三角形中几条重要线段.
第3课时 三角形中几条重要线段 教案2024-2025学年沪科版八年级数学上册
《13.1.3三角形中几条重要线段》教学设计教学内容分析本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
本节内容是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础。
故学好本节内容是十分必要的。
因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
学习者分析学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.教学目标 1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线；2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质；3.明确重心的概念；4.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯；5.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识。
教学重点理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.教学难点钝角三角形高线的画法.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：如图，在△ABC中，一动点D在BC边上移动，从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形学生活动1：学生观察图片，动脑思考，并积极回答.成的无数条线段中，有没有特殊位置的线段?今天，我们一起来认识三角形中几条特殊的线段!活动意图说明：通过展示图片，引发学生思考，引出这节课要学的内容，调动学生学习的积极性. 环节二：三角形中的特殊线段教师活动2：角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE 就是△ABC的一条中线．高线：学生活动2：学生听教师讲解，理解三角形中的特殊线段。
三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
沪科版数学八年级上册13.1.3三角形中几条重要线段课件(共26张PPT)
钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°.因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，所以∠B＝50°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.
练一练
解：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.
例如：（1）整数和分数统称有理数； （2）同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； （3）三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
练一练
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
7cm
解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ， △ADC的周长＝ AC + DC + AD ， 所以△ABD的周长-△ADC的周长＝（ AB+BD+ AD ）-（ AC + DC + AD ）＝ AB-AC=2cm.又因为AC＝5cm，所以AB＝7cm.
AB
BC
BD
钝角三角形的三条高
问题： 画出钝角三角形的三条高，钝角三 角形的三条高又有怎样的位置关系吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点，钝角三角形的三条高所在直线交于一点
归纳
三角形
高及高的交点的位置
图示
初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结
初中三角形总复习【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。
4.⋅S SABE∆基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C例3. 如图，已知：在∆ABC 中，AB AC ≤12，求证：∠∠C B <12。
八年级数学上册 13.1.3 三角形中几条重要线段说课稿 (新版)沪科版
三角形中几条重要线段一、说教材（一）教材的地位和作用本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。
通过学习作图、观察与探究，会发现三角形的三条高所在的直线、三条角平分线、三条中线都各自交于一点，这为以后三角形的内心、重心等知识的学习打下一定的基础，另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的垫脚石。
故学好本节内容是十分必要的。
因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
（二）教学目标分析本节课的教学设计力图体现“尊重学生，注重发展”的教学理念，着重培养和发展学生基本作图能力、语言表达能力、观察能力等，根据这一目的确定本节教学目标为：二、说教法1、情境创设法利用人字型屋顶钢架的中柱，三角形状的风筝骨架等，引出三角形中的特殊线段，使数学能密切联系实际体现知识的形成和应用过程。
以实际问题为出发点和归宿，更能贴近学生生活，体现由具体到抽象再到具体的过程，以激发学生对学习本节内容的求知欲，培养他们运用所学知识解决问题的能力。
2、加强新旧知识的联系三角形的高、中线、角平分线与已学过的垂线、线段的中点，角的平分线有关，讲解时将新旧知识融合贯通，既利于学生掌握新知，又可帮他们形成一定的知识体系，进一步丰富了学生对图形的认识和感受。
3、加强学生学习的主动性与探究性在课堂中要充分调动学生自主学习的潜能，让他们自由探究图中的发现，从而发展他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦。
沪科版-数学-八年级上册-13.1.3 三角形中几条重要线段 教案
