导数与函数的单调性上课用
《导数单调性》课件
THANKS
感谢观看
利用导数单调性，投资者可以评估不 同投资方案的收益和风险，选择最优 的投资策略。
供需关系分析
通过导数单调性分析，可以研究市场 供需关系的变化，预测价格波动和供 求平衡点。
导数在物理学中的应用
速度与加速度的研究
导数单调性在物理学中常用于研究物体的运动状态，如速度和加 速度的变化趋势。
热传导现象分析
通过导数单调性，可以研究热量在物体中的传递方式和速度，解释 热传导现象。
导数单调性与函数极值的关系
总结词
导数单调性是判断函数极值的重要依据
详细描述
函数极值点处的一阶导数等于0，而二阶导数决定了函数的极值是极大值还是极小值。如果二阶导数在极值点处 大于0，则该极值为极小值；如果二阶导数在极值点处小于0，则该极值为极大值。因此，通过分析导数的单调性 ，可以判断函数极值的性质。
《导数单调性》ppt课件
contents
目录
• 导数与单调性的关系 • 导数在研究函数单调性中的应用 • 导数单调性的实际应用 • 导数单调性的深入理解 • 练习与思考
01
导数与单调性的关系
导数定义与几何意义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点的切线斜率。
几何意义
导数表示函数图像在该点的切线 斜率，即函数值在该点的变化率 。
波动现象分析
导数单调性可以用于分析波动现象，如声波、电磁波等的传播规律 。
导数在工程学中的应用
01
02
03
控制系统分析
在工程学中，导数单调性 常用于分析控制系统的稳 定性，如调节水箱水位、 温度等。
结构设计优化
利用导数单调性，工程师 可以分析结构的应力分布 和变形趋势，优化结构设 计。
函数的单调性与导数(教学设计)
函数的单调性与导数(教学设计)教学设计：函数的单调性与导数本节课的主要内容是函数的单调性与导数。
在研究本节课之前，学生已经研究了导数、函数及函数单调性等概念，对导数的几何意义与函数单调性有了一定的感性和理性的认识。
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。
在以前的研究中，学生已经研究了如何利用函数单调性的定义和函数的图像来研究函数的单调性。
而在研究了导数之后，学生可以利用导数来研究函数的单调性，这是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。
学好本课时的知识对接下来要研究利用导数研究函数的极值奠定知识基础，因此，研究本节内容具有承上启下的作用。
在本节课之前，学生已经研究了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，研究了用导数求曲线的切线方程。
因此，本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。
本节课的教学目标包括以下几点：1.知识与能力：1) 理解函数单调性与导数的关系：函数f(x)在区间(a,b)内可导，若f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增；若f'(x)<0，则f(x)在区间(a,b)内单调递减。
2) 探究函数的单调性与导数的关系，利用导数与函数单调性的关系求函数的单调区间、画函数的简单图像。
2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程，引导学生养成自主研究的研究惯，体会知识的类比迁移，体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：1) 通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
2) 通过导数研究单调性，使学生知道用导数判断函数的单调性比用单调性的定义更容易，知道导数作为研究函数的工具的实用价值。
本节课的教学重点是利用导数判断函数的单调性，并求函数的单调区间。
教学难点在于如何将导数与函数的单调性联系起来。
本节课的教学方法为启发引导式，课时安排为1课时。
教学准备包括多媒体平台和课件。
导数应用—单调性课件
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
导数计算方法
通过求极限或使用导数基 本公式来计算导数。
单调性的定义与分类
单调性定义
函数在其定义域内，对于任意两点x1和x2，当x1<x2时，若函数值f(x1)≤f(x2) ，则称函数在此区间内单调递增；反之，若f(x1)≥f(x2)，则称函数在此区间内 单调递减。
单调性分类
根据单调性的定义，可以将单调性分为递增和递减两类。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
导数与单调性的关系
单调递增的导数条件
当函数的导数大于0时，函数在此区 间内单调递增。
单调递减的导数条件
单调性与导数的关系总结
导数的符号决定了函数的单调性，通 过判断导数的符号可以判断函数的单 调性。
当函数的导数小于0时，函数在此区 间内单调递减。
02
导数在研究函数单调性中的应用
导数在判断函数单调性中的应用
导数与函数的单调性课件
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
函数的单调性与导数_上课用
1 由 f′(x)＜0 得 0＜x＜2， ∴函数 f(x)＝2x －ln x
1 减区间为0，2.
