最新初中数学3. 三角形中几条重要线段

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第3课时三角形中几条重要线段教案2024-2025学年沪科版八年级数学上册

《13.1.3三角形中几条重要线段》教学设计教学内容分析本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。

本节内容是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础。

故学好本节内容是十分必要的。

因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。

学习者分析学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.教学目标 1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线；2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质；3.明确重心的概念；4.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯；5.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识。

教学重点理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.教学难点钝角三角形高线的画法.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：如图，在△ABC中，一动点D在BC边上移动，从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形学生活动1：学生观察图片，动脑思考，并积极回答.成的无数条线段中，有没有特殊位置的线段?今天，我们一起来认识三角形中几条特殊的线段!活动意图说明：通过展示图片，引发学生思考，引出这节课要学的内容，调动学生学习的积极性. 环节二：三角形中的特殊线段教师活动2：角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE 就是△ABC的一条中线．高线：学生活动2：学生听教师讲解，理解三角形中的特殊线段。

八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段教案

第3课时三角形中几条重要线段教学目标【知识与技能】1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线.2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的高、角平分线、中线的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】1.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.2.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识.重点难点【重点】三角形的三条高、中线和角平分线的画法.【难点】钝角三角形三条高的画法.教学过程一、创设情境,导入新知师:我们在上节课把三角形按角进行了分类,我请几个同学回答一下什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形.生甲:在三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.生乙:在三角形中,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.生丙:在三角形中,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.师:很好!我们上节课学习了一个重要的定理,大家还记得吗?生:记得.三角形三个内角的和等于180°.师:很好!这节课我们继续学习三角形的有关知识.二、共同探究,获取新知师:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此之外,同学们通过预习,知道它还有什么元素吗?生:角平分线.师:什么是角平分线呢?生:三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.师:还有什么元素?生:中线.师:什么是中线呢?生:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线. 师:还有什么元素呢?生:高.师:什么是高呢?生:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高. 学生熟记定义.师:你能根据这些线的定义作出这些线吗?生:能.师:现在请大家画一个三角形,并作出各个角的平分线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一个角的平分线.∠1=∠2,BD是∠ABC的平分线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条中线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一条中线.BD=DC,AD是BC边上的中线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条高.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画三种类型的三角形的一条高线.锐角三角形BC边上的高直角三角形BC边上的高钝角三角形BC边上的高师:你能用折叠的方法作出一个角的平分线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎样做的?生:先作出一个三角形,把它裁剪下来,我折叠要平分的这个角使它的两边重合,这样得到的折痕与这个角的对边有一个交点,连接这个角的顶点与这个交点得到的线段就是这个三角形的角平分线.师:你太聪明了.大家现在都知道怎么作的吗?生:知道.师:那么请同学们动手做一做.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形的一条中线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎么做的?生:要作出三角形一边上的中线,我折叠这条边,使其两端点重合,折痕与这条边的交点,就是这条边的中点.连接这条边所对角的顶点与这个中点,所得的线段就是这条边上的中线.师:现在请大家动手作出中线.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形一边上的高吗?学生讨论.生:过这边所对角的顶点折叠三角形,使这条边的两段重合,这样就得到了三角形的高.师:很好,请大家动手做一做.学生操作,教师巡视指导.三、作图练习,理解定义师:三角形的角平分线的定义给出了角平分线的作法,请同学们在纸上画出一个三角形,并根据角平分线的定义,画出三个角的平分线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们再画出一个三角形,然后根据中线的定义,作出中线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们完成教材上“操作”的第1题.学生操作,教师巡视指导,最后集体订正.师:直角三角形的高中,有两条和边重合;钝角三角形的高中,有两条在三角形的外部.请同学们观察一下,你们作出的三条角平分线、三条中线和三条高,它们有什么特点?生甲:三条角平分线交于一点.生乙:三条中线交于一点.生丙:三条高交于一点.师:很好!之前学过的说明三角形意义的语句、本节中说明三角形角平分线意义的语句:“不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形”,“三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线”,分别是三角形、三角形角平分线的定义.七年级时我们也学过一些定义,如“整数和分数统称为有理数”是有理数的定义.前两个定义揭示了对象的特征性质,后一个定义明确了所指对象的范围.给出定义,就是在于明确研究对象是什么.四、课堂小结师:本节课我们学习了什么内容?生:我们学习了三角形的角平分线、中线和高的定义以及画法.师:对,我们由作图过程知道了三角形的三条角平分线、三条中线和三条高是交于一点的.教学反思本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形三个角的平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的这些线是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.通过实际动手得到的结论,他们的印象会更深刻,理解更透彻.这节课所讲授的三种线段中的两种,即三角形的角平分线和高线都是建立在以往旧知识的基础上的,学生对这两种线段已经有了一定的认识,学习起来更容易.强调三角形中的三种线是“线段”,而不是以往的“射线”.。

