三角形的三条重要线段[下学期]--旧人教版
三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
三角形中的三种重要线段
03
确定角平分线
中垂线与三角形的一边和 相对的角平分线垂直，因 此可以利用中垂线来确定 三角形的角平分线。
确定高线
中垂线与三角形的一边垂 直，因此可以利用中垂线 来确定三角形的高线。
确定中点
中垂线与三角形的一边平 行，因此可以利用中垂线 来确定三角形的中点。
中垂线的性质
垂直平分线的性质
中垂线是三角形一边的垂直平分线，因此它具有垂直平分线的性质，即中垂线上的点到 三角形的两个端点的距离相等。
三角形中的三种重要线段
contents
目录
• 三角形中的中线 • 三角形中的高线 • 三角形中的角平分线 • 三角形中的中位线 • 三角形中的中垂线
01
三角形中的中线
中线的定义
总结词
三角形中线的定义是连接三角形的一 个顶点与对边中点的线段。
详细描述
在三角形中，中线是连接一个顶点与 对边中点的线段。对于任意一个顶点 ，都可以作出一条中线，且该中线将 对应的底边分为两等分。
中线在三角形中的作用
总结词
中线在三角形中起到稳定结构、简化图形和辅助证明等作用。
详细描述
中线在三角形中具有多重作用。首先，它有助于稳定三角形的结构，因为中线将底边分为两等分，使得三角形的 形状更加稳定。其次，中线可以简化复杂的几何图形，通过将图形划分为更易于处理的部分，有助于问题的解决。 此外，中线还常常作为辅助线用于证明三角形中的一些性质和定理。
中线的性质
要点一
总结词
中线具有平行于第三边、长度为第三边一半等性质。
要点二
详细描述
根据中线的定义和性质，我们可以得出以下几点：首先， 中线平行于三角形的第三边，即中线与对应的底边平行； 其次，中线的长度是第三边长度的一半，即中线的长度等 于$frac{1}{2}$倍的底边长度；最后，中线将对应的底边分 为两等分，即中点是底边的中点。这些性质在几何证明和 解题过程中具有广泛应用。
三角形的重要线段知识整理
三角形的重要线段知识整理三角形的世界其实比你想象的要有趣得多，尤其是那些藏在它内部的“重要线段”。
你可能觉得，哎呀，这些东西就是简单的线条嘛，有啥了不起？别看它们看上去普通，个个都有着非凡的使命哦！我们就一起来“揭秘”一下这些神秘的三角形线段，搞清楚它们到底有啥作用，真的是一学就会，一用就灵。
咱得聊聊最基础也是最重要的——三角形的“高”。
要是你想要量三角形的“身高”，这条线段可就要派上用场了。
三角形的高，从顶点垂直下降到对边，就是它的“身高”。
别看它垂直下来的这么简简单单，实际上一旦找对了这个点，你就能很轻松地算出三角形的面积。
是不是很酷？就像你量身高一样，一测就知道。
高的作用，可不止这个哦！它还是一些几何问题中的关键，很多时候，它就像是你在解谜时的“万能钥匙”。
要是没有它，很多难题可能就不好解决了。
然后说到“中线”，很多人可能一听这名字就有点迷糊，“中线？是指中午的线？”嘿嘿，别逗了！中线是从三角形的一个顶点，直接连到对边的中点。
如果你把三角形的每条边的中点都连起来，你就会发现一个奇妙的现象——这些中线交汇的地方，居然能将三角形分成六个完全相等的区域！这简直就是三角形的“中心思想”，就像你找到了三角形的心脏一样。
说到这，你是不是有点佩服这个三角形了？它的每个部位都有着严密的联系，简直就像一台精密的机器。
再来说说“角平分线”。
一提到角平分线，大家脑袋里肯定就会冒出一个问题：“这不是说把一个角一分为二吗？”对！你没听错，角平分线就是把一个角“分成两半”的那条线。
它不仅仅是分割角度那么简单，更厉害的是，它会把三角形的边分成一种特定的比例。
换句话说，角平分线就像是一个“神奇的分割大师”，它帮助你精确地把边分割成合适的比例，这可不是随便谁都能做到的哦。
你想象一下，角平分线就像是在三角形里找到了最佳的平衡点，它是一个“调和大师”，让整个三角形变得更加和谐。
再看看“重心”这个家伙，它可不是我们平常意义上的“重心”哦。
三角形的三线指的是哪三线(二)
三角形的三线指的是哪三线（二）引言概述：在数学几何中，三角形的三线是指三角形内部经过某个特定点的三条线段。
