容斥原理
容斥原理
令U为全体非负整数解，A1为其中x1>5的整数解， A2为其中x2>6的整数解，A3为其中x3>7的整数解。 则|U|=C(17,2)。A1相当于求线性方程 (x1+6)+x2+x3=15
的非负整数解，其个数为|A1|=C(9+3-1,9)=C(11,2)。 类似有：|A2|=C(8+3-1,8)=C(10,2)， |A3|=C(7+3-1,8)=C(9,2)。
A B C U A BC A A C A B B B C C 871.
例6 求由abcd这4个字符构成的n位符号串中，a、b、 c都至少出现一次的数目。 令A、B、C分别表示不出现a、b、c的符号串的集合。 A中不出现a，即符号串的每一位只能取bcd之一， 有三种选择，因此|A|=3n。 类似有|B|=|C|= 3n ， |A∩B|=|B∩C|=|A∩C|= 2n，|A∩B ∩C |= 1n=1，|U|= 4n。 因此满足条件的符号串的数目为：
例10 第二类Stirling数，是指m个不同的球放到n个 相同的盒子里，且无一空盒的方案数。 先考虑盒子都不相同的情形。 令Ai (i=1,2,…,n)表示第i个盒子为空的放法的集合。 则显然有|U|=nm，|Ai|=(n-1)m。 类似有：|Ai∩Aj|=(n-2)m， |Ai∩Aj∩Ak|=(n-3)m，… 因此第二类Stirling数为： n ! S ( m, m ) A1 A2 ... An
例如60=22×3×5，所以
y( n) = 60(1 1 / 2)(1 1 / 3)(1 1 / 5) 16,
即比60小且与60互素的数有16个： 1，7，11，13， 17, 19, 23，29，31，37，41，43，47，49，53，59。
容斥原理的应用举例
容斥原理的应用举例什么是容斥原理容斥原理是概率论、组合数学中常用的一种计数方法，它用于求解多个事件的并或交的概率或数量。
容斥原理是以集合论为基础的一种推理思想，通过排除重复计数，从而得到准确的计数结果。
容斥原理的公式容斥原理的公式可以表示为：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ A3| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中，|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| 表示事件 A1、A2、…、An 的并的概率或数量，|A1| 表示事件 A1 的概率或数量，|A1 ∩ A2| 表示事件 A1 和 A2 的交的概率或数量，以此类推。
容斥原理的应用举例容斥原理在组合数学和概率论中有广泛的应用，下面举几个例子来说明容斥原理的具体应用。
例子1：求解有限集合的元素个数假设有三个集合 A、B、C，它们分别有 |A|、|B|、|C| 个元素，求这三个集合的并集的元素个数。
根据容斥原理的公式，有：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |D|其中，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交的元素个数，以此类推。
例子2：求解排列组合中不满足条件的情况假设有两个集合 A 和 B，它们分别有 |A|、|B| 个元素，要求从 A 和 B 中选择指定数量的元素排列组合，但要满足某个特定的条件，那么可以使用容斥原理来计算不满足条件的情况。
Count = |A| * |B| - |A ∩ B|其中，|A ∩ B| 表示满足条件的情况。
例子3：求解事件的概率假设有三个事件 A、B、C，它们分别发生的概率分别为 P(A)、P(B)、P(C)，求这三个事件的并的概率。
容斥原理
容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
公式也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C详细推理如下：1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。
4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。
2严格证明对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明：证明：当时，等式成立()。
假设时结论成立，则当时，所以当时，结论仍成立。
因此对任意，均可使所证等式成立。
3原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B=A+B-A∩B)例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
容斥原理
容斥原理(包含与排除)集合：把具有某种性质的同类事物放在一起。
如A=｛五（1）班全体同学｝、 B＝｛1，2，3，4，…｝。
|A|定义为集合A的个数。
A∪B：并集。
集合A=｛1，2，3｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝：交集。
上题，A∩B＝｛2｝A: 补集（或余集）。
集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝，则A＝｛1，9｝。
显然：A∩A＝∅如果集合A和B没有公共元素，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
如果集合A与B有公共元素，则|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|。
这就是两个集合的容斥原理:集合A与B的并的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交的元素个数。
例1、桌上有两张圆纸片A、B。
假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米。