13.1.3-三角形中几条重要线段ppt课件沪科版八年级上册数学

当堂练习
1．下列说法正确的是 A．三角形三条高都在三角形内
（B ）
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在
以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；
③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（ D ）
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE= 1∠BAC. 2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
A
E B
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－ 60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
个内角的平分线吗?
A
D
B
C
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD; 不同点是：前者是线段，后者是射线.
A 用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个 B 一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
A
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
C C
第13章三角形中的边角关系、命题与证明
13.1 三角形中的边角关系
3.三角形中几条重要线段
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
复习回顾
垂线
线段中点
定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线

七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计

2.适量原则：控制作业量，确保学生能在合理的时间内完成，避免过度负担。
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。

七年级数学下册《三角形的三条重要线段》优秀教学案例

3.教师对学生的作业进行批改，及时了解学生的学习情况，为下一节课的教学做好铺垫。
五、案例亮点
1.生活化的情景导入
本案例从学生熟悉的生活场景出发，将三角形三条重要线段与实际生活紧密结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受数学的魅力。这种生活化的情景导入，有助于激发学生的学习兴趣，使他们更容易理解和接受新知识。
（四）反思与评价
1.在教学过程中，我将引导学生进行自我反思，如：“我在本节课中学到了什么？”“我还有哪些地方需要改进？”等，帮助学生总结学习经验，提高自我认知。
2.采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业等，全面了解学生的学习情况。在评价过程中，注重鼓励性原则，充分肯定学生的优点，同时指出不足，并提出改进建议。
a.如何准确地找到三角形的内心、外心和重心？
b.这些线段在三角形中有哪些应用？
c.你能举例说明三角形内心、外心和重心的性质在实际问题中的应用吗？
2.学生在小组内展开讨论，分享自己的发现和心得，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（四）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三角形内心、外心和重心的定义及性质。
3.定期组织学生进行阶段性的自我评价和同伴评价，培养他们客观、公正地评价他人和自我反思的能力。
4.教师要关注学生在学习过程中的情感态度与价值观，引导他们形成正确的数学观念，激发他们对数学学科的兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的三角形物体，如三角板、自行车三角架等，引导学生观察这些物体中的三角形特点。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，三角形的相关知识一直是教学的重点和难点。七年级数学下册的《三角形的三条重要线段》章节，旨在帮助学生理解并掌握三角形的内心、外心、重心这三条重要线段的概念及其性质。为了提高学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，本教学案例将采用生活实例导入、合作探究、分层练习等多样化的教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高解决问题的能力。