这三条线段分别是三角形的垂心连线、重心连线和外心连线。
本文将详细介绍这三条线段的定义、特性和应用。
正文：一、垂心连线垂心连线是指从三角形的每个顶点垂直于对边所得的线段。
具体的小点包括：1. 垂心的定义和性质2. 垂心连线的长度和角度特性3. 垂心连线与三角形内角的关系4. 垂心连线的几何意义5. 垂心连线的应用案例二、重心连线重心连线是指由三角形的每个顶点与对边中点所连成的线段。
具体的小点包括：1. 重心的定义和性质2. 重心连线的长度和角度特性3. 重心连线与三角形内角的关系4. 重心连线的几何意义5. 重心连线的应用案例三、外心连线外心连线是指三角形顶点与外接圆圆心所连成的线段。
具体的小点包括：1. 外心的定义和性质2. 外心连线的长度和角度特性3. 外心连线与三角形内角的关系4. 外心连线的几何意义5. 外心连线的应用案例四、三线共点定理三线共点定理指的是三角形的垂心、重心和外心连线交于同一点。
具体的小点包括：1. 三线共点定理的证明和解释2. 三线共点定理的几何意义3. 三线共点的应用案例五、三线与其他几何属性的关系三线与其他几何属性存在着一定的关系，比如与旁心连线、内切圆圆心连线等。
具体的小点包括：1. 三线与旁心连线的关系2. 三线与内切圆圆心连线的关系3. 三线与其他特殊点的关系4. 三线与三角形面积、周长等属性的关系5. 三线与三角形相似性和共线性的关系总结：三角形的三线指的是垂心连线、重心连线和外心连线。
这三条线段具有特定的定义和性质，在几何学中有着重要的地位和应用。
通过研究三线的长度、角度和关系，我们可以深入了解三角形的特性以及与其他几何属性的关联，从而在数学问题的解决中有所应用。
三角形的三条重要线段PPT课件
04
典型例题分析与讲解
中线相关例题分析
解题思路
利用中线性质，将AD与AB、 AC的长度联系起来，通过不等 式求解。
解题思路
通过构造平行线，利用中线与 平行线的关系证明三线交于一 点。
例题1
已知三角形ABC中，D为BC中 点，AD为中线，求AD的长度 范围。
知识点
中线定义及性质，三角形不等 式。
知识点
绘制锐角三角形、直 角三角形和钝角三角 形
利用不同颜色或线型 区分三条线段，增强 视觉效果
在每个三角形中标出 角平分线、中线和高 线
测量和比较不同类型三角形中各条线段长度
使用测量工具（如直尺、量角 器等）测量各条线段的长度
比较同一三角形中不同线段长 度，观察规律
比较不同三角形中相同类型线 段的长度，分析差异原因
02
三角形中的三条重要线段
中线定义及性质
01
02
03
定义
连接三角形任意两边中点 的线段叫做三角形的中线。
性质
三角形的中线平分三角形 的面积，即三角形的面积 被中线分为两个相等的部 分。
应用
中线常用于解决与三角形 面积、重心有关的问题。
角平分线定义及性质
Байду номын сангаас定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做角的平分线。
距离和高度差。
03
日常生活
在日常生活中，许多物品的形状和结构都与三角形及其线段有关，如自
行车支架、相机三脚架等。了解这些性质有助于我们更好地理解和利用
这些物品。
THANKS
感谢观看
04
例题2
在三角形ABC中，角A的平分线AD与 BC交于点D，求证：三角形ABD与三 角形ACD的面积之比等于BD/CD。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。
三角形的三条重要线段
