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人教版高中数学必修第二册8.1——8.3同步测试滚动训练(含答案)

人教版高中数学必修第二册8.1——8.3同步测试滚动训练(时间:45分钟分值:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列说法中正确的是()A.三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B.水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C.一个几何体的正视图和侧视图都是矩形,则该几何体是长方体D.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台2.图G5-1中的几何体有()图G5-1A.圆柱、圆锥、圆台和球B.圆柱、球和圆锥C.球、圆柱和圆台D.棱柱、棱锥、圆锥和球3.将选项中所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到图G5-2所示的几何体的是()图G5-2ABCD图G5-34.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为()A.1∶3B.1∶9C.1∶33D.1∶(33-1)5.某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形,俯视图是圆,记该柱体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,且S1=λS2,则λ=()A.1B.23C.43D.326.在如图G5-4所示的多面体ABCDB1C1D1中,四边形ABCD,四边形BCC1B1,四边形CDD1C1都是边长为6的正方形,则该多面体的体积为()图G5-4A.72B.144C.180D.2167.将一个体积为36π的金属球切割加工成一个底面积为8π的圆柱,则当圆柱的体积最大时,其侧面积为()A.82πB.83πC.62πD.93π8.若圆锥的体积与球的体积相等,且圆锥的底面半径与球的直径相等,则圆锥的侧面积与球的表面积之比为()A.5∶2B.5∶4C.1∶2D.3∶4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.将一个等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体的体积为V1,绕其一直角边所在直线旋转一周所得几何体的体积为V2,则 1 2=.10.关于斜二测画法,有如下说法:①在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同;②等腰三角形的直观图仍然是等腰三角形;③梯形的直观图仍然是梯形;④正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中正确说法的序号是.11.在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD的面积为16,一条侧棱的长为211,则该棱锥的高为.12.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且 1 2=94,则 1 2的值是.三、解答题(本大题共3小题,共40分)13.(10分)如图G5-5,该几何体上半部分是母线长为5,底面半径为3的圆锥,下半部分是下底面半径为2,母线长为2的圆台,计算该几何体的表面积和体积.图G5-514.(15分)已知一个圆锥的底面半径为2,母线长为4.(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;(2)若圆锥中内接一个高为3的圆柱,求圆柱的表面积.15.(15分)如图G5-6,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,且AB=BC=2,A1A=2.(1)求该直三棱柱的表面积;(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱,求大棱柱表面积的最小值.图G5-6参考答案与解析1.D[解析]对于选项A,三棱柱的每个侧面都是平行四边形,但是全部展开以后,那些平行四边形未必可以构成一个“大”平行四边形,故A错误.对于选项B,水平放置的正方形的直观图是平行四边形,不可能是梯形,故B错误.对于选项C,一个几何体的正视图和侧视图都是矩形,则该几何体不一定是长方体,也可能是圆柱,故C错误.对于选项D,根据圆台的定义可知D正确.故选D.2.B[解析]由图可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故选B.3.B4.D[解析]由题意得,截得的小锥体与原来大锥体的体积之比为1∶33,故锥体被截面所分成的两部分的体积之比为1∶(33-1),故选D.5.D[解析]由已知可得,该柱体为底面直径与高相等的圆柱,设底面圆的半径为r,则高为2r,则S1=2πr2+2πr·(2r)=6πr2.易知该圆柱内切球的半径为r,则S2=4πr2,则λ= 1 2=6π 24π 2=32,故选D.6.C[解析]如图,把该多面体补成正方体ABCD-A1B1C1D1,则该多面体的体积V=正方体 쪨૕ - 1쪨1૕1 1- 三棱锥 - 1쪨1 1=63-13×12×63=180.故选C.7.A[解析]设球的半径为R,则由题意知43πR3=36π,解得R=3.当圆柱的体积最大时,圆柱轴截面对角线的长等于球的直径.设圆柱的底面半径为r,则πr2=8π,解得r=22,所以圆柱的高h=2 2- 2=29−8=2,所以圆柱的侧面积S=2πr·h=2π×22×2=82π,故选A.8.A[解析]设圆锥的底面半径为r,圆锥的高为h,则球的半径为 2,由题知13πr2h=43π· 23,解得h= 2,∴圆锥的母线长为 2+ 2=,∴圆锥的侧面积S1=12×2πr2,又球的表面积S2=4π 22=πr2,∴ 1 2=A.9[解析]设等腰直角三角形的斜边长为2,则直角边长为2,则V1=2π3,V21 2=10.①③[解析]由斜二测画法规则可知,正三角形、等腰三角形的直观图不一定是等腰三角形,故②④错误,易知①③正确.11.6[解析]如图,取正方形ABCD的中心O,连接VO,AO,则VO就是正四棱锥V-ABCD的高.∵底面ABCD的面积为16,∴AO=22,又VA=211,∴VO= 2- 2=44−8=6,∴正四棱锥V-ABCD的高为6.12.32[解析]由题意可得甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1r2的高分别为h1= 1 1,h2= 2 2,因为它们的侧面积相等,所以2πr1h1=2πr2h2· 1 1=· 2 2,整理得 1 2==32.13.解:圆锥的侧面积S1=π×3×5=15π,圆台的侧面积S2=π×(3+2)×2=10π,π×22=4π,圆台的下底面面积S底=所以该几何体的表面积S=S1+S2+S底=15π+10π+4π=29π.根据题意得,圆锥的高为4,圆台的高为3,则圆锥的体积V1=13×π×32×4=12π,圆台的体积V2=13×π×3×(32+2×3+22),所以该几何体的体积V=V1+V2=12π.14.解:(1)所求圆心角为2×π×24=4π4=π.(2)由题可知,圆锥的高为23,因为圆柱的高为3,所以圆柱的底面半径为1,则圆柱的表面积S=2×π×12+2×π×1×3=(2+23)π.15.解:(1)该直三棱柱底面的面积为12×2×2=1,侧面积为2×(2+2+2)=42+4,故其表面积S=6+42.(2)设两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱时重合的面的面积为S1,则大棱柱的表面积为2S-2S1,所以当重合的面的面积最大时,大棱柱的表面积最小.因为侧面AA1C1C的面积最大,所以大棱柱表面积的最小值为2S-2四边形 1૕1૕=4+82.。

高中数学必修2全册课时同步测试卷及答案

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】第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是() A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

人教版高中数学必修2同步章节训练题及答案全册汇编

高中数学必修2全册同步练习题目录1-1-1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1-1-2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征1-2-1、2 中心投影与平行投影空间几何体的三视图1-2-3 空间几何体的直观图1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积1-3-2 球的体积和表面积高中数学第一章综合素能检测2-1-1 平面2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系2-2-1 直线与平面平行的判定2-2-2 平面与平面平行的判定2-2-3 直线与平面平行的性质2-2-4 平面与平面平行的性质2-3-1 直线与平面垂直的判定2-3-2 平面与平面垂直的判定2-3-3 直线与平面垂直的性质2-3-4 平面与平面垂直的性质高中数学第二章综合素能检测3-1-1 倾斜角与斜率3-1-2 两条直线平行与垂直的判定3-2-1 直线的点斜式方程3-2-2 直线的两点式方程3-2-3 直线方程的一般式3-3-1 两条直线的交点坐标3-3-2 两点间的距离公式3-3-3、4 点到直线的距离两条平行直线间的距离高中数学第三章综合检测4-1-1 圆的标准方程4-1-2 圆的一般方程4-2-1 直线与圆的位置关系4-2-2 圆与圆的位置关系4-2-3 直线与圆的方程的应用4-3-1、2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式高中数学第四章综合检测一、选择题1．在棱柱中()A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行[答案] D2．下列几何体中，不属于多面体的是()A．立方体B．三棱柱C．长方体D．球[答案] D3．如图所示的几何体是()A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体[答案] C4．下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案] D5．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．() A．3B．4C．5D．6[答案] C[解析]由于顶角之和小于360°，故选C.6．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点[答案] B7．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是()[答案] B8．(2012－2013·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] B[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．二、填空题9．图(1)中的几何体叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．[答案]棱柱侧棱顶点10．图(2)中的几何体叫做________，P A、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．[答案]棱锥侧棱侧面底面11．图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．[答案]棱台O－ABCD A′B′C′D′侧棱侧面12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．[答案]①③[解析]根据棱柱的定义及结构特征来判断．在棱柱中因为有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面易证是平行四边形，故①正确；而随着倾斜程度的不同，水面EFGH的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．三、解答题13．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．[解析](1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．14．如右图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解析]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？[解析]三棱锥五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG长方体16．一个几何体的表面展开平面图如图．(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解析](1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．一、选择题1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[答案] C[解析]由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥[答案] D3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心[答案] D[解析]圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．4．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[答案] B[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A．10 B．20C．40 D．15[答案] B[解析]圆柱的轴截面是矩形，其一边为圆柱的母线，另一边为圆柱的底面圆的直径．因而，轴截面的面积为5×4＝20.6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是()A．球B．正方体C．圆D．球面[答案] D7．(2012－2013·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()[答案] A[解析]观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A适合．故正确答案为A.8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)[答案] D[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题9．图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．[答案]球球心半径直径10．图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．[答案] 圆柱母线底面11．图③中的几何体叫做________，SB 为叫它的________． [答案] 圆锥母线12．图④中的几何体叫做________，AA ′叫它的________，⊙O ′及其内部叫它的________，⊙O 及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA ′O ′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．[答案] 圆台母线上底面下底面垂直于两底的腰OO ′ 三、解答题13．说出下列7种几何体的名称．[解析]a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g 是棱锥．14．说出如图所示几何体的主要结构特征．[解析](1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：16．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AA′＝3 cm.求在长方体表面上连接A、C′两点的诸曲线的长度的最小值．[解析]将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸曲线中长度最小的为41 cm(如图乙所示)．一、选择题1．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为()A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱[答案] C2．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台[答案] D3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] D4．(2012－2013·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.[答案] C[解析]结合俯视图的定义，仔细观察，易得答案C.6．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台[答案] B[解析]该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是()[答案] B8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()[答案] D[解析]此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．二、填空题9．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．10．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是________．[答案] 5[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．11．(2012～2013·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．[答案]①②③④12．(2012－2013·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案] 3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A －DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．三、解答题13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解析]所给四棱锥的三视图如下图．[点评](1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽度一致(即所谓的“宽相等”)．(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．[拓展提高]1．三视图中各种数据的对应关系：(1)正视图中AB的长对应原四棱锥底面多边形的左右方向的长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的顶点到底面左、右两边的距离．(2)侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后长度，GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．(3)俯视图中HIJK的大小与四棱锥底面的大小形状完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离．2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认为是棱锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．[解析]图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：15．说出下列三视图表示的几何体：[解析]16．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．[答案]所对应的空间几何体的图形为：一、选择题1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等[答案] A2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．3．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．①B．①②C．③④D．①②③④[答案] B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是()[答案] A[解析]由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC[答案] D[解析]△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC ＞AD，AC＞BC.6．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[答案] C[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()[答案] C[解析]由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．8．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )[答案] C[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h 2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来的12.二、填空题9．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为________，点M ′的找法是________．[答案] M ′(4,2) 在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′.[解析] 在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′.10．如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．[答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.11．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．[答案] 16[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4，又∵底边OB 的高为8， ∴面积S ＝12×4×8＝16.12．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________？[答案]8[解析]原图形为OABC为平行四边形，OA＝1，AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形OABC周长为8.三、解答题13．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．[解析]14．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.15．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．[解析]如图．16．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．[分析]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．[解析]直观图如图a所示，三视图如图b所示．一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍 D ．2倍[答案] D[解析] 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．3[答案] C[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧＝1＋2π2π.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π[答案] B[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r )2＋(4r －r )2.解得r ＝2.所以S 圆台侧＝π(r ＋4r )·10＝100π，故选B.6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A.3π2 B ．2π C ．πD ．4π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，故其全面积S ＝2π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝3π2.7．(2012－2013·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 2[答案] A[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为12×62×4＝122；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为12×6×5＝15.所以全面积为48＋12 2.二、填空题9．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ ________cm.[答案] 3[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)，∴2πr 2＋8πr ＝42π，解得r ＝3或r ＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3 cm.10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案] 24＋2 3[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.11．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.12．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．[答案] 0<a <153[解析] 底面积为6a 2，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：S 1＝2×6a 2＋2(10＋8＋6)＝12a 2＋48， S 2＝24a 2＋2(10＋8)＝24a 2＋36， S 3＝24a 2＋2(10＋6)＝24a 2＋32. 拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为(8＋6)×2＋4×6a 2＝24a 2＋28.由题意得24a 2＋28<12a 2＋48，解得0<a <153. 三、解答题13．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S －ABCD ，如图所示，求它的表面积．[分析] 求各侧面的面积→ 求侧面积→求底面积→求表面积[解析] ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形，设E 为AB 的中点，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12×5×532＝253， S 底＝52＝25，∴S 表面积＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1)． 14．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．[解析] (1)如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )，在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )，又EF ＝CE ·sin45°＝12(b －a )， ∴C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝[22(b －a )]2＋[12(b －a )]2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)． (2)由S 侧＝a 2＋b 2，∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，∴h ＝h 2斜－EF 2＝aba ＋b.15．(2012－2013·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＝48＋16 2 cm 2.一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )A ．32 3B ．28 3C ．24 3D ．20 3 [答案] B[解析] 上底面积S 1＝6×34×22＝63，下底面积S 2＝6×34×42＝243，体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 1S 2)·h＝13(63＋243＋63·243)×2＝28 3.3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )。