13.1.3 三角形中几条重要线段教学目标：知识与技能1.经历折纸，画图等实践过程认识三角形的高、中线、角平分线.2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线，通过画图了解三角形的三条高（及所在直线）交与一点，三角形的三条中线，三条角平分线等都交于一.过程与方法在探索三角形的高中线角平分线的过程中，让学生经历观察试验推理交流等活动，培养学生的空间观念和推理能力.情感、态度与价值观在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的沟通能力.教学重点：三角形的高，中线，角平分线的概念，并了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点教学难点：三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别，钝角三角形的高的画法. 教学过程：一、导入新课问题1 数一数，图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.问题2 利用长为3.5.6.9的四条线段可以组成几个三角形？为什么？问题3 利用△ABC的一条边长为4cm，面积是24cm2这两个条件，你能求出什么结论？二、自学指导1.自学课本；2. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做三角形的中线.三角形三条中线交于一点，这个点就是三角形的重心.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.设计意图：通过设置富有阶梯形的自学指导，引导学生自主学习，发现问题，解决问题.注意事项：教师出示自学指导，让学生自学课，理解什么是三角形的高？什么是三角形的中线？什么是三角形的重心？什么是三角形的角平分线？三、自学检测1.过点A分别画下列三角形的高，中线，角平分线.2.上述三个图形中的∠B有什么不同？这三个三角形的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？设计意图：第1题着重考查学生的绘图动手能力；第2题着重对三角形三边关系的高进行分类汇总，总结规律.注意事项：第2题有一定难度，特别是钝角三角形，要在关键点对学生进行点拨.四、合作探究1. 如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．【答案】∵∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣110°=40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×40°=20°，∵∠B=30°，AD是BC边上高线，∴∠BAD=90°﹣30°=60°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣20°=40°．2.如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？【答案】（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED=14S△ABC=14×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．设计意图：老师大胆放手，学生分组合作探究，每个小组讨论完成后，给出答案并进行展示，让学生上台说明，培养学生总结能力，积极发言的良好习惯注意事项：在合作探究环节中，教师要关注学生在展示过程中出现的问题，并及时予以点拨.五、课堂小结问题1 本节课你学习了什么？问题2 本节课你有哪些收获？问题3 通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？设计意图：以上三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，进一步进行反思、提炼及知识的归纳，并纳入自己的知识结构中；注意事项：（1）每个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线.（2）三角形的三条高所在的直线交于一点，且锐角三角形的高交于三角形的内部，直角三角形在直角的顶点，钝角三角形在三角形外。
三角形中几条重要线段 观课报告
三角形中几条重要线段观课报告一、中线：中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，中线可以分为三条：从顶点A到对边BC的中点M的线段AM，从顶点B到对边AC的中点N的线段BN，以及从顶点C到对边AB的中点P的线段CP。
中线具有以下性质：1. 三条中线交于一个点，称为三角形的重心G。
重心G是三角形内部的一个点，它到三角形的三个顶点的距离相等，即GA=GB=GC。
2. 重心G将每条中线划分为两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。
例如，在三角形ABC中，若AG=2GM，则BG=2GN，CP=2PG。
3. 重心G将三角形划分为六个小三角形，这些小三角形的面积相等。
这意味着三角形ABC的面积等于三角形AGB、三角形BGC和三角形CGA的面积之和。
二、角平分线：角平分线是指从一个三角形的顶点出发，将对角划分成两个相等的角的线段。
对于任意三角形ABC，角平分线可以分为三条：从顶点A 出发，将角BAC平分成两个相等的角的线段AD，从顶点B出发，将角ABC平分成两个相等的角的线段BE，以及从顶点C出发，将角ACB平分成两个相等的角的线段CF。
角平分线具有以下性质：1. 三条角平分线交于一个点，称为三角形的内心I。
内心I是三角形内部的一个点，它到三角形的三个边的距离相等，即IA=IB=IC。
2. 内心I将每条角平分线划分为两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。
例如，在三角形ABC中，若AD=2DM，则BE=2EN，CF=2FN。
3. 内心I到三角形的三个顶点的连线与三角形的三条边相交于三个点，分别为D、E和F。
这些点将三角形划分为三个小三角形，这些小三角形的面积之和等于三角形ABC的面积。
三、高线：高线是从一个三角形的顶点，垂直地与对边相交的线段。
对于任意三角形ABC，高线可以分为三条：从顶点A出发，垂直于对边BC的线段AH，从顶点B出发，垂直于对边AC的线段BK，以及从顶点C 出发，垂直于对边AB的线段CL。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。
初中八年级数学教案-《三角形中几条重要线段》-优秀奖
教学设计织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中把握三大概念。
2学法课前进行预习，明确学习目标，了解所需掌握的知识，课上在教师的组织、引导、点拨下折纸和画图形等实践过程等活动，从而真正理解和掌握三角形的高、中线与角平分线等概念。
五、教学重点及难点教学重点：理解三角形的高、中线及角平分线概念及画法。
教学难点：钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系。
