13.4 课题学习
课题学习最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、教课方案理念最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体睁开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实质问题转变为数学识题，利用轴对称、平移等变化再把数学识题转变为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，表现了数学化的过程和转变思想。
最短路径问题从实质上说是最值问题，作为初中生，此前极少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生，无从下手．解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在直线 l 上找到点 C，使 AC 与 CB的和最小”，需要将其转变为“在直线 l 异侧两点的线段和最小值问题”，为何需要这样转变、如何经过轴对称、平移变化实现转变，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点 (与所求作的点不重合 )，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．因此在讲堂上特别对这几个问题进行了针对性的设计。
二、教课对象剖析八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。
向来以来，学生对多媒体环境下的几何研究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲念，学习投入程度大。
他们察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括、运用数学意识的思想比较单薄，思想的广阔性、矫捷性、灵巧性比较短缺，自主研究和合作学习能力也需要在讲堂教课中进一步增强和指引。
学生在数学识题的提出和解决上有必定的方法，但不够深入和全面，需要教师的指引和帮助，学生自己拥有必定的研究精神和合作意识，能在亲自的经历体验中获得必定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待增强。
人教版八年级上册13.4课题学习(最短路径问题)
的位置
解：AB＝AC ，△ABC为等腰三角形，
A
AD平分∠CAB，故点D是BC边的中点，即 点B与点C关于直线AD对称.∵点M在AD上， 故BM=CM.即MB+MN的最小值可转化为求
N
●
●M
MC+MN的最小值，故连接CN即可，线段
CN的长即为MB+MN的最小值.
B
D
C
3 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为
●A
●
M′
课堂小结
原理：线段公理和垂线段最短
最
短 路
牧马人 饮马问
轴对称知识+线段公理
径题
问 造桥 题 选址 平移知识+线段公理
问题
课外作业： 第93页 第15题
和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如
何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
A
点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一
l
点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
练一练：
1 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别 是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则 AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 __6_0°_____
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上
的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M
2024年人教版八年级上册数学第13章第4节课题学习 最短路径问题
使MN ⊥ m， 且AM 交直线n 于点N，过点N作NM ⊥
＋MN＋NB 最小
m 于点M，连接AM
感悟新知
特别解读 解决连接河两边两地的最短路
径问题时，可以通过平移桥的方法 转化为求直线异侧两点到直线上一 点所连线段的和最小的问题.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例4 如图13.4-5，从A 地到B 地要经过一条小河(河的两岸 平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应 如何选择桥的位置才能使
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
设计最短路径 设计最短路径
两点在直 线异侧
两点在直 线同侧
利用轴对称转换
解：如图13 .4 -2，作点B 关于l 的对称点B1，连接 AB1交l 于点M，连接BM， 此时AM＋BM 最短，则点 M 即为所求的分支点.
感悟新知
知1－练
1-1.如图，在正方形网格中有M，N 两点，在直线l 上求一 点P 使PM＋PN 最短，则点P应选在( C ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点
四边形P M N Q周 长的最
小值为 P′Q′＋ PQ 的值
小
线的交点即为点M，N
感悟新知
知1－讲
特别解读 1.直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. 2.直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称 点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的 两点，依据异侧两点的方法找点.
感悟新知
知1－练
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
13.4 课题学习-最短路径问题 人教版八年级数学上册作业课件
A.(0,4)
)
B.(0,3) C.(0,2) D.(0,0)
答案
4.A 如图,作点B关于y轴的对称点B',连接AB'交y轴于点C',当点C运动到C'处
时,△ABC的周长最小.过点A作AE⊥x轴于点E,∵点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),∴点
PA+PB最短.由图可知点P应选在C点.
3.如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的一动点,若
AB=5,AC=4,BC=6,则△APC周长的最小值是 (
A.9
答案
3.A
B.10
C.11
D.12.5
)
4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),点C是y轴上的一个动点,
(2)作点B关于直线l2的对称点B';
(3)连接A'B',分别交直线l1,l2于点C,D,连接AC,BD,此时AC+CD+BD最小.
所以先到点C处设卡检查,再到点D处设卡检查,最后到B处执行任务,按这样的路线所走
的总路程最短.
能力练
1. 如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,P,Q分别为AB,AD上的点,且
5. 某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河(甲和乙),如图所示,A为校本部大
门,B为分校大门.为了方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使
A,B两点间来往路段最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置.