人教版高中数学必修第二册8.4——8.5同步测试滚动训练(含答案)

人教版高中数学必修第二册8.4——8.5同步测试滚动训练(时间:45分钟分值:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角()A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定2.下列条件中能推出平面α与平面β平行的是()A.平面α内有无数条直线与β平行B.平面α内的任意一条直线都与β平行C.直线m∥α,m∥β,且直线m不在α内,也不在β内D.直线m⊂α,直线l⊂β,且m∥β,l∥α3.给出下列四个条件:①空间中的三个点;②一条直线和一个点;③两条平行的直线;④两条垂直的直线.其中能确定一个平面的是()A.①②③④B.①③C.③④D.③4.已知m,n,l1,l2表示直线,α,β表示平面,若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥β且n∥βC.m∥β且n∥l2D.m∥l1且n∥l25.如图G6-1所示,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的是()ABCD图G6-16.如图G6-2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论中正确的是()图G6-2A.MN∥APB.MN∥BD1C.MN∥平面BB1D1DD.MN∥平面BDP7.如图G6-3,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,点M是棱AD的中点,点N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,P是侧面ADD1A1内一动点(含边界),若C1P∥平面CMN,则线段C1P 长度的取值范围是()图G6-3A.[3,17]B.[4,5]C.[3,5]D.[17,5]8.在三棱台ABC-A1B1C1中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点,且平面BDM∥平面A1C1CA,则动点M的轨迹是()A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.空间三个平面之间的交线条数为n,则n的可能值为.10.过平面外一点作与该平面平行的平面有个;过平面外一点作该平面的平行直线有条.11.如图G6-4,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q,R,S分别是AB,BC,C1D1,C1C,A1B1,BB1的中点,给出下列说法:①PQ与RS共面;②MN与RS共面;③PQ与MN共面.其中正确说法的序号是.图G6-412.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1和AB的中点,若平面B1EF交AD 于点P,则PE=.三、解答题(本大题共3小题,共40分)13.(10分)正方体ABCD-A1B1C1D1如图G6-5所示.(1)若E,F分别为AA1,CC1的中点,画出过点D1,E,F的截面;(2)若M,N,P分别为A1B1,BB1,B1C1上的点(均不与B1重合),求证:△MNP是锐角三角形.图G6-514.(15分)如图G6-6所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,CD=2AB,P,Q分别是CC1,C1D1的中点,求证:平面AD1C∥平面BPQ.图G6-615.(15分)如图G6-7所示,四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面,且该截面为平行四边形.(1)求证:AB∥平面EFGH;(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.图G6-7参考答案与解析1.C[解析]由等角定理知选C.2.B[解析]平面α内有无数条直线与β平行,则α与β相交或平行,故A不满足题意;平面α内的任意一条直线都与β平行,则平面α内一定有两条相交直线与平面β平行,则由面面平行的判定定理得α∥β,故B满足题意;直线m∥α,m∥β,且直线m不在α内,也不在β内,则α与β相交或平行,故C不满足题意;直线m⊂α,直线l⊂β,且m∥β,l∥α,则α与β相交或平行,故D不满足题意.故选B.3.D[解析]对于①,当这三个点共线时,经过这三个点的平面有无数个,故①不满足题意.对于②,当此点在此直线上时,有无数个平面经过这条直线和这个点,故②不满足题意.对于③,根据推论3可知两条平行直线唯一确定一个平面,故③满足题意.对于④,当这两条直线是异面直线时,这两条直线不同在任何一个平面内,不能确定一个平面,故④不满足题意.故选D.4.D[解析]由题意得,m,n是平面α内的两条直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,要使α∥β,一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可,故选D.5.D[解析]对于选项A,连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,S,R,Q四点共面;对于选项B,过P,S,R,Q可作一个正六边形,∴P,S,R,Q四点共面;对于选项C,连接PQ,RS,易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S四点共面.故选D.6.C[解析]易知MN与AP是异面直线,故A中结论不正确.易知MN与BD1是异面直线,故B中结论不正确.连接AC,与BD交于点O,则O为BD的中点,连接OD1,ON.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵M,N分别是C1D1,BC的中点,∴ON∥CD∥D1M,ON=12CD=D1M,∴四边形MNOD1为平行四边形,∴MN∥OD1.∵MN⊄平面BB1D1D,OD1⊂平面BB1D1D,∴MN∥平面BB1D1D,故C中结论正确.由选项C知MN∥平面BB1D1D,而平面BB1D1D和平面BDP相交,∴MN与平面BDP不平行,故D中结论不正确.故选C.7.D[解析]取A1D1的中点E,在DD1上取点F,使D1F=2DF,连接EF,C1E,C1F,则易知平面CMN ∥平面C1EF.∵P是侧面ADD1A1内一动点(含边界),C1P∥平面CMN,∴P∈线段EF,∵C1E= 1 12+ 1 2=5,C1F= 1 12+ 1 2=5,∴当P与EF的中点重合时,线段C1P的长度取得最小值,当P与点E或点F重合时,线段C1P的长度取得最大值.取EF的中点O,连接C1O,则由题意知EF=42,C1O= 1 2- 2=25−(22)2=17,∴线段C1P长度的取值范围是[17,5].故选D .8.C [解析]如图所示,在平面A 1B 1C 1内,过D 作DN ∥A 1C 1,交B 1C 1于点N ,连接BN.∵AA 1∥BD ,AA 1⊂平面A 1C 1CA ,BD ⊄平面A 1C 1CA ,∴BD ∥平面A 1C 1CA.∵DN ∥A 1C 1,DN ⊄平面A 1C 1CA ,A 1C 1⊂平面A 1C 1CA ,∴DN ∥平面A 1C 1CA.∵BD ∩DN=D ,∴平面BDN ∥平面A 1C 1CA.∵点M 是△A 1B 1C 1内(含边界)的一个动点,且平面BDM ∥平面A 1C 1CA ,∴M 的轨迹是线段DN ,且M 与D 不重合,即动点M 的轨迹是线段,但只含1个端点.故选C .9.0,1,2,3[解析]三个平面可以互相平行,可以交于同一条直线,可以两个平面平行且被第三个平面所截,也可以两两相交,故答案为0,1,2,3.10.1无数[解析]过平面外一点作与该平面平行的平面,这样的平面有且只有1个.在符合题意的平面上过这个点的直线有无数条,这些直线都与原平面平行.11.①③[解析]连接PR ,QS ,因为P ,Q ,R ,S 分别是C 1D 1,C 1C ,A 1B 1,B 1B 的中点,所以PR B 1C 1,QS B 1C 1,所以PRQS ,所以四边形PRSQ 是平行四边形,故①正确;连接QN ,C 1B ,PM ,则由题意得QN 12C 1B PM ,所以PQ 与MN 共面,故③正确;因为MN 与RS 既不平行也不相交,故②错误.12[解析]过点C 1作C 1G ∥B 1F ,交CD 于点G ,过点E 作HQ ∥C 1G ,交CD 的延长线于点H ,交C 1D 1于点Q ,连接B 1Q ,HF 交AD 于点P ,则HQ ∥B 1F ,所以Q ,H ,F ,B 1四点共面.由正方体的棱长为1,易知CG=BF=12.设D 1Q=x ,由题知HD=D 1Q ,因为C 1Q ∥HG ,HQ ∥C 1G ,所以四边形HQC 1G 为平行四边形,所以HG=QC 1,即x+12=1-x ,解得x=1.由题可知△PDH ∽△PAF ,所以= =2,则PD=13.在Rt △PED 中,可得PE= 2+ 2=13.解:(1)过点D 1,E ,F 的截面如图所示.(2)证明:设MB 1=a ,NB 1=b ,PB 1=c ,则MN 2=a 2+b 2,NP 2=b 2+c 2,MP 2=c 2+a 2,所以在△MNP 中,cos M= 2+ 2- 22 · =2 22 · >0.同理可得cos N>0,cos P>0.故△MNP的三个内角均为锐角,即△MNP是锐角三角形.14.证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,易知C1D1∥CD,C1D1=CD.∵AB∥CD,∴AB∥C1D1,即D1Q∥AB.∵Q为C1D1的中点,∴D1Q=12C1D1=12CD=AB,∴四边形D1QBA为平行四边形,∴AD1∥BQ,又AD1⊂平面AD1C,BQ⊄平面AD1C,∴BQ∥平面AD1C.∵P,Q分别为CC1,C1D1的中点,∴PQ∥CD1,又PQ⊄平面AD1C,CD1⊂平面AD1C,∴PQ∥平面AD1C.∵BQ∩PQ=Q,∴平面AD1C∥平面BPQ.15.解:(1)证明:∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥HG,又HG⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,∴EF∥AB,又AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.(2)设EF=x(0<x<4),∵四边形EFGH为平行四边形,∴ = 4,则 6= = - =1- 4,∴FG=6-32x,∴四边形EFGH的周长l=2x+6-32x=12-x,又0<x<4,∴8<l<12,即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).。

高中数学人教A版必修第二册精英同步试题测试：8.1基本立体图形Word版含答案

高中数学必修第二册精英同步测试卷：8.1基本立体图形（含解析)1、有下面三组定义：①有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确定义的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32、下列命题中,正确的命题是( )A.存在两条异面直线同时平行于同一个平面B.若一个平面内两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行C.底面是矩形的四棱柱是长方体D.棱台的侧面都是等腰梯形3、由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（）A.正方体的体积取得最大B.正方体的体积取得最小C.正方体的各棱长之和取得最大D.正方体的各棱长之和取得最小4、以下命题中真命题的序号是( )①若棱柱被一平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱；②有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台；③用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；④有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．A. ③④B.①④C. ①②④D. ①5、如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )A.(1)是棱台B.(2)是圆台C.(3)是棱锥D.(4)不是棱柱6、某人用如图所示的纸片,沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①、②、③处应依次写上( )A.快、新、乐B.乐、新、快C.新、乐、快D.乐、快、新7、如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是( )A.①②B.①③C.①④D.①⑤8、如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面,那么截面图形为( )A.B.C.D.9、如图所示的几何体是台体的是( )A.B.C.D.10、给出下列命题:①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④11、给出下列说法:①圆柱的母线与它的轴可以不平行;②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线,都可以构成直角三角形;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是__________(填序号).12、以下命题:①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②没有公共点的直线是异面直线;③经过一条直线及这条直线外一点有且只有一个平面;④有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台;⑤空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补其中正确命题有__________.13、下列说法正确的是__________.①三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点;②四面体有四个面、六条棱和四个顶点;③用一个平面去截棱锥,底面与截面间的部分叫棱台;④棱柱的各条侧棱可以不相等.14、下图中的几何体叫做__________(填“棱柱”“棱锥”或“棱台”) PA 、PB 等是它的__________,PBC 、PCD 等是它的__________,ABCD 是它的__________.15、下图中的几何体叫做__________(填“棱柱”“棱锥”或“棱台”), 1AA 、1BB 等是它的__________,A 、B 、1C 等是它的__________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：由棱柱的定义可知只有①正确，②中截面必须平行于底面,③中其余各三角形应有一个公共顶点，所以②③都不正确.故选B.2答案及解析：答案：A解析：由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，A正确；由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以B不正确；底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以C不正确；正棱台的侧面都是等腰梯形，所以D不正确，故选A3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：D解析：解:①若棱柱被一平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱;正确,当平面与棱柱的所有平面不平行时,截出的两个几何体不是棱柱.②有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台;不正确,不满足棱台的定义.③用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台;不正确,当平面与底面平行时,底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台.④有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.不正确,不满足棱柱的定义.如下图:故选D.5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：D解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥,剩下的几何体被一个竖直的平面所截后,圆柱的轮廓是矩形除去一条边,圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.8答案及解析：答案：C解析：截面图形应为图C所示的圆环面.9答案及解析：答案：D解析：A、B、C都不是台体.因为A和C都不是由棱锥截得的,故A和C不是台体.B虽然是由棱锥截得的,但截面和底面不平行,故不是台体.D是一个台体,因为它是用平行于圆锥SO底面的平面截圆锥SO而得.10答案及解析：答案：D解析：①所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形,若不是矩形,则与圆柱母线的定义不符.③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义.②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质.故选D.11答案及解析：答案：②④解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误,②④正确.12答案及解析：答案：③⑤解析：13答案及解析：答案：②解析：三棱柱有六个顶点,所以①错;截面与底面不一定平行,所以③错;棱柱的各条侧棱长相等,所以④错;四面体即三棱锥,有四个面,六条棱和四个顶点,所以②对14答案及解析：答案：棱锥; 侧棱; 侧面; 底面解析：15答案及解析：答案：棱柱; 侧棱; 顶点解析：。