这两张圆纸片重叠的面积为10平方厘米。
则这两张圆纸片覆盖桌面的面积。
解：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。
例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。
∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。
∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。
∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。
由容斥原理：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。
答：略。
例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝。
∵100÷50=20，∴｜A｜=20 又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。
数学———容斥原理
数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
两个对象的容斥原理
两个对象的容斥原理
容斥原理是一种数学原理，它可以用来解决复杂的问题。
它的基本思想是，如果有两个事件A和B，那么它们的总概率就是A的概率加上B的概率减去A和B共同发生的概率。
容斥原理可以用来解决两个对象的问题。
例如，假设有两个对象A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)。
如果要计算A和B的总概率，可以使用容斥原理，即P(A)+P(B)-P(A∩B)。
容斥原理可以用来解决复杂的问题，例如，假设有三个对象A、B和C，它们的概率分别为P(A)、P(B)和P(C)。
如果要计算A、B和C的总概率，可以使用容斥原理，即P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)。
容斥原理可以用来解决复杂的问题，它的优点是可以简化复杂的问题，使其变得更容易理解和解决。
它的缺点是它只能用于计算概率，而不能用于计算其他类型的数据。
总之，容斥原理是一种有用的数学原理，它可以用来解决两个对象的问题，它的优点是可以简化复杂的问题，使其变得更容易理解和解决。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
容斥原理知识点
容斥原理知识点
容斥原理是一种计数方法，主要用于解决重叠问题。
其基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
例如，有3个集合A、B和C，它们的并集是{1,2,3,4,5}，而集合A是{1,2,3}、集合B是{3,4}、集合C是{4,5}。
虽然数字3在两个集合中出现，但在求并集时只计算一次；数字4在集合B和集合C中出现，但在求并集时也只计算一次。
这样，求出的并集既无遗漏又无重复。
以上内容仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学老师获取更准确的信息。
容斥原理是什么意思
容斥原理是什么意思容斥原理是什么意思？当 n>1时，任何一个非空集都可以用一个数来表示。
对于集合 A，对于每一个元素 x， y，使得：当 n≥1时，都存在正整数 N，使得对于任意两个不同的元素 x， y，都有 a ≤x≤y≤a 当且仅当 A={ a}。
它们最大的不同在于，一个集合是否能够由这样一个常数 a 来唯一确定，即 a 是否是一个常量。
因此，我们又引入了另外三种等价的说法：第一种情况：多余数为零；第二种情况：奇数个整数组成的集合中至少有一个偶数；第三种情况：如果集合 A 中所含元素全部是偶数，则称 A 为偶数集。
其实，无论哪一种说法，都隐藏着一条重要的性质——容斥原理。
那就是：若 A 是偶数集，则必然包括奇数个整数。
换句话说，只要满足容斥原理， A 就是偶数集。
但是，容斥原理并没有给出具体的证明方式和步骤，而是留下了许多问题让人去探索、发现。
例如，容斥原理究竟适用于什么场景呢?比如，对于偶数集 A，它到底应该怎样解释才算恰当呢?再者，既然容斥原理已经被提出来了，那么，它会随着科学技术的进步而改变吗?还有，如果 A 真的是偶数集，那么， A 与 B 之间又有什么关系呢……带着诸多疑惑，本文将从四个角度展开讨论，分别介绍容斥原理及其推广形式，希望通过这些内容的阐述，能帮助读者更好地认识容斥原理，掌握容斥原理的精髓。
第一种情况：多余数为零；设 A 是偶数集，则 A 中至少有一个元素是0。
也就是说， A 中至少有一个元素是非负整数。
假设某次考试中，共有100名考生参加考试，其中90名考生的答案为“ A”或“ B”，那么，他们的平均值为70.5分(即，90/100);剩下10名考生的答案为“ C”或“ D”，那么，他们的平均值为71.25分(即，10/90)。
显然，后面10位考生的平均分高于前9位考生的平均分。
根据容斥原理，可知，这10名考生的答案肯定是错误的!上面的例子告诉我们，当 A 是偶数集时，多余数为零，故 A 中至少有一个元素是非负整数。
容斥原理(数学技巧点拨系列)
容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。
例如在计数原理中使用间接法等等。
因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。
【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。
第三章容斥原理
的元素个数为：
推论3.1.1: 设S是有限集合，
是同集合S 有关
的m个性质，设Ai 是S 中具有性质Pi 的元素构成的集合 则S 中至少 结束
例1: 1到1000之间不能被5,6,8整除的整数有多少个？
例2：求由a,b,c,d 四个字符构成的n位符号串中， a,b,c,d 至少出现一次的符号串的数目。