八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段授课

感悟新知
例4 如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是△ABC，知2－练 △ABD的中线. （1）若△ABD与△ADC的周长之差为 3，AB=8，求 AC 的长. （2）若S△AB间的关系和面积之间的关系解题.
感悟新知
解：（1）因为AD为BC边上的中线，
B．CE是△BCD的角平分线 C． 3 1 ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线
知1－练
感悟新知
知识点 2 三角形的中线
知2－讲
1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线．
2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该点在三角形内部，如图，这个点叫做三角形的重心．
感悟新知
总结
知2－讲
三角形的中线把边分成相等的两条线段，故BD=CD，
且△ ABD 的边BD上的高与△ACD 的边CD上的高相同，
根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个
三角形的面积相等，即S△ ABD=S△ ADC=
1 2
S△ABC.
感悟新知
知2－练
例5 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．
1 (中考·长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
感悟新知
知3－练
2 下列说法中正确的是( ) A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
感悟新知
知识点 4 定义
知4－讲
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 今后我们还会学习许多定义.
感悟新知
知3－练
解：以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有 △ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，

数学沪科版八年级(上册)第3课时三角形中几条重要线段

如图右图AE是BC边上的中线 B
A
E
C
BE=EC
试着画出下列三角形的中线？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.
高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线所作的的垂线叫做三角形的高线，简称三角形的高。
B
01 23 4 5
01 23 4 5
A DC
1.分别画出下图各个三角形三条边上的高.
交点的位置
锐角三角形
3
相交相交
三角形内部
直角三角形
1
相交相交
直角顶点
钝角三角形
1
不相交相交
三角形外部
2.任意画一个三角形，画出三边上的中线.
三角形，三条中线交于
o
一点，这个交点就是三
角形的重心.
1. 填空：
（1）如果AD是△ABC的高，那么∠BDA= 90° ；
（2）如果BE是△ABC的角平分线，那么∠ABE=
（1）锐角三角形 O
锐角三角形的三条高都在三角形的内部
A （2）直角三角形
D
B
C
直角三角形的三条高交于直角顶点.
（3）钝角三角形
钝角三角形的三条高不 A
F
相交于一点.
钝角三角形的三条高所
DB
C
在直线交于一点，交点
在三角形外.
E
P
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的
BC边上的高是 AD ;
D
B
C CA边上的高是 BF ;Βιβλιοθήκη E角平分线中线
高
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.

沪科版数学八年级上册13.1.3三角形中几条重要线段课件(共26张PPT)

直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点
钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，所以∠DAC＝∠BAD＝30°.因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，所以∠B＝50°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.
练一练
解：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.
例如：（1）整数和分数统称有理数；（2）同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；（3）三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
练一练
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
7cm
解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ， △ADC的周长＝ AC + DC + AD ，所以△ABD的周长-△ADC的周长＝（ AB+BD+ AD ）-（ AC + DC + AD ）＝ AB-AC=2cm.又因为AC＝5cm，所以AB＝7cm.
AB
BC
BD
钝角三角形的三条高
问题：画出钝角三角形的三条高，钝角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点，钝角三角形的三条高所在直线交于一点
归纳
三角形
高及高的交点的位置
图示

初中数学三角形知识点整理

初中数学三角形知识点整理初中数学三角形知识点整理1初一年级知识点：认识三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

课后习题1.下列说法正确的是 ( )A.三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部B.直角三角形只有一条高C.三角形的三条高至少有一条在三角形内D.钝角三角形的三条高均在三角形外2.等边三角形三边上的中线、高、角平分线共有 ( )A.3条B.5条C.7条D.9条3.(1)在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是AC边上的中线，∠BAD=40o，则∠CAD=______，若AC=6 cm，则AE=______.(2)△ABC的周长为18 cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于O，AO的延长线交BC于D，且AF =3 cm，AE=2 cm.则BD的长为______.初中数学三角形知识点整理2我们在学习三角形的知识中，老师经常会提到的一句话就是：三角形具有稳定性。

稳定性证明任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。

∵第三条边不可伸缩或弯折，∴两端点距离固定，∴这两条边的夹角固定;∵这两条边是任取的，∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定，∴三角形有稳定性。