(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总

（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

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高中数学必修二全书综合练习题100题（选择题+解答题）一、单选题1．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（）A ．35B ．23C ．34D ．4152．如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 3．下列说法正确的是（）A ．若a b =r r ，则a b=± B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量4．已知2i z =+，则i1iz -=+（）A ．12i-B ．22i+C ．2iD ．2i-5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3a =，4b =，6A π=，则cos B =（）A ．23B ．3C ．D ．6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A ．22R πB ．294RπC ．283RπD ．2R π7．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立8．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．()23P A B +=D ．()56P A B +=9．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（）A ．频率为35B ．概率为35C ．频率为12D ．概率接近3510．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为（）AB ．3C ．πD 11．抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（）A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立12．电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（）.A ．100B ．160C ．200D ．24013．已知单位向量a ，b，则下列说法正确的是（）A ．a b =B ．0a b += C ．a b= D ．//a b14．如图1为某省2019年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解不正确的是（）A ．2019年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件B ．从1~4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长C ．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致D ．2019年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节后网购迎来喷涨有关15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF 则三棱锥A BEF -的体积为（）A ．112B ．14C ．212D ．不确定16．储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m 和3m ，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（）A ．6B ．9C ．10D ．1117．复数20492z i =-+的共轭复数z =（）A ．122i +B ．122i -C ．2i--D ．2i-+18．已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i-B ．42i-C ．62i +D ．42i+19．化简3(2)2()a b a b +-+的结果为（）A ．4r r a b+B ．a b+C ．2a b+ D ．a b- 20．下列条件中，能得出直线m 与平面α平行的是（）A ．直线m 与平面α内的所有直线平行B ．直线m 与平面α内的无数条直线平行C ．直线m 与平面α没有公共点D ．直线m 与平面α内的一条直线平行21．对任意量给非零向量a ，b，定义新运算：sin ,a a b a b b ⨯= ．已知非零向量m ，n满足3m n > ，且向量m ，n 的夹角ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()4m n ⨯ 和()4n m ⨯ 都是整数，则m n ⨯ 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．17422．如图，在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A．B．C ．D ．23．已知向量a ，b 满足||a =r ||2b = ，且()a a b ⊥- ，则a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°24．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π625．若复数z 满足(z -1)i =1+i 其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i26．设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i -27．若1()9P AB =，2(3P A =，1()3P B =，则事件A 与B 的关系是（）A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立28．已知复数z 满足2i 2i z =+，则z 的虚部为（）A ．2-B ．iC ．1D ．229．已知平面四边形ABCD 满足AB DC =，则四边形ABCD 是（）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形30．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（）A B C D 31．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（）A ．20B ．40C ．64D ．8032．如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形33．在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（）A ．1B 2C 5D ．334．在样本的频率分布直方图中，一共有4,)Z (n n n ≥∈个小矩形，第4个小矩形的面积等于其余（n 1-）个小矩形面积和的37，则第4个小矩形对应的频率为（）A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.735．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在棱AD 上，过点P 作该正方体的截面，当截面平行于平面11B D C 3AP 的长为（）A 2B ．1C 3D 3236．2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限37．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）．A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶38．已知向量()1,a m =- ，()1,2b m =+ ，且a b ⊥，则m =（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-39．某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（）A ．124B ．1124C ．23D ．3440．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于AB ．2C 1D －141．2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误．．的是（）A ．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B ．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半C ．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D ．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多42．已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--43．已知集合{}1,0,1,2M =--，从集合M 中有放回地任取两元素作为点P 的坐标，则点P 落在坐标轴上的概率为（）A ．516B ．716C ．38D ．5844．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（）A ．6B ．12C ．D ．45．已知平面向量a ，b ，c 满足：2= a ，3b = ，()a ab ⊥- 且20a bc -+=，则c 为（）A ．1B ．3C D ．946．下列说法中，正确的是（）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④47．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线1A D 与直线1B M 所成角大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°48．天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（）A ．0.40B ．0.30C ．0.25D ．0.2049．已知复数z 满足()()i 2i 62i z -+=-，则z =（）AB ．2CD 50．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．132B ．223C ．152D ．233二、解答题51．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2224a c b +-=，sin 4B =.(1)求△ABC 的面积；(2)若1sin sin 2A C =，求△ABC 的周长.52．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.53．在如图所示的半圆柱中，AB 为上底面直径，DC 为下底面直径，AD 为母线，点F 在 AB 上，点G 在 DC上且222AB AD BF DG ====，P 为DC 的中点.(1)求直线AG 与直线BF 所成角的余弦值；(2)求直线CA 与平面ADG 所成角的正切值；(3)求二面角A GC D --的正弦值.54．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足4sin 3cos a B b A =．(1)求cos A 的值；(2)若△ABC 的面积为222a c -，求bc 的值．55．如图所示，M 是菱形ABCD 所在平面外一点，MA MC =．求证：AC 垂直于平面BDM ．56．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图用户用水量扇形统计图（1）此次抽样调查的样本容量是________；（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．57．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．58．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；3=2ABC BC S →→⋅△；③sin sin 33B B π⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（1）求角B 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围.59．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.60．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．61．如图，四边形ABCD 中，已知2AD BC = .（1）用AB ，AD 表示DC ；（2）若2AE EB = ，34DP DE = ，用AB ，AD 表示AP .62．当实数m 分别为何值时，(1)复数()22256i z m m m m =+-+++是：实数？虚数？(2)复数()222log 33i log (3)z m m m =--+-纯虚数？63．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x-≥则不认为有显著提高）．64．中秋佳节来临之际，小李准备销售一种农特产，这段时间内，每售出1箱该特产获利50元，未售出的，每箱亏损30元.经调查，市场需求量的频率分布直方图如图所示.小李购进了160箱该特产，以x（单位：箱，100≤x≤200）表示市场需求量，y（单位：元）表示经销该特产的利润.(1)根据频率分布直方图估计市场需求量的众数和平均数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据频率分布直方图求利润不少于4800元的频率.65．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号为001，002，⋅⋅⋅，900．(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数．052693706022358515139203515977 595678068352910570740797108823 099842996461716299150651291693 580577095151268785855487664754 733208111244959263162956242948 269961655358377880704210506742 3217558574944467169414655268758759362241267863065513082701501529393943(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层，且样本中选择A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B 题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差．66．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]⋯（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.67．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.68．在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，△CDE 是等边三角形，棱//EF BC 且12EF BC =，证明：FO ∥平面CDE .69．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，a ＝3b ＝6，cos A ＝﹣13．（1）求c ；（2）求cos2B 的值．70．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，F 为1CC 的中点．(1)求证：1//BD 平面AEC ；(2)求证：平面//AEC 平面1BFD ．71．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．72．统计某校n 名学生期中考试化学成绩（单位：分），由统计结果得如下频数分布表和频率分布直方图：化学成绩组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数m 2638p 8(1)求出表中m ，p 的值；(2)估计该校学生化学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于70分的学生所占比例不低于该校全体学生的80%”的考核标准？73．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（1）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（3）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判定其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.74．从甲､乙､丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）进行追踪调查，结果如下：甲：5，5，6，6，8，8，8，10；乙：4，5，6，7，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.(1)三个厂家的广告中都称该产品的使用寿命是8年，请指出___________（从“甲､乙､丙”三厂家中选择一个）厂家在广告中依据了统计数据中的哪个特征数？(2)计算甲厂家抽取的8件产品的方差.75．已知向量(),1m a = ，(),2n b =- ．(1)若2a =，1b =，且()()m n m n λ-⊥+ ，求实数λ的值；(2)若25m n -= ，求m n ⋅ 的最小值．76．在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，其中边c 最长，并且22sin sin 1A B +=．(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)当1c =时，求ABC 面积的最大值．77．2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前10天剩菜剩饭的重量为：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2后10天剩菜剩饭的重量为：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．78．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.79．如图所示的几何体由三棱锥P ADQ -和正四棱锥P ABCD -拼接而成，PQ ⊥平面ADQ ，//AB PQ ，1PQ =，2AB =，5AQ =O 为四边形ABCD 对角线的交点．(1)求证：//OP 平面ADQ ；(2)求二面角O AP D --的正弦值．80．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 的中点．将ABD △沿BD 折起，使AB AC ⊥，连接AE 、AC 、DE ，得到三棱锥A BCD -．(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若1AD =，二面角B AD E --的大小为60°，求三棱锥A BCD -的体积．81．小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：利润占投入的百分比10%5%5%-频率50%40%10%利润占投入的百分比10%5%频率40%x y项目B 的表格中的两个数据丢失，现用x ，y 代替但调研时发现：投资A ，B 这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A ，B 两个项目的利润情况互不影响.（1）求x ，y 的值，并分别求投资A ，B 项目不亏损的概率；（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由.82．如图，在空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，2BC CD ==，32AC =，延长BC 到E ，使BC CE =，取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和它们所成的角．83．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）设小敏获胜为事件A ，试用样本点表示A .84．为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲､乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲､乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm ）记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(2)轮胎的宽度在[]194,196内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲､乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择.85．实数x 分别取什么值时，复数()()226215z x x x x i =+-+--对应的点Z 在：（1）第三象限；（2）直线30x y --=上.86．设向量()1,2a =- ，()1,1b =-r ，()4,5c =- .(1)求2a b + ；(2)若c a b λμ=+r r r ，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+uu u r r r ，2BC a b =- ，42CD a b =- ，求证：A ，C ，D 三点共线.87．在①55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题.维生素C 又叫L -抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.现从猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素C 的含量（单位：mg ）各10个数据如下，其中猕猴桃的一个数据x 被污损.猕猴桃：104，119，106，102，132，107，113，134，116，x ；柚子：121，113，109，122，114，116，132，121，131，117.已知x 等于柚子的10个数据中的___________.(1)求x 的值与猕猴桃的数据的中位数；(2)分别计算上述猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素C 含量的平均数.88．如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm ，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数）89．某学校兴趣小组进行了一项关于当年校服流行颜色的调查，调查者在该学校附近的公交站询问学生喜欢的校服颜色并进行统计，根据这次统计结果，选出的服装颜色的众数是蓝白搭配．而当年学校发布的调查结果是灰白搭配．(1)兴趣小组的调查结果是否代表该学校所有师生的看法？(2)你认为这两种调查的差异是由什么引起的？90．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a = ，CD b = ，当12AE AB = ，请用a ，b 来表示AB ，CE ；（2）当2AE EB = 时，试求AD CE ⋅ ．91．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH ∥平面BCD ；（2）BD ∥平面EFGH .92．已知z 为复数，2i z +为实数，且(12i)z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．(1)求z ；(2)若复数2i 3+i z m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面上对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．93．已知向量x y ､满足：1,2x y == ，且()()2215x y x y -⋅-= .(1)求向量x 与向量y 的夹角θ；(2)若()mx y y -⊥ ，求实数m 的值.94．某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的80%，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？95．某校有高一年级学生520人，高二年级学生500人，高三年级学生x 人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到不同年级学生的消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小．(1)应采用怎样的抽样方法？(2)按（1）中的抽样方法，在高一年级中抽取26人，则该校的高三年级的学生共有多少人？96．已知正三棱柱ABC ﹣A1B 1C 1的边长均为E ，F 分别是线段AC 1和BB 1的中点．（1）求证：EF //平面ABC ；（2）求三棱锥C ﹣ABE 的体积．97．在平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，（1）如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用,a b 分别表示,BF DE .（2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用,a b 表示AG .98．某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？99．复数()()222522i z m m m m =-++--，当m 取何实数时：(1)z 为实数；(2)z 为纯虚数；(3)z 对应的点在复平面上实轴的上半部分．100．2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；(3)若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？。

