4-3-3 任意四边形、梯形与相似模型(一).教师版

板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：O DCBA s 4s 3s 2s 1①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDC A76【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ⨯:()CE DE ⨯．同理有ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯．所以有ABES×CDES=ADES×BCES，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即6ABE S ⨯=7ADE S ⨯，所以有ABE 与ADE 的面积比为7:6，ABE S =7392167⨯=+公顷，ADE S =6391867⨯=+公顷．显然，最大的三角形的面积为21公顷．【答案】21【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】小数报例题精讲任意四边形、梯形与相似模型【解析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【答案】0.58【例 3】 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第7题【解析】 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％＝60(平方厘米)【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？CB【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【答案】1:3【例 4】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．OADC BGH BCDA O【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【答案】2倍【例 5】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【答案】23【例 6】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试题【解析】 连接AD 、CD 、BC ．则可根据格点面积公式，可以得到ABC ∆的面积为：41122+-=，ACD ∆的面积为：331 3.52+-=，ABD ∆的面积为：42132+-=．所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===，所以44123471111ABOABD S S ∆∆=⨯=⨯=+． 【答案】1211【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．D【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ∆=+510277DBC S ∆=⨯=．【答案】107【例 7】 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．ABC DEF GABCDEF G【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】人大附中考题 【解析】 连接EF ．因为2BE EC =，CF FD =，所以1111()23212DEF ABCD ABCD S S S ∆=⨯⨯=．因为12AED ABCD S S ∆=，根据蝴蝶定理，11::6:1212AG GF ==，所以6613677414AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆===⨯=．所以132221477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=-=-==，即三角形AEG 的面积是27．【答案】27【例 8】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【答案】72【例 9】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理可知::BEDBCDEO OC S S=，而14B ED AB C DSS =，12BCDABCDS S =，所以::1:2BEDBCDEO OC SS==，故13EO EC =．由于F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以1128BFD BED ABCD S S S ==，那么1111010 6.2521616BGD BFD ABCD S S S ===⨯⨯=（平方厘米）．【答案】6.25【例 10】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．OM NCBA【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得 31322AOMBON MON AOB S S S S ∆∆∆∆⨯⨯=== 设MON S x ∆=，根据共边定理我们可以得ANM ABM MNC MBC S S S S ∆∆∆∆=，33322312x x ++=++，解得22.5x =． 【答案】22.5【例 11】 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．4B A 543A A4B A 6543A A【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，6年级。

初赛【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ∆一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA ∆的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接63A A 、61B B 、63B A ．设116A B B ∆的面积为”1“，则126BAB ∆面积为”1“，126A A B ∆面积为”2“，那么636A A B ∆面积为126A A B ∆的2倍，为”4“，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A ∆的面积为”6“，123B A A ∆的面积为2．根据蝴蝶定理，12632613:1:6B A B A A B B O A O S S ∆∆===，故23616A OA S ∆=+123127B A A S ∆=，所以23123612::12:1:77A OA A A A A S S ∆=梯形，即23A OA ∆的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米)．【答案】1148【例 12】 如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．NM STDCBAA DN CTSM B【考点】任意四边形模型 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，12题 【解析】 连接MN 、AC 、BD ．由于M 是AB 的中点，所以AMN ∆与BMN ∆的面积相等，而M TB ∆比ASM ∆的面积大1，所以MSN ∆比MTN ∆的面积大1；又由于N 是CD 的中点，所以DMN ∆的面积与CMN ∆的面积相等，那么CTN ∆的面积比DSN ∆的面积大1，所以CTN ∆的面积为9．假设MTN ∆的面积为a ，则MSN ∆的面积为1a +．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知ASD ∆的面积为481a +，BTC ∆的面积为63a ．要使这两个三角形的面积为整数，a 可以为1，3或7．由于ADM ∆的面积为ABD ∆面积的一半，BCN ∆的面积为BCD ∆面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和为四边形ABCD 面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和等于四边形BMDN 的面积，即： 4863697181a a a a +++=+++++，得4863211a a a +=++． 将1a =、3、7分别代入检验，只有7a =时等式成立，所以MTN ∆的面积为7，MSN ∆、ASD ∆、BTC ∆的面积分别为8、6、9．四边形ABCD 的面积为()6789260+++⨯=．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．【答案】60【例 13】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米。