2
1 的单调增区间为2，＋∞，
（三）导数与单调性的关系在图象上的应用
例3.如图, 水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面 四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度 h与时间t 的函数关系图象.
2.利用导数求函数 f (x)的单调区间，实质上是转化为解不等式
f’(x)>0 或f’(x)<0 ，不等式的解集就是函数的单调区间。
3. 在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定 义域，即解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的 符号来判断函数的单调区间．
(3) f ( x ) sinx x, x (0, );
(4) f ( x ) 2 x 3 3 x 2 24x 1.
求函数的单调区间的一般步骤: (1) 求出函数 f(x)的定义域A； (2) 求出函f(x)数的导数 f (x ) ；
(3)不等式组 x A
的解集为f(x)的单调增区间；
f ( x ) 0
(4)不等式组 x A
的解集为f(x)的单调减区间；
f ( x ) 0
能力提升
例1：求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．
2 1 4x －1 【错解】 f′(x)＝4x－ ＝ ， x x
1 1 由 f′(x)＞0 得 x＞ 或－ ＜x＜0 2 2 1 1 由 f′(x)＜0 得 x＜－ 或 0＜x＜ 2 2 ∴函数
3.3.1函数的
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
生活与数学
观看视频短片
函数的单调性与导数 说课稿 教案 教学设计
函数的单调性与导数教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】黑暗中，你是怎样通过远处汽车自身的灯光判断该车是上坡还是下坡的？(二)、探究新知，揭示概念探究1．问题：图1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．探究2．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．（三）、分析归纳，抽象概括 函数的单调性与导数的关系曲线 切线斜率k >0 上升函数()y f x = ()0f x '> ？ 递增()x I ∈在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”． （四）、知识应用，深化理解例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+7 2.f (x )=x1+2x3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈4. y=xlnx（五）、归纳小结、布置作业。
导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
宋老师数学精品工作室 ２． 确定下列函数的单调区间 ：
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
函数的单调性与导数 课件
探究 2 判断函数在某个区间(a，b)内的单调性可从以下几个 方面入手：
(1)利用函数单调性的定义：在定义域内任取 x1，x2(x1<x2)， 通过判断 f(x1)－f(x2)的符号来确定函数 f(x)的单调性．
(2)图像法：利用函数图像的变化趋势直观判断，图像在某个 区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区 间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．
探究 1 (1)利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的 基本步骤：
①确定函数 f(x)的定义域； ②求出函数 f(x)的导数 f′(x)； ③令 f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递增区间； ④令 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得 x 的相应区 间为 f(x)的单调递减区间．
解法三：∵f′(x)＝2a－3x2，f(x)在(0，1)上是增函数，∴f
′(x)≥0 在(0，1)上恒成立．
又∵f′(x)为二次函数，且开口向下，
f′（0）≥0， ∴f′（1）≥0，解得a≥32.
a>0，
∴a 的取值范围是[23，＋∞)．
(2)f′(x)＝a－1x＝ax－ x 1，
①当 a≤0 时，f′(x)<0，即 f(x)在(0，2)上单调递减，不合
题型一 求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝2x－lnx； (3)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π；
(4)f(x)＝ ax (a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x2
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令 f′(x)＞0，得 x＜－1 或 x＞1. 令 f′(x)＜0，得－1＜x＜1. ∴f(x)的增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)； f(x)的减区间是(－1，1)． (2)由 x>0，得函数定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2－1x.令 2－1x>0 解得 x>12；令 2－1x<0，得 0<x<12.所 以 f(x)的增区间是(12，＋∞)；减区间为(0，12)．
函数的单调性与导数课堂导入
2ax
1 x2
，x
0，1 若f
x在
x 0，1上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
f
'(x )
2a
2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增，
f
x
0，即a
1 x3
在x
0，1上恒成立，
而g
x
1 x3
在（0，1]上单调递增，
g xmax g 1 1
a 1.