9.1认识三角形（2）——三角形的三条重要线段．一、教学目标：1．理解并掌握三角形的角平分线、中线与高的概念；2．能准确的画出这三种线，特别是钝角三角形的高；3．从实践中总结得出三角形的三条高所在直线、角平分线、中线分别都交于一点的结论．二、教学重、难点：重点：理解并掌握三角形的角平分线、中线与高的概念；能准确的画出这三种线，特别是钝角三角形的高；难点：从实践中总结得出三角形的三条高所在直线、角平分线、中线分别都交于一点的结论．三、教学方法：讲授法四、学习方法：自学、互学五、课时：1六、教学过程：知识点：1．三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．2．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：三角形的中线，角平分线，高线都是线段．例 1 下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个锐角三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高．CBACBACBA作出中线作出角平分线作出高把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，再试一试．你发现了什么？总结：1．三角形的三条中线、三条角平分线和三条高（或所在的直线）分别都交于；2．锐角三角形三条高的交点在三角形；直角三角形三条高的交点就是；钝角三角形有两条高位于三角形，三条高所在的直线．．．．．交于一点，交点在三角形．例2 如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC．试画出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？CBA例3 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD=6cm，BE=3cm，求△ABC和△ACE的面积．一级学习任务：1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）不能确定2．下列说法错误．．的是（）（A）三角形的三条角平分线交于一点．（B）三角形的三条中线交于一点．（C）三角形的三条高交于一点．（D）三角形的三条高所在的直线交于一点．3．把三角形的面积分为相等的两部分的是（）（A）三角形的角平分线（B）三角形的中线（C）三角形的高（D）以上都不对二级学习任务：4．在一个直角三角形中画出斜边上的中线，先观察一下图形中有几个等腰三角形，再用刻度尺验证你的结论．七、板书设计：八、教学反思：CDE。
第2讲 三角形中重要的三条线段
考点1 三角形中重要的三条线段 1．三角形的高：从三角形的一顶点向它所对的边画垂线，垂 足点和顶点的线段. （顶点到垂足点间的距离） 2.三角形的中线：连接三角形的一顶点和它所对的边 的中点，所得线段.（顶点到对边中点间的距离）
3、三角形的角平分线： 画三角形一内角平分线，交 它所对的边于 一点，所得线段（顶点到内角平分线 和对边交点间的距离）
综上所述，AB边上的高CD的长是4或
或
.
变式练习：1.已知等腰⊿ABC中，AD ⊥BC于点D，且 AD= BC.则⊿ABC的底角度数为 __________ 15 °或45 °或75 ° 变式练习： 2.（2015黄冈）在△ ABC ,AB=13cm,AC=20cm,BC 边上的高为12cm,则△ABC 的面积为__________cm2. 变式练习：3.在⊿ABC中， AD ⊥BC， BE ⊥AC,BC=12， AC=8，AD=6,求BE的长.
解：分别取AC，BC的中点D，E， 连接DE，并量出DE的长，则AB=2DE. 根据三角形的中位线平行于三角 形的第三边，且等于第三边的一半.
又S△ABD= S△ACD ∴ S△AOF+ S△BOF + S△BOD = S△AOE+ S△COE,+ S△COD ∴ △AOF= S△BOF ∴ SS △AFO= S△AOE 同理可得S△AOF= S△BOF = S△BOD = S△COD = S△COE =S△AOE
∴S△BOD=
S △ABC=6 ㎝2
A
E
B D
C
9
考题 2 三角形的中线平分三角形的面积
【方法点拨】利用三角形的中线平分三角形面积的性质求解.
例2.如图， △ABC的周长为18㎝，BE、CF分别为AC、 BC边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交 BC于点D，且AF=3 ㎝，AE=2 ㎝,S △ABC=36 ㎝2. （1）求BD的长，（2）求S △BOD的值.