初中数学知识归纳三角形的中线和高线

初中数学知识归纳三角形的中线和高线初中数学知识归纳：三角形的中线和高线三角形是初中数学中的重要内容之一，涵盖了许多基本概念和性质。

本文将围绕三角形的中线和高线展开讨论，帮助读者对这一知识点有更深入的理解。

一、中线的定义和性质中线是连接三角形两个顶点的边的中点的线段。

下面我们来研究中线的性质。

1. 三角形的每一条中线都有相同的长度，且与其他两条中线相等。

证明：以三角形的两个顶点为起点，分别连接三个顶点的中点，得到三条中线。

假设这三条中线长度分别为a、b和c。

我们可以发现，通过恰当的平移和旋转，可以使得这三条中线分别与三边重合。

由于平移和旋转都不会改变线段的长度，所以这三条中线的长度都相等。

2. 三角形各边与相应中线的长度呈1:2的比例。

证明：以三角形任意顶点为起点，连接该顶点与相应中线的交点，得到两个等腰三角形。

在等腰三角形中，底边与中线的长度比为1:2。

二、高线的定义和性质高线是从三角形一个顶点到对边所在的直线段，垂直于对边。

下面我们来研究高线的性质。

1. 三角形的三条高线交于一点，该点称为三角形的垂心。

证明：设三角形的三个顶点分别为A、B和C。

我们以AB边为底边，画一个垂直于底边的高线AD，交对边BC于点D。

同样地，我们可以在AC和BC两条边上分别画高线，即AE和BF。

根据垂直线相交于一点的性质，可知AD、AE和BF三条高线交于一点，即三角形的垂心。

2. 垂心到三角形各顶点的距离相等，且垂心到对边的距离等于对边上相应高线的长度。

证明：在垂心上分别作垂线，垂线与三角形的三边相交于D、E和F。

根据直角三角形的性质，可知AD、BE和CF分别是三角形的高线。

由于垂心是由三个垂线的交点确定的，所以垂心到三个顶点的距离相等。

另外，根据垂直线性质可知，垂心到对边的距离等于对边上相应高线的长度。

三、中线和高线的关联性中线和高线是三角形内部的重要线段，它们具有一定的关联性。

1. 三条中线的交点是三角形的重心，重心到各顶点的距离相等，且等于中线长度的2/3。

2022年沪科版数学八年级上《三角形中几条重要线段》教案

第3课时三角形中几条重要线段◇教学目标◇【知识与技能】1.了解并掌握三角形的角平分线、中线和高的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的角平分线、中线和高;2.通过作图了解三角形的三条角平分线、三条中线和三条高分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的角平分线、中线和高的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线和角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.发展学生合情推理的能力.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的角平分线、中线和高的画法.【教学难点】钝角三角形的三条高的画法.◇教学过程◇一、情境导入上节课我们学习了按角给三角形分类,分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.这节课我们学习三角形中几条重要线段.二、合作探究问题1:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此以外,还有其他什么元素吗?结论:角平分线、中线、高线.【归纳小结】角平分线:三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线;中线:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线;高线:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.问题2:画一个三角形,再分别画出它的角平分线、中线、高线.三角形的角平分线、中线、高线交于一点吗?都在三角形的内部吗?结论:三角形的三条角平分线、三条中线和三条高都交于一点.其中,三角形三条中线交于一点,这个交点就是三角形的重心.三角形的角平分线和中线都在三角形的内部,三角形的高线不一定在三角形的内部,直角三角形的高线可能在三角形上,钝角三角形的高线可能在三角形外部.典例1已知,如图,在△ABC中,O是高AD和BE的交点,观察图形,试猜想∠C和∠DOE 之间具有怎样的数量关系,并论证你的猜想.[解析]连接OC,由三角形的内角和等于180°,得∠OCE+∠COE+∠CEO=180°,∠OCD+∠COD+∠CDO=180°,又因为AD和BE是△ABC的高,所以∠CEO=∠CDO=90°,所以∠OCE+∠COE+∠OCD+∠COD=180°,即∠C+∠DOE=180°.三、板书设计三角形中几条重要线段角平分线:三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.中线:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.高线:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.◇教学反思◇本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形的三条角平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的角平分线、中线、高分别是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.第2课时三角形中边的关系◇教学目标◇【知识与技能】1.认识三角形,理解三角形的三边关系;2.会对三角形按边分类.【过程与方法】经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】通过观察、操作、讨论等活动,培养学生的动手实践能力和语言表达能力.让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦,树立自信,激发学习数学的兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】三角形三边关系的探究和归纳.【教学难点】三角形三边关系的应用.◇教学过程◇一、情境导入看下列实物中,有你熟悉的图形吗?