当a
1时，f
'(x)
2
2 x3
对x 0，1也有f ' x>0
2
2
当 f (x)
单调递减.
0
,
1
即
2
17
x
1 2
17
时,
函数 f
(x)
例3 、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
分析：以容器（2）为例，由于容器上细 下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高 度反h 增映(1加在) 得图慢象，（h A以(）2后) 上高.度增h 加(3得) 越来越h (快4) ，
f ' x 1 1 cos x 0，
2
f x 在， 上是单调函数，
而当x 0时，f x 0，
方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0. 2
题型三 构造函数证明不等式
例4、已知：m，n N ，且1 m n.
求证：1 mn 1 nm .
解： 1 m n，m，n N ，
练习：P93
4、求证: 函数 f (x) 2x3 6x2 7
减函数. 解: f (x) 2x3 6x2 7 f (x) 6x2 12x.
高中数学选修导数与函数的单调性课件
XX
REPORTING
2023 WORK SUMMARY
THANKS
感谢观看
2021年全国卷导数大题
结合函数的单调性和周期性，考查学生的综合分析能力。
2020年全国卷导数大题
考查导数在解决实际问题中的应用，如最值问题和优化问题。
高考命题趋势预测
函数与导数的综合应用
01
结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质，考查学生的综合
分析能力。
导数在实际问题中的应用
02
如经济学中的边际分析和最优化问题，物理学中的速度和加速
PART 02
导数计算方法
基本初等函数导数公式
幂函数
若f(x) = x^n（n为实数），则 f'(x) = nx^(n-1)
对数函数
若f(x) = log_a x（a > 0，a ≠ 1），则f'(x) = 1 / (x ln a)
常数函数
若f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = 0
指数函数
若f(x) = a^x（a > 0，a ≠ 1 ），则f'(x) = a^x ln a
三角函数
如sin x, cos x, tan x等，它们 的导数可以通过相应的公式求 得。
导数四则运算法则
01
加法法则
(u + v)' = u' + v'
02
减法法则
(u - v)' = u' - v'
03
乘法法则
04
多做练习，掌握不同类 型题目的解题技巧和方 法，提高解题速度和准 确性。
导数与函数的单调性精品课件
【训练2】 (2015·全国Ⅱ卷改编)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性. 解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a. 若a≤0，则f′(x)>0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 若 a>0，则当 x∈0，1a时，f′(x)>0；x∈1a，＋∞时，f′(x)<0， 所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.
第1课时 导数与函数的单调性
考点一 求函数的单调区间(典例迁移) 【例 1】 (经典母题)已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－43处取得极值.
(1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间.
解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，
，右侧 f′(x)<0 ，则点
b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.
3.函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 连续不断 的曲线，那么它必有最
大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中 最大 的一个是 最大值， 最小 的一个是最小值.
由
f′(x)>0，得
1＋ 0<x< 2
5；由
f′(x)<0，得
1＋ x> 2
5 .
所以函数 f(x)的单调递增区间为0，1＋2 5，单调递减区间为1＋2 5，＋∞.