(完整版)高中数学必修二测试卷及答案,推荐文档

(D)2
10、在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，下列几种说法正确的是
A、 A1C1 AD
B、 D1C1 AB
C、 AC1与 DC 成 45 角 D、 A1C1与 B1C 成 60 角
11
、a，b，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若 a∥M，b∥M，则
a∥b；②若 b M，a∥b，则 a∥M；③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b；④若 a⊥M，b⊥M，则
.
2
16、平行四边形的一个顶点 A 在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为 1 和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：
①1； ②2； ③3；以上结论正确的为
④4；。（写出所有正确结论的编号）
三、解答题：本大题共 6 题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
a∥b.其中正确命题的个数有
A、0 个
B、1 个
C、2 个
D、3 个
12 、点 (1,1)在圆(x a)2 ( y a)2 4 的内部，则 a 的取值范围是（）
(A) 1 a 1
(B) 0 a 1
(C) a 1或 a 1 (D) a 1
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 把正确答案填在题中横线上.
20、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为 S上 22 4 圆台的上底面面积为 S下 5225 所以圆台的底面面积为 S S上 S下 29 又圆台的侧面积S侧 (25)l 7 l 于是7 l25 29 即l 为所求. 7
6
1分 3分 5分 6分 8分
9分 10 分

高中数学必修2同步测试卷全套直接打印

高中数学必修2同步测试卷全套直接打印第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1．在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行2．将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）3．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（）A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、4、6 D．5、6、44．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B l＝1，AB＝2，B l C l＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A l B l＝1，AB＝2，B1C l＝1.5，BC＝3，A l C l＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA ＝C1A15．有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）6．下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形7．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）12二、填空题8如图，长方体ABCD —A 1B l C l D 1中，AD ＝3，AA l ＝4，AB ＝5，则从A 点沿表面到C l 的最短距离为______．9在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，如图，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．10高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是______．11图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：3①点H 与点C 重合；②点D 与点M 与点R 重合；③点B 与点Q 重合；④点A 与点S 重合．其中正确命题的序号是_ ___．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题12请给以下各图分类．13画一个三棱锥和一个四棱台．14多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体? 15合下图，说说它们分别是怎样的多面体?16察以下几何体的变化，通过比较，说出他们的特征．17一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm ，求圆锥的母线长____．1.3 柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（） A ．10cm B ．52cmC ．512+πcm D ．4252+πcm44．中心角为43π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（）A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶8 5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （aC ．3（b 2－a 2）D ．23（b 2－a 2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（） A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶5 C ．1∶2∶4 D ．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（） A ．3∶5 B ．9∶25C ．5∶41D ．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（）A ．91B ．94C ．41D ．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（）A ．40B ．)31(20+C ．)31(30+D ．303 二、填空题11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______． 12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______． 13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3 cm ，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm 2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．1.3 柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（） A ．2倍 B ．4倍 C ．2倍 D ．22倍52．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是（）A 、28cmB ．32 cmC ．36 cmD ．40 cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为（）A ．32321aB ．3233aC ．337a D ．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（）A ．1B ．3C ．2D ．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm 2，则此球的体积为（）A ．334cm πB ．386cm πC ．361cm π D ．366cm π6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为323a ，那么侧棱与底面所成的角为（） A ．6π B ．4π C ．3πD ．125π7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（）A 、S Q 31B ．)(2122Q S Q -C 、)(2122Q S S -D 、)(6122Q S Q -8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（） A ．1∶7 B ．2∶7 C ．7∶19 D ．3∶16 9．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S 1、S 2、S 3，下面关系中成立的是（） A ．S 3＞S 2＞S 1 B ．S 1＞S 3＞S 2 C ．S 1＞S 2＞S 3 D ．S 2＞S l ＞S 310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（）A ．1∶5B ．1∶23C ．1∶11D ．1∶47 二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a 的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm 和10cm 的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，求h ．618．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C l D l 的棱长为a ，E 为棱AD 的中点，求点A 1到平面BED 1的距离．1.4 球的体积和表面积一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（） A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ，8倍2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（）A ．π42cB ．π42cC ．π2c D ．2πc 23．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（）A ．916πB ．38πC ．4πD ．964π4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（） A ．4倍 B ．8倍 C ．16倍 D ．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（） A 、1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（）A ．4πB ．4πC ．π32 D ．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（）A 、35cmB ．310cmC ．340cmD ．65cm8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（）A 、916π B ．38π C ．4π D ．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π 10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（）A ．S 球＞S 正方体 B ．S 球＝S 正方体 C ．S 球＜S 正方体 D ．大小关系不确定二、填空题11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3．12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为7_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm ，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm ，“大球”的外径为40 mm ，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．第一章空间几何体单元测试1一、选择题1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C D2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A. 1:2:3B. 1:3:5C. 1:2:4D. 1:3:93．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（） A.23 B. 76 C. 45D. 564．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积8分别为1V 和2V ，则12:V V =（）A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:15．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:96．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A. 224cm π，212cm πB. 215cm π，212cm π C. 224cm π，236cm π D. 以上都不正确二、填空题1. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是_______。

人教版高中数学必修第二册6.4.1-6.4.2 同步精练(含解析)