二、合作探究在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识,现在请观察上面的屋顶框架图,并思考以下问题:(1)你能从图中找出几个不同的三角形?这些三角形有什么共同的特点?(2)什么叫做三角形?(3)三角形的边可以怎么表示?问题1:研究三角形的三条边是否相等,有多少种可能的情况?结论:三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,第三边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角;三条边都相等的三角形叫做等边三角形.问题2:我们以前学习过这样一个性质:两点之间的所有连线中,线段最短.那么在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?结论:三角形任意两边之和大于第三边.典例1画一个三角形,分别量出三角形的三边长度,计算出三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论?[解析]三角形任意两边之差小于第三边.典例2有两条长度分别为5 cm和7 cm的线段,用长度为13 cm的线段与它们能摆成三角形吗?为什么?那么换上线段的长度在什么范围内时可以组成三角形呢?[解析]用长度为13 cm的线段与它们不能摆成三角形.因为三角形任意两边之和大于第三边.三角形第三边的取值范围是两边之差<第三边<两边之和,即第三边x的取值范围是2 cm<x<12 cm.三、板书设计三角形中边的关系1.三角形按边长分类:三角形2.三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边.◇教学反思◇本节课的学习使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并学会判断三条线段能否构成三角形,通过探讨使学生养成积极思考的习惯.。

沪科版-数学-八年级上册-13.1.3 三角形中几条重要线段教案

13.1.3 三角形中几条重要线段教学目标：知识与技能1.经历折纸，画图等实践过程认识三角形的高、中线、角平分线.2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线，通过画图了解三角形的三条高（及所在直线）交与一点，三角形的三条中线，三条角平分线等都交于一.过程与方法在探索三角形的高中线角平分线的过程中，让学生经历观察试验推理交流等活动，培养学生的空间观念和推理能力.情感、态度与价值观在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的沟通能力.教学重点：三角形的高，中线，角平分线的概念，并了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点教学难点：三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别，钝角三角形的高的画法. 教学过程：一、导入新课问题1 数一数，图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.问题2 利用长为3.5.6.9的四条线段可以组成几个三角形？为什么？问题3 利用△ABC的一条边长为4cm，面积是24cm2这两个条件，你能求出什么结论？二、自学指导1.自学课本；2. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做三角形的中线.三角形三条中线交于一点，这个点就是三角形的重心.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.设计意图：通过设置富有阶梯形的自学指导，引导学生自主学习，发现问题，解决问题.注意事项：教师出示自学指导，让学生自学课，理解什么是三角形的高？什么是三角形的中线？什么是三角形的重心？什么是三角形的角平分线？三、自学检测1.过点A分别画下列三角形的高，中线，角平分线.2.上述三个图形中的∠B有什么不同？这三个三角形的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？设计意图：第1题着重考查学生的绘图动手能力；第2题着重对三角形三边关系的高进行分类汇总，总结规律.注意事项：第2题有一定难度，特别是钝角三角形，要在关键点对学生进行点拨.四、合作探究1. 如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．【答案】∵∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣110°=40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×40°=20°，∵∠B=30°，AD是BC边上高线，∴∠BAD=90°﹣30°=60°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣20°=40°．2.如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？【答案】（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED=14S△ABC=14×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．设计意图：老师大胆放手，学生分组合作探究，每个小组讨论完成后，给出答案并进行展示，让学生上台说明，培养学生总结能力，积极发言的良好习惯注意事项：在合作探究环节中，教师要关注学生在展示过程中出现的问题，并及时予以点拨.五、课堂小结问题1 本节课你学习了什么？问题2 本节课你有哪些收获？问题3 通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？设计意图：以上三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，进一步进行反思、提炼及知识的归纳，并纳入自己的知识结构中；注意事项：（1）每个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线.（2）三角形的三条高所在的直线交于一点，且锐角三角形的高交于三角形的内部，直角三角形在直角的顶点，钝角三角形在三角形外。

