(春季拔高课程)2017_2018年九年级数学第6讲二次函数探究—二次函数与梯形的综合问题教案

知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a）．对于y=a （x －h ）2+k而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 考点2 梯形的性质及判定1. 梯形定义：梯形是指只有一组对边平行的四边形。

平行的两边叫做梯形的底边。

不平行的两边叫腰；两底之间的公垂线段叫梯形的高。

梯形有无数条高。

2. 梯形的性质：①梯形的上下两底平行；②梯形的中位线，平行于两底并且等于上下底和的一半。

③等腰梯形对角线相等。

3. 梯形的判定：①一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。

②一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

4. 常用辅助线①作高（根据实际题目确定）；②平移一腰；③平移对角线；④反向延长两腰交于一点； ⑤取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；⑥取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。

⑦取两腰中点，连接，作中位线。

5. 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

6. 等腰梯形性质：①等腰梯形的两条腰相等。

②等腰梯形在同一底上的两个底角相等。

③等腰梯形的两条对角线相等。

④等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）。

7. 等腰梯形判定：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形；8. 直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

9. 直角梯形的性质：直角梯形有两个角是直角。

10. 直角梯形的判定：有两个内角是直角的梯形是直角梯形。

考点3 探究梯形的一般思路解答梯形的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出梯形的分类标准，具体如下：（1）假设结论成立，分情况讨论。

（2）确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，一般我们会已知三个定点，再寻找另一点来构成梯形时，我们可以先将三个定点连接成三角形，然后过其中一定点作对边的平行线，以此类推的我们会作出三条平行线，而这三条平行线与要寻找点所在的线的交点即为所求的点。

当然有时条件所给的会比较苛刻，比如说让我们寻找的点要满足等腰梯形或是直角梯形的形状，则我们会根据等腰梯形及直角梯形的性质再去寻找。

（3）建立关系式并计算。

要具体情况具体分析，通常情况下我们会利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。

例题精析例1 已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形． ①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．例2如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．例3已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x 轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图2例4 如图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图1课程小结有针对性的对勾股定理、梯形的性质及判定、二次函数的基本知识进行复习，有助于为研究二次函数与梯形的综合问题提供有利的依据。