【迁移探究 2】 若本例的函数变为“f(x)＝x22－aln x，a∈R”，求 f(x)的单调区间. 解 因为 f(x)＝x22－aln x，所以 x∈(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax＝x2－x a. (1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性。
2. 掌握导数的定义和计算方法，能够运用导数判断函数的单调性。
3. 能够运用函数的单调性和导数解决实际问题。
二、教学内容1. 函数单调性的定义和判断方法。
2. 导数的定义和计算方法。
3. 运用导数判断函数的单调性。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 函数单调性的判断方法。
2. 导数的计算方法。
3. 运用函数的单调性和导数解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解函数单调性和导数的定义及计算方法。
2. 利用多媒体演示函数的单调性和导数的应用。
3. 引导学生通过小组讨论和练习，巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入：通过举例说明函数的单调性，引导学生思考如何判断函数的单调性。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义和判断方法，引导学生理解并掌握。
3. 练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固对函数单调性的理解。
4. 引入：讲解导数的定义和计算方法，引导学生理解并掌握。
5. 练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固对导数的理解。
6. 讲解：讲解如何运用导数判断函数的单调性，引导学生理解并掌握。
7. 练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固对导数判断函数单调性的理解。
8. 应用：讲解如何运用函数的单调性和导数解决实际问题，引导学生思考并实践。
9. 练习：布置综合练习题，让学生独立完成，巩固对函数单调性和导数的应用。
10. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，提醒学生加强练习。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解函数单调性和导数的概念，并通过练习题让学生巩固所学知识。
要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高教学效果。
在实际问题中的应用环节，要引导学生将所学知识与实际相结合，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 评价目标：通过评价学生对函数单调性和导数的理解，以及运用导数判断函数单调性的能力。
2. 评价方法：a) 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，判断其对函数单调性和导数的理解和运用能力。
1.1-导数与函数的单调性(公开课)
探究点1 导数与函数单调性之间的关系
实例1：看下面几个函数的导数及其单调性.
（1）y=f（x）=x
f (x) 1
（2）y=f（x）=2x+5
f (x) 2
（3）y=f（x）=-3x+4
f (x) 3
函数（1）（2）的导数都是正的，函数（1）（2）
在定义域上都是增加的，函数（3）的导数是负
的，这个函数在定义域上是减少的.
实例2：再看指数函数、对数函数的导数及其单调性
(1) y f (x) 2x
(2) y f (x) (1)x 2
(3) y f (x) log 3 x (4) y f (x) log 1 x
2
f (x) 2x ln 2
x
解析：（1）由 f (x) 1 0得函数f (x) 1 在定义
x2
x
域的两个区间上是减少的.
（2）由 f (x) 3x2 3 0得函数f (x) x3 3x
在定义域R上是增加的.
根据导数和函数的单调性的关系，我们就可以利用导数 讨论函数的单调性.
探究点2 利用导数讨论函数单调性
1)上是减少的，在(0,
1 e
)上是增加的
4.在下列函数中，在(0，＋∞)上增加的是( B )
A．sin2x
B．xe3x
C．x3－x
D．－x＋ln(1＋x)
解析:y＝xe3x，则y′＝e3x＋3x·e3x＝e3x(1+3x)，
又因为x>0，所以y′>0，故选B.
5.（2016·全国卷 I）若函数 f(x)=x- ������sin2x+asinx
函数单调性与导数教案
函数单调性与导数教案一、教学目标：1. 让学生理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 引导学生掌握导数的定义和计算方法，能够利用导数判断函数的单调性。
3. 培养学生运用函数单调性和导数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义和判断方法。
2. 导数的定义和计算方法。
3. 利用导数判断函数的单调性。
4. 函数单调性和导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数单调性的判断方法，导数的计算方法，利用导数判断函数的单调性。
2. 教学难点：导数的计算方法，利用导数判断函数的单调性。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解函数单调性和导数的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子掌握函数单调性和导数的应用。
3. 采用练习法，巩固学生对函数单调性和导数的理解和掌握。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的例子，引导学生思考函数单调性的概念。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义和判断方法，引导学生掌握函数单调性的基本概念。
3. 案例分析：分析实际例子，让学生通过计算导数判断函数的单调性。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固对函数单调性和导数的理解和掌握。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性和导数在实际问题中的应用。
6. 作业布置：布置课后作业，让学生进一步巩固对本节课内容的理解和掌握。
六、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对函数单调性和导数概念的理解程度。
2. 通过课堂练习，评估学生对函数单调性和导数计算方法的掌握情况。
3. 通过课后作业，评估学生对函数单调性和导数应用能力的掌握。
七、教学拓展：1. 探讨函数单调性与导数在实际问题中的应用，如经济领域、物理领域等。
2. 引入更复杂的函数单调性和导数问题，如多变量函数的单调性、隐函数的导数等。
八、教学资源：1. 教学PPT：展示函数单调性和导数的定义、判断方法、计算示例等。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，帮助学生巩固函数单调性和导数知识。
函数的单调性与导数 课件
所以，k＝1 时单调增区间为(－1，＋∞)．
③若 k＞1 时，1k－1∈(－1,0)，当 x∈(－1，1k－1)时，f′(x) ＞0，当 x∈(1k－1,0)时，f′(x)＜0，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x) ＞0， 所以，k＞1 时的单调增区间为(－1，1k－1)，(0，＋∞)； 单调减区间为(1k－1,0)．
由
f′ (x)＜0
得
x＜
2， 2
又 x∈(0，＋∞)，
所以函数
f(x)的单调递减区间为0，
2 2
.