第三章 容斥原理
一、容斥原理 二、容斥原理的应用 三、有限制位置的排列及棋子多项式 四、Mobius反演及可重复的圆排列
3.1 容斥原理
定理3.1.1: 设S是有限集合，
是同集合S 有关
的m个性质，设Ai 是S 中具有性质Pi 的元素构成的集合
是S 中不具有性质Pi 的元素构成的集合，
则S 中不具有性质
例5: 某学校有12位教师，已知教数学课的老师有8位， 教物理课的老师有6位，教化学课的老师有5位， 其中有5位教师既教数学又教物理，4位教师既教 数学又教化学，3位教师既教物理又教化学，还有 3位教师兼教这三门课， 试问：
（1）教数、理、化以外的课的教师有几位？ （2）只教数、理、化一门课的教师有几位？ （3）正好教数、理、化中两门课的教师有几位？
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定理3.2.1: 对任意正整数n，有 递推关系：
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2.有禁止模式的排列问题
用Qn表示
的不出现12,23, …,(n-1)n这些模式
的全排列的个数。并规定
则有：
定理3.2.2：对任意正整数n，有
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例2：多重集合
表示S中具有性质
的元素个数
若集合S中某元素x恰好具有P中k+r个性质, 则x在w(k)中
【小高数学知识点】容斥原理
容斥原理一、知识结构图容斥原理二、方法讲解1、容斥原理Ⅰ：两量重叠问题A 类与B 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数用符号可表示成：A ∪B=A+B-A ∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。
）则称这一公式为包含于排除原理，简称容斥原理。
图示如下：A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A ∩B ，即阴影面积。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求A+B （意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A ∩B （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。
2、容斥原理Ⅱ：三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。
用符号表示为：A ∪B ∪C=A+B+C-A ∩B-B ∩C-A ∩C+A ∩B ∩C 图示如下：3、解答有关包含排除问题的一般方法在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考。
三、例题精讲例题1、把面积35cm ²和面积27cm ²的大小两个圆平放在桌面上，有一部分重叠，重叠部分面积为8cm ²，求被盖住桌面的面积？ 答案：面积为35+27-8=54cm 2练习1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 答案：参加的人有：28+29-12=45人例2、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么有多少人两个小组都不参加？ 答案：参加兴趣小组：15+18-10=23（人） 都不参加：40-23=17（人）40 航模 数学1810 15练习2、四(二)班有 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语文数学都没写完的有 6 人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？ 答案：（1）至少完成一科作业：48-6=42人 两科都写完：30+20-42=8人 （2）只写完语文：30-8=22人∩CC ∩1． 先包含——A +B +C重叠部分A ∩B 、B ∩C 、C ∩A 重叠了2次，多加了1次. 2． 再排除——A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 重叠部分A ∩B ∩C 重叠了3次，但是在进行A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 计算时都被减掉了.C B A 例3、在 1—100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？ 答案：3的倍数：100÷3=33个···1 5的倍数：100÷5=20个既是3又是5的倍数：100÷15=6个···10 所以3或5的倍数：33+20-6=47个既不是3也不是5的倍数：100-47=53个练习3、50 名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按 1，2，3，...，49，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名? 答案：4的倍数：50÷4=12人...2 6的倍数：50÷6=8人 (2)既是4又是6的倍数：50÷12=4人···2 所以4或6的倍数：12+8-4=16人既不是4也不是6的倍数：50-16=34人最后向前的同学包含：既不是4和6的倍数和同时是4和6的倍数 共有：4+34=38人例4、在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片（如图，三个纸片等大），它们的面积都是100 cm ²，并知A 、B 两圆重叠的面积是20 cm ²，A 、C 两圆重叠的面积为45 cm ²，B 、C 两圆重叠的面积为31 cm ²,三个圆共同重叠的面积为15 cm ²，求盖住桌子的总面积。
容斥原理课