人教版高中数学必修第二册6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例同步精练【考点梳理】考点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点二向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.技巧：(1)用向量法求长度的策略①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.【题型归纳】题型一：用向量证明线段垂直问题1．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）在△ABC中，若||||+=-，则△ABCAB AC AB AC的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形2．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且2AB AB CB =⋅，则ABC 为（）A ．等腰非直角三角形B ．直角非等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形题型二：用向量解决夹角问题3．（2021·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）在OAB 中，2OA OB ==，23AB =，动点P 位于直线OA 上，当PA PB →→⋅取得最小值时，PBA ∠的正弦值为（）A ．377B ．277C ．2114D ．2134．（2019·四川·绵阳中学高一阶段练习）直角三角形OAB 中，2AOB π∠=，3OA =，2OB =，M 为OB 的中点，2AN ON =-，且P 为AM 与BN 的交点，则cos MPN ∠=（）A ．13B ．13-C ．22-D ．22题型三：用向量解决线段的长度问题5．（2021·江西·九江一中高一期中）在ABC 中，2AB AC ==，点M 满足20BM CM +=，若23BC AM ⋅=，则BC的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．36．（2021·重庆南开中学高一期中）如图所示在四边形ABCD 中，ABD △是边长为4的等边三角形，213AC =，(2)CA tCB t CD =+-，(1)t >，则OD =（）A ．52B ．22C ．3D ．13题型四：向量与几何最值问题7．（2021·江西·九江一中高一期中）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，=23AD ，3CAB π∠=，点F 是线段AB 上的一点，M 为直线BC 上的动点，若2BC CE =，AF AB λ=，且=17AE DF －，则MF DM 的最大值为（）A ．14B ．6316－C ．1－D ．2316－8．（2021·河北邢台·高一阶段练习）在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB =，2AD =，若点P 为边BC 上的动点，则AP PD ⋅的最大值为（）A ．12B ．12-C ．54-D ．2-题型五：向量在物理中的应用9．（2021·山东潍坊·高一期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G ，两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）A ．12G F F =+B ．当π2θ=时，122F G =C ．当θ角越大时，用力越省D ．当1F G =时，π3θ=10．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A 地出发，向河对岸航行．已知船的速度1v 的大小为18km/h v =，水流速度2v 的大小为22km/h v =，船的速度与水流速度的合速度为v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）A ．船头方向与水流方向垂直B ．121cos ,4v v <>=-C ．217km/hv =D ．该船到达对岸所需时间为3分钟题型六：平面向量应用的综合问题11．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方形ABCD 中,E ,F 分别是CD ,AD 的中点,BE ,CF 交于点P .求证：（1）BE ⊥CF ;（2）AP =AB .12．（2021·江苏·高一课时练习）如图，在ABC ∆中，36,4,cos 4AB AC BAC ==∠=，5AD DB =，点M 在CD 的延长线上，点P 是边BC 上的一点，且存在非零实数λ，使()AB AC MP MA ABACλ=++.（Ⅰ）求AB 与BC 的数量积；（Ⅱ）求AP 与CD 的数量积.13．（2018·全国·高一单元测试）如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=23 BM.(1)求证:M是CD的中点;(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求AH·HB的最小值.【双基达标】一、单选题14．（2021·全国·高一课前预习）在ABC中，0AB CB⋅<，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定15．（2021·全国·高一课时练习）物体受到一个水平向右的力1F及与它成60°角的另一个力2F的作用.已知1F的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则2F的大小为（）A．3N B．3N C．2N D．1N 216．（2021·全国·高一课时练习）平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+，n AB BC =-，若,m n 的长度恰好相等，则有（）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ．ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ．ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ．ABC 必为等腰直角三角形17．（2021·吉林·延边二中高一期中）在Rt ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 外一点，点P 满足1()2OP OA AB AC =++，则||AP 等于（）A ．2B ．1C ．12D ．418．（2021·江西·九江一中高一阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN →→⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．（2021·全国·高一课时练习）用力F 推动一物体水平运动m s ，设F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为（）A ．||F s⋅B ．cos F θC ．sin F s θ⋅⋅D ．||cos F s θ⋅20．（2021·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）扇形OAB 的半径为1，圆心角为23π，P 是AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（）A ．2-B ．0C ．12-D ．1221．（2021·湖南省邵东市第三中学高一期中）在ABC 中，0AB AC ⋅<，则ABC 一定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形22．（2021·全国·高一期中）已知矩形ABCD 的一边AB 的长为4，点M ，N 分别在边BC ，DC 上，当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()0AM AN BD +⋅=.若AM AN xAB y AD +=+，x +y ＝3，则线段MN 的最短长度为（）A ．3B ．2C ．23D ．22【高分突破】一：单选题23．（2021·福建·福州三中高一期中）已知O 是ABC 所在平面内的一点，若|2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 一定为（）A ．以BC 为底边的等腰三角形B ．AB 为底边的等腰三角形C ．以BC 为斜边的直角三角形D ．以AB 为斜边的直角三角形24．（2021·全国·高一课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500N ，则该学生的体重（单位：kg ）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g =102m/s ，3≈1.732）A ．81B ．87C ．89D ．9125．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知点N O P 、、满足0NA NB NC ++=，OA OB OC ==，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r，则点N O P 、、依次是ABC 的（）A ．重心､外心､垂心B ．重心､外心､内心C ．外心､重心､垂心D ．外心､重心､内心26．（2021·江苏通州·高一期中）如图所示，在ABC 中，O 为BC 中点，过O 点的直线分别交,AB AC 于不同的两点,E F ，设AB AE λ=，AC AF μ=，则λμ+的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．不确定27．（2021·山西太原·高一期中）已知||2||23,3a b a b ==⋅=-，若||1c a b --=，则||c 的取值范围是（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．[31,31]-+D ．[231,231]-+28．（2021·山西运城·高一期末）已知向量a ，b ，c 满足4a =，22b =，a 与b 的夹角为4π，()()0c a c b -⋅-=，则c r 的最大值为（）A ．22B ．102+C ．10D ．102-29．（2021·全国·高一课前预习）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A 处出发到河对岸．已知船在静水中的速度1v 的大小为110m /s v =，水流速度2v 的大小为22m /s v =．设船行驶方向与水流方向的夹角为θ，若船的航程最短，则（）A ．3πθ=B ．2πθ=C ．223ππθ<<D ．23034ππ<<30．（2021·河南驻马店·高一期末（文））在菱形ABCD 中，2AB AB AD =⋅=，AM MD =，2DN DA DB =+，P 是菱形ABCD 内部及边界上一点，则PM PN ⋅的最大值是（）A ．134B ．132C ．13D ．23431．（2021·江苏泰州·高一期末）已知ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1.设点O 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d .若1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-，则222123d d d ++=（）A ．34B ．1C ．32D ．3二、多选题32．（2021·山东邹城·高一期中）已知ABC 外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，OA AB =，则有（）A ．OC OA OB =-B ．OA AB OA AC⋅=⋅C ．点O 是ABC 的垂心D ．CA 在CB 方向上的投影向量的长度为333．（2021·重庆·西南大学附中高一阶段练习）已知a 、b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()0a c b c -⋅-=，则下列结论中正确的有（）A ．1a b +=B ．1a b -=r rC ．3c <D ．a b +与c 的夹角是钝角34．（2021·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有28AP AB λ-≥，则下列一定正确的是（）A ．4PA ≥B ．10PA PB +≥C ．9PA PB ⋅-≥D ．90APB ∠≥︒35．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为AB ，AC 上的动点，设AE AB λ=，AF AC μ=，其中,(0,1)λμ∈，则下列说法正确的是（）A ．若BE AF =，则1λμ+=B ．若λμ=，则EF 与BC 不共线C ．若1λμ+=，记三角形AEF 的面积为S ，则S 的最大值为12D ．若221λμ+=，且M ，N 分别是EF ，BC 边的中点，则||MN 的最小值为21-36．（2021·广东广州·高一期末）ABC 中，2A π=，2AB AC ==，则下列结论中正确的是（）A ．若G 为ABC 的重心，则2233AG AB AC =+B ．若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值4C ．若M 、N 为BC 边上的两个动点，且2MN =则AM AN ⋅的最小值为32D ．已知Q 是ABC 内部（含边界）一点，若1=AQ ，且AQ AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是1三、填空题37．（2021·全国·高一课时练习）已知向量a ，b ，c 满足0a b ⋅=，1c =，13a c b c -=-=，则a b -r r的最大值是______________.38．（2021·全国·高一课时练习）已知O 为ABC 的外心，且12OA OB OC =+，则cos ∠=BOC ________.39．（2021·全国·高一课时练习）如图，墙上三角架的一端C 处悬挂一个重为10N 的物体，则边BC 上点B 处的受力情况是___________.40．（2021·全国·高一课时练习）已知()15,4f =，()21,2f =作用于同一质点，使其由原点移动到点()6,4A ，则合力fr 对质点所做的功为___________.41．（2021·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设O 为ABC 内一点，且满足关系式2332OA OB OC AB BC CA →→→→→→++=++，则::BOCAOBCOASSS=__．四、解答题42．（2021·全国·高一课时练习）如图，重为4N 的匀质球，半径为6cm R =，放在墙与均匀的木板AB 之间，A 端固定在墙上，B 端用水平绳索BC 拉住，板长10cm l =，木板AB 与墙夹角为α，如果不计木板重，当α为60时，求绳的拉力大小.43．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，求证：DE ⊥AF .44．（2021·全国·高一课时练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度1km d =．一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度1v 的大小为110km/h v =，水流的速度2v 的大小为24km/h v =．设1v 和2v 的夹角为()0180θθ︒<<︒，北岸的点A '在A 的正北方向．（1）当120θ=°时，试判断游船航行到达北岸的位置是在A '的左侧还是右侧，并说明理由．（2）当cos θ多大时，游船能到达A '处？需要航行多长时间？（不必近似计算）（3）当120θ=°时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？45．（2021·广东·仲元中学高一期末）如图所示，AD 是ABC 的一条中线，点O 满足2AO OD =，过点O 的直线分别与射线AB ，射线AC 交于M ，N 两点.（1）求证：1133AO AB AC =+；（2）设AM mAB =，AN nAC =，0m >，0n >，求11m n +的值；（3）如果ABC 是边长为()0a a >的等边三角形，求22OM ON +的取值范围.【答案详解】1．B【分析】由已知平方可得0AB AC ⋅=，得出AB AC ⊥可判断.【详解】||||AB AC AB AC +=-，22||||AB AC AB AC +=∴-，则222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0AB AC ∴⋅=，AB AC ∴⊥，则△ABC 为直角三角形.故选：B.2．C【分析】由2AB AB CB =⋅推出0AB AC ⋅=，由0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭推出||||AB AC =，则可得答案.【详解】由2AB AB CB =⋅，得()0AB AB CB ⋅-=，得()0AB AB BC ⋅+=，得0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，因为0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，所以()0||||AB AC AC AB AB AC ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，所以22||||0||||||||AB AC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅⋅-+-=，所以||||0AB AC -+=，即||||AB AC =，所以ABC 为等腰直角三角形.故选：C3．C【分析】建立平面直角坐标系，写出坐标表示PA PB →→⋅，利用二次函数求出最小值时P 的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：则(3,0),(3,0),(0,1)A B O -,设(,)P x y ，因为动点P 位于直线OA 上，直线OA 的方程为：313y x =+，所以22(3,)(3,)3PA PB x y x y x y→→⋅=---⋅--=-+222234234393(1)2()333344x x x x x =-++=+-=+-，当34x =-时，PA PB →→⋅取得最小值94-，此时33(,)44P -，533(,),(23,0)44BP BA →→=-=-，所以155572cos 148427234BP BAPBA BP BA →→→→⋅∠====⋅⨯，又因为(0,)PBA π∠∈，所以21sin 14PBA ∠=，故选：C.4．C【解析】【分析】设OA a =，OB b =且AM 与BN 的夹角为θ，由此可表示出OM 和ON ；结合已知可求出AM 和BN ，由此可求出AM BN ⋅，接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.【详解】设OA a =，OB b =，则0,|3,||2a b a b ⋅===，12OM b =，13ON a =，设AM 与BN 的夹角为θ，∵12AM OM OA b a =-=-，13BN ON OB a b =-=-，∴221111()()=52332AM BN b a a b a b ⋅=-⋅-=---，∴|10AM =，5BN =，∴522510cos θ-==-⋅，.∵0[]θπ∈，，∴34πθ=.∵MPN ∠即为向量AM 与BN 的夹角，∴34MPN π∠=，故2c s 2o MPN =-∠.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算，掌握向量数量积的运算公式是关键，属于常考题.5．C【分析】取BC 中点O ，由已知可确定2BM MC =，利用向量的运算和长度关系将BC AM ⋅转化为216BC ，由此构造方程求得2BC =.【详解】取BC 中点O ，连接AO ，20BM CM +=，即2BM MC =，∴M 为BC 边上靠近C 的三等分点，()BC AM BC AO OM BC AO BC OM ⋅=⋅+=⋅+⋅，AB AC =，AO BC ∴⊥，0BC AO ∴⋅=，又16OM BC =，21263BC AM BC OM BC ∴⋅=⋅==，2BC ∴=.故选：C .6．C【分析】根据(2)CA tCB t CD =+-可得CO OA =，再利用余弦定理可求OD 的长度.【详解】取AC 的中点为M ，因为(2)CA tCB t CD =+-，故2CA CD tDB -=即22CM CD tDB -=，故2DM tDB =，所以,,D M B 三点共线，故M 与O 重合，所以13AO =，故21316+24cos 3OD OD π=-⨯⨯，解得1OD =或3OD =，因为1t >且2DO tDB =，故OD OB >，故3OD =，故选：C.7．D【分析】如图建立直角坐标系，设(,)E m n ，则由已知条件可求出点E 的坐标，再由AF AB λ=，求出λ的值，则可得点F 的坐标，BM xBC =，则可表示(24,2323)DM x x =-+-，(23,23)MF x x =--，从而可得2162612MF DM x x ⋅=-+-，进而利用二次函数的性质可求得答案【详解】如图，以A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，因为直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，=23AD ，3CAB π∠=，所以2DC =，则(0,0)A ，(0,23)D ，(,0)F λ，(4,0)B ，(2,23)C ，所以(4,23)BD =-，(2,23)BC =-，设(,)E m n ，则(2,23)CE m n =--，因为2BC CE =，所以(2,23)2(2,23)m n -=--，解得1,33m n ==，所以(1,33)E ，则(1,33)AE =，(,23)DF λ=-，因为=17AE DF －，所以1817λ-=-，得1λ=，则(1,0)F ，设BM xBC =，则(24,2323)DM BM BD xBC BD x x =-=-=-+-，(23,23)MF BF BM BF xBC x x =-=-=--，所以2(24)(23)(2323)(23)162612MF DM x x x x x x ⋅=-+-+--=-+-，当1316x =时，MF DM 取得最大值2316－，故选：D8．C【分析】作图，以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系；由题意可得点A 、D 的坐标，设()0,P t (5303t ≤≤)，利用向量数量积的坐标表示得出232AP PD t t ⋅=-+-，结合二次函数的性质求出最大值即可.【详解】如图，以B 为原点，BA ，BC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系．作DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，在ADE ∆中，因为2AD =，所以1AE =，3DE =．在CDF ∆中，因为2OF BE ==，C 60∠=︒，所以233CF =，533BC =，则()1,0A ，()2,3D ．设()0,P t ，5303t ≤≤，则()1,AP t =-，()2,3PD t =-，所以232AP PD t t ⋅=-+-，当32t =时，AP PD ⋅取得最大值，且max 5()4AP PD ⋅=-.故选：C9．B【分析】根据题意可得12G F F =+，则221122cos G F F θ=+⋅，再根据各个选项分析即可得出答案.【详解】解：根据题意可得：12G F F =+，则222221212121211222cos G F F F F F F F F F F θ=+=+=++⋅=+⋅，当0θ=时，1122G F F F ==+，故A 错误；当π2θ=时，221122cos 2G F F F θ=+⋅=，及122F G =，故B 正确；221122cos G F F θ=+⋅，因为cos y θ=在()0,π上递减，又因行李包所受的重力为G 不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C 错误；当1F G =时，即2211122cos G F F F θ=+⋅=，解得1cos 2θ=-，又因()0,θπ∈，所以2π3θ=，故D 错误.故选：B.10．B【分析】分析可知12v v v =+，当船的航程最短时，2v v ⊥，利用平面向量数量积可判断ABC 选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D 选项的正误.【详解】由题意可知，12v v v =+，当船的航程最短时，2v v ⊥，而船头的方向与1v 同向，由()221221220v v v v v v v v ⋅=+⋅=⋅+=，可得21224v v v ⋅=-=-，1212121cos ,4v v v v v v ⋅<>==-⋅，A 选项错误，B 选项正确；()()22212121122242464215km /h v v v v v v v v v =+=+=+⋅+=-⨯+=，C 选项错误；该船到达对岸所需时间为0.4415605215⨯=（分钟），D 选项错误.