进位制

• 3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k 取余法） 用k连续去除该十进制数或所得的商，直到 商为零为止，然后把每次所得的余数倒着 排成一个数，就是相应的k进制数。
作业：
1、P47 3
2、P50 A3 B1
(用10个数字来记数，称基数为10) 第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3 个千即3个10的立方
3721 3 10 7 10 2 10 110
3 2 1
0
其它进位制的数又是如何的呢？

0, 则a=q, 返回第二步；否则，执
第四步，将依次得到的余数从右到左排列，得到k 进制数。
（2）程序框图：
开始 输入a,k 求a除以k的商q 求a除以k的余数r 输出r a=q q=0? 是 否
将依次输出的r从右到左排列 结束
(3)程序：
INPUT “a，k=”；a,k b=0
i=0
DO q=a\k
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进 制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
二进制、七进制、八进制、十二进制、 六十进制…… 二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字 十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
所以，110011（2）=51．
练习 1、将下面的二进制数化为十进制数？ （1）11 （2）110 2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？
an an 1 a1a0( k ) an k an 1 k
n n 1
a1 k a0 k
1
0 (10)
其它进制数化成十进制数公式
比如：
满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制
基数： “满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪 些常见的进位制？请举例说明． • 最常见的进位制应该是我们数学中的十进 制,比如一般的数值计算，但是并不是生活 中的每一种数字都是十进制的. • 古人有半斤八两之说，就是十六进制与十 进制的转换. • 比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算 “一打”数值时是12进制的。 • 电子计算机用的是二进制 。
**上面的程序如采用get函数,可简化为：
INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i<=n t=GET a[i] b=t*k^(i-1)+b i=i+1 WEND PRINT b END
备注:GET函数用于取出a的右数第i位数
2、十进制转换为二进制
方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。 例、 把89化为二进制数 解： 根据“逢二进一”的原则，有 89＝2×44＋1 89＝2×44＋1 ＝ 2× (2×22＋0)+1 44＝ 2×22＋0 ＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1 22＝ 2×11＋0 ＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1 11＝ 2× 5＋1 ＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1 5＝ 2× 2＋1 所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1 ＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1 ＝26＋24+23＋0＋0＋20 89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 所以：89=1011001（2）
探究：P43
若an an1 a1a0( k ) 表示一个k 进制数，请你把它写成各位 上数字与k的幂的乘积之和的形式。
an an 1 a1a0( k ) an k an 1 k
n n 1
a1 k a0 k
1
0 (10)
其它进制数化成十进制数公式
算法案例
（第三课时）
复习引入:
1、秦九韶算法的方法和步骤？
2、秦九韶算法的程序框图？
3、举例说明日常生活中的进位制。
新课讲解：
一、进位制
1、什么是进位制？
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位 置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基 数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
二、 二进制
二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001
区分的写法：11001（2）或者 (11001)2 4 3 2 1 0 11001(2) 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2
如7342(8) 八进制呢？
k进制呢？ anan-1an-2„a1(k)？
例2、设计一个算法，将k进制数a(共有n位)转换为十进制 数b。
(1)算法步骤: 第一步，输入a,k和n的值； 第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1； 第三步，b=b+ai*ki-1, i=i+1 第四步，判断i>n是否成立.若是,则执行第五步,否则, 返回第三步； 第五步，输010111（2）=
（3）；
（4）。
小结
• 1．进位制是一种记数方式，用有限的数 字在不同的位置表示不同的数值。可使 用数字符号的个数称为基数，基数为k， 即可称k进位制，简称k进制。k进制需要 使用k个数字； • 2．十进制与二进制之间转换的方法； 先把这个k进制数写成用各位上的数字与 k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制 数的运算规则计算出结果。
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数， 十进制一般不标注基数.
例如十进制的133.59，写成133.59(10)
七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k
为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起
的形式：
anan1 a1a0(k ) (0 an k,0 an1,, a1, a0 k ).
另解（除2取余法的另一直观写法）： 2 2 2 2 2 2 2
注意： 1.最后一步商为0， 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001（2） 练习 将下面的十进制数化为二进制数？ （1）10 （2）20
89 44 22 11 5 2 1 0
余数 1 0 0 1 1 0 1
3、十进制转换为其它进制
例1：把89化为五进制数。 解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5 5
89 17 5 3 0
余数
4 2 3
所以，89=324（5）
例2、设计一个程序，实现“除k取余法”。
(1)、 算法步骤： 第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k； 第二步，求出a 除以k 所得的商q ,余数r； 第三步，若q 行第四步；
开始 输入a,k,n b=0 把a的右数第i位数字赋给t
b=b+t*ki-1
i=i+1
i>n?
i=1 是 输出b 结束
否
(3)程序：
INPUT “a,k,n=”;a,k,n
b=0 i=1
t=a MOD 10
DO b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10
i=i+1
LOOP UNTIL i>n PRINT b END
r=a MOD k
b=b+r*10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
练习： 完成下列进位制之间的转化： （1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）=
（10）； （10）； （6）； （7）；
（5）213（4）=
练习:下列写法正确的是： （ A ） A、751 （16） B、751 （7） C、095 （12） D、901 （2）
an an1 a1a0(k ) (0 an k ,0 an1,, a1, a0 k ).
3、十进制的构成 十进制由两个部分构成
十进制：“满十进一”
第一、它有0～9十个数字；
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。
解：根据进位制的定义可知
110011( 2) 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2
5 4 3 2 1
0
51
1 32 116 1 2 1
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不 同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在 个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢 十进一的。