(课件)三角形中三条重要的线段
三角形有三条高，分别对应三个顶点。
高在几何问题中的应用
在求解三角形面积时，高是一个 重要的参数。
在解决与三角形相关的几何问题 时，高常常与其他线段、角等元
素一起使用。
高可以用于证明某些几何定理， 如塞瓦定理等。
高与其他线段的联系
在特定条件下，高可以转化为其他线段，如直角三角 形中的高可以转化为斜边上的中线。
垂线与三角形的关系
垂足
垂线与对边相交的点称为垂足。
三角形的高
从顶点垂直到对边的线段被称为三角形的高。
垂线在几何问题中的应用
面积计算
利用垂线可以计算三角形的面积，通 过将底边与对应的高相乘再除以2。
三线合一
直角三角形中的勾股定理
在直角三角形中，斜边的垂线将直角 三角形分为两个小的直角三角形，可 以利用勾股定理进行证明和应用。
(课件)三角形中三条 重要的线段
目 录
• 三角形的中线 • 三角形的角平分线 • 三角形的垂线 • 三角形的中位线 • 三角形的高的性质
01
三角形的中线
定义与性质
定义
连接三角形一边的中点和相对顶 点的线段称为三角形的中线。
性质
中线将三角形分为面积相等的两 部分，且中线长度为对应底边的 一半。
中线与三角形的关系
中位线将三角形划分为两个等腰三角 形。
中位线将三角形划分为两个相似的小 三角形。
中位线在几何问题中的应用
利用中位线定理求三角形的边长 。
利用中位线定理证明三角形中的 一些性质。
利用中位线定理解决一些几何问 题，如面积问题、角度问题等。
05
三角形的高的性质
高与三角形的关系
三角形的三线是哪三(二)2024
三角形的三线是哪三（二）引言概述：三角形的三线是指三角形的三个特殊线段，即三垂线、三中线和三角形的两个角平分线。
这些特殊的线段在三角形中具有重要的几何性质和关系。
本文将详细介绍三角形的三线是哪三，并探讨它们的特点和应用。
正文：1. 三垂线：- 定义和特性：三垂线分别由三角形的三个顶点向对边作垂直线段所得。
它们交于一个点，称为三角形的垂心。
- 线段比例关系：三垂线上的线段具有特殊比例关系，即任意两垂线上的线段比例相等。
- 垂心的性质：垂心到三个顶点的距离相等，且垂心到三个顶点所在直线的距离也相等。
- 应用举例：三垂线的交点垂心可以用来证明一些重要的几何定理，如欧拉定理和垂心四边形性质等。
2. 三中线：- 定义和特性：三中线分别连接三角形的三个顶点与对边中点，并交于一点，称为三角形的重心。
- 重心的性质：重心将三角形的每条中线分成两部分，且其中一部分的长度是另一部分的二倍。
- 重心与三个顶点的关系：重心到三个顶点的距离满足一定的比例关系。
- 应用举例：三中线与三角形的其他元素（如内接圆、内切圆）之间存在一些有趣的关系，可以用来证明三角形的一些性质。
3. 三角形的两个角平分线：- 定义和特性：三角形的两个角平分线分别由一个角的顶点分别向对边的两个角平分点作垂直线段所得。
它们的交点称为角平分点。
- 角平分线的性质：角平分线与对边一起构成一组相似三角形，且角平分点到三个顶点的距离满足一定的比例关系。
- 角平分点的性质：角平分点到对边的距离相等，且角平分点到三个顶点所在直线的距离也相等。
- 应用举例：角平分线的性质可以用来证明一些角度和边长的比例关系，以及角平分线定理等。
4. 三线的关系与性质：- 三线共点定理：三垂线、三中线和两个角平分线的交点共线，并且该点称为三角形的费马点或第一等心点。
- 三线的对偶定理：三垂线和两个角平分线的中垂线与三中线相交于同一点。
- 三线长度的性质：三垂线长的和等于三中线长的一半，而垂径长的和等于中线长的两倍。
认识三角形三角形的三条重要线段知识讲解20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练北师大版
专题4.5 认识三角形-三角形的三条重要线段（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段；2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算；3. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【知识点梳理】知识点一、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如图一，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.图一 图二注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：如图二（1）三角形的高是线段；分别为AD 、BE 、CF 。
（2）三角形有三条高，且相交于一点H ，这一点H 叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.(4),AD BC AC BE AB CF == 三角形具有等积性，即通过此等式常常用于求线段的长。