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
f′(x)＝exxx－－22－2 ex＝exx－x－232.
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以 ex＞0，(x－2)2＞0.
由 f′(x)＞0 得 x＞3， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由 f′(x)＜0 得 x＜3，
综上所述：当 k＝0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，
单调递减区间为(0，＋∞)；
当 0＜k＜1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1k－1， ＋∞)，单调递减区间为(0，1k－1)； 当 k＝1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；
当 k＞1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，1k－1)，(0，＋ ∞)，单调递减区间为(1k－1,0)．
即函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0， ＋∞)．
(2)当 k≠0 时，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝1k－1， ①若 0＜k＜1 时，1k－1＞0，当 x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，当 x∈(0，1k－1)时，f′(x)＜0，当 x∈(1k－1，＋∞)时，f′(x) ＞ 0， 所以，0＜k＜1 时的单调增区间为(－1,0)，(1k－1，＋∞)； 单调减区间为 (0，1k－ 1)．
函数的单调性与导数 课件
函数的图象
越大
__快__
比较“ 陡峭 ”(向上或向下)
越小
__慢__
比较“ 平缓 ”(向上或向下)
(1)如果在区间(a，b)内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)有什么特性？ 提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．
(2)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增， 反之也成立吗？
[类题通法] 利用导数判断或证明函数单调性的思路
[针对训练]
2．试证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．
证明：由于f(x)＝lnx
x，所以f′(x)＝1x·x－x2ln
x＝1－xl2n
x .
由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，
故f′(x)＝1－xl2n x>0，
即函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．
解：(1)由已知得 f′(x)＝3x2－a， 因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立．
因为 3x2≥0， 所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x 求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞， 0)内是减函数． [解] 由于f(x)＝ex－x－1， 所以f′(x)＝ex－1， 当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数， 当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
∵f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1. 令f′(x)>0，解得x>1或x<13. 因此f(x)的单调递增区间是－∞，13，(1，＋∞)． 令f′(x)<0，解得13<x<1. 因此f(x)的单调递减区间是13，1.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当 a＝ e3 时，f′(x)＝ex－e3 在 x∈(－2,3)上， f′(x)<0， 即 f(x)在 (－2,3)上为减函数，∴a≥e3. 故存在实数 a≥e3，使 f(x)在(－ 2,3)上单调递减．
课堂小结
导数与函数单调性判断；
利用导数求函数单调区间； 已知函数单调性求参数取值范围。
目录
【规律小结】
的一般步骤为：
利用导数求函数 f(x)的单调区间
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)； (3) 解 f′(x) ＞ 0 ，解集在定义域内的部分为单调 递增区间； (4) 解 f′(x) ＜ 0 ，解集在定义域内的部分为单调 递减区间
目录
变式2
（2013.重庆卷改编）设 f
2. 已知函数 y＝ f(x)的导数的图象如图，则随着 x 的增大， 函数值先 ________后 ________．
答案：减
增
3.已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函 数，则a的取值范围是________． 解析：∵f′(x)＝3x2－a，f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，
教材回顾夯实双基
基础梳理
函数的单调性与导数 在区间 (a ， b) 内，函数的单调性与其导数的正负有如下的 关系： f′(x)＞0 ，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递增； 如果________ f′(x)＜0 ，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递减； 如果_________
f′(x)＝0 ，那么函数y＝f(x)在这个区间为常数． 如果_________
∴f′(x)≥0，∴a≤3x2，∴a≤3.又a＞0，可知0＜a≤3.