9、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人？
10、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的 3/5，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的1/3多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
例9：甲、乙、丙同时给100盆花浇水。已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？
例10：某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8人，数学、语文两科成绩都是优秀的有7人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9人，三科都没得优秀成绩的有3人。请问：这个班最多有多少人？最少有多少人？
例1：一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？
例2：一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。问：两题都做错的有多少人？
例3：李老师出Biblioteka 两道题，全班40人中，第一道题有30人对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人。请问：
例6.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
例7.有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？
集合之四：容斥原理
集合之四：容斥原理问题两个集合容斥问题容斥原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类元素个数+B 类元素个数=既是A类又是B类的元素个数+A类或B类元素个数。
写成公式形式即：｜A U B｜＝｜A｜+｜B｜一｜A∩B｜韦恩图：解决简单的两类或三类被计数事物之间的重叠问题时采用韦恩图会更加便捷、直接。
【例】1四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（）A．13 B．22 C．33 D．41【例】2五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？（）A．30 B．35 C．57 D．65【例】3学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。
这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41【例】4某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4三个集合容斥问题容斥原理二：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类元素个数+B 类元素个数+C类元素个数=A类或B类或C类元素个数+既是A类义是B类的元素个数+既是A类又是B类的元素个数+既是B类又是C类元素个数—既是A 类又是B类而且是C类的元素个数。
写成公式形式即：｜A U B U C｜＝｜A｜+｜B｜+｜C｜—｜A∩B｜—｜B∩C｜—｜C∩A｜+｜A∩B∩C｜【例】5某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？（）A．12 B．14 C．16 D．18【例】6对厦门大学计算机系100名学生进行调查，结果发现他们喜欢看NBA 和足球、赛车。
容斥原理
容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理1：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A 类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰1) 设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
时钟问题研究钟面上时针和分针关系的问题。
容斥原理公式
容斥原理公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集问题。
容斥原理的应用范围非常广泛，涉及到概率论、组合数学、计算几何等多个领域。
在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算，提高问题求解的效率。
本文将介绍容斥原理的基本概念和公式推导，希望能够帮助读者更好地理解和运用容斥原理。
首先，我们来看容斥原理的基本概念。
容斥原理是指对于给定的集合A，B，C…的交集和并集问题，可以通过容斥原理来求解。
假设A，B，C…是有限集合，那么它们的交集和并集可以表示为：并集，A∪B∪C = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
交集，A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。
其中，|A|表示集合A的元素个数。
这就是容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以方便地求解集合的交集和并集问题。
接下来，我们来看容斥原理的公式推导。
首先，我们可以通过一个简单的例子来理解容斥原理的推导过程。
假设有三个集合A，B，C，我们要求它们的交集。
根据容斥原理的基本公式，交集可以表示为：A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。
这个公式的推导过程可以通过集合的特征函数来解释。