(5)===EHC BAC DHC ABC BHD ACB ∠∠∠∠∠∠角的等量关系：；；；⇔知识点二、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD＝BC.图三图四特别说明：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四：ADB ADC BEC BEA CFB CFAS S S S S S D D D D D D =====知识点三、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.图五 图六注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .特别说明：21⇔21（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线；图七知识点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的高线（1）、三角形高线的画法1（2019·辽宁大连市·七年级期末）如图，已知ABC D ，画出ABC D 的高AD 和CE．解：如图，AD 、CE 为所作．【点拨】作三角形高线的方法：作一边上的高，就过这边所对的角的顶点作这边所在直线的垂线段。
把握三角形的三条主要线段
把握三角形的三条主要线段三角形的高线、中线和角平分线简称三角形的“三线”，它是三角形的三条主要线段，同学们在学习时应该注意：一、弄清概念1、三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
注意把握以下几点：（1）三角形的中线同样也是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对边上。
它既不是射线，也不是直线；（2）中线平分一条边；（3）它有3条中线，不论三角形的形状如何，3条中线交点都交于三角形内部。
2、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
学习时应把握：（1）它是一条线段，并且有一个短点是三角形的一个顶点，另一个短点在对边上，它不同于角平分线，角平分线是一条射线；（2）角平分线平分一个内角；（3）三角形有3条角平分线，其交点在三角形内部。
3、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
学习高时应把握：（1）它是线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个短点在对边或对边的延长线上；（2）高线垂直于一条边所在的直线；（3）一个三角形有3条高，这三条高的位置根据三角形的形状而定。
锐角三角形的3条高都在它的内部，并且交于一点；直角三角形有一条高在三角形的内部，即是直角三角形斜边上的高，另外两条边上的高为直角三角形的两条直角边，它的交点位于直角三角形顶点处；钝角三角形有一条边上的高在三角形的内部，它是最长边上的高，另外两条较短边上的高则在三角形的外部，并且3条高的交点在三角形外部。
如图1所示。
（4）画三角形的高，这个问题对大家来说，并不容易，有些同学经常画错或不能从容画得。
不妨大家可以按如下步骤进行：首先，找到需要画高的那条边；其次，找到这条边所对的顶点；最后，过这个顶点向这条边所在的直线画垂线段。
注：垂足落在要画高的边上或边的延长线上。
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于BC于D,AE是角平分线 ⑥垂心(三条高的交点） B
E D
C
例1 如图：△ABC中，∠A=90°AB=AC=BE，E是 BC上一点，DE⊥BC，如果BC=10cm，那么△DEC 的周长是_______cm
A D B E C
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°∠ACB=70°，求∠BOC的度数 解（1）∵点O是△ABC的内心，
1 ∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 ° 21 2
A
O
B
C
同理 ∠OCB= ∠OCA=
∠ACB=35 °
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 °
（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 130 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 20 度。
2 B
C
∠A
I A I
思考：如何进行证明 ⑤一内角和一外角平分线的夹角 ∠BIC=
1 2
∠A
思考：如何进行证明 ⑥内心(三条角平分线的交点)
B
C
E
3高线
① ∵ AD是△ ABC的高线 ∴ ∠ADC=90°
A
②高线的位置