答案
5.解:如图,设在小河甲上建桥CD,小河乙上建桥EF,则A,B两
人教版数学八年级上册课件13.4课题学习-最短路径问题
C B′ （1）最短路径的常见模型？
如图所示，正方形ABCD的边长是4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这个最小值为（ ）
∴ AC +BC
题。
作对称，一连接
知识拓展 模型三：角型 两条直线找两个点
练习4.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
A→Pห้องสมุดไป่ตู้→ Q → B
A′ P
Q
B′
两对称，一连接
思维拓展 = AC′+B′C′．
= AC′+B′C′． ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 （2）本节课研究问题的基本过程是什么？
练习5.如图，四边形ABCD中,∠BAD=120°∠B=∠D=90°, 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， 总结方法：将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。
连接AC′，BC′，B′C′．
B
由轴对称的性质知，
A
BC =B′C，BC′=B′C′．
∟
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
C’ C
l
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
13.4课题学习-最短路径问题
B A C
L
B
/
证明:
在L 上任取另一点C ',连结AC ' 、BC'、B'C'. ∵ 直线 L 是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ' 在对称轴上， ∴CB=CB',C'B=C'B'. B ∴AC+CB=AC+CB'=AB'
A
Ｃ'
在△AC'B'中， AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
13.4课题学习 最短路径问题
提出问题
八年级(1)班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球(如下图)，小华按怎 样的路线跑，去捡哪个位置的球，才 能最快拿到球跑到目的地A?
A
B小华 l
探究一
如图，直线L两侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
C 两点之间，线段最短。
A/
。
A C B小明 l
巩固新知
练 习 一
A
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直 线a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B， 最先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、 小熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
B A a B A B A a B
C
C
a
C
a
C
小猫
小猪
A‘
小猴
小熊
练 习 二
巩固新知
A/
。
l2 N M A
B/
。
B小华
l1
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
2019秋人教版八年级数学上册课件：13.4课题学习最短路径问题(共36张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
答案 D 如图,作点A关于BC的对称点A',关于CD的对称点A″,
连接A‘A″,与BC、CD的交点分别为M、N,此时△AMN的周长最小. ∵∠BAD=110°,∴∠A'+∠A″=180°-110°=70°, 由轴对称的性质得∠A'=∠A'AM,∠A″=∠A″AN, ∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)=2×70°=140°. 故选D.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
动到点A',则AA'=MN,AM+NB=A'的什么位置时,A'N+NB最小?
图13-4-4 如图13-4-5,在连接A',B两点的线中,线段A'B最短.因此,线段A'B与直线b 的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径A→M→N→B是 最短的.
图13-4-1 分析 将题意用数学语言叙述如下:如图13-4-1所示,已知直线a和a同侧 的两点A,B.求作:点C,使点C在直线a上,并且AC+CB最小.此题实际上是 求最短路径问题,需要比较路径的长短,与之有关的内容是:两点之间,线 段最短.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
解析 如图13-4-2(1)所示,作点A关于直线a的对称点A',连接A'B交直线a 于点C,则点C即为水泵站的位置. 理由如下:如图13-4-2(2)所示,在直线a上任取一点C'(异于点C),连接BC', A'C',AC'. ∵A与A‘关于直线a对称,∴AC=A'C,AC'=A'C'. ∴AC+CB=A'C+CB=A'B<A'C'+BC'=AC'+BC'.