答案：(0，3]
考点探究讲练互动
考点突破
探究点 1 判断与证明函数的单调性
例1
(2014· 安徽卷改编 )设函数 f(x)＝
2
1 3 1+（ 1+ a） x－ x － x ，其中 a＞ 0.讨论函 3 数 f(x)在其定义域上的单调性；
【规律小结】导数法判断函数 f(x) 在区间 (a，b)内的一般步骤为： (1)求导数f′(x)； (2)确定f′(x)在区间(a，b)内的符号； (3)作出结论：当f′(x)＞0时， f(x)为增函 数；当f′(x)＜0时， f(x)为减函数。
目录
变式1 已知函数f(x)＝x2－ex，试判断f(x)单调性并 给予证明
第14讲 导数在研究函数中的应用(一)
导数与函数的单调性
高考导航
考试说明 备考指南
1.利用导数研究函数的单调 性是近几年高考的热点． 了解函数单调性和导数的关 2.选择题、填空题侧重于利 系，能利用导数研究函数的 用导数确定函数的单调性和 单调性，会求函数的单调区 极值．解答题侧重于导数与 间(其中多项式函数一般不 函数、解析几何、不等式、 超过三次). 数列的综合应用，一般难度 较大，属中、高档题.
思考探究
若函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x) ＞0吗? f′(x)＞0是否是y＝f(x)在(a，b)内单调递增的
充要条件?
提示：函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)>0 是y＝f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．
课前热身
( )
x a( x 5)
2
6ln x
其中a∈R ，曲线y=f(x) 在点(1，f(1))处的切 线与y轴相交于点(0,6). （1）确定a的值； （2）求函数f(x)的单调区间.
目录
探究点 3 值范围
例3 （ 2014
由函数的单调性求参数的取
新课标全国卷 II）若函数 f(x) ＝ kx-ln x 在区间 (1，+∞)单调递减，则 k 的取值范围是
解：f′(x)＝ex－a， (1)若 a≤ 0，则 f′(x)＝ex－a＞0， 因此 f(x)在 R 上递增． 若 a>0， ex－a≥0，∴ ex≥a， x≥ln a. 因此 f(x)的递增区间是 [ln a，＋∞ )．
(2)由 f′(x)＝ ex－a≤0 在(－2,3)上恒成立． ∴ a≥ex 在 x∈ (－2,3)上恒成立． 又∵－2<x<3，∴ e 2<ex<e3，只需 a≥ e3.
【规律小结】
由函数的单调性求参数的取值范
围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递 减)，等价于不等式 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒
成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取
值范围．Biblioteka 变式 3 已知函数 f(x)＝e x－ ax－ 1. (1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在 (－ 2， 3)上为减函数？若存在，求 出 a 的取值范围，若不存在，说明理由．
1 2 1.(2012· 高考辽宁卷 )函数 y＝ x －ln x 的单调递减区间为 2
A． (－ 1， 1] C． [1，＋∞ )
B．(0， 1] D． (0，＋∞ )
解析：选 B.由题意知，函数的定义域为 (0，＋∞ )．又由 y′＝ 1 x－ ≤ 0，解得 0＜x≤ 1，所以函数的单调递减区间为 (0，1]． x
目录
探究点 2 求函数的单调区间 例2 例 2（ 2015 长春调研） 已知函数
ex f x 1 ax 2
，a∈ R， (e 为自然对数的底
数 e=2.718…)． (1)若
1 x＝ 是函数 3
f(x)的一个极值点，求
a 的值； (2)当 a 取正实数时， 求函数 f x 的单调区 间