧密结合,把坐标思想和图形变换的思想联系起来,为后面函数的知识的学习打下基础。
二、学习目标分析1．学习目标：(1)理解平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律.(2)会作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形.(3)学会运用数形结合的思想，把坐标与图形变换联系起来，体会几何图形的趣味性和数学内容的深刻性.⑷在活动中，学会主动探索、与人合作，并能与他人分享发现，阳光展示.2.教学重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
3.教学难点：找关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系、规律.学法指导：用坐标表示轴对称三、学习者特征分析学生通过之前的学习，比较熟悉轴对称及轴对称图形，本节课是《画轴对称图形》的第2课时，学生在第一节课就已经学会了用尺规画轴对称图形的一般步骤，对于“关于x轴或y轴对称”的点的坐标规律是新内容.四、教学策略选择与设计本课堂采用自学引导式、合作探究式教学模式.达成目标（1）的标志是：学生能通过具体活动，抽象出关于坐标轴对称的点的坐标规律，让学生活动掌握点关于x轴或y轴对称点的规律.达成目标（2）（3）的标志是：通过小组数学活动及课堂反馈，让学生利用这种坐标变化规律在平面直角坐标系中画出一个图形的轴对称图形.达成目标（4）的标志是：通过参与小组数学活动及及时练习、课堂反馈，让学生参与课堂，学会与他人合作，培养学生的表达能力和抽象思维能力.五、教学资源与工具设计根据本节课内容的特点，为了更直观、形象地体现数学内容的趣味行、生活化及数形结合，借助了信息技术工具(视频、音频)，把身边的轴对称现象呈现给学生，引导学生确定问题中各量之间的关系，采用“自学引导式”教学，让学生“自主探究，合作交流”，得到正确的结论.六、教学过程（一）创设情境，激发兴趣通过问题：作为安阳人你最自豪的是什么，说到周易的博大精深，引出羑里城的视频和问路音频，从而引入课题------用坐标表示轴对称.问题1 “羑里城”是以轴对称为主的建筑群，城中的文王易碑亭A和乾隆御碑亭B 关于中轴线对称，若以中轴线为y轴，城南墙为x轴建立平面直角坐标系，如果A坐标为（-45,30），那么B点坐标是多少呢？它们两点坐标的关系是怎样的呢？设计意图：使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，激发学生的求知欲，从而导入新课.（二）合作探究学习新知，解读“学习目标”，复习：已知一点和一条直线做对称点的尺规作图，引入探究一：【探究一】问题2 在平面直角坐标系内描出下列已知点以及关于x轴的对称点，并把坐标填学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间的坐标的关系，经过探索、观察、猜测、讨论，然后进行归纳总结.得出规律：关于x轴对称的点的坐标的特点是:横坐标相等,纵坐标互为相反数.记住：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；及时练习1:1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.2、点M(a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=_____, b =_____.【探究二】在平面直角坐标系内描出下列已知点关于y轴的对称点，并把坐标填在表格中，你动：学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间的坐标的关系，经过探索、观察、猜测、讨论，然后进行归纳总结.得出规律：关于y轴对称的点的坐标的特点是:横坐标互为相反数,纵坐标相等.记作：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y).设计意图：1.观察操作，主动探索，研究直角坐标系内的轴对称图形坐标特点及时练习2：1、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.2、如图长方形ABCD四个顶点分别关于x轴、y轴成轴对称，点A坐标为（-3，2），试填空：B ，C ，D .我们也可以简单的记住：横轴横相等，纵轴纵相等。
人教版数学八年级上册第十三章《轴对称》教案
第十三章轴对称轴对称教课目的：1．认识轴对称图形和两个图形成轴对称的观点，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的差别与联系．2．研究成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，领会由详细到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学识题中的作用．3．认识线段垂直均分线的观点．教课重、难点：轴对称的观点和性质教课过程：一、问题导入：前言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标记，甚至平时生活用品，都能够找到对称的例子，对称给我们带来美的感觉！二、课本精讲：问题 1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完整剪断），再翻开这张对折的纸，就获取了漂亮的窗花．察看获取的窗花，你能发现它们有什么共同的特色吗？假如一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形对于这条直线（成轴）对称．教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？问题 2察看下边每对图形（如图），你能类比前方的内容归纳出它们的共同特色吗？共同特色：每一对图形沿着虚线折叠，左侧的图形都能与右侧的图形重合．把一个图形沿着某一条直线折叠，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形对于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？教师：你能联合详细的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么差别与联系吗？二者的联系：把成轴对称的两个图形当作一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分红两个图形，这两个图形对于这条轴对称．二者的区：称形指的是一个形沿称折叠后个形的两部分能完整重合，而两个形成称指的是两个形之的地点关系，两个形沿称折叠后能重合．3如，△ ABC和△ A′ B′ C′对于直MN 称，点 A′,B ′,C′分是点 A， B， C 的称点，段 AA ′， BB ′， CC ′与直 MN 有什么关系？教：你能明此中的道理？上边的明“假如△ ABC 和△ A′ B′ C′对于直MN 称，那么，直 MN 垂直段 AA ′， BB ′和 CC ′，而且直 MN 均分段 AA ′， BB ′和 CC ′”．假如将此中的“三角形”改“四形”“五形”⋯其余条件不，上述成立？3 点 A，B， C 如，△ ABC 的称点，段和△ A′ B ′ C′对于直MNAA ′， BB ′， CC ′与直称，点 A′,B ′,C′分是MN 有什么关系？段中点而且垂直于条段的直，叫做条段的垂直均分．教：你能用数学言归纳前方的？成称的两个形的性：假如两个形对于某条直称，那么称是任何一点所段的垂直均分．即称点所段被称垂直均分；称垂直均分称点所段．4下是一个称形，你能什么？能明原因？：直 l 垂直段 AA′，BB ′，直 l 均分段 AA ′，BB′（或直 l 是段 AA ′， BB ′的垂直均分）．教：你能用数学言归纳前方的？称形的性：称形的称，是任何一点所段的垂直均分．三、稳固提升：教科 601、2 。
人教版数学八年级上册教学设计《13-1轴对称》(第1课时)
人教版数学八年级上册教学设计《13-1轴对称》（第1课时）一. 教材分析《13-1轴对称》是人教版数学八年级上册的教学内容，这部分内容主要介绍了轴对称的概念、性质及应用。