六、课时设计：1课时教学过程教师活动学生活动预设设计意图一、知识回顾：出示课件，结合图形回顾已学知识：1垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。
3角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
4 同学们还记得“过一点画已知直线的垂线”的作法吗画法（提问演示）学生回答回顾旧知识，为本节课学习三角形中几条重要线段作铺垫。
二、探究新知探究一：三角形的高让学生找出概念，然后探究以下问题：1出示课件，先演示画三角形的一条高后提问：学生动手操作，先独立思考后与同桌相互交流让学生通过观察、归纳、总结出三角形高三、课堂练习1、下图作三角形中的高正确的是（ ）2、在❒ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若❒ABC 的面积是4，则❒ABD 的面积为3、角平分线的理解：∵BE 是△ABC 的角平分线 ∴ = =21∠ABC ∵CF 是△ABC 的角平分线 ∴∠ACB= =学生独立完成解答，教师提问学生对本节知识进行巩固练习，学以致用四、课堂小结1、谈谈本节课学习了什么内容2、你有什么收获学生畅所欲言，谈谈本节课学到了哪些知识， 需要注意什么问题。
师生互相交流本节课的内容及应用需要注意的问题。
三角形的“三线”(一)
三角形的“三线”（一）引言概述:在几何学中，三角形是一种常见的图形，由三条边和三个角所确定。
而在三角形的研究中，有三条特别重要的线段，它们被称为三角形的“三线”。
这三条线分别是：三角形的中线、三角形的角平分线和三角形的高线。
本文将对这三条线段进行详细的阐述和解释。
正文:第一节: 三角形的中线1. 中线的定义: 三角形的中线是连接三角形一个顶点与该顶点对边中点的线段。
2. 中线的性质:a. 中线互相平分: 三角形的三条中线互相平分。
b. 中线长度关系: 三角形的中线长度满足中线长度的关系公式。
c. 重心: 三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。
d. 重心的性质: 重心到各顶点的距离与中线的长度成正比。
第二节: 三角形的角平分线1. 角平分线的定义: 三角形的角平分线是从三角形一个顶点出发，将该顶点的相邻两个角平分的线段。
2. 角平分线的性质:a. 角平分线相交于内切圆心: 三角形的三条角平分线交于一点，该点是三角形内切圆的圆心。
b. 角平分线长度关系: 三角形的角平分线长度满足角平分线长度的关系公式。
c. 角平分线与边的关系: 角平分线将相对顶点的边等分为两段。
第三节: 三角形的高线1. 高线的定义: 三角形的高线是从三角形一个顶点出发，垂直于该顶点所对边的线段。
2. 高线的性质:a. 高线相交于垂心: 三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。
b. 高线长度关系: 三角形的高线长度满足高线长度的关系公式。
c. 垂心与外心关系: 三角形的垂心和外心在同一条直线上。
第四节: 三角形三线的关系1. 三角形三线的共点性: 三角形的三条中线、角平分线和高线交于一点，该点被称为三角形的费马点或第一等心点。
2. 三线长度比较: 三角形三线的长度具有特定的大小关系。
3. 三线与特殊点的关系: 三角形的三线与其它特殊点（如垂心、内心、外心）之间存在一定的关联。
第五节: 应用举例1. 实际应用中的三线: 三角形的三线在几何学和实际问题中有广泛的应用。
【教案】三角形中几条重要线段.doc
第3课时三角形中几条重要线段教学目标【知识与技能】1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线.2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的高、角平分线、中线的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】1.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.2.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识.重点难点【重点】三角形的三条高、中线和角平分线的画法.【难点】钝角三角形三条高的画法.教学过程一、创设情境,导入新知师:我们在上节课把三角形按角进行了分类,我请几个同学回答一下什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形.生甲:在三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.生乙:在三角形中,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.生丙:在三角形中,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.师:很好!我们上节课学习了一个重要的定理,大家还记得吗?生:记得.三角形三个内角的和等于180°.师:很好!这节课我们继续学习三角形的有关知识.二、共同探究,获取新知师:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此之外,同学们通过预习,知道它还有什么元素吗?生:角平分线.师:什么是角平分线呢?生:三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.师:还有什么元素?生:中线.师:什么是中线呢?生:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.师:还有什么元素呢?生:高.师:什么是高呢?生:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.学生熟记定义.师:你能根据这些线的定义作出这些线吗?生:能.师:现在请大家画一个三角形,并作出各个角的平分线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一个角的平分线.∠1=∠2,BD是∠ABC的平分线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条中线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一条中线.BD=DC,AD是BC边上的中线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条高.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画三种类型的三角形的一条高线.锐角三角形BC边上的高直角三角形BC边上的高钝角三角形BC边上的高师:你能用折叠的方法作出一个角的平分线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎样做的?