故选：B.11．（1）见试题解析；（2）见试题解析【分析】(1)如图建立平面直角坐标系xOy ,其中A 为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出BE 和CF 的坐标，再计算得BE·CF =0即证BE ⊥CF.(2)设P(x,y),再根据已知求出P 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求22268AP 55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4=2AB ，即证明AP=AB.【详解】如图建立平面直角坐标系xOy ,其中A 为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE OE OB =-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),CF OF OC =-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),∵BE·CF =(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴BE CF ⊥,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则FP =(x,y-1),CF =(-2,-1).∵FP CF ,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由BP BE ,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=65,∴y=85,即P 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴22268AP 55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4=2AB ,∴|AP |=|AB |,即AP =AB.【点睛】（1）本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则121212120,||0a b x x y y a b x y x y ⊥⇒+=⇒-=.12．(Ⅰ)-18；(Ⅱ)635-.【详解】试题分析：(Ⅰ)在ABC ∆中由余弦定理得4BC =，从而得到三角形为等腰三角形，可得3cos 4B =，由数量积的定义可得18AB BC ⋅=-．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点P 在BAC ∠的角平分线上，故可得4263CP AC PB AB ===，所以25CP CB =，因为5AD DB =，所以得到16AD AB =．设设,AB a AC b ==，则得到2355AP a b =+，16CD CA AD b a =+=-+，根据数量积的定义及运算率可得所求．试题解析：（Ⅰ）在ABC ∆中36,4,cos 4AB AC BAC ==∠=，由余弦定理得222364264164BC =+-⨯⨯⨯=，所以4BC =，所以ABC ∆是等腰三角形，且AC BC =，所以132cos 4AB B BC ==,所以36418.4AB BC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由AB AC MP MA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭,得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，所以点P 在BAC ∠的角平分线上，又因为点P 是边BC 上的一点，所以由角平分线性质定理得4263CP AC PB AB ===，所以25CP CB =.因为5AD DB =，所以16AD AB =.设,AB a AC b ==，则6,4a b ==，364184a b ⋅=⨯⨯=．由25CP CB =，得()25AP b a b -=-，所以2355AP a b =+，又16CD CA AD b a =+=-+，所以22231133||55615105AP CD a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13363361816.151055=⨯-⨯-⨯=-点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：（1）在ABC 中，若||||||OA OB OC ==或222OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心；（2）在ABC 中，若0GA GB GC ++=，则点G 是ABC 的重心；（3）在ABC 中，若1(),[0,)2OP OA AB BC λλ-=+∈+∞，则直线AP 一定过ABC 的重心；（4）在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的垂心；（5）在ABC 中，若()(0)AB AC OP OA ABACλλ=++>，则直线AP 通过ABC 的内心.13．（1）见解析；（2）0【分析】(1)设CM =m CD,CN =n CA ,再根据向量的线性运算化简2BN BM 3==22BC mCD 33+,再求出BN BC CN =+=(1-n)BC +n CD ,解方程组211-,,3212.,33n m n m n ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩得所以CM =m 1CD CD 2=,即M是CD 的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得AH·HB ==-221|BH|-22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,再利用二次函数求出函数的最小值.【详解】(1)设CM =m CD,CN =n CA ,由题意知22BN BM (BC CM 33==+)=2(BC 3+m CD )=22BC mCD 33+,又BN BC CN BC =+=+n CA BC =+n(CB CD +)=(1-n)BC +n CD ,∴211-,,3212.,33n m n m n ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得∴CM =m 1CD CD 2=,即M 是CD 的中点.(2)∵AB=2,BC=1,M 是CD 的中点,∴MB=2,∠ABM=45°,∴AH·HB =(AB BH +)·HB =-(AB BH +)·BH =-AB·BH -|BH |2=-|AB ||BH |cos(180°-∠ABH)-|BH |2=|AB ||BH |cos 45°-|BH |2=2|BH |-|BH |2=-221|BH|-22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,又0<|BH |≤2,∴当|BH |=2,即H 与M 重合时,AH·HB 取得最小值,且最小值为0.【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量12,e e ，则平面的任意一个向量a 总可以表示成12a e ue λ=+，其中12,e e 是基底.14．B 【分析】由||||cos 0AB CB AB CB B ⋅=⋅<，可得cos 0B <，分析即得解【详解】由题意，||||cos ,||||cos 0AB CB AB CB AB CB AB CB B ⋅=⋅<>=⋅<cos 0B ∴<，又(0,)B π∈B ∴为钝角则ABC 的形状是钝角三角形故选：B 15．C 【分析】如图所示，||||OB BC →→=，即得解.【详解】由题得60,30AOB AOC ∠=∠=,所以30BOC BCO ∠=∠=,所以OB BC =,所以||||OB BC →→=,所以2F 和1F 大小相等，都为2N .故选：C 16．C 【分析】根据,m n 的长度相等，由|AC |=|BD |得到ABCD 是矩形判断.【详解】如图：因为,m n 的长度相等，所以|AB BC +|=|AB BC -|，即|AC |=|BD |，所以ABCD 是矩形，故ABC 是直角三角形，且∠B=90°.故选：C 17．B 【分析】利用向量的减法可得1()2AP AB AC =+，从而可得AP 为Rt ABC 斜边BC 的中线，即可求解．【详解】解：1()2OP OA AB AC =++，∴1()2OP OA AB AC -=+，1()2AP AB AC =+，AP ∴为Rt ABC 斜边BC 的中线，∴||1AP =．故选：B ．18．B 【分析】先利用平面向量的线性运算法则，将,PM PN →→用,PO OM →→来表示，然后将所求式子表达成PO →来表示，进而求出范围.【详解】如图，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得||3OQ =，又2||PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON→→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22||1||1PO PO ON OM PO →→→→→⎛⎫=+⋅+-=- ⎪⎝⎭.根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时||PO 有最小值为3，此时2||12PO →-=，当点P 位于正六边形的顶点时||PO 有最大值为2，此时2||13PO →-=，所以，23PM PN →→≤⋅≤.故选：B.19．D 【分析】直接用向量的数量积即可求得.【详解】力F 对物体所做的功为W cos F s F s θ=⋅=⋅⋅.故选：D .20．C 【分析】由题设有AP OP OA =-，BP OP OB =-，12OA OB ⋅=-，21OP =，即可得1()2OP OA O A B B P P ⋅=-⋅+，分析使AP BP ⋅的最小时,OP OA OB +的位置关系，进而求AP BP ⋅的最小值.【详解】由题设，AP OP OA =-，BP OP OB =-，∴2()()()OP OA OP OB OP OP O AP B B P A O OA OB ⋅=⋅=---⋅++⋅，∴12OA OB ⋅=-，21OP =，∴1()2OP OA O A B B P P ⋅=-⋅+，要使AP BP ⋅的最小，即,OP OA OB +同向共线.又||||1OA OB OP +==，∴min 11()122AP BP -⋅=-=.故选：C 21．C 【分析】由向量数量积的定义式可得cos 0A <，即可判断.【详解】∵cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<，∴cos 0A <，又∵A 为三角形内角，∴A 是钝角，即ABC 是钝角三角形.故选：C.22．D 【分析】先根据M ，N 满足的条件，将()0AM AN BD +⋅=化成,AD AB 的表达式，从而判断出矩形ABCD 为正方形；再将AM AN xAB y AD +=+，左边用,AD AB 表示出来，结合x +y ＝3，即可得NC +MC ＝4，最后借助于基本不等式求出MN 的最小值.【详解】当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()1122AM AN BD AD AB BDAB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()2233022AD AB AB AD AD AB =+⋅-=-=所以AD ＝AB ，则矩形ABCD 为正方形，设,NC AB MC AD λμ==，则()()11AM AN AB AD AB AD xAB y ADμλ+=+-+-+=+则2,2x y λμ=-=-，又x +y ＝3，所以λ+μ＝1.故NC +MC ＝4，则()222162222MC NC MN MC NC +=+≥==（当且仅当MC ＝NC ＝2时取等号）.故线段MN 的最短长度为22故选：D.23．C 【分析】根据向量的线性运算，先得到AB AC AB AC -=+，再由向量数量积的运算，化简整理，即可得出结果.【详解】由2OB OC OB OC OA -=+-得CB AB AC =+uu r uu u r uuu r，则AB AC AB AC -=+，所以22AB AC AB AC -=+，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC +-⋅=++⋅，所以0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，所以ABC 是以BC 为斜边的直角三角形.故选：C .24．B可设两只胳膊的拉力分别为1F ，2F ，根据21212||()F F F F +=+，进行数量积的运算即可求出重力mg 的值，进而可得出学生的体重m 的值．【详解】解：设两只胳膊的拉力分别为1F ，2F ，12500F F ==，12,60F F <>=︒，∴222121212121||()2250000250000250050050038662F F F F F F F F +=+=++⋅=++⨯⨯⨯=≈，10866m ∴=，解得86.687()m kg =≈．∴学生的体重约为87kg ．故选：B ．25．A 【分析】将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．【详解】解：若0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +==，所以2||||NE CN =，所以点N 是AB 中线上的点，同理可得N 也是AC 、BC 中线上的点，所以N 是ABC 的重心．因为且||||||OA OB OC ==，所以O 到顶点A ，B ，C 的距离相等，所以O 为ABC 的外心．由PA PB PB PC PA PC ==得()0PA PC PB -=，即AC PB ，所以AC PB ⊥．同理可证AB PC ⊥，所以P 为ABC 的垂心．故选：A ．26．C 【分析】根据题意，利用,AE AF →→作为基底表示向量AO→，进而根据向量相等求解即可.【详解】解：因为在ABC 中，O 为BC 中点，AB AE λ=，AC AF μ=，所以1111122222AO AB AC AB AC AE AF λμ→→→→→→→⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，设()1AO AE EO AE x EF AE x AF AE x AE x AF →→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以111,22x x λμ-==，即11122λμ+=所以2λμ+=.故选：C【分析】利用向量不等式式||||||||||||a b a b a b -±+ ，即可得到答案；【详解】||||||||||||a b a b a b -±+ ，||2||23a b ==，∴||23,||3a b ==，∴||1|()|||||c a b c a b c a b --==-+-+ ，∴||1||c a b ≤++，3,||23,||3a b a b ⋅=-==，222||||2||122339a b a a b b ∴+=+⋅+=-⨯+=，||3a b ∴+=，||134c ∴+= ，|||()|||||c a b c a b a b c --=-++- ，||||1312c a b ∴+-=-= ，2||4c ∴ ，故选：B.28．B 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标表示整理出x ，y 的关系，结合圆的性质及几何意义可求解【详解】设OA a =，OB b =，OC c =，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，因为4a =，22b =，a 与b 的夹角为4π，所以()4,0A ，()2,2B ，设(),C x y ，因为()()0c a c b -⋅-=，所以226820x x y y -++-=，即()()22312x y -+-=，圆心坐标为()3,1，半径2r =，c r表示点C 到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，因为圆心()3,1到原点的距离为10d =，所以102max c d r =+=+.故选：B .29．C 【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，如图，在ABC 中，10,2AB BC ==，所以11sin 0,52BAC ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以0,6BAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2,223BAC πππθ⎛⎫=+∠∈ ⎪⎝⎭，故选：C30．B 【分析】根据已知条件得出60A =，M 、N 分别为AD 、AB 的中点，建立平面直角坐标系将PM PN ⋅转化为坐标运算，利用几何意义即可求解.【详解】因为四边形ABCD 为菱形，所以2AD AB ==，由cos 2AB AD AB AD A ⋅=⨯⨯=，所以1cos 2A =，因为0180A <<，所以60A =，因为AM MD =，所以M 为AD 的中点，因为2DN DA DB =+，所以N 为AB 的中点，如图以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则13,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0N ，()3,3C ，(),P x y ，则13,22PM x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,PN x y =--，所以()()22133********x x y y x y x PM y PN ⎛⎫⎛⎫--+-⋅-=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝=⎭⋅⎭22331444x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示点P 到定点33,44E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭距离的平方减去14，由图知当点P 与点()3,3C 重合时距离的平方减去14最大，即PM PN ⋅最大，所以PM PN ⋅最大为2233113334442⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B 31．B 【分析】根据题意：||1OA →=，则有2OA OB OB OC OC OA OA →→→→→→→⋅+⋅+⋅=-，进而移项进行两两组合，20OA OB OA OB OC OC OA →→→→→→→⋅++⋅+⋅=，进一步可以化简为：0OA OC OA OB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.【详解】∵ABC 外接圆半径为1，∴||1OA →=，∴22||OA OB OB OC OC OA OA OA →→→→→→→→⋅+⋅+⋅=-=-，∴200OA OB OA OB OC OC OA OA OA OB OC OA OB →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅++⋅+⋅=⇒⋅++⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴0OA OC OA OB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设边BC ，CA ，AB 的中点分别为M ,N ,P ，∴2200ON OP ON OP →→→→⋅=⇒⋅=,同理：0,0ON OM OM OP →→→→⋅=⋅=，如图1：若点O 不与M ,N ,P 任何一点重合，则ON OP →→⊥，,ON OM OM OP →→→→⊥⊥同时成立，显然不合题意；如图2：不妨设点O 与点M 重合，由ON OP →→⊥，根据中位线定理有由AB ⊥AC ，则2BC =，∴()2222222212311144d d d OP ON AC AB BC ++=+=+==.故选：B.【点睛】类似1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.32．ABD 【分析】由条件可得OC OA OB =-，判断A ，进而可得四边形OBAC 是边长为2的菱形，可判断BC ，然后利用向量的几何意义可判断D.【详解】因为0OA AB AC ++=，所以0OA OB OA OC OA +-+-=，所以OC OA OB =-，故A 正确；由0OA AB AC ++=，可得OB AC CA =-=，所以四边形OBAC 为平行四边形，又O 为ABC 外接圆的圆心，所以OB OA =，又OA AB =，所以OAB 为正三角形，因为ABC 外接圆的半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以OA BC ⊥，所以0OA BC ⋅=，即()0OA AC AB ⋅-=，所以OA AB OA AC ⋅=⋅，故B 正确；由以上分析可得23BAC π∠=，ABC 为钝角三角形，故ABC 的外心O 不是垂心，故C 错误；由四边形OBAC 是边长为2的菱形，可得6ACB π∠=，所以CA 在CB 方向上的投影向量的长度为3cos 2362CA π=⨯=，故D 正确．故选：ABD ．33．BC 【分析】利用平面向量的数量积运算可判断AB 选项的正误；作OA a =，OB b =，OC c =，分析得出点C 的轨迹，求出c r 的最大值，可判断C 选项的正误；以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，考查EOC ∠取最大值时点C 的位置，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，2222222cos33a b a b a b a b a b π+=++⋅=++⋅=，故3a b +=r r ，A 错；对于B 选项，2222222cos 13a b a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=，故1a b -=r r ，B 对；对于CD 选项，作OA a =，OB b =，OC c =，则OA OC a c CA --==，b c OB OC CB -=-=，()()0a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以，CA CB ⊥，故点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，如下图所示：设线段AB 的中点为点D ，则32OD =，1122DC AB ==，所以，3132c OC OD DC OD DC +==+≤+=<，C 对，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，则OE OA OB a b =+=+，则EOC ∠为向量a b +与c 的夹角，当OC 与圆D 相切时（此时点C 与点C '重合），此时，EOC ∠取得最大值，连接DC ，则DC OC ⊥，则EOC ∠为锐角，即a b +与c 的夹角是锐角，D 错误.故选：BC.34．AC 【分析】以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，由题设不等式恒成立，得出4y ≤-或4y ≥，然后根据所在区域内P 点判断各选项．【详解】以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,)AP x y =+，(10,0)AB =，2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，由28AP AB λ-≥得22(21010)464x y λ+-+≥，22(55)16x y λ+-+≥，对任意λ，22(55)16x y λ+-+≥恒成立，则216y ≥，即4y ≤-或4y ≥，此时min 4AP =（当5,4x y =-=±时取得），A 正确；若(0,4)P ，则(0,8)PA PB +=，8PA PB +=，B 错；22(5,)(5,)25025169PA PB x y x y x y ⋅=+⋅-=-+≥-+=-（20,4x y ==时等号成立），C 正确；例如P 点坐标是(5,4)-时，90PAB ∠=︒，APB ∠90<︒，D 错，故选：AC．35．ACD 【分析】由BE AF =，得到22(1)μλ=-，即可判定A 正确；当λμ=时，EF BC μ=，可判定B 不正确；由AEF 的面积为11222S AE AF AB AC λμλμ=⋅=⋅=，结合基本不等式，可判定C 正确；建立平面直角坐标系，得到(,)M λμ，(1,1)N ，结合MN AN AM ≥-，即可判定以D 正确.【详解】对于A 中，因为AE AB λ=，AF AC μ=，且BE AF =，可得2222(1)AC AB μλ=-，所以22(1)μλ=-，其中,(0,1)λμ∈，所以(1)μλ=-，即1λμ+=，所以A 正确；对于B 中，当λμ=时，()EF AF AE AC AB AC AB BC μλμμ=-=-=-=，可得EF与BC 为共线向量，所以B 不正确；。