三角形中考知识点

三角形中考知识点三角形是初中数学中的重要内容，在中考中占据着重要的地位。

下面我们来详细了解一下三角形的中考知识点。

一、三角形的基本概念1、三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的边三角形的三条边分别为 a、b、c，根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3、三角形的角三角形的内角和为 180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

二、三角形的分类1、按角分类（1）锐角三角形：三个角都小于 90°的三角形。

（2）直角三角形：有一个角等于 90°的三角形。

（3）钝角三角形：有一个角大于 90°小于 180°的三角形。

2、按边分类（1）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。

其中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

（3）等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。

三、三角形中的重要线段1、三角形的中线连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

2、三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

三角形的三条高所在直线相交于一点。

3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点，这点叫做三角形的内心。

四、全等三角形1、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等。

（2）全等三角形的对应角相等。

3、全等三角形的判定（1）“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

新泸教版数学八年级上册同步练习：13.1 第3课时三角形中几条重要线段

第3课时三角形中几条重要线段知识要点基础练知识点1 三角形的角平分线1.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,交点一定在( A )A .三角形的内部B .三角形的一边上C .三角形的外部D .三角形的某个顶点上2.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ,∠B=40°,∠BAD=30°,则∠C 的度数是 80° .知识点2 三角形的中线3.如图,在△ABC 中,D ,E 分别为BC ,AD 的中点,且S △ABC =4,则S 阴影( B )A.2B.1C.D.4.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,已知AB=7 cm,AC=5 cm,则△ABD 和△ACD 的周长差为 2 cm .【变式拓展】在△ABC 中,AC=5 cm,AD 是△ABC 的中线,把△ABC 的周长分成两部分.若其差为3 cm,则AB= 2 cm 或8 cm .知识点3 三角形的高5.若H 是△ABC 三条高AD ,BE ,CF 的交点,则△BCH 中BC 边上的高是 DH ,△ABH 中BH 边上的高是 AE .知识点4 定义6.下列语句中属于定义的是( D )A .两点确定一条直线B .连接三角形的顶点和对边中点的线段C .两直线平行,内错角相等D .三角形三条中线的交点叫做三角形的重心综合能力提升练7.如图,BD=DE=EF=FC ,那么图中△ACE 的中线是( C )A.ADB.AEC.AFD.以上都是8.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( A)A.DE是△ABC的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BE=ECD.DE是△BCD的中线9.如图,AD⊥BC,GC⊥BC,CF⊥AB,垂足分别是D,C,F,下列说法中错误的是( B)A.△ABC中,AD是BC边上的高B.△ABC中,GC是BC边上的高C.△GBC中,GC是BC边上的高D.△GBC中,CF是BG边上的高10.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E.F为AB上的一点,CF⊥AD于点H.下列判断正确的是( C)A.AD是△ABE的角平分线B.BE是△ABD中AD边上的中线C.CH为△ACD中AD边上的高D.AH为△ABC的角平分线11.( 2019·合肥50中期中)如图,AD,AE是△ABC的角平分线和高线,∠B=50°,∠C=70°,则∠EAD=10°.12.如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点B的坐标是( 1,-4 ),过点B 作AC边上的高线,则垂足D的坐标是( 1,0 ).13.如图,A,B,C分别是线段A1B,B1C,C1A的中点,若△ABC的面积是1,那么三角形A1B1C1的面积是7.14.如图1,在△ABC中,OB,OC是∠ABC,∠ACB的平分线;( 1 )填写下面的表格.( 2 )试猜想∠A与∠BOC之间存在一个怎样的数量关系,并证明你的猜想;( 3 )如图2,△ABC的高BE,CD交于点O,试说明图中∠A与∠BOD的关系.解:( 2 )猜想:∠BOC=90°+∠A.理由:因为在△ABC中,OB,OC是∠ABC,∠ACB的平分线,所以∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,所以∠OBC+∠OCB=( ∠ABC+∠ACB)=( 180°-∠A)=90°-∠A,所以∠BOC=180°-( ∠OBC+∠OCB)=180°--=90°+∠A.( 3 )因为△ABC的高BE,CD交于点O,所以∠BDC=∠BEA=90°,所以∠ABE+∠BOD=90°,∠ABE+∠A=90°,所以∠A=∠BOD.15.( 教材P74习题T6变式)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,∠B=70°,∠C=45°,DE是△ABD的高,求∠ADE的度数.解:因为∠B=70°,∠C=45°,所以∠BAC=65°.因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD=∠BAC=32.5°.又因为DE是△ABD的高,所以∠AED=90°,所以∠ADE=180°-90°-32.5°=57.5°.16.( 2019·合肥包河区期中)等腰三角形一腰上的中线将周长分为6和15两部分,求此三角形的腰长.解:设这个等腰三角形的腰长为a,底边长为b.( 1 )当时,解得此时等腰三角形的三边长为4,4,13,由于4+4<13,所以此三角形不存在.( 2 )当时,解得此时等腰三角形的三边长为10,10,1,所以此三角形的腰长为10.拓展探究突破练17.【操作示例】如图1,△ABC中,AD为BC边上的中线,则S△ABD=S△ADC.【实践探究】( 1 )在图2中,E,F分别为长方形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S长方形ABCD之间满足的关系式为S阴=S长方形ABCD;( 2 )在图3中,E,F分别为平行四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为S阴=S平行四边形ABCD;( 3 )在图4中,E,F分别为任意四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为S阴=S四边形ABCD;( 4 )在图5中,E,G,F,H分别为任意四边形ABCD的边AD,AB,BC,CD的中点,并且图中阴影部分的面积为20平方米,则图中四个小三角形的面积之和S1+S2+S3+S4=20平方米.。