生:先作出一个三角形,把它裁剪下来,我折叠要平分的这个角使它的两边重合,这样得到的折痕与这个角的对边有一个交点,连接这个角的顶点与这个交点得到的线段就是这个三角形的角平分线.师:你太聪明了.大家现在都知道怎么作的吗?生:知道.师:那么请同学们动手做一做.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形的一条中线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎么做的?生:要作出三角形一边上的中线,我折叠这条边,使其两端点重合,折痕与这条边的交点,就是这条边的中点.连接这条边所对角的顶点与这个中点,所得的线段就是这条边上的中线.师:现在请大家动手作出中线.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形一边上的高吗?学生讨论.生:过这边所对角的顶点折叠三角形,使这条边的两段重合,这样就得到了三角形的高.师:很好,请大家动手做一做.学生操作,教师巡视指导.三、作图练习,理解定义师:三角形的角平分线的定义给出了角平分线的作法,请同学们在纸上画出一个三角形,并根据角平分线的定义,画出三个角的平分线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们再画出一个三角形,然后根据中线的定义,作出中线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们完成教材上“操作”的第1题.学生操作,教师巡视指导,最后集体订正.师:直角三角形的高中,有两条和边重合;钝角三角形的高中,有两条在三角形的外部.请同学们观察一下,你们作出的三条角平分线、三条中线和三条高,它们有什么特点?生甲:三条角平分线交于一点.生乙:三条中线交于一点.生丙:三条高交于一点.师:很好!之前学过的说明三角形意义的语句、本节中说明三角形角平分线意义的语句:“不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形”,“三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线”,分别是三角形、三角形角平分线的定义.七年级时我们也学过一些定义,如“整数和分数统称为有理数”是有理数的定义.前两个定义揭示了对象的特征性质,后一个定义明确了所指对象的范围.给出定义,就是在于明确研究对象是什么.四、课堂小结师:本节课我们学习了什么内容?生:我们学习了三角形的角平分线、中线和高的定义以及画法.师:对,我们由作图过程知道了三角形的三条角平分线、三条中线和三条高是交于一点的.教学反思本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形三个角的平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的这些线是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.通过实际动手得到的结论,他们的印象会更深刻,理解更透彻.这节课所讲授的三种线段中的两种,即三角形的角平分线和高线都是建立在以往旧知识的基础上的,学生对这两种线段已经有了一定的认识,学习起来更容易.强调三角形中的三种线是“线段”,而不是以往的“射线”.。
(课件)三角形中三条重要的线段
三角形有三条高，分别对应三个顶点。
高在几何问题中的应用
在求解三角形面积时，高是一个 重要的参数。
在解决与三角形相关的几何问题 时，高常常与其他线段、角等元
素一起使用。
高可以用于证明某些几何定理， 如塞瓦定理等。
高与其他线段的联系
在特定条件下，高可以转化为其他线段，如直角三角 形中的高可以转化为斜边上的中线。
垂线与三角形的关系
垂足
垂线与对边相交的点称为垂足。
三角形的高
从顶点垂直到对边的线段被称为三角形的高。
垂线在几何问题中的应用
面积计算
利用垂线可以计算三角形的面积，通 过将底边与对应的高相乘再除以2。
三线合一
直角三角形中的勾股定理
在直角三角形中，斜边的垂线将直角 三角形分为两个小的直角三角形，可 以利用勾股定理进行证明和应用。
(课件)三角形中三条 重要的线段
目 录
• 三角形的中线 • 三角形的角平分线 • 三角形的垂线 • 三角形的中位线 • 三角形的高的性质
01
三角形的中线
定义与性质
定义
连接三角形一边的中点和相对顶 点的线段称为三角形的中线。
性质
中线将三角形分为面积相等的两 部分，且中线长度为对应底边的 一半。
中线与三角形的关系
中位线将三角形划分为两个等腰三角 形。
中位线将三角形划分为两个相似的小 三角形。
中位线在几何问题中的应用
利用中位线定理求三角形的边长 。
利用中位线定理证明三角形中的 一些性质。
利用中位线定理解决一些几何问 题，如面积问题、角度问题等。
05
三角形的高的性质
高与三角形的关系
三角形中的重要线段
一、角平分线1、定义：从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。
2、性质：三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（逆定理）在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
二、中线1、定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
2、性质：任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
三、垂线（也叫高线）1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
2、性质：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。
简称垂线段最短。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直四、垂直平分线1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
（逆定理）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上五、中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。
三角形中几条重要线段
3. 钝角三角形的高在三角形外的数目有（C ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ B ） A. 形状相同的三角形 C. 直角三角形 B. 面积相等的三角形 D. 周长相等的三角形
⑴ 在△ABC中, AD是BC边上的中线， △ADC的周长比△ABD的周长多 3cm，AB与AC的和11cm，求AB的 边.