高中数学必修2全册同步检测：3-2-1

3-2-1同步检测一、选择题1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是()A．－2,3B．3，－2C．－2，－2 D．3,32．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1 B．x＝3C．y＝1 D．y＝33．方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于()A．2 B．1C．0 D．－15．直线l：y＝kx＋b的图像如图所示，则k、b满足()A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＞0C．k＜0，b＜0D．k＞0，b＜06．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是( )7．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －838．直线l ：y －1＝k (x ＋2)的倾斜角为135°，则直线l 在y 轴上的截距是( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－29．已知点P (3，m )在过M (－2,1)和N (－3,4)两点的直线上，则m 的值为( )A．15 B．14C．－14 D．－1610．等边△PQR中，P(0,0)、Q(4,0)，且R在第四象限内，则PR 和QR所在直线的方程分别为()A．y＝±3xB．y＝±3(x－4)C．y＝3x和y＝－3(x－4)D．y＝－3x和y＝3(x－4)二、填空题11．过点(－1,3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为_______．12．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．13．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝________，b＝________.14．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，则直线BC的方程为________．三、解答题15．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．[分析]BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．16．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x 轴上截距为－2；(3)在y 轴上截距为3.17．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 无论怎样变化，所有直线恒过定点，求此定点坐标．18．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．详解答案1[答案] A2[答案] A3[答案] D[解析] 直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x 轴垂直的直线．4[答案] B[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2.所以a ＝2－a ，解得a ＝1.5[答案] B6[答案] B[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距是1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．7[答案] C[解析] y ＝3x ＋4与x 轴交点为(－43，0)又与直线y ＝－2x ＋3平行，故所求直线方程为y ＝－2(x ＋43)即y ＝－2x －83 故选C.8[答案] B[解析] ∵倾斜角为135°，∴k ＝tan135°＝－tan45°＝－1，∴直线l ：y －1＝－(x ＋2)，令x ＝0得y ＝－1.9[答案] C[解析] 直线MN 的斜率k ＝－3，方程为y －1＝－3(x ＋2)，点P (3，m )在直线上，∴m －1＝－3×(3＋2)，∴m ＝－14.[点评] 点P 在过M 、N 两点的直线上，即P 、M 、N 共线，因此可由斜率k PM ＝k MN 求解，请自己写出解题过程．10[答案] D[解析] 直线PR ，PQ 的倾斜角分别为120°，60°，∴斜率分别为－3， 3.数形结合得出．11[答案] y ＝－2x ＋1[解析] 点斜式为y －3＝－2(x ＋1)，化为斜截式为y ＝－2x ＋1. 12[答案] y －1＝－(x －2)[解析] 设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1.又k 2＝1，∴k 1＝－1.∴l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．13[答案] －2 －2[解析] 由题意，得⎩⎨⎧ －4＝k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2.14[答案] 8x ＋y －9＝0或2x －y －1＝0或y ＝x 或3x ＋y －4＝0[解析] 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；此时BC ：8x ＋y －9＝0.若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；此时直线BC 方程为2x －y －1＝0.若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 此时直线BC 方程为y ＝x 或3x ＋y －4＝0.15[解析] 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k BC k AD ＝－1.∴2＋30－3k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是y －0＝35(x ＋5)．即y ＝35x ＋3.16[解析] 直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33 ∴α＝150°故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33(1)过点P (3，－4)，由点斜式方程得：y ＋4＝33(x －3)∴y ＝33x －3－4(2)在x 轴截距为－2，即直线l 过点(－2,0)由点斜式方程得：y －0＝33(x ＋2)，∴y ＝33x ＋233(3)在y 轴上截距为3，由斜截式方程得y ＝33x ＋3.17[解析] 方法1：将直线变形为y －1＝k (x －3)，由点斜式方程知，此直线过定点(3,1)．方法2：将直线变形为k (x －3)－y ＋1＝0，由于此直线过定点与k 无关，因此x －3＝0且－y ＋1＝0，∴x ＝3，y ＝1，过定点(3,1)．18[解析] 设直线方程为y ＝－32x ＋b ，令y ＝0得x ＝23b由题意知12·|b |·|23b |＝12，∴b 2＝36，∴b ＝±6，∴所求直线方程为y ＝－32x ±6.关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

高中数学必修2测试题及答案

高中数学必修2测试题及答案高中新课标数学必修2测试题本试卷满分100分。

另有附加题10分，附加题得分不计入总分。

一、选择题（12×3分＝36分）1、下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C.垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是：A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么XXX⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，异面直线AA与BC所成的角是（）A.30B.45C.60D.904、右图的正方体ABCD- ABCD中，二面角D’-AB-D的大小是（）A.30B.45C.60D.905、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=-5;C.a=-2,b=5;D.a=-2,b=-5.6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）A.(3,-1)B.(-1,3)C.(-3,-1)D.(3,1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）A.4x+3y-13=0B.4x-3y-19=0C.3x-4y-16=0D.3x+4y-8=08、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（）A.πa^3B.πa^2C.2πaD.3πa9、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm²，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A.2cmB.4√3 cmC.4cmD.8cm。

10、圆x^2+y^2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,-2)14、215、正方体16、m=-317、AC=BD三、解答题（共44分）18、圆的中心为线段AB的中点，坐标为((-4+6)/2,(-5-1)/2)=(1,-3)，半径为AB的长度的一半，即r=√[(6-(-4))^2+((-1)-(-5))^2]/2=√65/2，所以圆的方程为(x-1)^2+(y+3)^2=65/2.19、（1）AB的斜率为(5-(-1))/(-1-(-2))=6，过点A的直线方程为y-5=6(x-(-1))，即y=6x+1.（2）中线AM的长度为√[(4-(-2))^2+(3-(-1))^2]/2=√20/2=√5.20、（1）由于PC垂直于面ABCD，所以EF与面ABCD垂直，而平面PBC与面ABCD平行，所以EF与平面PBC平行。

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（数学2必修）第一章空间几何体[基础训练A 组]一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A . 3B . 23C . 33D . 433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. 92πB. 72πC. 52πD. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A ．130B ．140C ．150D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

主视图左视图俯视图C 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

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2-3-4平面与平面平行嘚性质一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则()A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则()A．a⊂αB．a∥αC．a⊥αD．a⊂α或a∥α3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB 于E，则()A．ME⊥平面AC B．ME⊂平面ACC．ME∥平面AC D．以上都有可能4．在空间中，下列命题正确嘚是()A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内嘚一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直嘚直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b5．(09·广东文)给定下列四个命题：①若一个平面内嘚两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面嘚垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线嘚两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们嘚交线不垂直嘚直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题嘚是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确嘚是()A．平行直线嘚平行投影重合B．平行于同一直线嘚两个平面平行C．垂直于同一平面嘚两个平面平行D．垂直于同一平面嘚两条直线平行7．(09·浙江文)设α，β是两个不同嘚平面，l 是一条直线，以下命题正确嘚是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β8．如图所示，三棱锥P －ABC 嘚底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 嘚轨迹是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点 9．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成嘚角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线嘚垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:310．在正四面体(所有棱长都相等嘚三棱锥)P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB、BC、CA嘚中点，下面四个结论中不成立．．．嘚是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC二、填空题11．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m嘚位置关系是________．12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过平面A1B上任一点P作PE ⊥AB于E，则直线PE与平面AC所成嘚角等于________．13．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′嘚体积V＝________.14．如下图所示，P是菱形ABCD所在平面外嘚一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成嘚角为θ，则θ＝________.三、解答题15．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在嘚平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD. ⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACD AB ⊂平面ABD⇒平面ABD ⊥平面ACD.16．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASC ＝90°，∠ASB ＝∠BSC ＝60°.求证：平面ASC ⊥平面ABC.17．(2012·全国新课标)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1嘚中点．(1)证明：平面BDC ⊥平面BDC 1；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积嘚比．[命题意图] 本题主要考查空间线线、线面、面面垂直嘚判定与性质及几何体嘚体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题．18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，F 是PB 嘚中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点嘚位置，并证明你嘚结论；若不存在，说明理由．详解答案1[答案] C2[答案] D3[答案] A[解析]由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME ⊂平面AB1，所以ME⊥平面AC.4[答案] D[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD 两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B 中，缺少条件m是平面α外嘚一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直嘚性质定理嘚条件，必须是α内垂直于l嘚直线，所以C不正确；由于两条平行直线中嘚一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．5[答案] D6[答案] D[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内嘚平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内嘚平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD 1C 1都平行，但平面BCC 1B 1与平面CDD 1C 1相交，故B 错；同样，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BCC 1B 1及平面CDD 1C 1都与平面ABCD 垂直，但此二平面相交，故C 错；由线面垂直嘚性质定理知D 正确．7[答案] C[解析] l ⊥α，α⊥β⇒l ∥β或l ⊂β，A 错；l ∥α，α∥β⇒l ∥β或l ⊂β，B 错； l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，C 正确；若l ∥α，α⊥β，则l 与β位置关系不确定，D 错．8[答案] D[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC.又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC.∴∠ACB ＝90°.∴动点C 嘚轨迹是以AB 为直径嘚圆，除去A 和B 两点．9[答案] A [解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2asin π4＝2a ，A ′B ＝2acos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB:A ′B ′＝2:1.10[答案] C[解析] ∵D 、F 分别为AB 、CA 中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平面PDF ，故A 正确．又∵P －ABC 为正四面体，∴P在底面ABC内嘚射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．又∵PO⊂面PAE，PO⊥平面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立嘚是C.11[答案]相交、平行、异面12[答案]90°[解析]∵平面A1B⊥平面AC，平面A1B∩平面AC＝AB，PE⊂平面A1B，PE ⊥AB，∴PE⊥平面AC，∴PE与平面AC所成嘚角等于90°.13[答案] 4[解析]∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β，∴V＝13S△A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.14[答案]45°[解析]如图所示，取AD嘚中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成嘚角θ. 在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.15[证明]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫平面ABC⊥平面BCDCD⊥BC⇒CD⊥平面ABCAB⊂平面ABC⇒16[解析]如图，设SA＝SB＝SC＝a.∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°，∴AC＝2a，AB＝BC＝a，则AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.取AC中点O，连接SO、BO.则SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB为二面角S－AC－B嘚平面角．∵SO＝OB＝22a，∴SO2＋OB2＝SB2，∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC.17[解析](1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1⊂面ACC1A1，∴DC1⊥BC，由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC⊥平面BDC1；(2)设棱锥B －DACC 1嘚体积为V 1，AC ＝1，由题意得，V 1＝13×1＋22×1×1＝12，由三棱柱ABC －A 1B 1C 1嘚体积V ＝1，∴(V －V 1)V 1＝11，∴平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为1 1. 18[证明] (1)取AB 嘚中点E ，则PA ∥EF.设PD ＝DC ＝a ，易求得DE ＝52a ，FE＝12PA ＝22a ，DF ＝12PB ＝32a.由于DE 2＝EF 2＋DF 2，故DF ⊥EF ，又EF ∥PA ，∴DF ⊥PA.(2)在线段AD 上存在点G ，使GF ⊥平面PBC ，且G 点是AD 嘚中点．取AD 嘚中点G ，连接PG 、BG ，则PG ＝BG.又F 为AB 嘚中点，故GF ⊥PB. ∵F 为PB 中点，∴F 点在底面ABCD 上嘚射影为正方形ABCD 嘚中心O ， ∴GO 为GF 在平面ABCD 上嘚射影，∵GO ⊥BC ，∴GF ⊥BC ，∵BC 、PB 是平面PBC 内嘚两条相交直线，∴GF ⊥平面PBC.。