在探究二次函数与梯形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出梯形，并能运用梯形、等腰梯形或是直角梯形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】（1）直线y ＝3x －3与x 轴的交点为A(1，0)，与y 轴的交点为B(0,－3)． 将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2x ＋c ，得20,3.a c c ++=⎧⎨=-⎩ 解得1,3.a c =⎧⎨=-⎩所以抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －3．对称轴为直线x ＝－1，顶点为(－1,－4)． （2）①如图2，点B 关于直线l 的对称点C 的坐标为(－2,－3)．因为CD//AB ，设直线CD 的解析式为y ＝3x ＋b ，代入点C(－2,－3)，可得b ＝3．所以点D 的坐标为（0，3）．②过点P 作PH ⊥y 轴，垂足为H ，那么∠PDH ＝∠DPE ．由73tan =∠DPE ，得3tan 7PH PDH DH ∠==．而DH ＝7，所以PH ＝3．因此点E 的坐标为（3，6）．所以1()242BDEP S BD EP PH =+⋅=梯形．图2 图3 【总结与反思】1．这道题的最大障碍是画图，A 、B 、C 、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D 、P 两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE 的正切值中的7的几何意义就是D 、P 两点间的垂直距离等于7，那么点P 向右平移到直线x ＝3时，就停止平移．例2【规范解答】（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得2,0,42 1.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得32a =-，72b =，0c =． 所以23722y x x =-+． （2）如图2，过点P 、M 分别作梯形ABPM 的高PP ′、MM ′，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么AM ′＝BP ′，因此yA －y M ′＝yP ′－yB ．直线OC 的解析式为12y x =，设点P 的坐标为1(,)2x x ，那么237(,)22M x x x -+．解方程23712()222x x x --+=，得123x =，22x =．x ＝2的几何意义是P 与C 重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P ．图2 图3（3）如图3，△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK ⊥OD 于K ．设点A ′移动的水平距离为m ，那么OG ＝1＋m ，GB ′＝m ． 在Rt △OFG 中，11(1)22FG OG m ==+． 所以21(1)4OFG S m ∆=+．在Rt △A ′HG 中，A ′G ＝2－m ， 所以111'(2)1222HG A G m m ==-=-．所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=． 在Rt △OEK 中，OK ＝2 EK ；在Rt △EHK 中，EK ＝2HK ； 所以OK ＝4HK ．因此4432332OK OH m m ==⨯=．所以12EK OK m ==．所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=． 于是22213111(1)44224OFG OEH S S S m m m m ∆∆=-=+-=-++2113()228m =--+．因为0＜m ＜1，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38．【总结与反思】1．如果四边形ABPM 是等腰梯形，那么AB 为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB 边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，可以通过割补得到，即△OFG 减去△OEH ．3．求△OEH 的面积时，如果构造底边OH 上的高EK ，那么Rt △EHK 的直角边的比为1∶2．4．设点A ′移动的水平距离为m ，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m 表示．例3【规范解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(4)y a x k =-+，代入A （2，0）、C(0，12) 两点， 得40,1612.a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =⎧⎨=-⎩ 所以二次函数的解析式为22(4)4812y x x x =--=-+，顶点P 的坐标为（4，－4）．（2）由2812(2)(6)y x x x x =-+=--，知点B 的坐标为（6，0）．假设在等腰梯形OPBD ，那么DP ＝OB ＝6．设点D 的坐标为(x ，2x)．由两点间的距离公式，得22(4)(24)36x x -++=．解得25x =或x ＝－2． 如图3，当x ＝－2时，四边形ODPB 是平行四边形．所以，当点D 的坐标为(52，54)时，四边形OPBD 为等腰梯形．图3 图4 图5（3）设△PMN 与△POB 的高分别为PH 、PG ．在Rt △PMH中，PM ，PH MH t ==．所以'24P G t =-．在Rt △PNH 中，PH t =，1122NH PH t ==．所以32MN t =． ① 如图4，当0＜t ≤2时，重叠部分的面积等于△PMN 的面积．此时2133224S t t t =⨯⋅=． ②如图5，当2＜t ＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN 的面积减去△P ′DC 的面积． 由于2''P DC PMN S P G S PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，所以222'2433(24)44P DC t S t t t -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭△． 此时222339(24)1212444S t t t t =--=-+-． 【总结与反思】1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO 的中点． 例4【规范解答】（1）因为OC ＝1，△ABC 的面积为45，所以AB ＝25． 设点A 的坐标为（a ，0），那么点B 的坐标为（a ＋25，0）． 设抛物线的解析式为)25)((---=a x a x y ，代入点C （0，－1），得1)25(-=+a a ．解得21-=a 或2-=a ．因为二次函数的解析式q px x y ++=2中，0<p ，所以抛物线的对称轴在y 轴右侧．因此点A 、B 的坐标分别为)0,21(-，)0,2(． 所以抛物线的解析式为123)2)(21(2--=-+=x x x x y ． （2）如图2，因为1=⋅OB OA ，12=OC ，所以OB OC OC OA =．因此△AOC ∽△COB ． 所以△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB ．因此m 的取值范围是45-≤m ≤45．图2 图3 图4（3）设点D 的坐标为))2)(21(,(-+x x x ．①如图3，过点A 作BC 的平行线交抛物线于D ，过点D 作DE ⊥x 轴于E ．因为OBC DAB ∠=∠tan tan ，所以21==BO CO AE DE ．因此2121)2)(21(=+-+x x x ．解得25=x ．此时点D 的坐标为)23,25(．过点B 作AC 的平行线交抛物线于D ，过点D 作DF ⊥x 轴于F ．因为CAO DBF ∠=∠tan tan ，所以2==AO COBF DF．因此22)2)(21(=--+xx x ．解得25-=x ．此时点D 的坐标为)9,25(-． 综上所述，当D 的坐标为)23,25(或)9,25(-时，以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形． 【总结与反思】1．根据△ABC 的面积和AB 边上的高确定AB 的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示．2．数形结合，根据点A 、B 、C 的坐标确定OA 、OB 、OC 间的数量关系，得到△AOC ∽△COB ，从而得到△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AB 是它的外接圆直径，再根据对称性写出m 的取值范围．3．根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D 有两个，但是求点D 的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些．。