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
13.4 课题学习-最短路径问题人教版数学八年级上册同步课堂教案
第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题一、教学目标1.能利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想．二、教学重难点重点：利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.难点：体会图形的变化在解决最值问题中的作用．三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？(②最短，依据“两点之间，线段最短”)2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？(PC 最短，依据“垂线段最短”)3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？(AC=BC.依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.)4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？(作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；（2）在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l的对称点.可简记为：作垂线；取等长)教师带领学生复习与最短路径相关的知识，为本节课的学习做准备.【新知探究】知识点1牧人饮马问题[提出问题]引例如图，若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？这里强调一下两点的位置：直线l异侧的两个点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画过程：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现第3条线段很明显是最短的.依据是“两点之间，线段最短”.[提出问题]根据这个依据，你可以得到作法吗？[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：连接AB,与直线l相交于一点C.点C即为所求作的点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？[提出问题]这是一个实际问题，那么我们怎样把它转化成数学问题呢？[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地看成点，把笔直的河边看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题：如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？这里注意强调点A，B的位置：是直线l同侧的两个点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：[提出问题]你能找出两幅图中，A，B两点的位置有什么不同吗？（同侧、异侧）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]我们分析，如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题. 那么怎么找到B′呢？（作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB.）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：此时，问题就转化为:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小.[学生回答]很明显，连接AB′，与l的交点即为点C.[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′;连接AB′,交直线l于点C.点C即为所求作的点.[提出问题]怎样证明点C的位置即为所求？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B.[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，A、C、B在一条直线上.学生思考完毕，教师点名学生说出自己的答案，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴AC +BC=AC +B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC 最短．[归纳总结]利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件：（1）定直线l；（2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧;（3）所求作的动点C在直线l 上.解决”牧人饮马“问题的步骤：（1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）；（2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）；（3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）.[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定教师根据“牧人饮马”模型解决最值问题的应符合的条件，在图中依次找到定直线、两定点、一动点.【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.思考：作点E关于AD的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？知识点2造桥选址问题[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）[提出问题]这是一个实际问题，我们同样需要把它转化成数学问题来解决.经过了刚才我们对问题1的转化，你能将这个实际问题转化为数学问题吗？[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地和造桥的起始两个位置看成点，把河岸看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：问题转化一：该实际问题就转化为这样的数学问题：N 为直线b 上一点，且NM ⊥直线a 于点M ，当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.此时，教师引导学生发现，桥的长度是不变的，进而可得到：问题转化二：由于河岸的宽度MN 是固定的，这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+NB 最小.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：[提出问题]你能找出这两幅图有什么不同吗？（两条直线、一条直线）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]我们分析，如果我们能把两条直线转化成一条直线，就能把这个问题转化成“引例”的问题了.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：转化成了引例中的模型该折线即为最短路径[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：（1）平移点A到点A′，使AA′等于河宽;（2）连接A′B,A′B与直线b的交点，即为所求作的点N；（3）过点N作NM⊥直线a于点M.点M和点N的位置即为造桥的位置.[提出问题]怎样证明造桥位置的正确性呢？在直线b上另外任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB ＜AM′+M′N′+N′B.你能完成这个证明吗？[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，黄色的两条线段相等，A′、N、B在一条直线上.学生思考完毕，将解题过程写在练习本上，教师巡视，帮助有困难的学生，之后教师点名学生说出自己的答案，并纠错.[归纳总结]解决”造桥选址“问题的步骤：（1）一移；（2）二连；（3）三交；（4）四垂直.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把未知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.【课堂小结】【课堂训练】1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ D ）A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）3.(2021•天津二模)如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为( D )A. (2,0) B . (-2,0) C. (0,2) D. (0，-2)【解析】如图，作B点关于y轴的对称点B',连接AB',交y轴于一点，该点即为所求的点P.过点A作x轴的垂线，交B'B的延长线于点C，则∠C=90°，设BB'交y轴于点D,则OD=|-3|=3.∵点B坐标为(1，-3) ,∴B'(-1 ,-3 ) .∵易得B'C=1+4=5,AC=2=3=5 ,∴B'C=AC.∴∠B'=45°.∴PD=B'D=1.∴OP=2 ,∴P (0,-2 ).故选D.4.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是1000米.【解析】延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E，连接AE，则E即为所求的点.易得A′C=AC=BD，又AC⊥CD，BD⊥CD，∠A′EC=∠BED.∴△A′CE≌△BDE（AAS），则E是CD 的中点，∴AE=500，所以AE+BE=500+500=1000.5．（2021•江西模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 13 ．