初中八年级数学教案-《三角形中几条重要线段》-优秀奖

教学设计织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中把握三大概念。

2学法课前进行预习，明确学习目标，了解所需掌握的知识，课上在教师的组织、引导、点拨下折纸和画图形等实践过程等活动，从而真正理解和掌握三角形的高、中线与角平分线等概念。

五、教学重点及难点教学重点：理解三角形的高、中线及角平分线概念及画法。

教学难点：钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系。

六、课时设计：1课时教学过程教师活动学生活动预设设计意图一、知识回顾：出示课件，结合图形回顾已学知识：1垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

2线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。

3角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

4 同学们还记得“过一点画已知直线的垂线”的作法吗画法（提问演示）学生回答回顾旧知识，为本节课学习三角形中几条重要线段作铺垫。

二、探究新知探究一：三角形的高让学生找出概念，然后探究以下问题：1出示课件，先演示画三角形的一条高后提问：学生动手操作，先独立思考后与同桌相互交流让学生通过观察、归纳、总结出三角形高三、课堂练习1、下图作三角形中的高正确的是（）2、在❒ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若❒ABC 的面积是4，则❒ABD 的面积为3、角平分线的理解：∵BE 是△ABC 的角平分线 ∴ = =21∠ABC ∵CF 是△ABC 的角平分线 ∴∠ACB= =学生独立完成解答，教师提问学生对本节知识进行巩固练习，学以致用四、课堂小结1、谈谈本节课学习了什么内容2、你有什么收获学生畅所欲言，谈谈本节课学到了哪些知识，需要注意什么问题。

师生互相交流本节课的内容及应用需要注意的问题。