我们定义集合A，B，C的特征函数分别为χA(x)，χB(x)，χC(x)，其中χA(x)表示元素x是否属于集合A。
那么集合的交集可以表示为：A∩B∩C = ΣχA(x)χB(x)χC(x)。
通过特征函数的定义，我们可以将交集的计算转化为特征函数的计算，进而得到容斥原理的公式推导过程。
在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算。
例如，在概率论中，我们经常需要计算多个事件的交集和并集，这时容斥原理可以帮助我们简化计算过程。
在组合数学中，容斥原理也经常用于计算排列组合的问题，提高问题求解的效率。
第八讲 容斥原理
第8讲 容斥原理一、知识点：容斥原理类型一：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，甲类或乙类个数=甲类个数+乙类个数－既甲类又乙类的物体个数 容斥原理类型类型二：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－甲类或乙类个数 容斥原理类型类型三：如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－（总体共有个数—既非甲类又非乙类个数）森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。
”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我算兽类。
”结果统计出森林中共有70种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。
”这个统计对吗？ 现在我们用维恩图表示：要求鸟类与兽类共多少种,可以：+得出结论：鸟类与兽类共多少种=鸟类+兽类— 蝙蝠这个故事反映的是一个数学原理，我们把这个数学原理称为包含排除原理，即容斥原理。
鸟类 80 种兽类 70种蝙蝠 1种鸟类与兽类共？ 兽类70种鸟类—蝙蝠=79（种）二、例题讲解：包含与排除问题其实也叫容斥问题。
A AB B （韦恩图）（1)容斥原理的第一种类型：例题1：四年级(2)班每人都参加了一种兴趣小组，参加舞蹈组的有23人，参加合唱团的有40人，既参加舞蹈组又参加合唱团的有15人，全班共有多少人？ 练习：1、四年甲班学生采集标本，采到昆虫标本的有26人，采到植物标本的有32人，两种豆采到的有10人，全班有学生多少人？2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。
这个文艺组一共有多少人？甲类乙类即甲 又乙 维恩图合唱团 40人舞蹈组 23人15人共？植物标本 32人昆虫标本 有26人10人共？如果被统计的事物有甲、乙两类，那么， 甲和乙的总个数=甲个数+乙个数－既是甲又是乙的个数。
第4章 容斥原理
1 2 m 1 2 1 2
(1) m1
m
m
i 1
m
A
i
1i j m
AA
i i j k
j
1i j k m
AA A
(1) m1
AA
1
2
Am
利用容斥原理计算的基本步骤
求排列中不满足某种要求的排列方案数 步骤 1. 定义 Pj 为 X 中满足某一要求的属性，其中 X 为元素的集合 步骤 2. 定义 A j 为 S 中满足某一要求的排列构成的子集， 其中 S 为排列 的集合，使得
| A1 A2 Am |
成为不满足某种要求的排列方案数 步骤 3. 分别计算
| | | X 的排列|S|， Aj |， Ai Aj |， Ai Aj Ak |，…， A1 A2 Am | |
步骤 4. 将以上各项代入容斥原理公式中
S
i 1 m
A
i
1i j m
w(3) 8
| A1 A2 A3 | w(0) w(2) w(3) =1000-491+99-8=600
定理4.2.2 设集合S中具有性质P ={P1,P2,…,Pm}中 恰好r(0≤r ≤m)个性质的 元素的个数为：
容斥原理4个集合公式
容斥原理4个集合公式
容斥原理是组合数学中的一种常用原理，用于计算多个集合的并、交和差的元
素个数。
下面我将为您介绍容斥原理的4个集合公式。
1. 两个集合的容斥原理公式：
设集合 A 和集合 B 分别有 m 和 n 个元素，集合 A 与集合 B 的交集有 k 个元素，则 A 和 B 的并集中的元素个数为 m+n-k。
2. 三个集合的容斥原理公式：
设集合 A、B 和 C 分别有 m、n 和 p 个元素，集合 A、B 和 C 的交集分别为 x、y 和 z 个元素，集合 A、B 和 C 的并集中的元素个数为 m+n+p-x-y-z+(x∩y∩z)。
3. 四个集合的容斥原理公式：
设集合 A、B、C 和 D 分别有 m、n、p 和 q 个元素，集合 A、B、C 和 D 的交
集分别为 x、y、z 和 w 个元素，集合 A、B、C 和 D 的并集中的元素个数为
m+n+p+q-x-y-z-w+(x∩y∩z∩w)。
4. 一般情况下的容斥原理公式：
容斥原理可以推广到任意个集合上。
当有 k 个集合 A1、A2、...、Ak，分别有
m1、m2、...、mk 个元素，并且这些集合的交集为空集时，这 k 个集合的并集中的
元素个数为 m1+m2+...+mk。
这些容斥原理的公式可以帮助我们计算集合的元素个数，特别在计算排列组合
中常常使用到。
通过准确应用这些公式，我们可以简化问题的计算过程，并得到准确的结果。
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数量关系
2012公务员考试行测技巧：容斥原理公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，中公教育专家研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：
【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A ∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩
A=45-25-22-24+12+9+8=3人。