C
C
C
AD是三个三角形的高,这些三角形也叫做共高 三角形 AD是△ABC、△ABD和△ACD的高
A
B
C
D
1. 三角形的三条高线中（B ） A. 最多有一条在三角形的内部 B. 至少有一条在三角形的内部 C. 每一条都在三角形的内部 D. 每一条都在三角形的外部
2.如果一个三角形的三条高线的交点恰是一 个三角形的顶点，那么这个三角形是（ B ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
13.1 三角形中的边角关系
(第三课时）
3. 三角形中几条重要线段
复习
三角形的概念
1.三角形: 由不在同一条直线上 的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形. B C 组成三角形的线段叫做三角形的 边 相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 相邻两边所组成的角叫做三角形的 内角(角) 2.三角形的表示: 用“△”加上三个顶点的字母表示,例如: 三角形ABC表示为“△ABC”,读做“三角形 ABC”.
A
三角形的重要线段
1．三角形一个角的平分线与 这个角的对边相交，这个角 的顶点和交点之间的线段叫 做三角形的 角平分线 ． B 2．在三角形中，连结一个顶 点和它的 对边中点 的线段叫 做三角形的中线．
2022年沪科版数学八年级上《三角形中几条重要线段》教案
第3课时三角形中几条重要线段◇教学目标◇【知识与技能】1.了解并掌握三角形的角平分线、中线和高的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的角平分线、中线和高;2.通过作图了解三角形的三条角平分线、三条中线和三条高分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的角平分线、中线和高的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线和角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.发展学生合情推理的能力.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的角平分线、中线和高的画法.【教学难点】钝角三角形的三条高的画法.◇教学过程◇一、情境导入上节课我们学习了按角给三角形分类,分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.这节课我们学习三角形中几条重要线段.二、合作探究问题1:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此以外,还有其他什么元素吗?结论:角平分线、中线、高线.【归纳小结】角平分线:三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线;中线:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线;高线:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.问题2:画一个三角形,再分别画出它的角平分线、中线、高线.三角形的角平分线、中线、高线交于一点吗?都在三角形的内部吗?结论:三角形的三条角平分线、三条中线和三条高都交于一点.其中,三角形三条中线交于一点,这个交点就是三角形的重心.三角形的角平分线和中线都在三角形的内部,三角形的高线不一定在三角形的内部,直角三角形的高线可能在三角形上,钝角三角形的高线可能在三角形外部.典例1已知,如图,在△ABC中,O是高AD和BE的交点,观察图形,试猜想∠C和∠DOE 之间具有怎样的数量关系,并论证你的猜想.[解析]连接OC,由三角形的内角和等于180°,得∠OCE+∠COE+∠CEO=180°,∠OCD+∠COD+∠CDO=180°,又因为AD和BE是△ABC的高,所以∠CEO=∠CDO=90°,所以∠OCE+∠COE+∠OCD+∠COD=180°,即∠C+∠DOE=180°.三、板书设计三角形中几条重要线段角平分线:三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.中线:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.高线:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.◇教学反思◇本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形的三条角平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的角平分线、中线、高分别是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.第2课时三角形中边的关系◇教学目标◇【知识与技能】1.认识三角形,理解三角形的三边关系;2.会对三角形按边分类.【过程与方法】经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】通过观察、操作、讨论等活动,培养学生的动手实践能力和语言表达能力.让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦,树立自信,激发学习数学的兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】三角形三边关系的探究和归纳.【教学难点】三角形三边关系的应用.