【解析】如图，连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，BC=10，∴CD=5，AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵MC+MD＝MA+MD≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长的最小值＝AD+CD＝8+5＝13．故答案为13．6.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.方法一：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.方法二：解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？解：（1）作AF⊥CD,且AF=河宽；（2）作BG⊥CE，且BG=河宽；（3）连接GF,与河岸相交于E ′,D ′；（4）作DD′,EE′即为桥.8.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．【变式】（2021•吉安模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE ＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 120° ．【解析】如图，作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'A''，A'A''与BC的交点即为所求的点M，A'A''与ED的交点即为所求的点N，∵∠B＝∠E＝90°，∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE，∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE=180°﹣120°＝∠60°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，故答案为120°．【教学反思】本节课我通过引例（两点在直线的异侧）,让学生认识到找最短路径的根本是通过"两点之间,线段最短”找出解决问题的途径,接下来通过"牧人饮马”让学生带着兴趣进入教学。
课题学习 最短路径问题 导学案(带习题和答案)
13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。
【课前预习】1．平面直角坐标系xOy 中，已知A(－1－0)－B(3－0)－C(0－－1)三点，D(1－m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD 的面积为（ －A ．B ．23C ．43D ．832．A－B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上 C ．线段AB 的反向延长线上 D ．直线l 上3．x 是数轴上任意一点表示的数，若|x ﹣3|+|x+2|的值最小，则x 的取值范围是（ ） A ．x≥3B ．x≤﹣2C ．﹣2≤x≤3D ．﹣2＜x ＜34．下列四种说法：①线段AB 是点A 与点B 之间的距离；②射线AB 与射线BA 表示同一条射线；③两点确定一条直线；④两点之间线段最短．其中正确的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ） A ．750米B ．1000米C ．1500米D ．2000米6．在等腰－ABC 中，AB=AC－一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长31为－－A．7B．7或11C．11D．7或107．如图－点P是直线a外一点－PB⊥a－点A－B－C－D都在直线a上－下列线段中最短的是( )A．PA B．PB C．PC D．PD8．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）9．如图，在－ABC中，－ACB＝90°，以AC为底边在－ABC外作等腰－ACD，过点D作－ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，－ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则－PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．2010．如图，等边△ABC的边长为4－AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为－ －A．15°B．22.5°C．30°D．45°【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1．举出常见的轴对称图形：_____（至少写三个）。
13.4课题学习++最短路径问题-讲练课件-2023-2024学年+人教版+八年级数学上册
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形．如图2是一种涂法，请在图4－6中分别设计
出另外三种涂法．(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一
种涂法，如图2与图3)
解：如图所示．(答案不唯一，合理即可)
数学活动
活动3 等腰三角形中相等的线段
例3 综合探究探索等腰三角形中相等的线段．
3．如图，点A，点B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到直
线MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：
①点P在MN上；②PA＋PB最小．
解：如图所示，点P即为所求．
4．如图，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，
使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出
数学（RJ）版八年级上册
第十三章 轴对称
课题学习
最短路径问题
新课学习
单动点问题—— 两点在直线异侧
例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P.
1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出
口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置．
你找的点C．
解：如图所示，点C即为所求．
5．(2022·珠海市期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标
为(4，2)，点B的坐标为(1，－3)，在y轴上有一点P使PA＋PB的值最小，
则点P的坐标为(
D
)
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
第5题图
6．如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N
13.4--课题学习--最短路径问题
知识点 2 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
问题1 牧人饮马问题 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，
名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一 个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
l
C
B′
1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题．
2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值．
B A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
13.4课题学习_最短路径问题
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业
教科书复习题13第15题．
B
C
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定 这一天的最短路线。
如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的 最短路线。
F
作法：1.作点A关于直线
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, B BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： M C AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, N D E 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
13.4课题学习最短路径问题(教案)2022秋八年级上册初二数学人教版(安徽)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图示和模型来演示Dijkstra算法的执行过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了最短路径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于最短路径问题的兴趣还是比较高的。在导入新课的时候，通过提问的方式，大家都能积极参与进来，分享自己在生活中遇到的最短路径问题。这为接下来的新课讲授奠定了良好的基础。
在新课讲授环节，我尽量用简单明了的语言解释了最短路径的基本概念，并通过案例分析，让学生们看到了这个知识点的实际应用。不过，我也注意到，对于Dijkstra算法这一部分，学生们理解起来还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要在这一部分多花一些时间，用更直观的方式，比如图解或者动画演示，来帮助学生更好地理解这个算法的原理和步骤。
3.增强学生的空间观念，通过实践活动，培养其在现实情境中运用几何知识进行观察、分析和解决问题的能力。
4.培养学生的数据分析素养，使其能够对实际问题进行合理的数据整理和分析，为求解最短路径提供依据。
5.激发学生的创新意识，鼓励其在解决最短路径问题时，积极探索多种可能，优化解决方案。