教材通过丰富的实例，引导学生探索轴对称的规律，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
本节课的内容是学生对平面几何学习的进一步拓展，对于提高学生的数学素养具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑推理和空间想象能力。
但是，对于轴对称的理解和应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能运用轴对称解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生团结协作、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：轴对称的概念及其性质。
2.难点：轴对称在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、操作、猜想、验证，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生主动探究，培养学生的逻辑推理能力。
3.合作学习法：鼓励学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例图片和教学素材。
2.设计好教学问题和讨论题目。
3.准备好黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的轴对称现象，如剪纸、折叠等，引导学生关注轴对称的概念。
提问：“你们在生活中还见过哪些轴对称的现象？”让学生发表自己的看法。
2. 呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，呈现轴对称的定义和性质。
讲解轴对称的定义，即一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
新人教版八年级数学第13章《轴对称》教案
第十三章《轴对称》教材分析一、教材内容本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，了解轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习等腰三角形的判定方法，并进一步学习等边三角形的性质．在本章第1小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，概括出轴对称的特征．结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理．在第2节“画轴对称图形”中，首先通过操作对轴对称的性质进行了归纳，然后通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴的对称图形的一般方法，最后用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称．教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形．本章第3节等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质．等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因．在本章第3小节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法等内容．本章第4节是“课题学习最短路径问题”．教科书在这一节中安排了两个问题，分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间，线段最短”的问题，在解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想．二、教学目标1、知识与技能（1）通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质．（2）探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．（3）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（4）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理．2、过程与方法（1）在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；（2）在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。
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集体备课教案§13．1．1 轴对称（一）教学目标一、知识与技能1、在生活实例中认识轴对称图．2、轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别。
二、过程与方法分析轴对称图形，理解轴对称的概念．三、情感态度价值观让学生体会数学的对称美在生活中的广泛应用和体现。
教学重点轴对称图形的概念．教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．教学方法：探究、实践操作练习预习导航1、分析轴对称图形，理解轴对称的概念．2、两个图形成轴对称即对称点的概念3、轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别。
教学过程一、图片展示，引入新课轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十三章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．二、新知探究1、轴对称图形及对称轴的概念形成（1）出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．（2）概念形成如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）•对称．（3）学生举例（4）制作学具，强化概念取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
（5）例题讲解下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．(1) (2) (3) (4) (5)2、两个图形关于某条直线对称概念形成（1）展示挂图，大家想一想，你发现了什么？（2）制作学具，交流讨论总结定义像这样，•把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，•这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．（３）两个图形成轴对称与全等图形的关系（课本P59思考）．结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．３、两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．三、巩固练习A组：课本P60练习B组：1、找出英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？2、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗3、练习册习题C组：1、用两个圆、两个三角形、两条平行线构造轴对称图形，别忘了要加上一两句贴切、诙谐的解说词。