◇教学过程◇一、情境导入看下列实物中,有你熟悉的图形吗?二、合作探究在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识,现在请观察上面的屋顶框架图,并思考以下问题:(1)你能从图中找出几个不同的三角形?这些三角形有什么共同的特点?(2)什么叫做三角形?(3)三角形的边可以怎么表示?问题1:研究三角形的三条边是否相等,有多少种可能的情况?结论:三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,第三边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角;三条边都相等的三角形叫做等边三角形.问题2:我们以前学习过这样一个性质:两点之间的所有连线中,线段最短.那么在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?结论:三角形任意两边之和大于第三边.典例1画一个三角形,分别量出三角形的三边长度,计算出三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论?[解析]三角形任意两边之差小于第三边.典例2有两条长度分别为5 cm和7 cm的线段,用长度为13 cm的线段与它们能摆成三角形吗?为什么?那么换上线段的长度在什么范围内时可以组成三角形呢?[解析]用长度为13 cm的线段与它们不能摆成三角形.因为三角形任意两边之和大于第三边.三角形第三边的取值范围是两边之差<第三边<两边之和,即第三边x的取值范围是2 cm<x<12 cm.三、板书设计三角形中边的关系1.三角形按边长分类:三角形2.三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边.◇教学反思◇本节课的学习使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并学会判断三条线段能否构成三角形,通过探讨使学生养成积极思考的习惯.。
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C
C
C
AD是三个三角形的高,这些三角形也叫做共高 三角形 AD是△ABC、△ABD和△ACD的高
A
B
C
D
1. 三角形的三条高线中（B ） A. 最多有一条在三角形的内部 B. 至少有一条在三角形的内部 C. 每一条都在三角形的内部 D. 每一条都在三角形的外部
2.如果一个三角形的三条高线的交点恰是一 个三角形的顶点，那么这个三角形是（ B ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
E
C
A
F
C
3.从三角形的一个顶点向它的 对边画垂线， 顶点与垂足 之 间的线段叫三角形的高．
(1)锐角三角形的三条高,都 在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一 条在三角形的内部,另外两条 在三角形的边上. (3)钝角三角形的三条高,有 一条在三角形的内部,另外 两条在三角形的外部. 三角形有三条高,且它们(或它们 的延长线)相交于一点,这个交点 叫做三角形的垂心.
A
三角形的重要线段
1．三角形一个角的平分线与 这个角的对边相交，这个角 的顶点和交点之间的线段叫 做三角形的 角平分线 ． B 2．在三角形中，连结一个顶 点和它的 对边中点 的线段叫 做三角形的中线．
三角形有三条角中线,都在三 角形的内部,且它们相交于一 B 点,这个交点叫做三角形的重心.
A
三角形有三条角平分线,都在三角形的内部,且它 们相交于一点,这个交点叫做三角形的内心.
A
B
H
C
三角形几何语言的使用
如图,根据具体情况使用以下任何一种方法表示:
A 1.三角形的角平分线的表示法: (1)AD是△ABC的角平分线; (2)AD平分∠BAC,交BC于D; (3)如果AD是△ABC的角平分线,那么 1 B ∠BAD=∠DAC= 2 ∠BAC; DA 2.三角形的中线的表示法: (1)AE是△ABC的中线; (2)AE是△ABC中BC边上的中线; (3)如果AE是△ABC的中线,那么 B 1 E BE=EC= 2 BC; A 3.三角形的高的表示法: (1)AF是△ABC的高; (2)AF是△ABC中BC边上的高; (3)若AF是△ABC的高,则AF⊥BC于F; B F (4)如果AF是△ABC的高,那么∠AFB=∠AFC=90°.
13.1 三角形中的边角关系
(第三课时）
3. 三角形中几条重要线段
复习
三角形的概念
1.三角形: 由不在同一条直线上 的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形. B C 组成三角形的线段叫做三角形的 边 相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 相邻两边所组成的角叫做三角形的 内角(角) 2.三角形的表示: 用“△”加上三个顶点的字母表示,例如: 三角形ABC表示为“△ABC”,读做“三角形 ABC”.
⑵ AD、AE分别是△ABC 的 BC边上的中线， △ABD的周长比△ADC的 周长多3cm，AB=5，求 AC的长以及△ABD与 △ADC的面积关系.
⑶在△ABC中,AB=AC,AC边 上的中线BD把三角形的周长 分为12cm和15cm的两部分， 求三角形的各边.
3. 钝角三角形的高在三角形外的数目有（C ）
A. 0 形分成两个（ B ） A. 形状相同的三角形 C. 直角三角形 B. 面积相等的三角形 D. 周长相等的三角形
⑴ 在△ABC中, AD是BC边上的中线， △ADC的周长比△ABD的周长多 3cm，AB与AC的和11cm，求AB的 边.