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高中数学必修2测试题一、选择题1、下列命题为真命题的是（）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是：（）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（）A. 300B.450C. 600D. 9004、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 的大小是（）A. 300B.450C. 600D. 9005、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=-5;C.a=-2，b=5D.a=-2，b=-56、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.A B A ’C ’9、圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（） A.(-2,-1); B.(2,1); C.(2,-1); D.(1,-2).10、直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（） A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定. 二、填空题11、底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为 cm 2。

高中数学必修2测试试卷

高中数学测试试卷(4)1)0(0=+≠=++y x abc c by ax 与圆|b|，|c|的三角形（）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在 2. a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3．点M (x 0,y 0)是圆x 2+y 2=a 2 (a>0)内不为圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交 4．圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个5.命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是 ( )．A ．∃x 0>0，使得x 02－x 0≤0B ．∃x 0>0，使得x 02－x 0>0C ．∀x >0，都有x 2－x >0D ．∀x ≤0，都有x 2－x >06．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）A ．27π B ．56π C ．14π D ．64π7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则（）A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 28．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）9．如图8-25，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q ，且满足A 1P =BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（） A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶110．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的顶点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B=D 1D 。

高中数学必修2全册同步检测：2-2-1

2-2-1直线与平面平行的判定一、选择题1．下列命题中正确的是()A．如果一条直线与一个平面不相交，它们一定平行B．一条直线与一个平面平行，它就与这个平面内的任何直线平行C．一条直线与另一条直线平行，它就与经过该直线的任何平面平行D．平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线平行，则a∥α2．已知直线l∥直线m，m⊂平面α，则直线l与平面α的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面α内D．平行或在平面α内3．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．直线a、b是异面直线，直线a和平面α平行，则直线b和平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b与α相交D．以上都有可能5．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不确定6．五棱台ABCDE－A1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且AFFA1＝BGGB1，则FG与平面ABCDE的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．FG在平面ABCDE内7．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE:EB＝CF:FB＝1:2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是() A．平行B．相交C．在平面内D．异面8．给出下列结论：(1)平行于同一条直线的两条直线平行；(2)平行于同一条直线的两个平面平行；(3)平行于同一平面的两条直线平行；(4)平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、C 1D 1的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系是( )A ．EF ∥平面BB 1D 1DB ．EF 与平面BB 1D 1D 相交C ．EF ⊂平面BB 1D 1DD ．EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系无法判断10．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则A 1D 1D 1C 1等于( )A.12B ．1C ．2D ．3 二、填空题11．若直线a ∥直线b ，则过a 且与b 平行的平面有____个．12．若直线a ，b 异面，则经过a 且平行于b 的平面有________个．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______．直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________．14．如下图(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是________．三、解答题15．如图，在三棱锥P－ABC中，点O、D分别是AC、PC的中点．求证：OD∥平面PAB.16．如图，已知A1B1C1－ABC是三棱柱，D是AC的中点．证明：AB1∥平面DBC1.17．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N 分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．18．已知四面体ABCD 中，M 、N 分别是三角形ABC 和三角形ACD 的重心，求证：(1)MN ∥面ABD ；(2)BD ∥面CMN .[分析] 首先根据条件画出图形，如图所示．证明线面平行最常用的方法是利用判定定理，要证MN ∥面ABD ，只要证明MN 平行于面ABD 内的某一条直线即可．根据M 、N 分别为△ABC 、△ACD 的重心的条件，连接CM 、CN 并延长分别交AB 、AD 于G 、H ，连接GH .若有MN ∥GH ，则结论可证．或连接AM 、AN 并延长交BC 、CD 于E 、F ，连接EF ，若有MN ∥EF ，EF ∥BD ，结论可证．详解答案1[答案] D[解析] 根据线面平行的定义及判定定理来确定D 正确．2[答案] D3[答案] D[解析] ∵a ，b 相交，∴a ，b 确定一个平面为β，如果β∥α，则b ∥α，如果β不平行α，则b 与α相交．4[答案] D[解析] 可构建模型来演示，三种位置关系都有可能．5[答案] A[解析] 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．6[答案] A[解析] ∵AF FA 1＝BG GB 1， ∴FG ∥AB ，又FG ⊄平面ABCDE ，AB ⊂平面ABCDE ，∴FG ∥平面ABCDE .7[答案] A[解析] 如图，由AE EB ＝CF FB ，得AC ∥EF .又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.8[答案] B[解析]由公理4知(1)正确，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1，DD1∥平面BB1C1C，但两个平面相交，故(3)错；同样在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，故(3)错；(4)正确，故选B.9[答案] A[证明]取D1B1的中点O，连OF，OB，∵OF綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OF綊BE，∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D，故选A.10[答案] B[解析]连A1B交AB1于O，则O为A1B的中点，∵BG∥平同AB1D1，∴BG∥OD1＝1.∴D1为A1G的中点即A1D1D1G11[答案]无数[解析]在a上任取一点P，过P作与b异面的直线c，则a与c 确定一个平面α，由于直线c能作无数条，则平面α有无数个，又a ∥b，b⊄α，a⊂α，∴b∥α.12[答案] 1[解析]如图所示，在a上任取一点P，过P仅能作一条直线b′∥b，由于a与b′相交，则a与b′确定一个平面α，则b∥α.13[答案]相交平行[解析]因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，MM1綊C1D1，C1D1綊CD∴DMM1C为平行四边形，∴DM綊CM1∴DM∥平面BCC1B1.14[答案]平行[解析]∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.15[证明]∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥AP.∵OD⊄平面PAB，AP⊂平面PAB.∴OD ∥平面PAB .16[证明] ∵A 1B 1C 1－ABC 是三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是平行四边形．连接B 1C 交BC 1于点E ，则B 1E ＝EC .在△AB 1C 中，∵AD ＝DC ，∴DE ∥AB 1.又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1. 17[解析] (1)取PD 的中点H ，连接AH ，NH ，∵N 是PC 的中点，∴NH 綊12DC .由M 是AB 的中点，且DC 綊AB ， ∴NH 綊AM ，即四边形AMNH 为平行四边形．∴MN ∥AH .由MN ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)连接AC 并取其中点O ，连接OM 、ON ，∴OM 綊12BC ，ON 綊12PA .∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝2 3.∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 成30°的角．18[证明] (1)如图所示，连接CM 、CN 并延长分别交AB 、AD 于G 、H ，连接GH 、MN .∵M 、N 分别为△ABC 、△ACD 的重心，∴CM CG ＝CN CH .∴MN ∥GH .又GH ⊂面ABD ，MN ⊄面ABD ，∴MN ∥面ABD .(2)由(1)知，G 、H 分别为AB 、AD 的中点，∴GH ∥BD ，又MN ∥GH ，∴BD ∥MN ，又BD ⊄平面CMN ，∴BD ∥平面CMN .关于数学名言警句大全 1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

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第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1．在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行2．将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）3．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（）A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、4、6 D．5、6、44．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B l＝1，AB＝2，B l C l＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A l B l＝1，AB＝2，B1C l＝1.5，BC＝3，A l C l＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA ＝C1A15．有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）6．下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形7．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）二、填空题8如图，长方体ABCD—A1B l C l D1中，AD＝3，AA l＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C l的最短距离为______．9在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．10高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是______．11图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是_ ___．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题12请给以下各图分类．13画一个三棱锥和一个四棱台．14多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体?15合下图，说说它们分别是怎样的多面体?16察以下几何体的变化，通过比较，说出他们的特征．17一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长____．1.3 柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm，全面积是144cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．无数个2．三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，且侧面A1ABB1与侧面A1ACC l的面积相等，则∠BB1C1等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）A．10cm B．52cmC ．512+πcm D ．4252+πcm4．中心角为43π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（）A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶8 5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a <b ），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（）A ．33（b 2－a 2）B ．23（b 2－a 2）C ．3（b 2－a 2）D ．23（b 2－a 2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（）A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶9 7．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（） A ．3∶5 B ．9∶25C ．5∶41D ．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH的表面积为T ，则S T等于（）A ．91B ．94C ．41D ．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（）A ．40B ．)31(20+C ．)31(30+D ．303 二、填空题11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3 cm ，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm 2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．1.3 柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（）A ．2倍B ．4倍C ．2倍D ．22倍2．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是（）A 、28cmB ．32 cmC ．36 cmD ．40 cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为（）A ．32321aB ．3233aC ．337a D ．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（）A ．1B ．3C ．2D ．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm 2，则此球的体积为（）A ．334cm πB ．386cm πC ．361cm π D ．366cm π6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为323a ，那么侧棱与底面所成的角为（） A ．6π B ．4π C ．3πD ．125π7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（）A 、S Q 31B ．)(2122Q S Q -C 、)(2122Q S S -D 、)(6122Q S Q -8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（） A ．1∶7 B ．2∶7 C ．7∶19 D ．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S 1、S 2、S 3，下面关系中成立的是（）A ．S 3＞S 2＞S 1B ．S 1＞S 3＞S 2C ．S 1＞S 2＞S 3D ．S 2＞S l ＞S 310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（）A ．1∶5B ．1∶23C ．1∶11D ．1∶47 二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a 的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______． 13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm 和10cm 的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，求h ．18．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C l D l 的棱长为a ，E 为棱AD 的中点，求点A 1到平面BED 1的距离．1.4 球的体积和表面积一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（） A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ，8倍2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（）A ．π42cB ．π42cC ．π2c D ．2πc 23．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（）A ．916πB ．38πC ．4πD ．964π4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（） A ．4倍 B ．8倍 C ．16倍 D ．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（） A 、1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（）A ．4πB ．4πC ．π32 D ．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（）A 、35cmB ．310cmC ．340cmD ．65cm8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（）A 、916π B ．38π C ．4π D ．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π 10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定二、填空题 11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3． 12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm ，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm ，“大球”的外径为40 mm ，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．第一章空间几何体单元测试1一、选择题1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A. 1:2:3B. 1:3:5C. 1:2:4D. 1:3:93．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（） A.23 B. 76 C. 45D. 564．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =（）A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:15．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:96．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A. 224cm π，212cm πB. 215cm π，212cm π C. 224cm π，236cm π D. 以上都不正确二、填空题1. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是_______。

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