锐角三角形：高在三角形的内部。 B 直角三角形：两高恰好是三角形的两边， 另一高在三角形的内部。 钝角三角形：两高在三角形的外部，另 一高在三角形的内部
＝
1 2
C
２角平分线
①∵ AD是 △ ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD
②角平分线的性质定理
AB AC
A
B
D
C
＝ BD
DC
B E
I
思考：如何进行证明 ③两内角平分线的夹角
∠BIC=90 ° + 1
2∠AA源自DC思考：如何进行证明
⑤⑥⑦⑧⑨⑩
A
２角平分线
④两外交平分线的夹角 ∠BIC=90 ° - 1
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
1 1 = 180 °－（ 90 ° － 2∠A ）= 90 °+ 2 ∠A
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神蛊的封印完成，夜弑天等人收回神力和精神力，各自松了一口气，而夜北冥则陷入了沉睡，原本按照夜北冥无上级的精神力是不会被造梦铃影 响导致昏睡的地步，但谁让刚刚心脏里的一场混战让夜北冥消耗过大呢。第007章 离开前的准备（一）在幽冥城城主的庄园最东边，有一处人烟 稀少但美如仙境的地方，空中飞舞着各种各样的灵鸟和飞虫，遍地都是绿草和各色的鲜花，花叶上还有晶莹的露珠，安静而美好，就在这时，一 道紫色的身影飞快的从空中飞过，破空的气流使花叶上的水珠一滴滴的滑落，只见那道身影飞进了一处山洞，然后落在了躺在白玉石床上的夜北 冥身旁，看着夜北冥闭着眼睛的模样，啾啾的叫了两声，看夜北冥还是没有睁眼，于是伸出自己粉色的舌头舔了舔夜北冥的脸颊，然后睁着它那 双黑曜石似的水灵灵的大眼睛，又啾啾的叫了两声，看着夜北冥没有任何动静，于是将自己软软的小小的团子似的小身子挤进了夜北冥胸前的衣 服，然后转身看着夜北冥沉睡的脸，慢慢的闭上了黑色大眼睛，一人一宠物双双在这处山洞睡着。隐约感觉到胸前有重物的夜北冥睁开了闭了整 整三天的眼睛，眼前还是一片黑暗，夜北冥很淡定的坐起身，精神力一蔓延就发现自己在以前经常修炼的石洞里，自己身下的这张白玉石床是师 傅花玄月在能量原石矿脉里发现的能量晶石，能量晶石比能量原石更为稀有珍贵，一条原石矿脉能有眼珠大小的能量晶石就能遭到世间所有的能 人异士的哄抢，更不要说夜北冥身下这一大块的能量晶石被当做床来使用，能量晶石之所以珍贵受到所有修炼者的喜爱是因为它能源源不断的制 造出供修炼者修炼提升玄力和精神力的能量，夜北冥因为之前体内弑神蛊的封印，精神力和神力消耗过大，于是花玄月让夜弑天将夜北冥抱到她 修炼室里的能量晶石上面进行恢复，再加上因为造梦铃对夜北冥的使用，所以夜北冥最少会沉睡三天三夜，千菱子旭哭着要留在夜北冥身边说要 日夜照顾她，夜弑天看不过去爱夫的眼泪，于是打晕带走，看千菱子旭的样子给夜北冥亲手洗澡的心都有了，就算夜北冥是千菱子旭亲生的孩子， 但再亲生都是异性，夜弑天绝对不会承认她这是吃醋了，笑话，自己的爱夫可从来没有这样对自己掉过如此多的眼泪，虽然自己也舍不得千菱子 旭掉眼泪。夜北冥从自己胸前掏出睡得正香的焱，放在手心摸着它身上光滑的软毛，既然焱回来了，就说明地图也带回来了，自己也是时候从自 己暗中培养的势力中挑人陪同自己到低位面去隐藏起来了，既然敌人在暗中，那么自己也隐藏到暗处去，到时候她们找不到我，自然会浮现出水 面，她们一露头就是我展开报复的时候了，夜北冥如是的想着。揉醒自己手里的宠物，焱睁开睡意朦胧的大眼睛，啾啾的疑问的对
A
F E B A E A B F D C E D
C
C
D
B
C
3高线
③面积相等。写出关系式 ④两高线的夹角
例： 在斜三角形中∠A=45° ， BD垂直于AC于D,CE垂直于AB 于ED点,求BD、CE之间的夹角 反思：为什么会出现漏解现象？
A
⑤一高线和一角平分线的夹角。
例 ：已知△ABC中，AB>AC,AD垂直
山亭育才中学
翟夫连
1中线
① ∵ AD是△ ABC的中线 ∴ BD=CD B ② S△ABD =S△ADC (等底同高） ③中线的取值范围
AB－ＡC <AD <
A
D
AB＋ＡC
C
2 2 常用的辅助线（见中线加倍延长构造全等三角形）
1中线
④重心（三条中线的交点）
AG CG
A E B D
G
⑤比例
GD
＝
GE
A
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。 O
1 答： ∠BOC =90 ° + ∠A 2
理由： ∵点O是△ABC的内心，
B
C
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = 2 （∠ABC+ ∠ACB） 1 1 = （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
2 2
1 1 ∴ ∠OBC= 2 ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB 2 1