四、课时小结这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．五、作业课本习题13．1的1、2题．教学反思：§12．1．2 轴对称（二）——轴对称的性质课型：新授教学目标一、知识与技能了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．二、过程与方法探究线段垂直平分线的定义．三、情感态度价值观经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．教学重点1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的定义．教学难点体验轴对称的特征．教学方法：探究、引导教具准备：直尺、铅笔预习导航:1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．（1）如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．（2）关于某条直线对称的两个图形全等，对应线段对应角相等2．探究线段垂直平分线的定义教学过程一．回顾复习、引入新课提问轴对称图形与两图形成轴对称的定义，今天继续来研究轴对称的性质．二．新知探究1、探究轴对称的性质如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、•B、C的对称点，（1）△ABC和△A′B′C′有什么关系？对应线段、对应角有什么关系？（2）线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？（3）延长对应线段，两条延长线相交吗？交点与对称轴有什么关系？教师引导学生讨论归纳轴对称的性质：a、关于某条直线对称的两个图形全等，对应线段对应角相等b、如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．c、成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上。
2、探究线段垂直平分线的定义（1）学生活动：自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系。
我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，•对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．（2）归纳定义：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．三、例题讲解例1如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?哪些线段相等?例2如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称点分别是，线段AC、AB的对应线段分别是，CD= ，∠CBA= ，∠ADC= ．（2）AE与BF平行吗？为什么？（3）延长线段AB、EF，两条延长线相交吗？交点与对称轴有什么关系？四、巩固练习课本习题12．1─3、4、10题．五．课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的定义六、课后作业数学小册子课后反思：§12．1．2 轴对称（三）——线段的垂直平分线的性质课型：新授教学目标一、知识与技能1．线段垂直平分线的性质二、过程与方法利用线段垂直平分线性质证明线段相等三、情感态度价值观经历探索线段垂直平分线性质的过程，进一步培养学生探究能力 教学重点线段垂直平分线的性质． 教学难点探究线段平分线性质 教学方法：探究、引导 教具准备：直尺、铅笔 预习导航:1．线段垂直平分线的性质2、利用线段垂直平分线性质证明线段相等 教学过程一．复习回顾，引入新课 1、复习轴对称的性质2、复习线段垂直平分线的定义今天继续来研究线段垂直平分线的性质． 二．新知探究1、探究线段垂直平分线的性质[探究1]如下图．木条L 与AB 钉在一起，L 垂直平分AB ，P 1，P 2，P 3，…是L 上的点，•分别量一量点P 1，P 2，P 3，…到A 与B 的距离，你有什么发现？（1）用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB ，过AB 中点作AB 的垂直平分线L ，在L 上取P 1、P 2、P 3…，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…（2）作好图后，用刻度尺量出它的长度AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…讨论发现什么样的规律． (3)总结归纳性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP 1=BP 1，AP 2=BP 2，…2、证明线段垂直平分线的性质引导学生画出图形，写出已知、求证。
(1)证法一：利用判定两个三角形全等．如下图，在△APC 和△BPC 中，PC=PC∠PCA=∠PCB=90°⇒ AC=BC⇒△APC ≌△BPC ⇒ PA=PB.A(2) 证法二：利用轴对称性质．由于点C 是线段AB 的中点，将线段AB 沿直线L 对折，线段PA 与PB 是重合的，•因此它们也是相等的．三、例题讲解例1图8是某跨河大桥的斜拉索，图中AO ＝BO ，PO ⊥AB ，则必有PA ＝PB ，为什么?例2如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18cm ，BC ＝ 10cm ，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点，求：△BCD 的周长。
四．巩固练习（一）课本P34练习 1、（二）1、已知互不平行的两条线段AB, A ′B ′关于直线l 对称，AB, A ′B ′所在的直线交于点P，判断下列正误。
1）AB=A ′B ′（ ） 2）点P 在直线l 上（ ）3）若A, A ′是对称点，则l 垂直平分线段A A ′（ ） 4）若B, B ′是对称点，则PB=P B ′( )（三）如右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相等吗?为什么?五．课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．六、课后作业（一）课本习题12．1的第5题． （二）复习题12第5题图8课后反思：§12．1．2 轴对称（四）——线段的垂直平分线的判定课型：新授教学目标一、知识与技能1．线段垂直平分线的判定二、过程与方法利用线段垂直平分线判定证明线段相等或垂直 三、情感态度价值观经历探索线段垂直平分线判定的证明过程，进一步培养学生探究能力 教学重点线段垂直平分线的判定． 教学难点探究线段平分线判定 教学方法：探究、引导 教具准备：直尺、铅笔 预习导航:1．线段垂直平分线的判定2、利用线段平分线判定证明线段相等或垂直3、成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上； 教学过程一．创设情境，引入新课如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？三． 新知探究 1、探究线段垂直平分线的判定（1）活动：1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB ，取其中点P ，过P 作L ，在L 上取点P 1、P 2，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2．会有以下两种可能．2．讨论：要使L 与AB 垂直，AP 1、AP 2、BP 1、BP 2应满足什么条件？ （2） 探究过程：1．如上图甲，若AP 1≠BP 1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 不可能重合，也就是∠APP 1≠∠BPP 1，即L 与AB 不垂直．2．如上图乙，若AP 1=BP 1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 恰好重合，就有∠APP 1=∠BPP 1，即L 与A 、B 重合．当AP 2=BP 2时，亦然．（教师引导学生写出证明过程）（3）探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[•探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．（4）总结概括线段垂直平分线的判定，即：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。